Proses Percabangan Pada Distribusi Poisson 03022017
PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON
Nur Alfiani Santoso, Respatiwulan, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Proses percabangan merupakan suatu proses stokastik dimana setiap individu bereproduksi secara random dan tidak terkait dengan interaksi antar individu yang lain. Pada proses percabangan hanya terdapat satu individu sebagai induk pada waktu ke-0 dengan banyaknya individu baru yang lahir sebagai variabel
random. Banyaknya individu baru yang lahir dapat memenuhi karakteristik suatu
distribusi tertentu, salah satunya distribusi Poisson yang merupakan pengembangan
dari distribusi binomial dengan probabilitas sukses p kecil dan banyak populasi N besar. Proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit salah satunya fungsi
pembangkit probabilitas (p.g.f ) dari distribusi tertentu. Tujuan penelitian ini adalah
menurunkan ulang dan menerapkan proses percabangan menggunakan fungsi pembangkit probabilitas pada distribusi Poisson. Pada proses percabangan menggunakan
fungsi pembangkit dapat ditentukan nilai rata-rata dan nilai variansi untuk mengetahui bagaimana pola pemusatan dan pola penyebaran dari banyaknya individu baru
yang lahir. Nilai rata-rata dan variansi terbagi menjadi dua kategori yaitu untuk
setiap individu dan untuk setiap genarasi. Dari penerapan diperoleh nilai banyaknya
individu baru yang meningkat setiap kenaikan waktu sehingga kesuksesan penyebaran
penyakit influenza tinggi.
Kata kunci : proses percabangan, distribusi Poisson, rata-rata, variansi
1. PENDAHULUAN
Kesehatan manusia dapat terganggu apabila terinfeksi penyakit. Penyakit
terbagi menjadi penyakit menular dan penyakit tidak menular. Pada penyebaran penyakit menular proses penyebarannya perlu diketahui oleh masyarakat
agar dapat dilakukan pencegahan. Matematika dapat digunakan sebagai sarana
mengetahui bagaimana pola penyebaran penyakit menular menggunakan proses
percabangan. Proses percabangan adalah suatu proses stokastik dimana setiap
individu bereproduksi secara random dan tidak terikat dengan interaksi antar
individu yang lain. Feller [3] menyatakan bahwa salah satu contoh proses percabangan adalah mutasi genetik. Dalam setiap gen yang dibawa oleh makhluk
hidup terdapat kemungkingan untuk muncul kembali pada keturunannya, melalui
beberapa tahap penghapusan dan penambahan yang terjadi dalam selang waktu
tertentu.
Setiap individu keturunan dalam proses mutasi genetik memiliki dua kemungkinan sifat genetik yaitu mengalami mutasi genetik dan tidak mengalami
1
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
mutasi genetik. Menurut Walpole [7] distribusi probabilitas dengan dua kemungkinan hasil dari n percobaan dinamakan distribusi binomial. Pada kejadian
binomial dengan percobaan n besar dan probabilias sukses p kecil kondisi mulai mengikuti karakteristik distribusi Poisson. Salah satu karakteristik distribusi
Poisson yaitu banyaknya hasil percobaan terjadi pada interval waktu tertentu
dan tidak saling bergantung, dengan probabilitas sukses p kecil memungkinkan
nilainya mendekati 0. Hal ini diperjelas oleh Bain dan Engelhardt [2] yang menyatakan bahwa distribusi Poisson merupakan pengembangan dari distribusi binomial dengan jumlah percobaan n besar dan nilai probabilitas sukses p kecil, oleh
karena itu distribusi Poisson digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu
kejadian dalam selang waktu tertentu. Dalam suatu distribusi dapat ditentukan
beberapa fungsi pembangkit.
Menurut Reluga [5], fungsi pembangkit memiliki peran yang penting karena secara tidak langsung merangkum dasar-dasar pengurutan dan operasi pencarian untuk menyederhanakan bahasa matematika. Dalam mempelajari proses
percabangan digunakan fungsi pembangkit probabilitas (p.g.f ) selanjutnya dicari nilai rata-rata dan variansi dari p.g.f untuk mengetahui bagaimana pola
pemusatan dan pola penyebaran data. Untuk mempermudah pengamatan, proses percabangan dengan fungsi pembangkit probabilitas pada distribusi Poisson
diterapkan pada penyakit influenza.
