Artikel Ade Susanti M0112001 11jan2017
MODEL REGRESI POISSON YANG DIPERUMUM
UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI
PADA MODEL REGRESI POISSON
Ade Susanti, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Model regresi Poisson digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel respon yang diasumsikan berdistribusi Poisson dengan variabel prediktor. Pada distribusi Poisson asumsi equidispersi (nilai variansi sama dengan rata-rata) harus
dipenuhi. Namun seringkali terjadi overdispersi (nilai variansi lebih besar dari ratarata). Untuk mengatasinya dapat digunakan model regresi Poisson yang diperumum.
Tujuan penelitian ini untuk mengkaji ulang model regresi Poisson yang diperumum
untuk mengatasi overdispersi pada model regresi Poisson dan menerapkannya pada
data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014. Model regresi
b0 + βb1 X1i + βb2 X2i +. . .+ βbp Xpi )
Poisson yang diperumum dituliskan sebagai Ybi =(exp (β)
(
)
yi
yi −1
(1+kyi )
µ
i)
exp − µ(1+ky
.
dengan fungsi densitas peluang f (yi ; µ; k) = 1+kµ
yi !
1+kµ
Model pada penerapan adalah Ybi = exp (−25, 549+0, 3348X1 +0, 0199X2 −0, 0171X3 −
0, 0867X4 −0, 0155X5 +0, 0107X6 −0, 00226X7 +0, 0178X8 +0, 00000599X9 −0, 00898X10 ).
Kata kunci : model regresi Poisson, overdispersi, model regresi Poisson yang diperumum
1. Pendahuluan
Model regresi digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor (Gujarati [3]). Menurut Long [6] pada model regresi variabel respon diasumsikan berdistribusi normal. Generalized linear models
(GLM) telah dikembangkan oleh McCullagh dan Nelder [7] untuk menganalisis
hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor dengan variabel respon
tidak harus berdistribusi normal, tetapi termasuk keluarga eksponensial.
Model regresi Poisson dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel respon yang diasumsikan berdistribusi Poisson terhadap variabel
prediktor (Casella dan Berger [2]). Pada distribusi Poisson asumsi equidispersi
(nilai variansi sama dengan rata-rata) harus dipenuhi. Namun seringkali asumsi tersebut tidak dipenuhi, yaitu nilai variansi lebih besar dari rata-rata atau
disebut overdispersi (Wang dan Famoye [8]).
Overdispersi dapat dideteksi dengan statistik uji skor. Menurut Hinde dan
Demetrio [4] overdispersi dapat terjadi karena adanya sumber keragaman yang
tidak teramati, adanya pengaruh variabel lain yang mengakibatkan peluang suatu kejadian tergantung pada kejadian sebelumnya, adanya pencilan, dan peluang
nilai nol yang berlebih pada variabeel respon. Menurut McCullagh dan Nelder
1
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
[7] jika tetap digunakan model regresi Poisson pada data yang mengalami overdispersi, maka diperoleh kesimpulan yang kurang valid.
Untuk mengatasi overdispersi dapat digunakan model regresi Poisson yang
diperumum dengan variabel respon diasumsikan berdistribusi Poisson yang diperumum (Listiyani dan Purhadi [5]). Pada penelitian ini dikaji ulang model regresi
Poisson yang diperumum untuk mengatasi overdispersi dan diterapkan pada data
banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014.
2. Model Regresi Poisson
Regresi Poisson dapat digunakan untuk menunjukkan hubungan antara variabel prediktor terhadap variabel respon yang berdistribusi Poisson. Diketahui
suatu variabel respon Y dan p variabel prediktor X1 , X2 , . . . , Xp dengan pengamatan ke−i dari variabel Y dan X1 , X2 , . . . , Xp adalah yi dan x1 , x2 , . . . , xp . Jika
yi merupakan variabel random yang berdistribusi Poisson dengan i = 1, 2, . . . , n
dan n menyatakan banyaknya data, maka fungsi densitas peluang distribusi Poisson adalah
f (yi ; µ) =
µyi e−µ
yi !
dengan µ > 0 dan µ merupakan rata-rata dari variabel respon Y .
Model regresi Poisson dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel prediktor terhadap variabel respon yang diasumsikan berdistribusi
Poisson (Casella dan Berger [2]). Model regresi Poisson dituliskan sebagai
Yi = exp(β0 + β1 X1i + β2 X2i + ... + βp Xpi ) + εi , i = 1, 2, . . . , n.
Estimasi model regresi Poisson adalah
Ybi = exp(βb0 + βb1 X1i + βb2 X2i + . . . + βbp Xpi ), i = 1, 2, . . . , n
3. Overdispersi
Menurut Cameron dan Trivedi [1] dalam model regresi Poisson terdapat
asumsi yang harus dipenuhi, yaitu variabel respon harus berdistribusi Poisson.
