15 Darpublic Deret dan Transformasi Four
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Deret dan Transformasi Fourier
Deret Fourier
Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponenkomponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret
Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t)
dapat dinyatakan sebagai deret Fourier :
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
f (t ) = a 0 +
(1)
n =1
yang dapat kita tuliskan sebagai
∞
a n2 + bn2 (cos(nω 0 t − θ n ) )
∑
f (t ) = a 0 +
n =1
(2)
Koefisien Fourier a0, an, dan bn ditentukan dengan hubungan berikut:
a0 =
1
T0
an =
2
T0
bn =
2
T0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t )dt
0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt
; n>0
(3)
0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) sin(nω0 t )dt
; n>0
0
Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari an; kita kalikan (1) dengan
cos(kωot) kemudian kita integrasikan antara −To/2 sampai To/2 dan kita akan memperoleh
To / 2
To / 2
o
o
∫−T / 2 f (t ) cos(kωo t )dt = ∫−T / 2 a 0 cos(kω o t )dt
To / 2
−To / 2 a n cos(nω 0 t ) cos(kω o t )dt
+
To / 2
n =1 +
bn sin(nω 0 t ) cos(kω o t )dt
−To / 2
∞
∑
∫
∫
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri
1
1
cos(α − β) + cos(α + β)
2
2
1
1
cos α sin β = sin(α − β) + sin(α + β)
2
2
cos α cos β =
maka persamaan di atas menjadi
To / 2
To / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(kωot )dt = ∫−T / 2 a0 cos(kωot )dt
o
o
an
2 −To / 2 (cos(( n − k )ω0t ) + cos(( n + k )ωot ) )dt
+
b To / 2
n =1 + n
(
)
−
ω
+
+
ω
sin((
n
k
)
t
)
sin((
n
k
)
t
)
dtdt
0
o
2 −To / 2
∞
∑
∫
To / 2
∫
1/15
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral di
ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu
an
2
oleh karena itu
∫−T / 2 (cos((n − k )ω 0 t ))dt =
an =
To / 2
o
2
To
an
yang terjadi jika n = k
2
To / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt
o
Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fouriernya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnya
dalam urain berikut ini.
Kesimetrisan Fungsi
Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t) = f(−t). Salah
satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt).
Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
f (t ) = a0 +
∞
∑ [an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t )]
dan
n =1
∞
f (−t ) = a0 +
∑ [an cos(nω0t ) − bn sin(nω0t )]
n =1
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan f(t) menjadi
f (t ) = a o +
∞
∑ [a n cos(nω 0 t )]
(4)
n =1
v(t)
CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentuk
gelombang deretan pulsa berikut ini.
T
A
−T/2 0
T/2
To
Penyelesaian :
Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda To , lebar pulsa
T.
ao =
1
To
∫−T / 2
an =
2
To
T /2
=
T /2
Adt =
At
To
T /2
=
−T/ 2
AT
; bn = 0 ;
To
2A
∫−T / 2 A cos(nω o t )dt = To ωo n sin nωo t −T / 2
nπT
A
2 sin
πn
To
T /2
2 A nπT
=
sin
πn To
Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), an = 0; an hanya mempunyai nilai untuk n = 1, 3, 5, ….
(ganjil).
f (t ) =
=
∞
2 A nπT
AT
+
sin
To n =1, ganjil nπ To
∑
cos(nω o t )
∞
2A
AT
(− 1)( n−1) / 2 cos(nω o t )
+
To n=1, ganjil nπ
∑
2/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Pemahaman :
Pada fungsi yang memiliki simetri genap, bn = 0. Oleh karena itu sudut fasa
harmonisa tanθn = bn/an = 0 yang berarti θn = 0o.
Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t) = −f(−t).
Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk
fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
− f (−t ) = −a 0 +
∞
∑ [− a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
n =1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
f (t ) = a 0 +
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
n =1
maka haruslah
a 0 = 0 dan a n = 0
⇒
f (t ) =
∞
∑ [bn sin(nω 0 t )]
(5)
n =1
CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombang
persegi di samping ini.
v(t)
A
T
t
Penyelesaian:
Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudo
A, perioda To = T.
