Pembahasan Soal OSK Matematika SMP 2017 Tingkat Kabupaten
Pembahasan Soal
OSK SMP 2017
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMP 2017
OSK Matematika SMP
(Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 20
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN
11 MARET 2017
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1.
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
Misalkan adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima
adalah ….
TIPS SUPERKILAT:
A. 12
Jadi, untuk bilangan bulat positif, maka jelas bahwa
B. 14
jumlah dari ketiga bilangan prima tersebut merupakan
C. 15
kelipatan 12.
D. 17
,
, dan
Pembahasan:
Perhatikan, bilangan prima yang genap hanya 2, sedang seluruh bilangan prima selain 2 adalah
ganjil. Dan mengingat jumlah tiga bilangan ada genap, maka pastilah salah satu dari bilangan
prima tersebut adalah 2. Bilangan prima genap 2 hanya dimungkinkan diperoleh dari
.
Sehingga,
Maka untuk
, diperoleh ketiga bilangan prima tersebut adalah 2, 3, dan 7.
Jadi, jumlah ketiga bilangan prima tersebut adalah
.
Jawaban: A. 12
2.
Diketahui dan adalah dua bilangan bulat positif, serta merupakan bilangan ganjil yang lebih
kecil daripada 2017. Jika
, maka pasangan bilangan
yang mungkin ada sebanyak
….
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
Pembahasan:
Karena adalah bilangan ganjil, maka
Sekarang perhatikan ruas kanan terdapat
dan .
Jadi, ada 3 buah pasangan bilangan
seharusnya ganjil pula.
, berarti bilangan ganjil yang dapat dibuat adalah
yang dapat dibentuk.
Jawaban: B. 3
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 3 dari 20
3.
Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga siswa
Berdasarkan grafik tersebut pernyataan yang benar adalah ….
,
, dan
.
100
80
Jarak
(meter)
60
50
40
20
10
0
A.
B.
C.
D.
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18
Waktu(detik)
Pelari C selalu berlari paling depan.
Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.
Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis.
Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan.
Pembahasan:
Dapat diamati pada grafik bahwa jarak tempuh adalah 100 m ditandai dengan garis putus-putus.
Kemiringan garis menyatakan kecepatan gerak lari dari pelari.
Sehingga, pelari A mula-mula bergerak dengan kecepatan tinggi, sebelum akhirnya berhenti
setelah menempuh jarak 80 m.
Sedangkan pelari B bergerak semakin melambat setelah 10 detik.
Dan pelari C bergerak semakin cepat setelah 10 detik.
Untuk waktu tempuhnya, pelari A tidak sampai di garis finis.
Pelari B membutuhkan waktu 18 detik untuk tiba di garis finis.
Sedangkan pelari C lebih cepat sehingga membutuhkan waktu 16 detik saja untuk finis.
Ketiga pelari berpapasan satu sama lain pada jarak 80. Hal itu dapat dilihat pada perpotongan
ketiga grafik di titik (16, 80).
Sehingga kesimpulannya pelari B disusul C sebelum garis finish….
Jawaban: B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4 dari 20
4.
Jika bilangan bulat positif
dan
merupakan solusi sistem persamaan linear
maka banyak nilai adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Pembahasan:
Sehingga,
Agar
adalah bilangan positif, maka jelas
Sehingga,
Agar adalah bilangan positif, maka jelas
Sehingga dari dua uraian di atas, dan
akan bernilai positif apabila
.
Sekarang perhatikan informasi di soal, bahwa dan harus bilangan bulat positif.
Untuk memastikan bahwa
dan adalah suatu bilangan bulat, maka coba pandang bentuk
dan
.
Sehingga jelas bahwa bentuk pembilang keduanya haruslah kelipatan 5 agar dapat diperoleh
masing-masing dan adalah bilangan bulat.
Sehingga, pilih pada interval
Jadi, ada 3 nilai
agar bentuk
dan
kelipatan 5.
yang mungkin adalah 7, 12, 17
Jawaban: B. 3
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5 dari 20
5.