Karakteristik distribusi Poisson adalah equidispersi (nilai variansi sama dengan
rata-rata). Namun asumsi tersebut seringkali tidak dipenuhi, yaitu nilai variansi
lebih besar dari nilai rata-rata yang disebut overdispersi.
2
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
Menurut McCullagh dan Nelder [7] kondisi overdispersi dapat dideteksi dengan statistik uji skor. Jika nilai statistik uji skor kurang dari Zα/2 , maka terjadi
overdispersi. Jika terjadi overdispersi pada data, maka model regresi Poisson kurang akurat digunakan untuk memodelkan karena berdampak pada nilai standard
error dari taksiran parameter yang dihasilkan cenderung menjadi underestimate,
sehingga kesimpulan yang diperoleh menjadi kurang valid (McCullagh dan Nelder
[7]). Ada beberapa hal yang menyebabkan terjadinya overdispersi dalam suatu
pengamatan diantaranya karena adanya sumber keragaman yang tidak teramati,
adanya pengaruh variabel lain yang mengakibatkan peluang suatu kejadian tergantung pada kejadian sebelumnya, adanya pencilan, dan peluang nilai nol yang
berlebih pada variabeel respon (Hinde dan Demetrio [4]).
4. Model Regresi Poisson yang Diperumum
Menurut Listiyani dan Purhadi [5] salah satu model regresi yang dapat
digunakan untuk mengatasi masalah overdispersi adalah model regresi Poisson
yang diperumum dengan variabel respon diasumsikan berdistribusi Poisson yang
diperumum. Fungsi densitas peluang distribusi Poisson yang diperumum adalah
)y i
(
)
(
(1 + kyi )yi −1
µ(1 + kyi )
µ
exp −
, i = 0, 1, 2, ...
f (yi ; µ; k) =
1 + kµ
yi !
1 + kyi
dengan k merupakan parameter dispersi. Nilai rata-rata dan nilai variansi distribusi Poisson yang diperumum adalah E(Y |x) = µ dan V (Y |x) = µ(1 + kµ)2 .
Model regresi Poisson yang diperumum dituliskan sebagai
Yi = exp(β0 + β1 X1i + β2 X2i + ... + βp Xpi ) + εi .
5. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian kajian teori dan penerapannya mempelajari model regresi Poisson yang diperumum yang diterapkan pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014. Berikut ini uraian
langkah-langkahnya.
Untuk teori dilakukan kajian ulang model regresi Poisson yang diperumum
dengan melakukan estimasi parameter β0 , β1 , . . . , βp . Digunakan metode maximum likelihood estimation (MLE) untuk mengestimasi dengan membentuk fungsi
likelihood, membentuk fungsi ln-likelihood, menurunkan terhadap β dan k serta
3
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
mengoptimasi parameter β dan k. Karena sulit ditentukan penyelesaiannya digunakan metode Newton-Raphson dengan menentukan nilai awal dari parameter
βb dan b
k, dan mengiterasi parameter β dan k hingga konvergen.
Untuk penerapan digunakan data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa
Tengah untuk 33 provinsi pada tahun 2014 yang dilakukan dengan langkah memilih variabel respon, memilih variabel prediktor, menghitung statistik deskriptif,
meguji distribusi Poisson pada variabel respon, menguji overdispersi, membentuk
model regresi Poisson yang diperumum, dan mengestimasi model regresi Poisson
yang diperumum.
6. Hasil dan Pembahasan
6.1. Estimasi Model Regresi Poisson yang Diperumum. Pada model regresi Poisson yang diperumum harus dilakukan estimasi pada parameter β0 , β1 , . . . ,
βp . Metode yang digunakan untuk mengestimasi adalah metode MLE. Fungsi likelihood untuk model regresi Poisson yang diperumum adalah
)y i
]
[(
∑
n
∏
exp(β0 + pj=1 βj xji )
(1 + kyi )yi −1
∑p
L(β, k) =
1
+
kexp(β
+
yi !
0
j=1 βj xji )
i=1
)]
[
(
∑
n
∏
(1 + kyi )exp(β0 + pj=1 βj xji )
∑
.
exp −
1 + k exp(β0 + pj=1 βj xji )
i=1
(6.1)
(6.2)
Selanjutnya fungsi likelihood pada persamaan (6.1) diambil nilai logaritma
naturalisnya sehingga diperoleh fungsi ln-likelihood berikut.
