Permasalahan P-Hub Median Dengan Lintasan Terpendek

PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN

LINTASAN TERPENDEK

SKRIPSI

RAJA DAVID PASARIBU

080803039

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN

LINTASAN TERPENDEK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

RAJA DAVID PASARIBU

080803039

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

PERSETUJUAN

Judul :PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN LINTASAN TERPENDEK

Kategori : SKRIPSI

Nama : RAJA DAVID PASARIBU Nomor Induk Mahasiswa : 080803039

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2012 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Prof. Dr. Herman Mawengkang Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. NIP 19461128 1974031 001 NIP 196209011988031002

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua.

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. NIP 196209011988031002

PERNYATAAN

PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN

LINTASAN TERPENDEK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2012

RAJA DAVID PASARIBU 080803039

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis hanturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa Atas rahmat dan karuniaNya sehingga dengan kemampuan yang terbatas penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir ini.

Tugas akhir ini dibuat dan diajukan sebagai salah satu syarat untuk menempuh ujian sarjana matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan kemampuan penulis, sehingga tugas akhir ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu, segala saran dan kritik dari pembaca tugas akhir ini sangat penulis harapkan demi kesempurnaan tugas akhir ini.

Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis telah banyak dibantu oleh berbagai pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada :

1. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D, selaku dosen pembimbing I dan Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku dosen pembimbing II, yang telah memberikan masukan dan pengarahan serta bimbingan kepada penulis selama penulisan tugas akhir ini.

2. Bapak Drs. Sawaluddin, M.IT dan Bapak Syahril Efendi, S.Si., M.IT selaku dosen penguji saya.

3. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D dan Ibu Dra. Mardiningsih M.Si selaku ketua dan sekretaris jurusan Matematika

4. Bapak Dekan serta seluruh staf pengajar jurusan Matematika.

5. Rekan-rekan mahasiswa jurusan Matematika khususnya angkatan ’08 yang telah memberi banyak masukan bagi penulis terkhusus untuk Hasoloan, Geta, Eve dan Melda.

6. Teman teman KTB ”Fuzzy” : Sardes, Indra, Charles, Lukas, Anri, Wilser dan Kak Tiur yang banyak memberi semangat dan dorongan bagi penulis selama pengerjaan tulisan ini.

7. Ayahanda M. PASARIBU, ibunda G.HUTAGALUNG, kakak saya RINA WATY PASARIBU, serta adik-adik saya RIFKA dan REYNOLD yang memberi segala bantuan, dorongan dan semangat kepada saya.

Kiranya Tuhan Yang Maha Kuasa melimpahkan rahmat dan kasihnya atas segala jerih payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua pihak dalam membantu penulisan selama ini.

Medan, Juli 2012 Penulis

ABSTRAK

Hub merupakan fasilitas yang bertugas melayani pengurutan (sorting), pemilihan (switching), pemindahan dari satu angkutan ke angkutan lainnya (transshipment) di dalam jaringan transportasi barang. Permasalahan p-hub median termasuk permasalahan lokasi-alokasi kasus diskrit dimana semua hub terhubung penuh. Di dalam tugas akhir ini akan diperkenalkan model formulasi biaya model Mixed Integrer Linear Programming (MILP) untuk persolan p-hub median alokasi tunggal tak berkapasitas (uncapacitaced single allocation p-hub median) disingkat USApHMP. Selanjutnya akan diperkenalkan algoritma lintasan terpendek Floyd-Warshall dalam menyelesaikan permasalahan p-hub median serta algoritma penentuan batas bawah untuk permasalahan p-hub median

Kata kunci: Hub, Simpul Spoke, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),

P-HUB MEDIAN PROBLEMS BASED ON SHORTEST PATH

ABSTRACT

Hub are facilities that serve as sorting, switching, and transhipment in a transportation network. P-hub median problem is a discrete case location allocation problem which all hub is fully connected. In this paper will be intoduced Mixed Integrer Linear Programming (MILP) formulation models of cost for p-hub median problem allocation for uncapacitaced single allocation p-hub median(USApHMP). In this paper also introduced Floyd-Warshall shortest path algorithm to solve p-hub median problems and lower bounds algorithm for p-hub median problems.

Keywords: Hub, Spoke Nodes, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

Daftar Gambar xi

Bab 1 Pendahuluan Bab 2 Landasan Teori 2.1 Beberapa Konsep Dasar Graf 8 2.1.1 Ketetanggaan 9 2.1.2 Graf Berbobot 10 2.1.3 Representasi Graf 10 2.1.4 Matriks Ketetanggaan (Adjacency Matriks) 10 2.1.5 Matriks Bersisian (Incidency Matriks) 11 2.1.6 Senarai ketetanggaan (Adjacency list) 12 2.2 Masalah Lintasan Terpendek (Shortest Path Problem) 12 1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 6

1.6 Kontribusi Penelitian 6

2.2.1 Pencarian Lintasan Terpendek 15 2.2.2 Penggolongan Algoritma Shortest Finding Secara Umum 15

2.3 Program Linear 15

2.4 Program Integrer 17

2.5 Masalah Lokasi Hub 21

2.6 Ciri-Ciri Jaringan Hub dan Spoke 24

2.6.1 Keuntungan Hub 24

2.6.2 Kerugian Hub 26

2.7 Jenis Masalah Lokasi Hub 28 2.7.1 Alokasi Single vs. Multiple 28

2.7.2 Kapasitas (Capacitaced) 29 2.8 Formulasi Tata Nama Permasalahan Hub 29

Bab 3 Pembahasan

3.1 Permasalahan p-Hub Median 31 3.2 Masalah Alokasi Tunggal p-Hub Median (Single Allocation

p-hub Median Problem/USApHMP)

32 3.3 Masalah alokasi jamak p-hub median (Multiple Allocation

p-hub Median Problem/UMApHMP)

34 3.4 Algoritma Lintasan Terpendek dalam p-Hub Median 36 3.5 Penerapan Lintasan Terpendek dalam Permasalahan p-Hub

Median

37

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 48

4.2 Saran 48

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Jarak Antar Kota (Dalam Km) 38 Tabel 3.2 Tabel penghitungan ∗ untuk simpul hub k = 4, dan l = 5, 7 39 Tabel 3.3 Tabel penghitungan ∗ untuk simpul hub k = 5, dan l = 4, 7 40 Tabel 3.4 Tabel penghitungan ∗ untuk simpul hub k = 7, dan l = 4, 5 41 Tabel 3.5 Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 1, dan simpul hub

k = 4, 5, 7

41 Tabel 3.6 Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 2, dan simpul hub

k = 4, 5, 7

42 Tabel 3.7 Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 3, dan simpul hub

k = 4, 5, 7

43 Tabel 3.8 Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 6, dan simpul hub

k = 4, 5, 7

43 Tabel 3.9 _{Tabel penghitungan} ∗ _{untuk nonhub i = 8, dan simpul hub}

k = 4, 5, 7

44 Tabel 3.10 Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 9, dan simpul hub

k = 4, 5, 7

44 Tabel 3.11 Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 10, dan simpul

hub k = 4, 5, 7

45 Tabel 3.12 Tabel Pasangan Lintasan Terpendek dari Pasangan Simpul

Asal ke Simpul Tujuan Tertentu

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Sistem Hub dan Spoke 1

Gambar 2.1 Graf Tak berarah 8

Gambar 2.2 Graf Berarah 9

Gambar 2.3 Graf Ketetanggaan 9

Gambar 2.4 Graf Berbobot 10

Gambar 2.5 Graf Ketetanggaan 11

Gambar 2.6 Graf Matriks Bersisian 11 Gambar 2.7 Graf Terbobot 7 Kota di Amerika 14 Gambar 2.8 Tipikal Masalah Jaringan Lokasi Hub 22 Gambar 2.9 Jaringan Transportasi Klasik 24 Gambar 2.10 Skema Penugasan dalam Permasalahan Lokasi Hub 29 Gambar 3.1 Gambar aliran biaya dari simpul i ke simpul tujuan j melalui

hub k dan l

35 Gambar 3.2 Jaringan p-hub median yang menghubungkan 10 kota 47

ABSTRAK

Hub merupakan fasilitas yang bertugas melayani pengurutan (sorting), pemilihan (switching), pemindahan dari satu angkutan ke angkutan lainnya (transshipment) di dalam jaringan transportasi barang. Permasalahan p-hub median termasuk permasalahan lokasi-alokasi kasus diskrit dimana semua hub terhubung penuh. Di dalam tugas akhir ini akan diperkenalkan model formulasi biaya model Mixed Integrer Linear Programming (MILP) untuk persolan p-hub median alokasi tunggal tak berkapasitas (uncapacitaced single allocation p-hub median) disingkat USApHMP. Selanjutnya akan diperkenalkan algoritma lintasan terpendek Floyd-Warshall dalam menyelesaikan permasalahan p-hub median serta algoritma penentuan batas bawah untuk permasalahan p-hub median

Kata kunci: Hub, Simpul Spoke, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),

P-HUB MEDIAN PROBLEMS BASED ON SHORTEST PATH

ABSTRACT

Hub are facilities that serve as sorting, switching, and transhipment in a transportation network. P-hub median problem is a discrete case location allocation problem which all hub is fully connected. In this paper will be intoduced Mixed Integrer Linear Programming (MILP) formulation models of cost for p-hub median problem allocation for uncapacitaced single allocation p-hub median(USApHMP). In this paper also introduced Floyd-Warshall shortest path algorithm to solve p-hub median problems and lower bounds algorithm for p-hub median problems.

Keywords: Hub, Spoke Nodes, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),

LANDASAN TEORI

2.1Beberapa Konsep Dasar Graf

Menurut Rinaldi Munir (2007), “Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V,E), dimana V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges

atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul.

Sisi graf dapat mempunyai orientasi pada arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis sebagai berikut:

1. Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf tak-berarah ialah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u,v) = (v,u).

Gambar 2.1 Graf Tak berarah

2. Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf berarah ialah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah, (u,v), dan (v,u) menyatakan dua buah unsur yang berbeda, dengan kata

1

2

3 4

2 5

4

3 1

lain , ≠ , . Untuk busur (u,v), simpul u dinamakan simpul asal

(initial vertex) dan simpul v dinamakan simpul terminal (terminal vertex).

Gambar 2.2 Graf berarah

2.1.1 Ketetanggaan

Dua buah vertex pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u,v) adalah sebuah sisi pada graf G.

Gambar 2.3 Graf Ketetanggaan

Pada gambar 2.3, simpul 1 bertetanggaan dengan simpul 2 dan 3, tetapi simpul 1 tidak bertetanggaan dengan simpul 4.

2.1.2 Graf Berbobot

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberikan sebuah harga (bobot). Bobot pada setiap sisi dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan, waktu tempuh, ongkos produksi, dan sebagainya.

Gambar 2.4 Graf Berbobot

2.1.3 Representasi Graf

Menurut Rinaldi Munir (2007), “Agar graf dapat diproses dalam program komputer, graf harus direpresentasikan ke dalam memori. Terdapat beberapa representasi untuk graf, antara lain matriks ketetanggaan, matriks bersisian dan senarai ketetanggaan”.

