BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Beberapa Konsep Dasar Graf - Permasalahan P-Hub Median Dengan Lintasan Terpendek

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Beberapa Konsep Dasar Graf

  Menurut Rinaldi Munir (2007), “Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V,E), dimana V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul.

  Sisi graf dapat mempunyai orientasi pada arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis sebagai berikut:

1. Graf tak-berarah (undirected graph) Graf tak-berarah ialah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah.

  Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u,v) = (v,u). _{1 4 5}

  1 _{2 4}

₃

₃

  2 Gambar 2.1 Graf Tak berarah 2.

  Graf berarah (directed graph atau digraph) Graf berarah ialah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah, (u,v), dan (v,u) menyatakan dua buah unsur yang berbeda, dengan kata lain , ≠ , . Untuk busur (u,v), simpul u dinamakan simpul asal (initial vertex) dan simpul v dinamakan simpul terminal (terminal vertex).

Gambar 2.2 Graf berarah

2.1.1 Ketetanggaan

  Dua buah vertex pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u,v) adalah sebuah sisi pada graf G.

Gambar 2.3 Graf Ketetanggaan

  Pada gambar 2.3, simpul 1 bertetanggaan dengan simpul 2 dan 3, tetapi simpul 1 tidak bertetanggaan dengan simpul 4.

  2.1.2 Graf Berbobot

  Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberikan sebuah harga (bobot). Bobot pada setiap sisi dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan, waktu tempuh, ongkos produksi, dan sebagainya.

Gambar 2.4 Graf Berbobot

  2.1.3 Representasi Graf

  Menurut Rinaldi Munir (2007), “Agar graf dapat diproses dalam program komputer, graf harus direpresentasikan ke dalam memori. Terdapat beberapa representasi untuk graf, antara lain matriks ketetanggaan, matriks bersisian dan senarai ketetanggaan”.

  2.1.4 Matriks Ketetanggaan (Adjacency Matrix)

  Misalkan G = (V, E) graf sederhana dimana |V| = n, n > 1. Maka, matriks ketetanggaan A dari G adalah matriks n x n dimana A = , maka menjadi 1 bila simpul i dan j bertetangga dan menjadi 0 bila simpul i dan j tidak bertetangga

  Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah kita dapat mengakses elemen matriksnya langsung dari indeks. Selain itu, kita juga dapat menentukan dengan langsung apakah simpul i dan simpul j bertetangga.

  Pada graf berbobot, menyatakan bobot tiap sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j. Bila tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j atau dari simpul j ke simpul i, maka, diberi nilai tak berhingga.

Gambar 2.5 Graf ketetanggaan

  Bentuk matriks ketetanggaan dari gambar 2.5 adalah: 1 2 3 4 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 1 1 0 1 4 0 1 1 0

2.1.5 Matriks Bersisian (Incidency Matrix)

  Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m sisi, maka matriks kebersisian A dari G adalah matriks berukuran m x n dimana A =

  , maka menjadi 1 bila simpul i dan sisi j bersisian menjadi 0 bila simpul i dan sisi j tidak bersisian.

Gambar 2.6 Graf Matriks Bersisian Bentuk matriks bersisian dari graf pada gambar 2.6 adalah: _{2 1 1 1 1 2 3 1 4}

  3 _{4 1} ¹ ₁ ^{1 1}

2.1.6 Senarai Ketetanggaan (Adjacency List)

  Matriks ketetanggaan memiliki kelemahan apabila graf memiliki jumlah sisi yang relative sedikit sehingga graf sebagian besar berisi bilangan 0. Hal ini merupakan pemborosan terhadap memori, karena banyak menyimpan bilangan 0 yang seharusnya tidak perlu disimpan. Untuk kepentingan efisiensi ruang, maka tiap baris matriks tersebut digantikan senarai yang hanya berisikan vertex-vertex dalam adjacency set Vx dari setiap vertex x.

  Bentuk senarai ketetanggan berdasarkan graf pada gambar 2.6 adalah 1: 3 2: 3,4 3: 1,2,4 4: 2,3

2.2 Masalah Lintasan Terpendek ( Shortest Path Problem)

  Menurut Rinaldi Munir dalam bukunya matematika diskrit, persoalan mencari lintasan terpendek di dalam graf merupakan salah satu persoalan optimasi. Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted

  graph

  ), yaitu graf yang semua sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot dalam suatu graf dapat menyatakan nilai antar kota, waktu pengiriman pesan, ongkos pembangunan dan sebagainya. Asumsi yang digunakan ialah semua bobot bernilai positif. Kata ” terpendek” jangan selalu diartikan secara fisik sebagai panjang minimum, sebab kata “terpendek” berbeda-beda maknanya bergantung pada tipikal persoalan yang akan diselesaikan. Namun, secara umum “terpendek” berarti minimisasi bobot pada suatu lintasan di dalam graf.