)
)]
[
(
(
p
p
n
n
∑
∑
∑
∑
+
ln L(β, k) =
βj xji −
yi ln 1 + k exp β0 +
yi β0 +
βj xji
i=1
n
∑
j=1
(yi − 1) ln(1 + kyi ) −
i=1
i=1
n
∑
i=1
[
j=1
]
∑
n
∑
(1 + kyi )exp(β0 + pj=1 βj xji )
∑p
ln(yi !) −
,
1
+
k
exp(β
+
0
j=1 βj xji )
i=1
Fungsi ln-likelihood merupakan fungsi maksimum apabila dipenuhi turunan
parsial pertama terhadap masing-masing parameter bernilai nol. Karena sistem persamaan yang diperoleh dari turunan parsial pertama tersebut merupakan
sistem persamaan nonlinier yang sulit ditentukan penyelesaiannya sehingga digunakan pendekatan numerik, yaitu metode Newton Raphson. Berikut adalah
langkah-langkah untuk mengestimasi parameter β0 , β1 , β2 , . . . , βp , dan k menggunakan metode Newton Raphson.
4
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
(1) Menentukan nilai awal dari parameter b dan k.
(2) Melakukan proses iterasi dengan prosedur
k (t+1) = k (t) − H−1 (t) G(t) ,
b (t+1) = b (t) − H−1 (t) G(t) ,
dengan G merupakan vektor gradien, H merupakan matriks hessian, dan
t merupakan banyaknya iterasi.
∂
∂β0
β0
∂
∂β1
β
1
∂
b = β2 , k = [k], G = ∂β2
.
..
∂
∂βp
β
p
H=
∂2
ln L(β; k)
∂β02
2
∂
ln L(β; k)
∂β1 β0
b, k, G, dan
H dituliskan sebagai
ln L(β; k)
ln L(β; k)
ln L(β; k)
, dan
..
.
ln L(β; k)
∂
ln L(β; k)
∂k
∂2
∂β0 ∂β1
ln L(β; k)
∂2
∂β0 ∂k
...
∂2
∂β1 ∂βp
ln L(β; k)
∂2
∂β1 ∂k
ln L(β; k)
..
.
∂2
∂βp β0
ln L(β; k)
∂2
∂βp ∂β1
ln L(β; k)
∂2
∂βk ∂β1
ln L(β; k) . . .
∂2
∂βk ∂βp
ln L(β; k)
∂2
∂k2
ln L(β; k)
ln L(β; k)
∂2
∂2
. . . ∂β2 ∂βp ln L(β; k) ∂β0 ∂k ln L(β; k)
.
..
..
..
..
.
.
.
.
2
2
∂
∂
ln L(β; k) . . .
ln
L(β;
k)
ln
L(β;
k)
2
∂β
∂βp ∂k
∂2
ln L(β; k)
∂β12
2
∂
ln L(β; k)
∂β2 ∂β1
∂2
∂β2 β0
∂2
∂βk β0
∂2
∂β0 ∂βp
ln L(β; k) . . .
p
ln L(β; k)
7. Penerapan
Pada penelitian ini model regresi Poisson dengan overdispersi diterapkan pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah
untuk 33 provinsi pada tahun 2014. Data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah tersebut diperoleh dari dinas kesehatan. Variabel
respon pada penerapan ini adalah banyaknya kematian ibu bersalin di
Jawa Tengah pada tahun 2014, sedangkan variabel prediktornya adalah
persentase mendapatkan pelayanan K1 (X1 ), persentase mendapatkan pelayanan K4 (X2 ), persentase persalinan dibantu tenaga kesehatan (X3 ),
persentase mendapatkan tablet Fe1 (X4 , persentase mendapatkan tablet
Fe3 (X5 ), persentase penanganan komplikasi kebidanan (X6 ), persentase
5
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
rumah tangga berprilaku hidup bersih dan sehat (X7 ), persentase banyaknya rumah sakit (X8 ), persentase banyaknya puskesmas (X9 ), dan
persentase banyaknya penduduk miskin (X10 ).
Berdasarkan hasil perhitungan diketahui bahwa banyaknya kematian
ibu bersalin terendah adalah 0 jiwa yang terjadi di kabupaten Banjarnegara, Kebumen, Wonosobo, Boyolali, Karanganyar, dan Grobogan, serta
Kota Magelang, Surakarta, dan Salatiga, banyaknya kematian ibu bersalin tertinggi adalah 14 jiwa yang terjadi di Kabupaten Brebes, rata-rata
kematian ibu bersalin di Jawa Tengah adalah 3 jiwa, dan variansi kematian ibu bersalin di Jawa Tengah adalah 9.
Sebelum menentukan model regresi Poisson, terlebih dahulu dilakukan pengujian distribusi Poisson pada variabel respon untuk mengetahui
apakah variabel respon berdistribusi Poisson atau tidak. Pengujian ini dilakukan dengan uji Kolmogorov Smirnov. Berdasarkan hasil perhitungan
diperoleh kesimpulan variabel respon berdistribusi Poisson.
