Lintasan Terpendek Dengan Adanya Lintasan Terlarang.
LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TERLARANG
TESIS Oleh NENNA IRSA SYAHPUTRI 097021078/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TERLARANG
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh NENNA IRSA SYAHPUTRI
097021078/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TERLARANG
: Nenna Irsa Syahputri : 097021078 : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua
(Dr. Marwan Ramli, M.Si) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 19 Januari 2012
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 19 Januari 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Dra. Mardiningsih, M.Si
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Masalah lintasan terpendek dapat diselesaikan dengan beberapa algoritma seperti algoritma Warshall, algoritma Dijkstra, algoritma Greedy, algoritma Bellman. Lintasan Terpendek juga dapat diselesaikan dengan adanya kendala sampingan yaitu dengan adanya lintasan terlarang. Diberikan sebuah graf berbobot G, verteks-verteks s dan t, dan sebuah himpunan X (exception) sebagai lintasan terlarang di G, pencarian lintasan terpendek P dari s − t sehingga tidak ada lintasan bagian dari P yang mengandung X. Lintasan P dijinkan mengulang tiap verteks dan edgesnya. Kata kunci: Graf berbobot, Lintasan terpendek, Kendala sampingan, Lintasan
terlarang
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The Shortest path Problem can be solved with several algorithms such as Warshall’s Algorithm, Dijkstra’s Algorithm, Greedy’s Algorithm, Bellman’s Algorithm. The Shortest path can also be solved with the side constraint is the presence of forbidden path. Given a weighted graph G and vertices s and t, and given a set X (exception) of forbidden paths in G, find a shortest s − t path P such that no path in X is a subpath of P . Path P is allowed to repeat vertices and edges. Keyword: Weight graph, Shortest path, Side constraints, Forbidden path
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TERLARANG. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Tim Pembanding Tesis. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
iii
Universitas Sumatera Utara
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa angkatan 2009/2010 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Sarwo dan Ibunda Iriani yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, kepada kakak dan adik Nenny Asri Syahputri, S.Kom, Mimmy Sari Syahputri, Amd yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Allah Swt membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, amin.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.
Medan, 19 Januari 2012 Penulis,
Nenna Irsa Syahputri
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Nenna Irsa Syahputri dilahirkan di Medan pada tanggal 18 April 1987 dari pasangan Bapak Sarwo & Ibu Iriani dan merupakan anak ke dua dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 068332 Medan tahun 1999, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 31 Medan tahun 2002, Sekolah Menengah Atas (SMA) Swasta Dharma Pancasila Medan tahun 2005. Pada tahun 2005 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara (USU) fakultas MIPA Program Studi Matematika pada Jenjang Strata Satu (S-1) dan lulus tahun 2009. Pada Tahun 2010 penulis diangkat menjadi dosen honorer di Sekolah Tinggi Teknik Harapan (STTH) Medan jurusan Teknik Informatika, dan di tahun yang sama juga menjadi asisten dosen dari Prof. Dr. Tulus, M.Si di Universitas Islam Sumatera Utara (UISU) hingga sekarang. Pada tahun 2011 diangkat menjadi dosen tetap di Sekolah Tinggi Teknik Harapan (STTH) Medan jurusan Teknik Informatika dan menjadi asisten dosen dari Dra. Elly Rosmaini, M.Si di Universitas Sumatera Utara.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA
Halaman i ii
iii v vi viii
1
1 2 3 3 3
4
BAB 3 LINTASAN TERPENDEK
7
3.1 Permasalahan Lintasan Terpendek 3.1.1 Permasalahan 3.1.2 Proses yang Terkait
7 8 9
BAB 4 LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TER-
LARANG
11
4.1 Algoritma untuk Lintasan Terpendek s − t 4.2 Modifikasi Graf
11 13
vi
Universitas Sumatera Utara
4.3 Membangun Tree 4.4 Koreksi dan Analisa Hasil Modifikasi Graf
4.4.1 Kebenaran dari Modifikasi Graf 4.4.2 Kebenaran dari Konstruksi Tree 4.4.3 Analisa Waktu dan Ruang Syarat 4.5 Contoh Kasus
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA
15 16 16 18 19 22
25
25 25 26
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Lintasan Terpendek
11
4.2 Lintasan Terpendek menghindari x, dimana x = (s, a, b, t)
12
4.3 Replikasi verteks Gi′−1. Garis putus-putus menunjukkan 8 salinan dari pengecualian
14
4.4 Modifikasi Gi−1 ke Gi, pengecualian (vr−3, vr−2, vr−1, vr, vr+1) dengan l=3 14
4.5 Graf G
22
4.6 Tree T0
23
4.7 Graf lintasan terpendek yang mengandung x = (s, a, t)
23
4.8 Tree T1
24
4.9 Graf lintasan terpendek yang tidak mengandung x
24
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Masalah lintasan terpendek dapat diselesaikan dengan beberapa algoritma seperti algoritma Warshall, algoritma Dijkstra, algoritma Greedy, algoritma Bellman. Lintasan Terpendek juga dapat diselesaikan dengan adanya kendala sampingan yaitu dengan adanya lintasan terlarang. Diberikan sebuah graf berbobot G, verteks-verteks s dan t, dan sebuah himpunan X (exception) sebagai lintasan terlarang di G, pencarian lintasan terpendek P dari s − t sehingga tidak ada lintasan bagian dari P yang mengandung X. Lintasan P dijinkan mengulang tiap verteks dan edgesnya. Kata kunci: Graf berbobot, Lintasan terpendek, Kendala sampingan, Lintasan
terlarang
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The Shortest path Problem can be solved with several algorithms such as Warshall’s Algorithm, Dijkstra’s Algorithm, Greedy’s Algorithm, Bellman’s Algorithm. The Shortest path can also be solved with the side constraint is the presence of forbidden path. Given a weighted graph G and vertices s and t, and given a set X (exception) of forbidden paths in G, find a shortest s − t path P such that no path in X is a subpath of P . Path P is allowed to repeat vertices and edges. Keyword: Weight graph, Shortest path, Side constraints, Forbidden path
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Ada banyak permasalahan dari optimisasi kombinatorial, salah satunya adalah pencarian lintasan terpendek pada teori graf. Pencarian lintasan terpendek dapat digunakan dengan beberapa algoritma, yang masing-masing algoritma memiliki kelebihan dan kekurangan. Apabila sebuah lintasan tidak melalui verteks lebih dari satu kali disebut dengan lintasan terpendek, dimana lintasan terpendek yang dimaksud dapat dicari dengan menggunakan graf yaitu digraf berbobot. Digraf (graf berarah) adalah suatu graf yang terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah, dimana titik-titik tersebut disebut dengan verteks dari digraf dan garis berarah yang menghubungkan titik-titik tersebut disebut arc dari digraf.
Dalam Tesis ini masalah yang akan dibahas adalah pencarian lintasan terpendek dari s ke t dengan adanya kendala sampingan. Kendala sampingan dari permasalahannya adalah lintasan terlarang yang tidak dapat menjadi bagian dari solusi. Lintasan terlarang adalah lintasan yang menghindari himpunan X, dimana X adalah lintasan bagian dari P (P adalah lintasan dalam G). Permasalahan dari lintasan terpendek yaitu diberikan sebuah graf berbobot G(V, E), verteks s dan t, dan himpunan X dari lintasan terlarang dalam graf G, pencarian lintasan terpendek s−t sehingga tidak ada lintasan dalam X yang menjadi lintasan bagian dari P .
Ahmed dan Lubiw (2009) memberikan ide untuk menangani lintasan terlarang oleh verteks replikasi dan menghapus edge sehingga salinan dari lintasan terlarang adalah edge terakhir dan pertama yang telah dihapus. Hasilnya adalah pengecualian lintasan terlarang yang memungkinkan dari semua lintasan bagiannya. Tantangan utamanya adalah verteks replikasi dapat dihasilkan dalam eksponensial jumlah salinan dari setiap lintasan terlarang yang saling tumpang tindih. Pasangan verteks replikasi dibangun dari pohon lintasan terpendek dengan mempertahankan susunan dalam pohon membuktikan bahwa salinan tambahan lin-
1
Universitas Sumatera Utara
2
tasan terlarang yang dihasilkan oleh verteks replikasi tidaklah penting. Villeneuve dan Desaulniers (2005) mengatasi tantangan tersebut dengan mengidentifikasikan dan meringkas lintasan terlarang yang saling tumpang tindih, dan melakukan pendekatan yang tidak memungkinkan karena tidak memiliki akses terhadap X.
Matthew dan Kevin (2008) mengembangkan prosedur untuk menghitung lintasan terpendek yang mengarah ke algoritma untuk masalah kendala lintasan terpendek. Permasalahan lintasan terpendek dalam jaringan dengan edge positif dimana diperbolehkan beberapa edge berbobot negatif tetapi panjang cycle tidak boleh negatif dapat diselesaikan dengan mudah dalam waktu polinomial. Fujisawa, Ota, Sugiyama dan Tsugaki (2008) membatasi permasalahan dengan graf tak berarah tanpa loop atau beberapa edge dan menggunakan kondisi dalam subgraf terlarang sebagai hasilnya. Pach dan Tardos (2006) mempertanyakan ada berapa banyak edge yang terdapat dalam graf teratur dari n verteks yang dimiliki jika edge-edge tersebut tidak mengandung subgraf teratur H vang terlarang? Jawaban dari pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagai masalah eksternal dari matriks tree menghindari pola tertentu P (submatrix).
Szeider (2002) mempelajari perhitungan lengkap dalam mencari lintasan T yang sesuai diantara dua verteks yang diberikan dari sebuah graf untuk menentukan transisi sistem T subset A. Kriteria dasar dalam memasukkan verteks subgraf dimana memutuskan NP-complete atau dapat diselesaikan dalam waktu linier akan berlaku untuk setiap kelas A yang diberikan. Yinnone (1997) Menyarankan bahwa proses pengujian kode yang didahului dengan mengindentifikasi pasangan branch dari program yang saling bertentangan, kemudian membangun lintasan setiap pegujian yang memuat paling banyak satu branch dari setiap pasangan yang bertentangan. Pendekatan ini dimaksudkan untuk meningkatkan proses pengujian dengan tidak mengeksekusi lintasan pengujiannya.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menentukan lintasan terlarang sebagai kendala sampingan dalam pencarian lintasan terpendek.
Universitas Sumatera Utara
3 1.3 Tujuan Penelitian Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah mengindentifikasi algoritma dalam pencarian lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang.
1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang pencarian lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang.
1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan informasi dari referensi buku dan jurnal. 2. Menjelaskan secara lengkap mengenai pencarian lintasan terpendek dengan
adanya lintasan terlarang. 3. Membuat beberapa contoh dari masalah pencarian lintasan terpendek dengan
adanya lintasan terlarang. 4. Menentukan lintasan terlarang dan mencari hasilnya. 5. Mengidentifikasi algoritma dari pencarian lintasan terpendek dengan adanya
lintasan terlarang.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
Ahmed dan Lubiw (2009) mengatakan bahwa pencarian lintasan terpendek dapat dilakukan dengan mengindentifikasi sebuah lintasan terlarang x dimana lintasan bagian dari P tidak mengandung x sebagai bagian dari lintasannya. Permasalahan dapat diselesaikan jika hanya x saja yang menjadi lintasan terlarang dalam G. Jika terdapat lebih dari satu lintasan terlarangnya maka mereka menggunakan algoritma untuk lintasan terpendek s − t. Setelah itu mereka memodifikasi graf, membangun tree, mengoreksi dan menganalisa kebenarannya. Mereka memperkenalkan versi baru dari masalah lintasan terpendek dimana selain menghindari juga menemukan lintasan terlarang dengan memberikan implementasi algoritma dalam waktu polinomial dan penambahan dari Dijkstra. Kelemahan algoritma untuk lintasan terpendek s − t adalah tidak semua lintasan terlarang dapat ditemukan di X, dengan fakta lamanya waktu dari algoritma ditentukan oleh gangguan lintasan terpendek yang didapat dari s − t.
Carlyle dan Wood (2008) mengatakan bahwa prosedur yang paling efisien tersedia adalah masalah lintasan terpendek dengan satu atau lebih kendala sampingan dalam total bobot untuk lintasan yang optimal. Akan dilakukan pemeriksaan prosedur alternatif pada kendala samping, mengoptimalkan hasil fungsi Lagrang kemudian menutup kesenjangan dualitas melalui perhitungan dari lintasan terpendek. Pengembangan prosedur untuk perhitungan dari lintasan terpendek mengarah pada algoritma untuk masalah kendala samping lintasan terpendek. Masalah lintasan terpendek dalam jaringan dengan panjang edge tidak negatif atau panjang edge boleh negatif tetapi cyclenya tidak boleh negatif dapat diselesaikan dengan mudah. Bagaimanapun, jika masing-masing edge memiliki bobot disamping panjangnya, dan jika kendala samping tunggal ditempatkan pada lintasan total bobot yang optimal maka masalah ini menjadi program nonlinier lengkap (Garey dan Johnson, 1979).