2.1.4 Matriks Ketetanggaan (Adjacency Matrix)

Misalkan G = (V, E) graf sederhana dimana |V| = n, n > 1. Maka, matriks ketetanggaan A dari G adalah matriks n x n dimana A = , maka menjadi 1 bila simpul i dan j bertetangga dan menjadi 0 bila simpul i dan j tidak bertetangga

Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah kita dapat mengakses elemen matriksnya langsung dari indeks. Selain itu, kita juga dapat menentukan dengan langsung apakah simpul i dan simpul j bertetangga.

Pada graf berbobot, menyatakan bobot tiap sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j. Bila tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j atau dari simpul j ke simpul i, maka, diberi nilai tak berhingga.

Gambar 2.5 Graf ketetanggaan

Bentuk matriks ketetanggaan dari gambar 2.5 adalah:

1 2 3 4 1 0 0 1 0

2 0 0 1 1

3 1 1 0 1

4 0 1 1 0

2.1.5 Matriks Bersisian (Incidency Matrix)

Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m sisi, maka matriks kebersisian A dari G adalah matriks berukuran m x n dimana A = , maka menjadi 1 bila simpul i dan sisi j bersisian menjadi 0 bila simpul i dan sisi j tidak bersisian.

Bentuk matriks bersisian dari graf pada gambar 2.6 adalah:

1 2 3 4

1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 1 0

2.1.6 Senarai Ketetanggaan (Adjacency List)

Matriks ketetanggaan memiliki kelemahan apabila graf memiliki jumlah sisi yang relative sedikit sehingga graf sebagian besar berisi bilangan 0. Hal ini merupakan pemborosan terhadap memori, karena banyak menyimpan bilangan 0 yang seharusnya tidak perlu disimpan. Untuk kepentingan efisiensi ruang, maka tiap baris matriks tersebut digantikan senarai yang hanya berisikan vertex-vertex dalam adjacency set Vx

dari setiap vertex x.

Bentuk senarai ketetanggan berdasarkan graf pada gambar 2.6 adalah 1: 3

2: 3,4 3: 1,2,4 4: 2,3

2.2 Masalah Lintasan Terpendek ( Shortest Path Problem)

Menurut Rinaldi Munir dalam bukunya matematika diskrit, persoalan mencari lintasan terpendek di dalam graf merupakan salah satu persoalan optimasi. Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf yang semua sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot dalam suatu graf dapat menyatakan nilai antar kota, waktu pengiriman pesan, ongkos pembangunan dan sebagainya. Asumsi yang digunakan ialah semua bobot bernilai positif. Kata ” terpendek” jangan selalu diartikan secara fisik sebagai panjang

minimum, sebab kata “terpendek” berbeda-beda maknanya bergantung pada tipikal persoalan yang akan diselesaikan. Namun, secara umum “terpendek” berarti minimisasi bobot pada suatu lintasan di dalam graf.

Contoh-contoh terapan lintasan terpendek misalnya:

1. Misalkan simpul pada graf dapat merupakan kota, sedangkan sisi menyatakan jalan yang menghubungkan dua buah kota. Bobot sisi graf dapat menyatakan jarak antara dua buah kota atau rata-rata waktu tempuh antara dua buah kota. Apabila terdapat lebih dari satu lintasan dari kota A ke kota B, maka persoalan lintasan terpendek di sini adalah menentukan jarak terpendek atau waktu tersingkat dari kota A ke kota B.

2. Misalkan simpul pada graf dapat merupakan terminal komputer atau simpul komunikasi dalam suatu jaringan, sedangkan sisi menyatakan saluran komunikasi yang menghubungkan dua buah terminal. Bobot pada graf dapat menyatakan biaya pemakaian saluran komunikasi antara dua terminal, atau waktu pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal. Peroalan lintasan terpendek di sini adalah menentukan jalur komunikasi terpendek antara dua buah terminal komputer. Lintasan terpendek akan menghemat waktu pengiriman dan biaya komunikasi.

Banyak persoalan yang dapat dimodelkan dengan graf terbobot (weighted graph). Sebagai contoh sistem transportasi udara dapat dimodelkan dengan graf terbobot, dimana setiap kota yang dilalui sebagai vertex dan jalur penerbangan sebagai edge dalam graf dan beaya penerbangan sebagai bobot. Untuk jalur penghubung 7 kota misalnya biaya penerbangan seperti terlihat dalam gambar 2.7.

Gambar 2.7. Graf terbobot 7 kota di Amerika

Graf terbobot seperti dalam gambar 2.7. dapat mewakili banyak persoalan, misalnya selain biaya penerbangan dapat diartikan biaya komunikasi untuk suatu jaringan komputer , waktu respon oleh komunikasi komputer antar kota atau jarak (km) antar dua komputer point-to point dan lain sebagainya.

Berbagai persoalan muncul dengan model graf terbobot. Jika antara dua titik ada beberapa jalur yang mungkin manakah jalur yang paling murah? Jika suatu path yang menghubungkan antara dua titik dalam graf dapat diwakili sebagai jumlah bobot dalam setiap dua titik yang dilalui maka mencari jalur terpendek dalam suatu path dapat diartikan mencari jalur sedemikian sehingga jumlah bobot yang dilalui adalah minimal. Persoalan seperti memegang peran penting dalam penentuan route paketdata dalam suatu jaringan komputer.

Pencarian rute atau path terpendek antara node-node yang ada pada graph.

Cost yang dihasilkan adalah yang paling minimum (Horowitz et al, 1998, p241). Berdasarkan pengertian pada digraph dan weighted graph di atas, maka cost dari

shortest path dapat dihitung berdasarkan total nilai minimum yang ada pada edgenya.

Pencarian shortest path bukan berarti langsung menemukan jarak dari node

awal ke node tujuan tetapi ada kalanya usaha itu harus dilakukan dengan melewati

node-node tertentu sehingga tujuan akhir node dapat tercapai.

Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek, antara lain: 1. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.

2. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.

3. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke simpul yang lain.

4. Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu.

2.2.1 Pencarian Jalur Terpendek

Tujuan dari shortest pathfinding adalah untuk menemukan lintasan terpendek dan termurah yang mungkin dari vertex awal ke vertex akhir. Jika edge tidak memilki nilai, maka shortest path adalah path dengan jumlah edge yang paling sedikit. Jika

edge memiliki nilai, maka shortest path adalah path dengan nilai akumulasi minimum dari semua edge pada path.

2.2.2 Penggolongan Algoritma Shortest Finding secara umum

A. Algoritma Uninformed Search.

Algoritma Uninformed Search adalah algoritma yang tidak memiliki keterangan tentang jarak atau biaya dari path dan tidak memiliki pertimbangan akan path mana yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma Breadth-First Search.

B. Algoritma Informed Search.

Algoritma Informed Search adalah algoritma yang memiliki keterangan tentang jarak atau biaya dari path dan memiliki pertimbangan berdasarkan pengetahuan akan path

mana yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma Ford.

2.3 Program Linier

Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, dengan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala

(contoh: hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain-lain), menggunakan model matematika linier.

Contoh lainnya ada pada polytope (contoh : polygon dan polyhedral) dan nilai riil fungsi affine

( 1, 2,…, ) = 1 1+ 2 2+ 3 3+

didefinisikan pada polytope, tujuannya adalah menemukan simpul pada polytope dimana fungsinya mempunyai nilai terkecil atau terbesar. Simpul mungkin tidak ada, tapi jika dicari sepanjang vertex polytope maka digaransi menemukan paling sedikit satu darinya.

Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik :

max imize � subject to Ax b

where x 0

x direpresentasikan vektor variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A

adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut fungsi objektif (cTx). Persamaan Ax b adalah fungsi kendala yang khususnya polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.

Program linier dapat diaplikasikan untuk bermacam-macam field. Lebih diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi dapat juga dimanfaatkan untuk beberapa masalah teknik. Beberapa industri menggunakan model program linier dalam transportasi, energi, telekomunikasi dan manufaktur. Dan dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jadwal, tugas dan desain.

2.4 Program Integer

Jika variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut program integer atau program linier integer. Perbedaan dengan program linier adalah dapat diselesaikan lebih efesien pada kasus yang buruk. Problema program integer banyak terjadi pada situasi praktis (dengan variabel terbatas) NP hard . 0 − 1 program integer adalah kasus yang khusus dari program integer dimana variabel diharuskan 0 atau 1. Masalah ini juga diklasifikasikan sebagai masalah yang sulit non polynomial.

Program Integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalamkenyataaannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variabel keputusan harus berupa bilangan bulat (integer) dan sebagian lainnya boleh berupa bilangan pecahan. Persoalan program integer dimana hanya sebagian dari variabel keputusannya yang harus integer disebut sebagai persoalan Mixed Integer Programming.

Tetapi jika seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan program linier harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai persoalan Pure Integer Programming. Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari program linier hilang sama sekali.

Contoh

Maksimumkan = 8 1+ 5 2 Kendala : ₁+ ₂ 6

9 ₁+ 5 ₂ 45

1, 2 0, 2 integrer

Tampaknya cukup untuk mendapatkan solusi integer dari masalah program linier dengan menggunakan metode simpleks biasa dan kemudian membulatkan nilai pecahan solusi optimum. Hal ini bukan tugas mudah untuk membulatkan nilai-nilai pecahan variabel basis yang menjamin tetap memenuhi semua kendala dan tidak menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Karena itu perlu prosedur yang

sistematis untuk mendapatkan solusi bulat optimum terhadap masalah itu. Ada bebebrapa pendekatan solusi terhadap masalah program integer yaitu salah satu diantaranya adalah pendekatan dengan cutting plane.

Dalam program linier, metode simpleks didasari oleh pengenalan bahwa pemecahan optimum terjadi di simpul ekstrim dari ruang solusi. Hasil yang penting ini pada intinya mengurangi usaha pencarian pemecahan optimum dari sejumlah pemecahan yang tidak terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya Program Linier Integer memulai dengan sejumlah simpul pemecahan yang terbatas. Tetapi sifat variabel yang berbentuk bilangan bulat mempersulit perancangan sebuah algorimta yang efektif untuk mencari secara langsung di antara simpul integer yang layak dari ruang penyelesaian. Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier yang dilonggarkan untuk bergerak kearah pemecahan integer yang diinginkan yaitu metode Bidang Pemotong (Gomory Cutting Plane) dan metode Branch and Bound.

Algoritma lanjutan untuk menyelesaikan program linier integer adalah :

a. Metode Cutting Plane

b. Metode Branch and Bound

c. Metode Branch and Cut

d. Metode Branch and Price

Pendekatan Branch And Bound

Branch and Bound untuk memecahkan pemrograman liniar bilangan bulat (PLBB) telah dikembangkan melalui Land et al (1960). Metode, yang secara langsung dihubungkan dengan simpleks metode untuk pemrograman linier (PL), kemudian

dimodifikasi oleh Dakin (1965) dan telah dengan sukses menerapkan di dalam kitab undang-undang hukum dagang banyak orang untuk memecahkan permasalahan PLBB.