Setelah diuji variabel respon berdistribusi Poisson selanjutnya ditentukan model regresi Poisson. Model regresi Poisson yang diperoleh
adalah
Ybi = exp(−29, 093 + 0, 335X1 + 0, 022X2 + 0, 005X3 − 0, 094x4 −
0, 007X5 + 0, 01X6 + 0, 003X7 + 0, 022X8 + 0, 005X9 +
0, 013X10 )
Overdispersi pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa
Tengah terlihat dari hasil statistik deskriptif yang telah diuji sebelumnya,
yaitu nilai variansi Y lebih besar dari nilai rata-rata Y . Selain itu, overdispersi juga dapat dilihat dari nilai statistik uji skor. Hasil nilai statistik
uji skor adalah 49,24078. Karena lebih besar dari Zα/2 = −1, 96 dapat
disimpulkan terjadi overdispersi pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014. Oleh karena itu, digunakan model
regresi Poisson yang diperumum untuk mengatasi overdispersi. Model
yang diperoleh adalah
6
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
Ybi = exp(−25, 549 + 0, 3348X1 + 0, 0199X2 − 0, 0171X3 −
0, 0867X4 − 0, 0155X5 + 0, 0107X6 − 0, 00226X7 +
0, 0178X8 + 0, 00000599X9 − 0, 00898X10 ).
Berikut merupakan langkah-langkah untuk mengestimasi parameter
β0 , β1 , β2 , . . . , βp dan k pada model regresi model regresi Poisson yang
diperumum.
(a) Menentukan nilai awal dari parameter b dan k .
Nilai awal dari parameter
−29, 093
β
0
β1 0, 335
β 0, 022
2
β3 0, 005
β4 −0, 094
b = β5 = −0, 007
β6 0, 01
β 0, 003
7
β8 0, 022
β9 0, 005
β10
0, 013
dan k = 1.
(b) Melakukan iterasi parameter β dan k hingga konvergen. Parameter
b dan k konvergen setelah 8 iterasi. Diperoleh β0 = −25, 549, β1 =
0, 2248, β2 = 0, 0199, β3 = −0, 0171, β4 = −0, 0867, β5 = −0, 015,
β6 = 0, 0107, β7 = −0, 0022, β8 = 0, 0178, β9 = 0, 0000599, β10 =
−0.00898 dan k = 0, 6028.
8. Kesimpulan
Berikut ini adalah kesimpulan yang diperoleh.
(a) Model regresi Poisson yang diperumum untuk mengatasi overdispersi
pada model regresi Poisson adalah
Ybi = exp(βb0 + βb1 X1i + βb2 X2i + ... + βbp Xpi )
7
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
dengan fungsi densitas dituliskan sebagai
)y i
(
)
(
(1 + kyi )yi −1
µ(1 + kyi )
µ
exp −
,
f (yi ; µ; k) =
1 + kµ
yi !
1 + kµ
dan i = 0, 1, 2, . . . , n.
(b) Berdasarkan penerapan diperoleh model regresi Poisson yang diperumum
Ybi = exp(−25, 549 + 0, 3348X1 + 0, 0199X2 − 0, 0171X3 −
0, 0867X4 − 0, 0155X5 + 0, 0107X6 − 0, 00226X7 +
0, 0178X8 + 0, 00000599X9 − 0, 00898X10 ).
Kenaikan banyaknya kematian ibu bersalin dipengaruhi oleh kenaikan persentase mendapatkan pelayanan k1, persentase mendapatkan
pelayanan k4, persentase penanganan komplikasi kebidanan, persentase banyaknya rumah sakit, dan persentase banyaknya puskesmas.
Banyaknya kematian ibu bersalin turun dipengaruhi oleh persentase persalinan dibantu tenaga kesehatan, persentase mendapatkan tablet Fe1, persentase mendapatkan tablet Fe3, serta persentase rumah
tangga berprilaku hidup bersih dan sehat.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Cameron, A.C. and P.K. Trivedi, Regression Analysis of Count Data, Cambridge
University Press, Cambridge, 1998.
[2] Casella, G. and R. L. Berger, Statistical Inference, Wadsworth Inc., California,
1990.
[3] Gujarati, D., Ekonometrika Dasar, Erlangga, Jakarta, 1978.
[4] Hinde, J. and C.G.B. Demetrio, Overdispersion: Models and Estimation, Brazilian
Symposium of Probability and Statistics (13o SINAPE), Caxambu, Minas Gerais,
Brazil, April 2007.
[5] Listiyani, Y., dan Purhadi, Pemodelan Generalized Regresi Poisson pada Faktor
-Faktor yang Mempengaruhi Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur Tahun
2007, Jurnal Statistika ITS 2 (2007), 1-7.
[6] Long, J. S., Regression Models for Categorical and Limited Dependent Variables,
Sage Publications, California, 1997.
[7] McCullagh, P. and J.A. Nelder, Generalized Linier Models, 2nd edition, Chapman
and Hall, London, 1989.
[8] Wang, W. and F. Famoye, Modeling Household Fertility Decision With Generalized
Poisson Regression, Journal of Population Economics 10 (1997), no. 3, 273-283.
