Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2017 Tingkat Kabupaten
Pembahasan Soal
OSK SMA 2017
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017
OSK Matematika SMA
(Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMA)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 37
om
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA
TINGKAT KABUPATEN
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
14 MARET 2017
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1.
Diketahui
dan
Pembahasan:
Perhatikan untuk mencari bentuk
bentuk
.
Perhatikan karena
Padahal karena
adalah ….
. Nilai dari
jalur yang kita tempuh adalah mencari terlebih dahulu
, maka
, sehingga
, maka
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, sehingga
Halaman 3 dari 37
Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita hanya diberikan sebagian
informasi sebagai berikut:
(a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan
(b) Adi bukan juara pertama
(c) Cokro kalah dari Budi
Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga,
dan keempat adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
om
2.
Pembahasan:
Perhatikan informasi yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut:
(a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang belainan, artinya setiap posisi juara
ditempati oleh satu orang saja.
(b) Adi bukan juara pertama, artinya juara pertama tidak mungkin ditempati oleh Adi. Adi hanya
bisa menempati posisi pada juara kedua, ketiga, atau keempat.
(c) Cokro kalah dari Budi, artinya jika Cokro menjadi juara pertama, maka kemungkinan Budi
adalah juara kedua, ketiga, atau keempat. Sedangkan jika Cokro juara kedua, maka
kemungkinan Budi hanya menjadi juara ketiga atau keempat saja. Sedang jika Cokro juara
ketiga, maka Budi pastilah menjadi juara keempat. Syarat ini tidak memungkinkan untuk
Cokro menjadi juara keempat.
Sehingga, dari informasi tersebut, kita misalkan posisi masing-masing juara sebagai berikut:
1. Posisi Adi.
Kemungkinan posisi Adi adalah memilih satu tempat dari 3, sehingga
.
2. Posisi Cokro dan Budi
Kemungkinan posisi Cokro dan Budi adalah memilih dua tempat dari 3 tempat secara
kombinasi, karena posisinya sudah pasti Cokro kalah dari Budi, sehingga
.
3. Posisi Dion.
Posisi Dion sudah tidak perlu ditentukan karena hanya tersisa satu tempat lagi, sehingga
.
Jadi, banyaknya cara menentukan susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah:
Cara Alternatif:
Manual dengan meletakkan masing-masing orang sesuai dengan informasi pada soal.
Sehingga diperoleh 9 kemungkinan, yaitu:
No
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Juara 1
Cokro
Cokro
Dion
Cokro
Cokro
Dion
Cokro
Cokro
Dion
Juara 2
Adi
Adi
Adi
Budi
Dion
Cokro
Budi
Dion
Cokro
Juara 3
Budi
Dion
Cokro
Adi
Adi
Adi
Dion
Budi
Budi
Juara 4
Dion
Budi
Budi
Dion
Budi
Budi
Adi
Adi
Adi
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4 dari 37
Banyaknya bilangan asli
Pembahasan:
Perhatikan
yang memenuhi
, maksudnya
adalah faktor dari
adalah ….
dimana
adalah bilangan asli.
, diperoleh:
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pemfaktoran dari bentuk
untuk semua bilangan asli
om
3.
Mudah diperiksa bahwa bentuk
memuat bentuk perkalian dari 3 bilangan asli berurutan,
dimana 3 bilangan asli berurutan pasti habis dibagi 6.
Sehingga
, untuk semua bilangan asli pasti juga habis dibagi oleh 6.
Namun, setelah diperiksa lebih lanjut, ternyata 7 juga menjadi faktor dari
Misal
Kedua nilai
, maka
dan
dan
adalah juga kelipatan 7 karena
.
.
.
Misal
adalah kelipatan 7, maka akan dibuktikan
adalah juga kelipatan 7.
Perhatikan,
Jadi jelas bahwa 7 adalah salah satu faktor dari
.
Jadi, karena faktor
adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, dan 42, maka terdapat 8 buah bilangan
asli yang merupakan faktor dari
.
Atau menggunakan rumus banyak faktor bulat positif, maka karena
banyak faktor bulat positif dari 42 adalah
buah.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, sehingga
Halaman 5 dari 37
Pada sebuah lingkaran dengan pusat , talibusur
berjarak 5 dari titik dan talibusur
berjarak
dari titik . Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka
adalah ….
om
4.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Ilustrasi soal terlihat pada gambar berikut:
(i)
(ii)
dari titik .
Ternyata tali busur AC ada dua buah yang sesuai kriteria pada soal, yaitu berjarak
Sehingga, titik kita beri indeks masing-masing untuk membedakannya, yaitu dan .
Kasus 1.
Pada gambar (i), titik
Perhatikan
sin
Perhatikan
sin
, misal
kita pilih berada di atas B.
, maka:
sin
sin
, misal
, maka:
sin
sin
Padahal, sudut keliling
Sehingga sudut pusat
.
.
Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh:
s
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6 dari 37
Perhatikan
, maka:
sin
sin
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
sin
, misal
kita pilih berada di bawah B.
om
Kasus 2.
Pada gambar (ii), titik
Perhatikan
sin
, misal
, maka:
sin
sin
Padahal, sudut keliling
Sehingga sudut pusat
.
.
Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh:
s
Komentar terhadap soal:
Menurut pandangan saya, soal ini multitafsir dan cenderung ambigu, karena memiliki dua
, yang artinya
penyelesaian….. Menurut kabar yang beredar kun inya adalah
jawabannya tunggal.
Padahal, dari hasil pengamatan pada soal dan ilustrasi soal pada gambar, dapat ditemukan dua
nilai panjang
yang dimaksud pada s al….
Jadi sebaiknya soal perlu diberi keterangan lebih lanjut agar jawaban benar tunggal dan tidak bias
atau ambigu…..
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
5.
Jika
, maka nilai dari
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Misal,
adalah ….
om
Halaman 7 dari 37
Maka,
Sehingga diperoleh,
Apabila kedua persamaan dikuadratkan, maka
dan,
Jadi, diperoleh,
Cara Alternatif:
Perhatikan,
tambah kedua ruas dengan
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8 dari 37
Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya
kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah
dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah
dengan
. Selisih terbesar yang
mungkin dari banyaknya b la merah dan hitam adalah ….
om
6.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Misal,
banyaknya bola merah
banyaknya bola hitam
Sehingga, apabila banyak bola merah dan bola hitam secara keseluruhan dimisalkan
keseluruhan kurang dari 1000, maka
dan banyak
Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah
Perhatikan, pada soal diketahui
Padahal,
, sehingga:
, sehingga:
Jadi, nilai terbesar adalah
Sedangkan karena
,
, jadi jumlah terbesar
, maka diperoleh
Sehingga selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
Cara Alternatif:
Misal,
banyaknya bola merah
banyaknya bola hitam
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah
om
Halaman 9 dari 37
, sehingga:
Perhatikan, pada soal diketahui
Padahal, banyak keseluruhan bola adalah kurang dari 1000, maka
Sehingga, dengan sedikit manipulasi dari
Jadi, diperoleh
bola merah dan hitam adalah
dapat diperoleh,
sedangkan selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10 dari 37
Misalkan
menyatakan faktor prima terbesar dari
dan
terkecil dari . Banyaknya bilangan asli
…
sehingga
, maka dua bilangan prima yang selisihnya 1 adalah
dan
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Karena
bilangan 2 dan 3.
Jadi jelas bahwa
menyatakan faktor prima
adalah ….
om
7.
Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah
, dengan dan adalah bilangan asli.
Padahal bilangan
…
, maka
- untuk
, diperoleh tiga buah nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh dua buah nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh dua nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh satu nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh satu nilai yang mungkin adalah
Jadi, ada buah bilangan asli
yang memenuhi.
Cara Alternatif:
Dicoba dengan cara manual, karena
yang selisihnya 1 adalah bilangan 2 dan 3.
Jadi jelas bahwa
dan
Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah
, maka dua bilangan prima
, dengan
dan adalah bilangan asli.