Diketahui fungsi
….
A.
memenuhi persamaan
, untuk
. Nilai
sama dengan
B.
C.
D.
Pembahasan:
Gunakan
dan
, agar mendapatkan sistem persamaan linear dalam
dan
Jawaban: B.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
Halaman 6 dari 20
6.
Pada jajar genjang
, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak antara
sepasang sisi sejajar lainnya adalah cm. Luas jajar genjang ABCD adalah ….
9
4
A.
B.
C.
D.
minimal 36 cm2.
tepat 36 cm2.
maksimal 36 cm2.
Antara 36 cm2 dan 81 cm2.
Pembahasan:
Perhatikan, unsur yang diketahui pada soal hanyalah dua buah jarak sepasang sisi sejajar pada
jajar genjang.
Perhatikan ilustrasi berikut,
(i)
(ii)
(iii)
Perhatikan pada tiga gambar di atas. Terdapat dua lingkaran berjari-jari 4 dan 9 sebagai
perwakilan jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang. Luas jajar genjang dapat bervariasi
apabila kita memutar salah satu pasangan sisi sejajar..
Sehingga jelas bahwa pada gambar (i) merupakan luas minimal jajaran genjang yaitu saat kedua
pasang sisi sejajar saling tegak lurus. Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi
panjang berukuran 4 dan 9:
cm2.
Sedangkan pada gambar (ii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga
luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (i).
Dan juga pada gambar (iii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya
lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (ii).
Begitu seterusnya hingga kedua pasang sisi sejajar nyaris berhimpit, maka luasnya menjadi tak
hingga.
Jadi, jawabannya adalah luas jajar genjang
minimal 36 cm2.
Jawaban: A. minimal 36 cm2 .
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7 dari 20
Cara Alternatif 1:
Perhatikan jajar genjang
,
9
4
Apabila kita tarik garis jarak dua garis sejajar bernilai pada salah satu titik sudut jajar genjang,
maka misal garis tersebut adalah
, dan sudut
, maka:
sin
sin
Padahal luas jajar genjang adalah:
sin
Kita tahu bahwa
sin
dan
,
sin
sin
sin
Perhatikan juga bahwa
sin
sin
, jadi:
kalikan dengan
Jadi, jelas bahwa diperoleh
, ini artinya bahwa luas jajar genjang minimal adalah 36 cm2.
Jawaban: A. minimal 36 cm2.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8 dari 20
Cara Alternatif 2:
Perhatikan jajar genjang
,
9
4
Perhatikan
siku-siku di titik , sehingga
Ingat, pada suatu segitiga, sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah sisi-sisi yang lain, sehingga
diperoleh:
kuadratkan kedua ruas
Sehingga, jelas bahwa luas jajaran genjang
adahal
Dengan menerapkan konsep yang sama untuk
, maka dengan mudah juga akan diperoleh
bahwa
. Sehingga luas jajaran genjang yang didapatkan juga
.
Namun, masih ada pertanyaan bahwa apakah mungkin
= 4 dan
?
Jika
, maka
berimpit dengan
, dan jika
, maka
berimpit dengan
,
sehingga
merupakan persegi panjang, Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas
persegi panjang berukuran 4 dan 9:
cm2.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9 dari 20
7.
Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan
daerah trapesium
yang diarsir adalah ….
A.
B. 1
C.
. Luas
D.
Pembahasan:
1
1
Ingat perbandingan istimewa pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lain 30° dan 60°,
perbandingan sisi-sisinya adalah
Karena panjang
Dan panjang
Jadi, luas trapesium
, maka jelas
serta
dan
.
adalah:
Jawaban: B. 1.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10 dari 20
8.
Diketahui persegi panjang
gambar berikut adalah ….
dengan
dan
. Panjang lintasan
pada
A.
B.
C.
D.