−A
ao = 0 ; an = 0 ;
T
2 T /2
A sin(nω o t )dt +
− A sin(nω o t )dt
T
0
/
2
T
2A
T /2
T
=
− cos(nω o t ) 0 + cos(nω o t ) T / 2
Tnω o
bn =
∫
∫
)
(
=
(
A
1 + cos 2 (nπ) − 2 cos(nπ)
nπ
)
Untuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1. Dengan demikian
maka
A
(1 + 1 + 2) = 4 A untuk n ganjil
∞
4A
nπ
nπ
⇒ v(t ) =
sin(nω o t )
A
nπ
n
1
,
ganjil
=
(1 + 1 − 2) = 0 untuk n genap
bn =
nπ
bn =
∑
Pemahaman:
Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an = 0. Oleh karena itu sudut fasa
harmonisa tanθn = bn/an = ∞ atau θn = 90o.
Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah
gelombang jika f(t) = −f(t−To/2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya
jika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita
inversikan kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt). Demikain pula
halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.
3/15
Darpublic
Nopember 2013
− f (t − To / 2) = − a0 +
= − a0 +
www.darpublic.com
∞
∑ [− an cos(nω0 (t − π)) − bn sin(nω0 (t − π))]
n =1
∞
∑ [− (−1)n an cos(nω0t ) − (−1)n bn sin(nω0t )]
n =1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
f (t ) = a 0 +
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
n =1
maka haruslah ao = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai
harmonisa ganjil saja.
Deret Fourier Bentuk Eksponensial
Deret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus.
Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akan kita ubah
ke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan
cos α =
e jα + e − jα
.
2
Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadi
f (t ) = a0 +
∞
∑
n =1
∞
an2 + bn2 (cos( nω0t − θn ) )
e j ( nω0t −θ n ) + e − j ( nω0t −θ n )
2
= a0 +
∑
= a0 +
∞ a 2 + b2
a 2 + b2
n j ( nω 0 t − θ n )
n − j ( nω 0 t − θ n )
n
e
e
+ n
2
2
n =1
n =1
an2 + bn2
n =1
∞
∑
(6)
∑
Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika penjumlahan ini kita
ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan penyesuaian an menjadi a−n , bn menjadi b−n ,
dan θn menjadi θ−n, maka menurut (3) perubahan ini berakibat
a −n =
b− n =
2
T0
∫−T / 2 f (t ) cos(−nω 0 t )dt = T0 ∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt = a n
2
T0
∫−T / 2 f (t ) sin(−nω 0 t )dt = − T0 ∫−T / 2 f (t ) sin(nω 0 t )dt = −b
tan θ − n =
2
T0 / 2
0
T0 / 2
0
2
T0 / 2
0
T0 / 2
(7)
0
b− n − b n
=
⇒ θ − n = −θ n
a −n
an
Dengan (7) ini maka (6) menjadi
a2 + b2
−∞ a 2 + b 2
n
n
n
n
j ( nω0 t − θ n )
j ( nω0t − θ n )
+
f (t ) =
e
e
n = −1
2
2
n =0
∞
∑
∑
(8)
Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n = 0 untuk
memasukkan a0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8) dapat
ditulis menjadi
4/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
f (t ) =
a2 + b2
n
n
e − jθ n
2
n = −∞
+∞
∑
www.darpublic.com
+∞
j ( nω0t )
e
=
c n e j ( nω0t )
n = −∞
∑
(9)
Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan cn adalah koefisien Fourier yang mungkin
berupa besaran kompleks.
cn =
a n2 + bn2
2
e − jθ =
a n − jbn
2
(10)
an2 + bn2
cn =
dan ∠cn = θn dengan
2
b
−b
θn = tan −1 n jika an < 0; θn = tan −1 n
a
an
n
(11)
jika an > 0
Jika an dan bn pada (3) kita masukkan ke (10) akan kita dapatkan
cn =
a n − jbn
1
=
2
T0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) e
− jnωn t
(12)
dt
0
dan dengan (12) ini maka (9) menjadi
f (t ) =
+∞
+∞
1
T0 / 2
∑ c n e j (nω t ) = ∑ T0 ∫−T / 2 f (t ) e − jnω t dt e j (nω t )
0
n = −∞
n = −∞
o
0
(13)
0
Persamaan (11) menunjukkan bahwa 2|cn| adalah amplitudo dari harmonisa ke-n dan sudut
fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠cn. Persamaan (10) ataupun (12) dapat kita pandang
sebagai pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrum
amplitudo dan spektrum sudut fasa. Persamaan (9) ataupun (13) memberikan f(t) apabila
komposisi harmonisanya cn diketahui. Persamaan (12) menjadi cikal bakal transformasi
Fourier, sedangkan persamaan (13) adalah transformasi baliknya.