  Contoh-contoh terapan lintasan terpendek misalnya: 1.

  Misalkan simpul pada graf dapat merupakan kota, sedangkan sisi menyatakan jalan yang menghubungkan dua buah kota. Bobot sisi graf dapat menyatakan jarak antara dua buah kota atau rata-rata waktu tempuh antara dua buah kota. Apabila terdapat lebih dari satu lintasan dari kota A ke kota B, maka persoalan lintasan terpendek di sini adalah menentukan jarak terpendek atau waktu tersingkat dari kota A ke kota B.

  2. Misalkan simpul pada graf dapat merupakan terminal komputer atau simpul komunikasi dalam suatu jaringan, sedangkan sisi menyatakan saluran komunikasi yang menghubungkan dua buah terminal. Bobot pada graf dapat menyatakan biaya pemakaian saluran komunikasi antara dua terminal, atau waktu pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal. Peroalan lintasan terpendek di sini adalah menentukan jalur komunikasi terpendek antara dua buah terminal komputer. Lintasan terpendek akan menghemat waktu pengiriman dan biaya komunikasi.

  Banyak persoalan yang dapat dimodelkan dengan graf terbobot (weighted

  

graph ). Sebagai contoh sistem transportasi udara dapat dimodelkan dengan graf

  terbobot, dimana setiap kota yang dilalui sebagai vertex dan jalur penerbangan sebagai edge dalam graf dan beaya penerbangan sebagai bobot. Untuk jalur penghubung 7 kota misalnya biaya penerbangan seperti terlihat dalam gambar 2.7.

Gambar 2.7 . Graf terbobot 7 kota di Amerika

  Graf terbobot seperti dalam gambar 2.7. dapat mewakili banyak persoalan, misalnya selain biaya penerbangan dapat diartikan biaya komunikasi untuk suatu jaringan komputer , waktu respon oleh komunikasi komputer antar kota atau jarak (km) antar dua komputer point-to point dan lain sebagainya.

  Berbagai persoalan muncul dengan model graf terbobot. Jika antara dua titik ada beberapa jalur yang mungkin manakah jalur yang paling murah? Jika suatu path yang menghubungkan antara dua titik dalam graf dapat diwakili sebagai jumlah bobot dalam setiap dua titik yang dilalui maka mencari jalur terpendek dalam suatu path dapat diartikan mencari jalur sedemikian sehingga jumlah bobot yang dilalui adalah minimal. Persoalan seperti memegang peran penting dalam penentuan route paketdata dalam suatu jaringan komputer.

  Pencarian rute atau path terpendek antara node-node yang ada pada graph.

  

Cost yang dihasilkan adalah yang paling minimum (Horowitz et al, 1998, p241).

  Berdasarkan pengertian pada digraph dan weighted graph di atas, maka cost dari

shortest path dapat dihitung berdasarkan total nilai minimum yang ada pada edgenya.

  Pencarian shortest path bukan berarti langsung menemukan jarak dari node awal ke node tujuan tetapi ada kalanya usaha itu harus dilakukan dengan melewati

  node-node tertentu sehingga tujuan akhir node dapat tercapai.

  Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek, antara lain: 1.

  Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.

  2. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.

  3. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke simpul yang lain.

  4. Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu.

  2.2.1 Pencarian Jalur Terpendek

  Tujuan dari shortest pathfinding adalah untuk menemukan lintasan terpendek dan termurah yang mungkin dari vertex awal ke vertex akhir. Jika edge tidak memilki nilai, maka shortest path adalah path dengan jumlah edge yang paling sedikit. Jika

  

edge memiliki nilai, maka shortest path adalah path dengan nilai akumulasi minimum

dari semua edge pada path.

  2.2.2 Penggolongan Algoritma Shortest Finding secara umum A. Algoritma Uninformed Search.

  Algoritma Uninformed Search adalah algoritma yang tidak memiliki keterangan tentang jarak atau biaya dari path dan tidak memiliki pertimbangan akan path mana yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma Breadth-

  First Search .