Pembahasan:
Perhatikan
siku-siku di , sehingga
Perhatikan
sebangun dengan
, sehingga
Mudah dibuktikan bahwa karena:
(lebar persegi panjang
)
(sudut dalam berseberangan)
(sudut siku-siku)
maka
kongruen dengan
, sehingga
Pandang ruas garis
serta karena
merupakan hasil penjumlahan dari beberapa ruas garis
, maka diperoleh:
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
dan
,
Halaman 11 dari 20
Dengan menggunakan kesamaan luas
Sehingga karena
kongruen dengan
Sehingga panjang lintasan
panjang lintasan
Jawaban: D.
, maka
, maka
adalah:
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12 dari 20
9.
Diketahui
…
dan
adalah himpunan bagian dari
yang mempunyai 4
anggota. Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan
yang mungkin adalah
A. 1.980
B. 148.995
C. 297.990
D. 299.970
Pembahasan dengan Ralat Soal :
Ralat soal Jika jumlah semua anggota
merupakan suatu bilangan genap, maka banyak
himpunan yang mungkin adalah seharusnya menjadi Jika semua anggota merupakan suatu
bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah
Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari
adalah
…
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama
dan beda
, maka banyak
anggota dapat ditentukan dengan:
Banyak kemungkinan
maupun
adalah bilangan genap adalah:
.
Jawaban: B. 148.995
embahasan tanpa Ralat Soal
Perhatikan, bentuk
adalah bernilai genap dapat diperoleh dalam tiga buah kasus,
yaitu:
dan seluruhnya adalah bilangan genap
dan seluruhnya adalah bilangan ganjil
dan memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan genap
Kasus 1:
adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah
…
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama
dan beda
, maka banyak
anggota dapat ditentukan dengan:
Banyak kemungkinan
dan
adalah bilangan genap adalah:
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13 dari 20
Kasus 2:
Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan ganjil yang merupakan himpunan bagian dari dari
adalah
…
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama
dan beda
, maka banyak
anggota dapat ditentukan dengan:
Banyak kemungkinan
dan
adalah bilangan ganjil adalah:
.
Kasus 3:
Banyak kemungkinan
genap adalah:
dan
.
Sehingga, bentuk
bagian adalah:
Jawaban: -
memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan
adalah bernilai genap, dimana
.
.
.
.
dan
adalah himpunan
.
Komentar terhadap soal:
Menurut pandangan saya, pembuat soal agak lalai dalam mengunci soal. Saya menduga bahwa
penulis dan pembuat soal sebenarnya meletakkan alternatif jawaban benar pada opsi jawaban D.
Mengapa? Hal ini dimungkinkan jawaban benar adalah D, apabila penghitungan pada ketiga kasus
terjadi kekeliruan, yaitu perhitungan pada kasus ketiga, yaitu bentuk perkalian
secara
tak sengaja dianggap sebagai bentuk penjumlahan
, sehingga perhitungannya akan
menjadi:
Sehingga, bentuk
bagian adalah:
Jawaban: D. 299.970.
adalah bernilai genap, dimana
.
.
dan
adalah himpunan
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14 dari 20
10. Dari 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan
median,
median, dan
dan . Jika jangkauan data tersebut adalah 16,
nilai rata rata data tersebut adalah ….
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
Pembahasan:
Padahal
Maka dari
, sehingga
dan
diperoleh:
Jadi rata-rata data tersebut adalah:
Jawaban: B. 11.
Cara Alternatif:
Setelah diperoleh
, maka dihitung nilai
dan
, sehingga diperoleh
Jadi rata-rata data tersebut adalah:
Jawaban: B. 11.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, maka
Halaman 15 dari 20
BAGIAN B: ISIAN SINGKAT
1. Diketahui dan adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai
pertidaksamaan
, maka nilai terbesar yang mungkin adalah ….
yang memenuhi
Pembahasan:
Jadi,
terbesar yang mungkin adalah 112, dengan nilai
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 16 dari 20
2.
Nilai
.
.
.
Pembahasan:
Pandang bentuk
maka diperoleh:
.
sama dengan ….
sebagai bentuk deret geometri dengan
Sehingga,
Dan seterusnya…..
Sehingga
.
