MATDIS 4 RELASI DAN FUNGSI

  RELASI 

  Relasi antara Ayah dan anak, Ibu dengan anak, dll

  

  Dalam aritmatika: Relasi “Lebih besar” atau “Lebih kecil” digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan yang RELASI DALAM HIMPUNAN 

  Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya 

  Memetakan setiap anggota pada himpunan A (x ∈

  A) dengan anggota pada himpunan B (y ∈ B) 

  

Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga

NOTASI DALAM RELASI

  

Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan (x,y) ∈ R CONTOH 

  Humpunan A : himpunan nama orang

  

  A={Via, Andre, Ita}

  

  Himpunan B : himpunan nama makanan CONTOH RELASI B A permen

  R via coklat Andre

  

CARA MENYATAKAN

RELASI 

  Diagaram panah

  

  Himpunan pasangan berurutan

  

  Diagram Cartesius

  

  Tabel

  A B R

  CARA MENYATAKAN RELASI via permen coklat perme n

• Diagram Panah

CARA MENYATAKAN RELASI

  

  Himpunan pasangan berurutan

   R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

  

CARA MENYATAKAN

RELASI 

  Tabel

  Nama Makanan Via Permen Via Coklat Andre Coklat CARA MENYATAKAN RELASI 

  Matriks

   Baris = domain

   Kolom = kodomain

  P er m en C o k la t E s k ri m perme coklat Es CARA MENYATAKAN RELASI 

  Graph berarah _ hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara dua himpuanan). _ Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex) _ CARA MENYATAKAN RELASI 

  Contoh graph berarah

   Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. LATIHAN 1 

  Z = {1,2,3,4};

  

  R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z}

  

  Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk

   Himpunan pasangan berurutan

SIFAT- SIFAT RELASI

  

  _

REFLEKSIF (REFLEXIVE)

  _ SIMETRIK (SYMMETRIC) _ ASIMETRIK (ASYMMETRIC) _ ANTI SIMETRIK (ANTISYMMETRIC)

TRANSITIF (TRANSITIVE)

  REFLEKSIF 

  Sebuah relasi dikatakan refeksif jika sedikitnya:

   x ∈ A, xRx 

  Minimal TRANSITIF 

  Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika:

  

  xRy , yRz => xRz ; (x,y, z) ∈ A

   

  Contoh: SIMETRIK 

  Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika:

  

  xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ∈ A

   

  Cotoh: A={a,b,c,d} ASIMETRIK 

  Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrik

  

  Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R

  

ANTI SIMETRIK

  

  Relasi R dikatakan antisimetrik jika, untuk setiap x dan y di dalam A; jika xRy dan yRx maka x=y EQUIVALEN 

  Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi syarat:

   Refelksif

   Simeteris

   PARTIALLY ORDER SET (POSET) 

  Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET) jika memenuhi syarat:

   Refeksif

   Antisimetri

   LATIHAN 2 

  

A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada

himpunan A ! 

  Apakah relasi berikut asimetris, transitif? R = {(1,2),(3,4),(2,3)}

   Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)}

OPERASI DALAM RELASI

  

  Operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan (beda setangkup) juga berlaku pada relasi

CONTOH OPERASI RELASI

   Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

  Relasi R = {(a, a), (b, b), (c, c)} ₁ Relasi R = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} ₂ Maka : 

OPERASI DALAM BENTUK MARIKS

  

  Misalkan bahwa relasi R dan R pada _{1 2} himpunan A dinyatakan oleh matriks

KOMPOSISI RELASI

  

  Misalkan

   R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B

   T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

KOMPOSISI RELASI

  

  Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan

  C = {s, t, u} 

  Relasi dari A ke B didefnisikan oleh :

  

R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

KOMPOSISI RELASI

   T ο R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t),

  (c,u)}

  R T FUNGSI 

  Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi

  

  Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk

  setiap x anggota A memiliki tepat satu

  pasangan, y, anggota himpunan B FUNGSI 

  Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk :

  f : A → B

DOMAIN, KODOMAIN DAN JELAJAH

   f : A → B

  

A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan

B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.

  

  Misalkan f(a) = b,

   Domain : A = {a,b,c,d}

PENULISAN FUNGSI

   Himpunan pasangan terurut.

  Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2,

• 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat

  dituliskan dalam bentuk :

  f = {(2, 4), (3, 9)}

  

JENIS-JENIS FUNGSI



  FUNGSI INJEKTIF 

  FUNGSI SURJEKTIF 

  FUNGSI BIJEKTIF 

  FUNGSI INVERS

FUNGSI INJEKTIF

   Fungsi satu-satu

  

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya

jika untuk sembarang a ^{1 dan a 2 dengan a 1 tidak sama} dengan a ^{2 berlaku f(a 1 ) tidak sama dengan f(a 2 ). Dengan} kata lain, bila a = a maka f(a ) sama dengan f(a ). _{1 2 1 2}

FUNGSI SURJEKTIF

   Fungsi kepada

   Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika

untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling

tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.

  

Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya

FUNGSI BIJEKTIF

  

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan

hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.

  

Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif

FUNGSI INVERS

  

  Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri

   f : A

• _–1  B di mana f(a) = b _–1

   f : B

  (b) = a

   A di mana f _–1

OPERASI FUNGSI

  

  (f + g)(x) = f(x) + g(x)

  

  (f . g)(x) = f(x) . g(x)

  

LATIHAN 3



  f(x) = x ² + 1

  

  g(x) = x + 6

  

  Tentukan:

   (f + g)(x)

  Sekian