Jadi, bilangan tersebut adalah:
-
Jadi, ada buah bilangan asli
yang memenuhi.
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan jelas bahwa
, dengan
bilangan asli.
Maka adalah bilangan kelipatan 2 dan 3 yang tidak habis dibagi bilangan prima , dimana
, jadi
.
Sehingga misal banyaknya adalah
dapat dirumuskan sebagai:
Jadi, ada buah bilangan asli
yang memenuhi.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11 dari 37
Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi terletak pada batas dari juring lingkaran
berjari-jari yang sudut pusatnya
. Jika persegi diletakkan secara simetris dalam juring, maka
adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
nilai
om
8.
Pembahasan:
Perhatikan gambar disamping,
Misal,
jari-jari lingkaran
sisi persegi
Perhatikan
,
tan
tan
Sehingga diperoleh koordinat
Dan karena
.
, maka koordinat
Pandang persamaan lingkaran dengan pusat
.
yang melalui
, maka
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
adalah
Halaman 12 dari 37
Jika persegi berada di dalam juring dengan sudut pusat
maka
adalah segitiga sama sisi.
Sehingga,
.
,
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Perhatikan,
,
om
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan gambar disamping,
Pada
berlaku aturan kosinus sebagai berikut:
s
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13 dari 37
Misalkan
….
bilangan real positif yang memenuhi
. Nilai minimum dari
adalah
om
9.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Misal,
Berdasarkan ketaksamaan
Tanda kesamaan terjadi saat
Padahal
, sehingga
Berdasarkan ketaksamaan
Tanda kesamaan terjadi saat
Sehingga, nilai minimum dari
diperoleh:
, sehingga
dan
diperoleh:
, sehingga
dan
adalah
min
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14 dari 37
om
10. Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan
aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua digit nomor kamar
tersebut dipertukarkan tempatnya, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar
yang tidak berisi tamu. Maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan aturan aneh pada hotel tersebut: Jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua
digit nomor kamar tersebut dipertukarkan tempatnya , maka diperoleh:
nomor kamar yang sama.
Jika nomor kamarnya sama, maka sudah pasti nomor kamar tersebut berisi tamu.
nomor kamar yang tidak berisi tamu.
Artinya, permutasi dari digit kamar menghasilkan nomor kamar yang tidak berisi tamu.
Padahal, kamar hotel bernomor 000 sampai dengan 999. Artinya ada 1000 buah kamar hotel.
Kamar hotel tersebut dapat diklasifikasikan berdasarkan jenis digitnya, yaitu:
Nomor kamar yang ketiga digitnya sama.
Maka nomor kamar tersebut adalah
.
Karena
… , maka ada sebanyak 10 buah kamar yang tiga digitnya sama.
Karena apabila dipertukarkan dua digitnya mendapat nomor kamar yang sama, maka ada
10 buah kamar yang berisi tamu.
Nomor kamar dengan dua digit yang sama.
Maka nomor kamar tersebut adalah
Karena
…
dan misal dipilih
sebanyak
buah kamar.
.
…
, maka
, maka ada
Perhatikan tabel berikut:
Jenis nomor kamar
Tamu
Ditukar
2 digitnya
Ada Tidak
⧎
Sehingga ada
kamar yang berisi tamu.
Nomor kamar yang ketiga digitnya berbeda.
Maka nomor kamar tersebut adalah
.
Karena
…
dan misal dipilih
, maka
, maka
… , maka ada sebanyak
…
dan misal dipilih
buah kamar
Perhatikan tabel berikut:
Jenis nomor kamar
Tamu
Ditukar
2 digitnya
Ada Tidak
Tamu
Ditukar
2 digitnya
Tamu
Ada Tidak
Ditukar
2 digitnya
Ada Tidak
⧎
⧎
Berarti, ada tiga kamar yang terisi tamu, yaitu
kamar yang berisi tamu.
Sehingga ada
Jadi, maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah
.
⧎
buah kamar.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 15 dari 37
dengan
, maka berlaku
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli berbeda
.
om
11. Fungsi memetakan himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi
dan untuk setiap bilangan asli berbeda
dengan
, berlaku
. Jika diketahui
, maka nilai dari
adalah ….
Perhatikan, pandang bentuk
.
Jika untuk setiap bilangan asli berbeda
…
…
dengan
, maka diperoleh
, dimana:
…
…
Sehingga apabila
diurutkan dari kecil ke besar diperoleh
Dan apabila
bilangan asli dimana
Jadi, akan berlaku
, maka
.
Nah, sekarang perhatikan bentuk faktorisasi prima dari 2016 adalah
Serta pandang bentuk faktorisasi prima dari adalah
Juga pada soal diketahui
dan
Untuk
Dan karena
Perhatikan juga karena
Dari alternatif susunan
, maka diperoleh salah satu alternatif susunan
maka berlaku
dan
, yaitu:
.
, artinya
di atas maka dengan mudah dapat dilihat
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
.
Halaman 16 dari 37
om
12. Diberikan segitiga
dengan
. Misalkan dan berturut-turut titik tengah
dan
. Titik
terletak pada sisi
sehingga
adalah garis bagi sudut
. Jika
, maka besarnya sudut
sama dengan ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi segitiga pada gambar di samping!
Misal,
Karena garis
membagi sudut
sama besar, sehingga
Padahal
Sehingga,
Padalah
dan
merupakan titik tengah berturut-turut sisi
Sehingga, karena
Misal
Diperoleh
, maka
Begitu pula karena
Misal
Diperoleh
Perhatikan
Jadi,
, maka
dan
, sehingga
adalah segitiga sama kaki.
adalah segitiga sama kaki.
, berlaku
dapat ditemukan dengan memandang bahwa
adalah suatu garis lurus.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 17 dari 37
Komentar terhadap soal:
Perhatikan, aturan kosinus pada
s
s
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
s
om
:
s
s
Mengingat, dari
diperoleh
s
s
Sehingga,
s
Padahal
Sehingga, untuk
s
, maka
s
s
.
soal di atas akan menjadi benar dan nyata apabila memenuhi
.
Faktanya, pada soal
, yaitu
.
Kesimpulannya soal tersebut memang dapat dikerjakan secara benar dengan konsep dan
mendapatkan hasil yang seolah-olah benar. Namun, apabila dicermati lebih lanjut maka bentuk
segitiganya tidak dapat digambarkan….
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18 dari 37
suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di
, maka nilai
adalah ….
dan
om
13. Misalkan
. Jika
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
dan
.
Perhatikan, nilai maksimum
di
dan
, artinya
adalah suatu polinom berderajat 3 yang
Karena
suatu polinom berderajat 4, maka
memuat faktor dan
, serta satu faktor yang lain, misal
.
Jadi,
dapat ditentukan dengan menggunakan anti-turunan dari
Padahal
memiliki nilai maksimum 2018 di
Sehingga, karena
, artinya
, sehingga
, maka
maka diperoleh
juga memiliki nilai maksimum 2018 di
, artinya
, maka
Sehingga, diperoleh
Maka, nilai dapat ditentukan menggunakan
Sehingga, diperoleh
Jadi,
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19 dari 37
, maka
, maka
Karena
Karena
………
maka
, maka
, maka
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Karena
Karena
Karena
.
om
Cara Alternatif:
Misal,
maka,
Sehingga, dari eliminasi pada persamaan
…….
Dari eliminasi pada persamaan
…….
Dari eliminasi pada persamaan
, sehingga
Substitusi
dan
Sehingga, karena
,
, diperoleh
dan
diperoleh
dan
diperoleh
ke persamaan
,
dan
,
…….
…….
diperoleh
, dan
, diperoleh:
Jadi,
TRIK SUPERKILAT:
Karena grafik dari fungsi pangkat 4 simetris, maka apabila diperhatikan, ambil dua titik puncak
, sehingga karena nilai
dan
, maka fungsi tersebut adalah
.
dan
, maka fungsi tersebut adalah
Uji titik
, maka diperoleh:
.