CONTOH-3: Carilah koefisien Fourier cn dari fungsi pada contoh-10.1.
Penyelesaian :
1
cn =
To
=
T /2
∫−T / 2A e
A
nω o To
− jnωo t
A
dt =
To
e − jnωo t
− jnω
o
e jnωoT / 2 − e − jnωoT / 2
j
T /2
−T / 2
= 2 A sin (nω o T / 2 )
nω T
o o
Transformasi Fourier
Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (12) hanya
berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyal
anak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyalsinyal demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum kontinyu.
Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga.
Jika diingat bahwa ω0 = 2π/T0 , maka (13) menjadi
5/15
Darpublic
Nopember 2013
∞
f (t ) =
1
www.darpublic.com
T0 / 2
∑ T0 ∫−T / 2 f (t ) e − jnω t dt e jnω t
n = −∞
0
0
0
1 ∞
=
2π n = −∞
T0 / 2
∑ ∫−T / 2 f (t ) e
− jnω0t
0
(14)
dt ω 0 e jnω0t
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T0 diperbesar. Karena ω0 = 2π/T0 maka
jika T0 makin besar, ω0 akan makin kecil. Beda frekuensi antara dua harmonisa yang
berturutan, yaitu
∆ω = (n + 1)ω 0 − nω 0 = ω 0 =
2π
T0
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlah harmonisa
semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T0 diperbesar menuju ∞ maka spektrum
sinyal menjadi spektrum kontinyu, ∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal),
dan nω0 menjadi peubah kontinyu ω. Penjumlahan pada (14) menjadi integral. Jadi dengan
membuat T0 → ∞ maka (14) menjadi
f (t ) =
1
2π
∞
−∞
∞
∫ ∫−∞
1
f (t ) e − jωt dt e jωt dω =
2π
∞
∫−∞ F (ω) e
jωt
dω
(15)
dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga
F (ω) =
∞
∫−∞ f (t ) e
− j ωt
(16)
dt
dan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasi
F [ f (t )] = F (ω)
Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (15).
f (t ) = F −1 (ω)
CONTOH-4: Carilah transformasi Fourier dari bentuk
gelombang pulsa di samping ini.
Penyelesaian :
v(t)
A
−T/2
0
T/2
Bentuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyai
nilai antara −T/2 dan +T/2, sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena itu
integrasi yang diminta oleh (16) cukup dilakukan antara −T/2 dan +T/2 saja.
F (ω) =
T /2
A e − jωt dt = −
∫−T / 2
= AT
A − jωt
e
jω
T /2
=
−T / 2
A e jωT / 2 − e − jωT / 2
j2
ω / 2
sin(ωT / 2)
ωT / 2
Kita bandingkan transformasi Fourier (16)
F (ω) =
∞
∫−∞ f (t ) e
− j ωt
dt
dengan koefisien Fourier
6/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
cn =
a n − jbn
1
=
2
T0
www.darpublic.com
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) e
− jnωnt
(17)
dt
0
Koefisien Fourier cn merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T0 yang
terdiri dari spektrum amplitudo |cn| dan spektrum sudut fasa ∠cn, dan keduanya
merupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentu
yang diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkan
perioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagai
sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T0 pada cn dikeluarkan untuk
memperoleh F(ω) yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jω)|
maupun spektrum sudut fasa ∠ F(ω).
CONTOH-5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-4.
Penyelesaian :
Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu |F(jω)|.
F (ω) = AT
sin(ωT / 2)
ωT / 2
|F(ω)|
-5
ω
0
0
Pemahaman:
Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehingga
spektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan pula bahwa |F(ω)| mempunyai
spektrum di dua sisi, ω positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2)=0
yaitu pada ω = ±2kπ/T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada ω = 0, yaitu pada
waktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) = 1.
CONTOH-6: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e−αt ] u(t) dan gambarkan
spektrum amplitudo dan fasanya.
Penyelesaian :
F (ω) =
∞
∫−∞
Ae −αt u (t )e − jωt dt =
e −( α + jω)t
=−A
α + jω
⇒ F (ω) =
∞
=
0
∞
∫0
Ae −( α + jω)t dt
A
untuk α > 0
α + jω
| A|
α 2 + ω2
⇒ θ(ω) = ∠F ( jω) = − tan −1
ω
α
7/15
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
θ(ω) +90o
90
|F(ω)
25
A/α
|
ω
−90o
Pemahaman:
Untuk α < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi menjadi tidak
konvergen.