Prinsip metode itu sendiri sungguh sederhana, tetapi meskipun demikian alat yang sangat bermanfaat untuk memecahkan permasalahan terpisah. Ketika dipertimbangkan dalam konteks lebih luas, secara teoritis, Branch and Bound mungkin digunakan untuk memecahkan masalah optimisasi manapun. Efisiensi algoritma jenis ini sebagian besar tergantung pada detil itu, terutama pada kalkulasi Bound bagian atas dan yang lebih rendah, pada separasi menetapkan dan, akhirnya, pada aturan pilihan yang berbeda menggunakan untuk menentukan solusi yang berikutnya mulai dipertimbangkan dan variabel yang berikutnya ke Branch terpasang. Gagasan yang umum digunakan untuk metode untuk PLBB dapat diuraikan sebagai berikut.

Pertimbangkan suatu masalah PLBB.

Max = � (2.1) berlaku hanya jika :

Ax = b (2.2)

(2.3)

integer, ∈ ′⊂

Dimana A adalah matrik × , � adalah transpos dari c dan c adalah vektor × ,

dan J = (1, 2, . . . ,n). Proses dari metode awal dengan menyelesaikan (2.1) - (2.3) program linier secara kontinu, abaikan syarat-syarat integral. Andaikan solusi ,

∈ ′, tidak semua integer.

= + , 0 1 (2.4)

dimana [xj] adalah komponen integer dari [xj ], solusi kontinu untuk program linier, dan fj adalah komponen bagian yang kecil.

Gagasan untuk menghasilkan dua subproblem masing-masing dengan penambahan pembuktian

(2.5) dan

+1 (2.6)

Karena variabel tertentu ∈ . Proses menyelesaikan masalah disebut Branching. Masing-Masing ini subproblema dipecahkan lagi sebagai PL kontinu. Proses dari Branching dan pemecahan suatu sequance dari permasalahan kontinu untuk variabel yang berbeda ∈ ′ dan bilangan bulat yang berbeda . Secepatnya, disediakan daftar alternatif subproblema untuk diselidiki, dengan PL yang kontinu yang pertama dimasukkan.

Struktur metode yang logis sering diwakili sebagai pohon. Masing-Masing tangkai pohon menghadirkan suatu subproblem. Ketika subproblema manapun, atau tangkai pohon, diselidiki subproblema manapun yang dihasilkan dihubungkan kepada tangkai pohon dengan Branch.

Jika salah satu dari tiga ukuran-ukuran di bawah ini dicukupi, Branch dari tiap tangkai pohon akan berakhir.

1. Subproblema tidak mempunyai solusi fisibel

2. Solusi subproblema tidak ada lebih baik daripada integer-fisibel solusi terbaik yang dikenal sekarang.

3. Solusi adalah integer-fisibel, i.e., , ∈ ′ mempunyai nilai-nilai bilangan bulat (menyediakan suatu integer-fisibel, solusi ada). Itu adalah jelas, bahwa efektivitas dari prosedur seperti itu adalah sangat dependen.

4. Variabel yang mana harus bercabang, dan

2.5 Masalah Lokasi Hub

Shahih Geraleh dalam tulisannya menjelaskan secara umum permasalahan hub lokasi dinyatakan sebagi berikut: Misalkan G adalah sebuah graph lengkap G = ( V, E ) dimana V = ₁, 2,…, merupakan himpunan dari semua simpul. Elemen dari V diasumsikan menggambarkan simpul asal dan tujuan pada saat yang bersamaan dan merupakan simpul yang berpotensi untuk dijadikan menjadi hub. Aliran antara simpul i dan j disimbolkan dengan dan jarak dari i ke j disimbolkan dengan , dimana jarak memenuhi ketidaksamaan segitiga. Tujuannya ialah untuk mendesain beberapa dari simpul sebagai hub dan meminimalkan biaya aliran total di dalam jaringan transportasi. Setiap lintasan asal-tujuan terdiri dari tiga komponen yaitu: pengumpulan dari simpul asal kepada hub pertama, transfer antara hub pertama dan hub terahir dan distribusi dari hub terahir ke simpul tujuan. Lintasan yang hanya memiliki satu simpul hub juga diijinkan. Parameter , , merupakan diskon faktor yang berhubungan kepada tiap-tiap bagian dari parameter di atas secara berurutan.

Konsep Dasar Jaringan Hub

Hub didefinisikan sebagai titik pengumpulan yang melayani penggabungan dan pengiriman barang selanjutnya kepada simpul tujuan dari pengiriman suatu barang dalam suatu jaringan transportasi.. Pemusatan atau penggabungan dari aliran dapat mengurangi biaya perpindahan melalui skala ekonomi. Hub biasanya ditemukan dalam jaringan penerbangan, sistem pengiriman surat, dan pada telekomunikasi.

Di dalam jaringan hub terdapat beberapa komponen utama yaitu: 1. Simpul hub,

2. Simpul non hub (sering disebut juga simpul spoke), 3. Sisi hub, dan

4. Sisi non hub (sering disebut spoke arcs).

Di dalam suatu jaringan yang terdiri dari sejumlah simpul kemudian sebagian dari yang ada simpul dipilih untuk bertindak menjadi simpul hub. Simpul nonhub

lainnya disebut sebagai spoke node. Akibatnya, sebuah jaringan hub dibentuk dengan menghubungkan pasangan hub dengan sebuah sisi hub (hub edge). Secepatnya, setiap simpul spoke akan dialokasikan kepada simpul hub dengan link spoke node.

Sebuah hub secara bersamaan dapat memiliki tiga fungsi yang berbeda yang disebut:

i.) Penggabungan (consolidation/concentration) dari aliran yang diterima, dengan tujuan agar memiliki aliran yang lebih lebar dan dapat memanfaatkan skala ekonomi.

ii.) Pemilihan (switching/ transfer) yang mengijinkan aliran dialihkan pada simpul tersebut.

iii.)Distribusi (distribution/decomposition) dari aliran yang luas ke bentuk yang lebih kecil.

Sebuah hub menerima aliran dari banyak simpul asal dan kemudian menggabungkan (consolidates/accumulates) aliran tersebut. Penggabungan ini membagi aliran ke dalam beberapa kelompok dari akumulasi aliran berdasarkan tujuan ahir masing-masing. Tiap aliran kelompok mengandung banyak simpul simpul tujuan yang akan dikirimkan melalui sisi hub (hub edge). Hal ini terjadi di dalam setiap hub pada jaringan transportasi ini. Setiap bagian aliran pada simpul hub terahir yang dikunjungi dalam lintasan di dalam jaringan tingkatan hub digabungkan ke bagian yang berasal dari simpul hub yang berbeda dalam cara yang sama. Aliran pemusatan ini kemudian akan dipisahkan kembali menuju permintaan dari hub sekarang dan juga simpul Spoke yang ditugaskan kepadanya.

Typical jaringan HLP digambarkan seperti gambar 2.8 . Bagian persegi panjang menggambarkan simpul hub dan lingkaran yang dicetak tebal menggambarkan simpul spoke. Simpul hub bersama dengan sisi yang menghubungkannya disebut dengan hub-level, jaringan spoke- level. Dalam beberapa lintasan asal-tujuan ada sekurang-kurangnya satu elemen hub (simpul hub atau sisi). Daripada menghubungkan langsung pasangan lokasi, semua lintasan ditangani oleh jaringan hub-level.

Sebagai contoh dari aplikasi dari jaringan hub-spoke dalam telekomunikasiadalah sebagai berikut: permohonan panggilan dikirim dari i (simpul

spoke) kepada pusat panggilan lokal yang berhubungan k untuk membuat hubungan ke j; pusat panggilan (simpul hub) menerima banyak permintaan panggilan per detik, memeriksa apakah itu diizinkan untuk permintaan penuh (sebagai contoh tujuan di desain untuk itu) atau itu telah ditangani oleh pusat panggilan yang lain; jika ya, itu membangun koneksi ini bersama dengan panggilan lain yang ditujukan ke j, yang lain mengirim permintaan ini bersama dengan semua yang lain yang seharusnya ditangani

l kepadanya; l membangun sebuah koneksi ke j.

Pada jaringan ini, beberapa dari simpul dipilih untuk bertindak sebagai suatu simpul yang disebut simpul hub. Simpul nonhub lain dikenal sebagai simpul spoke. Sebagai akibatnya, sebuah jaringan hub-level dibentuk dengan menghubungkan pasangan dari simpul hub oleh sebuah sisi hub. Selanjutnya, setiap simpul simpul nonhub akan dialokasikan kepada simpul-simpul hub dan dengan link sisi spoke. Jaringan yang dibangun dari simpul-simpul spoke dan sisi spoke pada daerah yang lain disebut spoke-level.

Gambar 2.8 menggantikan aliran pengiriman arus perpindahan barang pada topologi dari struktur awal pada gambar 2.9. Segiempat digunakan menggambarkan simpul hub dan lingkaran yang bersimpul tebal untuk simpul jari-jari asal/tujuan. Ketika dibandingkan dengan jaringan transportasi klasik dengan jumlah simpul yang sama (seperti gambar 2.9), jumlah koneksinya lebih sedikit. Di dalam kasus terahir, sangat kecil dan terkadang mengabaikan jumlah dari aliran mungkin terjadi di dalam beberapa link, di mana sedikitnya ini terjadi seperti pada jaringan di gambar 2.8.

Gambar 2.9: Jaringan Transportasi Klasik.

2.6 Ciri-Ciri Jaringan Hub dan Spoke

2.6.1 Keuntungan Hub

1. Keuntungan ekonomi dari kepadatan lalu lintas

Skala ekonomi (yang mana dalam pengiriman barang digunakan untuk kepadatan lalu lintas) terjadi ketika rata-rata biaya produksi per unit berkurang sebgaia penumpukan dari peningkatan lalu lintas antara beberapa titik yang akan dilayani yang diberikan. Pernyataan yang umum yakni itu adalah sebuah jaringan H&S, melalui peningkatan kepadatan lalu lintas pada link dalam hub, mengijinkan penggunaan yang lebih lagi dari kegiatan penerbangan, penerbangan yang lebih efisien dan melebarkan biaya diantara para pnumpang sehingga mengekploitasi skala ekonomi. Disamping dari fakta-fakta empiris dari perbaikan pengembalian dari kepadatan lalu lintas, studi empiris yang lain menekankan keuntungan dari penerapan sistem hub.

Lebih jauh lagi, dalam jaringan penerbangan diperkenalkan biaya simpan pada rute tak langsung, yang memungkinkan keuntungan yang maksimal yang mana berada di bawah rute langsung, sehingga biaya yang

terendah mungkin mengganti untuk waktu biaya perjalanan yang tidak berguna dan ketidaknyamanan dalam pertukaran pesawat.