Sehingga fungsi tersebut adalah
Jadi,
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20 dari 37
Pembahasan:
Perhatikan, mula-mula setiap anak membawa kadonya sendiri-sendiri
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
14. Terdapat 6 anak, A, B, C, D, E, dan F, akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya
sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara
demikian adalah ….
Kado dari A pasti diberikan kepada B, sehingga ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Sehingga, sekarang B harus memberikan kadonya ke salah satu dari 5 anak yang lain.
Disini ada dua pilihan, yaitu
- B memberikan kado ke A
- B memberikan kado ke selain A
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 21 dari 37
Perhatikan ilustrasi berikut:
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Kasus 1.1
Misal B memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut
Artinya kita akan mengacak 4 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.
Perhatikan,
- banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah .
- apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 3 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 4 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
dan
.
dan
.
dan
.
dan
permutasi
permutasi
permutasi
permutasi
Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah:
.
ara
Kasus 1.2
Misal B memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan memilih kemungkinan B memberikan kado ke C, D, E atau F?
Jadi,
.
ara
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 22 dari 37
Setelah B memberikan kado ke salah satu dari 4 orang tersebut, misalkan kado B diberikan ke C.
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Sehingga ilustrasinya menjadi berikut
Maka disini akan muncul dua kasus lagi.
Disini ada dua pilihan, yaitu
- C memberikan kado ke A
- C memberikan kado ke selain A
Kasus 2.1
Misal C memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan mengacak 3 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.
Perhatikan,
- banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah .
- apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 3 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
dan permutasi
.
dan permutasi
.
dan permutasi
.
Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah:
.
ara
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 23 dari 37
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Kasus 2.2
Misal C memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut
Artinya, kita akan memilih kemungkinan C memberikan kado ke D, E atau F?
.
Jadi,
ara
Setelah C memberikan kado ke salah satu dari 3 orang tersebut, misalkan kado C diberikan ke D.
Sehingga ilustrasinya menjadi berikut
A
B
C
D
E
F
Maka disini akan muncul dua kasus lagi.
Disini ada dua pilihan, yaitu
- D memberikan kado ke A
- D memberikan kado ke selain A
Kasus 3.1
Misal D memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan mengacak 2 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 24 dari 37
dan permutasi
.
dan permutasi
.
om
Perhatikan,
- banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah .
- apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah:
.
ara
Kasus 3.2
Misal D memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan memilih kemungkinan D memberikan kado ke E atau F?
.
Jadi,
ara
Setelah D memberikan kado ke salah satu dari 2 orang tersebut, misalkan kado D diberikan ke E.
Sehingga ilustrasinya menjadi berikut
A
B
C
D
E
F
Maka disini hanya akan muncul satu kasus saja, yaitu E memberikan kado ke F.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 25 dari 37
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Kasus 4.1
Maka E pasti memberikan kadonya ke F.
Mengapa?
Karena tidak mungkin E memberikan kado ke A, karena F akan mendapatkan kadonya sendiri.
Sehingga ilustrasinya sebagai berikut
Dan otomatis, F akan member kadonya ke A.
Sehingga ilustrasinya sebagai berikut
A
Jadi,
B
.
C
D
E
F
ara
Secara sederhana berikut bagannya dari awal sampai akhir proses pengacakan ini.
AB
Kasus 1.1
Kasus 1.2
BA
B(C, D, E atau F)
Misal
BC
Kasus 2.1
Kasus 2.2
CA
C(D, E atau F)
Misal
CD
Kasus 3.1
Kasus 3.2
DA
D(E atau F)
Kasus 4.1
DE dan otomatis
EF
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 26 dari 37
.
.
.
.
.
.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
.
om
Berarti sampai disini kasus sudah berhenti dan mari kita menghitung ulang seluruh kemungkinan
yang terjadi, yaitu:
Jadi, banyaknya cara membagikan kado adalah 53 cara.
Cara Alternatif:
Dengan cara manual kita dapat mencari banyaknya cara membagi kado.
Tanpa mengikutkan B yang sudah pasti mendapatkan kado dari A, maka hasil pengacakan yang
mungkin dapat dilihat seperti berikut:
Kemungkinan pertama, B memberikan kado ke A, sehingga terjadi pengacakan pada keempat
orang lain yaitu C, D, E, dan F sehingga menghasilkan bentuk sebagai berikut:
24 permutasi yang mungkin dari CDEF adalah sebagai berikut:
CDEF
CDFE
CEDF
CEFD
CFDE
CFED
DCEF
DCFE
DECF
DEFC
DFCE
DFEC
ECDF
ECFD
EDCF
EDFC
EFCD
EFDC
FCDE
FCED
FDCE
FDEC
FECD
FEDC
Maka diperoleh 9 buah kemungkinan pengacakan yang diperbolehkan yaitu yang bertanda biru.
Kemungkinan kedua, B memberikan kado ke selain A, berarti ada 4 kemungkinan, yaitu
memberikan kado tersebut ke C, D, E atau F.
Anggap B memberikan kado ke C, berarti ada 24 permutasi yang mungkin dari CDEF yang akan
diletakkan pada ADEF, yaitu:
CDEF
CDFE
CEDF
CEFD
CFDE
CFED
DCEF
DCFE
DECF
DEFC
DFCE
DFEC
ECDF
ECFD
EDCF
EDFC
EFCD
EFDC
FCDE
FCED
FDCE
FDEC
FECD
FEDC
Maka diperoleh 11 buah kemungkinan pengacakan yang diperbolehkan yaitu yang bertanda biru.
Sehingga, banyaknya kemungkinan adalah
cara.
Jadi banyak kemungkinan seluruhnya adalah
cara.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 27 dari 37
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
ara.
om
TRIK SUPERKILAT:
Banyak cara membagikan kado adalah derangement (pengacakan) dengan ada tempat terlarang.
Dengan prinsip inklusi-eksklusi dapat dihitung sebagai
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 28 dari 37
dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari
Pembahasan:
Perhatikan,
buah akt r
bilangan
om
15. Bilangan asli terbesar sehingga
asli berurutan adalah ….
…
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Ide untuk menjadikan
menjadi
perkalian bilangan asli berurutan adalah dengan
memotong beberapa perkalian bilangan asli berurutan pertama.
Pandang bahwa
adalah perkalian dari
bilangan asli berurutan, maka bilangan terbesar
dapat diperoleh dengan memotong
buah perkalian bilangan asli pertama, yaitu
… …
buah akt r
buah akt r
buah akt r
buah akt r
buah akt r
…
dimana, adalah hasil perkalian dari beberapa perkalian bilangan asli pertama yang terpotong.
Sehingga, karena
…
buah akt r
Jadi, diperoleh bahwa bilangan asli terbesar
sehingga
perkalian dari
bilangan asli berurutan adalah 119.
buah akt r
…
dapat dinyatakan sebagai hasil
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 29 dari 37
dan
. Jika
Pembahasan:
Perhatikan gambar di samping.
dan berturut-turut titik tengah
dan
, maka
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Karena
dan
om
16. Pada segitiga
titik dan berturut-turut adalah titik tengah
saling tegak lurus, maka nilai minimum
adalah ….
Perhatikan,
dan
sebangun dan
, maka
Misal,
maka,
dan
Perhatikan,
misal,
maka
t
t
tan
tan
tan
, maka diperoleh
Perhatikan,
misal,
maka
t
t
tan
tan
tan
tan
tan
, maka diperoleh
tan
tan
Sehingga,
t
t
Mengingat, dari
diperoleh
kalikan kedua ruas dengan
Jadi, nilai minimum
t
t
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 30 dari 37
dan
bilangan-bilangan bulat positif. Jajargenjang yang dibatasi oleh garis-garis
dan
mempunyai luas 18. Jajargenjang yang
dibatasi oleh garis-garis
dan
mempunyai luas .
Nilai terkecil yang mungkin untuk
adalah ….
om
17. Misalkan
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Secara grafik, kita dapat melihat dengan mudah bahwa titik potong dengan sumbu Y untuk
keempat garis adalah:
1. Untuk jajargenjang dengan luas 18, adalah di
dan
.