  B. Algoritma Informed Search. Algoritma Informed Search adalah algoritma yang memiliki keterangan tentang jarak atau biaya dari path dan memiliki pertimbangan berdasarkan pengetahuan akan path mana yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma Ford.

2.3 Program Linier

  Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, dengan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala

  (contoh: hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain- lain), menggunakan model matematika linier.

  Contoh lainnya ada pada polytope (contoh : polygon dan polyhedral) dan nilai riil fungsi affine , , ) = + +

• 1

  (

  2 … ,

  1

  

1

  2

  2

  3

  3

  didefinisikan pada polytope, tujuannya adalah menemukan simpul pada polytope dimana fungsinya mempunyai nilai terkecil atau terbesar. Simpul mungkin tidak ada, tapi jika dicari sepanjang vertex polytope maka digaransi menemukan paling sedikit satu darinya.

  Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik : max imize subject to Ax

  ≤ b where x ≥ 0

  x direpresentasikan vektor variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A

  adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut fungsi objektif (cTx). Persamaan Ax ≤ b adalah fungsi kendala yang khususnya polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.

  Program linier dapat diaplikasikan untuk bermacam-macam field. Lebih diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi dapat juga dimanfaatkan untuk beberapa masalah teknik. Beberapa industri menggunakan model program linier dalam transportasi, energi, telekomunikasi dan manufaktur. Dan dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jadwal, tugas dan desain.

2.4 Program Integer

  Jika variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut program integer atau program linier integer. Perbedaan dengan program linier adalah dapat diselesaikan lebih efesien pada kasus yang buruk. Problema program integer banyak terjadi pada situasi praktis (dengan variabel terbatas) NP hard

  . 0 − 1 program integer adalah kasus yang khusus dari program integer dimana variabel diharuskan 0 atau 1. Masalah ini juga diklasifikasikan sebagai masalah yang sulit non polynomial.

  Program Integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalamkenyataaannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variabel keputusan harus berupa bilangan bulat (integer) dan sebagian lainnya boleh berupa bilangan pecahan. Persoalan program integer dimana hanya sebagian dari variabel keputusannya yang harus integer disebut sebagai persoalan Mixed Integer Programming.

  Tetapi jika seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan program linier harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai persoalan Pure

  

Integer Programming. Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari program linier hilang

sama sekali.

  Contoh

  Maksimumkan + 5 = 8

  1

2 Kendala : +

  1 2 ≤ 6

  9 + 5

  1 2 ≤ 45

  , integrer

  1 2 ≥ 0,

2 Tampaknya cukup untuk mendapatkan solusi integer dari masalah program

  linier dengan menggunakan metode simpleks biasa dan kemudian membulatkan nilai- nilai pecahan solusi optimum. Hal ini bukan tugas mudah untuk membulatkan nilai- nilai pecahan variabel basis yang menjamin tetap memenuhi semua kendala dan tidak menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Karena itu perlu prosedur yang sistematis untuk mendapatkan solusi bulat optimum terhadap masalah itu. Ada bebebrapa pendekatan solusi terhadap masalah program integer yaitu salah satu diantaranya adalah pendekatan dengan cutting plane.

  Dalam program linier, metode simpleks didasari oleh pengenalan bahwa pemecahan optimum terjadi di simpul ekstrim dari ruang solusi. Hasil yang penting ini pada intinya mengurangi usaha pencarian pemecahan optimum dari sejumlah pemecahan yang tidak terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya Program Linier Integer memulai dengan sejumlah simpul pemecahan yang terbatas. Tetapi sifat variabel yang berbentuk bilangan bulat mempersulit perancangan sebuah algorimta yang efektif untuk mencari secara langsung di antara simpul integer yang layak dari ruang penyelesaian. Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier yang dilonggarkan untuk bergerak kearah pemecahan integer yang diinginkan yaitu metode Bidang Pemotong (Gomory Cutting Plane) dan metode Branch and Bound.

  Algoritma lanjutan untuk menyelesaikan program linier integer adalah :

  a. Metode Cutting Plane

  b. Metode Branch and Bound

  c. Metode Branch and Cut

  d. Metode Branch and Price

  Pendekatan Branch And Bound

  Branch and Bound untuk memecahkan pemrograman liniar bilangan bulat (PLBB) telah dikembangkan melalui Land et al (1960). Metode, yang secara langsung dihubungkan dengan simpleks metode untuk pemrograman linier (PL), kemudian dimodifikasi oleh Dakin (1965) dan telah dengan sukses menerapkan di dalam kitab undang-undang hukum dagang banyak orang untuk memecahkan permasalahan PLBB.