2. PROSES PERCABANGAN
Menurut Taylor dan Karlin [6], untuk mempertahankan keturunannya suatu makhluk hidup memproduksi keturunan dengan jumlah yang random, misal
banyaknya keturunan berupa variabel random ξ dengan distribusi probabilitas
P r{ξ = k} = pk untuk k = 0, 1, 2, . . .,
∑
dengan nilai pk ≥ 0 dan ∞
k=0 pk =1.
Diasumsikan setiap individu lahir tidak bergantung antar individu yang lain
dan memiliki waktu hidup yang sama. Banyaknya keturunan pada generasi ke-n
disebut dengan Xn . Pada proses menentukan banyaknya keturunan pada generasi
ke-n menggunakan konsep percabangan. Asumsi penting yang digunakan dalam
proses percabangan menurut Allen [1] adalah
(1) probabilitas individu memiliki keturunan (p) bernilai sama untuk setiap
individu,
(2) setiap individu menghasilkan keturunan secara independen,
(3) proses dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke 0.
Nur Alfiani Santoso
2
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
Proses percabangan merupakan suatu karakteristik rantai Markov sehingga karakteristik tersebut dapat diterapkan untuk mengetahui jumlah keturunan
pada generasi ke-n + 1 yaitu
(n)
(n)
(n)
Xn+1 = ξ1 + ξ2 + . . . + ξXn .
Misalkan Z(t) merupakan banyaknya seluruh keturunan pada waktu t dengan proses kelahiran berasal dari satu induk sehingga asumsi proses percabangan
saat t=0 terpenuhi. Individu yang berperan sebagai induk memiliki rentang hidup
yang diasumsikan sebagai variabel random τ dan jumlah keturunan yang lahir
pada generasi ke-n adalah Xn . Selanjutnya, banyaknya keturunan yang lahir pada waktu t adalah jumlahan dari individu yang berada pada proses selanjutnya
t ≥ τ . Untuk setiap keturunan lahir pada waktu t dituliskan
{ ∑
Xn
(i)
n≥τ
i=1 X
Z(t) =
1,
n < τ.
3. PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON
Proses percabangan dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke-0 yang
kemudian disebut induk. Variabel random yang digunakan adalah banyaknya
keturunan dari induk, banyaknya seluruh keturunan pada waktu ke-t dinotasikan
dengan Z(t), nilainya dapat diperoleh dari akumulasi nilai Xn dimana Xn adalah
banyaknya keturunan pada generasi ke-n, nilai Xn merupakan akumulasi dari ni(n)
(n)
lai ξXn dengan ξXn adalah banyaknya keturunan dari satu individu pada generasi
ke-n. Jika pola banyaknya keturunan dari induk mengikuti karakteristik suatu
distribusi maka proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit probabilitas.
Menurut Allen [1] fungsi pembangkit probabilitas (p.g.f ) dari suatu variabel
random ξ adalah fungsi gabungan himpunan bilangan real dengan notasi Pξ yang
didefinisikan dengan
∞
∑
ξ
Pξ (t) = E(t ) =
pk tk ,
(3.1)
k=0
untuk nilai t ∈ R.
Distribusi Poisson merupakan salah satu distribusi bersifat diskret pengembangan dari distribusi binomial dengan fungsi distribusi probabilitas (p.d.f.) dari
distribusi Poisson adalah
f (x) =
Nur Alfiani Santoso
λx e−λ
,
x!
x = 0, 1, 2, . . .,
3
(3.2)
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
dengan λ=rata-rata distribusi. Nilai p.g.f dari distribusi Poisson dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) ke dalam persamaan (3.1). Nilai p.g.f dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dan variansi dari
∑
banyaknya hasil proses percabangan, jika ∞
k=0 pk = 1. Nilai rata-rata dan variansi ξn yang memenuhi adalah
µξ = E(ξ) =
∞
∑
(3.3)
kpk ,
k=0
dan
σξ2 = E[(ξ − µξ)2 ] =
∞
∑
k 2 pk − µ2ξ .