2. Untuk jajargenjang dengan luas 72, adalah di
dan
.
Perhatikan bahwa luas jajargenjang menjadi 4 kali lebih besar, maka dengan prinsip
kesebangunan dan perbandingan, maka ukuran panjang sisi jajargenjang menjadi 2 kali lebih
besar dari semula.
Sehingga,
Perhatikan jarak
Perhatikan jarak
ke
ke
adalah
adalah
.
.
Padahal, ukuran sisi jajargenjang menjadi 2 kali lebih besar dari semula, sehingga
Secara grafik, kita juga dapat melihat dengan mudah bahwa jajargenjang dipisahkan menjadi dua
bagian sama besar oleh sumbu Y.
Perhatikan luas bagian sebelah kanan sumbu Y adalah 9, sehingga:
ehingga diper leh
adi
Perhatikan, bahwa
Dan pandang bentuk
masing-masing
dan
, sehingga dari hubungan
juga dapat diperoleh
.
dengan
bilangan positif, maka nilai
terkecil adalah
Sehingga, diperoleh penyelesaian min
Jadi, nilai minimum
.
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 31 dari 37
om
18. Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum
jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal
banyaknya bilangan bulat p siti yang terdapat pada lingkaran tersebut adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
…
…
…
Perhatikan ilustrasi di atas.
Terdapat 100 buah bilangan bulat yang mengelilingi lingkaran, sedemikian hingga menurut arah
jarum jam, setiap bilangan lebih besar dari hasil penjumlahan dua bilangan seterusnya.
Sehingga dapat dipahami bahwa pada susunan bilangan melingkar tersebut berlaku:
.
.
.
Perhatikan pernyataan
Artinya, paling tidak ada satu buah nilai diantara
…
yang bernilai negatif.
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan
, perhatikan bahwa
tidak ada satu nilai yang negatif diantara
atau
.
Misalkan juga
, maka akibatnya paling tidak juga ada satu nilai
atau
. Agar bilangan negatif minimum, maka
.
Proses tersebut berulang sampai
.
Sehingga, diperoleh
…
dan
Jadi, banyaknya bilangan positif ada sebanyak 49 buah.
…
berarti paling
yang negatif diantara
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 32 dari 37
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
om
Cara Alternatif 1:
…
…
…
Perhatikan ilustrasi di atas.
Dan ingat sifat barisan Fibonacci, yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku sebelumnya.
Padahal di soal ini nilai suku lebih dari jumlah suku sebelumnya.
Barisan Fib na i misalkan saja
… adalah barisan yang m n t n naik.
Artinya, nilainya akan terus menerus membesar. Padahal di soal ini, bilangan tersebut disusun
melingkar, sehingga nilai paling ujung di akhir barisan akan bertemu dengan nilai di awal barisan.
Jelas apabila barisan tersebut monoton naik, ataupun monoton turun tidak mungkin terpilih
sebagai barisan yang dimaksudkan pada soal.
Sehingga pola barisan pada soal seharusnya adalah bertanda selang-seling. Positif, negatif, positif,
negatif. Dan kita pilih suku positifnya adalah bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1.
Misal barisan tersebut adalah
Sehingga diperoleh
Jadi, diperoleh
…
Pertanyaannya kini adalah Apakah
Agar berlaku
,
sedangkan
juga bernilai
dan
Jadi, dari ketiga pertidaksamaan tersebut, jelas sekali bahwa
Maka bilangan positif yang mungkin
.
maka
.
yaitu sebanyak 49 buah.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 33 dari 37
, maka untuk semua
bilangan bulat non negatif
adalah 5.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan,
Misal,
jumlah digit-digit dari
dalam penulisan
om
19. Untuk sebarang bilangan asli , misalkan
adalah jumlah digit-digit dari
adalah ….
desimal. Jika
, maka nilai maksimum dari
Contohnya,
Apabila
, maka diperoleh:
Sehingga, jumlah digit-digit dari 1121 adalah
Terbukti,
.
.
Jadi diperoleh bentuk
menjadi,
sebanyak
suku
sebanyak
yang apabila dijabarkan akan
sebanyak
suku
suku
sebanyak
sebanyak
suku
suku
sebanyak
sebanyak
suku
suku
Sehingga, terdapat 7 bentuk suku yang dapat dikelompokkan berdasarkan pangkat dari
yaitu:
Cara penjumlahan
menghasilkan bentuk 5
Bentuk
Koefisien
,
Banyak suku yang
terbentuk
Keterangan:
Pandang bentuk
maka,
sebagai perkalian berulang sebagai berikut:
Koefisien dari
adalah berapa banyak cara
dengan mengacak bentuk
yaitu
dan seterusnya…
dapat terbentuk dari perkalian berulang sebanyak lima kali,
Sehingga, koefisien dapat dihitung dengan konsep permutasi
adalah
.
Banyak suku yang terbentuk dari
dari huruf-huruf yang tersedia yaitu
unsur dengan ada unsur yang sama. Diperoleh koefisien dari
dst adalah berapa banyak cara pangkat dari
dapat terbentuk
.
Yaitu, memilih sebuah huruf secara permutasi untuk dipasangkan dengan 3, dan memilih dua huruf yang lain dipasangkan
dengan 1 dari dua huruf yang tersisa secara kombinasi. Sehingga,
buah suku.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 34 dari 37
Perhatikan, sebagai contohnya misalkan saja ada dua bilangan yaitu 8 dan 9.
Maka, jumlah kedua digit adalah
. Sedangkan, apabila kedua digit dijumlahkan
. Jelas bahwa
.
om
Lalu pandang lagi, bahwa apabila dua digit dijumlahkan dan lebih dari 10, maka jumlah digit
mereka akan lebih kecil dari jumlah kedua digit tersebut.
, maka jumlah digit dari
adalah
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Sehingga, jumlah digit-digit dari
adalah akan maksimum
apabila setiap bentuk
memiliki bentuk pangkat yang tidak sama . Artinya:
sehingga seluruh bentuk
adalah bentuk berbeda nilainya.
Maka, bilangan
…
yang menghasilkan jumlah digit terbesar adalah:
dengan
hanya dilihat jumlah digitnya saja (contoh: 20 hanya dilihat sebagai
Jadi, jumlah digit maksimum dari
Bentuk
adalah:
Koefisien
Jumlah maksimum dari digit-digit
Jadi, jumlah maksimum dari digit-digit
Banyak suku yang
terbentuk
Jumlah digit
398
adalah
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
dan
)
Halaman 35 dari 37
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi
om
20. Diberikan segitiga
dengan
dan
. Misalkan suatu titik pada garis
bagi
yang terletak di dalam
dan misalkan suatu titik pada sisi
(dengan
).
Garis
dan
memotong
dan
berturut-turut di
dan . Jika
dan
, maka nilai adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
berikut.
Karena
membagi sudut
sifat garis bagi berlaku:
sama besar, maka menurut
dan
Perhatikan,
Misal,
dan
, maka
Dengan menggunakan sudut luar segitiga diperoleh:
Perhatian sekali lagi pada
dan
, berlaku
kedua sisi berhimpit
si at garis bagi sudut
si at sudut luar segitiga
Jadi, dengan prinsip si-su-su maka
kongruen dengan
Perhatikan, karena
adalah segitiga sama kaki, maka
juga merupakan garis berat, dan garis tinggi
.
Oleh karena itu,
dan
.
Perhatikan,
misal,
maka,
, sehingga,
selain merupakan garis bagi, maka
, sehingga
dan
Dengan menggunakan kesamaan pada kedua persamaan diatas, maka diperoleh:
Padahal,
Substitusikan
sebangun
, sehingga
ke
, sehingga diperoleh:
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 36 dari 37
berlaku,
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
om
Perhatikan, pada
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 37 dari 37
om
Pembahasan soal OSK Matematika SMA 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat
keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan
soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Terima kasih.
Pak Anang
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
OSK SMA 2017
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017
OSK Matematika SMA
(Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMA)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 37
om
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA
TINGKAT KABUPATEN
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
14 MARET 2017
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1.