  Prinsip metode itu sendiri sungguh sederhana, tetapi meskipun demikian alat yang sangat bermanfaat untuk memecahkan permasalahan terpisah. Ketika dipertimbangkan dalam konteks lebih luas, secara teoritis, Branch and Bound mungkin digunakan untuk memecahkan masalah optimisasi manapun. Efisiensi algoritma jenis ini sebagian besar tergantung pada detil itu, terutama pada kalkulasi Bound bagian atas dan yang lebih rendah, pada separasi menetapkan dan, akhirnya, pada aturan pilihan yang berbeda menggunakan untuk menentukan solusi yang berikutnya mulai dipertimbangkan dan variabel yang berikutnya ke Branch terpasang. Gagasan yang umum digunakan untuk metode untuk PLBB dapat diuraikan sebagai berikut.

  Pertimbangkan suatu masalah PLBB.

  Max (2.1) = berlaku hanya jika :

  Ax = b (2.2)

  (2.3) ≤ ≤

  ′

  integer, ∈ ⊂

  Dimana A adalah matrik adalah transpos dari c dan c adalah vektor × ,

  × , dan J = (1, 2, . . . ,n). Proses dari metode awal dengan menyelesaikan (2.1) - (2.3) , program linier secara kontinu, abaikan syarat-syarat integral. Andaikan solusi

  ′

  , tidak semua integer. ∈

• = , 0

  ≤ ≤ 1 (2.4) untuk beberapa ∈ dimana [xj] adalah komponen integer dari [xj ], solusi kontinu untuk program linier, dan fj adalah komponen bagian yang kecil.

  Gagasan untuk menghasilkan dua subproblem masing-masing dengan penambahan pembuktian (2.5)

  ≤ ≤ dan (2.6)

• 1≤ ≤ Karena variabel tertentu

  ∈ . Proses menyelesaikan masalah disebut Branching. Masing-Masing ini subproblema dipecahkan lagi sebagai PL kontinu. Proses dari Branching dan pemecahan suatu sequance dari permasalahan kontinu

  ′

  untuk variabel yang berbeda dan bilangan bulat yang berbeda ∈ . Secepatnya, disediakan daftar alternatif subproblema untuk diselidiki, dengan PL yang kontinu yang pertama dimasukkan.

  Struktur metode yang logis sering diwakili sebagai pohon. Masing-Masing tangkai pohon menghadirkan suatu subproblem. Ketika subproblema manapun, atau tangkai pohon, diselidiki subproblema manapun yang dihasilkan dihubungkan kepada tangkai pohon dengan Branch.

  Jika salah satu dari tiga ukuran-ukuran di bawah ini dicukupi, Branch dari tiap tangkai pohon akan berakhir.

  1. Subproblema tidak mempunyai solusi fisibel 2.

  Solusi subproblema tidak ada lebih baik daripada integer-fisibel solusi terbaik yang dikenal sekarang.

  ′

  3. , mempunyai nilai-nilai bilangan Solusi adalah integer-fisibel, i.e., ∈ bulat (menyediakan suatu integer-fisibel, solusi ada). Itu adalah jelas, bahwa efektivitas dari prosedur seperti itu adalah sangat dependen.

  4. Variabel yang mana harus bercabang, dan 5.

  Subproblema yang mana harus diselidiki berikutnya.

2.5 Masalah Lokasi Hub

  Shahih Geraleh dalam tulisannya menjelaskan secara umum permasalahan hub lokasi dinyatakan sebagi berikut: Misalkan G adalah sebuah graph lengkap G = ( V, E ) , ,

  dimana V =

  1 2 merupakan himpunan dari semua simpul. Elemen dari V

  … ,

  

diasumsikan menggambarkan simpul asal dan tujuan pada saat yang bersamaan dan

merupakan simpul yang berpotensi untuk dijadikan menjadi hub. Aliran antara simpul

i dan j disimbolkan dengan dan jarak dari i ke j disimbolkan dengan , dimana

jarak memenuhi ketidaksamaan segitiga. Tujuannya ialah untuk mendesain beberapa

dari simpul sebagai hub dan meminimalkan biaya aliran total di dalam jaringan

transportasi. Setiap lintasan asal-tujuan terdiri dari tiga komponen yaitu:

pengumpulan dari simpul asal kepada hub pertama, transfer antara hub pertama dan

hub terahir dan distribusi dari hub terahir ke simpul tujuan. Lintasan yang hanya

memiliki satu simpul hub juga diijinkan. Parameter

  ,  , merupakan diskon faktor yang berhubungan kepada tiap-tiap bagian dari parameter di atas secara berurutan.

