BAB 6 Barisan dan deret
BAB VI
BARISAN DAN DERET BILANGAN
Standar Kompetensi
Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam
memecahkan masalah sederhana
Kompetensi Dasar
1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret
Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat :
1. Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan bilangan.
2. Mengenal unsur-unsur barisan dan deret, misalnya; suku pertama, suku berikutnya,
suku ke –n, beda, rasio.
3. Menentukan pola barisan bilangan.
4. Mengenal pengertian barisan aritmatika dan barisan geometri.
5. Menentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri.
6. Mengenal pengertian deret aritmatika dan deret geometri naik atau turun.
7. Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri.
8. Menggunakan sifat-sifat dan rumus pada deret aritmetika dan deret geometri untuk
memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret.
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
42
Pada bab ini, kamu akan mempelajari tentang barisan dan deret bilangan serta
penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan
sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri, menentukan
jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri, serta memecahkan masalah
yang berkaitan dengan barisan dan deret.
Pada gambar bunga matahari disamping, jika
dihitung banyaknya biji kwaci dari dalam keluar
maka akan membentuk pola bilangan tertentu.
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21,…
Barisan bilangan ini dikenal sebagai barisan
bilangan fibonacci. Setiap bilangan atau angka
dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua
bilangan sebelumnya.
Barisan bilangan fibonacci ini ditemukan oleh
Fibonacci yang nama lengkapnya adalah
Leonardo of Pisa (1180 - 1250 ). Ia menjelaskan
teka-teki barisan fibonacci dalam karyanya yang
berjudul Liber Abaci.
Fibonacci
(1180–1250)
A. POLA dan BARISAN BILANGAN
1. Pola Bilangan
Pola Bilangan adalah sebuah bilangan
yang tersusun dari bilangan lain yang
mempunyai pola tertentu.
a. Pola Bilangan Ganjil
Mewakili bilangan 1
Mewakili bilangan 3
Mewakili bilangan 5
dst.
Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli ganjil.
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama adalah:
1+3+5+7+… = n2
n bilangan
b. Pola Bilangan Genap
Mewakili bilangan 2
Mewakili bilangan 4
Mewakili bilangan 6
dst.
Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli genap.
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
43
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)
n bilangan
c. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Jumlah
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah
bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n–1
Contoh Soal_1:
Berapa banyaknya bilangan asli yang pertama yang jumlahnya 144?
Penyelesaian:
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama = n2
Sehingga 144 = n2
n = 12, atau
n = –12 (tidak memenuhi)
Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 12.
Contoh Soal_2:
Tentukan banyak bilangan asli genap yang pertama yang jumlahnya 121.
Penyelesaian:
Jumlah n bilangan asli genap adalah n (n + 1), maka:
n(n+1) = 121
n2 + n -121 = 0
(n - 10) (n +11) = 0
n - 10 = 0 atau n +11 = 0
n =10 atau n = - 11 (tidak memenuhi)
Jadi, banyak bilangan asli genap adalah 10.
Contoh Soal_3:
Berapakah jumlah bilangan pada segitiga pascal pada baris ke-10.
Penyelesaian:
Jumlah bilangan adalah Sn = 2n–1
= 210 – 1
= 29
= 512
Jadi, jumlah bilangan segitiga pascal pada baris ke-10 adalah 512.
2. Barisan Bilangan
Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut.
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
44
a. 2, 4, 6, 8
b. 1, 3, 5, 7, ...
c. 3, 6, 9, 12, 15, ...
Bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut
disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut Suku
Barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un.
Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh
U1 = suku ke-1 = 2
U2 = suku ke-2 = 4
U3 = suku ke-3 = 6
U4 = suku ke-4 = 8
Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.
B. BARISAN dan DERET ARITMATIKA
1. Barisan Aritmatika
Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap
antara dua suku barisan yang berurutan.
Perhatikan uraian berikut.
1, 3, 5, 7, 9, 11, ….
+2 +2
+2
+2
+2
+2
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 2 antara dua suku barisan yang
berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.
8, 4, 0, -4, -8, -12, -16
-4
-4
-4
-4
-4
-4
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih -4 antara dua suku barisan yang
berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.