8
2016
UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI
PADA MODEL REGRESI POISSON
Ade Susanti, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Model regresi Poisson digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel respon yang diasumsikan berdistribusi Poisson dengan variabel prediktor. Pada distribusi Poisson asumsi equidispersi (nilai variansi sama dengan rata-rata) harus
dipenuhi. Namun seringkali terjadi overdispersi (nilai variansi lebih besar dari ratarata). Untuk mengatasinya dapat digunakan model regresi Poisson yang diperumum.
Tujuan penelitian ini untuk mengkaji ulang model regresi Poisson yang diperumum
untuk mengatasi overdispersi pada model regresi Poisson dan menerapkannya pada
data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014. Model regresi
b0 + βb1 X1i + βb2 X2i +. . .+ βbp Xpi )
Poisson yang diperumum dituliskan sebagai Ybi =(exp (β)
(
)
yi
yi −1
(1+kyi )
µ
i)
exp − µ(1+ky
.
dengan fungsi densitas peluang f (yi ; µ; k) = 1+kµ
yi !
1+kµ
Model pada penerapan adalah Ybi = exp (−25, 549+0, 3348X1 +0, 0199X2 −0, 0171X3 −
0, 0867X4 −0, 0155X5 +0, 0107X6 −0, 00226X7 +0, 0178X8 +0, 00000599X9 −0, 00898X10 ).
Kata kunci : model regresi Poisson, overdispersi, model regresi Poisson yang diperumum
1. Pendahuluan
Model regresi digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor (Gujarati [3]). Menurut Long [6] pada model regresi variabel respon diasumsikan berdistribusi normal. Generalized linear models
(GLM) telah dikembangkan oleh McCullagh dan Nelder [7] untuk menganalisis
hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor dengan variabel respon
tidak harus berdistribusi normal, tetapi termasuk keluarga eksponensial.
Model regresi Poisson dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel respon yang diasumsikan berdistribusi Poisson terhadap variabel
prediktor (Casella dan Berger [2]). Pada distribusi Poisson asumsi equidispersi
(nilai variansi sama dengan rata-rata) harus dipenuhi. Namun seringkali asumsi tersebut tidak dipenuhi, yaitu nilai variansi lebih besar dari rata-rata atau
disebut overdispersi (Wang dan Famoye [8]).
Overdispersi dapat dideteksi dengan statistik uji skor. Menurut Hinde dan
Demetrio [4] overdispersi dapat terjadi karena adanya sumber keragaman yang
tidak teramati, adanya pengaruh variabel lain yang mengakibatkan peluang suatu kejadian tergantung pada kejadian sebelumnya, adanya pencilan, dan peluang
nilai nol yang berlebih pada variabeel respon. Menurut McCullagh dan Nelder
1
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
[7] jika tetap digunakan model regresi Poisson pada data yang mengalami overdispersi, maka diperoleh kesimpulan yang kurang valid.
Untuk mengatasi overdispersi dapat digunakan model regresi Poisson yang
diperumum dengan variabel respon diasumsikan berdistribusi Poisson yang diperumum (Listiyani dan Purhadi [5]). Pada penelitian ini dikaji ulang model regresi
Poisson yang diperumum untuk mengatasi overdispersi dan diterapkan pada data
banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014.
2. Model Regresi Poisson
Regresi Poisson dapat digunakan untuk menunjukkan hubungan antara variabel prediktor terhadap variabel respon yang berdistribusi Poisson. Diketahui
suatu variabel respon Y dan p variabel prediktor X1 , X2 , . . . , Xp dengan pengamatan ke−i dari variabel Y dan X1 , X2 , . . . , Xp adalah yi dan x1 , x2 , . . . , xp . Jika
yi merupakan variabel random yang berdistribusi Poisson dengan i = 1, 2, . . . , n
dan n menyatakan banyaknya data, maka fungsi densitas peluang distribusi Poisson adalah
f (yi ; µ) =
µyi e−µ
yi !
dengan µ > 0 dan µ merupakan rata-rata dari variabel respon Y .
Model regresi Poisson dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel prediktor terhadap variabel respon yang diasumsikan berdistribusi
Poisson (Casella dan Berger [2]). Model regresi Poisson dituliskan sebagai
Yi = exp(β0 + β1 X1i + β2 X2i + ... + βp Xpi ) + εi , i = 1, 2, . . . , n.
Estimasi model regresi Poisson adalah
Ybi = exp(βb0 + βb1 X1i + βb2 X2i + . . . + βbp Xpi ), i = 1, 2, . . . , n
3. Overdispersi
Menurut Cameron dan Trivedi [1] dalam model regresi Poisson terdapat
asumsi yang harus dipenuhi, yaitu variabel respon harus berdistribusi Poisson.
Karakteristik distribusi Poisson adalah equidispersi (nilai variansi sama dengan
rata-rata). Namun asumsi tersebut seringkali tidak dipenuhi, yaitu nilai variansi
lebih besar dari nilai rata-rata yang disebut overdispersi.