Fujisawa, et al (2008) memutuskan bahwa batasan graf tak berarah tanpa
4
Universitas Sumatera Utara
5
loop atau beberapa edge. Lintasan atau cycle yang termasuk semua verteks dari graf dinamakan lintasan atau cycle hamilton. Ada banyak hasil dalam keberadaan dari lintasan atau cycle dalam graf. Meskipun subgraf terlarang adalah bagian utama dalam mencari lintasan atau cycle hamilton, terdapat bebebrapa hasil yang meggunakan kondisi dalam subgraf terlarang untuk mencari cycle yang melalui verteks tertentu. Mereka menggunakan kondisi dalam subgraf terlarang sebagai hasilnya.
Istilah-istilah baku graf dalam tulisan ini diambil dari Gross dan Yellen (2006). Siang (2009) dalam buku matematika diskrit dan aplikasinya pada ilmu komputer menerangkan bahwa notasi-O (dibaca notasi big-oh/O-besar). dinyatakan sebagai laju pertumbuhan. Notasi-O memberikan cara untuk menyatakan laju pertumbuhan algoritma secara global/aproksimasi dan tidak memperhatikan perbedaan faktor konstanta serta perbedaa-perbedaan lain yang tidak begitu berpengaruh. Pach dan Tardos (2006) membantah dugaan umum yang terkait dengan permasalahan dan menggantikannya dengan beberapa alternatif lemah. Mereka membuktikan dugaan mereka dalam kasus spesial ketika P adalah matriks adjacent dari graf siklik dan mendiskusikan jawaban yang sama ketika pola terlarangnya adalah matriks adjacent dari cycle. Hasilnya mengarah pada bukti baru dari fakta bahwa jumlah waktu dan jarak unit dapat terjadi diantara batasan n dalam bidang O(n4/3).
Permasalahan lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang diperkenalkan oleh Villeneuve dan Desaulniers (2005). Mereka menganggap variansi dibatasi oleh masalah lintasan terpendek dengan mengambil kendala berdasarkan bentuk lintasan terlarang (barisan dari arc) yang bukan menjadi bagian dari solusinya. Masalah lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang (shortest path problem with forbidden paths (SP P F P )) dapat mengijinkan atau tidaknya terjadi cycles, seperti untuk masalah k lintasan terpendek. Selain itu mereka juga memperkenalkan masalah SPPFP, menyediakan dua algoritma dalam menyelesaikannya dan mengijinkan solusi dari lintasannya mengandung cycles. Kelemahan dari algoritma adalah tidak dapat menangani kasus dimana himpunan lintasan terlarang tidak diberikan secara jelas.
Universitas Sumatera Utara
6
Szeider (2002) menemukan lintasan untuk menghindari transitions terlarang graf mengatakan bahwa permasalahan dari menemukan lintasan diantara dua verteks yang diberikan menghindari transitions terlarang disebut dengan compatible. Mereka memasukkan sebuah kriteria subgraf terlarang yang memutuskan antara NP-complete atau penyelesaian dalam waktu inier. Dalam kasus waktu linier mereka memakai algoritma tidak hanya memutuskan existensi saja tetapi tepatnya menemukan lintasan yang sesuai dalam waktu linier. Aplikasi dari hasil waktu linier adalah permasalahan untuk menemukan lintasan alternatif egde dalam pewarnaan graf dan hasil yang lengkap (Jensen dan Gutin, 1998).
H. Yinnone (1997) mengatakan bahwa permasalahan F − P AT H (F P ) dinamakan SF P . Permasalahan ini berhubungan kuat dengan beberapa permasalahan optimisasi dalam graf tidak berarah, seperti permasalahan dalam mencari nilai maksimum dari lintasan disjoint yang menghubungkan terminal tertentu dalam graf. Mereka menunjukkan SPF sama dengan permasalahan lintasan tambahan (AP ) dari teori matching, yaitu menemukan lintasan yang menghubungkan dua verteks yang bebas sehubungan dengan matching dalam graf. Mereka mendefinisikan gagasan F −cut, sebuah partition khusus dari digraf dengan s dan t merupakan komponen khususnya, dan dengan beberapa disconnectivity berarah antara komponen tertentu. Dengan memakai gagasan F −cut, mereka mendapat kriteria solvabilitas untuk SPF yaitu terdapat sebuat lintasan F dalam D jika dan hanya jika tidak terdapat F −cut dalam D.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 LINTASAN TERPENDEK
3.1 Permasalahan Lintasan Terpendek
Permasalahan dalam rute jaringan optik dari jaringan Nortel merupakan motivasi untuk lintasan terpendek menghindari X. Dalam sebuah jaringan optik saat sinar cahaya dari panjang gelombang mengikuti lintasan P yang terdiri dari barisan serat optik, kemungkinan akan gagal untuk mencapai titik akhir dari P karena sebabkan oleh berbagai gangguan transmisi seperti attenuation, crosstalk, dispersi dan non-linearities. Kegagalan ini mungkin terjadi meskipun sinar mampu mengikuti subpath P ′ dari P . Terjadi gangguan non-transitive karena bergantung pada berbagai parameter fisik lintasan yang dilalui seperti panjang lintasan, jenis serat, panjang gelombang dan jenis laser yang digunakan, lokasi dan keuntugan dari amplifier, jumlah dari titik balik, kerugian dari setiap titik baliknya dan lainlain. Dan efek dari parameter tersebut dapat berbeda secara drastis di P daripada P ′. Subpath terlarang menyediakan model straight-forward dalam situasi ini.
Sekarang beralih ke masalah menentukan lintasan terlarang. Karena besarnya jumlah parameter fisik yang terlibat, dan juga karena banyaknya variasi paramenter lifetime dalam komponen, tidak mudah untuk memodelkan lintasan yang mungkin. Peneliti dari Nortel menyarankan sebuah model dimana algoritma mengidentifikasi lintasan yang mungkin, dan kemudian lintasanbya dicoba dalam jaringan sebenarnya. Dalam hal kegagalan, uji selanjutnya dapat dapat dilakukan untuk menentukan subpath minimum yang terlarang. Karena tes ini mahal, rute algoritma harus mencoba beberapa lintasan yang mungkin. Secara khusus hal ini hampir mustahil untuk mengidentifikasi semua lintasan terlarang untuk waktu selanjutnya dan memiliki jumlah eksponensial lintasan yang mungkin untuk diperiksa didalam jaringan. Hal ini membenarkan asumsi yaitu tidak dimilikinya kajian utama dari lintasan terlarang dan menenentukan lintasan terlarang hanya dengan menguji lintasan yang mungkin.
Permasalahan lintasan terpendek menghindari X dapat juga diaplikasikan
7
Universitas Sumatera Utara
8
kedalam rute kendaraan. Subpath terlarang melibatkan pasangan dari edge yang sering terjadi pada permasalahan lalu lintas (tidak boleh membelok kekiri) dan dapat terjadi secara dinamis karena kendala jam sibuk, penutupan jalur, konstruksi dan lain-lainnya. Permasalahan lintasan terlarang kurang umum, tetapi dapat muncul misalnya lalu lintas sibuk memungkinan untuk berbelok kekiri segera setelah memasuki jalan multi jalur dari kanan. Jika rute kendaraan tunggal secara alami dapat menemukan jalan memutar dari sudut kegagalan ketika lintasan terlarangnya ditemukan. Hal ini berbeda dari pemodelan rute ulang dari s pada pencarian lintasan terlarang. Namun dalam situasi ketika kendaraan akan di kirim berulang kali, model yang akan dibahas tidak berlaku.
3.1.1 Permasalahan
Diberikan sebuah graf berarah G(V, E) dengan n = |V | verteks dan m = |E| edge dimana setiap edge e ∈ E memiliki bobot positif yang menunjukkan panjang. Diberikan juga verteks awal s ∈ V , verteks tujuan t ∈ V , dan sebuah himpunan X dari lintasan dalam G. Graf G dengan X dimodelkan kedalam jaringan komunikasi dengan sebuah paket tidak dapat mengikuti lintasan di X karena kendala fisik. Asumsikan bahwa algoritma dapat mengakses himpunan X dari lintasan terlarang hanya dengan melakukan pertanyaan yang meragukan. Setiap pertanyaan dari lintasan P dan jawaban meragukan dari yang lainnya adalah penegasan bahwa P menghindari X yang merupakan subpath dari P dan titik awal dalam P .
Akan dicari lintasan terpendek dari s ke t yang tidak terdapat lintasan dalam X sebagai subpath. Perlu di sampaikan bahwa lintasan adalah barisan dari masing-masing verteks yang terhubung oleh edge dengan verteks berikutnya dalam barisan. Perhatikan bahwa lintasan diperbolehkan mengunjungi verteks dan edge lebih dari sekali. Lintasan sederhana berarah dari verteks s ke verteks t dalam G dinamakan lintasan terlarang atau X jika sebuah paket tidak dapat melalui lintasan dari s ke t karena kendala fisik. Diberikan sebuah himpunan A dari lintasan terlarang, sebuah lintasan (v1, v2, v3, ..., vl) disebut A avoid jika (vi, vi+1, ..., vl) ∈/ A,∀i, j dimana 1 ≤ i > j ≤ l. Lintasan P dari s ke t disebut
Universitas Sumatera Utara
9
lintasan terpendek menghindari A jika panjang dari P adalah lintasan terpendek diantara semua menghindari A dari s ke t.
3.1.2 Proses yang Terkait
Lintasan terpendek dari s − t dalam graf dapat dihitung dalam waktu O(n log n + m) dan ruang linier menggunakan algoritma Dijkstra dengan deret Fibonacci jika semua bobot edge tak negatif dan sebaliknya dihitung dalam waktu O(mn) dan ruang linier menggunakan algoritma Bellman-Ford. Ketika bobot edge bernilai tak negatif, permasalahan dapat diselesaikan dalam waktu deterministik O(m log log n log log n) dan ruang linier jika graf berarah dan dalam waktu optimal jika graf tidak berarah. Dalam banyak kasus, terdapat algoritma acak dengan harapan waktu yang lebih baik serta skema pendekatan. Dua makalah baru mengenai lintasan terpendek dalam graf, memberikan isu menghindari himpunan lintasan terlarang, mengasumsikan bahwa semua lintasan terlarang paling utama diketahui. Makalah pertama memberikan hasil yang sulit. Szeider menunjukkan penggunaan dari 3-SAT, bahwa permasalahan menemukan lintasan terpendek sederhana menghindari X adalah NP-complete bahkan ketika lintasan terlarang lainnya memiliki dua edge. Jika lintasan terlarang utamanya tidak diketahui, untuk kasus lintasan sederhana hasilnya akan sulit diperoleh karena kurangnya pengetahuan dari lintasan terlarang sehingga permasalahannya menjadi lebih sulit.
Villenueve dan Desaulniers memberikan sebuah algoritma untuk lintasan terpendek menghindari X (kemungkinan tidak sederhana) untuk kasus ketika semua lintasan terlarang utama diketahui. Sebelum memproses graf dalam waktu O((n+L) log (n+L)+m+dL) dan ruang O(n+m+dL) sehingga lintasan terpendek dari s ke verteks dapat dicari dalam waktu O(n + L). Langkah pertama yang dilakukan adalah membangun DFA (deterministic finite automaton) dari himpunan lintasan terlarang menggunakan ide dari Aho dan Corasick, yang dapat mendeteksi dalam waktu linier dimana diberikan lintasan berisi verteks dari G yang diperkenalkan oleh Martins dan kemudian membangun tree lintasan terpendek untuk semua lintasan terlarang yang tidak diketahui. Algoritma secara lengkap
Universitas Sumatera Utara
10 akan ditunjukkan dalam bab selanjutnya, algoritma dapat menyelesaikan masalah dalam waktu perkiraan yang sama tetapi dalam ruang kurang (O(n + m + L)). Sekarang dapat diambil dua permasalahan sama yang saling berhubungan, tetapi dalam kenyataannya tidak memberikan solusi. Pertama adalah mempertahankan lintasan terpendek dalam graf dinamis, dimana edge mungkin gagal, bobot edge mungkin berubah. Lintasan terlarang tidak dapat dimodelkan oleh penghapusan edge atau memodifikasi biaya edge karena semua edge didalam lintasan terlarang tertentu mungkin penting. Yang kedua permasalahan yang tampak terhubung adalah menemukan k lintasan terpendek dalam graf. Ini merupakan persoalan Martins yang memperkenalkan tkenik replikasi verteks yang digunakan dalam algoritma ini. Tetapi permasalahan lintasan terpendek k berbeda dari situasi karena subpath terlarang mungkin menjadi hambatan yang ada dalam semua lintasan terpendek k untuk k ∈ ω(2n/2).
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN
TERLARANG
4.1 Algoritma untuk Lintasan Terpendek s − t Algoritma dimulai dengan akar tree lintasan terpendek yaitu s, dengan mengabaikan X. Selanjutnya akan di coba lintasan dari s − t dalam bentuk tree. Jika lintasan bebas X, maka dikerjakan. Sebaliknya jika tidak untuk mengambil X ke dalam perhitungan, modifikasi graf dengan menggunakan replikasi yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, dan memodifikasi tree lintasan terpendek yang cocok. Secara umum, mempertahankan modifikasi graf dan tree lintasan terpendek dalam graf yaitu diberikan lintasan terpendek dalam graf asli dari s untuk setiap verteks lainnya menghindari semua X yang diketahui. Pertama akan diilustrasikan idenya ke dalam contoh. Pandang graf G pada Gambar 4.1, dimana integernya menyatakan bobot edge, dan garis putus-putus menandakan lintasan terlarang x = (s, a, b, t). Untuk lebih sederhana menggunakan edge tidak berarah dalam Gambar untuk menunjukkan edge dua arah.