.
.
.
Cara Alternatif:
Misal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Maka dari dua persamaan di atas, diperoleh:
.
.
.
.
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
dan
,
Halaman 17 dari 20
3.
Diketahui
Pembahasan:
adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan dan adalah solusi persamaan
serta bilangan
dan
adalah solusi persamaan
. Nilai
sama dengan ….
penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh:
….….….
……………..
penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh:
……..….
……………..
Jumlah persamaan (1) dan (2)
………………..
Eliminasi dan pada persamaan (1) dan (3), diperoleh:
Substitusikan
ke persamaan (2) dan (4), diperoleh:
Jadi dari persamaan (5) diperoleh:
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18 dari 20
4.
Misalkan
dan
sebuah persegi dengan merupakan titik tengah AD. Luas segitiga
adalah 6 satuan luas. Luas segitiga
adalah ….
TIPS SUPERKILAT:
Dengan mudah diamati bahwa AC = 2 CD, dan DE = 2BF
Jadi luas CDE = luas ABC = 6
Pembahasan:
Karena
dan
Karena
titik tengah
sebuah persegi, maka:
, maka
Sehingga,
Perhatikan
sebangun
Sehingga
Perhatikan
sebangun
Sehingga
Padahal
Maka
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19 dari 20
5.
Tersedia 10 loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang
sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di
loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu
dari 4 orang sebelumnya adalah ….
Pembahasan:
Misal loket tersebut diilustrasikan pada gambar berikut:
1
A
B
2
3
C
D
4
5
6
7
8
9
10
E
Tidak diketahui secara jelas jumlah pelanggan, namun pada soal disajikan lima pelanggan
pertama, misalkan
.
Maka, banyak kejadian keempat orang pertama dilayani di loket berbeda dan orang kelima pada
antrian loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya adalah
.
Sedang seluruh kejadian yang mungkin untuk kelima orang pertama tersebut adalah
.
Jadi, peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5
pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah:
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20 dari 20
Pembahasan soal OSK Matematika SMP 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat
keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan
soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
OSK SMP 2017
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMP 2017
OSK Matematika SMP
(Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 20
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN
11 MARET 2017
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1.
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
Misalkan adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima
adalah ….
TIPS SUPERKILAT:
A. 12
Jadi, untuk bilangan bulat positif, maka jelas bahwa
B. 14
jumlah dari ketiga bilangan prima tersebut merupakan
C. 15
kelipatan 12.
D. 17
,
, dan
Pembahasan:
Perhatikan, bilangan prima yang genap hanya 2, sedang seluruh bilangan prima selain 2 adalah
ganjil. Dan mengingat jumlah tiga bilangan ada genap, maka pastilah salah satu dari bilangan
prima tersebut adalah 2. Bilangan prima genap 2 hanya dimungkinkan diperoleh dari
.
Sehingga,
Maka untuk
, diperoleh ketiga bilangan prima tersebut adalah 2, 3, dan 7.
Jadi, jumlah ketiga bilangan prima tersebut adalah
.
Jawaban: A. 12
2.
Diketahui dan adalah dua bilangan bulat positif, serta merupakan bilangan ganjil yang lebih
kecil daripada 2017. Jika
, maka pasangan bilangan
yang mungkin ada sebanyak
….
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
Pembahasan:
Karena adalah bilangan ganjil, maka
Sekarang perhatikan ruas kanan terdapat
dan .
Jadi, ada 3 buah pasangan bilangan
seharusnya ganjil pula.
, berarti bilangan ganjil yang dapat dibuat adalah
yang dapat dibentuk.
Jawaban: B. 3
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 3 dari 20
3.
Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga siswa
Berdasarkan grafik tersebut pernyataan yang benar adalah ….
,
, dan
.
100
80
Jarak
(meter)
60
50
40
20
10
0
A.
B.
C.
D.
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18
Waktu(detik)
Pelari C selalu berlari paling depan.
Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.
Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis.
Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan.