(3.4)
k=0
Pada generasi ke-n nilai rata-rata dan variansi dari ξn didefinisikan sebagai
µn = E(ξXn ) = µn untuk n = 0, 1, 2, . . .,
dan
σn2
=
{
σ 2 µn−1 (µn −1)
,
µ−1
2
nσ ,
µ ̸= 1
µ = 1.
(3.5)
(3.6)
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Proses Percabangan pada Distribusi Poisson.
Proses percabangan
adalah suatu proses stokastik dimana setiap individu bereproduksi secara random
dan tidak terkait dengan interaksi antar individu yang lain. Menurut Taylor dan
Karlin [6], seluruh makhluk hidup perlu mempertahankan keturunan dengan cara
bereproduksi, misal banyaknya keturunan yang lahir merupakan variabel random
ξ. Diasumsikan setiap individu lahir tidak bergantung antar individu yang lain
dan memiliki waktu hidup yang sama. Banyaknya keturunan pada generasi ken disebut Xn . Karakteristik proses stokastik dapat terlihat dengan jelas pada
variabel random banyaknya keturunan yang lahir ξ yang bergantung pada waktu,
sehingga karakteristik rantai markov dapat diterapkan untuk mengetahui jumalah
keturunan yang lahir pada generasi ke-n + 1 di tampilkan dalam persamaan
(n)
(n)
(n)
Xn+1 = ξ1 + ξ2 + . . . + ξXn ,
(4.1)
(n)
dengan ξ1 adalah banyaknya keturunan yang lahir dari individu 1 pada generasi
ke-n. Jumlah keturunan yang lahir pada generasi ke-n + 1 merupakan jumlahan
dari banyaknya keturunan yang lahir dari individu ke-1 sampai individu ke-Xn
pada generasi ke-n. Jumlah seluruh keturunan yang lahir sampai generasi ke-n
dinyatakan dengan Zn dan ditampilkan pada persamaan
{ ∑
Xn
(i)
n≥τ
i=1 X
(4.2)
Z(t) =
1,
n < τ.
Nur Alfiani Santoso
4
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
Feller [3] menjelaskan beberapa contoh penerapan proses percabangan yang
dapat diterapkan dalam kehidupan, dari beberapa contoh yang dijelaskan dapat diketahui bahwa banyaknya keturunan yang lahir tiap satuan waktu dapat mendekati karakteristik suatu distribusi tertentu, salah satu distribusi yang
banyak ditemukan dalam kehidupan adalah distribusi Poisson. Distribusi Poisson adalah distribusi bersifat diskret yang merupakan pengembangan dari distribusi binomial. Fungsi densitas probabilitas (p.d.f ) dari distribusi Poisson ditunjukkan pada persamaan (3.2). Untuk mengetahui pola pemusatan dan pola
penyebaran banyaknya individu lahir dapat digunakan p.g.f distribusi Poisson.
Nilai p.g.f diperoleh dengan subtitusi persamaan (3.2) dalam persamaan (3.1)
sehingga diperoleh
ξ
Pξ (t) = E[t ] =
∞
∑
pk t k
k=0
= e−λ(1−t) .
Nilai rata-rata dan variansi dapat ditentukan menggunakan nilai p.g.f ,
menggunakan persamaan (3.3) untuk rata-rata dan persamaan (3.4) untuk variansi.
Nilai rata-rata
µξ = E(ξ) =
∞
∑
kpk
k=0
= λ,
nilai Variansi
σξ2 = E[ξ 2 ] − E[ξ]2 = λ.
Selain mengetahui nilai p.g.f , rata-rata dan variansi dari ξ dapat pula dicari nilai p.g.f , rata-rata dan variansi dari Xn yang merupakan jumlahan dari
banyaknya keturunan baru yang lahir dari setiap individu pertama sampai individu ke-n − 1 menggunkan nilai p.g.f , rata-rata dan variansi dari ξ. Nilai p.g.f
Pn (t) = P [P [· · · [P (t)] · · · ]]
= e−λ+λPn−1 ,
rata-rata pada generasi ke-n dicari menggunakan persamaan (3.5)
µn = E(ξXn ) = µn = λn ,
Nur Alfiani Santoso
5
(4.3)
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
variansi pada generasi ke-n dicari menggunakan persamaan (3.6)
{ 2n n
λ −λ
, λ ̸= 1
2
λ−1
σn =
nλ,
λ = 1.