Gambar 4.1 Lintasan Terpendek
Dapat ditunjukkan melihat bahwa P = (s, c, a, b, t) adalah lintasan terpendek menghindari x dari s ke t. Untuk mencari P , pertama bentuk akar tree lintasan terpendek yaitu s (tandanya menggunakan berat edge dalam Gambar 4.1) dan kemudian mencoba lintasan (s, a, b, t) dalam tree. Lintasan mengalami
11
Universitas Sumatera Utara
12 kegagalan karena terdapat x, jadi gunakan teknik replikasi verteks serupa salah satunya oleh Martins untuk membuat tiruan dari verteks a dan b dan menghapus edge (s, a′) dan (b, t) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Lintasan Terpendek menghindari x, dimana x = (s, a, b, t) Kemudian bentuk akar tree lintasan terpendek yaitu s (tandanya menggunakan berat edge dalam gambar 4.2 dalam modifikasi graf, dan mencoba lintasan (s, c, a′, b′, t) yang mewakili lintasan P dalam G. Jika hanya x satu-satunya yang merupakan lintasan terlarang dalam G, maka selesai. Perhatikan bahwa pendekatan dapat menggandakan jumlah lintasan terlarang yang belum ditemukan. Andai y = (c, a, b) merupakan lintasan terlarang lainnya dalam G. Terdapat dua salinan dari y dalam modifikasi graf: (c, a, b) dan (c, a′, b′) dan keduanya dapat dihindari. Solusi permasalahan ganda telah menghasilkan tree lintasan terpendek sedemikian hingga paling banyak satu dari dua salinan yang didapatkan berikutnya. Algoritma untuk lintasan terpendek s − t diberikan sebagai berikut: 1. Bentuk tree lintasan terpendek T0 dengan akarnya adalah s dalam G0 = G; 2. Andai i = 1; 3. Kirim paket dari s ke t melalui lintasan dalam T0; 4. Ketika paket gagal mencapai t lakukan 5. Andai xi menjadi pengecualian yang menyebabkan kegagalan;
Universitas Sumatera Utara
13
6. Bentuk Gi dari Gi−1 oleh replikasi verteks tengah dari xi dan kemudian hapus egde yang dipilih;
7. Bentuk tree lintasan terpendek Ti dengan akarnya adalah s dalam Gi menggunakan Ti−1;
8. Kirim paket dari s ke t melalui lintasan Ti;
9. Andai i = i + 1;
Pada Algoritma untuk lintasan terpendek s−t, langkah 6 dan 7 akan dibahas selanjutnya dengan rincian masing-masingnya. Walaupun difokuskan pada iterasi tertentu i > 0, dengan menggunakan notasi: (i) lintasan dari s ke t dalam Ti−1 yaitu lintasan sepanjang yang dicoba untuk mengirimkan paket ke t dari langkah 4 dalam iterasi (s, v1, v2, ..., vp, t) dan (ii) pengecualian yang mencegah paket mencapai t dalam iterasi xi = (vr−l, vr−l+1, ..., vr, vr+1) yang terdiri dari edge l + 1.
4.2 Modifikasi Graf
Memodifikasi dari Gi−1 kedalam Gi pada langkah 6 dalam ith iterasi mengeliminasi pengecualian xi sambil menjaga semua lintasan menghindari x dalam G′i−1. Memodifikasi graf dapat dilakukan dengan dua tahap. Tahap pertama, dengan membuat graf G′i−1 oleh replikasi verteks dari xi (yaitu verteks vr−l+1, vr−l+2, ..., vr). Masukkan juga edge yang sesuai pada replikasi v′ dari verteks v. Khususnya ketika memasukkan v′ kedalam Gi−1, juga dimasukkan bobot edge yang sesuai antara v′ dan neighbors dari v. Mudah untuk melihat jika lintasan dalam Gi−1 dengan menggunakan l′ ≤ l verteks dari xi, kemudian terdapat tepat 2l′ salinan dari lintasan dalam G′i−1. Sehingga lintasan dalam Gi′−1 adalah menghindari xi jika tidak terdapat satupun dari 2l salinan dari xi.
Tahap kedua, bangun spanning subgraf Gi dari Gi′−1 dengan menghilangkan beberapa edge dari G′i−1 sedemikian hingga semua salinan dari xi dalam Gi′−1 di eliminasi, tetapi semua lintasan menghindari x− dalam Gi′−1 tetap tidak mengalami perubahan. Untuk membangun Gi dari G′i−1, hilangkan edge (vj−1, vj′ ) dan
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 4.3 : Replikasi verteks G′i−1. Garis putus-putus menunjukkan 8 salinan dari pengecualian
Gambar 4.4 : Modifikasi Gi−1 ke Gi, pengecualian (vr−3, vr−2, vr−1, vr, vr+1) dengan l=3
Universitas Sumatera Utara
15
(vj′ , vj−1) ∀ [r−l+1, r]. Edge (vr, vr+1) juga dihilangkan, semua edge keluar dari vr′ selain (vr′ , vr+1), dan semua edge keluar dari Vj′ selain (vj′ , vj′+1)∀j ∈ [r−l+1, r−1]. Gambar dua menunjukkan bagaimana neighborhood dari sebuah pengecualian diganti dari Gi−1 ke Gi.
Seperti sebelumnya edge tidak berarah pada Gambar 4.1 merupakan edge dua arah. Observasi 4.2. Graf Gi tidak mempunyai salinan dari xi. Pada Bagian 4.4 akan dibuktikan bahwa Gi masih mengandung semua lintasan menghindari xi dari Gi−1. Verteks dalam Gi[Gi′−1] terdapat juga didalam Gi−1 (yaitu satusatunya bukan replikasi dari verteks)disebut verteks lama dari Gi [masing-masing Gi′−1]. Perhatikan bahwa verteks dari G0 terdapat dalam Gi∀i ≥ 0. Verteks ini disebut dengan verteks asli dari Gi.
4.3 Membangun Tree
Dalam langkah 7 Algoritma untuk lintasan terpendek s − t membentuk sebuah tree Ti, yang mengandung lintasan terpendek menghindari xi dari s untuk setiap verteks lainnya dalam Gi−1. Tree Ti akarnya adalah s dan edgenya berjalan dari s. Tidak setiap lintasan terpendek tree di s dalam G dapat dijalankan. Dalam menjamin terminasi dari algoritma, Ti harus sama dengan Ti−1 , khususnya setiap lintasan menghindari xi dari s dalam Ti−1 berada dalam Ti. Perlunya pembatasan dijelaskan dalam bagian 4.4.3. Bentuk Ti yang diperlukan untuk memperoleh Ti−1 yang memungkinkan. Algoritma Dijkstra digunakan untuk memulai dari bagian Ti−1 yang mungkin diperoleh. Andai V ′ adalah himpunan dari verteks yang lebih baik dari replikasi verteks dalam Gi atau turunan dari vr+1 dalam Ti−1. Himpunan pertama akan ditetapkan bobot dari masing-masing v ∈ V ′ tidak berbatas, dan untuk sementara himpunan Ti=Ti−1 − V ′. Maka untuk masing-masing v ∈ V ′, meminimkan jumlah bobot dari v untuk semua edge (u, v) dari jumlah bobot dari u dan panjang dari (u, v). Pada akhirnya menginisialisasi antrian menggunakan Dijkstra dengan semua verteks dalam V ′ dan menjalankan loop dari algoritma Dijkstra. Setiap iterasi dari loop menambahkan satu verteks dalam V ′ sementara Ti. Ketika barisnya kosong, diperoleh tree akhir Ti.
Universitas Sumatera Utara
16
4.4 Koreksi dan Analisa Hasil Modifikasi Graf 4.4.1 Kebenaran dari Modifikasi Graf Pada bagian ini pembuktian diikuti oleh lemma, yang mana menggunakan gagasan dari lintasan korespondensi. Pertimbangkasan lintasan Pi dalam Gi. Dengan menggantikan setiap verteks dalam Pi yang tidak ada dalam Gi−1 dengan verteks terdahulu yang sesuai dalam Gi−1, diperoleh lintasan Pi−1 yang sesuai dalam Gi−1. Hal ini dimungkinkan karena setiap edge yang dari di dalam Gi adalah replikasi dari edge dalam Gi−1. Definisikan lintasan Pj yang sesuai dalam Gj∀j < i dengan mengulang argumen.
Lemma. Jika Pi adalah lintasan terlarang dari s ke verteks asli t dalam Gi, P0 adalah lintasan terpendek menghindari {x1, x2, ..., xi} dari s ke v dalam G0.
Untuk membuktikan lemma tersebut (mengulang seperti pada Lemma 4.4.3), yang pertama akan dibuktikan bahwa lintasan menghindari xi dalam Gi−1 kemungkinan berada dalam Gi (Lemma 4.4.2), menggunakan karakteristik yang diikuti dari sebuah lintasan menghindari xi dalam graf Gi′−1:
Lemma 4.4.1. Untuk setiap lintasan menghindari xi P dari s ke v hanya menggunakan verteks terdahulu dari G′i−1, dimana terdapat salinan dari P dalam Gi, dimulai dan diakhiri dari verteks terdahulu s dan v secara berurutan, dan kemungkinan melalui verteks replikasi yang sesuai.
Bukti. Graf Gi mengandung semua edge antara pasangan dari verteks lama dalam G′i−1 kecuali untuk edge berarah (vr, vr+1). Sehingga P tetap tidak berubah jika tidak menggunakan edge berarah. Sebaliknya akan mengulang bagian dari P dengan menggunakan edge berarah (vr, vr+1) menggunakan replikasi edge (vr′ , vr+1). Andai P = (s = w1, w2, ..., wq = v) dan (wj, wj+1) menjadi (vr, vr+1) dalam P . Penelusuran mundur P dari wj, andai h ≤ j menjadi indeks minimum seperti
Universitas Sumatera Utara
17
(wh, wh+1, ..., wj+1) adalah subpath dari xi. Karena P adalah menghindari xi, wh verteks perantara dari xi. Ini berarti bahwa h > 1, s = w1 bukan merupakan verteks perantara dari xi karena alasan berikut ini: (i) xi adalah sebuah lintasan dalam lintasan terpendek dengan akar tree s dalam Gi, dan (ii) tidak terdapat replikasi dari s dalam Gi. Oleh karena itu terdapat wh−1. Akan mengulang bagian dari P antara wh−1 dan wj+1 menggunakan replikasi verteks yang sesuai. dalam subpath (wh, ..., wj) dari xi. Perhatikan bahwa edge yang dibutuhkan dalam Gi (P tidak mengandung seluruh pengecualian xi) dan bagian dari P . Selain itu, P dimulai dan diakhiri dari verteks terdahulu s dan v secara berurutan.
Lemma 4.4.2. Lintasan menghindari xidari s ke v dalam Gi−1 mempunyai salinan dalam Gi dimulai dan diakhiri dari verteks terdahulu s dan v secara berurutan, dan mungkin berjalan melalui replikasi dari verteks yang sesuai.
Bukti. Andai P adalah lintasan menghindari xi dalam Gi. Karena tidak menghapus edge apapun dalam pembentukan G′i−1 dari Gi−1, P tetap tidak berubah dalam Gi′−1. Selain itu, P tidak menggunakan replikasi verteks dalam Gi′−1. Sehingga Lemma 4.4.1. menunjukkan bahwa P terdapat dalam Gi dengan verteks terdahulu yang sama pada titik akhir. Kemungkinan akan melalui replikasi dari verteks yang berhubungan.
Lemma 4.4.3. Jika Pi adalah lintasan terlarang dari s ke verteks asli v dalam Gi, P0 adalah lintasan terpendek menghindari {x1, x2, ..., xi} dari s ke v dalam Gi.
Bukti. Untuk setiap j ∈ [0, 1], andai Xj = {xj+1, xj+2, ..., xi}. Akan ditunjukkan ∀j, jika Pj adalah lintasan terpendek menghindari Xjdalam Gj, kemudian Pj−1 adalah lintasan menghindari Xj−1 dalam Gj−1. Lemma diikuti perkenalan dari j, dengan dasar j = i, karena Xi = ∅ dan Pi adalah lintasan terpendek menghindari xi dalam Gi.
