Aplikasi Diferensial dalam Ekonomi dan B

MATEMATIKA BISNIS
Aplikasi Diferensial
Dalam Ekonomi dan Bisnis

Oleh:
Ir. Ginanjar Syamsuar, ME.

SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA
PEBRUARI 2017

MATEMATIKA BISNIS
Aplikasi Diferensial Dalam Ekonomi
Teori diferensial amat lazim diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep nilai marjinal dan
konsep optimasi. Berkaitan dengan konsep-konsep tersebut, pada sub-bab ini secara berurutan
akan dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan elastisitas, analisis marjinal dan
analisis optimasi berbagai variabel ekonomi.

APLIKASI DIFERENSIAL SEDERHANA (UNIVARIATE)
Pada Diferensial fungsi sederhana dapat digunakan untuk menghitung:
1. Elastisitas
1.1.

Elastisitas Permintaan
1.2.
Elastisitas Penawaran
1.3.
Elastisitas Produksi
2. Analisis Marjinal (Marginal Analysis)
2.1.
Biaya Marjinal
2.2.
Penerimaan Marjinal
2.3.
Utilitas Marjinal
2.4.
Produk Marjinal
3. Analisis Profit Maksimum (Maximum Profit Analysis)
1. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai:
%
=
%

∆ ⁄
�
� � �
= �
=
∗
∆
∆ → (
�� � � �
⁄ ) �

�
�

=

∗

=

′

∗

Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif dalam
y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati
nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara
persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

1.1. Elastisitas Permintaan
Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta disebabkan karena
adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah
barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permitan
dinyatakan dengan Qd=f(p) maka elastisitas permintaannya :
%∆
=
%∆

= �

∆ →

∆

⁄

(∆ ⁄ )

=

�
�

∗

=

∗

=

′

∗

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila | � | > yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase
tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan
arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan
harganya.

Page | 1

Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara
berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar daripada persentase
perubahan harganya.
Inelastis apabila | � | < yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase
tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan

arah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan
harganya.
Contoh:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qd = 25 – 3P².
Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5.
=

=

−

′

= − ∗

′

=

∗

∗

→→

∗

′

= −
−

∗

=

∗

=−

=

−

→

�

berarti bahwa apabila harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang
� =
diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3%.

1.2. Elastisitas Penawaran
Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan disebabkan karena
adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah
barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran
dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas penawarannya :
%∆
=
%∆

= �

∆ →

∆

⁄

(∆ ⁄ )

=

�
�

∗

=

∗

=

′

∗

Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila | � | > yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase
tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah)
dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jika harga berubah sebesar persentase
tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah)
dengan persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan
harganya.
Inelastis apabila | � | < yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase
tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah)
dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.
Contoh:

Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan
Qs = -200 +7P²
Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.

=−

+

=

′

∗

→→

′

=

=

Page | 2

=

′

=

∗

∗

=

∗
−

∗
+

∗

−

= .

+

→

�

= . berarti bahwa apabila harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang
ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%.

1.3. Elastisitas Produksi
Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat
adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi merupakan rasio
antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah
masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan Pr = f (x), maka elastisitas
produksinya:
�

%∆
=
%∆

∆

= �

⁄

=

(∆ ⁄ )

∆ →

�
�

∗

=

∗

=

′

∗

Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila | � | >
yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya.
Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jumlah input berubah sebesar
tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya.
Inelastis apabila | � | < yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya.

persentase
persentase
persentase
persentase
persentase
persentase

Contoh:
Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan
P = 6x² - x³
Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi
sebanyak 3 unit.
�

=

�

=

�

=

∗

=

−

′

∗

−
∗

∗

=

′

→→

′

∗

−

=

∗

=

−

=
=

∗

−

→

−

�� �

�� �

berarti jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output
akan bertambah (berkurang) sebesar 1 %.
�

Page | 3

2. Marginal Analysis
2.1. Biaya Marjinal (Marginal Cost)
Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk
menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya marjinal
merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan
dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka
biaya marjinalnya :

′

� =

Contoh:

=

Biaya total

: C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4

Biaya Marjinal

: MC = C’ = dC/dQ = Q - 6Q + 4

Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi
biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat.
C , MC
C
6