(4.4)
4.2. Penerapan.
Pada penerapan ini data penyebaran penyakit influenza
yang digunakan mengacu pada Longini et.al [4] dengan banyaknya populasi N =
2000 individu yang berada pada kawasan tertentu dan memiliki kemungkinan tertular influenza dengan nilai rata-rata penularan λ = 1.9. Waktu yang dibutuhkan
untuk penyebaran virus influenza t = 4 hari. Data penyebaran penyakit influenza
berkarakteristik distribusi Poisson dengan p adalah probabilitas seorang individu
tertular penyakit influenza sebesar 0.5. Pada penelitian ini dicari banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza, ukuran populasi yang diwakili oleh
rata-rata dan variansi, diambil sampel sampai generasi ke-10. Dengan bantuan software Mathematica 8.0 diperoleh banyaknya individu baru yang terbentuk
dari satu individu induk untuk data berdistribusi Poisson, diambil sampel gambar
pada pada generasi ke-1, 5, dan 10 yang disajikan dalam Gambar 1.
Gambar 1. Banyaknya individu pada (a) generasi ke-1, (b) generasi ke-5 dan,
(c) generasi ke-10 dari proses percabangan penyebaran penyakit influenza
Nur Alfiani Santoso
6
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
Dari Gambar 1 (a) banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza
dalam kurun waktu 4 hari sebanyak satu individu. Pada Gambar 1 (b) banyaknya
individu baru yang tertular penyakit influenza pada generasi ke-5 dari satu induk
dengan waktu setiap generasi 4 hari atau 20 hari kemudian sebanyak 8 individu.
Pada Gambar 1 (c) banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza
pada generasi ke-10 dari satu individu induk dengan waktu setiap generasi 4 hari
atau 40 hari kemudian sebanyak 165 individu. Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa
banyaknya individu baru yang tertular di setiap generasi mengalami peningkatan.
Ukuran populasi dari data penyebaran penyakit influenza yang diterapkan
dalam proses percabangan perlu diketahui agar dapat dilakukan analisis. Ukuran populasi dapat diwakili dengan rata-rata dan variansi dari data. Nilai ratarata dan variansi dapat dicari menggunakan p.g.f dari distribusi Poisson sesuai
persamaan 4.3 dan 4.4. Data banyaknya individu baru yang tertular penyakit
influenza, rata-rata dan variansi sampai generasi ke-10 ditampilkan pada Tabel
1.
Tabel 1. Data banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza, rata-rata dan
variansi
Generasi ke- Banyaknya Individu Rata-Rata
Variansi
1
1
1.9
1.9
2
2
3.61
10.469
3
2
6.859
44.652
4
5
13.032
174.227
5
8
24.761
653.718
6
13
47.046
2406.962
7
29
89.387
8778.5282
8
49
169.836
31860.465
9
86
322.688
115338.348
10
165
613.107
416985.314
Dari Tabel 1 dapat dilihat banyaknya individu baru yang tertular penyakit
influenza serta perubahan rata-rata dan variansi di setiap generasi. Banyaknya
individu yang tertular influenza dari generasi ke generasi mengalami peningkatan.
5. KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan.
Nur Alfiani Santoso
7
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
(1) Proses percabangan untuk mengetahui banyaknya individu pada generasi
tertentu dituliskan pada persamaan (4.1) dan jumlah seluruh individu
baru sampai generasi tertentu dituliskan pada persamaan (4.2).
(2) Penerapan dengan nilai parameter yang mengacu pada Longini [4] mengenai penyebaran penyakit influenza merupakan proses percabangan menggunakan fungsi pembangit probabilitas pada distribusi Poisson dengan
banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza mengalami peningkatan dalam setiap peningkatan generasi artinya kesuksesan penyebaran penyakit influenza cukup besar.
Daftar Pustaka
[1] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddla River, N.J., 2003.
[2] Bain, L. J. and M. Engelhardt., Introduction to Probability and Mathematical statistics,
Duxbury, 1992.
[3] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Eugene Higgins
Professor of Mathematics, Princenton University, 1950.
[4] Longini, I. M.,M. E. Halloran, A. Nizam and Y. Yang, Containing Pandemic Influenza
with Antiviral Agents, American Journal of Epidemilogy 159 (2004), 625-626.