Universitas Sumatera Utara
18
Jika Pj adalah lintasan terpendek menghindari Xj dalam Gj, Pj adalah menghindari Xj−1 karena Pj adalah menghindari x oleh observasi 3.1 dan Xj ∪ {xj} = Xj−1. Jadi lintasan Pj−1 yang berhubungan juga dengan menghindari Xj − 1. Jika diasumsikan dengan kontradiksi bahwa Pj−1 bukan lintasan terpendek menghindari Xj−1 dalam Gj−1, maka terdapat lintasan lainnya Pj′−1 dari s ke t dalam Gj−1 dimana menghindari Xj−1 lebih pendek dari Pj−1. Karena xj ∈ Xj−1, menghindari Pj′−1 dan oleh karena Lemma 4.4.2., terdapat salinan Pj′ dari lintasan Pj′−1 dalam Gj dimana verteks aslinya sama dengan titik akhirnya. Pj′−1 adalah menghindari Xj, Pj′ juga menghindari Xj. Hal ini tidak mungkin karena Pj′ lebih pendek dari Pj. Oleh karena itu Pj−1 adalah lintasan terpendek menghindari Xj−1dalam Gj−1.
4.4.2 Kebenaran dari Konstruksi Tree
Untuk menunjukkan pendekatan tambahan menggunakan bagian 3.2 untuk membangun Ti, yang pertama akan ditunjukan bahawa bagian dari Ti−1 tetap tidak berubah dalam Ti adalah susunan dari lintasan terpendek dari Gi:
Lemma 4.4.4. Untuk setiap verteks v yang tidak menurun dari vr+1 dalam Ti−1, lintasan P dari s ke v dalam Ti−1 adalah lintasan terpendek dalam Gi.
Bukti. Pertama akan ditunjukkan bahwa P berada di Gi. Setiap verteks dalam Ti−1 berada dalam Gi sebagai verteks terdahulu. Sehingga P berada dalam Gi melalui verteks terdahulu jika tidak ada edge dari P yang dihapus dalam Gi. Hanya sepasang edge diantara verteks terdahulu dalam Gi−1 yang dihapus di Gi yaitu (vr, vr+1). Karena v turunan dari dalam vr+1 Ti−1, P tidak menggunakan edge (vr, vr+1). Oleh karena itu tidak ada edge dari P yang dihapus dalam Gi. Sehingga P berada dalam Gi melalui verteks terdahulu.
Tidak ada modifikasi dari Gi−1 ke Gi′−1 dan tidak satupun G′i−1 ke Gi membuat shortcut antara pasangan verteks yang ada. Sehingga, tidak terdapat jarak
Universitas Sumatera Utara
19
antara sepasang verteks terdahulu yang berkurang setelah dimodifikasi. Oleh karena itu modifikasi tidak merubah P yang merupakan lintasan terpendek dalam Gi−1 dan P lintasan terpendek dalam Gi.
Lemma 4.4.5. Tree Ti adalah lintasan terpendek tree dalam Gi.
Bukti. Untuk setiap verteks v bukan merupakan turunan dari vr+1 dalam Ti−1, lintasan P dari s ke v dalam Ti sama dengan dalam Ti dan karena itu merupakan lintasan terpendek dalam Gi (Lemma 4.4.4). Untuk semua verteks v dalam Gi, digunakan algoritma Dijkstra yaitu lintasan dari s ke v dalam Ti adalan lintasan terpendek.
Lemma 4.4.3 dan 4.4.5 membuktikan algoritma kebenaran hasil akhir, yang dibangun pada bagian selanjutnya.
4.4.3 Analisa Waktu dan Ruang Syarat Walaupun setiap iterasi menghilangkan satu pengecualian yang dimodifikasi oleh graf, diperkenalkan salinan dari pengecualian yang pasti melalui replikasi verteks. Algoritma tidak selalu beriterasi seperti yang ditunjukkan pada bagian ini, pembentukan tree lintasan terpendek (pada bangian 3.2) menjamin bahwa tidak ditemukan lebih dari satu salinan dari pengecualian yang ada. Pertama akan ditunjukkan terdapat pengecualian dalam Gi−1 yang mempunyai lebih dari dua salinan dalam Gi (Lemma 4.4.6), dan kemudian dibuktikan bahwa satu dari dua salinan tidak pernah ditemukan pada iterasi berikutnya (Lemma 4.4.7):
Lemma 4.4.6. Andai y = xi merupakan pengecualian dalam Gi−1. Jika verteks akhir dari y bukan diantara verteks dari xi, maka Gi mengandung tepatnya satu salinan dari y. Sebaliknya, Gi berisi tepatnya dua salinan dari y. Pada kasus yang terakhir, satu salinan dari y dalam Gi diakhiri oleh verteks terdahulu v dan
Universitas Sumatera Utara
20
salinan lainnya diakhiri pada replikasi v′ yang berhubungan.
Bukti. Andai π = (w1, w2, ..., wj) merupakan barisan maksimum dari verteks dalam y sehinnga barisan bagian dari (vr−l+1, vr−l+2, ..., vr). Andai wj′ merupakan replikasi dari wj dalam Gi. Pertama akan ditunjukkan bahwa jika terdapat sebuah verteks v dalam y setelah π, sehingga tepat satu dari edge (wj, v) dan (wj′ , v) berada dalam Gi. Andaikan subgraf dari Gi dimasukkan kedalam himpunan dari replikasi verteks {vr′ −l+1, vr′ −l+2, ..., vr′ }: subgrafnya adalah lintasan berarah dari vr′ −l+1 ke vr′ dan hanya terdapat satu edge dari subgraf yaitu (vr′ , vr+1). Oleh karena itu , (i) ketika (wj, v) = (vr, vr+1), (wj′ , v) ∈ Gi dan (wj, v) ∈/ Gi. Sekarang G − i mempunyai tepat dua salinan dari π: satu melalui verteks terdahulu dan lainnya melalui replikasinya. Pernyataan tersebut menggambarkan bahwa verteks dalam y benar setelah π, Gi mempunyai lebih dari satu salinan y dari w1 ke v. Akan tetapi ketika π adalah akhir dari y, Gi mempunyai dua salinan y dari w1 ke wj. Kemudian lemma diikuti karena terdapat y yang mengandung verteks awal dari xi yang mempunyai tepat satu salinan dari G)i.
Lemma 4.4.7. Andai y = xi merupakan pengecualian dalam Gi−1 sehingga verteks akhir dari y bukan diantara verteks v dari xi. Salinan dari y diakhiri oleh verteks terdahulu v dalam Gi tidak ditemukan oleh algoritma dalam iterasi selanjutnya.
Bukti. Salinan dari lintasan (s, v1, v2, ..., vr) melalui verteks terdahulu dalam Gi yang mengandung v. Andai P bagian lintasan dari s ke v. Jelas bahwa P ∈ Ti−1, dan P tidak ada pengecualian. Sehingga bentuk Tj dari Tj−1 untuk setiap iterasi j ≥ i yang memastikan bahwa P ∈ Tj. Andai y1 adalah salinan dari y yang berakhir di v. sekarang y1 bukan merupakan lintasan bagian dari P karena P tidak ada. Untuk setiap j ≥ i, P ∈ Tj, P dan y1 berakhir pada verteks yang sama, oleh karena itu y1 ∈/ Tj. Sehingga paket dalam iterasi j tidak akan diikuti y1, dan y1 tidak ditemukan dalam iterasi.
Universitas Sumatera Utara
21
Lemma 4.4.8. Proses iterasi loop sebanyak waktu k = |X|.
Bukti. Untuk setiap iterasi i, Gi−1 mengandung xi. Setiap xi di dalam pengecualian Gi − 1 mempunyai satu atau dua salinan lainnya dalam Gi (Lemma 4.4.6). Oleh Lemma 4.4.7, jika pengecualian mempunyai dua salinan dalam Gi, hanya satu dari keduanya yang relevan dalam tahap proses berikutnya. Dengan demikian banyaknya pengecualian secara efektif menurun pada setiap iterasi.
Untuk menentukan waktu proses, perhatikan jumlah dari peningkatan verteks dalam setiap iterasi. Namun menjalankan algoritma Dijkstra pada verteks n dalam setiap iterasi, karena jumlah dari replikasi verteks dimasukkan kesetiap iterasi yang selalu kurang dari jumlah verteks dalam bagian lintasan terpendek tree, yang dilakukan melalui tree dalam penambahan menggunakan Dijkstra. Selain itu, dapat dipastikan bahwa algoritma Dijkstra mengjaki edge m dalam iterasi i, oleh penghapusan beberapa edge dari Gi setelah menunjukkan modifikasi graf yang digambarkan pada bagian 4.1.1. Lebih khususnya, untuk setiap verteks terdahulu v ∈ {vr−l+1, vr−l+2, ..., vr}, karena label (yaitu jarak dari s) diletakkan dalam v oleh algoritma Dijkstra dalam iterasi sebelumnya tidak berubah, hilangkan semua edge yang masuk dalam Gi dari v tanpa mempengaruhi modifikasi berikutnya. (Perhatikan bahwa untuk setiap j ∈ [r − l + 1, r], verteks terdahulu vj dan vj+1 tidak lagi berdekatan dalam Gi, walaupun edge (vj, vj+1) masih berada dalam Ti). Tidaklah sulit untuk melihat jumlah dari edge baru dalam Gi, yang sama dengan jumlah edge yang dihilangkan dari Gi−1.
Teorema 4.4.9. Algoritma menghitung lintasan terpendek menghindari X membutuhkan waktu O(kn log n + km) dan ruang O(n + m + L).
Bukti. Kebenaran algoritma mengikuti Lemma 4.4.3. dan 4.4.5.
Andai li adalah jumlah verteks dari pengecualian yang ditemukan pada iterasi ith (sehingga ukuran dari pengecualian adalah li+2). Iterasi ith menambahkan verteks li. Karena algoritma iterasi waktu k (Lemma 4.4.8.), terdapat
Universitas Sumatera Utara
22
n+
k i=1
li
<
n+L
verteks
dalam
batasan
graf.
Karena
setiap
iterasi
dari
jumlah
edge yang dimasukkan sama dengan jumlah edge yang dihilangkan, ruang yang
dibutuhkan adalah O(n + m + L).
Setiap iterasi dari algoritma diambil waktu O(|V | log |V | + |E|) = O(n log n + m) dan total waktu yang diikuti.
4.5 Contoh Kasus
Diberikan sebuah graf berbobot G seperti gambar 4.5 berikut dimana diberikan lintasan terlarang x = (s, a, t). Carilah lintasan terpendek dari s ke semua t dengan syarat tidak boleh melewati x.
Gambar 4.5 Graf G
Universitas Sumatera Utara
Langkah penyelesaian: 1. Bentuk tree T0 dari graf G dengan akarnya adalah s.
23
Gambar 4.6 Tree T0 Cari lintasan terpendek dari tree T0 yakni diperoleh lintasan terpendeknya yang merupakan lintasan terlarang x. Maka lintasan tersebut dinyatakan gagal karena mengandung x.
Gambar 4.7 Graf lintasan terpendek yang mengandung x = (s, a, t)
Universitas Sumatera Utara
2. Bentuk tree baru T1 dengan akarnya adalah s.
24
Gambar 4.8 Tree T1
Cari lintasan terpendek dari tree T1 yakni diperoleh lintasan terpendeknya s − b − a − t. Lintasan dapat dilalui karena tidak mengandung x.
Gambar 4.9 Graf lintasan terpendek yang tidak mengandung x Sehingga didapatkan lintasan terpendek dari graf tersebut yang tidak mengandung lintasan terlarang x yaitu lintasan s − b − a − t yang memiliki jumlah bobot 4.
Universitas Sumatera Utara
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Termotivasi oleh masalah praktis menemukan lintasan terpendek dalam jaringan optik, diperkenalkan versi terbaru dari permasalahn lintasan terpendek dimana harus menghindari lintasan terlarang. Telah dimodelkan model pencarian lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang berdasarkan kajian sebuah permasalahan yang diberikan dan memodelkan permasalahan ke dalam bentuk graf kemudian menganalisa permasalahan dengan algoritma yang difokuskan pada langkah 6 dan 7 yaitu memodifikasi graf dan membangun tree. Walaupun dalam prakteknya algoritma tidak akan menemukan semua lintasan terlarang dalam X. Permasalahan yang menarik adalah jumlah batasan dari lintasannya.
5.2 Saran Algoritma untuk lintasan terpendek s − t dalam prakteknya tidak mencari semua lintasan terlarangnya sehingga algoritmanya dapat berjalan lebih cepat. Oleh sebab itu, penulis menyarankan untuk mengembangkan algoritma untuk lintasan terpendek s − t dimana semua lintasan terlarangnya yang mungkin dapat dicari untuk memperoleh penyelesaian yang lebih baik lagi.
25
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Ahmed, M. dan Lubiw, A. 2009. Shortest path avoiding forbidden subpaths. Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (Freiburg) : hal. 63-47.
Carlyle, W. M. dan Wood, R. K. 2008. Lagrangian relaxation and enumeration for solving constrained shortest-path problems. Proccedings of the 38th annual ORSNZ conference.
Fujisawa, J., Ota, K., Sugiyama, T. dan Tsukagi M. 2008. Forbidden subgraph and the existence of paths and cycles passing through specified vertices. Discrete Mathematics: Vol. 308, hal. 6111-6114.
Gross, L. J dan Yellen, J. 2006. Graph Theory and Its Applications. Chapman & Hall/CRC.
Pach, J. dan Tardos, G. 2006. Forbidden paths and cycles in ordered graphs and matrices. Israel Journal of Mathematics: Vol. 155, hal. 359-380.
Siang, Jong Jek.