U1,
Suku ke-1 = a
U2,
Suku ke-2 = a+b
Rumus Suku ke-n:
Un = a + (n – 1)b
U3, ….
Suku ke-3 = a+2b
Un
Suku ke-n = a+(n-1)b
a = Suku ke-1
b = Beda
= Un – Un-1
Contoh Soal_1:
Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, ....
Tentukan Suku kedua belas barisan tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui: U1 = a = 10
b = U2 – U1 = 13 – 10 = 3
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
45
Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut.
Un = a + (n – 1)b, maka U12 = 10 + (12 – 1)3
= 10 + (11)3
= 43
Jadi Suku ke-12 adalah 43
Contoh Soal_2:
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24.
Tentukan beda dari barisan tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui:
U1 = a = 6
U7 = a + 6b = 24
= 6 + 6b = 24
= 6b = 24 – 6
= 6b = 18
= b =3
Contoh Soal_3:
Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar
Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung
sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap
bulannya.
a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama.
b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12.
Penyelesaian:
a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai
berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
b. Un = a + (n – 1)b
= 10 + (12 – 1)1
= 21
Jadi, uang Ucok pada bulan ke 12 adalah Rp. 21.000,2. Deret Aritmatika
Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.
1
Sn = 2 n (a +
Karena Un = a + (n – 1)b, maka
1
Sn = 2 n (a + a + (n – 1)b)
1
Sn = 2 n (2a + (n – 1)b)
Contoh Soal_1:
Tentukan jumlah suku-suku berikut
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
46
2 + 6 + 10 + …+ 62
Penyelesaian:
Un
a + (n – 1)b
2 + (n – 1)4
2 + 4n – 4
4n – 2
4n
4n
n
= 62
= 62
= 62
= 62
= 62
= 62 + 2
= 64
= 16
1
Sn = 2 n (a + Un)
1
S16 = 2 (16) (2 + 62)
= 512
Contoh Soal_2:
Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + .... Tentukan
a. Suku kesepuluh (U10) deret tersebut,
b. Jumlah sepuluh suku pertama (S10).
Penyelesaian:
a. Un = a + (n – 1)b maka
U10 = 3 + (10 – 1)4
= 3 + 36
= 39
b. Sn = ½n (2a + (n – 1)b) maka
S10 = ½.10 (2(3) + (10 – 1)4
= 5 (6 + 36)
= 210
C. BARISAN dan DERET GEOMETRI
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku
barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan
disebut rasio (dilambangkan dengan r)
Perhatikan uraian berikut.
3, 6, 12, 24, 48, 96,
x2 x2
x2
x2
x2
Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan
tersebut merupakan barisan geometri.
U1
Suku ke-1 = a
Un = ar
U2
Suku ke-2 = ar
n–1
U3
Suku ke-3 = ar2
Un
Suku ke-n = arn-1
a = U1 = Suku pertama
r = Rasio
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
47
Contoh Soal_1:
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2 2 2
18, 6, 2, 3 , 9 , 27
Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui:
U1 = a = 18
Un
6 1
r= U
maka r = 8 = 3
n−1
Un = ar n–1
1 10−1
U10 = 18( )
3
1 9
= 18( )
3
2
= 2.187
Contoh Soal_2:
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32.
Tentukan:
a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut,
b. suku kesembilan barisan geometri tersebut.
Penyelesaian:
a. U4 = 4
U7 = 32
b. Un = ar n – 1
U9 = ½ (2)9-1
3
U4 = ar = 4
4
↔a= 3
r
U9 = ½ .(256)
4
U9 = 128
U7 = ar6 = 32, karena a = 3 maka
r
4
Jadi suku kesembilan adalah 128
↔ 3 r6 = 32
r
↔ 4r3 =32
↔ r3 = 8
↔r=2
U4 = ar3 = 4
↔a(2)3 = 4
↔a8 = 4
↔a = ½
Jadi suku pertama adalah ½ dan rasionya 2.
2. Deret Geometri
Deret geometri merupakan jumlah sukusuku dari suatu barisan geometri.
Sn = a ¿ ¿ ¿
atau
Sn =
a(r ¿ ¿ n−1)
¿
r −1
Contoh Soal_1:
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
48
Diketahui deret geometri : 3+ 6+ 12+ 24+ 48+ ...,
Tentukan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).
