Modul Matematika SMA dan Soal Latihan 05 Aturan Kombinasi

PELUANG
A. Kaidah Pencacahan
3. Kombinasi
Kombinasi adalah pencacahan yang tidak memperhatikan urutan objek-objeknya. Jika
suatu himpunan dengan n buah anggota (objek) akan disusun r objek tampa
memperhatikaN urutannya, maka banyaknya susunan tersebut dirumuskan :
n!
C 
n r r!.(n  r)!
Sebagai contoh akan dihitung banyaknya susunan dua huruf dari huruf-huruf pada
himpunan {a, b, c, d} tanpa memperhatikan urutannya
ab
ac
ad
bc
bd
6 susunan
cd
Jika masalah di atas diselesaikan dengan rumus, akan diperoleh: n = 4 dan r = 2
n!
sehingga n C r =

r!.(n  r)!
=

4!
2!.(4  2)!

4!
2!.2!
4 x 3 x 2 x1
=
2 x1x 2 x1
= 6

=

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini :
01. Diketahui himpunan A = {p, q, r, s, t}. Berapa banyaknya cara mengambil dua huruf
dari huruf-huruf pada himpunan A jika urutannya tidak diperhatikan ?
Jawab
Diketahui n = 5 dan r = 2

n!
Maka : n C r =
r!.(n  r)!
5!
C =
5 2
2!.(5  2)!
5!
=
2!.3!
5 x 4 x 3!
=
2 x 1 x 3!
= 10 susunan
Peluang

1

02. Dari 7 orang calon peserta paduan suara akan dipilih 5 orang untuk mengikuti festival
paduan suara tingkat sekolah. Tentukanlah banyaknya cara pemilihan tersebut !

Jawab
Diketahui n = 7 dan r = 5
n!
Maka : n C r =
r!.(n  r)!
7!
C =
7 5
5!.(7  5)!
7!
=
5!.2!
7 x 6 x 5!
=
2 x 1 x 5!
= 21 cara
03. Tentukanlah nilai r jika

6

C r = 2. 5 C r

Jawab
C = 2. 5 C r
6 r
6!
5!
= 2.
r!.(6  r)!
r!.(5  r)!
6 x 5!
5!
= 2.
(6  r)!
(5  r)!
6
=
(6  r)!

2

(5  r)!

6(5 – r)! = 2(6 – r)!
3(5 – r)! = (6 – r)(5 – r)!
3 = 6–r
r = 3
04. Dari 20 orang anggota English Club SMAN “Maju Jaya” yang terdiri dari 10 pria dan 10
wanita akan dipilih tim yang terdiri dari 4 pria dan 2 wanita untuk mengikuti lomba
debat bahasa Inggris mewakili sekolah mereka. Tentukanlah banyaknya cara
pemilihan tersebut !
Jawab
10!
10 x 9 x 8 x 7 x 6!
Pria
: n = 10 dan r = 4 maka 10 C 4 =
=
= 210
4!.6!
4 x 3 x 2 x 1 x.6!
Wanita

: n = 10 dan r = 2 maka

C =
10 2

10 x 9 x 8!
10!
=
= 45
2!.8!
2 x 1 x.8!

Jadi banyaknya cara pemilihan tersebut = 210 x 45 = 9450 cara

Peluang

2

05. Dalam sebuah keranjang terdapat 6 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Jika diambil

5 kelereng dari dalam keranjang tersebut, tentukanlah banyaknya kejadian terambilnya
3 kelereng hitam dan 2 kelereng putih
Jawab
6 x 5 x 4 x 3!
6!
K. Hitam : n = 6 dan r = 3 maka 6 C 3 =
=
= 20
3!.3!
3 x 2 x 1 x.3!
K. Merah : n = 4 dan r = 2 maka 4 C 2 =

4 x 3 x 2!
4!
=
=6
2!.2!
2 x 1 x.2!

Jadi banyaknya cara pemilihan tersebut = 20 x 6 = 120 cara

06. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola kuning dan 4 bola hijau. Jika diambil dua bola
dari dalam kotak tersebut, tentukanlah banyaknya kemungkinan terambilnya dua bola
berwarna sama
Jawab
Terambilnya dua kelereng berwarna sama artinya Kuning-kuning atau hijau-hijau
Banyaknya kemungkinan terambil dua bola kuning (kuning-kuning)
5 x 4 x 3!
5!
K. Kuning : n = 5 dan r = 2 maka 5 C 2 =
=
= 10
2!.3!
2 x 1 x.3!
4!
K. Hijau
: n = 4 dan r = 0 maka 4 C 0 =
=1
4!.0!
Jadi banyaknya cara pengambilan tersebut = 10 x 1 = 10 cara
Banyaknya kemungkinan terambil dua bola hijau (hijau-hijau)

5!
K. Kuning : n = 5 dan r = 0 maka 5 C 0 =
=1
5!.0!
4!
4 x 3 x 2!
K. Hijau
: n = 4 dan r = 2 maka 4 C 2 =
=
=6
2!.2!
2 x 1 x.2!
Jadi banyaknya cara pengambilan tersebut = 1 x 6 = 6 cara
Sehingga Banyak cara seluruhnya = 10 + 6 = 16 cara
Salah satu aplikasi dari aturan kombinasi adalah menentukan koefisien dari uraian bentuk
(a + b)n. Namun bentuk ini dapat pula diuraikan dengan bantuan segitiga Pascal, yaitu
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3

(a + b)4
(a + b)5

Peluang

……………………………………………
……………………………………
1
………………………… …. 1
……………………..……….1
3
………………….. 1
4
…………….…1
5
10

1
1
2

1
3

6

1
4

10

1
5

1

3

Sehingga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan menjadi :
(a + b)3 = 1.a3.b0 + 3.a3–1.b0+1 + 3.a3–2.b0+2 + 1.a3–3.b0+3
= a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(a + b)4 = 1.a4.b0 + 4.a4–1.b0+1 + 6.a4–2.b0+2 + 4.a4–3.b0+3 + .a4–4.b0+4
= a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4
Dengan menggunakan aturan kombinasi, uraian bentuk (a + b)n dapat ditentukan dengan
rumus Binomial Newton, yaitu :
(a  b) n 

n

 n Cr .a n r br

r 0

Sehinga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan sebagai berikut :
(a + b)3 = 3C0.a3.b0 + 3C1..a3–1.b0+1 + 3C2.a3–2.b0+2 + 3C3.a3–3.b0+3
= (1).a3.b0 + (3).a3–1.b0+1 + (3).a3–2.b0+2 + (1).a3–3.b0+3
= a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(a + b)4

= 4C0.a4.b0 + 4C1.a4–1.b0+1 + 4C2.a4–2.b0+2 + 4C3.a4–3.b0+3 + 4C4.a4–4.b0+4
= (1).a4.b0 + (4).a4–1.b0+1 + (6).a4–2.b0+2 + (4).a4–3.b0+3 + (1).a4–4.b0+4
= a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini :
07. Uraikanlah bentuk (a + 2)4
Jawab
(a + 2)4 = 4C0.a4.20 + 4C1.a4–1.20+1 + 4C2.a4–2.20+2 + 4C3.a4–3.20+3 + 4C4.a4–4.20+4
= (1).a4.20 + (4).a3.21 + (6).a2.22 + (4).a1.23 + (1).a0.24
= (1).a4.(1) + (4).a3.(2) + (6).a2.(4) + (4).a1.(8) + (1).a0.(16)
= a4 + 8.a3 + 24.a2 + 32.a + 16
08. Uraikanlah bentuk (2x – y)3
Jawab
(2x – y)3 = 3C0.(2x)3.y0 – 3C1.(2x)3–1.y0+1 + 3C2.(2x)3–2.20+2 – 3C3.(2x)3–3.y0+3
= (1).(2x)3.y0 – (3).(2x)2.y1 + (3).(2x)1.y2 – (1).(2x)0.y3
= (1).23.x3.(1) – (3).22.x2. y1 + (3).21.x1.y2 – (1).(1).y3
= (1).(8).x3.(1) – (3).(4).x2. y + (3).(2).x1.y2 – (1).(1).y3
= 8x3 – 12x2 + 6x.y2 – y3

Peluang

4

Sedangkan suku ke-p dari penguraian bentuk (a + b)n dapat ditentukan dengan rumus

C pn1 a n  p  1 b p  1
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini :
09. Tentukanlah suku ke 4 dari uraian bentuk (a + b)8
Jawab
(a + b)8 Maka n = 8
Suku ke 4 maka p = 4
n
n  p 1 p 1
8  4 1 4 1
8
Sehingga C p
= C 4
b
b
1 a
1 a

= C38 a 5 b 3
8! 5 3
a b
3!.5!
8 x 7 x 6 x 5! 5 3
=
a b
3 x 2 x 1.5!

=

= 56 a 5 b 3
10. Tentukanlah suku ke 6 dari uraian bentuk (2x – y)9
Jawab
(2x – y)9 Maka n = 9
Suku ke 6 maka p = 6
9
n
9  6 1
n  p 1 p 1
= C6
Sehingga C p
( y)6  1
b
1 a
1 (2x)

= C59 (2x) 4 ( y)5
9! 4 4 5
2 x y
5!.4!
9 x 8 x 7 x 6 x 5!
= 
(16).x4 y 5
4 x 3 x 2 x 1.5!

= 

= –126.(16) x 4 y 5
= –2016 x 4 y 5
11. Salah satu suku dari penjabaran bentuk (a + 3b)6 adalah m.a4.b2. Tentukanlah nilai m
Jawab
(a + 3b)6 Maka n = 6
n
n  p 1
(3b) p  1
Sehingga m. a 4 b 2 = C p
1 a
6
6  p 1
(3b) p  1
m. a 4 b 2 = C p
1 a
6
7p
(3b) p  1
m. a 4 b 2 = C p
1 a

m. a 4 b 2 =

Peluang

maka p – 1 = 2

p =3

6
73
C3
(3b)3  1
1 a

5

m. a 4 b 2 = C 26 a 4 (3b) 2

6!
a 4 32 b 2
2!.4!
6 x 5 x 4!
=
9. a 4 b 2
2 x 1 x.4!

m. a 4 b 2 =
m. a 4 b 2

m. a 4 b 2 = 15(9) a 4 b 2
m. a 4 b 2 = 135 a 4 b 2
Jadi m = 135

12. Tentukanlah koefisien suku yang memuat x3 dari uraian bentuk (x + 2)5
Jawab
(x + 2)5 Maka n = 5
n
5
n  p 1 p 1
5  p 1 p 1
Sehingga C p
= C p
2
2
1 x
1 x
5
6  p p 1
= C p
2
1 x

maka 6 – p = 3

p=3

5
6  3 3 1
= C3
2
1 x

= C 25 x 3 2 2
5!
x 3 (4)
2!.3!
5 x 4 x 3!
(4).x 3
=
2 x 1 x 3!

=

= 10.(4) x 3
= 40 x 3
Jadi koefisien suku yang memuat x3 adalah 40

Peluang

6