Transformasi Balik
Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikan
relasi formalnya yaitu persamaan (15). Hal ini dapat dimengerti karena aplikasi formula
tersebut relatif mudah dilakukan
CONTOH-7: Carilah f(t) dari
F (ω) = 2πδ(ω)
Penyelesaian :
∞
1
2π
f (t ) =
=
∫−∞
α+
∫α
−
2πδ(ω) e jωt dω =
1
2π
0+
∫0
−
2πδ(ω) e jωt dω
δ(ω)(1) dω = 1
Pemahaman :
Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai di
ω=0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω=0 sebesar e
j0t
=1. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω=0 maka integral dari −∞ sampai
+∞ cukup dilakukan dari 0− sampai 0+, yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=0.
Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal searah
beramplitudo 1 adalah 2πδ(ω).
CONTOH-8: Carilah f(t) dari
F ( jω) = 2πδ(ω − α)
Penyelesaian :
f (t ) =
1
2π
∞
∫−∞
= e jαt
2πδ(ω − α ) e jωt dω =
α+
∫α
−
1
2π
α+
∫α
−
2πδ(ω − α) e jωt dω
δ(ω − α) dω = e jαt
Pemahaman :
Fungsi 2πδ(ω−α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai
di ω=α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω=α sebesar
8/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
ejαt. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω=α maka integral dari −∞ sampai +∞
cukup dilakukan dari α− sampai α+, yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=α.
CONTOH-9: Carilah f(t) dari
F (ω) =
πA
[u (ω + α) − u (ω − α)]
α
Penyelesaian :
f (t ) =
1
2π
1
=
2π
=
∞ πA
j ωt
∫−∞ α [u (ω + α) − u(ω − α)] e dω
πA
A e jωt
1] e jωt dω =
[
−∞ α
2α jt
∫
∞
A e
2α
jαt
−e
jt
− jαt
=
A e
αt
jαt
−e
j2
α
−α
− jαt
=A
sin(αt )
αt
Pemahaman:
Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang −α
Nopember 2013
www.darpublic.com
Deret dan Transformasi Fourier
Deret Fourier
Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponenkomponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret
Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t)
dapat dinyatakan sebagai deret Fourier :
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
f (t ) = a 0 +
(1)
n =1
yang dapat kita tuliskan sebagai
∞
a n2 + bn2 (cos(nω 0 t − θ n ) )
∑
f (t ) = a 0 +
n =1
(2)
Koefisien Fourier a0, an, dan bn ditentukan dengan hubungan berikut:
a0 =
1
T0
an =
2
T0
bn =
2
T0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t )dt
0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt
; n>0
(3)
0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) sin(nω0 t )dt
; n>0
0
Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari an; kita kalikan (1) dengan
cos(kωot) kemudian kita integrasikan antara −To/2 sampai To/2 dan kita akan memperoleh
To / 2
To / 2
o
o
∫−T / 2 f (t ) cos(kωo t )dt = ∫−T / 2 a 0 cos(kω o t )dt
To / 2
−To / 2 a n cos(nω 0 t ) cos(kω o t )dt
+
To / 2
n =1 +
bn sin(nω 0 t ) cos(kω o t )dt
−To / 2
∞
∑
∫
∫
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri
1
1
cos(α − β) + cos(α + β)
2
2
1
1
cos α sin β = sin(α − β) + sin(α + β)
2
2
cos α cos β =
maka persamaan di atas menjadi
To / 2
To / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(kωot )dt = ∫−T / 2 a0 cos(kωot )dt
o
o
an
2 −To / 2 (cos(( n − k )ω0t ) + cos(( n + k )ωot ) )dt
+
b To / 2
n =1 + n
(
)
−
ω
+
+
ω
sin((
n
k
)
t
)
sin((
n
k
)
t
)
dtdt
0
o
2 −To / 2
∞
∑
∫
To / 2
∫
1/15
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral di
ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu
an
2
oleh karena itu
∫−T / 2 (cos((n − k )ω 0 t ))dt =
an =
To / 2
o
2
To
an
yang terjadi jika n = k
2
To / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt
o
Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fouriernya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnya
dalam urain berikut ini.
Kesimetrisan Fungsi
Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t) = f(−t). Salah
satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt).
Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
f (t ) = a0 +
∞
∑ [an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t )]
dan
n =1
∞
f (−t ) = a0 +
∑ [an cos(nω0t ) − bn sin(nω0t )]
n =1
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan f(t) menjadi
f (t ) = a o +
∞
∑ [a n cos(nω 0 t )]
(4)
n =1
v(t)
CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentuk
gelombang deretan pulsa berikut ini.
T
A
−T/2 0
T/2
To
Penyelesaian :
Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda To , lebar pulsa
T.
ao =
1
To
∫−T / 2
an =
2
To
T /2
=
T /2
Adt =
At
To
T /2
=
−T/ 2
AT
; bn = 0 ;
To
2A
∫−T / 2 A cos(nω o t )dt = To ωo n sin nωo t −T / 2
nπT
A
2 sin
πn
To
T /2
2 A nπT
=
sin
πn To
Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), an = 0; an hanya mempunyai nilai untuk n = 1, 3, 5, ….
(ganjil).
f (t ) =
=
∞
2 A nπT
AT
+
sin
To n =1, ganjil nπ To
∑
cos(nω o t )
∞
2A
AT
(− 1)( n−1) / 2 cos(nω o t )
+
To n=1, ganjil nπ
∑
2/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Pemahaman :
Pada fungsi yang memiliki simetri genap, bn = 0. Oleh karena itu sudut fasa
harmonisa tanθn = bn/an = 0 yang berarti θn = 0o.
Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t) = −f(−t).
Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk
fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
− f (−t ) = −a 0 +
∞
∑ [− a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
n =1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
f (t ) = a 0 +
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
n =1
maka haruslah
a 0 = 0 dan a n = 0
⇒
f (t ) =
∞
∑ [bn sin(nω 0 t )]
(5)
n =1
CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombang
persegi di samping ini.
v(t)
A
T
t
Penyelesaian:
Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudo
A, perioda To = T.
−A
ao = 0 ; an = 0 ;
T
2 T /2
A sin(nω o t )dt +
− A sin(nω o t )dt
T
0
/
2
T
2A
T /2
T
=
− cos(nω o t ) 0 + cos(nω o t ) T / 2
Tnω o
bn =
∫
∫
)
(
=
(
A
1 + cos 2 (nπ) − 2 cos(nπ)
nπ
)
Untuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1. Dengan demikian
maka
A
(1 + 1 + 2) = 4 A untuk n ganjil
∞
4A
nπ
nπ
⇒ v(t ) =
sin(nω o t )
A
nπ
n
1
,
ganjil
=
(1 + 1 − 2) = 0 untuk n genap
bn =
nπ
bn =
∑
Pemahaman:
Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an = 0. Oleh karena itu sudut fasa
harmonisa tanθn = bn/an = ∞ atau θn = 90o.
Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah
gelombang jika f(t) = −f(t−To/2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya
jika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita
inversikan kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt). Demikain pula
halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.
3/15
Darpublic
Nopember 2013
− f (t − To / 2) = − a0 +
= − a0 +
www.darpublic.com
∞
∑ [− an cos(nω0 (t − π)) − bn sin(nω0 (t − π))]
n =1
∞
∑ [− (−1)n an cos(nω0t ) − (−1)n bn sin(nω0t )]
n =1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
f (t ) = a 0 +
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
n =1
maka haruslah ao = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai
harmonisa ganjil saja.
Deret Fourier Bentuk Eksponensial
Deret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus.
Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akan kita ubah
ke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan
cos α =
e jα + e − jα
.