[5] Reluga, T. C., Branching Process and Noncommuting Random Variables in Population
Biology, Canadian Applied Mathematics Quarterly 17 (2009), 394-395.
[6] Taylor, Howard. M. and S. Karlin, An Introduction to Stochastic Modelling : revised edition, United States of America, 1994.
[7] Walpole, R. E., R. H. Myers, S. L. Myers, and K. Ye, Probability Statistics for Engineers
Scientist, Pearson, 2011.
Nur Alfiani Santoso
8
2016
Nur Alfiani Santoso, Respatiwulan, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Proses percabangan merupakan suatu proses stokastik dimana setiap individu bereproduksi secara random dan tidak terkait dengan interaksi antar individu yang lain. Pada proses percabangan hanya terdapat satu individu sebagai induk pada waktu ke-0 dengan banyaknya individu baru yang lahir sebagai variabel
random. Banyaknya individu baru yang lahir dapat memenuhi karakteristik suatu
distribusi tertentu, salah satunya distribusi Poisson yang merupakan pengembangan
dari distribusi binomial dengan probabilitas sukses p kecil dan banyak populasi N besar. Proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit salah satunya fungsi
pembangkit probabilitas (p.g.f ) dari distribusi tertentu. Tujuan penelitian ini adalah
menurunkan ulang dan menerapkan proses percabangan menggunakan fungsi pembangkit probabilitas pada distribusi Poisson. Pada proses percabangan menggunakan
fungsi pembangkit dapat ditentukan nilai rata-rata dan nilai variansi untuk mengetahui bagaimana pola pemusatan dan pola penyebaran dari banyaknya individu baru
yang lahir. Nilai rata-rata dan variansi terbagi menjadi dua kategori yaitu untuk
setiap individu dan untuk setiap genarasi. Dari penerapan diperoleh nilai banyaknya
individu baru yang meningkat setiap kenaikan waktu sehingga kesuksesan penyebaran
penyakit influenza tinggi.
Kata kunci : proses percabangan, distribusi Poisson, rata-rata, variansi
1. PENDAHULUAN
Kesehatan manusia dapat terganggu apabila terinfeksi penyakit. Penyakit
terbagi menjadi penyakit menular dan penyakit tidak menular. Pada penyebaran penyakit menular proses penyebarannya perlu diketahui oleh masyarakat
agar dapat dilakukan pencegahan. Matematika dapat digunakan sebagai sarana
mengetahui bagaimana pola penyebaran penyakit menular menggunakan proses
percabangan. Proses percabangan adalah suatu proses stokastik dimana setiap
individu bereproduksi secara random dan tidak terikat dengan interaksi antar
individu yang lain. Feller [3] menyatakan bahwa salah satu contoh proses percabangan adalah mutasi genetik. Dalam setiap gen yang dibawa oleh makhluk
hidup terdapat kemungkingan untuk muncul kembali pada keturunannya, melalui
beberapa tahap penghapusan dan penambahan yang terjadi dalam selang waktu
tertentu.
Setiap individu keturunan dalam proses mutasi genetik memiliki dua kemungkinan sifat genetik yaitu mengalami mutasi genetik dan tidak mengalami
1
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
mutasi genetik. Menurut Walpole [7] distribusi probabilitas dengan dua kemungkinan hasil dari n percobaan dinamakan distribusi binomial. Pada kejadian
binomial dengan percobaan n besar dan probabilias sukses p kecil kondisi mulai mengikuti karakteristik distribusi Poisson. Salah satu karakteristik distribusi
Poisson yaitu banyaknya hasil percobaan terjadi pada interval waktu tertentu
dan tidak saling bergantung, dengan probabilitas sukses p kecil memungkinkan
nilainya mendekati 0. Hal ini diperjelas oleh Bain dan Engelhardt [2] yang menyatakan bahwa distribusi Poisson merupakan pengembangan dari distribusi binomial dengan jumlah percobaan n besar dan nilai probabilitas sukses p kecil, oleh
karena itu distribusi Poisson digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu
kejadian dalam selang waktu tertentu. Dalam suatu distribusi dapat ditentukan
beberapa fungsi pembangkit.