  Konsep Dasar Jaringan Hub

  Hub didefinisikan sebagai titik pengumpulan yang melayani penggabungan dan pengiriman barang selanjutnya kepada simpul tujuan dari pengiriman suatu barang dalam suatu jaringan transportasi.. Pemusatan atau penggabungan dari aliran dapat mengurangi biaya perpindahan melalui skala ekonomi. Hub biasanya ditemukan dalam jaringan penerbangan, sistem pengiriman surat, dan pada telekomunikasi.

  Di dalam jaringan hub terdapat beberapa komponen utama yaitu: 1. Simpul hub, 2. Simpul non hub (sering disebut juga simpul spoke), 3. Sisi hub, dan 4. Sisi non hub (sering disebut spoke arcs).

  Di dalam suatu jaringan yang terdiri dari sejumlah simpul kemudian sebagian dari yang ada simpul dipilih untuk bertindak menjadi simpul hub. Simpul nonhub lainnya disebut sebagai spoke node. Akibatnya, sebuah jaringan hub dibentuk dengan menghubungkan pasangan hub dengan sebuah sisi hub (hub edge). Secepatnya, setiap simpul spoke akan dialokasikan kepada simpul hub dengan link spoke node.

  Sebuah hub secara bersamaan dapat memiliki tiga fungsi yang berbeda yang disebut: i.)

  Penggabungan (consolidation/concentration) dari aliran yang diterima, dengan tujuan agar memiliki aliran yang lebih lebar dan dapat memanfaatkan skala ekonomi. ii.)

  Pemilihan (switching/ transfer) yang mengijinkan aliran dialihkan pada simpul tersebut. iii.)

  Distribusi (distribution/decomposition) dari aliran yang luas ke bentuk yang lebih kecil.

  Sebuah hub menerima aliran dari banyak simpul asal dan kemudian menggabungkan (consolidates/accumulates) aliran tersebut. Penggabungan ini membagi aliran ke dalam beberapa kelompok dari akumulasi aliran berdasarkan tujuan ahir masing-masing. Tiap aliran kelompok mengandung banyak simpul simpul tujuan yang akan dikirimkan melalui sisi hub (hub edge). Hal ini terjadi di dalam setiap hub pada jaringan transportasi ini. Setiap bagian aliran pada simpul hub terahir yang dikunjungi dalam lintasan di dalam jaringan tingkatan hub digabungkan ke bagian yang berasal dari simpul hub yang berbeda dalam cara yang sama. Aliran pemusatan ini kemudian akan dipisahkan kembali menuju permintaan dari hub sekarang dan juga simpul Spoke yang ditugaskan kepadanya.

Gambar 2.8 Tipikal Masalah Jaringan Lokasi Hub Typical jaringan HLP digambarkan seperti gambar 2.8 . Bagian persegi panjang menggambarkan simpul hub dan lingkaran yang dicetak tebal menggambarkan simpul spoke. Simpul hub bersama dengan sisi yang menghubungkannya disebut dengan hub-level, jaringan spoke- level. Dalam beberapa lintasan asal-tujuan ada sekurang-kurangnya satu elemen hub (simpul hub atau sisi). Daripada menghubungkan langsung pasangan lokasi, semua lintasan ditangani oleh jaringan hub-level.

  Sebagai contoh dari aplikasi dari jaringan hub-spoke dalam telekomunikasiadalah sebagai berikut: permohonan panggilan dikirim dari i (simpul

  

spoke ) kepada pusat panggilan lokal yang berhubungan k untuk membuat hubungan

  ke j; pusat panggilan (simpul hub) menerima banyak permintaan panggilan per detik, memeriksa apakah itu diizinkan untuk permintaan penuh (sebagai contoh tujuan di desain untuk itu) atau itu telah ditangani oleh pusat panggilan yang lain; jika ya, itu membangun koneksi ini bersama dengan panggilan lain yang ditujukan ke j, yang lain mengirim permintaan ini bersama dengan semua yang lain yang seharusnya ditangani l kepadanya; l membangun sebuah koneksi ke j.