Biaya umumnya, yang mana didefinisikan sebagai keseluruhan biaya yang menimbulkan perjalanan, termasuk semua biaya waktu, juga kan menjelaskan jumlah dari biaya non-transportasi yang dipengaruhi oleh kualitas dari penyedia transportasi. Sebagai contoh, frekunsi yang lebih dari layanan udara dari sebuah bandara udara mengurangi kemungkinan bahwa pejalan akan menanggung beban biaya lebih dan juga biaya penginapan pada rute dengan frekuensi layanan servis yang rendah. Frekuensi layanan yang tinggi juga berarti membuang waktu menunggu lebih sedikit.

2. kualitas layanan

Seperti contohnya dalam penerbangan sistem hub menawarkan frekuensi penerbangan yang lebih tinggi dan juga kualitas layanan yang lebih baik dan nilai peayanan, kualitas penting digunakan untuk mengukur memperpanjang kepuasan pelanggan dan kecenderungan utnutk menggunakan produk dan pelayanan. Keberadaan dari skala ekonomi menawarkan pelanggan sekumpulan layanan yang banyak.

3. Rata-Rata Hasil yang Tinggi

Penggunaan hub memungkinkan rata-rata perolehan hasil yang tinggi berdasarkan pelebaran pasar yang mana itu merupakan kemampuan dari peserta pasar untuk mengontrol kecukupan fasilitas, untuk menghimpun harga keuntungan di atas, atau mengurangi pasokan di bawah. Sistem hub juga merupakan sebuah pilihan yang lebih baik dalam sistem penerbangan atau pada struktur jaringan yanng berkembang pada sebuah skala yang pasti.

4. Alokasi Kapasitas yang Lebih baik

Sistem hub menambah keuntungan dari alokasi kapasitas yang lebih baik dari permintaan acak. Seperti halnya dalam sistem penerbangan, sistem hub dari pengumpulan penumpang dari beberapa pasar ke dalam pesawat yang sama memungkinkan perusahaan untuk memambah alokasi sekali lagi kepada kondisi yang memungkinkan. Kefleksibelan ini memungkinkan jika

permintaan pada suatu pasar menurun, dengan demikian membuat kapasitas berlebih, perusahaan dapat meningkatkan penjualan pada pasar lain. Lebih lagi, jika pada pasar yanng lain permintaan meningkat tajam dengan konsekuensi menimbulkan kendala kapasitas berkurang, terutama dalam musim-musim padat, hub memungkinkan alokasi yang lebih menguntungkan karena perusahaan dapat mengurangi pertama tempat dengan alokasi rendah dan memusatkan alokasi pada tempat dengan permintaan tinggi.

5. Keuntungan Marketing

Jaringan hub untuk penerbangan butuh usaha lebih sedikit dalam marketing karena penerbangan sudah dihubungkan dengan penerbangan dengan penerbangan kepada dan dari negara-negara yang sesuai namanya masing-masing seperti British Airways, Air France, Alitalia, Australian Airlines dan Japan Airlines. Hal ini membuat hanya sedikit usaha marketing untuk menginformasikan kepada penumpang potensial. Disamping peningkatan efisinesi produk, penerbangan dengan kehadiran yang besar pada bandara hub memperoleh keuntungan loyalty dari konsumen yang meningkat seperti frekuensi penerbang yang meningkat, penolakan komisi dari agen perjalanan. Keberadaan dari pasar, dikombinasikan dengan fakta bahwa nilai perjalanan jaringan H&S mengijinkan sebuah penerbangan H&S untuk melakukan kekuatan monopoly pada bandara yang menjadi hub.

2.6.2 Kerugian Hub

Beberapa kerugian dari struktur ini adalah sebagai berikut: 1. Terdapat biaya operasi tambahan

Seperti halnya dalam sistem penerbangan langsung dan nonstop sulit menentukan rute yang ekononomis. Biaya tambanhan untuk pendaratan dan perawatan pada sebuah titik lanjutan diabaikan dan yang lebih penting lagi, itu tidak menambahkan waktu pesawat berada di daratan yang tidak produktif. Pada promosi produk, di mana musim orang yang melakukan perjalan lebih menyukai perjalanan langsung, tanpa berhenti jika mungkin, tanpa pergantian pesawat dan penerbangan pada satisiun lanjutan. Operasi H&S meningkatkan rute frekuensi, yang mana pada gilirinnya berdampak

negatif pada biaya operasi penerbangan (konsumsi bahan bakar tambahan, waktu jelajah yang meningkat, biaya tetap yang bertambah yang berhubungan dengan operasi take-off dan landing pada pesawat, dan lain-lain).

2. Terdapat Penambahan Waktu Perjalanan

Dalam sistem hub tidak ditemukan jalur langsung kecuali barang yang akan dikirim itu ditujukan kepada wilayah yang pertama sekali disinggahi. Oleh karena itu hal ini akan berakibat adanya penambahan waktu perjalanan dalam proses pengirimannya sebagai akibat dari transit pada daerah hub.

3. Kemacatan pada daerah yang menjadi Hub

Hal ini paling sering terjadi apabila daerah yang menjadi hub nya merupakan sebuah bandara udara. Pada penerbangan ada batasan untuk perluasan kemacatan pada bandara hub hal ini dikarenakan keterbatasan tempat yang tersedia untuk pendaratan pesawat. Sehingga terjadi pengurangan kebebasan dalam penjadwalan, yang akan meningkatkan kelemahan yang mengakibatkan terjadinya penundaan dalam situasi-situasi tertentu.

4. Dampak biaya untuk lingkungan hidup dari jaringan hub

Telah dilakukan penelitian untuk menghitung keributan dan emisi di udara pada industy trasnportasi. Dampak dari jaringan H&S pada lingkungan telah menjadi perhatian untuk daerah-daerah yang menjadi hub terutama daerah di sekitar pelabuhan dan bandar udara yang menjadi hub. Hal ini disebabkan karena karakterisitk yang mengakibatkan jarak yang bertambah jauh apabila melalui jaringan hub serta frekuensi dari aktifitas di daerah hub yang tinggi yang membuat emisi dan polusi suara dia daerah tersebut semakin meninggi

2.7Jenis Masalah Lokasi Hub

Beberapa jenis dari masalah lokasi hub ialah:

1. Permasalahan p-hub median (pHMP): dengan karakteristik jumlah hub yang diberikan sudah ditentukan terlebih dahulu sebanyak p buah, tujuannya untuk mengalokasikan hub tersebut dan meminimalkan total biaya transportasi.

2. Permasalahan lokasi hub (HLP): dengan karakteristik tujaunnya yaitu untuk meminimalkan total biaya. Biaya totalnya ialah biaya dari menetapkan fasilitas hub ( simpul atau sisi ) ditambah dengan biaya transportasi.

3. Permasalahan p-hub center (pHCP): dengan karakteristik jumlah hub yang diberikan sudah ditentukan terlebih dahulu sebanyak p buah, tujuannya meminimalkan biaya total untuk setiap pasangan simpul asal-tujuan, pada setiap link tunggal atau untuk perpindahan antara sebuah hub dan simpul asal/tujuan.

4. Permasalahan hub covering (HCP): dengan karakteristik tujuannya yaitu untuk meminimalkan biaya transportasi. Biaya transportasi tidak boleh melebihi suatu batas tertentu (pada pasangan simpul asal/tujuan, tiap link atau antara hub dan asal/tujuan).

5. Permasalahan lokasi hub arc (HALP): dengan karakteristik diberikan jumlah dari arc (busur) sebanyak q, tujuannya yaitu untuk mengalokasikan hub arcs dan meminimalkan total biaya transportasi. Jaringan hub tidak perlu sebuah graph lengkap. Lebih lagi, tidak terlalu penting adanya potongan pada semua sisi hub. Lokasi dari simpul hub diidentifikasi dari lokasi hub arcs.

2.7.1 Alokasi Single vs. Multiple

Sebuah masalah lokasi hub, secara umum, termasuk dua masalah secara bersamaan : menempatkan simpul hub dan mengalokasikan simpul pusat kepada hub.

Sehubungan dengan rencana alokasi, masalah lokasi hub dikategorikan ke dalam dua kelas. Kelas yang pertama yaitu alokasi tunggal yakni sebuah hub tunggal harus menerima (dan mengirim) keseluruhan aliran transportasi dari simpul asal (atau tujuan) yang ditugaskan. Kelas yang kedua yaitu multi alokasi (multiple allocation) yakni aktifitas dari simpul pusat dapat diproses oleh lebih dari satu hub.

(a) Alokasi tunggal (b) Multi alokasi

Gambar 2.10 Skema penugasan dalam permasalahan lokasi hub.

2.7.2 Kapasitas (Capacitaced)

Jenis lain dari kapasitas juga diperhatikan untuk menentukan variasi yang berbeda. Seperti contoh:

a. Kapasitas dari jumlah aliran transportasi yang tiba pada simpul hub dari simpul-simpul nonhub,

b. Kapasitas dalam semua lalu lintas trasnportasi, c. Kapasitas pada busur hub (hub arcs).

Bagaimanapun, kapasitas dalam bentuk umum dipertimbangkan pada simpul hub atau pada sisi hub.

2.8 Formulasi Tata Nama Permasalahan Hub

Untuk memudahkan penamaan variasi dari permasalah lokasi hub digunakan aturan sebagai berikut: setiap masalah dibuat ke dalam bentuk XYZ (dalam bahasa Inggris),

dimana X mengindikasikan aturan kapasitas ( dengan batasan kapasitas (Capacitaced

(C)) ,tanpa batasan kapasitas(Uncapacitaced (C)) ), Y untuk model alokasi ( alokasi tunggal (Single Allocation (SA)), alokasi majemuk (Multiple Allocation(MA)) dan Z untuk tipe masalah seperti:

1. Masalah p-hub median (p-Hub Median Problem (pHMP)). 2. Masalah hub covering (Hub Covering Problem (HCP)). 3. Masalah p-hub center (p-Hub Center Problem (pHCP)).

Contohnya: permasalahan alokasi tunggal p-hub median tanpa batasan kapasitas dinotasikan dengan USApHMP (Uncapacitaced Single Allocation p-Hub

Median Problem), dan bagaimanapun penamaan tanpa batasan kapasitas, atau kedua skema penugasan juga diperbolahkan, kita dapat mengabaikan indikator dan menggunakan SApHMP atau UpHMP (pHMP)

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Selama dua dekade terakhir, masalah alokasi hub menjadi sangat populer dengan berbagai aplikasi yang sangat sukses di berbagai bidang di darat, transportasi udara, jaringan telekomunikasi dan sistem logistik. Masalah alokasi hub biasanya meningkat pada situasi di mana surat, kargo, penumpang pesawat terbang, paket telekomunikasi, ataupun barang harus dikirimkan dari simpul asal ke simpul tujuannya, tetapi itu merupakan hal yang sangat mahal atau tidak praktis untuk menerapkan transport link kepada setiap pasangan simpul asal dan tujuan.