Pembahasan:
Dapat diamati pada grafik bahwa jarak tempuh adalah 100 m ditandai dengan garis putus-putus.
Kemiringan garis menyatakan kecepatan gerak lari dari pelari.
Sehingga, pelari A mula-mula bergerak dengan kecepatan tinggi, sebelum akhirnya berhenti
setelah menempuh jarak 80 m.
Sedangkan pelari B bergerak semakin melambat setelah 10 detik.
Dan pelari C bergerak semakin cepat setelah 10 detik.
Untuk waktu tempuhnya, pelari A tidak sampai di garis finis.
Pelari B membutuhkan waktu 18 detik untuk tiba di garis finis.
Sedangkan pelari C lebih cepat sehingga membutuhkan waktu 16 detik saja untuk finis.
Ketiga pelari berpapasan satu sama lain pada jarak 80. Hal itu dapat dilihat pada perpotongan
ketiga grafik di titik (16, 80).
Sehingga kesimpulannya pelari B disusul C sebelum garis finish….
Jawaban: B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4 dari 20
4.
Jika bilangan bulat positif
dan
merupakan solusi sistem persamaan linear
maka banyak nilai adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Pembahasan:
Sehingga,
Agar
adalah bilangan positif, maka jelas
Sehingga,
Agar adalah bilangan positif, maka jelas
Sehingga dari dua uraian di atas, dan
akan bernilai positif apabila
.
Sekarang perhatikan informasi di soal, bahwa dan harus bilangan bulat positif.
Untuk memastikan bahwa
dan adalah suatu bilangan bulat, maka coba pandang bentuk
dan
.
Sehingga jelas bahwa bentuk pembilang keduanya haruslah kelipatan 5 agar dapat diperoleh
masing-masing dan adalah bilangan bulat.
Sehingga, pilih pada interval
Jadi, ada 3 nilai
agar bentuk
dan
kelipatan 5.
yang mungkin adalah 7, 12, 17
Jawaban: B. 3
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5 dari 20
5.
Diketahui fungsi
….
A.
memenuhi persamaan
, untuk
. Nilai
sama dengan
B.
C.
D.
Pembahasan:
Gunakan
dan
, agar mendapatkan sistem persamaan linear dalam
dan
Jawaban: B.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
Halaman 6 dari 20
6.
Pada jajar genjang
, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak antara
sepasang sisi sejajar lainnya adalah cm. Luas jajar genjang ABCD adalah ….
9
4
A.
B.
C.
D.
minimal 36 cm2.
tepat 36 cm2.
maksimal 36 cm2.
Antara 36 cm2 dan 81 cm2.
Pembahasan:
Perhatikan, unsur yang diketahui pada soal hanyalah dua buah jarak sepasang sisi sejajar pada
jajar genjang.
Perhatikan ilustrasi berikut,
(i)
(ii)
(iii)
Perhatikan pada tiga gambar di atas. Terdapat dua lingkaran berjari-jari 4 dan 9 sebagai
perwakilan jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang. Luas jajar genjang dapat bervariasi
apabila kita memutar salah satu pasangan sisi sejajar..
Sehingga jelas bahwa pada gambar (i) merupakan luas minimal jajaran genjang yaitu saat kedua
pasang sisi sejajar saling tegak lurus. Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi
panjang berukuran 4 dan 9:
cm2.
Sedangkan pada gambar (ii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga
luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (i).
Dan juga pada gambar (iii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya
lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (ii).
Begitu seterusnya hingga kedua pasang sisi sejajar nyaris berhimpit, maka luasnya menjadi tak
hingga.
Jadi, jawabannya adalah luas jajar genjang
minimal 36 cm2.
Jawaban: A. minimal 36 cm2 .
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7 dari 20
Cara Alternatif 1:
Perhatikan jajar genjang
,
9
4
Apabila kita tarik garis jarak dua garis sejajar bernilai pada salah satu titik sudut jajar genjang,
maka misal garis tersebut adalah
, dan sudut
, maka:
sin
sin
Padahal luas jajar genjang adalah:
sin
Kita tahu bahwa
sin
dan
,
sin
sin
sin
Perhatikan juga bahwa
sin
sin
, jadi:
kalikan dengan
Jadi, jelas bahwa diperoleh
, ini artinya bahwa luas jajar genjang minimal adalah 36 cm2.