C

= Q³ -3 Q² + 4Q + 4

MC

= C’ = 3Q² - 6Q + 4
(MC)’ = C” = 6Q - 6

MC minimum jika (MC)’ = 0

4

(MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1

MC

Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1

1

C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6
Q
0

1

2.2. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue)
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit
keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal
merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total
dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q melambangkan
jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :

� =

′

=
Page | 4

Contoh:
Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka P,
R, MR

R= 16Q- 2 Q²
Penerimaan total :
R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q²
Penerimaan marjinal :
MR = R’ =
– 4Q
Pada MR = 0, Q = 4
P= 16 – 2(4) = 8
R =16(4) – 2(4)² = 32

32

16
8

P = 16 – 2Q
Q

0

4

8

2.3. Utilitas Marjinal (Marginal Utility)
Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu unit
barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal merupakan
turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U =
f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan jumlah barang yang
dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :

�

Contoh:

=

U = f(Q) = 90Q – 5 Q²
MU = U’ =
– 10Q
U maksimum pada MU = 0
MU = 0; Q = 9

′

=
U maks = 90(9) – 5(9)²
= 810 – 405
= 405

U, MU
U = 90Q – 5Q²

405

90

0

MU = 90 – 10Q

9

18

Q
Page | 5

2.4. Produk Marjinal (Marginal Product)
Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang
digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan pertama dari
fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan Pr = f(x) dimana Pr
adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk marjinalnya

�

′

=

=

Contoh : Produksi total = Pr = f(x) = 9x² - x³
Produk marjinal = MPr = Pr’ = x – 3x²
Pr maksimum pada Pr’ = yakni pada X = dengan Pr maks + 108.
Pr berada pada titik belok dan MPr maks pada Pr” = MPr ’ = ;
Yakni pada X = 3

Pr, MPr
108

Pr = f(x)

54
27

X
0

3

6

MPr

3. Analisis Profit Maksimum (Maximum Profit Analysis)
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan
pendekatan diferensial. Karena baik penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya (Cost, C)
sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran (output) yang dihasilkan/terjual
(Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan π .
Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit):
1. π’ = 0
2. π’’ < 0
dimana:

π=R–C

Page | 6

Contoh 1:
R = – 2Q2 + 1000Q

Diketahui:

C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000

Ditanyakan:
a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?
b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?
c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum?
d. Berapa harga jual per unit pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum?
e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
Penyelesaian:
a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000)
π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000
π’ = – 3Q2 + 114Q – 315
Agar keuntungan maksimum:
Syarat . π’ =

π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0
.

=

− ±√

−

 (Rumus ABC)

Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan
pemfaktoran)
Syarat 2. π’’ < 0, (syarat maksimum)
Q1 = , π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96

Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96  (

���

=

<

>

 (Turunan kedua)

 (Turunan kedua)

Page | 9

Contoh 2:
Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum atau titik
minimum ? : p = 3q² – 18q + r ² – 8r + 50
Jawab:
Fq = 6q – 18
Fr = 2r – 8
6q – 18 = 0
q=3
2r – 8 = 0
r=4
p = 3 (3)2 – 18(3) + 42 – 8(4) + 50
p = 27 – 54 + 16 – 32 + 50
p=7
Fqq = 6 > 0
Frr = 2 > 0
Karena Fqq dan Frr > 0, titik ekstrimnya adalah titik minimum dengan P min = 7
2. Aplikasi Bisnis Ekonomi
Pendekatan deferensiasi parsial untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang
mengandung lebih dari suatu variabel bebas, dalam hal ini kita hendak menelaah secara
parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya.
2.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka
permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam
barang tersebut. Dengan kata lain jika harga barang A dan barang B mempunyai
hubungan pengunaan, maka;
Qda = f (Pa’ Pb) dan Qdb = f (Pa’ Pb)

Derivatif, pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya,
dimana:
� �
�

� �
�

� �
�

� �
�

adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb
adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa
adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb

Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut, dapatlah dihitung
elastisitas permintaan parsialnya. Ada 2 macam elastisitas permintaan, yaitu:
a) Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan perubahan harga sendiri (elastisitas harga permintaan)
b) Elatisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan perubahan harga barang lain (elstisitas silang permintaan)
Page | 10