Dalam permasalahan ini, jaringan transportasi dimodifikasi sehingga p lokasi (simpul/nodes) dipilih menjadi hub. Hub tersebut saling terhubung penuh satu sama lain dengan link jaringan. Sistem hub ini membuat kumpulan aliran dalam proses pengiriman dalam jaringan transportasi mengalami pemusatan pada suatu simpul yang menjadi hub. Lokasi sisa (simpul nohub) ditugaskan kepada hub tersebut. Setiap hub melayani lokasi nonhub yang ditugaskan kepadanya. Lalu lintas kemudian dialirkan diantara pasangan dari tiap lokasi dengan menggunakan hub sebagai simpul tengah pemilihan. Selanjutnya, penggunaan hub menggantikan aliran langsung dengan aliran yang tidak langsung. Hasil dari stuktur jaringan tansportasi yang baru kemudian digunakan sebagai sistem hub dan spoke ( lihat pada gambar 1.1).

Gambar 1.1 Sistem hub dan Spoke

Keterangan : simpul 1 dan 2 adalah lokasi hub serta simpul 3 dan 5 (4 dan6) terhubung ke simpul lainnya melalui simpul 1 (2).

1

3 4

5 6

2

5 1

4 3

6

Permasalahan p-hub median merupakan permasalahan ketika mendesaian sebuah jaringan transportasi, dimana jumlah tetap dari simpul p dialakoasikan menjadi hub dan simpul yang tersisa akan dialokasikan kepada satu atau lebih hub yang dipilih sehingga biaya operasi dari jaringan yang dihasilkan adalah minimal. Dengan membuat biaya operasi yang minimal maka akan diperoleh keuntungan yang lebih dari jaringan yang diperoleh sebagai akibat dari biaya pengeluaran yang semakin berkurang.

Beberapa aplikasi permasalahan p-hub median dalam kehidupan nyata antara lain seperti pada sistem penerbangan dimana yang menjadi hub ialah gabungan dari bandar udara sementara yang menjadi simpul non hub ialah bandar udara yang bertugas sebagai tempat transit ataupun tempat pengisian bahan bakar. Contoh lainnya ialah perusahaan jasa pengiriman barang kilat FEDEX (Federal Express) yang memulai menggunakan sistem hub pada tahun 1973. Contoh lainnya yang paling banyak menggunakan sistem hub ialah proses pengiriman surat dan barang yang ada di kantor pos dimana yang menjadi hub ialah kantor pos yang menjadi pusat penyortiran dan yang menjadi nonhub ialah kantor pos regional.

Dengan menggunakan sistem p-hub median dalam jaringan transportasi maka akan muncul suatu permasalahan dalam menentukan jarak pengiriman tersingkat yang dapat mengefisienkan proses pengiriman barang sebagai akibat dari sistem pemusatan yang terjadi pada hub. Salah satu penyelesaian yang dapat digunakan dalam meyelesaikan masalah p-hub median untuk mempersingkat jarak pengiriman dalam sistem transportasi adalah dengan menggunakan lintasan terpendek (shortest path). Dengan metode ini, alokasi masalah dari pengumpulan dan pendistribusian aliran dapat diselesaikan dengan menemukan lintasan terpendek antara setiap pasangan simpul dalam graph berarah, mengijinkan pengumpulan dari simpul ke hub, transfer antara hub dan setiap pasangan simpul dari graph berarah. Dengan menerapkan lintasan terpendek maka waktu transport dalam jaringan akan semakin singkat dan efisien.

Berdasarkan titik tolak di atas, maka penulis ingin membuat tulisan dengan judul : “PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN LINTASAN TERPENDEK” .

1.2 Perumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah persoalan pengalokasian p -hub median yang tepat serta penentuan jarak terpendek sehingga total biaya yang digunakan dalam transportasi menjadi minimum sehingga permasalahan p-hubmedian dapat terselesaikan.

1.3 Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini masalah yang dibahas terbatas pada hub tanpa batasan kapasitas, model asimetri, dengan lokasi tunggal, serta penelitian terbatas hanya sampai dengan pembuatan model permasalahan p-hub median serta model lintsan terpendek pada p-hub median.

1.4 Tinjauan Pustaka

Aplikasi jaringan hub digunakan pada sistem komunikasi, transportasi, dan sistem pengiriman pos. Layanan tidak langsung diberikan dari setiap simpul awal ke pasangan tujuan, Hub berfungsi sebagai simpul transit atau simpul pemilihan untuk aliran antara simpul nonhub. Arus keberangkatan dari tempat tujuan dikumpulkan pada suatu hub, dikirimkanan antar hub jika perlu, dan akhirnya didistribusikan ke simpul tujuan dengan kombinasi dari simpul asal yang berbeda tetapi simpul tujuannya sama. Fasilitas hub menggabungkan aliran dengan maksud untuk memperoleh keuntungan ekonomi dalam transportasi antar hub.

Masalah lokasi hub berhubungan dengan pengalokasian fasilitas hub dan penugasan dari simpul nonhub kepada simpul hub untuk menentukan lalu lintas rute antara pasangan simpul asal dan tujuan. Setiap nonhub dapat dialokasikan ke sebuah hub (alokasi tunggal) atau lebih (multi alokasi). Jika jumlah hub sebelumnya ditentukan sebanyak p, maka hal ini disebut masalah alokasi p-hub (WANG dan TING, 2009).

Program linear bilangan bulat campuran diperkenalkan untuk desain berkelanjutan dari jaringan dan penyebaran armada dari sebuah penyedia layanan kapal antar samudera untuk pengiriman laut. Permintaan dianggap elastis pada penyedia jasa layanan yang dapat menerima fraksi permintaan dari asal ke tujuan serta menggunakan metode dekomposisi primal untuk menyelesaikan masalah optimalitas (Shahih Geraleh dan David Pissinger, 2010).

Masalah program bilangan bulat campuran dalam pemilihan lokasi hub telah digunakan di pantai timur Amerika Selatan, diantara sekumpulan dari sebelas pelabuhan yang ada yang melayani permintaan regional untuk transportasi kontainer. Pelabuhan di Brasil, Argentina, Uruguay dipertimbangkan bersama dengan beberapa simpul pelabuhan asal-tujuan di dunia. Model program bilangan bulat campuran ini digunakan untuk meminimalkan biaya total sistem dari kedua biaya di pelabuhan (biaya terminal) dan biaya pengiriman (bahan bakar dan transportasi) (Aversa et al. 2005).

Salah satu yang penting dalam masalah lokasi hub disebut dengan masalah

p-hub median. Dalam masalah ini tujuannya ialah untuk mengalokasikan p hub dalam sebuah jaringan dan mengalokasikan simpul nonhub kepada simpul hub sehingga jumlah dari biaya transportasi antara pasangan simpul asal dan simpul tujuan di dalam jaringan menjadi minimal (Dongdong et al. 2007).

Shahin Gelareh, 2010, menjelaskan dalam masalah klasik p-hub median, perlu mengalokasikan p simpul hub dari himpunan n simpul dalam sebuah graf, menetapkan subgraph lengkap dari simpul hub, mengalokasikan setiap simpul nonhub ke simpul hub dan arah aliran antara pasangan simpul asal-tujuan melalui jaringan hub. Biaya transportasi pada garis dari tingkat kentungan jaringan hub dari sebuah potongan oleh sebuah faktor (0 < < 1) sebagai hasil dari skala ekonomi berdasarkan gabungan dari aliran transportasi. Pertama sekali akan didefinisikan beberapa parameter, kemudian akan diperkenalkan variabel keputusan dalam model. Diberikan sebuah jaringan yang terdiri dari n buah simpul permintaan, misalkan:

N = himpunan simpul-simpul dalam jaringan, N={1,2,…,n} p = banyaknya hub

= total aliran dari lokasi i ke lokasi j

= biaya aliran per unit dari simpul asal i ke simpul tujuan j melalui hub k

dan l dengan urutan tersebut = jarak antara simpul i dan j

= fraksi dari aliran asal simpul i ke simpul tujuan j yang melalui hub k

dan l dalam urutan tersebut

= variabel biner yang bernilai 1 jika k adalah hub, 0 yang lain

Untuk variabel dan parameter , indeks k digunakan untuk inisial hub dan indeks l digunakan untuk terminal hub dengan menganggap aliran berasal dari simpul

i dengan tujuan j. jika k = m maka lalu lintas rute melalui hub yang sama. Biaya transportasi aliran per unit dapat dihitung dengan:

= + +

Secara implisit diasumsikan bahwa semua fasilitas hub memiliki karakteristik yang sama dan hampir selalu diasumsikan memiliki memiliki diskon faktor yang sama ke semua link.

Biaya digambarkan seperti gambar di bawah ini:

Sohn dan Park (1996) mempertimbangkan masalah lokasi dua hub. Kedua hub dipilih dari sebuah himpunan simpul-simpul. Simpul yang tersisa dihubungkan kepada salah satu dari dua hub yang ada sebagai tindakan pemilihan simpul untuk aliran antar

Simpul asal i Simpul

modal. Sebuah susunan yang meminimumkan total aliran biaya yang ingin diketahui. Masalah ini dapat diselesaikan dalam bentuk polynomial ketika lokasi hub ditetapkan.

Sohn dan Park (1998) mempertimbangkan masalah lokasi p-hub tanpa batasan kapasitas dengan mempertimbangkan kasus dengan alokasi tunggal dan ganda dan juga dalam mereduksi ukuran formulasi serta formulasi program bilangan bulat campuran untuk model dengan lokasi hub yang tetap, di mana juga mempertimbangkan biaya tetap untuk link yang terbuka.

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian dalam tugas akhir ini ialah untuk menyelesaikan model masalah alokasi p-hub median yang ditemukan dalam permasalahan di bidang transpotasi barang dengan perbaikan model menggunakan lintasan terpendek.

1.6 Kontribusi Penelitian

Kontribusi yang diharapkan dari penelitian ini adalah:

1. Dapat menentukan jumlah dan lokasi hub yang tepat sehingga dapat meminimumkan galat yang ditimbulkan dalam transportasi.

2. Dapat menentukan lintasan terpendek dari berbagai permasalahan transportasi yang ada melalui alokasi hub yang tepat sehingga jarak dan waktu transportasi menjadi lebih singkat.

3. Dapat menambah referensi dalam menyelesaikan berbagai masalah yang berhubungan dengan masalah p-hubmedian.

1.7 Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menjelaskan Permasalahan Graf dalam Transportasi. 2. Menjelaskan masalah Hub.

3. Menjelaskan masalah p-hubmedian.

4. Menurunkan model matematika dari permasalahan p-hub median.

5. Menurunkan model lintasan terpendek dalam permasalahan p-hubmedian.

6. Menurunkan model dalam penentuan batas bawah untuk permasalahan lintasan terpendek

PEMBAHASAN

3.1 Permasalahan p-Hub Median

Permasalahan p-hub median merupakan suatu permasalahan dalam suatu jaringan transportasi yakni ketika membangun atau mendesain sebuah jaringan, dimana sejumlah simpul tetap sebanyak p buah dipilih menjadi menjadi calon hub dan simpul lain yang sisa akan dialokasikan kepada satu atau lebih hub yang dipilih sedemikian hingga biaya operasi dari jaringan hub yang dihasilkan dapat diminimalkan.

