Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik.
PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI GEOMETRIK
oleh
ARANTIKA DESMAWATI
M0112012
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2017
PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI GEOMETRIK
oleh
ARANTIKA DESMAWATI
M0112012
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2017
i
ABSTRAK
Arantika Desmawati. 2017. PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI
GEOMETRIK. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas
Sebelas Maret.
Proses percabangan muncul secara alami dalam berbagai hal terutama reproduksi individu. Proses percabangan merupakan suatu rantai Markov dengan
setiap individu saling independen. Proses ini dimulai dengan individu tunggal
pada generasi ke-0 dan bereproduksi secara random. Persoalan proses percabangan yang tertua yaitu tentang kepunahan nama keluarga. Nama keluarga
hanya dapat diwariskan oleh keturunan laki-laki. Kepunahan nama keluarga sesuai dengan distribusi geometrik.
Tujuan penelitian ini adalah mengkaji ulang dan menerapkan proses percabangan pada distribusi geometrik. Dalam penelitian ini, digunakan fungsi pembangkit probabilitas untuk mengkaji ulang proses percabangan pada distribusi
geometrik. Proses percabangan pada distribusi geometrik kemudian diterapkan
berdasarkan data keluarga Amerika tahun 1920. Variabel random pada penerapan ini adalah banyaknya generasi sampai nama keluarga punah yang berdistribusi
geometrik. Fungsi pembangkit probabilitas untuk distribusi geometrik digunakan untuk menentukan rata-rata dan variansi banyaknya generasi sampai nama
keluarga di Amerika punah.
Selanjutnya, penerapan dilakukan berdasarkan estimasi probabilitas yang
diberikan oleh Lotka. Estimasi probabilitas tersebut adalah probabilitas nama
keluarga punah, b = 0, 4107. Probabilitas seorang laki-laki tidak memiliki keturunan laki-laki sebesar p0 = 0, 4825 dan probabilitas seorang laki-laki memiliki j
keturunan laki-laki sebesar pj = (0, 2126)(0, 5893)(j−1) untuk j ≥ 1. Berdasarkan penerapan diperoleh rata-rata banyaknya generasi sampai nama keluarga di
Amerika punah sebesar µ = 1, 4349. Variansi banyaknya generasi sampai nama
keluarga di Amerika punah sebesar 3, 4937.
Kata kunci: proses percabangan, distribusi geometrik, probabilitas, rata-rata,
variansi
iii
ABSTRACT
Arantika Desmawati. 2017. BRANCHING PROCESS ON GEOMETRIC
DISTRIBUTION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret
University.
A branching process occurs naturally in various cases especially on individual reproduction. Branching process is a Markov chain which each individual
are mutually independent. The process is begun with a single individual at zeroth
generation and reproduced randomly. The oldest problem of branching process
is the extinction of family name. The family name can only be inherited by male
descendant. The extinction of the family name is suitable with geometric distribution.
The purposes of this research are to review and to apply branching process
on geometric distribution. In this research, the probability generating function
is used to review branching process on geometric distribution. Branching process on geometric distribution is applied based on data of American family in
1920. Random variable on this application is the number of generations until the
family name became extinct which follows geometric distribution. Probability
generating function for geometric distribution is used to determine the mean and
variance of the number of generations until the family name became extinct.
Furthermore, the application is conducted based on the probability estimation which given by Lotka. The probability estimation is probability of family
name became extinct, b = 0.4107. The probability that a male has no male descendant is p0 = 0.4825 and the probability of a male has j male descendants is
pj = (0.2126) (0.5893)(j−1) for j ≥ 1. Based on the application, we obtained mean
of the number of generations until the family name became extinct in America
is µ = 1.4349. The variance of the number of generations until the family name
became extinct in America is 3.4937.
Keywords: branching process, geometric distribution, probability, mean, variance
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, bapak, dan adik.
v
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada
1. Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, arahan, saran, dan motivasi selama proses penyusunan skripsi,
2. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai pembimbing II yang
telah memberikan bimbingan, arahan, dan saran selama proses penulisan
skripsi, dan
3. Nisfiatul Laili, Nur Alfiani Santoso, dan Karima Puspita Sari atas diskusi, saran, dan dukungan yang telah diberikan selama proses penyusunan
skripsi.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Maret 2017
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Proses Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Proses Percabangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.5
Fungsi Pembangkit Probabilitas . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
III METODE PENELITIAN
12
vii
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik . . . . . . . . . .
14
14
4.2 Rata-rata dan Variansi Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.3 Penerapan Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik . . . .
18
V PENUTUP
21
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
DAFTAR PUSTAKA
23
viii
oleh
ARANTIKA DESMAWATI
M0112012
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2017
PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI GEOMETRIK
oleh
ARANTIKA DESMAWATI
M0112012
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2017
i
ABSTRAK
Arantika Desmawati. 2017. PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI
GEOMETRIK. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas
Sebelas Maret.
Proses percabangan muncul secara alami dalam berbagai hal terutama reproduksi individu. Proses percabangan merupakan suatu rantai Markov dengan
setiap individu saling independen. Proses ini dimulai dengan individu tunggal
pada generasi ke-0 dan bereproduksi secara random. Persoalan proses percabangan yang tertua yaitu tentang kepunahan nama keluarga. Nama keluarga
hanya dapat diwariskan oleh keturunan laki-laki. Kepunahan nama keluarga sesuai dengan distribusi geometrik.
Tujuan penelitian ini adalah mengkaji ulang dan menerapkan proses percabangan pada distribusi geometrik. Dalam penelitian ini, digunakan fungsi pembangkit probabilitas untuk mengkaji ulang proses percabangan pada distribusi
geometrik. Proses percabangan pada distribusi geometrik kemudian diterapkan
berdasarkan data keluarga Amerika tahun 1920. Variabel random pada penerapan ini adalah banyaknya generasi sampai nama keluarga punah yang berdistribusi
geometrik. Fungsi pembangkit probabilitas untuk distribusi geometrik digunakan untuk menentukan rata-rata dan variansi banyaknya generasi sampai nama
keluarga di Amerika punah.
Selanjutnya, penerapan dilakukan berdasarkan estimasi probabilitas yang
diberikan oleh Lotka. Estimasi probabilitas tersebut adalah probabilitas nama
keluarga punah, b = 0, 4107. Probabilitas seorang laki-laki tidak memiliki keturunan laki-laki sebesar p0 = 0, 4825 dan probabilitas seorang laki-laki memiliki j
keturunan laki-laki sebesar pj = (0, 2126)(0, 5893)(j−1) untuk j ≥ 1. Berdasarkan penerapan diperoleh rata-rata banyaknya generasi sampai nama keluarga di
Amerika punah sebesar µ = 1, 4349. Variansi banyaknya generasi sampai nama
keluarga di Amerika punah sebesar 3, 4937.
Kata kunci: proses percabangan, distribusi geometrik, probabilitas, rata-rata,
variansi
iii
ABSTRACT
Arantika Desmawati. 2017. BRANCHING PROCESS ON GEOMETRIC
DISTRIBUTION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret
University.
A branching process occurs naturally in various cases especially on individual reproduction. Branching process is a Markov chain which each individual
are mutually independent. The process is begun with a single individual at zeroth
generation and reproduced randomly. The oldest problem of branching process
is the extinction of family name. The family name can only be inherited by male
descendant. The extinction of the family name is suitable with geometric distribution.
The purposes of this research are to review and to apply branching process
on geometric distribution. In this research, the probability generating function
is used to review branching process on geometric distribution. Branching process on geometric distribution is applied based on data of American family in
1920. Random variable on this application is the number of generations until the
family name became extinct which follows geometric distribution. Probability
generating function for geometric distribution is used to determine the mean and
variance of the number of generations until the family name became extinct.
Furthermore, the application is conducted based on the probability estimation which given by Lotka. The probability estimation is probability of family
name became extinct, b = 0.4107. The probability that a male has no male descendant is p0 = 0.4825 and the probability of a male has j male descendants is
pj = (0.2126) (0.5893)(j−1) for j ≥ 1. Based on the application, we obtained mean
of the number of generations until the family name became extinct in America
is µ = 1.4349. The variance of the number of generations until the family name
became extinct in America is 3.4937.
Keywords: branching process, geometric distribution, probability, mean, variance
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, bapak, dan adik.
v
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada
1. Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, arahan, saran, dan motivasi selama proses penyusunan skripsi,
2. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai pembimbing II yang
telah memberikan bimbingan, arahan, dan saran selama proses penulisan
skripsi, dan
3. Nisfiatul Laili, Nur Alfiani Santoso, dan Karima Puspita Sari atas diskusi, saran, dan dukungan yang telah diberikan selama proses penyusunan
skripsi.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Maret 2017
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Proses Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Proses Percabangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.5
Fungsi Pembangkit Probabilitas . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
III METODE PENELITIAN
12
vii
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik . . . . . . . . . .
14
14
4.2 Rata-rata dan Variansi Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.3 Penerapan Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik . . . .
18
V PENUTUP
21
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
DAFTAR PUSTAKA
23
viii