Diketahui
dan
Pembahasan:
Perhatikan untuk mencari bentuk
bentuk
.
Perhatikan karena
Padahal karena
adalah ….
. Nilai dari
jalur yang kita tempuh adalah mencari terlebih dahulu
, maka
, sehingga
, maka
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, sehingga
Halaman 3 dari 37
Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita hanya diberikan sebagian
informasi sebagai berikut:
(a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan
(b) Adi bukan juara pertama
(c) Cokro kalah dari Budi
Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga,
dan keempat adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
om
2.
Pembahasan:
Perhatikan informasi yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut:
(a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang belainan, artinya setiap posisi juara
ditempati oleh satu orang saja.
(b) Adi bukan juara pertama, artinya juara pertama tidak mungkin ditempati oleh Adi. Adi hanya
bisa menempati posisi pada juara kedua, ketiga, atau keempat.
(c) Cokro kalah dari Budi, artinya jika Cokro menjadi juara pertama, maka kemungkinan Budi
adalah juara kedua, ketiga, atau keempat. Sedangkan jika Cokro juara kedua, maka
kemungkinan Budi hanya menjadi juara ketiga atau keempat saja. Sedang jika Cokro juara
ketiga, maka Budi pastilah menjadi juara keempat. Syarat ini tidak memungkinkan untuk
Cokro menjadi juara keempat.
Sehingga, dari informasi tersebut, kita misalkan posisi masing-masing juara sebagai berikut:
1. Posisi Adi.
Kemungkinan posisi Adi adalah memilih satu tempat dari 3, sehingga
.
2. Posisi Cokro dan Budi
Kemungkinan posisi Cokro dan Budi adalah memilih dua tempat dari 3 tempat secara
kombinasi, karena posisinya sudah pasti Cokro kalah dari Budi, sehingga
.
3. Posisi Dion.
Posisi Dion sudah tidak perlu ditentukan karena hanya tersisa satu tempat lagi, sehingga
.
Jadi, banyaknya cara menentukan susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah:
Cara Alternatif:
Manual dengan meletakkan masing-masing orang sesuai dengan informasi pada soal.
Sehingga diperoleh 9 kemungkinan, yaitu:
No
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Juara 1
Cokro
Cokro
Dion
Cokro
Cokro
Dion
Cokro
Cokro
Dion
Juara 2
Adi
Adi
Adi
Budi
Dion
Cokro
Budi
Dion
Cokro
Juara 3
Budi
Dion
Cokro
Adi
Adi
Adi
Dion
Budi
Budi
Juara 4
Dion
Budi
Budi
Dion
Budi
Budi
Adi
Adi
Adi
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4 dari 37
Banyaknya bilangan asli
Pembahasan:
Perhatikan
yang memenuhi
, maksudnya
adalah faktor dari
adalah ….
dimana
adalah bilangan asli.
, diperoleh:
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pemfaktoran dari bentuk
untuk semua bilangan asli
om
3.
Mudah diperiksa bahwa bentuk
memuat bentuk perkalian dari 3 bilangan asli berurutan,
dimana 3 bilangan asli berurutan pasti habis dibagi 6.
Sehingga
, untuk semua bilangan asli pasti juga habis dibagi oleh 6.
Namun, setelah diperiksa lebih lanjut, ternyata 7 juga menjadi faktor dari
Misal
Kedua nilai
, maka
dan
dan
adalah juga kelipatan 7 karena
.
.
.
Misal
adalah kelipatan 7, maka akan dibuktikan
adalah juga kelipatan 7.
Perhatikan,
Jadi jelas bahwa 7 adalah salah satu faktor dari
.
Jadi, karena faktor
adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, dan 42, maka terdapat 8 buah bilangan
asli yang merupakan faktor dari
.
Atau menggunakan rumus banyak faktor bulat positif, maka karena
banyak faktor bulat positif dari 42 adalah
buah.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, sehingga
Halaman 5 dari 37
Pada sebuah lingkaran dengan pusat , talibusur
berjarak 5 dari titik dan talibusur
berjarak
dari titik . Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka
adalah ….
om
4.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Ilustrasi soal terlihat pada gambar berikut:
(i)
(ii)
dari titik .
Ternyata tali busur AC ada dua buah yang sesuai kriteria pada soal, yaitu berjarak
Sehingga, titik kita beri indeks masing-masing untuk membedakannya, yaitu dan .
Kasus 1.
Pada gambar (i), titik
Perhatikan
sin
Perhatikan
sin
, misal
kita pilih berada di atas B.
, maka:
sin
sin
, misal
, maka:
sin
sin
Padahal, sudut keliling
Sehingga sudut pusat
.
.
Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh:
s
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6 dari 37
Perhatikan
, maka:
sin
sin
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
sin
, misal
kita pilih berada di bawah B.
om
Kasus 2.
Pada gambar (ii), titik
Perhatikan
sin
, misal
, maka:
sin
sin
Padahal, sudut keliling
Sehingga sudut pusat
.
.
Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh:
s
Komentar terhadap soal:
Menurut pandangan saya, soal ini multitafsir dan cenderung ambigu, karena memiliki dua
, yang artinya
penyelesaian….. Menurut kabar yang beredar kun inya adalah
jawabannya tunggal.
Padahal, dari hasil pengamatan pada soal dan ilustrasi soal pada gambar, dapat ditemukan dua
nilai panjang
yang dimaksud pada s al….
Jadi sebaiknya soal perlu diberi keterangan lebih lanjut agar jawaban benar tunggal dan tidak bias
atau ambigu…..
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
5.
Jika
, maka nilai dari
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Misal,
adalah ….
om
Halaman 7 dari 37
Maka,
Sehingga diperoleh,
Apabila kedua persamaan dikuadratkan, maka
dan,
Jadi, diperoleh,
Cara Alternatif:
Perhatikan,
tambah kedua ruas dengan
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8 dari 37
Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya
kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah
dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah
dengan
. Selisih terbesar yang
mungkin dari banyaknya b la merah dan hitam adalah ….
om
6.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Misal,
banyaknya bola merah
banyaknya bola hitam
Sehingga, apabila banyak bola merah dan bola hitam secara keseluruhan dimisalkan
keseluruhan kurang dari 1000, maka
dan banyak
Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah
Perhatikan, pada soal diketahui
Padahal,
, sehingga:
, sehingga:
Jadi, nilai terbesar adalah
Sedangkan karena
,
, jadi jumlah terbesar
, maka diperoleh
Sehingga selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
Cara Alternatif:
Misal,
banyaknya bola merah
banyaknya bola hitam
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah
om
Halaman 9 dari 37
, sehingga:
Perhatikan, pada soal diketahui
Padahal, banyak keseluruhan bola adalah kurang dari 1000, maka
Sehingga, dengan sedikit manipulasi dari
Jadi, diperoleh
bola merah dan hitam adalah
dapat diperoleh,
sedangkan selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10 dari 37
Misalkan
menyatakan faktor prima terbesar dari
dan
terkecil dari . Banyaknya bilangan asli
…
sehingga
, maka dua bilangan prima yang selisihnya 1 adalah
dan
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Karena
bilangan 2 dan 3.
Jadi jelas bahwa
menyatakan faktor prima
adalah ….
om
7.
Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah
, dengan dan adalah bilangan asli.
Padahal bilangan
…
, maka
- untuk
, diperoleh tiga buah nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh dua buah nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh dua nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh satu nilai yang mungkin adalah
- untuk
, diperoleh satu nilai yang mungkin adalah
Jadi, ada buah bilangan asli
yang memenuhi.
Cara Alternatif:
Dicoba dengan cara manual, karena
yang selisihnya 1 adalah bilangan 2 dan 3.
Jadi jelas bahwa
dan
Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah
, maka dua bilangan prima
, dengan
dan adalah bilangan asli.
Jadi, bilangan tersebut adalah:
-
Jadi, ada buah bilangan asli
yang memenuhi.
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan jelas bahwa
, dengan
bilangan asli.