Jawaban: A. minimal 36 cm2.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8 dari 20
Cara Alternatif 2:
Perhatikan jajar genjang
,
9
4
Perhatikan
siku-siku di titik , sehingga
Ingat, pada suatu segitiga, sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah sisi-sisi yang lain, sehingga
diperoleh:
kuadratkan kedua ruas
Sehingga, jelas bahwa luas jajaran genjang
adahal
Dengan menerapkan konsep yang sama untuk
, maka dengan mudah juga akan diperoleh
bahwa
. Sehingga luas jajaran genjang yang didapatkan juga
.
Namun, masih ada pertanyaan bahwa apakah mungkin
= 4 dan
?
Jika
, maka
berimpit dengan
, dan jika
, maka
berimpit dengan
,
sehingga
merupakan persegi panjang, Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas
persegi panjang berukuran 4 dan 9:
cm2.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9 dari 20
7.
Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan
daerah trapesium
yang diarsir adalah ….
A.
B. 1
C.
. Luas
D.
Pembahasan:
1
1
Ingat perbandingan istimewa pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lain 30° dan 60°,
perbandingan sisi-sisinya adalah
Karena panjang
Dan panjang
Jadi, luas trapesium
, maka jelas
serta
dan
.
adalah:
Jawaban: B. 1.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10 dari 20
8.
Diketahui persegi panjang
gambar berikut adalah ….
dengan
dan
. Panjang lintasan
pada
A.
B.
C.
D.
Pembahasan:
Perhatikan
siku-siku di , sehingga
Perhatikan
sebangun dengan
, sehingga
Mudah dibuktikan bahwa karena:
(lebar persegi panjang
)
(sudut dalam berseberangan)
(sudut siku-siku)
maka
kongruen dengan
, sehingga
Pandang ruas garis
serta karena
merupakan hasil penjumlahan dari beberapa ruas garis
, maka diperoleh:
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
dan
,
Halaman 11 dari 20
Dengan menggunakan kesamaan luas
Sehingga karena
kongruen dengan
Sehingga panjang lintasan
panjang lintasan
Jawaban: D.
, maka
, maka
adalah:
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12 dari 20
9.
Diketahui
…
dan
adalah himpunan bagian dari
yang mempunyai 4
anggota. Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan
yang mungkin adalah
A. 1.980
B. 148.995
C. 297.990
D. 299.970
Pembahasan dengan Ralat Soal :
Ralat soal Jika jumlah semua anggota
merupakan suatu bilangan genap, maka banyak
himpunan yang mungkin adalah seharusnya menjadi Jika semua anggota merupakan suatu
bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah
Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari
adalah
…
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama
dan beda
, maka banyak
anggota dapat ditentukan dengan:
Banyak kemungkinan
maupun
adalah bilangan genap adalah:
.
Jawaban: B. 148.995
embahasan tanpa Ralat Soal
Perhatikan, bentuk
adalah bernilai genap dapat diperoleh dalam tiga buah kasus,
yaitu:
dan seluruhnya adalah bilangan genap
dan seluruhnya adalah bilangan ganjil
dan memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan genap
Kasus 1:
adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah
…
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama
dan beda
, maka banyak
anggota dapat ditentukan dengan:
Banyak kemungkinan
dan
adalah bilangan genap adalah:
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13 dari 20
Kasus 2:
Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan ganjil yang merupakan himpunan bagian dari dari
adalah
…
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama
dan beda
, maka banyak
anggota dapat ditentukan dengan:
Banyak kemungkinan
dan
adalah bilangan ganjil adalah:
.
Kasus 3:
Banyak kemungkinan
genap adalah:
dan
.
Sehingga, bentuk
bagian adalah:
Jawaban: -
memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan
adalah bernilai genap, dimana
.