  Pada jaringan ini, beberapa dari simpul dipilih untuk bertindak sebagai suatu simpul yang disebut simpul hub. Simpul nonhub lain dikenal sebagai simpul spoke. Sebagai akibatnya, sebuah jaringan hub-level dibentuk dengan menghubungkan pasangan dari simpul hub oleh sebuah sisi hub. Selanjutnya, setiap simpul simpul nonhub akan dialokasikan kepada simpul-simpul hub dan dengan link sisi spoke. Jaringan yang dibangun dari simpul-simpul spoke dan sisi spoke pada daerah yang lain disebut spoke-level.

Gambar 2.8 menggantikan aliran pengiriman arus perpindahan barang pada topologi dari struktur awal pada gambar 2.9. Segiempat digunakan menggambarkan

  simpul hub dan lingkaran yang bersimpul tebal untuk simpul jari-jari asal/tujuan. Ketika dibandingkan dengan jaringan transportasi klasik dengan jumlah simpul yang sama (seperti gambar 2.9), jumlah koneksinya lebih sedikit. Di dalam kasus terahir, sangat kecil dan terkadang mengabaikan jumlah dari aliran mungkin terjadi di dalam beberapa link, di mana sedikitnya ini terjadi seperti pada jaringan di gambar 2.8.

  Gambar 2.9: Jaringan Transportasi Klasik.

2.6 Ciri-Ciri Jaringan Hub dan Spoke

2.6.1 Keuntungan Hub 1.

  Keuntungan ekonomi dari kepadatan lalu lintas Skala ekonomi (yang mana dalam pengiriman barang digunakan untuk kepadatan lalu lintas) terjadi ketika rata-rata biaya produksi per unit berkurang sebgaia penumpukan dari peningkatan lalu lintas antara beberapa titik yang akan dilayani yang diberikan. Pernyataan yang umum yakni itu adalah sebuah jaringan H&S, melalui peningkatan kepadatan lalu lintas pada link dalam hub, mengijinkan penggunaan yang lebih lagi dari kegiatan penerbangan, penerbangan yang lebih efisien dan melebarkan biaya diantara para pnumpang sehingga mengekploitasi skala ekonomi. Disamping dari fakta-fakta empiris dari perbaikan pengembalian dari kepadatan lalu lintas, studi empiris yang lain menekankan keuntungan dari penerapan sistem hub.

  Lebih jauh lagi, dalam jaringan penerbangan diperkenalkan biaya simpan pada rute tak langsung, yang memungkinkan keuntungan yang maksimal yang mana berada di bawah rute langsung, sehingga biaya yang terendah mungkin mengganti untuk waktu biaya perjalanan yang tidak berguna dan ketidaknyamanan dalam pertukaran pesawat.

  Biaya umumnya, yang mana didefinisikan sebagai keseluruhan biaya yang menimbulkan perjalanan, termasuk semua biaya waktu, juga kan menjelaskan jumlah dari biaya non-transportasi yang dipengaruhi oleh kualitas dari penyedia transportasi. Sebagai contoh, frekunsi yang lebih dari layanan udara dari sebuah bandara udara mengurangi kemungkinan bahwa pejalan akan menanggung beban biaya lebih dan juga biaya penginapan pada rute dengan frekuensi layanan servis yang rendah. Frekuensi layanan yang tinggi juga berarti membuang waktu menunggu lebih sedikit.

  2. kualitas layanan Seperti contohnya dalam penerbangan sistem hub menawarkan frekuensi penerbangan yang lebih tinggi dan juga kualitas layanan yang lebih baik dan nilai peayanan, kualitas penting digunakan untuk mengukur memperpanjang kepuasan pelanggan dan kecenderungan utnutk menggunakan produk dan pelayanan. Keberadaan dari skala ekonomi menawarkan pelanggan sekumpulan layanan yang banyak.

  3. Rata-Rata Hasil yang Tinggi Penggunaan hub memungkinkan rata-rata perolehan hasil yang tinggi berdasarkan pelebaran pasar yang mana itu merupakan kemampuan dari peserta pasar untuk mengontrol kecukupan fasilitas, untuk menghimpun harga keuntungan di atas, atau mengurangi pasokan di bawah. Sistem hub juga merupakan sebuah pilihan yang lebih baik dalam sistem penerbangan atau pada struktur jaringan yanng berkembang pada sebuah skala yang pasti.