Menurut Reluga [5], fungsi pembangkit memiliki peran yang penting karena secara tidak langsung merangkum dasar-dasar pengurutan dan operasi pencarian untuk menyederhanakan bahasa matematika. Dalam mempelajari proses
percabangan digunakan fungsi pembangkit probabilitas (p.g.f ) selanjutnya dicari nilai rata-rata dan variansi dari p.g.f untuk mengetahui bagaimana pola
pemusatan dan pola penyebaran data. Untuk mempermudah pengamatan, proses percabangan dengan fungsi pembangkit probabilitas pada distribusi Poisson
diterapkan pada penyakit influenza.
2. PROSES PERCABANGAN
Menurut Taylor dan Karlin [6], untuk mempertahankan keturunannya suatu makhluk hidup memproduksi keturunan dengan jumlah yang random, misal
banyaknya keturunan berupa variabel random ξ dengan distribusi probabilitas
P r{ξ = k} = pk untuk k = 0, 1, 2, . . .,
∑
dengan nilai pk ≥ 0 dan ∞
k=0 pk =1.
Diasumsikan setiap individu lahir tidak bergantung antar individu yang lain
dan memiliki waktu hidup yang sama. Banyaknya keturunan pada generasi ke-n
disebut dengan Xn . Pada proses menentukan banyaknya keturunan pada generasi
ke-n menggunakan konsep percabangan. Asumsi penting yang digunakan dalam
proses percabangan menurut Allen [1] adalah
(1) probabilitas individu memiliki keturunan (p) bernilai sama untuk setiap
individu,
(2) setiap individu menghasilkan keturunan secara independen,
(3) proses dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke 0.
Nur Alfiani Santoso
2
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
Proses percabangan merupakan suatu karakteristik rantai Markov sehingga karakteristik tersebut dapat diterapkan untuk mengetahui jumlah keturunan
pada generasi ke-n + 1 yaitu
(n)
(n)
(n)
Xn+1 = ξ1 + ξ2 + . . . + ξXn .
Misalkan Z(t) merupakan banyaknya seluruh keturunan pada waktu t dengan proses kelahiran berasal dari satu induk sehingga asumsi proses percabangan
saat t=0 terpenuhi. Individu yang berperan sebagai induk memiliki rentang hidup
yang diasumsikan sebagai variabel random τ dan jumlah keturunan yang lahir
pada generasi ke-n adalah Xn . Selanjutnya, banyaknya keturunan yang lahir pada waktu t adalah jumlahan dari individu yang berada pada proses selanjutnya
t ≥ τ . Untuk setiap keturunan lahir pada waktu t dituliskan
{ ∑
Xn
(i)
n≥τ
i=1 X
Z(t) =
1,
n < τ.
3. PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON
Proses percabangan dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke-0 yang
kemudian disebut induk. Variabel random yang digunakan adalah banyaknya
keturunan dari induk, banyaknya seluruh keturunan pada waktu ke-t dinotasikan
dengan Z(t), nilainya dapat diperoleh dari akumulasi nilai Xn dimana Xn adalah
banyaknya keturunan pada generasi ke-n, nilai Xn merupakan akumulasi dari ni(n)
(n)
lai ξXn dengan ξXn adalah banyaknya keturunan dari satu individu pada generasi
ke-n. Jika pola banyaknya keturunan dari induk mengikuti karakteristik suatu
distribusi maka proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit probabilitas.
Menurut Allen [1] fungsi pembangkit probabilitas (p.g.f ) dari suatu variabel
random ξ adalah fungsi gabungan himpunan bilangan real dengan notasi Pξ yang
didefinisikan dengan
∞
∑
ξ
Pξ (t) = E(t ) =
pk tk ,
(3.1)
k=0
untuk nilai t ∈ R.
Distribusi Poisson merupakan salah satu distribusi bersifat diskret pengembangan dari distribusi binomial dengan fungsi distribusi probabilitas (p.d.f.) dari
distribusi Poisson adalah
f (x) =
Nur Alfiani Santoso
λx e−λ
,
x!
x = 0, 1, 2, . . .,
3
(3.2)
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
dengan λ=rata-rata distribusi. Nilai p.g.f dari distribusi Poisson dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) ke dalam persamaan (3.1). Nilai p.g.f dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dan variansi dari
∑
banyaknya hasil proses percabangan, jika ∞
k=0 pk = 1. Nilai rata-rata dan variansi ξn yang memenuhi adalah
µξ = E(ξ) =
∞
∑
(3.3)
kpk ,
k=0
dan
σξ2 = E[(ξ − µξ)2 ] =
∞
∑
k 2 pk − µ2ξ .