2
Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadi
f (t ) = a0 +
∞
∑
n =1
∞
an2 + bn2 (cos( nω0t − θn ) )
e j ( nω0t −θ n ) + e − j ( nω0t −θ n )
2
= a0 +
∑
= a0 +
∞ a 2 + b2
a 2 + b2
n j ( nω 0 t − θ n )
n − j ( nω 0 t − θ n )
n
e
e
+ n
2
2
n =1
n =1
an2 + bn2
n =1
∞
∑
(6)
∑
Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika penjumlahan ini kita
ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan penyesuaian an menjadi a−n , bn menjadi b−n ,
dan θn menjadi θ−n, maka menurut (3) perubahan ini berakibat
a −n =
b− n =
2
T0
∫−T / 2 f (t ) cos(−nω 0 t )dt = T0 ∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt = a n
2
T0
∫−T / 2 f (t ) sin(−nω 0 t )dt = − T0 ∫−T / 2 f (t ) sin(nω 0 t )dt = −b
tan θ − n =
2
T0 / 2
0
T0 / 2
0
2
T0 / 2
0
T0 / 2
(7)
0
b− n − b n
=
⇒ θ − n = −θ n
a −n
an
Dengan (7) ini maka (6) menjadi
a2 + b2
−∞ a 2 + b 2
n
n
n
n
j ( nω0 t − θ n )
j ( nω0t − θ n )
+
f (t ) =
e
e
n = −1
2
2
n =0
∞
∑
∑
(8)
Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n = 0 untuk
memasukkan a0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8) dapat
ditulis menjadi
4/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
f (t ) =
a2 + b2
n
n
e − jθ n
2
n = −∞
+∞
∑
www.darpublic.com
+∞
j ( nω0t )
e
=
c n e j ( nω0t )
n = −∞
∑
(9)
Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan cn adalah koefisien Fourier yang mungkin
berupa besaran kompleks.
cn =
a n2 + bn2
2
e − jθ =
a n − jbn
2
(10)
an2 + bn2
cn =
dan ∠cn = θn dengan
2
b
−b
θn = tan −1 n jika an < 0; θn = tan −1 n
a
an
n
(11)
jika an > 0
Jika an dan bn pada (3) kita masukkan ke (10) akan kita dapatkan
cn =
a n − jbn
1
=
2
T0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) e
− jnωn t
(12)
dt
0
dan dengan (12) ini maka (9) menjadi
f (t ) =
+∞
+∞
1
T0 / 2
∑ c n e j (nω t ) = ∑ T0 ∫−T / 2 f (t ) e − jnω t dt e j (nω t )
0
n = −∞
n = −∞
o
0
(13)
0
Persamaan (11) menunjukkan bahwa 2|cn| adalah amplitudo dari harmonisa ke-n dan sudut
fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠cn. Persamaan (10) ataupun (12) dapat kita pandang
sebagai pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrum
amplitudo dan spektrum sudut fasa. Persamaan (9) ataupun (13) memberikan f(t) apabila
komposisi harmonisanya cn diketahui. Persamaan (12) menjadi cikal bakal transformasi
Fourier, sedangkan persamaan (13) adalah transformasi baliknya.
CONTOH-3: Carilah koefisien Fourier cn dari fungsi pada contoh-10.1.
Penyelesaian :
1
cn =
To
=
T /2
∫−T / 2A e
A
nω o To
− jnωo t
A
dt =
To
e − jnωo t
− jnω
o
e jnωoT / 2 − e − jnωoT / 2
j
T /2
−T / 2
= 2 A sin (nω o T / 2 )
nω T
o o
Transformasi Fourier
Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (12) hanya
berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyal
anak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyalsinyal demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum kontinyu.
Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga.
Jika diingat bahwa ω0 = 2π/T0 , maka (13) menjadi
5/15
Darpublic
Nopember 2013
∞
f (t ) =
1
www.darpublic.com
T0 / 2
∑ T0 ∫−T / 2 f (t ) e − jnω t dt e jnω t
n = −∞
0
0
0
1 ∞
=
2π n = −∞
T0 / 2
∑ ∫−T / 2 f (t ) e
− jnω0t
0
(14)
dt ω 0 e jnω0t
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T0 diperbesar. Karena ω0 = 2π/T0 maka
jika T0 makin besar, ω0 akan makin kecil. Beda frekuensi antara dua harmonisa yang
berturutan, yaitu
∆ω = (n + 1)ω 0 − nω 0 = ω 0 =
2π
T0
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlah harmonisa
semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T0 diperbesar menuju ∞ maka spektrum
sinyal menjadi spektrum kontinyu, ∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal),
dan nω0 menjadi peubah kontinyu ω. Penjumlahan pada (14) menjadi integral. Jadi dengan
membuat T0 → ∞ maka (14) menjadi
f (t ) =
1
2π
∞
−∞
∞
∫ ∫−∞
1
f (t ) e − jωt dt e jωt dω =
2π
∞
∫−∞ F (ω) e
jωt
dω
(15)
dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga
F (ω) =
∞
∫−∞ f (t ) e
− j ωt
(16)
dt
dan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasi
F [ f (t )] = F (ω)
Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (15).
f (t ) = F −1 (ω)
CONTOH-4: Carilah transformasi Fourier dari bentuk
gelombang pulsa di samping ini.