TESIS Oleh NENNA IRSA SYAHPUTRI 097021078/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TERLARANG
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh NENNA IRSA SYAHPUTRI
097021078/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TERLARANG
: Nenna Irsa Syahputri : 097021078 : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua
(Dr. Marwan Ramli, M.Si) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 19 Januari 2012
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 19 Januari 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Dra. Mardiningsih, M.Si
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Masalah lintasan terpendek dapat diselesaikan dengan beberapa algoritma seperti algoritma Warshall, algoritma Dijkstra, algoritma Greedy, algoritma Bellman. Lintasan Terpendek juga dapat diselesaikan dengan adanya kendala sampingan yaitu dengan adanya lintasan terlarang. Diberikan sebuah graf berbobot G, verteks-verteks s dan t, dan sebuah himpunan X (exception) sebagai lintasan terlarang di G, pencarian lintasan terpendek P dari s − t sehingga tidak ada lintasan bagian dari P yang mengandung X. Lintasan P dijinkan mengulang tiap verteks dan edgesnya. Kata kunci: Graf berbobot, Lintasan terpendek, Kendala sampingan, Lintasan
terlarang
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The Shortest path Problem can be solved with several algorithms such as Warshall’s Algorithm, Dijkstra’s Algorithm, Greedy’s Algorithm, Bellman’s Algorithm. The Shortest path can also be solved with the side constraint is the presence of forbidden path. Given a weighted graph G and vertices s and t, and given a set X (exception) of forbidden paths in G, find a shortest s − t path P such that no path in X is a subpath of P . Path P is allowed to repeat vertices and edges. Keyword: Weight graph, Shortest path, Side constraints, Forbidden path
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TERLARANG. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Tim Pembanding Tesis. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
iii
Universitas Sumatera Utara
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa angkatan 2009/2010 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Sarwo dan Ibunda Iriani yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, kepada kakak dan adik Nenny Asri Syahputri, S.Kom, Mimmy Sari Syahputri, Amd yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Allah Swt membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, amin.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.
Medan, 19 Januari 2012 Penulis,
Nenna Irsa Syahputri
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Nenna Irsa Syahputri dilahirkan di Medan pada tanggal 18 April 1987 dari pasangan Bapak Sarwo & Ibu Iriani dan merupakan anak ke dua dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 068332 Medan tahun 1999, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 31 Medan tahun 2002, Sekolah Menengah Atas (SMA) Swasta Dharma Pancasila Medan tahun 2005. Pada tahun 2005 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara (USU) fakultas MIPA Program Studi Matematika pada Jenjang Strata Satu (S-1) dan lulus tahun 2009. Pada Tahun 2010 penulis diangkat menjadi dosen honorer di Sekolah Tinggi Teknik Harapan (STTH) Medan jurusan Teknik Informatika, dan di tahun yang sama juga menjadi asisten dosen dari Prof. Dr. Tulus, M.Si di Universitas Islam Sumatera Utara (UISU) hingga sekarang. Pada tahun 2011 diangkat menjadi dosen tetap di Sekolah Tinggi Teknik Harapan (STTH) Medan jurusan Teknik Informatika dan menjadi asisten dosen dari Dra. Elly Rosmaini, M.Si di Universitas Sumatera Utara.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA
Halaman i ii
iii v vi viii
1
1 2 3 3 3
4
BAB 3 LINTASAN TERPENDEK
7
3.1 Permasalahan Lintasan Terpendek 3.1.1 Permasalahan 3.1.2 Proses yang Terkait
7 8 9
BAB 4 LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN TER-
LARANG
11
4.1 Algoritma untuk Lintasan Terpendek s − t 4.2 Modifikasi Graf
11 13
vi
Universitas Sumatera Utara
4.3 Membangun Tree 4.4 Koreksi dan Analisa Hasil Modifikasi Graf
4.4.1 Kebenaran dari Modifikasi Graf 4.4.2 Kebenaran dari Konstruksi Tree 4.4.3 Analisa Waktu dan Ruang Syarat 4.5 Contoh Kasus
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA
15 16 16 18 19 22
25
25 25 26
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Lintasan Terpendek
11
4.2 Lintasan Terpendek menghindari x, dimana x = (s, a, b, t)
12
4.3 Replikasi verteks Gi′−1. Garis putus-putus menunjukkan 8 salinan dari pengecualian
14
4.4 Modifikasi Gi−1 ke Gi, pengecualian (vr−3, vr−2, vr−1, vr, vr+1) dengan l=3 14
4.5 Graf G
22
4.6 Tree T0
23
4.7 Graf lintasan terpendek yang mengandung x = (s, a, t)
23
4.8 Tree T1
24
4.9 Graf lintasan terpendek yang tidak mengandung x
24
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Masalah lintasan terpendek dapat diselesaikan dengan beberapa algoritma seperti algoritma Warshall, algoritma Dijkstra, algoritma Greedy, algoritma Bellman. Lintasan Terpendek juga dapat diselesaikan dengan adanya kendala sampingan yaitu dengan adanya lintasan terlarang. Diberikan sebuah graf berbobot G, verteks-verteks s dan t, dan sebuah himpunan X (exception) sebagai lintasan terlarang di G, pencarian lintasan terpendek P dari s − t sehingga tidak ada lintasan bagian dari P yang mengandung X. Lintasan P dijinkan mengulang tiap verteks dan edgesnya. Kata kunci: Graf berbobot, Lintasan terpendek, Kendala sampingan, Lintasan
terlarang
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The Shortest path Problem can be solved with several algorithms such as Warshall’s Algorithm, Dijkstra’s Algorithm, Greedy’s Algorithm, Bellman’s Algorithm. The Shortest path can also be solved with the side constraint is the presence of forbidden path. Given a weighted graph G and vertices s and t, and given a set X (exception) of forbidden paths in G, find a shortest s − t path P such that no path in X is a subpath of P . Path P is allowed to repeat vertices and edges. Keyword: Weight graph, Shortest path, Side constraints, Forbidden path
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Ada banyak permasalahan dari optimisasi kombinatorial, salah satunya adalah pencarian lintasan terpendek pada teori graf. Pencarian lintasan terpendek dapat digunakan dengan beberapa algoritma, yang masing-masing algoritma memiliki kelebihan dan kekurangan. Apabila sebuah lintasan tidak melalui verteks lebih dari satu kali disebut dengan lintasan terpendek, dimana lintasan terpendek yang dimaksud dapat dicari dengan menggunakan graf yaitu digraf berbobot. Digraf (graf berarah) adalah suatu graf yang terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah, dimana titik-titik tersebut disebut dengan verteks dari digraf dan garis berarah yang menghubungkan titik-titik tersebut disebut arc dari digraf.
Dalam Tesis ini masalah yang akan dibahas adalah pencarian lintasan terpendek dari s ke t dengan adanya kendala sampingan. Kendala sampingan dari permasalahannya adalah lintasan terlarang yang tidak dapat menjadi bagian dari solusi. Lintasan terlarang adalah lintasan yang menghindari himpunan X, dimana X adalah lintasan bagian dari P (P adalah lintasan dalam G). Permasalahan dari lintasan terpendek yaitu diberikan sebuah graf berbobot G(V, E), verteks s dan t, dan himpunan X dari lintasan terlarang dalam graf G, pencarian lintasan terpendek s−t sehingga tidak ada lintasan dalam X yang menjadi lintasan bagian dari P .
Ahmed dan Lubiw (2009) memberikan ide untuk menangani lintasan terlarang oleh verteks replikasi dan menghapus edge sehingga salinan dari lintasan terlarang adalah edge terakhir dan pertama yang telah dihapus. Hasilnya adalah pengecualian lintasan terlarang yang memungkinkan dari semua lintasan bagiannya. Tantangan utamanya adalah verteks replikasi dapat dihasilkan dalam eksponensial jumlah salinan dari setiap lintasan terlarang yang saling tumpang tindih. Pasangan verteks replikasi dibangun dari pohon lintasan terpendek dengan mempertahankan susunan dalam pohon membuktikan bahwa salinan tambahan lin-
1
Universitas Sumatera Utara
2
tasan terlarang yang dihasilkan oleh verteks replikasi tidaklah penting. Villeneuve dan Desaulniers (2005) mengatasi tantangan tersebut dengan mengidentifikasikan dan meringkas lintasan terlarang yang saling tumpang tindih, dan melakukan pendekatan yang tidak memungkinkan karena tidak memiliki akses terhadap X.
Matthew dan Kevin (2008) mengembangkan prosedur untuk menghitung lintasan terpendek yang mengarah ke algoritma untuk masalah kendala lintasan terpendek. Permasalahan lintasan terpendek dalam jaringan dengan edge positif dimana diperbolehkan beberapa edge berbobot negatif tetapi panjang cycle tidak boleh negatif dapat diselesaikan dengan mudah dalam waktu polinomial. Fujisawa, Ota, Sugiyama dan Tsugaki (2008) membatasi permasalahan dengan graf tak berarah tanpa loop atau beberapa edge dan menggunakan kondisi dalam subgraf terlarang sebagai hasilnya. Pach dan Tardos (2006) mempertanyakan ada berapa banyak edge yang terdapat dalam graf teratur dari n verteks yang dimiliki jika edge-edge tersebut tidak mengandung subgraf teratur H vang terlarang? Jawaban dari pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagai masalah eksternal dari matriks tree menghindari pola tertentu P (submatrix).
Szeider (2002) mempelajari perhitungan lengkap dalam mencari lintasan T yang sesuai diantara dua verteks yang diberikan dari sebuah graf untuk menentukan transisi sistem T subset A. Kriteria dasar dalam memasukkan verteks subgraf dimana memutuskan NP-complete atau dapat diselesaikan dalam waktu linier akan berlaku untuk setiap kelas A yang diberikan. Yinnone (1997) Menyarankan bahwa proses pengujian kode yang didahului dengan mengindentifikasi pasangan branch dari program yang saling bertentangan, kemudian membangun lintasan setiap pegujian yang memuat paling banyak satu branch dari setiap pasangan yang bertentangan. Pendekatan ini dimaksudkan untuk meningkatkan proses pengujian dengan tidak mengeksekusi lintasan pengujiannya.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menentukan lintasan terlarang sebagai kendala sampingan dalam pencarian lintasan terpendek.
Universitas Sumatera Utara
3 1.3 Tujuan Penelitian Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah mengindentifikasi algoritma dalam pencarian lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang.
1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang pencarian lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang.
1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan informasi dari referensi buku dan jurnal. 2. Menjelaskan secara lengkap mengenai pencarian lintasan terpendek dengan
adanya lintasan terlarang. 3. Membuat beberapa contoh dari masalah pencarian lintasan terpendek dengan
adanya lintasan terlarang. 4. Menentukan lintasan terlarang dan mencari hasilnya. 5. Mengidentifikasi algoritma dari pencarian lintasan terpendek dengan adanya
lintasan terlarang.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
Ahmed dan Lubiw (2009) mengatakan bahwa pencarian lintasan terpendek dapat dilakukan dengan mengindentifikasi sebuah lintasan terlarang x dimana lintasan bagian dari P tidak mengandung x sebagai bagian dari lintasannya. Permasalahan dapat diselesaikan jika hanya x saja yang menjadi lintasan terlarang dalam G. Jika terdapat lebih dari satu lintasan terlarangnya maka mereka menggunakan algoritma untuk lintasan terpendek s − t. Setelah itu mereka memodifikasi graf, membangun tree, mengoreksi dan menganalisa kebenarannya. Mereka memperkenalkan versi baru dari masalah lintasan terpendek dimana selain menghindari juga menemukan lintasan terlarang dengan memberikan implementasi algoritma dalam waktu polinomial dan penambahan dari Dijkstra. Kelemahan algoritma untuk lintasan terpendek s − t adalah tidak semua lintasan terlarang dapat ditemukan di X, dengan fakta lamanya waktu dari algoritma ditentukan oleh gangguan lintasan terpendek yang didapat dari s − t.
Carlyle dan Wood (2008) mengatakan bahwa prosedur yang paling efisien tersedia adalah masalah lintasan terpendek dengan satu atau lebih kendala sampingan dalam total bobot untuk lintasan yang optimal. Akan dilakukan pemeriksaan prosedur alternatif pada kendala samping, mengoptimalkan hasil fungsi Lagrang kemudian menutup kesenjangan dualitas melalui perhitungan dari lintasan terpendek. Pengembangan prosedur untuk perhitungan dari lintasan terpendek mengarah pada algoritma untuk masalah kendala samping lintasan terpendek. Masalah lintasan terpendek dalam jaringan dengan panjang edge tidak negatif atau panjang edge boleh negatif tetapi cyclenya tidak boleh negatif dapat diselesaikan dengan mudah. Bagaimanapun, jika masing-masing edge memiliki bobot disamping panjangnya, dan jika kendala samping tunggal ditempatkan pada lintasan total bobot yang optimal maka masalah ini menjadi program nonlinier lengkap (Garey dan Johnson, 1979).