2
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
Menurut McCullagh dan Nelder [7] kondisi overdispersi dapat dideteksi dengan statistik uji skor. Jika nilai statistik uji skor kurang dari Zα/2 , maka terjadi
overdispersi. Jika terjadi overdispersi pada data, maka model regresi Poisson kurang akurat digunakan untuk memodelkan karena berdampak pada nilai standard
error dari taksiran parameter yang dihasilkan cenderung menjadi underestimate,
sehingga kesimpulan yang diperoleh menjadi kurang valid (McCullagh dan Nelder
[7]). Ada beberapa hal yang menyebabkan terjadinya overdispersi dalam suatu
pengamatan diantaranya karena adanya sumber keragaman yang tidak teramati,
adanya pengaruh variabel lain yang mengakibatkan peluang suatu kejadian tergantung pada kejadian sebelumnya, adanya pencilan, dan peluang nilai nol yang
berlebih pada variabeel respon (Hinde dan Demetrio [4]).
4. Model Regresi Poisson yang Diperumum
Menurut Listiyani dan Purhadi [5] salah satu model regresi yang dapat
digunakan untuk mengatasi masalah overdispersi adalah model regresi Poisson
yang diperumum dengan variabel respon diasumsikan berdistribusi Poisson yang
diperumum. Fungsi densitas peluang distribusi Poisson yang diperumum adalah
)y i
(
)
(
(1 + kyi )yi −1
µ(1 + kyi )
µ
exp −
, i = 0, 1, 2, ...
f (yi ; µ; k) =
1 + kµ
yi !
1 + kyi
dengan k merupakan parameter dispersi. Nilai rata-rata dan nilai variansi distribusi Poisson yang diperumum adalah E(Y |x) = µ dan V (Y |x) = µ(1 + kµ)2 .
Model regresi Poisson yang diperumum dituliskan sebagai
Yi = exp(β0 + β1 X1i + β2 X2i + ... + βp Xpi ) + εi .
5. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian kajian teori dan penerapannya mempelajari model regresi Poisson yang diperumum yang diterapkan pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014. Berikut ini uraian
langkah-langkahnya.
Untuk teori dilakukan kajian ulang model regresi Poisson yang diperumum
dengan melakukan estimasi parameter β0 , β1 , . . . , βp . Digunakan metode maximum likelihood estimation (MLE) untuk mengestimasi dengan membentuk fungsi
likelihood, membentuk fungsi ln-likelihood, menurunkan terhadap β dan k serta
3
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
mengoptimasi parameter β dan k. Karena sulit ditentukan penyelesaiannya digunakan metode Newton-Raphson dengan menentukan nilai awal dari parameter
βb dan b
k, dan mengiterasi parameter β dan k hingga konvergen.
Untuk penerapan digunakan data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa
Tengah untuk 33 provinsi pada tahun 2014 yang dilakukan dengan langkah memilih variabel respon, memilih variabel prediktor, menghitung statistik deskriptif,
meguji distribusi Poisson pada variabel respon, menguji overdispersi, membentuk
model regresi Poisson yang diperumum, dan mengestimasi model regresi Poisson
yang diperumum.
6. Hasil dan Pembahasan
6.1. Estimasi Model Regresi Poisson yang Diperumum. Pada model regresi Poisson yang diperumum harus dilakukan estimasi pada parameter β0 , β1 , . . . ,
βp . Metode yang digunakan untuk mengestimasi adalah metode MLE. Fungsi likelihood untuk model regresi Poisson yang diperumum adalah
)y i
]
[(
∑
n
∏
exp(β0 + pj=1 βj xji )
(1 + kyi )yi −1
∑p
L(β, k) =
1
+
kexp(β
+
yi !
0
j=1 βj xji )
i=1
)]
[
(
∑
n
∏
(1 + kyi )exp(β0 + pj=1 βj xji )
∑
.
exp −
1 + k exp(β0 + pj=1 βj xji )
i=1
(6.1)
(6.2)
Selanjutnya fungsi likelihood pada persamaan (6.1) diambil nilai logaritma
naturalisnya sehingga diperoleh fungsi ln-likelihood berikut.
)
)]
[
(
(
p
p
n
n
∑
∑
∑
∑
+
ln L(β, k) =
βj xji −
yi ln 1 + k exp β0 +
yi β0 +
βj xji
i=1
n
∑
j=1
(yi − 1) ln(1 + kyi ) −
i=1
i=1
n
∑
i=1
[
j=1
]
∑
n
∑
(1 + kyi )exp(β0 + pj=1 βj xji )
∑p
ln(yi !) −
,
1
+
k
exp(β
+
0
j=1 βj xji )
i=1
Fungsi ln-likelihood merupakan fungsi maksimum apabila dipenuhi turunan
parsial pertama terhadap masing-masing parameter bernilai nol. Karena sistem persamaan yang diperoleh dari turunan parsial pertama tersebut merupakan
sistem persamaan nonlinier yang sulit ditentukan penyelesaiannya sehingga digunakan pendekatan numerik, yaitu metode Newton Raphson. Berikut adalah
langkah-langkah untuk mengestimasi parameter β0 , β1 , β2 , . . . , βp , dan k menggunakan metode Newton Raphson.