RUMUS
∈ =
∈ =
∈ =
∈ =

∈

∈

%∆
%∆

=

%∆
%∆

%∆
%∆

×

=

×

=

×

=

%∆
%∆

dan ∈

×

= elatisitas harga permintaan

dan ∈

= elatisitas silang permintaan

1. Jika ∈
dan ∈
keduanya negatif (∈ < dan ∈ < ) untuk Pa dan Pb
tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah komplementer
(saling melengkapi), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh
kenaikan permintaan atas barang tersebut dan kenaikan permintaan atas
barang lainnya
2. Jika ∈
dan ∈
keduanya positif (∈ > dan ∈ > ) untuk Pa dan Pb
tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah
kompetitif/substitutif (saling menggantikan), sebab penurunan salah satu
barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan
penurunan permintaan atas barang lainnya.
Contoh Soal:
Fungsi permintaan barang A dan B masing-masing ditunjukkan oleh
– 1 = 0 dan Qdb .
.Pb – 1 = 0. Berapa elastisitas permintaan
Qda .
.
masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang
tersebut?
Jawab:
– 1 = 0 Qdb .
.Pb – 1 = 0
Diketahui; Qda . .

Qda =

Qdb =

.

−

Qda =
� �
�

∈ =

∈ =

� �
�

=−

×

×

−

.

= −

−
−

=−
=-

.

� �
�

−

.
−
−

� �
�

−

.

.

−

.
−

×

×

−
−

. −

. −

−

Qdb =
=-

= -2

=−

−

−

−

.
−

.

.

−

= -1
Page | 11

∈ =

∈ =

×

×

=−

=−

−

.

−

.

−
−

.
.

−

. −

= -3

−

. −

= -3

Barang A adalah barang elastis karena ∈ >

Barang B adalah barang unitary-elastic karena ∈ =

(Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan cukup dengan melihat
besarnya angka perhitungan. Tandanya tidak perlu diperhitungkan). Adapun
hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena ∈ < dan
∈ <

2.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan

Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang
dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya
gabungan (joint production cost), maka keuntungan yang diperolehnya dapat
diselesaikan dengan pendekatan deferensiasi parsial. Metode ini juga digunakan untuk
menganilisis kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam produk yang
biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan.
Andaikan perusahaan memproduksi dua macam barang A dan B, dimana fungsi
permintaannya akan masing-masing barang di cerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya
produksinya C = f (Qa, Qd) maka:
Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = f (Qa)
Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = f (Qb)
Penerimaan total: R = Ra + Rb = f (Qa) + f (Qb)
Biaya Total: C = f (Qa, Qb)
Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C
= f (Qa) + f (Qb) - f (Qa, Qb)
= g (Qa, Qb)
∏ maksimum bila ∏’ =
∏ Qa =

�∏
�

�∏

∏ Qb = �

= 0 ........................... persamaan 1
= 0 ........................... persamaan 2

Dari persamaan (1) dan (2) nilai Qa dan Qb . Selanjutnya nilai ∏ bisa dihitung...

Contoh Soal:
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam
barang, A dan B, ditunjukkan oleh C =
+
+ Qa . Qb. Harga jual masing-masing
barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing
harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar keuntungan maksimum
tersebut.
Page | 12

Jawab:
Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = 7 Qa
Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = 20 Qb
Penerimaan total: R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb
Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C

= 7 Qa + 20 Qb -

-

- Qa . Qb

∏ maksimum bila ∏’ =
�∏

= 0 → 7 -2 Qa - Qb = 0 persamaan 1

�∏
�

= 0 → 20 -6 Qb – Qa = 0 persamaan 2

∏Qa = �
∏Qb =

Dari (1) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3

Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C

= 7 Qa + 20 Qb -

+

+ Qa . Qb

= 7 (2) + 20 (3) – (2)2 - 3 (3)2 – (2) (3)

= 37

Jadi keuntungan maksimum perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B
dengan keuntungan sebesar 37.
Kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari satu macam barang dengan biaya
produksi gabungan, dapat pula diselesaikan melalui nilai-nilai marjinalnya yakni:
-