  4. Alokasi Kapasitas yang Lebih baik Sistem hub menambah keuntungan dari alokasi kapasitas yang lebih baik dari permintaan acak. Seperti halnya dalam sistem penerbangan, sistem hub dari pengumpulan penumpang dari beberapa pasar ke dalam pesawat yang sama memungkinkan perusahaan untuk memambah alokasi sekali lagi kepada kondisi yang memungkinkan. Kefleksibelan ini memungkinkan jika permintaan pada suatu pasar menurun, dengan demikian membuat kapasitas berlebih, perusahaan dapat meningkatkan penjualan pada pasar lain. Lebih lagi, jika pada pasar yanng lain permintaan meningkat tajam dengan konsekuensi menimbulkan kendala kapasitas berkurang, terutama dalam musim-musim padat, hub memungkinkan alokasi yang lebih menguntungkan karena perusahaan dapat mengurangi pertama tempat dengan alokasi rendah dan memusatkan alokasi pada tempat dengan permintaan tinggi.

  5. Keuntungan Marketing Jaringan hub untuk penerbangan butuh usaha lebih sedikit dalam marketing karena penerbangan sudah dihubungkan dengan penerbangan dengan penerbangan kepada dan dari negara-negara yang sesuai namanya masing- masing seperti British Airways, Air France, Alitalia, Australian Airlines dan Japan Airlines. Hal ini membuat hanya sedikit usaha marketing untuk menginformasikan kepada penumpang potensial. Disamping peningkatan efisinesi produk, penerbangan dengan kehadiran yang besar pada bandara hub memperoleh keuntungan loyalty dari konsumen yang meningkat seperti frekuensi penerbang yang meningkat, penolakan komisi dari agen perjalanan. Keberadaan dari pasar, dikombinasikan dengan fakta bahwa nilai perjalanan jaringan H&S mengijinkan sebuah penerbangan H&S untuk melakukan kekuatan monopoly pada bandara yang menjadi hub.

2.6.2 Kerugian Hub

  Beberapa kerugian dari struktur ini adalah sebagai berikut:

  1. Terdapat biaya operasi tambahan Seperti halnya dalam sistem penerbangan langsung dan nonstop sulit menentukan rute yang ekononomis. Biaya tambanhan untuk pendaratan dan perawatan pada sebuah titik lanjutan diabaikan dan yang lebih penting lagi, itu tidak menambahkan waktu pesawat berada di daratan yang tidak produktif. Pada promosi produk, di mana musim orang yang melakukan perjalan lebih menyukai perjalanan langsung, tanpa berhenti jika mungkin, tanpa pergantian pesawat dan penerbangan pada satisiun lanjutan. Operasi H&S meningkatkan rute frekuensi, yang mana pada gilirinnya berdampak negatif pada biaya operasi penerbangan (konsumsi bahan bakar tambahan, waktu jelajah yang meningkat, biaya tetap yang bertambah yang berhubungan dengan operasi take-off dan landing pada pesawat, dan lain- lain).

  2. Terdapat Penambahan Waktu Perjalanan Dalam sistem hub tidak ditemukan jalur langsung kecuali barang yang akan dikirim itu ditujukan kepada wilayah yang pertama sekali disinggahi. Oleh karena itu hal ini akan berakibat adanya penambahan waktu perjalanan dalam proses pengirimannya sebagai akibat dari transit pada daerah hub.

  3. Kemacatan pada daerah yang menjadi Hub Hal ini paling sering terjadi apabila daerah yang menjadi hub nya merupakan sebuah bandara udara. Pada penerbangan ada batasan untuk perluasan kemacatan pada bandara hub hal ini dikarenakan keterbatasan tempat yang tersedia untuk pendaratan pesawat. Sehingga terjadi pengurangan kebebasan dalam penjadwalan, yang akan meningkatkan kelemahan yang mengakibatkan terjadinya penundaan dalam situasi-situasi tertentu.

  4. Dampak biaya untuk lingkungan hidup dari jaringan hub Telah dilakukan penelitian untuk menghitung keributan dan emisi di udara pada industy trasnportasi. Dampak dari jaringan H&S pada lingkungan telah menjadi perhatian untuk daerah-daerah yang menjadi hub terutama daerah di sekitar pelabuhan dan bandar udara yang menjadi hub. Hal ini disebabkan karena karakterisitk yang mengakibatkan jarak yang bertambah jauh apabila melalui jaringan hub serta frekuensi dari aktifitas di daerah hub yang tinggi yang membuat emisi dan polusi suara dia daerah tersebut semakin meninggi

2.7 Jenis Masalah Lokasi Hub

  Beberapa jenis dari masalah lokasi hub ialah: 1.