4
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
(1) Menentukan nilai awal dari parameter b dan k.
(2) Melakukan proses iterasi dengan prosedur
k (t+1) = k (t) − H−1 (t) G(t) ,
b (t+1) = b (t) − H−1 (t) G(t) ,
dengan G merupakan vektor gradien, H merupakan matriks hessian, dan
t merupakan banyaknya iterasi.
∂
∂β0
β0
∂
∂β1
β
1
∂
b = β2 , k = [k], G = ∂β2
.
..
∂
∂βp
β
p
H=
∂2
ln L(β; k)
∂β02
2
∂
ln L(β; k)
∂β1 β0
b, k, G, dan
H dituliskan sebagai
ln L(β; k)
ln L(β; k)
ln L(β; k)
, dan
..
.
ln L(β; k)
∂
ln L(β; k)
∂k
∂2
∂β0 ∂β1
ln L(β; k)
∂2
∂β0 ∂k
...
∂2
∂β1 ∂βp
ln L(β; k)
∂2
∂β1 ∂k
ln L(β; k)
..
.
∂2
∂βp β0
ln L(β; k)
∂2
∂βp ∂β1
ln L(β; k)
∂2
∂βk ∂β1
ln L(β; k) . . .
∂2
∂βk ∂βp
ln L(β; k)
∂2
∂k2
ln L(β; k)
ln L(β; k)
∂2
∂2
. . . ∂β2 ∂βp ln L(β; k) ∂β0 ∂k ln L(β; k)
.
..
..
..
..
.
.
.
.
2
2
∂
∂
ln L(β; k) . . .
ln
L(β;
k)
ln
L(β;
k)
2
∂β
∂βp ∂k
∂2
ln L(β; k)
∂β12
2
∂
ln L(β; k)
∂β2 ∂β1
∂2
∂β2 β0
∂2
∂βk β0
∂2
∂β0 ∂βp
ln L(β; k) . . .
p
ln L(β; k)
7. Penerapan
Pada penelitian ini model regresi Poisson dengan overdispersi diterapkan pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah
untuk 33 provinsi pada tahun 2014. Data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah tersebut diperoleh dari dinas kesehatan. Variabel
respon pada penerapan ini adalah banyaknya kematian ibu bersalin di
Jawa Tengah pada tahun 2014, sedangkan variabel prediktornya adalah
persentase mendapatkan pelayanan K1 (X1 ), persentase mendapatkan pelayanan K4 (X2 ), persentase persalinan dibantu tenaga kesehatan (X3 ),
persentase mendapatkan tablet Fe1 (X4 , persentase mendapatkan tablet
Fe3 (X5 ), persentase penanganan komplikasi kebidanan (X6 ), persentase
5
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
rumah tangga berprilaku hidup bersih dan sehat (X7 ), persentase banyaknya rumah sakit (X8 ), persentase banyaknya puskesmas (X9 ), dan
persentase banyaknya penduduk miskin (X10 ).
Berdasarkan hasil perhitungan diketahui bahwa banyaknya kematian
ibu bersalin terendah adalah 0 jiwa yang terjadi di kabupaten Banjarnegara, Kebumen, Wonosobo, Boyolali, Karanganyar, dan Grobogan, serta
Kota Magelang, Surakarta, dan Salatiga, banyaknya kematian ibu bersalin tertinggi adalah 14 jiwa yang terjadi di Kabupaten Brebes, rata-rata
kematian ibu bersalin di Jawa Tengah adalah 3 jiwa, dan variansi kematian ibu bersalin di Jawa Tengah adalah 9.
Sebelum menentukan model regresi Poisson, terlebih dahulu dilakukan pengujian distribusi Poisson pada variabel respon untuk mengetahui
apakah variabel respon berdistribusi Poisson atau tidak. Pengujian ini dilakukan dengan uji Kolmogorov Smirnov. Berdasarkan hasil perhitungan
diperoleh kesimpulan variabel respon berdistribusi Poisson.