Fujisawa, et al (2008) memutuskan bahwa batasan graf tak berarah tanpa
4
Universitas Sumatera Utara
5
loop atau beberapa edge. Lintasan atau cycle yang termasuk semua verteks dari graf dinamakan lintasan atau cycle hamilton. Ada banyak hasil dalam keberadaan dari lintasan atau cycle dalam graf. Meskipun subgraf terlarang adalah bagian utama dalam mencari lintasan atau cycle hamilton, terdapat bebebrapa hasil yang meggunakan kondisi dalam subgraf terlarang untuk mencari cycle yang melalui verteks tertentu. Mereka menggunakan kondisi dalam subgraf terlarang sebagai hasilnya.
Istilah-istilah baku graf dalam tulisan ini diambil dari Gross dan Yellen (2006). Siang (2009) dalam buku matematika diskrit dan aplikasinya pada ilmu komputer menerangkan bahwa notasi-O (dibaca notasi big-oh/O-besar). dinyatakan sebagai laju pertumbuhan. Notasi-O memberikan cara untuk menyatakan laju pertumbuhan algoritma secara global/aproksimasi dan tidak memperhatikan perbedaan faktor konstanta serta perbedaa-perbedaan lain yang tidak begitu berpengaruh. Pach dan Tardos (2006) membantah dugaan umum yang terkait dengan permasalahan dan menggantikannya dengan beberapa alternatif lemah. Mereka membuktikan dugaan mereka dalam kasus spesial ketika P adalah matriks adjacent dari graf siklik dan mendiskusikan jawaban yang sama ketika pola terlarangnya adalah matriks adjacent dari cycle. Hasilnya mengarah pada bukti baru dari fakta bahwa jumlah waktu dan jarak unit dapat terjadi diantara batasan n dalam bidang O(n4/3).
Permasalahan lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang diperkenalkan oleh Villeneuve dan Desaulniers (2005). Mereka menganggap variansi dibatasi oleh masalah lintasan terpendek dengan mengambil kendala berdasarkan bentuk lintasan terlarang (barisan dari arc) yang bukan menjadi bagian dari solusinya. Masalah lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang (shortest path problem with forbidden paths (SP P F P )) dapat mengijinkan atau tidaknya terjadi cycles, seperti untuk masalah k lintasan terpendek. Selain itu mereka juga memperkenalkan masalah SPPFP, menyediakan dua algoritma dalam menyelesaikannya dan mengijinkan solusi dari lintasannya mengandung cycles. Kelemahan dari algoritma adalah tidak dapat menangani kasus dimana himpunan lintasan terlarang tidak diberikan secara jelas.
Universitas Sumatera Utara
6
Szeider (2002) menemukan lintasan untuk menghindari transitions terlarang graf mengatakan bahwa permasalahan dari menemukan lintasan diantara dua verteks yang diberikan menghindari transitions terlarang disebut dengan compatible. Mereka memasukkan sebuah kriteria subgraf terlarang yang memutuskan antara NP-complete atau penyelesaian dalam waktu inier. Dalam kasus waktu linier mereka memakai algoritma tidak hanya memutuskan existensi saja tetapi tepatnya menemukan lintasan yang sesuai dalam waktu linier. Aplikasi dari hasil waktu linier adalah permasalahan untuk menemukan lintasan alternatif egde dalam pewarnaan graf dan hasil yang lengkap (Jensen dan Gutin, 1998).
H. Yinnone (1997) mengatakan bahwa permasalahan F − P AT H (F P ) dinamakan SF P . Permasalahan ini berhubungan kuat dengan beberapa permasalahan optimisasi dalam graf tidak berarah, seperti permasalahan dalam mencari nilai maksimum dari lintasan disjoint yang menghubungkan terminal tertentu dalam graf. Mereka menunjukkan SPF sama dengan permasalahan lintasan tambahan (AP ) dari teori matching, yaitu menemukan lintasan yang menghubungkan dua verteks yang bebas sehubungan dengan matching dalam graf. Mereka mendefinisikan gagasan F −cut, sebuah partition khusus dari digraf dengan s dan t merupakan komponen khususnya, dan dengan beberapa disconnectivity berarah antara komponen tertentu. Dengan memakai gagasan F −cut, mereka mendapat kriteria solvabilitas untuk SPF yaitu terdapat sebuat lintasan F dalam D jika dan hanya jika tidak terdapat F −cut dalam D.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 LINTASAN TERPENDEK
3.1 Permasalahan Lintasan Terpendek
Permasalahan dalam rute jaringan optik dari jaringan Nortel merupakan motivasi untuk lintasan terpendek menghindari X. Dalam sebuah jaringan optik saat sinar cahaya dari panjang gelombang mengikuti lintasan P yang terdiri dari barisan serat optik, kemungkinan akan gagal untuk mencapai titik akhir dari P karena sebabkan oleh berbagai gangguan transmisi seperti attenuation, crosstalk, dispersi dan non-linearities. Kegagalan ini mungkin terjadi meskipun sinar mampu mengikuti subpath P ′ dari P . Terjadi gangguan non-transitive karena bergantung pada berbagai parameter fisik lintasan yang dilalui seperti panjang lintasan, jenis serat, panjang gelombang dan jenis laser yang digunakan, lokasi dan keuntugan dari amplifier, jumlah dari titik balik, kerugian dari setiap titik baliknya dan lainlain. Dan efek dari parameter tersebut dapat berbeda secara drastis di P daripada P ′. Subpath terlarang menyediakan model straight-forward dalam situasi ini.
Sekarang beralih ke masalah menentukan lintasan terlarang. Karena besarnya jumlah parameter fisik yang terlibat, dan juga karena banyaknya variasi paramenter lifetime dalam komponen, tidak mudah untuk memodelkan lintasan yang mungkin. Peneliti dari Nortel menyarankan sebuah model dimana algoritma mengidentifikasi lintasan yang mungkin, dan kemudian lintasanbya dicoba dalam jaringan sebenarnya. Dalam hal kegagalan, uji selanjutnya dapat dapat dilakukan untuk menentukan subpath minimum yang terlarang. Karena tes ini mahal, rute algoritma harus mencoba beberapa lintasan yang mungkin. Secara khusus hal ini hampir mustahil untuk mengidentifikasi semua lintasan terlarang untuk waktu selanjutnya dan memiliki jumlah eksponensial lintasan yang mungkin untuk diperiksa didalam jaringan. Hal ini membenarkan asumsi yaitu tidak dimilikinya kajian utama dari lintasan terlarang dan menenentukan lintasan terlarang hanya dengan menguji lintasan yang mungkin.
Permasalahan lintasan terpendek menghindari X dapat juga diaplikasikan
7
Universitas Sumatera Utara
8
kedalam rute kendaraan. Subpath terlarang melibatkan pasangan dari edge yang sering terjadi pada permasalahan lalu lintas (tidak boleh membelok kekiri) dan dapat terjadi secara dinamis karena kendala jam sibuk, penutupan jalur, konstruksi dan lain-lainnya. Permasalahan lintasan terlarang kurang umum, tetapi dapat muncul misalnya lalu lintas sibuk memungkinan untuk berbelok kekiri segera setelah memasuki jalan multi jalur dari kanan. Jika rute kendaraan tunggal secara alami dapat menemukan jalan memutar dari sudut kegagalan ketika lintasan terlarangnya ditemukan. Hal ini berbeda dari pemodelan rute ulang dari s pada pencarian lintasan terlarang. Namun dalam situasi ketika kendaraan akan di kirim berulang kali, model yang akan dibahas tidak berlaku.
3.1.1 Permasalahan
Diberikan sebuah graf berarah G(V, E) dengan n = |V | verteks dan m = |E| edge dimana setiap edge e ∈ E memiliki bobot positif yang menunjukkan panjang. Diberikan juga verteks awal s ∈ V , verteks tujuan t ∈ V , dan sebuah himpunan X dari lintasan dalam G. Graf G dengan X dimodelkan kedalam jaringan komunikasi dengan sebuah paket tidak dapat mengikuti lintasan di X karena kendala fisik. Asumsikan bahwa algoritma dapat mengakses himpunan X dari lintasan terlarang hanya dengan melakukan pertanyaan yang meragukan. Setiap pertanyaan dari lintasan P dan jawaban meragukan dari yang lainnya adalah penegasan bahwa P menghindari X yang merupakan subpath dari P dan titik awal dalam P .
Akan dicari lintasan terpendek dari s ke t yang tidak terdapat lintasan dalam X sebagai subpath. Perlu di sampaikan bahwa lintasan adalah barisan dari masing-masing verteks yang terhubung oleh edge dengan verteks berikutnya dalam barisan. Perhatikan bahwa lintasan diperbolehkan mengunjungi verteks dan edge lebih dari sekali. Lintasan sederhana berarah dari verteks s ke verteks t dalam G dinamakan lintasan terlarang atau X jika sebuah paket tidak dapat melalui lintasan dari s ke t karena kendala fisik. Diberikan sebuah himpunan A dari lintasan terlarang, sebuah lintasan (v1, v2, v3, ..., vl) disebut A avoid jika (vi, vi+1, ..., vl) ∈/ A,∀i, j dimana 1 ≤ i > j ≤ l. Lintasan P dari s ke t disebut
Universitas Sumatera Utara
9
lintasan terpendek menghindari A jika panjang dari P adalah lintasan terpendek diantara semua menghindari A dari s ke t.
3.1.2 Proses yang Terkait
Lintasan terpendek dari s − t dalam graf dapat dihitung dalam waktu O(n log n + m) dan ruang linier menggunakan algoritma Dijkstra dengan deret Fibonacci jika semua bobot edge tak negatif dan sebaliknya dihitung dalam waktu O(mn) dan ruang linier menggunakan algoritma Bellman-Ford. Ketika bobot edge bernilai tak negatif, permasalahan dapat diselesaikan dalam waktu deterministik O(m log log n log log n) dan ruang linier jika graf berarah dan dalam waktu optimal jika graf tidak berarah. Dalam banyak kasus, terdapat algoritma acak dengan harapan waktu yang lebih baik serta skema pendekatan. Dua makalah baru mengenai lintasan terpendek dalam graf, memberikan isu menghindari himpunan lintasan terlarang, mengasumsikan bahwa semua lintasan terlarang paling utama diketahui. Makalah pertama memberikan hasil yang sulit. Szeider menunjukkan penggunaan dari 3-SAT, bahwa permasalahan menemukan lintasan terpendek sederhana menghindari X adalah NP-complete bahkan ketika lintasan terlarang lainnya memiliki dua edge. Jika lintasan terlarang utamanya tidak diketahui, untuk kasus lintasan sederhana hasilnya akan sulit diperoleh karena kurangnya pengetahuan dari lintasan terlarang sehingga permasalahannya menjadi lebih sulit.
Villenueve dan Desaulniers memberikan sebuah algoritma untuk lintasan terpendek menghindari X (kemungkinan tidak sederhana) untuk kasus ketika semua lintasan terlarang utama diketahui. Sebelum memproses graf dalam waktu O((n+L) log (n+L)+m+dL) dan ruang O(n+m+dL) sehingga lintasan terpendek dari s ke verteks dapat dicari dalam waktu O(n + L). Langkah pertama yang dilakukan adalah membangun DFA (deterministic finite automaton) dari himpunan lintasan terlarang menggunakan ide dari Aho dan Corasick, yang dapat mendeteksi dalam waktu linier dimana diberikan lintasan berisi verteks dari G yang diperkenalkan oleh Martins dan kemudian membangun tree lintasan terpendek untuk semua lintasan terlarang yang tidak diketahui. Algoritma secara lengkap
Universitas Sumatera Utara
10 akan ditunjukkan dalam bab selanjutnya, algoritma dapat menyelesaikan masalah dalam waktu perkiraan yang sama tetapi dalam ruang kurang (O(n + m + L)). Sekarang dapat diambil dua permasalahan sama yang saling berhubungan, tetapi dalam kenyataannya tidak memberikan solusi. Pertama adalah mempertahankan lintasan terpendek dalam graf dinamis, dimana edge mungkin gagal, bobot edge mungkin berubah. Lintasan terlarang tidak dapat dimodelkan oleh penghapusan edge atau memodifikasi biaya edge karena semua edge didalam lintasan terlarang tertentu mungkin penting. Yang kedua permasalahan yang tampak terhubung adalah menemukan k lintasan terpendek dalam graf. Ini merupakan persoalan Martins yang memperkenalkan tkenik replikasi verteks yang digunakan dalam algoritma ini. Tetapi permasalahan lintasan terpendek k berbeda dari situasi karena subpath terlarang mungkin menjadi hambatan yang ada dalam semua lintasan terpendek k untuk k ∈ ω(2n/2).
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 LINTASAN TERPENDEK DENGAN ADANYA LINTASAN
TERLARANG
4.1 Algoritma untuk Lintasan Terpendek s − t Algoritma dimulai dengan akar tree lintasan terpendek yaitu s, dengan mengabaikan X. Selanjutnya akan di coba lintasan dari s − t dalam bentuk tree. Jika lintasan bebas X, maka dikerjakan. Sebaliknya jika tidak untuk mengambil X ke dalam perhitungan, modifikasi graf dengan menggunakan replikasi yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, dan memodifikasi tree lintasan terpendek yang cocok. Secara umum, mempertahankan modifikasi graf dan tree lintasan terpendek dalam graf yaitu diberikan lintasan terpendek dalam graf asli dari s untuk setiap verteks lainnya menghindari semua X yang diketahui. Pertama akan diilustrasikan idenya ke dalam contoh. Pandang graf G pada Gambar 4.1, dimana integernya menyatakan bobot edge, dan garis putus-putus menandakan lintasan terlarang x = (s, a, b, t). Untuk lebih sederhana menggunakan edge tidak berarah dalam Gambar untuk menunjukkan edge dua arah.
Gambar 4.1 Lintasan Terpendek
Dapat ditunjukkan melihat bahwa P = (s, c, a, b, t) adalah lintasan terpendek menghindari x dari s ke t. Untuk mencari P , pertama bentuk akar tree lintasan terpendek yaitu s (tandanya menggunakan berat edge dalam Gambar 4.1) dan kemudian mencoba lintasan (s, a, b, t) dalam tree. Lintasan mengalami
11
Universitas Sumatera Utara
12 kegagalan karena terdapat x, jadi gunakan teknik replikasi verteks serupa salah satunya oleh Martins untuk membuat tiruan dari verteks a dan b dan menghapus edge (s, a′) dan (b, t) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Lintasan Terpendek menghindari x, dimana x = (s, a, b, t) Kemudian bentuk akar tree lintasan terpendek yaitu s (tandanya menggunakan berat edge dalam gambar 4.2 dalam modifikasi graf, dan mencoba lintasan (s, c, a′, b′, t) yang mewakili lintasan P dalam G. Jika hanya x satu-satunya yang merupakan lintasan terlarang dalam G, maka selesai. Perhatikan bahwa pendekatan dapat menggandakan jumlah lintasan terlarang yang belum ditemukan. Andai y = (c, a, b) merupakan lintasan terlarang lainnya dalam G. Terdapat dua salinan dari y dalam modifikasi graf: (c, a, b) dan (c, a′, b′) dan keduanya dapat dihindari. Solusi permasalahan ganda telah menghasilkan tree lintasan terpendek sedemikian hingga paling banyak satu dari dua salinan yang didapatkan berikutnya. Algoritma untuk lintasan terpendek s − t diberikan sebagai berikut: 1. Bentuk tree lintasan terpendek T0 dengan akarnya adalah s dalam G0 = G; 2. Andai i = 1; 3. Kirim paket dari s ke t melalui lintasan dalam T0; 4. Ketika paket gagal mencapai t lakukan 5. Andai xi menjadi pengecualian yang menyebabkan kegagalan;
Universitas Sumatera Utara
13
6. Bentuk Gi dari Gi−1 oleh replikasi verteks tengah dari xi dan kemudian hapus egde yang dipilih;
7. Bentuk tree lintasan terpendek Ti dengan akarnya adalah s dalam Gi menggunakan Ti−1;
8. Kirim paket dari s ke t melalui lintasan Ti;
9. Andai i = i + 1;
Pada Algoritma untuk lintasan terpendek s−t, langkah 6 dan 7 akan dibahas selanjutnya dengan rincian masing-masingnya. Walaupun difokuskan pada iterasi tertentu i > 0, dengan menggunakan notasi: (i) lintasan dari s ke t dalam Ti−1 yaitu lintasan sepanjang yang dicoba untuk mengirimkan paket ke t dari langkah 4 dalam iterasi (s, v1, v2, ..., vp, t) dan (ii) pengecualian yang mencegah paket mencapai t dalam iterasi xi = (vr−l, vr−l+1, ..., vr, vr+1) yang terdiri dari edge l + 1.
4.2 Modifikasi Graf
Memodifikasi dari Gi−1 kedalam Gi pada langkah 6 dalam ith iterasi mengeliminasi pengecualian xi sambil menjaga semua lintasan menghindari x dalam G′i−1. Memodifikasi graf dapat dilakukan dengan dua tahap. Tahap pertama, dengan membuat graf G′i−1 oleh replikasi verteks dari xi (yaitu verteks vr−l+1, vr−l+2, ..., vr). Masukkan juga edge yang sesuai pada replikasi v′ dari verteks v. Khususnya ketika memasukkan v′ kedalam Gi−1, juga dimasukkan bobot edge yang sesuai antara v′ dan neighbors dari v. Mudah untuk melihat jika lintasan dalam Gi−1 dengan menggunakan l′ ≤ l verteks dari xi, kemudian terdapat tepat 2l′ salinan dari lintasan dalam G′i−1. Sehingga lintasan dalam Gi′−1 adalah menghindari xi jika tidak terdapat satupun dari 2l salinan dari xi.
Tahap kedua, bangun spanning subgraf Gi dari Gi′−1 dengan menghilangkan beberapa edge dari G′i−1 sedemikian hingga semua salinan dari xi dalam Gi′−1 di eliminasi, tetapi semua lintasan menghindari x− dalam Gi′−1 tetap tidak mengalami perubahan. Untuk membangun Gi dari G′i−1, hilangkan edge (vj−1, vj′ ) dan
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 4.3 : Replikasi verteks G′i−1. Garis putus-putus menunjukkan 8 salinan dari pengecualian
Gambar 4.4 : Modifikasi Gi−1 ke Gi, pengecualian (vr−3, vr−2, vr−1, vr, vr+1) dengan l=3
Universitas Sumatera Utara
15
(vj′ , vj−1) ∀ [r−l+1, r]. Edge (vr, vr+1) juga dihilangkan, semua edge keluar dari vr′ selain (vr′ , vr+1), dan semua edge keluar dari Vj′ selain (vj′ , vj′+1)∀j ∈ [r−l+1, r−1]. Gambar dua menunjukkan bagaimana neighborhood dari sebuah pengecualian diganti dari Gi−1 ke Gi.
Seperti sebelumnya edge tidak berarah pada Gambar 4.1 merupakan edge dua arah. Observasi 4.2. Graf Gi tidak mempunyai salinan dari xi. Pada Bagian 4.4 akan dibuktikan bahwa Gi masih mengandung semua lintasan menghindari xi dari Gi−1. Verteks dalam Gi[Gi′−1] terdapat juga didalam Gi−1 (yaitu satusatunya bukan replikasi dari verteks)disebut verteks lama dari Gi [masing-masing Gi′−1]. Perhatikan bahwa verteks dari G0 terdapat dalam Gi∀i ≥ 0. Verteks ini disebut dengan verteks asli dari Gi.
4.3 Membangun Tree
Dalam langkah 7 Algoritma untuk lintasan terpendek s − t membentuk sebuah tree Ti, yang mengandung lintasan terpendek menghindari xi dari s untuk setiap verteks lainnya dalam Gi−1. Tree Ti akarnya adalah s dan edgenya berjalan dari s. Tidak setiap lintasan terpendek tree di s dalam G dapat dijalankan. Dalam menjamin terminasi dari algoritma, Ti harus sama dengan Ti−1 , khususnya setiap lintasan menghindari xi dari s dalam Ti−1 berada dalam Ti. Perlunya pembatasan dijelaskan dalam bagian 4.4.3. Bentuk Ti yang diperlukan untuk memperoleh Ti−1 yang memungkinkan. Algoritma Dijkstra digunakan untuk memulai dari bagian Ti−1 yang mungkin diperoleh. Andai V ′ adalah himpunan dari verteks yang lebih baik dari replikasi verteks dalam Gi atau turunan dari vr+1 dalam Ti−1. Himpunan pertama akan ditetapkan bobot dari masing-masing v ∈ V ′ tidak berbatas, dan untuk sementara himpunan Ti=Ti−1 − V ′. Maka untuk masing-masing v ∈ V ′, meminimkan jumlah bobot dari v untuk semua edge (u, v) dari jumlah bobot dari u dan panjang dari (u, v). Pada akhirnya menginisialisasi antrian menggunakan Dijkstra dengan semua verteks dalam V ′ dan menjalankan loop dari algoritma Dijkstra. Setiap iterasi dari loop menambahkan satu verteks dalam V ′ sementara Ti. Ketika barisnya kosong, diperoleh tree akhir Ti.
Universitas Sumatera Utara
16
4.4 Koreksi dan Analisa Hasil Modifikasi Graf 4.4.1 Kebenaran dari Modifikasi Graf Pada bagian ini pembuktian diikuti oleh lemma, yang mana menggunakan gagasan dari lintasan korespondensi. Pertimbangkasan lintasan Pi dalam Gi. Dengan menggantikan setiap verteks dalam Pi yang tidak ada dalam Gi−1 dengan verteks terdahulu yang sesuai dalam Gi−1, diperoleh lintasan Pi−1 yang sesuai dalam Gi−1. Hal ini dimungkinkan karena setiap edge yang dari di dalam Gi adalah replikasi dari edge dalam Gi−1. Definisikan lintasan Pj yang sesuai dalam Gj∀j < i dengan mengulang argumen.
Lemma. Jika Pi adalah lintasan terlarang dari s ke verteks asli t dalam Gi, P0 adalah lintasan terpendek menghindari {x1, x2, ..., xi} dari s ke v dalam G0.
Untuk membuktikan lemma tersebut (mengulang seperti pada Lemma 4.4.3), yang pertama akan dibuktikan bahwa lintasan menghindari xi dalam Gi−1 kemungkinan berada dalam Gi (Lemma 4.4.2), menggunakan karakteristik yang diikuti dari sebuah lintasan menghindari xi dalam graf Gi′−1:
Lemma 4.4.1. Untuk setiap lintasan menghindari xi P dari s ke v hanya menggunakan verteks terdahulu dari G′i−1, dimana terdapat salinan dari P dalam Gi, dimulai dan diakhiri dari verteks terdahulu s dan v secara berurutan, dan kemungkinan melalui verteks replikasi yang sesuai.
Bukti. Graf Gi mengandung semua edge antara pasangan dari verteks lama dalam G′i−1 kecuali untuk edge berarah (vr, vr+1). Sehingga P tetap tidak berubah jika tidak menggunakan edge berarah. Sebaliknya akan mengulang bagian dari P dengan menggunakan edge berarah (vr, vr+1) menggunakan replikasi edge (vr′ , vr+1). Andai P = (s = w1, w2, ..., wq = v) dan (wj, wj+1) menjadi (vr, vr+1) dalam P . Penelusuran mundur P dari wj, andai h ≤ j menjadi indeks minimum seperti
Universitas Sumatera Utara
17
(wh, wh+1, ..., wj+1) adalah subpath dari xi. Karena P adalah menghindari xi, wh verteks perantara dari xi. Ini berarti bahwa h > 1, s = w1 bukan merupakan verteks perantara dari xi karena alasan berikut ini: (i) xi adalah sebuah lintasan dalam lintasan terpendek dengan akar tree s dalam Gi, dan (ii) tidak terdapat replikasi dari s dalam Gi. Oleh karena itu terdapat wh−1. Akan mengulang bagian dari P antara wh−1 dan wj+1 menggunakan replikasi verteks yang sesuai. dalam subpath (wh, ..., wj) dari xi. Perhatikan bahwa edge yang dibutuhkan dalam Gi (P tidak mengandung seluruh pengecualian xi) dan bagian dari P . Selain itu, P dimulai dan diakhiri dari verteks terdahulu s dan v secara berurutan.
Lemma 4.4.2. Lintasan menghindari xidari s ke v dalam Gi−1 mempunyai salinan dalam Gi dimulai dan diakhiri dari verteks terdahulu s dan v secara berurutan, dan mungkin berjalan melalui replikasi dari verteks yang sesuai.
Bukti. Andai P adalah lintasan menghindari xi dalam Gi. Karena tidak menghapus edge apapun dalam pembentukan G′i−1 dari Gi−1, P tetap tidak berubah dalam Gi′−1. Selain itu, P tidak menggunakan replikasi verteks dalam Gi′−1. Sehingga Lemma 4.4.1. menunjukkan bahwa P terdapat dalam Gi dengan verteks terdahulu yang sama pada titik akhir. Kemungkinan akan melalui replikasi dari verteks yang berhubungan.
Lemma 4.4.3. Jika Pi adalah lintasan terlarang dari s ke verteks asli v dalam Gi, P0 adalah lintasan terpendek menghindari {x1, x2, ..., xi} dari s ke v dalam Gi.
Bukti. Untuk setiap j ∈ [0, 1], andai Xj = {xj+1, xj+2, ..., xi}. Akan ditunjukkan ∀j, jika Pj adalah lintasan terpendek menghindari Xjdalam Gj, kemudian Pj−1 adalah lintasan menghindari Xj−1 dalam Gj−1. Lemma diikuti perkenalan dari j, dengan dasar j = i, karena Xi = ∅ dan Pi adalah lintasan terpendek menghindari xi dalam Gi.