Dalam masalah klasik p-hub median, perlu mengalokasikan p simpul hub dari himpunan n simpul dalam sebuah graf, menetapkan subgraph lengkap dari simpul hub, mengalokasikan setiap simpul nonhub ke simpul hub dan arah aliran antara pasangan simpul asal-tujuan melalui jaringan hub. Biaya transportasi pada garis dari tingkat kentungan jaringan hub dari sebuah potongan oleh sebuah faktor (0 < < 1) sebagai hasil dari skala ekonomi berdasarkan gabungan dari aliran transportasi

Berdasarkan pada jenis alokasi hub yang akan digunakan ada dua tipe permasalahan dari p-hub median antara lain:

1. Masalah alokasi tunggal p-hub median (Single Allocation p-hub Median Problem/USApHMP). Untuk kasus alokasi tunggal setiap simpul bukan hub dialokasikan secara tepat satu simpul hub. Semua aliran dikirim dan diterima melalui hub ini.

2. Masalah alokasi jamak p-hub median (Multiple Allocation p-hub Median Problem/UMApHMP). Untuk kasus alokasi ganda, aliran dari simpul i ke setiap simpul j dapat dikirim oleh, atau diterima lewat, rute terminal bebas dari aliran atau simpul lainnya.

3.2Masalah Alokasi Tunggal p-Hub Median (Single Allocation p-hub Median Problem/USApHMP)

Diketahui Graph = , , dengan N himpunan n node yang diantaranya terdapat secara tepat terpilih p-hub. Aliran antara pasangan node ( , ) adalah . Juga diketahui jarak antara semua pasangan simpul. Diasumsikan bahwa aliran dari simpul i ke simpul j harus sebagai rute melalui salah satu atau dua simpul hub berikutan. Faktor biaya ditentukan oleh :

∶kumpulan biaya (per unit aliran) dari setiap bukan hub simpul i ke hub simpul k.

: biaya distribusi dari setiap hub k ke bukan hub i.

∶ biaya transfer antara setiap dua hub k dan l.

Dimana , , adalah diskon dari faktor biaya yang terjadi selama proses pemindahan barang pada sisi hub maupun non hub yang diperoleh dari hasil suatu penganmatan. Objektif dari model adalah melokasikan p-hub dan membuat rute semua aliran lewat hub sehingga harga total diminimumkan.

Selanjutnya, diformulasikan biaya model Mixed Integrer Linear Programming

(MILP) untuk persolan p-hub median alokasi tunggal tak berkapasitas (uncapacitaced single allocation p-hub median) disingkat USApHMP. Lihat Ernst dan Krishnamorthy (1998), Wang dan Ting (2009) dan Skorin-Kapov et al. (1996) pemodelan p-hub median.

Notasi yang dipakai dalam model adalah sebagai berikut.

Parameter:

∶ biaya transportasi suatu unit aliran dari simpul i ke simpul j yang dirutekan dari melalui hub k dan hub l.

= + +

∶ aliran antara node i ke j.

I : Himpunan indeks.

Variabel keputusan :

= 1, jika aliran dari simpul ke dirutekan lewat simpu dan

0, jika tidak

= 1, jika node dialokasikan ke hub 0, jika tidak

Model dapat dituliskan sebagai :

Min.

∈ ∈ ∈ ∈

1

Dengan kendala:

∈

=� 2

∈

= 1 3

, ∀ , ∈ 4

∈

= ∀ , , ∈ 5

∈

= ∀ , , ∈ 6

∈ 0,1 ∀ , , ∈ 8

Fungsi objektif ( Pers. 1 ) menyatakan biaya total transportasi aliran. Pers.(2) memastikan secara tepat terpilihnya p-hub. Kendala (3) mengutarakan bahwa setiap simpul dialokasikan secara tepat satu hub. Kepastian bahwa simpul i dapat dialokasikan ke hub k apabila jika k terpilih sebagai hub dinyatakan pada Pers.(4). Sedangkan kendala (5) memberi kepastian bahwa setiap tujuan j, total aliran dari asal

i ke tujuan j yang dirutekan lewat lintasan yang memakai jalur i-k akan tidak nol hanya jika lokasi i dialokasikan ke hub k. Analog Pers(6) memastikan bahwa setiap asal i dan setiap hub k, satu aliran melalui lintasan i-k-l-j adalah layak hanya jika j

dialokasikan ke hub l. Pernyataan (7) dan (8) untuk variabel keputusan yang merupakan variabel biner.

3.3 Masalah alokasi jamak p-hub median (Multiple Allocation p-hub Median Problem/UMApHMP)

Untuk kasus alokasi ganda, aliran dari simpul i ke setiap simpul j dapat dikirim oleh, atau diterima lewat, rute terminal bebas dari aliran atau simpul lainnya. Pertama sekali akan didefinisikan beberapa parameter, kemudian akan diperkenalkan variabel keputusan dalam model. Diberikan sebuah jaringan yang terdiri dari n buah titik permintaan, misalkan:

N = himpunan titik-titik dalam jaringan, N={1,2,…,n} p = banyaknya hub

= total aliran dari lokasi i ke lokasij

= biaya aliran per unit dari titik asal i ke titik tujuan j melalui hub k dan l dengan urutan tersebut

= jarak antara titik i dan j

= fraksi dari aliran asal titik i ke titik tujuan j yang melalui hub k dan l dalam urutan tersebut

Untuk variabel dan parameter , indeks k digunakan untuk inisial hub dan indeks l digunakan untuk terminal hub dengan menganggap aliran berasal dari titik i

dengan tujuan j. jika k = m maka lalu lintas rute melalui hub yang sama. Biaya transportasi aliran per unit dapat dihitung dengan:

= + +

Secara implisit diasumsikan bahwa semua fasilitas hub memiliki karakteristik yang sama dan hampir selalu diasumsikan memiliki memiliki diskon faktor yang sama ke semua link.

Biaya digambarkan seperti gambar di bawah ini:

Gambar 3.1 Gambar aliran biaya dari simpul i ke simpul tujuan j melalui hub k dan l

Formulasi Mixed Integrer Linear Programming (MILP) untuk model fungsi tujuan masalah p-hub median dengan batasan model asymetris, tanpa batasan kapasitas, dengan multi alokasi dengan model Campbells adalah sebagai berikut :

∈ ∈ ∈ ∈

(1)

Dengan kendala :

=�

∈

(2)

= 1

∈ ∈

∀ , ∈ (3)

Titik asal i Titik tujuan j

∈

∀ , , ∈ (4)

∈

∀ , , ∈ (5) ∈ 0,1 ∀ ∈ (6) 0 ∀ , ∈ (7)

Fungsi tujuan (1) menghitung biaya aliran dari titik asal ke titik tujuan. Kendala (2) memastikan bahwa ada p-hub yang digunakan. Kendala (3) menjamin bahwa setiap pasangan melalui suatu rute. Kendala (4) dan (5) memaksakan aliran melalui penugasan multiple hub. Kendala (6) menjamin hanya mengambil nilai nol atau satu. Kendala (7) menjamin bernilai positif.

3.4 Algoritma Lintasan Terpendek dalam p-Hub Median

Lintasan terpendek antara pasangan simpul (i,j) ∈ , ∈ dapat dipakai dengan memakai algoritma Floyd-Warshall (Ahiya et al., 1993) andaikan H∈ dengan

=� diketahui. Algoritma 1.

Ambil ∗ = _∈ { + }

Untuk semua ∈ dan ∈ \ .

Karena ∈ dan = 0

Minimum dari pernyataan di atas mencakup semua kemungkinan distribusi langsung (tanpa transfer dari k ke j).

∗ _{= { +} ∗

}

∈

End algorithm 1.

Seperti yang telah disampaikan pada sub seksi (2.6) tentang Branch and Bounds, batas efektifitas dari metode Branch and Bounds sangat bergantung pada penentuan batas bawah. Dengan memakai lintasan terpendek dapat dapat diperoleh suatu batas bawah untuk persoalan permasalahan p-hub median.

Penentuan Batas Bawah

Untuk skenario yang diketahui, dihitung batas bawah dengan memakai jarak lintasan terpendek ∗ antara pasangan i dan j dalam G. Algoritma berikut dipakai untuk menentukan ∗.

Algoritma 2:

Ambil ∗_,

=

_∈

+

Untuk semua ∈ dan ∈ \

∗

₌

₊

∈

Untuk semua ∈ dan ∈ .

End Algorithm 2.

Suatu batas bawah L(S) untuk skenario S dapat diperoleh sebagai jumlah berbobot jarak lintasan terpendek :

� = ∗

, ∈

.

3.5 Penerapan Lintasan Terpendek dalam Permasalahan p-Hub Median

Diberikan matriks jarak pengiriman barang antar 10 kota seperti pada tabel di bawah yang merupakan suatu permasalahan p-hub median. Telah ditentukan terdapat 3 kota

yang menjadi hub yaitu kota 4, kota 5 dan kota 7. Dan juga ditentukan diskon faktor skala ekonomi = 0,7 , = 0,6 , dan = 0,5. Tentukan jarak terpendek pengiriman barang antar kota melalui hub yang ditentukan.

Tabel 3.1 : Jarak Antar Kota (Dalam Km)

Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Kota 5 Kota 6 Kota 7 Kota 8 Kota 9 Kota 10 Kota 1 0 333 573 972 612 490 556 1016 893 896 Kota 2 333 0 906 649 636 756 889 731 1226 1229 Kota 3 _{573 906 0 1315 593 257 288 1256 347 323} Kota 4 972 649 1315 0 735 1058 1451 374 1662 1567 Kota 5 612 636 593 735 0 336 874 709 940 832 Kota 6 _{490 756 257 1058 336 0 545 999 604 533} Kota 7 556 889 288 1451 874 545 0 1465 343 509 Kota 8 1016 731 1256 374 709 999 1465 0 1630 1478 Kota 9 893 1226 347 1662 940 604 343 1603 0 293 Kota 10 896 1229 323 1567 832 533 509 1478 293 0

Analisa dan Pembahasan:

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas kita dapat menerapkan algoritma Floyd-Warshall seperti di bawah ini:

Ambil ∗ = _∈ { _, + _, }

Untuk semua ∈ dan ∈ \ .

Karena ∈ dan , = 0

Minimum dari pernyataan di atas mencakup semua kemungkinan distribusi langsung (tanpa transfer dari k ke j).

∗ _{= {}

, + ∗, }

∈

Pertama sekali kita akan menghitung jarak minimum perpindahan aliran yang melibatkan semua hub yang kemudian dilanjutkan perhitungan perpindahan aliran antar semua titik-titik nonhub.

Perhitungan jarak minimum antar hub:

∗ _{= {}

, + , }

∈

Untuk semua ∈ dan ∈ \ .

Untuk hub node k= 4, 5, 7.

Untuk k = 4, maka l = 5, 7

4,1∗ = 4,5+ 5,1 , 4,7+ 7,1

4,2∗ = { 4,5+ 5,2 , ( 4,7+ 7,2 )}

4,3∗ = { 4,5+ 5,3 , ( 4,7+ 7,3 )}

4,6∗ = { 4,5+ 5,6 , ( 4,7+ 7,6 )}

4,8∗ = { 4,5+ 5,8 , ( 4,7+ 7,8 )}

4,9∗ = { 4,5+ 5,9 , ( 4,7+ 7,9 )}

4,10∗ = { 4,5+ 5,10 , ( 4,7+ 7,10 )}

Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.2 : Tabel penghitungan ∗ untuk simpul hub k = 4, dan l = 5, 7

4, + , 4, + , ∗

4,1∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 612 = 881,7 0,7 × 1415 + 0,6 × 556 = 1349,3 881,7

4,2∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 636 =896,1 0,7 × 1415 + 0,6 × 889 = 1549,1 896,1

4,3∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 593 =870,3 0,7 × 1415 + 0,6 × 228 = 118,5 870,3

4,6∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 336 =716,1 0,7 × 1415 + 0,6 × 544 = 1342,7 716,1

4,8∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 709 =939,9 0,7 × 1415 + 0,6 × 1465 = 1894,7 939,9

4,9∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 940 =1078,5 0,7 × 1415 + 0,6 × 343 = 1221,5 1078,5

Untuk k = 5, maka l = 4, 7

5,1∗ = 5,4+ 4,1 , 5,7+ 7,1

5,2∗ = { 5,4+ 4,2 , ( 5,7+ 7,2 )}

5,3∗ = { 5,4+ 4,3 , ( 5,7+ 7,3 )}

5,6∗ = { 5,4+ 4,6 , ( 5,7+ 7,6 )}

5,8∗ = { 5,4+ 4,8 , ( 5,7+ 7,8 )}

5,9∗ = { 5,4+ 4,9 , ( 5,7+ 7,9 )}

5,10∗ = { 5,4+ 4,10 , ( 5,7+ 7,10 )}

Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.3 : Tabel penghitungan ∗ untuk simpul hub k = 5, dan l = 4, 7

5, + , 5, + , ∗

5,1∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 972 = 1097,7 0,7 × 874 + 0,6 × 556 = 945,4 945,4

5,2∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 649 = 903,9 0,7 × 874 + 0,6 × 889 = 1145,2 903,9

5,3∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 1315 = 1305,5 0,7 × 874 + 0,6 × 228 = 784,6 784,6

5,6∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 1058 = 1149,3 0,7 × 874 + 0,6 × 544 = 938,8 938,8

5,8∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 374 = 738,9 0,7 × 874 + 0,6 × 1465 = 1490,8 738,9

5,9∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 1662 = 1511,7 0,7 × 874 + 0,6 × 343 = 817,6 817,6

5,10∗ 0,7 × 735 + 0,6 × 1576 = 1460,1 0,7 × 874 + 0,6 × 509 = 917,2 917,2

Untuk k = 7, maka l = 4, 5

7,1∗ = 7,4+ 4,1 , 7,5+ 5,1

7,2∗ = { 7,4+ 4,2 , ( 7,5+ 5,2 )}

7,3∗ = { 7,4+ 4,3 , ( 7,5+ 5,3 )}

7,6∗ = { 7,4+ 4,6 , ( 7,5+ 5,6 )}

7,8∗ = { 7,4+ 4,8 , ( 7,5+ 5,8 )}

7,9∗ = { 7,4+ 4,9 , ( 7,5+ 5,9 )}

Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.4 : Tabel penghitungan ∗ untuk simpul hub k = 7, dan l = 4, 5

7, + , 7, + , ∗

7,1∗ 0,7 × 1415 + 0,6 × 972 = 1598,9 0,7 × 874 + 0,6 × 612 = 979 979

7,2∗ 0,7 × 1415 + 0,6 × 649 = 1405,1 0,7 × 874 + 0,6 × 636 = 993,4 993,4

7,3∗ 0,7 × 1415 + 0,6 × 1315 = 1804,7 0,7 × 874 + 0,6 × 593 = 967,6 967,6

7,6∗ 0,7 × 1415 + 0,6 × 1058 = 1650,5 0,7 × 874 + 0,6 × 336 = 813,4 813,4

7,8∗ 0,7 × 1415 + 0,6 × 374 = 1204,1 0,7 × 874 + 0,6 × 709 = 1037,2 1037,2

7,9∗ 0,7 × 1415 + 0,6 × 1662 = 2012,9 0,7 × 874 + 0,6 × 940 = 1175,8 1175,8

7,10∗ 0,7 × 1415 + 0,6 × 1576 = 1955,9 0,7 × 874 + 0,6 × 832 = 1111 1111

Perhitungan jarak minimum antar simpul nonhub melalui hub tertentu:

∗ _{= {}

, + ∗, }

∈

∀ ∈ dan ∈

Untuk simpul nonhub i = 1, maka simpul hub k = 4, 5, 7:

1,2∗ = { 1,4+ 4,2∗ , 1,5+ 5,2∗ , 1,7+ 7,2∗ } 1,3∗ = { 1,4+ 4,3∗ , 1,5+ 5,3∗ , 1,7+ 7,3∗ } 1,6∗ = { 1,4+ 4,6∗ , 1,5+ 5,6∗ , 1,7+ 7,6∗ } 1,8∗ = { 1,4+ 4,8∗ , 1,5+ 5,8∗ , 1,7+ 7,8∗ } 1,9∗ = { 1,4+ 4,9∗ , 1,5+ 5,9∗ , 1,7+ 7,9∗ } 1,10∗ = { 1,4+ 4,10∗ , 1,5+ 5,10∗ , 1,7+ 7,10∗ } Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.5 : Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 1, dan simpul hub k = 4, 5, 7

1, + ∗, 1, + ∗, 1, + ∗, ∗

1,2∗ 0,5 × 972 + 896,1 = 1382,1 0,5 × 612 + 903,9 = 1209,9 0,5 × 556 + 993,4 = 1271,4 1209,9 1,3∗ 0,5 × 972 + 870,3 = 1356,3 0,5 × 612 + 784,6 = 1090,6 0,5 × 556 + 967,6 = 1245,6 1090,6 1,6∗ 0,5 × 972 + 716,1 = 1202,1 0,5 × 612 + 938,8 = 1244,8 0,5 × 556 + 813,4 = 1091,4 1091,4 1,8∗ 0,5 × 972 + 939,9 = 1425,9 0,5 × 612 + 738,9 = 1044,9 0,5 × 556 + 1037,2 = 1315,2 1044,9 1,9∗ 0,5 × 972 + 1078,5 = 1564,5 0,5 × 612 + 817,6 = 1123,6 0,5 × 556 + 1175,8 = 1453,8 1123,6 1,10∗ 0,5 × 972 + 1013,7 = 1499,7 0,5 × 612 + 917,2 = 1223,2 0,5 × 556 + 1111 = 1389 1223,2

Untuk simpul nonhub i = 2, maka simpul hub k = 4, 5, 7:

2,1∗ = { 2,4+ 4,1∗ , 2,5 + 5,1∗ , 2,7+ 7,1∗ } 2,3∗ = { 2,4+ 4,3∗ , 2,5 + 5,3∗ , 2,7+ 7,3∗ } 2,6∗ = { 2,4+ 4,6∗ , 2,5 + 5,6∗ , 2,7+ 7,6∗ } 2,8∗ = { 2,4+ 4,8∗ , 2,5 + 5,8∗ , 2,7+ 7,8∗ } 2,9∗ = { 2,4+ 4,9∗ , 2,5+ 5,9∗ , 2,7+ 7,9∗ } 2,10∗ = { 2,4+ 4,10∗ , 2,5+ 5,10∗ , 2,7+ 7,10∗ }

Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.6 : Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 2, dan simpul hub k = 4, 5, 7

2, + ∗, 2, + ∗, 2, + ∗, ∗

2,1∗ 0,5 × 649 + 881,7 = 1206,2 0,5 × 636 + 945,4 = 1263,4 0,5 × 889 + 979 = 1423,5 1206,2 2,3∗ 0,5 × 649 + 870,3 = 1194,8 0,5 × 636 + 784,6 = 1102,6 0,5 × 889 + 967,6 = 1412,1 1102,6 2,6∗ 0,5 × 649 + 716,1 = 1040,6 0,5 × 636 + 938,8 = 1256,8 0,5 × 889 + 813,4 = 1257,9 1040,6 2,8∗ 0,5 × 649 + 939,9 = 1264,6 0,5 × 636 + 738,9 = 1056,9 0,5 × 889 + 1037,2 = 1481,7 1056,9 2,9∗ 0,5 × 649 + 1078,5 = 1403 0,5 × 636 + 817,6 = 1135,6 0,5 × 889 + 1175,8 = 1620,3 1135,6 2,10∗ 0,5 × 649 + 1013,7 = 1338,2 0,5 × 636 + 917,2 = 1235,2 0,5 × 889 + 1111 = 1555,5 1235,2

Untuk simpul nonhub i = 3, maka simpul hub k = 4, 5, 7:

3,1∗ = { 3,4+ 4,1∗ , 3,5 + 5,1∗ , 3,7+ 7,1∗ } 3,2∗ = { 3,4+ 4,2∗ , 3,5 + 5,2∗ , 3,7+ 7,2∗ } 3,6∗ = { 3,4+ 4,6∗ , 3,5 + 5,6∗ , 3,7+ 7,6∗ } 3,8∗ = { 3,4+ 4,8∗ , 3,5 + 5,8∗ , 3,7+ 7,8∗ } 3,9∗ = { 3,4+ 4,9∗ , 3,5+ 5,9∗ , 3,7+ 7,9∗ } 3,10∗ = { 3,4+ 4,10∗ , 3,5+ 5,10∗ , 3,7+ 7,10∗ }

8,6∗ = { 8,4+ 4,6∗ , 8,5 + 5,6∗ , 8,7+ 7,6∗ } 8,9∗ = { 8,4+ 4,9∗ , 8,5+ 5,9∗ , 8,7+ 7,9∗ } 8,10∗ = { 8,4+ 4,10∗ , 8,5+ 5,10∗ , 8,7+ 7,10∗ }

Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.9 : Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 8, dan simpul hub k = 4, 5, 7

8, + ∗, 8, + ∗, 8, + ∗, ∗

8,1∗ 0,5 × 374 + 881,7 = 1068,7 0,5 × 709 + 945,4 = 1299,9 0,5 × 1465 + 979 = 1711,5 1068,7 8,2∗ 0,5 × 374 + 896,1 = 1083,1 0,5 × 709 + 903,9 = 1258,4 0,5 × 1465 + 993,4 = 1725,9 1083,1 8,3∗ 0,5 × 374 + 870,3 = 1057,3 0,5 × 709 + 784,6 = 1139,1 0,5 × 1465 + 967,6 = 1700,1 1057,3 8,6∗ 0,5 × 374 + 716,1 = 903,1 0,5 × 709 + 938,8 = 1293,3 0,5 × 1465 + 813,4 = 1545,9 903,1 8,9∗ 0,5 × 374 + 1078,5 = 1265,5 0,5 × 709 + 738,9 = 1172,1 0,5 × 1465 + 1175,8 = 1908,3 1172,1 8,10∗ 0,5 × 374 + 1013,7 = 1200,7 0,5 × 709 + 917,2 = 1271,7 0,5 × 1465 + 1111 = 1843,5 1200,7