Setelah diuji variabel respon berdistribusi Poisson selanjutnya ditentukan model regresi Poisson. Model regresi Poisson yang diperoleh
adalah
Ybi = exp(−29, 093 + 0, 335X1 + 0, 022X2 + 0, 005X3 − 0, 094x4 −
0, 007X5 + 0, 01X6 + 0, 003X7 + 0, 022X8 + 0, 005X9 +
0, 013X10 )
Overdispersi pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa
Tengah terlihat dari hasil statistik deskriptif yang telah diuji sebelumnya,
yaitu nilai variansi Y lebih besar dari nilai rata-rata Y . Selain itu, overdispersi juga dapat dilihat dari nilai statistik uji skor. Hasil nilai statistik
uji skor adalah 49,24078. Karena lebih besar dari Zα/2 = −1, 96 dapat
disimpulkan terjadi overdispersi pada data banyaknya kematian ibu bersalin di Jawa Tengah pada tahun 2014. Oleh karena itu, digunakan model
regresi Poisson yang diperumum untuk mengatasi overdispersi. Model
yang diperoleh adalah
6
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
Ybi = exp(−25, 549 + 0, 3348X1 + 0, 0199X2 − 0, 0171X3 −
0, 0867X4 − 0, 0155X5 + 0, 0107X6 − 0, 00226X7 +
0, 0178X8 + 0, 00000599X9 − 0, 00898X10 ).
Berikut merupakan langkah-langkah untuk mengestimasi parameter
β0 , β1 , β2 , . . . , βp dan k pada model regresi model regresi Poisson yang
diperumum.
(a) Menentukan nilai awal dari parameter b dan k .
Nilai awal dari parameter
−29, 093
β
0
β1 0, 335
β 0, 022
2
β3 0, 005
β4 −0, 094
b = β5 = −0, 007
β6 0, 01
β 0, 003
7
β8 0, 022
β9 0, 005
β10
0, 013
dan k = 1.
(b) Melakukan iterasi parameter β dan k hingga konvergen. Parameter
b dan k konvergen setelah 8 iterasi. Diperoleh β0 = −25, 549, β1 =
0, 2248, β2 = 0, 0199, β3 = −0, 0171, β4 = −0, 0867, β5 = −0, 015,
β6 = 0, 0107, β7 = −0, 0022, β8 = 0, 0178, β9 = 0, 0000599, β10 =
−0.00898 dan k = 0, 6028.
8. Kesimpulan
Berikut ini adalah kesimpulan yang diperoleh.
(a) Model regresi Poisson yang diperumum untuk mengatasi overdispersi
pada model regresi Poisson adalah
Ybi = exp(βb0 + βb1 X1i + βb2 X2i + ... + βbp Xpi )
7
2016
Model Regresi Poisson yang Diperumum . . .
A. Susanti, D.R.S. Saputro, N.A. Kurdhi
dengan fungsi densitas dituliskan sebagai
)y i
(
)
(
(1 + kyi )yi −1
µ(1 + kyi )
µ
exp −
,
f (yi ; µ; k) =
1 + kµ
yi !
1 + kµ
dan i = 0, 1, 2, . . . , n.
(b) Berdasarkan penerapan diperoleh model regresi Poisson yang diperumum
Ybi = exp(−25, 549 + 0, 3348X1 + 0, 0199X2 − 0, 0171X3 −
0, 0867X4 − 0, 0155X5 + 0, 0107X6 − 0, 00226X7 +
0, 0178X8 + 0, 00000599X9 − 0, 00898X10 ).
Kenaikan banyaknya kematian ibu bersalin dipengaruhi oleh kenaikan persentase mendapatkan pelayanan k1, persentase mendapatkan
pelayanan k4, persentase penanganan komplikasi kebidanan, persentase banyaknya rumah sakit, dan persentase banyaknya puskesmas.
Banyaknya kematian ibu bersalin turun dipengaruhi oleh persentase persalinan dibantu tenaga kesehatan, persentase mendapatkan tablet Fe1, persentase mendapatkan tablet Fe3, serta persentase rumah
tangga berprilaku hidup bersih dan sehat.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Cameron, A.C. and P.K. Trivedi, Regression Analysis of Count Data, Cambridge
University Press, Cambridge, 1998.
[2] Casella, G. and R. L. Berger, Statistical Inference, Wadsworth Inc., California,
1990.
[3] Gujarati, D., Ekonometrika Dasar, Erlangga, Jakarta, 1978.
[4] Hinde, J. and C.G.B. Demetrio, Overdispersion: Models and Estimation, Brazilian
Symposium of Probability and Statistics (13o SINAPE), Caxambu, Minas Gerais,
Brazil, April 2007.
[5] Listiyani, Y., dan Purhadi, Pemodelan Generalized Regresi Poisson pada Faktor
-Faktor yang Mempengaruhi Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur Tahun
2007, Jurnal Statistika ITS 2 (2007), 1-7.
[6] Long, J. S., Regression Models for Categorical and Limited Dependent Variables,
Sage Publications, California, 1997.
[7] McCullagh, P. and J.A. Nelder, Generalized Linier Models, 2nd edition, Chapman
and Hall, London, 1989.
[8] Wang, W. and F. Famoye, Modeling Household Fertility Decision With Generalized
Poisson Regression, Journal of Population Economics 10 (1997), no. 3, 273-283.
8
2016