Maka adalah bilangan kelipatan 2 dan 3 yang tidak habis dibagi bilangan prima , dimana
, jadi
.
Sehingga misal banyaknya adalah
dapat dirumuskan sebagai:
Jadi, ada buah bilangan asli
yang memenuhi.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11 dari 37
Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi terletak pada batas dari juring lingkaran
berjari-jari yang sudut pusatnya
. Jika persegi diletakkan secara simetris dalam juring, maka
adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
nilai
om
8.
Pembahasan:
Perhatikan gambar disamping,
Misal,
jari-jari lingkaran
sisi persegi
Perhatikan
,
tan
tan
Sehingga diperoleh koordinat
Dan karena
.
, maka koordinat
Pandang persamaan lingkaran dengan pusat
.
yang melalui
, maka
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
adalah
Halaman 12 dari 37
Jika persegi berada di dalam juring dengan sudut pusat
maka
adalah segitiga sama sisi.
Sehingga,
.
,
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Perhatikan,
,
om
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan gambar disamping,
Pada
berlaku aturan kosinus sebagai berikut:
s
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13 dari 37
Misalkan
….
bilangan real positif yang memenuhi
. Nilai minimum dari
adalah
om
9.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Misal,
Berdasarkan ketaksamaan
Tanda kesamaan terjadi saat
Padahal
, sehingga
Berdasarkan ketaksamaan
Tanda kesamaan terjadi saat
Sehingga, nilai minimum dari
diperoleh:
, sehingga
dan
diperoleh:
, sehingga
dan
adalah
min
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14 dari 37
om
10. Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan
aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua digit nomor kamar
tersebut dipertukarkan tempatnya, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar
yang tidak berisi tamu. Maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan aturan aneh pada hotel tersebut: Jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua
digit nomor kamar tersebut dipertukarkan tempatnya , maka diperoleh:
nomor kamar yang sama.
Jika nomor kamarnya sama, maka sudah pasti nomor kamar tersebut berisi tamu.
nomor kamar yang tidak berisi tamu.
Artinya, permutasi dari digit kamar menghasilkan nomor kamar yang tidak berisi tamu.
Padahal, kamar hotel bernomor 000 sampai dengan 999. Artinya ada 1000 buah kamar hotel.
Kamar hotel tersebut dapat diklasifikasikan berdasarkan jenis digitnya, yaitu:
Nomor kamar yang ketiga digitnya sama.
Maka nomor kamar tersebut adalah
.
Karena
… , maka ada sebanyak 10 buah kamar yang tiga digitnya sama.
Karena apabila dipertukarkan dua digitnya mendapat nomor kamar yang sama, maka ada
10 buah kamar yang berisi tamu.
Nomor kamar dengan dua digit yang sama.
Maka nomor kamar tersebut adalah
Karena
…
dan misal dipilih
sebanyak
buah kamar.
.
…
, maka
, maka ada
Perhatikan tabel berikut:
Jenis nomor kamar
Tamu
Ditukar
2 digitnya
Ada Tidak
⧎
Sehingga ada
kamar yang berisi tamu.
Nomor kamar yang ketiga digitnya berbeda.
Maka nomor kamar tersebut adalah
.
Karena
…
dan misal dipilih
, maka
, maka
… , maka ada sebanyak
…
dan misal dipilih
buah kamar
Perhatikan tabel berikut:
Jenis nomor kamar
Tamu
Ditukar
2 digitnya
Ada Tidak
Tamu
Ditukar
2 digitnya
Tamu
Ada Tidak
Ditukar
2 digitnya
Ada Tidak
⧎
⧎
Berarti, ada tiga kamar yang terisi tamu, yaitu
kamar yang berisi tamu.
Sehingga ada
Jadi, maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah
.
⧎
buah kamar.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 15 dari 37
dengan
, maka berlaku
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli berbeda
.
om
11. Fungsi memetakan himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi
dan untuk setiap bilangan asli berbeda
dengan
, berlaku
. Jika diketahui
, maka nilai dari
adalah ….
Perhatikan, pandang bentuk
.
Jika untuk setiap bilangan asli berbeda
…
…
dengan
, maka diperoleh
, dimana:
…
…
Sehingga apabila
diurutkan dari kecil ke besar diperoleh
Dan apabila
bilangan asli dimana
Jadi, akan berlaku
, maka
.
Nah, sekarang perhatikan bentuk faktorisasi prima dari 2016 adalah
Serta pandang bentuk faktorisasi prima dari adalah
Juga pada soal diketahui
dan
Untuk
Dan karena
Perhatikan juga karena
Dari alternatif susunan
, maka diperoleh salah satu alternatif susunan
maka berlaku
dan
, yaitu:
.
, artinya
di atas maka dengan mudah dapat dilihat
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
.
Halaman 16 dari 37
om
12. Diberikan segitiga
dengan
. Misalkan dan berturut-turut titik tengah
dan
. Titik
terletak pada sisi
sehingga
adalah garis bagi sudut
. Jika
, maka besarnya sudut
sama dengan ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi segitiga pada gambar di samping!
Misal,
Karena garis
membagi sudut
sama besar, sehingga
Padahal
Sehingga,
Padalah
dan
merupakan titik tengah berturut-turut sisi
Sehingga, karena
Misal
Diperoleh
, maka
Begitu pula karena
Misal
Diperoleh
Perhatikan
Jadi,
, maka
dan
, sehingga
adalah segitiga sama kaki.
adalah segitiga sama kaki.
, berlaku
dapat ditemukan dengan memandang bahwa
adalah suatu garis lurus.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 17 dari 37
Komentar terhadap soal:
Perhatikan, aturan kosinus pada
s
s
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
s
om
:
s
s
Mengingat, dari
diperoleh
s
s
Sehingga,
s
Padahal
Sehingga, untuk
s
, maka
s
s
.
soal di atas akan menjadi benar dan nyata apabila memenuhi
.
Faktanya, pada soal
, yaitu
.
Kesimpulannya soal tersebut memang dapat dikerjakan secara benar dengan konsep dan
mendapatkan hasil yang seolah-olah benar. Namun, apabila dicermati lebih lanjut maka bentuk
segitiganya tidak dapat digambarkan….
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18 dari 37
suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di
, maka nilai
adalah ….
dan
om
13. Misalkan
. Jika
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
dan
.
Perhatikan, nilai maksimum
di
dan
, artinya
adalah suatu polinom berderajat 3 yang
Karena
suatu polinom berderajat 4, maka
memuat faktor dan
, serta satu faktor yang lain, misal
.
Jadi,
dapat ditentukan dengan menggunakan anti-turunan dari
Padahal
memiliki nilai maksimum 2018 di
Sehingga, karena
, artinya
, sehingga
, maka
maka diperoleh
juga memiliki nilai maksimum 2018 di
, artinya
, maka
Sehingga, diperoleh
Maka, nilai dapat ditentukan menggunakan
Sehingga, diperoleh
Jadi,
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19 dari 37
, maka
, maka
Karena
Karena
………
maka
, maka
, maka
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Karena
Karena
Karena
.
om
Cara Alternatif:
Misal,
maka,
Sehingga, dari eliminasi pada persamaan
…….
Dari eliminasi pada persamaan
…….
Dari eliminasi pada persamaan
, sehingga
Substitusi
dan
Sehingga, karena
,
, diperoleh
dan
diperoleh
dan
diperoleh
ke persamaan
,
dan
,
…….
…….
diperoleh
, dan
, diperoleh:
Jadi,
TRIK SUPERKILAT:
Karena grafik dari fungsi pangkat 4 simetris, maka apabila diperhatikan, ambil dua titik puncak
, sehingga karena nilai
dan
, maka fungsi tersebut adalah
.
dan
, maka fungsi tersebut adalah
Uji titik
, maka diperoleh:
.
Sehingga fungsi tersebut adalah
Jadi,
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20 dari 37
Pembahasan:
Perhatikan, mula-mula setiap anak membawa kadonya sendiri-sendiri
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
14. Terdapat 6 anak, A, B, C, D, E, dan F, akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya
sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara
demikian adalah ….