Penyelesaian:
Sn = a ¿ ¿ ¿ maka
S7 =
3(1−2 ¿ ¿ 7)
¿
1−2
=
3(1−128)
−1
=
3(−127)
−1
SOAL – SOAL LATIHAN
Pilihlah jawaban yang paling tepat!
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
49
1. Sebuah
gedung
pertunjukan,
banyaknya kursi pada baris paling
depan adalah 15 buah, banyaknya
kursi pada baris di belakang selali
lebih 3 buah dari baris di depannya,
berapa banyak kursi pada baris ke 12
dari depan?
a. 42 kursi
c. 51 kursi
b. 48 kursi
d. 54 kursi
2. Pada tumpukan batu bata, banyak batu
bata paling atas adalah 8 buah, tepat di
bawahnya ada 10, dan seterusnya setiap
tumpukan di bawahnya selalu lebih
banyak 2 dari tumpukan di atasnya, jika
ada 15 tumpukan batu bata (dari atas
sampai bawah) maka banyak batu bata
pada tumpukan paling bawah ada .........
a. 35
c. 38
b. 36
d. 40
7. Di ruang pertunjukan, baris paling depan
tersedia 15 kursi. Baris di belakangnya selalu
tersedia 3 kursi lebih lebih banyak dari baris di
depannya. Jika pada ruang itu tersedia 10 baris,
banyak kursi di ruang tersebut adalah ......
a. 150 buah
c. 300 buah
b. 285 buah
d. 570 buah
8. Dalam gedung pertunjukan disusun kursi
dengan baris peling depan terdiri dari 12 buah,
baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga berisi 16
buah dan seterusnyaselalu bertambah 2 baris,
banyak kursi pada baris ke 20 adalah ....
a. 28 buah
c. 300 buah
b. 50 buah
d. 570 buah
9. Pola
noktah-noktah
berikut
yang
menunjukkan pola bilangan persegipanjang
adalah ...
b.
3. Kompleks suatu perumahan ditata dengan
teratur, rumah yang terletak di sebelah kiri
menggunakan nomor rumah ganjil yaitu :
1, 3, 5, 7, ...... nomor rumah yang ke 12
dari deretan rumah sebelah kiri tersebut
adalah ......
a. 13
b. 23
c. 25
d. 27
4. Diketahui barisan bilangan 3, 5, 9, 15,
23, ... bilangan pada suku ke 15 adalah .....
a. 159
c. 213
b. 185
d. 243
5. Rumus suku ke - n dari barisan bilangan
aritmatika 2, 6, 10, 14, ... adalah ....
a. 4n – 4
c. 4n – 2
b. 4n – 1
d. 4n – 8
6. Seorang pegawai pada bulan januari
menerima gaji sebesar Rp. 300.000,-.
setiap bulan pegawai tersebut mendapat
kenaikan 10% dari gaji bulan pertama.
Gaji pada akhir tahun pertama
adalah ........
a. Rp.620.000,c.
Rp.330.000,b. Rp.630.000,Rp.320.000,-
d.
10. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Banyaknya suku barisan dari barisan
bilangan tersebut adalah ....
a. 10
c. 8
b. 9
d. 7
11. Perhatikan barisan bilangan geometri
sebagai berikut.
3, 6, 12, 24, ...
Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut
adalah…
a. 1.356
c. 1.635
b. 1.635
d. 1.653
12. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai
berikut.
12 + 15 + 18 + ...
Jumlah delapan suku pertama deret tersebut
adalah ....
a. 160
c. 360
b. 180
d. 450
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
50
13. Suatu deret aritmetika memiliki suku
ketiga 9 dan suku keenam adalah 243.
Jumlah lima suku pertama deret
aritmetika tersebut adalah ....
a. 242
c. 81
b. 121
d. 72
14. Barisan aritmetika yang memenuhi
rumus umum: 3n – 1 adalah ....
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 1, 5, 9, 13, 17, ...
c. 2, 8, 14, 20, ...
d. 2, 5, 8, 11, 14, ...
15. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki
suku pertama 15 dan suku ketujuh 39
adalah ....
a. 3
c. 5
b. 4
d. 6
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
51
BARISAN DAN DERET BILANGAN
Standar Kompetensi
Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam
memecahkan masalah sederhana
Kompetensi Dasar
1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret
Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat :
1. Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan bilangan.
2. Mengenal unsur-unsur barisan dan deret, misalnya; suku pertama, suku berikutnya,
suku ke –n, beda, rasio.
3. Menentukan pola barisan bilangan.
4. Mengenal pengertian barisan aritmatika dan barisan geometri.
5. Menentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri.
6. Mengenal pengertian deret aritmatika dan deret geometri naik atau turun.
7. Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri.
8. Menggunakan sifat-sifat dan rumus pada deret aritmetika dan deret geometri untuk
memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret.
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
42
Pada bab ini, kamu akan mempelajari tentang barisan dan deret bilangan serta
penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan
sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri, menentukan
jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri, serta memecahkan masalah
yang berkaitan dengan barisan dan deret.
Pada gambar bunga matahari disamping, jika
dihitung banyaknya biji kwaci dari dalam keluar
maka akan membentuk pola bilangan tertentu.
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21,…
Barisan bilangan ini dikenal sebagai barisan
bilangan fibonacci. Setiap bilangan atau angka
dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua
bilangan sebelumnya.
Barisan bilangan fibonacci ini ditemukan oleh
Fibonacci yang nama lengkapnya adalah
Leonardo of Pisa (1180 - 1250 ). Ia menjelaskan
teka-teki barisan fibonacci dalam karyanya yang
berjudul Liber Abaci.
Fibonacci
(1180–1250)
A. POLA dan BARISAN BILANGAN
1. Pola Bilangan
Pola Bilangan adalah sebuah bilangan
yang tersusun dari bilangan lain yang
mempunyai pola tertentu.
a. Pola Bilangan Ganjil
Mewakili bilangan 1
Mewakili bilangan 3
Mewakili bilangan 5
dst.
Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli ganjil.
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama adalah:
1+3+5+7+… = n2
n bilangan
b. Pola Bilangan Genap
Mewakili bilangan 2
Mewakili bilangan 4
Mewakili bilangan 6
dst.
Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli genap.
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
43
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)
n bilangan
c. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Jumlah
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah
bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n–1
Contoh Soal_1:
Berapa banyaknya bilangan asli yang pertama yang jumlahnya 144?
Penyelesaian:
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama = n2
Sehingga 144 = n2
n = 12, atau
n = –12 (tidak memenuhi)
Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 12.
Contoh Soal_2:
Tentukan banyak bilangan asli genap yang pertama yang jumlahnya 121.
Penyelesaian:
Jumlah n bilangan asli genap adalah n (n + 1), maka:
n(n+1) = 121
n2 + n -121 = 0
(n - 10) (n +11) = 0
n - 10 = 0 atau n +11 = 0
n =10 atau n = - 11 (tidak memenuhi)
Jadi, banyak bilangan asli genap adalah 10.
Contoh Soal_3:
Berapakah jumlah bilangan pada segitiga pascal pada baris ke-10.
Penyelesaian:
Jumlah bilangan adalah Sn = 2n–1
= 210 – 1
= 29
= 512
Jadi, jumlah bilangan segitiga pascal pada baris ke-10 adalah 512.
2. Barisan Bilangan
Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut.
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
44
a. 2, 4, 6, 8
b. 1, 3, 5, 7, ...
c. 3, 6, 9, 12, 15, ...
Bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut
disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut Suku
Barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un.
Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh
U1 = suku ke-1 = 2
U2 = suku ke-2 = 4
U3 = suku ke-3 = 6
U4 = suku ke-4 = 8
Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.
B. BARISAN dan DERET ARITMATIKA
1. Barisan Aritmatika
Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap
antara dua suku barisan yang berurutan.
Perhatikan uraian berikut.
1, 3, 5, 7, 9, 11, ….
+2 +2
+2
+2
+2
+2
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 2 antara dua suku barisan yang
berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.
8, 4, 0, -4, -8, -12, -16
-4
-4
-4
-4
-4
-4
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih -4 antara dua suku barisan yang
berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.
U1,
Suku ke-1 = a
U2,
Suku ke-2 = a+b
Rumus Suku ke-n:
Un = a + (n – 1)b
U3, ….