  Permasalahan p-hub median (pHMP): dengan karakteristik jumlah hub yang diberikan sudah ditentukan terlebih dahulu sebanyak p buah, tujuannya untuk mengalokasikan hub tersebut dan meminimalkan total biaya transportasi.

  2. Permasalahan lokasi hub (HLP): dengan karakteristik tujaunnya yaitu untuk meminimalkan total biaya. Biaya totalnya ialah biaya dari menetapkan fasilitas hub ( simpul atau sisi ) ditambah dengan biaya transportasi.

  3. Permasalahan p-hub center (pHCP): dengan karakteristik jumlah hub yang diberikan sudah ditentukan terlebih dahulu sebanyak p buah, tujuannya meminimalkan biaya total untuk setiap pasangan simpul asal-tujuan, pada setiap link tunggal atau untuk perpindahan antara sebuah hub dan simpul asal/tujuan.

  4. Permasalahan hub covering (HCP): dengan karakteristik tujuannya yaitu untuk meminimalkan biaya transportasi. Biaya transportasi tidak boleh melebihi suatu batas tertentu (pada pasangan simpul asal/tujuan, tiap link atau antara hub dan asal/tujuan).

  5. Permasalahan lokasi hub arc (HALP): dengan karakteristik diberikan jumlah dari arc (busur) sebanyak q, tujuannya yaitu untuk mengalokasikan hub arcs dan meminimalkan total biaya transportasi. Jaringan hub tidak perlu sebuah graph lengkap. Lebih lagi, tidak terlalu penting adanya potongan pada semua sisi hub. Lokasi dari simpul hub diidentifikasi dari lokasi hub arcs.

2.7.1 Alokasi Single vs. Multiple

  Sebuah masalah lokasi hub, secara umum, termasuk dua masalah secara bersamaan : menempatkan simpul hub dan mengalokasikan simpul pusat kepada hub.

  Sehubungan dengan rencana alokasi, masalah lokasi hub dikategorikan ke dalam dua kelas. Kelas yang pertama yaitu alokasi tunggal yakni sebuah hub tunggal harus menerima (dan mengirim) keseluruhan aliran transportasi dari simpul asal (atau tujuan) yang ditugaskan. Kelas yang kedua yaitu multi alokasi (multiple allocation) yakni aktifitas dari simpul pusat dapat diproses oleh lebih dari satu hub.

  (a) (b) Multi alokasi Alokasi tunggal Gambar 2.10 Skema penugasan dalam permasalahan lokasi hub.

2.7.2 Kapasitas (Capacitaced) Jenis lain dari kapasitas juga diperhatikan untuk menentukan variasi yang berbeda.

  Seperti contoh: a.

  Kapasitas dari jumlah aliran transportasi yang tiba pada simpul hub dari simpul-simpul nonhub, b.

  Kapasitas dalam semua lalu lintas trasnportasi, c. Kapasitas pada busur hub (hub arcs).

  Bagaimanapun, kapasitas dalam bentuk umum dipertimbangkan pada simpul hub atau pada sisi hub.

2.8 Formulasi Tata Nama Permasalahan Hub

  Untuk memudahkan penamaan variasi dari permasalah lokasi hub digunakan aturan sebagai berikut: setiap masalah dibuat ke dalam bentuk XYZ (dalam bahasa Inggris), dimana X mengindikasikan aturan kapasitas ( dengan batasan kapasitas (Capacitaced (C)) ,tanpa batasan kapasitas(Uncapacitaced (C)) ), Y untuk model alokasi ( alokasi tunggal (Single Allocation (SA)), alokasi majemuk (Multiple Allocation(MA)) dan Z untuk tipe masalah seperti: 1.

  Masalah p-hub median (p-Hub Median Problem (pHMP)).

  2. Masalah hub covering (Hub Covering Problem (HCP)).

  3. Masalah p-hub center (p-Hub Center Problem (pHCP)).

  Contohnya: permasalahan alokasi tunggal p-hub median tanpa batasan kapasitas dinotasikan dengan USApHMP (Uncapacitaced Single Allocation p-Hub

  Median Problem

  ), dan bagaimanapun penamaan tanpa batasan kapasitas, atau kedua skema penugasan juga diperbolahkan, kita dapat mengabaikan indikator dan menggunakan SApHMP atau UpHMP (pHMP)