.
.
.
dan
adalah himpunan
.
Komentar terhadap soal:
Menurut pandangan saya, pembuat soal agak lalai dalam mengunci soal. Saya menduga bahwa
penulis dan pembuat soal sebenarnya meletakkan alternatif jawaban benar pada opsi jawaban D.
Mengapa? Hal ini dimungkinkan jawaban benar adalah D, apabila penghitungan pada ketiga kasus
terjadi kekeliruan, yaitu perhitungan pada kasus ketiga, yaitu bentuk perkalian
secara
tak sengaja dianggap sebagai bentuk penjumlahan
, sehingga perhitungannya akan
menjadi:
Sehingga, bentuk
bagian adalah:
Jawaban: D. 299.970.
adalah bernilai genap, dimana
.
.
dan
adalah himpunan
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14 dari 20
10. Dari 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan
median,
median, dan
dan . Jika jangkauan data tersebut adalah 16,
nilai rata rata data tersebut adalah ….
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
Pembahasan:
Padahal
Maka dari
, sehingga
dan
diperoleh:
Jadi rata-rata data tersebut adalah:
Jawaban: B. 11.
Cara Alternatif:
Setelah diperoleh
, maka dihitung nilai
dan
, sehingga diperoleh
Jadi rata-rata data tersebut adalah:
Jawaban: B. 11.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, maka
Halaman 15 dari 20
BAGIAN B: ISIAN SINGKAT
1. Diketahui dan adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai
pertidaksamaan
, maka nilai terbesar yang mungkin adalah ….
yang memenuhi
Pembahasan:
Jadi,
terbesar yang mungkin adalah 112, dengan nilai
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 16 dari 20
2.
Nilai
.
.
.
Pembahasan:
Pandang bentuk
maka diperoleh:
.
sama dengan ….
sebagai bentuk deret geometri dengan
Sehingga,
Dan seterusnya…..
Sehingga
.
.
.
.
Cara Alternatif:
Misal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Maka dari dua persamaan di atas, diperoleh:
.
.
.
.
.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
dan
,
Halaman 17 dari 20
3.
Diketahui
Pembahasan:
adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan dan adalah solusi persamaan
serta bilangan
dan
adalah solusi persamaan
. Nilai
sama dengan ….
penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh:
….….….
……………..
penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh:
……..….
……………..
Jumlah persamaan (1) dan (2)
………………..
Eliminasi dan pada persamaan (1) dan (3), diperoleh:
Substitusikan
ke persamaan (2) dan (4), diperoleh:
Jadi dari persamaan (5) diperoleh:
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18 dari 20
4.
Misalkan
dan
sebuah persegi dengan merupakan titik tengah AD. Luas segitiga
adalah 6 satuan luas. Luas segitiga
adalah ….
TIPS SUPERKILAT:
Dengan mudah diamati bahwa AC = 2 CD, dan DE = 2BF
Jadi luas CDE = luas ABC = 6
Pembahasan:
Karena
dan
Karena
titik tengah
sebuah persegi, maka:
, maka
Sehingga,
Perhatikan
sebangun
Sehingga
Perhatikan
sebangun
Sehingga
Padahal
Maka
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19 dari 20
5.
Tersedia 10 loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang
sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di
loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu
dari 4 orang sebelumnya adalah ….
Pembahasan:
Misal loket tersebut diilustrasikan pada gambar berikut:
1
A
B
2
3
C
D
4
5
6
7
8
9
10
E
Tidak diketahui secara jelas jumlah pelanggan, namun pada soal disajikan lima pelanggan
pertama, misalkan
.
Maka, banyak kejadian keempat orang pertama dilayani di loket berbeda dan orang kelima pada
antrian loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya adalah
.
Sedang seluruh kejadian yang mungkin untuk kelima orang pertama tersebut adalah
.
Jadi, peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5
pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah:
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20 dari 20
Pembahasan soal OSK Matematika SMP 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat
keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan
soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)