Modul Matematika SMA dan Soal Latihan 01 Aturan Sinus
ATURAN SINUS DAN COSINUS
A. Aturan Sinus
Dalam pembahasan sebelumnya, telah diuraikan aturan perbandingan trigonometri
untuk sudut-sudut pada segitiga siku-siku. Selanjutnya akan dibahas pula aturan
perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga bukan siku-siku. Aturan ini terdiri
dari aturan sinus dan aturan kosinus.
(1) Aturan Sinus
C
Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = c
sisi AC = b
sisi BC = a
Terdapat garis CD tegak lurus AB sehingga
terbentuk dua segitiga siku-siku, yakni ADC
dan BDC
A
D
Tinjau segitiga ADC :
Tinjau segitiga BDC :
B
CD
AC
CD
sin A =
b
CD
sin B =
BC
CD
sin B =
a
sin A =
sehingga CD = b. sin A ……………… (1)
sehingga CD = a. sin B ……………… (2)
C
Dari (1) dan (2) didapat b. sin A = a. sin B
a
b
=
sin B
sin A
Dengan cara yang sama jika dari titik B
ditarik garis BE yang tegak lurus AC maka
a
c
=
diperoleh persamaan
sin C
sinA
F
E
A
B
Jika dari titik A ditarik garis AF yang tegak lurus BC maka diperoleh
Sehingga diperoleh kesimpulan pada segitiga ABC berlaku
b
c
=
sin B
sin C
a
b
c
=
=
sin B
sin C
sin A
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
Aturan Sinus dan Cosinus
1
01. Suatu segitiga ABC diketahui panjang sisi BC = 8 cm, < B = 450 dan < A = 300 ,
maka tentukanlah panjang sisi AC
Jawab
Diketahui BC = a = 8 cm
< B = 450
< A = 300
Ditanya : AC = b = ……………..?
Maka :
b
a
=
sinB
sinA
8
b
=
0
sin 30
sin 45 0
b =
8. sin 45 0
sin 30 0
1
8(
2)
2
b =
1
2
b = 8 2 cm
02. Suatu segitiga PQR diketahui panjang sisi PQ = 6 cm, < Q = 450 dan < R = 1200
maka tentukanlah panjang PR
Jawab
Diketahui PQ = r = 6 cm
< Q = 450
< R = 1200
Ditanya : PR = q = ……………..?
Maka :
r
q
=
sinR
sinQ
q
sin 45 0
q =
=
6
sin 120 0
6. sin 45 0
sin 120 0
1
6(
2)
2
q =
1
3
2
q =
6 2
3
x
Aturan Sinus dan Cosinus
3
3
2
q =
6 6
3
q = 2 6 cm
03. Sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 12 2 cm dan sisi
AC = 4 6 cm serta < C = 600 , maka tentukanlah besar < B
Jawab
Diketahui AB = c = 12 2 cm
AC = b = 4 6 cm
< C = 600
Ditanya : < B = ……………..?
Maka :
c
b
=
sin B
sin C
12 2
4 6
=
sin B
sin 60 0
4 6 sin 600 = 12 2 sin B
sin B =
4 6 sin 60 0
12 2
1
4 6 ( 3)
2
sin B =
12 2
sin B =
2 18
12 2
1
sin B =
2
0
A. Aturan Sinus
Dalam pembahasan sebelumnya, telah diuraikan aturan perbandingan trigonometri
untuk sudut-sudut pada segitiga siku-siku. Selanjutnya akan dibahas pula aturan
perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga bukan siku-siku. Aturan ini terdiri
dari aturan sinus dan aturan kosinus.
(1) Aturan Sinus
C
Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = c
sisi AC = b
sisi BC = a
Terdapat garis CD tegak lurus AB sehingga
terbentuk dua segitiga siku-siku, yakni ADC
dan BDC
A
D
Tinjau segitiga ADC :
Tinjau segitiga BDC :
B
CD
AC
CD
sin A =
b
CD
sin B =
BC
CD
sin B =
a
sin A =
sehingga CD = b. sin A ……………… (1)
sehingga CD = a. sin B ……………… (2)
C
Dari (1) dan (2) didapat b. sin A = a. sin B
a
b
=
sin B
sin A
Dengan cara yang sama jika dari titik B
ditarik garis BE yang tegak lurus AC maka
a
c
=
diperoleh persamaan
sin C
sinA
F
E
A
B
Jika dari titik A ditarik garis AF yang tegak lurus BC maka diperoleh
Sehingga diperoleh kesimpulan pada segitiga ABC berlaku
b
c
=
sin B
sin C
a
b
c
=
=
sin B
sin C
sin A
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
Aturan Sinus dan Cosinus
1
01. Suatu segitiga ABC diketahui panjang sisi BC = 8 cm, < B = 450 dan < A = 300 ,
maka tentukanlah panjang sisi AC
Jawab
Diketahui BC = a = 8 cm
< B = 450
< A = 300
Ditanya : AC = b = ……………..?
Maka :
b
a
=
sinB
sinA
8
b
=
0
sin 30
sin 45 0
b =
8. sin 45 0
sin 30 0
1
8(
2)
2
b =
1
2
b = 8 2 cm
02. Suatu segitiga PQR diketahui panjang sisi PQ = 6 cm, < Q = 450 dan < R = 1200
maka tentukanlah panjang PR
Jawab
Diketahui PQ = r = 6 cm
< Q = 450
< R = 1200
Ditanya : PR = q = ……………..?
Maka :
r
q
=
sinR
sinQ
q
sin 45 0
q =
=
6
sin 120 0
6. sin 45 0
sin 120 0
1
6(
2)
2
q =
1
3
2
q =
6 2
3
x
Aturan Sinus dan Cosinus
3
3
2
q =
6 6
3
q = 2 6 cm
03. Sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 12 2 cm dan sisi
AC = 4 6 cm serta < C = 600 , maka tentukanlah besar < B
Jawab
Diketahui AB = c = 12 2 cm
AC = b = 4 6 cm
< C = 600
Ditanya : < B = ……………..?
Maka :
c
b
=
sin B
sin C
12 2
4 6
=
sin B
sin 60 0
4 6 sin 600 = 12 2 sin B
sin B =
4 6 sin 60 0
12 2
1
4 6 ( 3)
2
sin B =
12 2
sin B =
2 18
12 2
1
sin B =
2
0