Kado dari A pasti diberikan kepada B, sehingga ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Sehingga, sekarang B harus memberikan kadonya ke salah satu dari 5 anak yang lain.
Disini ada dua pilihan, yaitu
- B memberikan kado ke A
- B memberikan kado ke selain A
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 21 dari 37
Perhatikan ilustrasi berikut:
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Kasus 1.1
Misal B memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut
Artinya kita akan mengacak 4 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.
Perhatikan,
- banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah .
- apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 3 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 4 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
dan
.
dan
.
dan
.
dan
permutasi
permutasi
permutasi
permutasi
Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah:
.
ara
Kasus 1.2
Misal B memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan memilih kemungkinan B memberikan kado ke C, D, E atau F?
Jadi,
.
ara
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 22 dari 37
Setelah B memberikan kado ke salah satu dari 4 orang tersebut, misalkan kado B diberikan ke C.
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Sehingga ilustrasinya menjadi berikut
Maka disini akan muncul dua kasus lagi.
Disini ada dua pilihan, yaitu
- C memberikan kado ke A
- C memberikan kado ke selain A
Kasus 2.1
Misal C memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan mengacak 3 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.
Perhatikan,
- banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah .
- apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 3 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
dan permutasi
.
dan permutasi
.
dan permutasi
.
Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah:
.
ara
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 23 dari 37
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Kasus 2.2
Misal C memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut
Artinya, kita akan memilih kemungkinan C memberikan kado ke D, E atau F?
.
Jadi,
ara
Setelah C memberikan kado ke salah satu dari 3 orang tersebut, misalkan kado C diberikan ke D.
Sehingga ilustrasinya menjadi berikut
A
B
C
D
E
F
Maka disini akan muncul dua kasus lagi.
Disini ada dua pilihan, yaitu
- D memberikan kado ke A
- D memberikan kado ke selain A
Kasus 3.1
Misal D memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan mengacak 2 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 24 dari 37
dan permutasi
.
dan permutasi
.
om
Perhatikan,
- banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah .
- apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
- apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada
cara memilih orang
yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah:
.
ara
Kasus 3.2
Misal D memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut
A
B
C
D
E
F
Artinya, kita akan memilih kemungkinan D memberikan kado ke E atau F?
.
Jadi,
ara
Setelah D memberikan kado ke salah satu dari 2 orang tersebut, misalkan kado D diberikan ke E.
Sehingga ilustrasinya menjadi berikut
A
B
C
D
E
F
Maka disini hanya akan muncul satu kasus saja, yaitu E memberikan kado ke F.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 25 dari 37
B
C
D
E
F
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
A
om
Kasus 4.1
Maka E pasti memberikan kadonya ke F.
Mengapa?
Karena tidak mungkin E memberikan kado ke A, karena F akan mendapatkan kadonya sendiri.
Sehingga ilustrasinya sebagai berikut
Dan otomatis, F akan member kadonya ke A.
Sehingga ilustrasinya sebagai berikut
A
Jadi,
B
.
C
D
E
F
ara
Secara sederhana berikut bagannya dari awal sampai akhir proses pengacakan ini.
AB
Kasus 1.1
Kasus 1.2
BA
B(C, D, E atau F)
Misal
BC
Kasus 2.1
Kasus 2.2
CA
C(D, E atau F)
Misal
CD
Kasus 3.1
Kasus 3.2
DA
D(E atau F)
Kasus 4.1
DE dan otomatis
EF
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 26 dari 37
.
.
.
.
.
.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
.
om
Berarti sampai disini kasus sudah berhenti dan mari kita menghitung ulang seluruh kemungkinan
yang terjadi, yaitu:
Jadi, banyaknya cara membagikan kado adalah 53 cara.
Cara Alternatif:
Dengan cara manual kita dapat mencari banyaknya cara membagi kado.
Tanpa mengikutkan B yang sudah pasti mendapatkan kado dari A, maka hasil pengacakan yang
mungkin dapat dilihat seperti berikut:
Kemungkinan pertama, B memberikan kado ke A, sehingga terjadi pengacakan pada keempat
orang lain yaitu C, D, E, dan F sehingga menghasilkan bentuk sebagai berikut:
24 permutasi yang mungkin dari CDEF adalah sebagai berikut:
CDEF
CDFE
CEDF
CEFD
CFDE
CFED
DCEF
DCFE
DECF
DEFC
DFCE
DFEC
ECDF
ECFD
EDCF
EDFC
EFCD
EFDC
FCDE
FCED
FDCE
FDEC
FECD
FEDC
Maka diperoleh 9 buah kemungkinan pengacakan yang diperbolehkan yaitu yang bertanda biru.
Kemungkinan kedua, B memberikan kado ke selain A, berarti ada 4 kemungkinan, yaitu
memberikan kado tersebut ke C, D, E atau F.
Anggap B memberikan kado ke C, berarti ada 24 permutasi yang mungkin dari CDEF yang akan
diletakkan pada ADEF, yaitu:
CDEF
CDFE
CEDF
CEFD
CFDE
CFED
DCEF
DCFE
DECF
DEFC
DFCE
DFEC
ECDF
ECFD
EDCF
EDFC
EFCD
EFDC
FCDE
FCED
FDCE
FDEC
FECD
FEDC
Maka diperoleh 11 buah kemungkinan pengacakan yang diperbolehkan yaitu yang bertanda biru.
Sehingga, banyaknya kemungkinan adalah
cara.
Jadi banyak kemungkinan seluruhnya adalah
cara.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 27 dari 37
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
ara.
om
TRIK SUPERKILAT:
Banyak cara membagikan kado adalah derangement (pengacakan) dengan ada tempat terlarang.
Dengan prinsip inklusi-eksklusi dapat dihitung sebagai
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 28 dari 37
dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari
Pembahasan:
Perhatikan,
buah akt r
bilangan
om
15. Bilangan asli terbesar sehingga
asli berurutan adalah ….
…
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Ide untuk menjadikan
menjadi
perkalian bilangan asli berurutan adalah dengan
memotong beberapa perkalian bilangan asli berurutan pertama.
Pandang bahwa
adalah perkalian dari
bilangan asli berurutan, maka bilangan terbesar
dapat diperoleh dengan memotong
buah perkalian bilangan asli pertama, yaitu
… …
buah akt r
buah akt r
buah akt r
buah akt r
buah akt r
…
dimana, adalah hasil perkalian dari beberapa perkalian bilangan asli pertama yang terpotong.
Sehingga, karena
…
buah akt r
Jadi, diperoleh bahwa bilangan asli terbesar
sehingga
perkalian dari
bilangan asli berurutan adalah 119.
buah akt r
…
dapat dinyatakan sebagai hasil
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 29 dari 37
dan
. Jika
Pembahasan:
Perhatikan gambar di samping.
dan berturut-turut titik tengah
dan
, maka
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Karena
dan
om
16. Pada segitiga
titik dan berturut-turut adalah titik tengah
saling tegak lurus, maka nilai minimum
adalah ….
Perhatikan,
dan
sebangun dan
, maka
Misal,
maka,
dan
Perhatikan,
misal,
maka
t
t
tan
tan
tan
, maka diperoleh
Perhatikan,
misal,
maka
t
t
tan
tan
tan
tan
tan
, maka diperoleh
tan
tan
Sehingga,
t
t
Mengingat, dari
diperoleh
kalikan kedua ruas dengan
Jadi, nilai minimum
t
t
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 30 dari 37
dan
bilangan-bilangan bulat positif. Jajargenjang yang dibatasi oleh garis-garis
dan
mempunyai luas 18. Jajargenjang yang
dibatasi oleh garis-garis
dan
mempunyai luas .
Nilai terkecil yang mungkin untuk
adalah ….
om
17. Misalkan
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Secara grafik, kita dapat melihat dengan mudah bahwa titik potong dengan sumbu Y untuk
keempat garis adalah:
1. Untuk jajargenjang dengan luas 18, adalah di
dan
.