Penyelesaian :
v(t)
A
−T/2
0
T/2
Bentuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyai
nilai antara −T/2 dan +T/2, sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena itu
integrasi yang diminta oleh (16) cukup dilakukan antara −T/2 dan +T/2 saja.
F (ω) =
T /2
A e − jωt dt = −
∫−T / 2
= AT
A − jωt
e
jω
T /2
=
−T / 2
A e jωT / 2 − e − jωT / 2
j2
ω / 2
sin(ωT / 2)
ωT / 2
Kita bandingkan transformasi Fourier (16)
F (ω) =
∞
∫−∞ f (t ) e
− j ωt
dt
dengan koefisien Fourier
6/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
cn =
a n − jbn
1
=
2
T0
www.darpublic.com
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) e
− jnωnt
(17)
dt
0
Koefisien Fourier cn merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T0 yang
terdiri dari spektrum amplitudo |cn| dan spektrum sudut fasa ∠cn, dan keduanya
merupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentu
yang diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkan
perioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagai
sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T0 pada cn dikeluarkan untuk
memperoleh F(ω) yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jω)|
maupun spektrum sudut fasa ∠ F(ω).
CONTOH-5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-4.
Penyelesaian :
Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu |F(jω)|.
F (ω) = AT
sin(ωT / 2)
ωT / 2
|F(ω)|
-5
ω
0
0
Pemahaman:
Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehingga
spektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan pula bahwa |F(ω)| mempunyai
spektrum di dua sisi, ω positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2)=0
yaitu pada ω = ±2kπ/T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada ω = 0, yaitu pada
waktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) = 1.
CONTOH-6: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e−αt ] u(t) dan gambarkan
spektrum amplitudo dan fasanya.
Penyelesaian :
F (ω) =
∞
∫−∞
Ae −αt u (t )e − jωt dt =
e −( α + jω)t
=−A
α + jω
⇒ F (ω) =
∞
=
0
∞
∫0
Ae −( α + jω)t dt
A
untuk α > 0
α + jω
| A|
α 2 + ω2
⇒ θ(ω) = ∠F ( jω) = − tan −1
ω
α
7/15
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
θ(ω) +90o
90
|F(ω)
25
A/α
|
ω
−90o
Pemahaman:
Untuk α < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi menjadi tidak
konvergen.
Transformasi Balik
Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikan
relasi formalnya yaitu persamaan (15). Hal ini dapat dimengerti karena aplikasi formula
tersebut relatif mudah dilakukan
CONTOH-7: Carilah f(t) dari
F (ω) = 2πδ(ω)
Penyelesaian :
∞
1
2π
f (t ) =
=
∫−∞
α+
∫α
−
2πδ(ω) e jωt dω =
1
2π
0+
∫0
−
2πδ(ω) e jωt dω
δ(ω)(1) dω = 1
Pemahaman :
Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai di
ω=0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω=0 sebesar e
j0t
=1. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω=0 maka integral dari −∞ sampai
+∞ cukup dilakukan dari 0− sampai 0+, yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=0.
Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal searah
beramplitudo 1 adalah 2πδ(ω).
CONTOH-8: Carilah f(t) dari
F ( jω) = 2πδ(ω − α)
Penyelesaian :
f (t ) =
1
2π
∞
∫−∞
= e jαt
2πδ(ω − α ) e jωt dω =
α+
∫α
−
1
2π
α+
∫α
−
2πδ(ω − α) e jωt dω
δ(ω − α) dω = e jαt
Pemahaman :
Fungsi 2πδ(ω−α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai
di ω=α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω=α sebesar
8/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
ejαt. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω=α maka integral dari −∞ sampai +∞
cukup dilakukan dari α− sampai α+, yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=α.
CONTOH-9: Carilah f(t) dari
F (ω) =
πA
[u (ω + α) − u (ω − α)]
α
Penyelesaian :
f (t ) =
1
2π
1
=
2π
=
∞ πA
j ωt
∫−∞ α [u (ω + α) − u(ω − α)] e dω
πA
A e jωt
1] e jωt dω =
[
−∞ α
2α jt
∫
∞
A e
2α
jαt
−e
jt
− jαt
=
A e
αt
jαt
−e
j2
α
−α
− jαt
=A
sin(αt )
αt
Pemahaman:
Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang −α