Matriks Ruang Vektor Umum

6/8/2015

Matriks & Ruang Vektor

Ruang Vektor
Umum

Start

Ruang Vektor Umum
Misalkan u , v , w ∈ V dan k, l ∈ Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
Untuk setiap u , v ∈ V maka u + v ∈ V
2. u + v = v + u
3. u + (v + w ) = (u + v ) + w
4. Terdapat 0 ∈ V sehingga untuk setiap u ∈ V
berlaku u + 0 = 0 + u = u
5. Untuk setiap u ∈ V

terdapat (− u ) sehingga

u + (− u ) = (− u ) + u = 0

3

1

6/8/2015

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap u ∈ V

dan k ∈ Riil maka k u ∈ V

7. k (u + v ) = ku + kv
8.

(k + l ) u = ku + lu

9. k (l u ) = l (k u ) = (kl ) u

10. 1. u = u

4

Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
• Penjumlahan
u + v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 , ..., u n + v n )

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

ku = (ku1 , ku 2 ,..., ku n )
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)

u • v = u1v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
u = (u • u )

1

2

= u1 + u 2 + ... + u n
2

2

2

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
d (u , v ) = u − v

=

(u1 − v1 )2 + (u 2 − v 2 )2 + ... + (u n − v n )2
5

2

6/8/2015

Contoh :
Diketahui u = (1, 1, 2, 3) dan v = (2 , 2, 1, 1)
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua
vektor tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
1
2
2
2
2
u = (u • u ) 2 = 1 + 1 + 2 + 3 = 15
v = 2 2 + 2 2 + 12 + 12 = 10

Jarak kedua vektor
d (u , v ) = u − v

=

=

(1 − 2)2 + (1 − 2)2 + (2 − 1)2 + (3 − 1)2

(− 1)2 + (− 1)2 + 12 + 22

= 7
6

SubRuang (subspace)
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W juga merupakan ruang vektor
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W ≠ { }
2. W ⊆ V

u ∈ W maka k u ∈ W
4. Jika u , v ∈W dan k ∈ Riil maka u + v ∈ W
3. Jika

7

3

6/8/2015

Contoh :
Tunjukkan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
 0 0
 ∈ W maka W ≠
1. O = 
0

0


2. Jelas bahwa W ⊆ M2 x 2

{}

3. Ambil sembarang matriks A, B ∈ W
Tulis

0
A = 
 a2

a1 
0
 dan B = 
0
 b2

b1 

0 

06/06/2015 7:35

8

Perhatikan bahwa :
0
A + B = 
 a2

a1   0 b1 
+

0   b2 0 
a1 + b1 
 0


= 
0 
 a2 + b2

Ini menunjukan bahwa A + B ∈ W
4. Ambil sembarang matriks A ∈ W dan k ∈ Riil
maka
 0 ka1 
 ∈ W
kA = 
 ka2 0 
Ini menunjukan bahwa kA∈ W
Jadi, W merupakan Subruang dari M2 x 2
06/06/2015 7:35

9

4

6/8/2015

Contoh :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinan-nya nol,
merupakan subruang dari ruang vektor M2 x 2
Jawab :
Ambil sembarang matriks A, B ∈ W
Pilih a ≠ b :

 a b  , jelas bahwa det (A) = 0

A = 
0
0



 0 0  , jelas bahwa det (A) = 0

B = 

b a
10

06/06/2015 7:35

Perhatikan bahwa :

A+ B

a b

b a

= 

Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

11

5

6/8/2015

Kombinasi Linear
Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear
dari vektor – vektor
v1, v2 , … , vn
jika vektor – vektor tersebut
dapat dinyatakan dalam bentuk :

u = k1v1 + k 2v2 + ... + k n vn
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

12

06/06/2015 7:35

Contoh
Misal u = (2, 4, 0), dan

v = (1, –1, 3)

adalah vektor-vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor–vektor di atas
a.

a = (4, 2, 6)

b. b = (1, 5, 6)
c.

c

= (0, 0, 0)

06/06/2015 7:35

13

6

6/8/2015

Jawab :
a. Tulis k1u + k 2 v = a
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
 1
 2 



k1  4  + k 2  - 1
 3
 0 




 4



 =  2
 6










Ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 


 4 -1 
 0 3 



 k1 
 4 





=  2 
 k 
 6 


 2

2 1 4


 4 -1 2 
 0 3 6



14

06/06/2015 7:35

dengan OBE (Operasi Baris Elementer), diperoleh:
2 1 4


 4 -1 2 
 0 3 6



 1 1 2 2   1 12

 
 1 -3 -6  ~ 0 1
 0 3 6   0 0

 

2  1 0
 
2  ~ 0 1
0   0 0

1

2
0 

k1 = 1; k 2 = 2
a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v
atau

r r
r
a = u + 2v

06/06/2015 7:35

15

7

6/8/2015

b. Tulis :
r
r v
k1u + k 2 v = b
 2 


k1  4  + k 2
 0 



 1
1 

 
=
1
 5
 
 6
 3

 







ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 


 4 -1 
 0 3



 1 

 k1  

 =  5 
 k2   6 



16

06/06/2015 7:35

dengan OBE dapat kita peroleh :
2 1

 4 -1
 0 3


1   1 12
 
5  ~ 0 -3
6   0 3

0  1
 
3 ~ 0
6   0

1

2

1
0

1



2
3 
2

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v

06/06/2015 7:35

17

8

6/8/2015

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis

r
r r
k1u + k 2 v = c
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.

18

06/06/2015 7:35

Membangun dan Bebas Linear
Himpunan vektor

S = {v1 , v 2 , ... , v n }

dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor–vektor di S.
Contoh :
Tentukan apakah

v1 = (1, 1, 2),
v2 = (1, 0, 1), dan

v3 = (2, 1, 3)
06/06/2015 7:35

membangun V???

19

9

6/8/2015

Jawab :
Ambil sembarang vektor di R2
Misalkan:
.

Tulis :

 u1 
 
u = u2 
u 
 3

u = k1 v1 + k 2 v 2 + k 3 v 3
.

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
1 1 2  k1 
 u1 
1 0 1   k  =  u 
 2

  2
u 
2 1 3  k3 
 3

06/06/2015 7:35

20

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear, maka
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
 u1 
1 1 2  k1 
1 0 1   k  =  u 
 2

  2
u 
2 1 3  k3 
 3

Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur–unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebut
tidak membangun R3
06/06/2015 7:35

21

10

6/8/2015

Bebas Linear
Misalkan S = {u1 , u 2 ,..., u n }
adalah himpunan vektor di ruang vektor V
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
JIKA SPL homogen :

k1u1 + k 2 u1 + ... + k n u n = 0
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
k1 = 0 , k 2 = 0 ,..., k n = 0

Jika solusinya tidak tunggal
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
(Bergantung linear /linearly dependent)
22

06/06/2015 7:35

Contoh :
Diketahui u = (− 1, 3, 2) dan a = (1, 1, − 1)
Apakah saling bebas linear di R3
Jawab :
Tulis

r
r r
k1u + k 2 a = 0

atau
 -1 1 

 k 
1   1  =
 3
 2 − 1   k2 



06/06/2015 7:35

0
 
0
0
 

23

11

6/8/2015

 -1 1 

 k 
1   1  =
 3
 2 −1   k2 



 0
 
 0
 0
 

dengan OBE dapat diperoleh :
 -1 1 0 
1



1 0  ~ 0
 3
 2 −1 0 
0




− 1 0
1 0 0



4 0 ~ 0 1 0
0 0 0
1 0 



dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

24

06/06/2015 7:35

Contoh :
Misalkan

, − 1
 
a = 3 
 2
 

 2 
1
 
 
b =  1  c =  − 6
 − 1
 − 4
 
 

,

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Jawab :
Tulis :
0 = k1 a + k 2 b + k 3 c

atau
2   k1 
−1 1

 
 3 1 − 6  k 2 =
 2 − 1 − 4  k3

 

06/06/2015 7:35

 0
 
 0
 0
 

25

12

6/8/2015

2   k1 
−1 1

 
 3 1 − 6  k 2 =
 2 − 1 − 4  k3

 

 0
 
 0
 0
 

dengan OBE diperoleh :
1
1 − 1 − 2



0
4
0
~


0
0 1
0
0 



− 1 − 2

1
0 
0
0 

Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
Jadi

a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear
26

06/06/2015 7:35

Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor–vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat
berikut dipenuhi :
• S membangun/merentang (span) V

(S spans V)

• S bebas linear

06/06/2015 7:35

27

13

6/8/2015

Contoh :
Tunjukkan bahwa himpunan matriks berikut :

M =


3 6 
,

3 − 6

− 8  1 0 
 0 − 1  0
 
, 
, 

− 1 0  − 12 − 4 − 1 2 

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :

3 6 
 0 −1
 0 − 8
 1 0 a b
k1 
 + k2 
 + k3 
 + k4 
=

3
6
1
0
12
4
1
2
−
−
−
−
−







 c d
atau
3k1 + k 4
6k1 − k 2 − 8k 3

 a b 

=

− 6k1 − 4k 3 + 2k 4   c d 
 3k1 − k 2 − 12k 3 − k 4
28

06/06/2015 7:35

dengan menyamakan setiap unsur
pada kedua matriks, diperoleh SPL :
0
0
1   k1   a 
 3
 6 − 1 − 8 0  k   b 

  2 =  
 3 − 1 − 12 − 1  k3   c 

    
− 6 0 − 4 2   k 4   d 

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det (MK) ≠ 0
SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,d
Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det (MK) ≠ 0

SPL homogen punya solusi tunggal.

Jadi, M bebas linear.
06/06/2015 7:35

29

14

6/8/2015

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.
Ingat…
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :
Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :




1 0 0 1 0 0 0 0 
0 0, 0 0, 1 0, 0 1 
 
 

 
 

juga merupakan basisnya.

30

06/06/2015 7:35

Basis Ruang Baris & Kolom
Misalkan matriks :
 −1 − 2 −1 1 


A= 1
2
3 −1 
 1
2
2 − 1 


Vektor baris

Vektor kolom
dengan melakukan OBE diperoleh :

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
06/06/2015 7:35

31

15

6/8/2015

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
 − 1  − 1 
    
 1 ,  3  
 1   2  
    

basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentranspose-kan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :



A=




−1

1

1

−2 2
−1 3

2
2

1

−1 −1








32

06/06/2015 7:35

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
 − 1   1  
    
 − 2   2  
 ,   
 − 1   3  
 1   − 1 



Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
06/06/2015 7:35

33

16