Suku ke-3 = a+2b
Un
Suku ke-n = a+(n-1)b
a = Suku ke-1
b = Beda
= Un – Un-1
Contoh Soal_1:
Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, ....
Tentukan Suku kedua belas barisan tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui: U1 = a = 10
b = U2 – U1 = 13 – 10 = 3
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
45
Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut.
Un = a + (n – 1)b, maka U12 = 10 + (12 – 1)3
= 10 + (11)3
= 43
Jadi Suku ke-12 adalah 43
Contoh Soal_2:
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24.
Tentukan beda dari barisan tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui:
U1 = a = 6
U7 = a + 6b = 24
= 6 + 6b = 24
= 6b = 24 – 6
= 6b = 18
= b =3
Contoh Soal_3:
Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar
Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung
sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap
bulannya.
a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama.
b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12.
Penyelesaian:
a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai
berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
b. Un = a + (n – 1)b
= 10 + (12 – 1)1
= 21
Jadi, uang Ucok pada bulan ke 12 adalah Rp. 21.000,2. Deret Aritmatika
Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.
1
Sn = 2 n (a +
Karena Un = a + (n – 1)b, maka
1
Sn = 2 n (a + a + (n – 1)b)
1
Sn = 2 n (2a + (n – 1)b)
Contoh Soal_1:
Tentukan jumlah suku-suku berikut
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
46
2 + 6 + 10 + …+ 62
Penyelesaian:
Un
a + (n – 1)b
2 + (n – 1)4
2 + 4n – 4
4n – 2
4n
4n
n
= 62
= 62
= 62
= 62
= 62
= 62 + 2
= 64
= 16
1
Sn = 2 n (a + Un)
1
S16 = 2 (16) (2 + 62)
= 512
Contoh Soal_2:
Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + .... Tentukan
a. Suku kesepuluh (U10) deret tersebut,
b. Jumlah sepuluh suku pertama (S10).
Penyelesaian:
a. Un = a + (n – 1)b maka
U10 = 3 + (10 – 1)4
= 3 + 36
= 39
b. Sn = ½n (2a + (n – 1)b) maka
S10 = ½.10 (2(3) + (10 – 1)4
= 5 (6 + 36)
= 210
C. BARISAN dan DERET GEOMETRI
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku
barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan
disebut rasio (dilambangkan dengan r)
Perhatikan uraian berikut.
3, 6, 12, 24, 48, 96,
x2 x2
x2
x2
x2
Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan
tersebut merupakan barisan geometri.
U1
Suku ke-1 = a
Un = ar
U2
Suku ke-2 = ar
n–1
U3
Suku ke-3 = ar2
Un
Suku ke-n = arn-1
a = U1 = Suku pertama
r = Rasio
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
47
Contoh Soal_1:
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2 2 2
18, 6, 2, 3 , 9 , 27
Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui:
U1 = a = 18
Un
6 1
r= U
maka r = 8 = 3
n−1
Un = ar n–1
1 10−1
U10 = 18( )
3
1 9
= 18( )
3
2
= 2.187
Contoh Soal_2:
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32.
Tentukan:
a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut,
b. suku kesembilan barisan geometri tersebut.
Penyelesaian:
a. U4 = 4
U7 = 32
b. Un = ar n – 1
U9 = ½ (2)9-1
3
U4 = ar = 4
4
↔a= 3
r
U9 = ½ .(256)
4
U9 = 128
U7 = ar6 = 32, karena a = 3 maka
r
4
Jadi suku kesembilan adalah 128
↔ 3 r6 = 32
r
↔ 4r3 =32
↔ r3 = 8
↔r=2
U4 = ar3 = 4
↔a(2)3 = 4
↔a8 = 4
↔a = ½
Jadi suku pertama adalah ½ dan rasionya 2.
2. Deret Geometri
Deret geometri merupakan jumlah sukusuku dari suatu barisan geometri.
Sn = a ¿ ¿ ¿
atau
Sn =
a(r ¿ ¿ n−1)
¿
r −1
Contoh Soal_1:
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
48
Diketahui deret geometri : 3+ 6+ 12+ 24+ 48+ ...,
Tentukan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).
Penyelesaian:
Sn = a ¿ ¿ ¿ maka
S7 =
3(1−2 ¿ ¿ 7)
¿
1−2
=
3(1−128)
−1
=
3(−127)
−1
SOAL – SOAL LATIHAN
Pilihlah jawaban yang paling tepat!
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
49
1. Sebuah
gedung
pertunjukan,
banyaknya kursi pada baris paling
depan adalah 15 buah, banyaknya
kursi pada baris di belakang selali
lebih 3 buah dari baris di depannya,
berapa banyak kursi pada baris ke 12
dari depan?
a. 42 kursi
c. 51 kursi
b. 48 kursi
d. 54 kursi
2. Pada tumpukan batu bata, banyak batu
bata paling atas adalah 8 buah, tepat di
bawahnya ada 10, dan seterusnya setiap
tumpukan di bawahnya selalu lebih
banyak 2 dari tumpukan di atasnya, jika
ada 15 tumpukan batu bata (dari atas
sampai bawah) maka banyak batu bata
pada tumpukan paling bawah ada .........
a. 35
c. 38
b. 36
d. 40
7. Di ruang pertunjukan, baris paling depan
tersedia 15 kursi. Baris di belakangnya selalu
tersedia 3 kursi lebih lebih banyak dari baris di
depannya. Jika pada ruang itu tersedia 10 baris,
banyak kursi di ruang tersebut adalah ......
a. 150 buah
c. 300 buah
b. 285 buah
d. 570 buah
8. Dalam gedung pertunjukan disusun kursi
dengan baris peling depan terdiri dari 12 buah,
baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga berisi 16
buah dan seterusnyaselalu bertambah 2 baris,
banyak kursi pada baris ke 20 adalah ....
a. 28 buah
c. 300 buah
b. 50 buah
d. 570 buah
9. Pola
noktah-noktah
berikut
yang
menunjukkan pola bilangan persegipanjang
adalah ...
b.
3. Kompleks suatu perumahan ditata dengan
teratur, rumah yang terletak di sebelah kiri
menggunakan nomor rumah ganjil yaitu :
1, 3, 5, 7, ...... nomor rumah yang ke 12
dari deretan rumah sebelah kiri tersebut
adalah ......
a. 13
b. 23
c. 25
d. 27
4. Diketahui barisan bilangan 3, 5, 9, 15,
23, ... bilangan pada suku ke 15 adalah .....
a. 159
c. 213
b. 185
d. 243
5. Rumus suku ke - n dari barisan bilangan
aritmatika 2, 6, 10, 14, ... adalah ....
a. 4n – 4
c. 4n – 2
b. 4n – 1
d. 4n – 8
6. Seorang pegawai pada bulan januari
menerima gaji sebesar Rp. 300.000,-.
setiap bulan pegawai tersebut mendapat
kenaikan 10% dari gaji bulan pertama.
Gaji pada akhir tahun pertama
adalah ........
a. Rp.620.000,c.
Rp.330.000,b. Rp.630.000,Rp.320.000,-
d.
10. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Banyaknya suku barisan dari barisan
bilangan tersebut adalah ....
a. 10
c. 8
b. 9
d. 7
11. Perhatikan barisan bilangan geometri
sebagai berikut.
3, 6, 12, 24, ...
Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut
adalah…
a. 1.356
c. 1.635
b. 1.635
d. 1.653
12. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai
berikut.
12 + 15 + 18 + ...
Jumlah delapan suku pertama deret tersebut
adalah ....
a. 160
c. 360
b. 180
d. 450
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
50
13. Suatu deret aritmetika memiliki suku
ketiga 9 dan suku keenam adalah 243.
Jumlah lima suku pertama deret
aritmetika tersebut adalah ....
a. 242
c. 81
b. 121
d. 72
14. Barisan aritmetika yang memenuhi
rumus umum: 3n – 1 adalah ....
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 1, 5, 9, 13, 17, ...
c. 2, 8, 14, 20, ...
d. 2, 5, 8, 11, 14, ...
15. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki
suku pertama 15 dan suku ketujuh 39
adalah ....
a. 3
c. 5
b. 4
d. 6
Diktat Pintar Matematika Kelas 9 Semester 2 |
MATRIKS
51