Untuk simpul nonhub i = 9, maka simpul hub k = 4, 5, 7:

9,1∗ = { 9,4+ 4,1∗ , 9,5+ 5,1∗ , 9,7+ 7,1∗ } 9,2∗ = { 9,4+ 4,2∗ , 9,5+ 5,2∗ , 9,7+ 7,2∗ } 9,3∗ = { 9,4+ 4,3∗ , 9,5+ 5,3∗ , 9,7+ 7,3∗ } 9,6∗ = { 9,4+ 4,6∗ , 9,5+ 5,6∗ , 9,7+ 7,6∗ } 9,8∗ = { 9,4+ 4,8∗ , 9,5+ 5,8∗ , 9,7+ 7,8∗ }

9,10∗ = { 9,4+ 4,10∗ , 9,5+ 5,10∗ , 9,7+ 7,10∗ } Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.10 : Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 9, dan simpul hub k = 4, 5, 7

9, + ∗, 9, + ∗, 9, + ∗, ∗

9,1∗ 0,5 × 1662 + 881,7 = 1712,7 0,5 × 940 + 945,4 = 1415,4 0,5 × 343 + 979 = 1150,5 1150,5 9,2∗ 0,5 × 1662 + 896,1 = 1727,1 0,5 × 940 + 903,9 = 1373,9 0,5 × 343 + 993,4 = 1164,9 1164,9 9,3∗ 0,5 × 1662 + 870,3 = 1701,3 0,5 × 940 + 784,6 = 1254,6 0,5 × 343 + 967,6 = 1139,1 1139,1 9,6∗ 0,5 × 1662 + 716,1 = 1547,1 0,5 × 940 + 938,8 = 1408,8 0,5 × 343 + 813,4 = 984,9 984,9 9,8∗ 0,5 × 1662 + 939,9 = 1770,9 0,5 × 940 + 738,9 = 1208,9 0,5 × 343 + 1037,2 = 1208,7 1208,7 9,10∗ 0,5 × 1662 + 1013,7 = 1844,7 0,5 × 940 + 917,2 = 1387,2 0,5 × 343 + 1111 = 1282,1 1282,1

45

10,1∗ = { 10,4+ 4,1∗ , 10,5+ 5,1∗ , 10,7+ 7,1∗ } 10,2∗ = { 10,4+ 4,2∗ , 10,5+ 5,2∗ , 10,7+ 7,2∗ } 10,3∗ = { 10,4+ 4,3∗ , 10,5+ 5,3∗ , 10,7+ 7,3∗ } 10,6∗ = { 10,4+ 4,6∗ , 10,5+ 5,6∗ , 10,7+ 7,6∗ } 10,8∗ = { 10,4+ 4,8∗ , 10,5+ 5,8∗ , 10,7+ 7,8∗ } 10,9∗ = { 10,4+ 4,9∗ , 10,5+ 5,9∗ , 10,7+ 7,9∗ }

Perhitungan dalam tabel:

Tabel 3.11 : Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 10, dan simpul hub k = 4, 5, 7

10, + ∗, 10, + ∗, 10, + ∗, ∗

10,1∗ 0,5 × 1567 + 881,7 = 1665,2 0,5 × 832 + 945,4 = 1361,4 0,5 × 509 + 979 = 1233,5 1233,5 10,2∗ 0,5 × 1567 + 896,1 = 1679,6 0,5 × 832 + 903,9 = 1319,9 0,5 × 509 + 993,4 = 1247,9 1247,9 10,3∗ 0,5 × 1567 + 870,3 = 1653,8 0,5 × 832 + 784,6 = 1200,6 0,5 × 509 + 967,6 = 1222,1 1200,6 10,6∗ 0,5 × 1567 + 716,1 = 1499,6 0,5 × 832 + 938,8 = 1354,8 0,5 × 509 + 813,4 = 1067,9 1067,9 10,8∗ 0,5 × 1567 + 939,9 = 1723,4 0,5 × 832 + 738,9 = 1154,9 0,5 × 509 + 1037,2 = 1291,7 1154,9 10,9∗ 0,5 × 1567 + 1078,5 = 1862 0,5 × 832 + 817,6 = 1233,6 0,5 × 509 + 1175,8 = 1430,3 1233,6

Dari perhitungan di atas untuk setiap pasangan simpul asal-tujuan diperoleh lintasan terpendek yang menghubungkan kedua pasangan simpul asal-tujuan yang dialirkan melalui hub tertentu seperti pada tabel di bawah ini:

Tabel 3.12 Tabel Pasangan Lintasan Terpendek dari Pasangan Simpul Asal ke Simpul Tujuan Tertentu

Simpul Asal-Tujuan Lintasan Terpendek Jarak (Cost)

1,2∗ 1−5−4−2 1209,9

1,3∗ 1−5−7−3 1090,6 1,6∗ 1−7−5−6 1091,4 1,8∗ 1−5−4−8 1044,9 1,9∗ 1−5−7−9 1123,6 1,10∗ 1−5−7−10 1223,2 2,1∗ 2−4−5−1 1206,2

2,3∗ 2−5−7−3 1102,6 2,6∗ 2−4−5−6 1040,6 2,8∗ 2−5−4−8 1056,9 2,9∗ 2−5−7−9 1135,6 2,10∗ 2−5−7−10 1235,2 3,1∗ 3−7−5−1 1123 3,2∗ 3−7−5−2 1137,4 3,6∗ 3−7−5−6 957,4 3,8∗ 3−5−4−8 1035,4 3,9∗ 3−5−7−9 1114,2 3,10∗ 3−5−7−10 1213,7 6,1∗ 6−5−7−1 1113,4 6,2∗ 6−5−4−2 1071,9 6,3∗ 6−5−7−3 952,6 6,8∗ 6−5−4−8 906,9 6,9∗ 6−5−7−9 985,9 6,10∗ 6−5−7−10 1085,2

8,1∗ 8−4−5−1 1068,7 8,2∗ 8−4−5−2 1083,1 8,3∗ 8−4−5−3 1057,3 8,6∗ 8−4−5−6 903,1 8,9∗ 8−4−5−9 1172,1 8,10∗ 8−4−5−10 1200,7 9,1∗ 9−7−5−1 1150,5 9,2∗ 9−7−5−2 1164,9 9,3∗ 9−7−5−3 1139,1 9,6∗ 9−7−5−6 984,9 9,8∗ 9−7−5−8 1208,7 9,10∗ 9−7−5−10 1282,1 10,1∗ 10−7−5−1 1233,5

47

10,2∗ 10−7−5−2 1247,9 10,3∗ 10−5−7−3 1200,6 10,6∗ 10−7−5−6 1067,9 10,8∗ 10−5−4−8 1154,9 10,9∗ 10−5−7−9 1233,6 Total Aliran 46811,3

Dari perhitungan di atas diperoleh jarak (cost) total minimumnya adalah sebesar 46811,3.

Gambar jaringan Hub yang diperoleh dari perhitungan di atas ialah:

Gambar 3.2 Jaringan p-hub median yang menghubungkan 10 kota.

10 3 1

9

2 8

6 5

7 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 KESIMPULAN

Dari hasil analisis dalam penelitian ini, maka diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Permasalahan p-hub median merupakan permasalahan dalam jaringan transportasi yang bertujuan meminimalkan total biaya transportasi dari satu simpul asal ke simpul tujuan yang dilakukan melewati simpul hub.

2. Dengan menerapkan algoritma lintasan terpendek salah satunya algoritma Floyd-Warshall dalam permasalahan p-hub median diperoleh jarak atau biaya minimum dari permasalahan p-hub median yang mencakup semua kemungkinan distribusi sehingga permasalahan p-hub median dapat terselesaikan.

3. Batas efektif dari metode Branch and Bounds sangat tergantung pada penentuan batas bawah begitu juga halnya dengan permasalahan p-hub median. Dengan pemakaian lintasan dapat diperoleh suatu batas bawah untuk permasalahan p-hub median salah satunya dengan menggunakan Algoritma 2.

4.2 SARAN

Permasalahan p-hub median merupakan suatu permasalahan dalam skala besar karena itu penyelesaiaan nya akan sangat sulit jika dilakukan dengan perhitungan secara manual. Sehingga disarankan untuk menggunakan software pembantu dalam penyelesaiannya antara lain software CPLEX.

49

DAFTAR PUSTAKA

Ahija R.K, T.L. Magnanti dan J.B Orlin. 1993. Network Flows: Theory, Algorithms

and Aplications. Prentice Hall Englewood Cliff. New York, Amerika Serikat.

Aversa, R., RC Botter, HE Haralambides dkk. 2005. “A Mixed Integer Programming

Model on the Location of a Hub Port in the East Coast of South America”.

Maritime Economics and Logistik Journal. Vol 7, doi 10.1057: hal 1-18.

Ernst A.T dan M. Khrishnamoorthy. 1998. “Exact and Heuristic Algortihm in the

Uncapacitaced Multiple Allocation p-Hub Median Problem”. European

Journal of Operations Research. Vol. 104(1). 100-112.

Ge ,Dongdong, Yinyu Ye, dan Jiawei Zhang. 2007. The Fixed-Hub Single Allocation

Problem: A Geometric Rounding Approach. Report 10012. New York,

Amerika Serikat: New York University.

Geraleh, Shahih. 2008. Hub Locations Models in Public Transport Planning. Dr. Disertasi. Kaiserslauten, Jerman: Universitat Kaiserslautern.

Geraleh, Shahih. 2010. Quadratic Assignment of Hubs in p- Hub Median Problem.

Report 12.2010. Lyngby, Denmark: Technical University of Denmark.

Geraleh, Shahih. dan David Pisinger. 2010. Simultaneous Fleet Deployment and

Network Design of Liner Shipping Companies. Report 14.2010. Lyngby,

Denmark: Technical University of Denmark.

Munir Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit. Edisi 3. Bandung: Erlangga.

Siang Jong Jek. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Edisi I. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Skorin Kapov, D., J. Skorin-Kavop dan M. O’Kelly. 1996. “Tight Linear

Programming Relaxations of Uncapacitaced p-Hub Median Problems”.

European Journal of Operations Research. Vol. 94 (3), 582-593.

Sohn, J. dan Park S. 1996. ”A linear program for the two-hub location problem”.

European Journal of Operational Research, Vol. 100, pp: hal. 617 – 622.

Sohn J. dan Park S. 1998. “Efficient Solution Procedure and Reduced Size

Formulations for p-Hub Location Problems”. European Journal of

Operational Research, Vol. 108(1), pp: hal 118 – 126.

Wang, Hung-Jie, dan Ching-Jung Ting 2009. ”A Threshold Accepting Algorithm for

the Uncapacitated Single Allocation p-Hub Median Problem”. Journal of the