Universitas Sumatera Utara
18
Jika Pj adalah lintasan terpendek menghindari Xj dalam Gj, Pj adalah menghindari Xj−1 karena Pj adalah menghindari x oleh observasi 3.1 dan Xj ∪ {xj} = Xj−1. Jadi lintasan Pj−1 yang berhubungan juga dengan menghindari Xj − 1. Jika diasumsikan dengan kontradiksi bahwa Pj−1 bukan lintasan terpendek menghindari Xj−1 dalam Gj−1, maka terdapat lintasan lainnya Pj′−1 dari s ke t dalam Gj−1 dimana menghindari Xj−1 lebih pendek dari Pj−1. Karena xj ∈ Xj−1, menghindari Pj′−1 dan oleh karena Lemma 4.4.2., terdapat salinan Pj′ dari lintasan Pj′−1 dalam Gj dimana verteks aslinya sama dengan titik akhirnya. Pj′−1 adalah menghindari Xj, Pj′ juga menghindari Xj. Hal ini tidak mungkin karena Pj′ lebih pendek dari Pj. Oleh karena itu Pj−1 adalah lintasan terpendek menghindari Xj−1dalam Gj−1.
4.4.2 Kebenaran dari Konstruksi Tree
Untuk menunjukkan pendekatan tambahan menggunakan bagian 3.2 untuk membangun Ti, yang pertama akan ditunjukan bahawa bagian dari Ti−1 tetap tidak berubah dalam Ti adalah susunan dari lintasan terpendek dari Gi:
Lemma 4.4.4. Untuk setiap verteks v yang tidak menurun dari vr+1 dalam Ti−1, lintasan P dari s ke v dalam Ti−1 adalah lintasan terpendek dalam Gi.
Bukti. Pertama akan ditunjukkan bahwa P berada di Gi. Setiap verteks dalam Ti−1 berada dalam Gi sebagai verteks terdahulu. Sehingga P berada dalam Gi melalui verteks terdahulu jika tidak ada edge dari P yang dihapus dalam Gi. Hanya sepasang edge diantara verteks terdahulu dalam Gi−1 yang dihapus di Gi yaitu (vr, vr+1). Karena v turunan dari dalam vr+1 Ti−1, P tidak menggunakan edge (vr, vr+1). Oleh karena itu tidak ada edge dari P yang dihapus dalam Gi. Sehingga P berada dalam Gi melalui verteks terdahulu.
Tidak ada modifikasi dari Gi−1 ke Gi′−1 dan tidak satupun G′i−1 ke Gi membuat shortcut antara pasangan verteks yang ada. Sehingga, tidak terdapat jarak
Universitas Sumatera Utara
19
antara sepasang verteks terdahulu yang berkurang setelah dimodifikasi. Oleh karena itu modifikasi tidak merubah P yang merupakan lintasan terpendek dalam Gi−1 dan P lintasan terpendek dalam Gi.
Lemma 4.4.5. Tree Ti adalah lintasan terpendek tree dalam Gi.
Bukti. Untuk setiap verteks v bukan merupakan turunan dari vr+1 dalam Ti−1, lintasan P dari s ke v dalam Ti sama dengan dalam Ti dan karena itu merupakan lintasan terpendek dalam Gi (Lemma 4.4.4). Untuk semua verteks v dalam Gi, digunakan algoritma Dijkstra yaitu lintasan dari s ke v dalam Ti adalan lintasan terpendek.
Lemma 4.4.3 dan 4.4.5 membuktikan algoritma kebenaran hasil akhir, yang dibangun pada bagian selanjutnya.
4.4.3 Analisa Waktu dan Ruang Syarat Walaupun setiap iterasi menghilangkan satu pengecualian yang dimodifikasi oleh graf, diperkenalkan salinan dari pengecualian yang pasti melalui replikasi verteks. Algoritma tidak selalu beriterasi seperti yang ditunjukkan pada bagian ini, pembentukan tree lintasan terpendek (pada bangian 3.2) menjamin bahwa tidak ditemukan lebih dari satu salinan dari pengecualian yang ada. Pertama akan ditunjukkan terdapat pengecualian dalam Gi−1 yang mempunyai lebih dari dua salinan dalam Gi (Lemma 4.4.6), dan kemudian dibuktikan bahwa satu dari dua salinan tidak pernah ditemukan pada iterasi berikutnya (Lemma 4.4.7):
Lemma 4.4.6. Andai y = xi merupakan pengecualian dalam Gi−1. Jika verteks akhir dari y bukan diantara verteks dari xi, maka Gi mengandung tepatnya satu salinan dari y. Sebaliknya, Gi berisi tepatnya dua salinan dari y. Pada kasus yang terakhir, satu salinan dari y dalam Gi diakhiri oleh verteks terdahulu v dan
Universitas Sumatera Utara
20
salinan lainnya diakhiri pada replikasi v′ yang berhubungan.
Bukti. Andai π = (w1, w2, ..., wj) merupakan barisan maksimum dari verteks dalam y sehinnga barisan bagian dari (vr−l+1, vr−l+2, ..., vr). Andai wj′ merupakan replikasi dari wj dalam Gi. Pertama akan ditunjukkan bahwa jika terdapat sebuah verteks v dalam y setelah π, sehingga tepat satu dari edge (wj, v) dan (wj′ , v) berada dalam Gi. Andaikan subgraf dari Gi dimasukkan kedalam himpunan dari replikasi verteks {vr′ −l+1, vr′ −l+2, ..., vr′ }: subgrafnya adalah lintasan berarah dari vr′ −l+1 ke vr′ dan hanya terdapat satu edge dari subgraf yaitu (vr′ , vr+1). Oleh karena itu , (i) ketika (wj, v) = (vr, vr+1), (wj′ , v) ∈ Gi dan (wj, v) ∈/ Gi. Sekarang G − i mempunyai tepat dua salinan dari π: satu melalui verteks terdahulu dan lainnya melalui replikasinya. Pernyataan tersebut menggambarkan bahwa verteks dalam y benar setelah π, Gi mempunyai lebih dari satu salinan y dari w1 ke v. Akan tetapi ketika π adalah akhir dari y, Gi mempunyai dua salinan y dari w1 ke wj. Kemudian lemma diikuti karena terdapat y yang mengandung verteks awal dari xi yang mempunyai tepat satu salinan dari G)i.
Lemma 4.4.7. Andai y = xi merupakan pengecualian dalam Gi−1 sehingga verteks akhir dari y bukan diantara verteks v dari xi. Salinan dari y diakhiri oleh verteks terdahulu v dalam Gi tidak ditemukan oleh algoritma dalam iterasi selanjutnya.
Bukti. Salinan dari lintasan (s, v1, v2, ..., vr) melalui verteks terdahulu dalam Gi yang mengandung v. Andai P bagian lintasan dari s ke v. Jelas bahwa P ∈ Ti−1, dan P tidak ada pengecualian. Sehingga bentuk Tj dari Tj−1 untuk setiap iterasi j ≥ i yang memastikan bahwa P ∈ Tj. Andai y1 adalah salinan dari y yang berakhir di v. sekarang y1 bukan merupakan lintasan bagian dari P karena P tidak ada. Untuk setiap j ≥ i, P ∈ Tj, P dan y1 berakhir pada verteks yang sama, oleh karena itu y1 ∈/ Tj. Sehingga paket dalam iterasi j tidak akan diikuti y1, dan y1 tidak ditemukan dalam iterasi.
Universitas Sumatera Utara
21
Lemma 4.4.8. Proses iterasi loop sebanyak waktu k = |X|.
Bukti. Untuk setiap iterasi i, Gi−1 mengandung xi. Setiap xi di dalam pengecualian Gi − 1 mempunyai satu atau dua salinan lainnya dalam Gi (Lemma 4.4.6). Oleh Lemma 4.4.7, jika pengecualian mempunyai dua salinan dalam Gi, hanya satu dari keduanya yang relevan dalam tahap proses berikutnya. Dengan demikian banyaknya pengecualian secara efektif menurun pada setiap iterasi.
Untuk menentukan waktu proses, perhatikan jumlah dari peningkatan verteks dalam setiap iterasi. Namun menjalankan algoritma Dijkstra pada verteks n dalam setiap iterasi, karena jumlah dari replikasi verteks dimasukkan kesetiap iterasi yang selalu kurang dari jumlah verteks dalam bagian lintasan terpendek tree, yang dilakukan melalui tree dalam penambahan menggunakan Dijkstra. Selain itu, dapat dipastikan bahwa algoritma Dijkstra mengjaki edge m dalam iterasi i, oleh penghapusan beberapa edge dari Gi setelah menunjukkan modifikasi graf yang digambarkan pada bagian 4.1.1. Lebih khususnya, untuk setiap verteks terdahulu v ∈ {vr−l+1, vr−l+2, ..., vr}, karena label (yaitu jarak dari s) diletakkan dalam v oleh algoritma Dijkstra dalam iterasi sebelumnya tidak berubah, hilangkan semua edge yang masuk dalam Gi dari v tanpa mempengaruhi modifikasi berikutnya. (Perhatikan bahwa untuk setiap j ∈ [r − l + 1, r], verteks terdahulu vj dan vj+1 tidak lagi berdekatan dalam Gi, walaupun edge (vj, vj+1) masih berada dalam Ti). Tidaklah sulit untuk melihat jumlah dari edge baru dalam Gi, yang sama dengan jumlah edge yang dihilangkan dari Gi−1.
Teorema 4.4.9. Algoritma menghitung lintasan terpendek menghindari X membutuhkan waktu O(kn log n + km) dan ruang O(n + m + L).
Bukti. Kebenaran algoritma mengikuti Lemma 4.4.3. dan 4.4.5.
Andai li adalah jumlah verteks dari pengecualian yang ditemukan pada iterasi ith (sehingga ukuran dari pengecualian adalah li+2). Iterasi ith menambahkan verteks li. Karena algoritma iterasi waktu k (Lemma 4.4.8.), terdapat
Universitas Sumatera Utara
22
n+
k i=1
li
<
n+L
verteks
dalam
batasan
graf.
Karena
setiap
iterasi
dari
jumlah
edge yang dimasukkan sama dengan jumlah edge yang dihilangkan, ruang yang
dibutuhkan adalah O(n + m + L).
Setiap iterasi dari algoritma diambil waktu O(|V | log |V | + |E|) = O(n log n + m) dan total waktu yang diikuti.
4.5 Contoh Kasus
Diberikan sebuah graf berbobot G seperti gambar 4.5 berikut dimana diberikan lintasan terlarang x = (s, a, t). Carilah lintasan terpendek dari s ke semua t dengan syarat tidak boleh melewati x.
Gambar 4.5 Graf G
Universitas Sumatera Utara
Langkah penyelesaian: 1. Bentuk tree T0 dari graf G dengan akarnya adalah s.
23
Gambar 4.6 Tree T0 Cari lintasan terpendek dari tree T0 yakni diperoleh lintasan terpendeknya yang merupakan lintasan terlarang x. Maka lintasan tersebut dinyatakan gagal karena mengandung x.
Gambar 4.7 Graf lintasan terpendek yang mengandung x = (s, a, t)
Universitas Sumatera Utara
2. Bentuk tree baru T1 dengan akarnya adalah s.
24
Gambar 4.8 Tree T1
Cari lintasan terpendek dari tree T1 yakni diperoleh lintasan terpendeknya s − b − a − t. Lintasan dapat dilalui karena tidak mengandung x.
Gambar 4.9 Graf lintasan terpendek yang tidak mengandung x Sehingga didapatkan lintasan terpendek dari graf tersebut yang tidak mengandung lintasan terlarang x yaitu lintasan s − b − a − t yang memiliki jumlah bobot 4.
Universitas Sumatera Utara
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Termotivasi oleh masalah praktis menemukan lintasan terpendek dalam jaringan optik, diperkenalkan versi terbaru dari permasalahn lintasan terpendek dimana harus menghindari lintasan terlarang. Telah dimodelkan model pencarian lintasan terpendek dengan adanya lintasan terlarang berdasarkan kajian sebuah permasalahan yang diberikan dan memodelkan permasalahan ke dalam bentuk graf kemudian menganalisa permasalahan dengan algoritma yang difokuskan pada langkah 6 dan 7 yaitu memodifikasi graf dan membangun tree. Walaupun dalam prakteknya algoritma tidak akan menemukan semua lintasan terlarang dalam X. Permasalahan yang menarik adalah jumlah batasan dari lintasannya.
5.2 Saran Algoritma untuk lintasan terpendek s − t dalam prakteknya tidak mencari semua lintasan terlarangnya sehingga algoritmanya dapat berjalan lebih cepat. Oleh sebab itu, penulis menyarankan untuk mengembangkan algoritma untuk lintasan terpendek s − t dimana semua lintasan terlarangnya yang mungkin dapat dicari untuk memperoleh penyelesaian yang lebih baik lagi.
25
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Ahmed, M. dan Lubiw, A. 2009. Shortest path avoiding forbidden subpaths. Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (Freiburg) : hal. 63-47.
Carlyle, W. M. dan Wood, R. K. 2008. Lagrangian relaxation and enumeration for solving constrained shortest-path problems. Proccedings of the 38th annual ORSNZ conference.
Fujisawa, J., Ota, K., Sugiyama, T. dan Tsukagi M. 2008. Forbidden subgraph and the existence of paths and cycles passing through specified vertices. Discrete Mathematics: Vol. 308, hal. 6111-6114.
Gross, L. J dan Yellen, J. 2006. Graph Theory and Its Applications. Chapman & Hall/CRC.
Pach, J. dan Tardos, G. 2006. Forbidden paths and cycles in ordered graphs and matrices. Israel Journal of Mathematics: Vol. 155, hal. 359-380.
Siang, Jong Jek.