2. Untuk jajargenjang dengan luas 72, adalah di
dan
.
Perhatikan bahwa luas jajargenjang menjadi 4 kali lebih besar, maka dengan prinsip
kesebangunan dan perbandingan, maka ukuran panjang sisi jajargenjang menjadi 2 kali lebih
besar dari semula.
Sehingga,
Perhatikan jarak
Perhatikan jarak
ke
ke
adalah
adalah
.
.
Padahal, ukuran sisi jajargenjang menjadi 2 kali lebih besar dari semula, sehingga
Secara grafik, kita juga dapat melihat dengan mudah bahwa jajargenjang dipisahkan menjadi dua
bagian sama besar oleh sumbu Y.
Perhatikan luas bagian sebelah kanan sumbu Y adalah 9, sehingga:
ehingga diper leh
adi
Perhatikan, bahwa
Dan pandang bentuk
masing-masing
dan
, sehingga dari hubungan
juga dapat diperoleh
.
dengan
bilangan positif, maka nilai
terkecil adalah
Sehingga, diperoleh penyelesaian min
Jadi, nilai minimum
.
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 31 dari 37
om
18. Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum
jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal
banyaknya bilangan bulat p siti yang terdapat pada lingkaran tersebut adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
…
…
…
Perhatikan ilustrasi di atas.
Terdapat 100 buah bilangan bulat yang mengelilingi lingkaran, sedemikian hingga menurut arah
jarum jam, setiap bilangan lebih besar dari hasil penjumlahan dua bilangan seterusnya.
Sehingga dapat dipahami bahwa pada susunan bilangan melingkar tersebut berlaku:
.
.
.
Perhatikan pernyataan
Artinya, paling tidak ada satu buah nilai diantara
…
yang bernilai negatif.
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan
, perhatikan bahwa
tidak ada satu nilai yang negatif diantara
atau
.
Misalkan juga
, maka akibatnya paling tidak juga ada satu nilai
atau
. Agar bilangan negatif minimum, maka
.
Proses tersebut berulang sampai
.
Sehingga, diperoleh
…
dan
Jadi, banyaknya bilangan positif ada sebanyak 49 buah.
…
berarti paling
yang negatif diantara
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 32 dari 37
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
om
Cara Alternatif 1:
…
…
…
Perhatikan ilustrasi di atas.
Dan ingat sifat barisan Fibonacci, yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku sebelumnya.
Padahal di soal ini nilai suku lebih dari jumlah suku sebelumnya.
Barisan Fib na i misalkan saja
… adalah barisan yang m n t n naik.
Artinya, nilainya akan terus menerus membesar. Padahal di soal ini, bilangan tersebut disusun
melingkar, sehingga nilai paling ujung di akhir barisan akan bertemu dengan nilai di awal barisan.
Jelas apabila barisan tersebut monoton naik, ataupun monoton turun tidak mungkin terpilih
sebagai barisan yang dimaksudkan pada soal.
Sehingga pola barisan pada soal seharusnya adalah bertanda selang-seling. Positif, negatif, positif,
negatif. Dan kita pilih suku positifnya adalah bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1.
Misal barisan tersebut adalah
Sehingga diperoleh
Jadi, diperoleh
…
Pertanyaannya kini adalah Apakah
Agar berlaku
,
sedangkan
juga bernilai
dan
Jadi, dari ketiga pertidaksamaan tersebut, jelas sekali bahwa
Maka bilangan positif yang mungkin
.
maka
.
yaitu sebanyak 49 buah.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 33 dari 37
, maka untuk semua
bilangan bulat non negatif
adalah 5.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Pembahasan:
Perhatikan,
Misal,
jumlah digit-digit dari
dalam penulisan
om
19. Untuk sebarang bilangan asli , misalkan
adalah jumlah digit-digit dari
adalah ….
desimal. Jika
, maka nilai maksimum dari
Contohnya,
Apabila
, maka diperoleh:
Sehingga, jumlah digit-digit dari 1121 adalah
Terbukti,
.
.
Jadi diperoleh bentuk
menjadi,
sebanyak
suku
sebanyak
yang apabila dijabarkan akan
sebanyak
suku
suku
sebanyak
sebanyak
suku
suku
sebanyak
sebanyak
suku
suku
Sehingga, terdapat 7 bentuk suku yang dapat dikelompokkan berdasarkan pangkat dari
yaitu:
Cara penjumlahan
menghasilkan bentuk 5
Bentuk
Koefisien
,
Banyak suku yang
terbentuk
Keterangan:
Pandang bentuk
maka,
sebagai perkalian berulang sebagai berikut:
Koefisien dari
adalah berapa banyak cara
dengan mengacak bentuk
yaitu
dan seterusnya…
dapat terbentuk dari perkalian berulang sebanyak lima kali,
Sehingga, koefisien dapat dihitung dengan konsep permutasi
adalah
.
Banyak suku yang terbentuk dari
dari huruf-huruf yang tersedia yaitu
unsur dengan ada unsur yang sama. Diperoleh koefisien dari
dst adalah berapa banyak cara pangkat dari
dapat terbentuk
.
Yaitu, memilih sebuah huruf secara permutasi untuk dipasangkan dengan 3, dan memilih dua huruf yang lain dipasangkan
dengan 1 dari dua huruf yang tersisa secara kombinasi. Sehingga,
buah suku.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 34 dari 37
Perhatikan, sebagai contohnya misalkan saja ada dua bilangan yaitu 8 dan 9.
Maka, jumlah kedua digit adalah
. Sedangkan, apabila kedua digit dijumlahkan
. Jelas bahwa
.
om
Lalu pandang lagi, bahwa apabila dua digit dijumlahkan dan lebih dari 10, maka jumlah digit
mereka akan lebih kecil dari jumlah kedua digit tersebut.
, maka jumlah digit dari
adalah
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Sehingga, jumlah digit-digit dari
adalah akan maksimum
apabila setiap bentuk
memiliki bentuk pangkat yang tidak sama . Artinya:
sehingga seluruh bentuk
adalah bentuk berbeda nilainya.
Maka, bilangan
…
yang menghasilkan jumlah digit terbesar adalah:
dengan
hanya dilihat jumlah digitnya saja (contoh: 20 hanya dilihat sebagai
Jadi, jumlah digit maksimum dari
Bentuk
adalah:
Koefisien
Jumlah maksimum dari digit-digit
Jadi, jumlah maksimum dari digit-digit
Banyak suku yang
terbentuk
Jumlah digit
398
adalah
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
dan
)
Halaman 35 dari 37
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi
om
20. Diberikan segitiga
dengan
dan
. Misalkan suatu titik pada garis
bagi
yang terletak di dalam
dan misalkan suatu titik pada sisi
(dengan
).
Garis
dan
memotong
dan
berturut-turut di
dan . Jika
dan
, maka nilai adalah ….
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
berikut.
Karena
membagi sudut
sifat garis bagi berlaku:
sama besar, maka menurut
dan
Perhatikan,
Misal,
dan
, maka
Dengan menggunakan sudut luar segitiga diperoleh:
Perhatian sekali lagi pada
dan
, berlaku
kedua sisi berhimpit
si at garis bagi sudut
si at sudut luar segitiga
Jadi, dengan prinsip si-su-su maka
kongruen dengan
Perhatikan, karena
adalah segitiga sama kaki, maka
juga merupakan garis berat, dan garis tinggi
.
Oleh karena itu,
dan
.
Perhatikan,
misal,
maka,
, sehingga,
selain merupakan garis bagi, maka
, sehingga
dan
Dengan menggunakan kesamaan pada kedua persamaan diatas, maka diperoleh:
Padahal,
Substitusikan
sebangun
, sehingga
ke
, sehingga diperoleh:
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 36 dari 37
berlaku,
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
om
Perhatikan, pada
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 37 dari 37
om
Pembahasan soal OSK Matematika SMA 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat
keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan
soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
ht
tp
://
pa Pa
k- k A
an n
an an
g. g
bl
og
sp
ot
.c
Terima kasih.
Pak Anang
Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)