Dengan memformulasikan penerimaan marjinal masing-masing barang yang sama
dengan biaya marjinal barang yang bersangkutan.
MR = MC
Berkenaan soal diatas, ∏ maksimum akan diperoleh bila;
MRa = MCa dan MRb = MCb
R = 7 Qa + 20 Qb
MRa = R’a = 7
MRb = R’b = 20

C=
+
+ Qa . Qb.
MCa = C’a = 2 Qa + Qb
MCb = C’b = 6 Qb + Qa

MRa = MCa → 7 = 2 Qa + Qb

Page | 13

7 - 2 Qa - Qb = 0 ............. persamaan 1
MRb = MCb → 20 = 6 Qb + Qa
20 - 6 Qb - Qa = 0 ............. persamaan 2
Dari persamaan (1) dan (2) nilai Qa =2 dan Qb = 3 . Selanjutnya nilai ∏=

Latihan Soal:
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam
barang, A dan B, ditunjukkan oleh C =
+
+ Qa . Qb. Harga jual masing-masing
barang per unit adalah Pa = 15 sedangkan Pb = 32. Hitunglah berapa unit masingmasing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar keuntungan
maksimum tersebut.

2.3. Keseimbangan Konsumsi: Optimalisasi Bersyarat - Pengganda Lagrange
Dalam kenyataan kita sering sekali harus mengoptimalkan suatu fungsi yakni mencari
nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang
harus dipenuhi, atau dengan kata lain hendak mengoptimumkan tetapi menghadapi
kendala. Dalam kasus ekonomi hal ini banyak sekali terjadi, misalnya hendak
mengoptimalkan kepuasan tetapi terbentur oleh pendapatan yang terbatas, atau ingin
memaksimumkan laba tapi terbentur oleh terbatasnya jumlah produk yang dapat
dihasilkan.
Kepuasan konsumen dilambangkan dengan U
Barang-barang dikonsumsi dilambangkan qi (i = 1,2,3...n),
maka fungsi Utilitasnya U = f (q1, q2, q3....qn)
Jika konsumen hanya mengkonsumsi dua barang, maka secara sederhana dapat
dirumuskan sbb:

U = f (x,y)
Untuk U = konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f (x,y) merupakan suatu persamaan
kurva indeferensi (indefferrence curve) yaitu;
-

Kurva yang menujukkan kombinasi barang X dan Y yang meberikan tingkat
kepuasan yang sama.

Keseimbangan Konsumsi
- Maksudnya suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam
barang yang memberikan kepuasan optimum.

-

Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva
indefernsi dengan garis anggaran konsumen (budget line)

Pengganda Lagrange
Adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah diatas yaitu
ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terbentur oleh adanya batasan (kendala).

Caranya:
Page | 14

F = Fungsi yang akan dioptimumkan + λ fungsi kendala
Kemudian cari nilai ekstrimnya dengan cara diferensiasi parsial pertama:
Fx = 0
Fy = 0
Kemudian masukkan nilai ekstrim tersebut ke dalam fungsi kendala, sehingga
diperoleh nilai variabel x dan variabel y. Barulah dimasukkan ke dalam fungsi
yang hendak dioptimumkan.
Contoh 1:
Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan kendala x² + y² = 8
Jelaskan pula nilai ekstrimnya.
Jawab :
Fungsi Lagrange = F = x + y + λ x + y -

Agar ekstrim F’ =

= x+ y+x λ+y λ– λ

Fx = + xλ = diperoleh λ = -2/2x = - /x………………

Fy = + yλ = diperoleh λ = -2/2y = - /y………………

Berdasarkan (1) dan (2) : -1/x = -1/y atau x = y

Menurut fungsi kendala x² + y² = 8 jika x = y maka x² + x² = 8
2x² = 8
x² = 4
karena x = y =  2 maka z =  2² +  2² = 8

x =  2 berarti y =  2

penyidikan nilai ekstrim :

untuk x = y = 2. maka  = -1/x = -1/y =-1/2
Fxx = 2 = 2. –1/2 = -1 < 0

karena Fxx dan Fyy < 0 maka nilai

Fyy = 2 = 2. –1/2 = -1 < 0

ekstrimnya adalah maksimum

Fxx = 2 = 2. 1/2 = 1 > 0

karena Fxx dan Fyy > 0 maka nilai

Fyy = 2 = 2. 1/2 = 1 > 0

ekstrimnya adalah minimum

Untuk x = y = -2 maka  = -1/x = -1/y = ½

Contoh 2:
Kepuasan seorang konsumen untuk mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan dengan
fungsi utilitas U = x²y³. Jumlah pendapatan konsumen Rp. 1.000, harga X dan Y masingmasing per unit adalah Rp. 25 dan Rp. 50. Hitunglah kombinasi konsumsi x dan y yang
memberikan kepuasan optimum, serta besarnya nilai kepuasan optimal tersebut.
Page | 15

Jawab:
Maksimalkan U = x²y³ dengan kendala 25X + 50Y = 1000
F= x y +λ
X + Y – 1000)
Fx = 2xy3 +
λ
Fy = 3 x²y2 + 50 λ
2xy3 +
λ=
λ = – 2xy3

�=

3 x²y2 +

−

λ=

λ = – 3 x²y2

�=

−

……………………………………………………………….………..

……………………………………………………………………….. 2)
−

=

−

– 100 xy3 = – 75 x²y2
xy3 = ¾ x²y2
=

−

y=¾x
x = 4/3 y
Masukkan ke dalam fungsi kendala:
25X + 50Y = 1000
25X + 50 (¾ x ) = 1000
+

+

=

=

=

X = 16
Y=¾x
Y = ¾ . 16
Y = 12
Kemudian masukkan ke dalam fungsi utilitas:
U = x²y³
U = 162.123
U = 256.1728
U = 442368
Secara grafis gambarnya ditunjukan sebagai berikut:

Page | 16

Kurva Indiferen (Indifference Curve)
(Tingkat Kepuasan)

72

IC: --> X2Y3=442368
Barang-Y

60
48
36
24
12
0
0

16

32

48

64

80

Barang-X

Page | 17

SOAL LATIHAN:
A. Diferensiasi Univariat
1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=16-2Q dengan Q jumlah barang (unit) dan
P harga dalam jutaan rupiah. Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?
2. Biaya total (TC) = g(Q) = Q3 – 3Q2 + 1.500Q + 400.000, dengan Q jumlah produk (ratusan
unit) dan TC dalam rupiah. Pada tingkat produksi berapakah biaya marjinal minimum?
Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut?
3. Diketahui fungsi biaya total TC = Q2–8Q +100 dengan Q unit produk dan TC dalam
ratusan ribu.
a) Tentukan jumlah produksi agar biaya minimal
b) Tentukan fungsi biaya rata-rata dan besarnya biaya rata-rata (AC).
c) Tentukan biaya marginal dan biaya rata-rata minimum.
4. Diketahui fungsi permintaan suatu barang � =
− .
dan fungsi biaya total
�=
−
+
+
, dengan Pd harga dan Q unit produk. Tentukan
a. Jumlah produksi agar biaya minimum;
b. Biaya rata-rata minimum dan besarnya biaya rata-rata.
c. Jumlah produksi agar keuntungan maksimum
d. Besarnya keuntungan maksimum
B. Diferensiasi Multivariat
1. Diketahui fungsi
=
−
+ �+ .
� − . � dimana Q menyatakan
jumlah penjualan barang, P harga barang, dan A menyatakan biaya iklan (promosi
barang). Tentukan tingkat harga barang dan biaya iklan agar jumlah barang yang terjual
maksimum. Berapakah jumlah barang maksimum yang terjual tersebut.
2. Seorang konsumen mengkonsumsi dua macam barang yakni A dan B. Fungsi kepuasan
total TU = A1/3B2/3. Satu unit A berharga Rp8 dan satu unit B berharga Rp16. Total
kepuasan mengkonsumsi A dan B adalah 10 unit kepuasan. Tentukan jumlah barang A
dan B yang harus dikonsumsi supaya dicapai kepuasan maksimum!!
3. Kepuasan seorang konsumen untuk mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan dengan
fungsi utilitas U = 4xy – x2 – 3y2. Jumlah pendapatan konsumen 45 dalam juta rupiah,
harga X dan Y masing-masing per unit adalah 2 dan 3 dalam juta rupiah. Hitunglah
kombinasi konsumsi x dan y yang memberikan kepuasan optimum, serta besarnya nilai
kepuasan optimal tersebut.

Page | 18