(3.4)
k=0
Pada generasi ke-n nilai rata-rata dan variansi dari ξn didefinisikan sebagai
µn = E(ξXn ) = µn untuk n = 0, 1, 2, . . .,
dan
σn2
=
{
σ 2 µn−1 (µn −1)
,
µ−1
2
nσ ,
µ ̸= 1
µ = 1.
(3.5)
(3.6)
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Proses Percabangan pada Distribusi Poisson.
Proses percabangan
adalah suatu proses stokastik dimana setiap individu bereproduksi secara random
dan tidak terkait dengan interaksi antar individu yang lain. Menurut Taylor dan
Karlin [6], seluruh makhluk hidup perlu mempertahankan keturunan dengan cara
bereproduksi, misal banyaknya keturunan yang lahir merupakan variabel random
ξ. Diasumsikan setiap individu lahir tidak bergantung antar individu yang lain
dan memiliki waktu hidup yang sama. Banyaknya keturunan pada generasi ken disebut Xn . Karakteristik proses stokastik dapat terlihat dengan jelas pada
variabel random banyaknya keturunan yang lahir ξ yang bergantung pada waktu,
sehingga karakteristik rantai markov dapat diterapkan untuk mengetahui jumalah
keturunan yang lahir pada generasi ke-n + 1 di tampilkan dalam persamaan
(n)
(n)
(n)
Xn+1 = ξ1 + ξ2 + . . . + ξXn ,
(4.1)
(n)
dengan ξ1 adalah banyaknya keturunan yang lahir dari individu 1 pada generasi
ke-n. Jumlah keturunan yang lahir pada generasi ke-n + 1 merupakan jumlahan
dari banyaknya keturunan yang lahir dari individu ke-1 sampai individu ke-Xn
pada generasi ke-n. Jumlah seluruh keturunan yang lahir sampai generasi ke-n
dinyatakan dengan Zn dan ditampilkan pada persamaan
{ ∑
Xn
(i)
n≥τ
i=1 X
(4.2)
Z(t) =
1,
n < τ.
Nur Alfiani Santoso
4
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
Feller [3] menjelaskan beberapa contoh penerapan proses percabangan yang
dapat diterapkan dalam kehidupan, dari beberapa contoh yang dijelaskan dapat diketahui bahwa banyaknya keturunan yang lahir tiap satuan waktu dapat mendekati karakteristik suatu distribusi tertentu, salah satu distribusi yang
banyak ditemukan dalam kehidupan adalah distribusi Poisson. Distribusi Poisson adalah distribusi bersifat diskret yang merupakan pengembangan dari distribusi binomial. Fungsi densitas probabilitas (p.d.f ) dari distribusi Poisson ditunjukkan pada persamaan (3.2). Untuk mengetahui pola pemusatan dan pola
penyebaran banyaknya individu lahir dapat digunakan p.g.f distribusi Poisson.
Nilai p.g.f diperoleh dengan subtitusi persamaan (3.2) dalam persamaan (3.1)
sehingga diperoleh
ξ
Pξ (t) = E[t ] =
∞
∑
pk t k
k=0
= e−λ(1−t) .
Nilai rata-rata dan variansi dapat ditentukan menggunakan nilai p.g.f ,
menggunakan persamaan (3.3) untuk rata-rata dan persamaan (3.4) untuk variansi.
Nilai rata-rata
µξ = E(ξ) =
∞
∑
kpk
k=0
= λ,
nilai Variansi
σξ2 = E[ξ 2 ] − E[ξ]2 = λ.
Selain mengetahui nilai p.g.f , rata-rata dan variansi dari ξ dapat pula dicari nilai p.g.f , rata-rata dan variansi dari Xn yang merupakan jumlahan dari
banyaknya keturunan baru yang lahir dari setiap individu pertama sampai individu ke-n − 1 menggunkan nilai p.g.f , rata-rata dan variansi dari ξ. Nilai p.g.f
Pn (t) = P [P [· · · [P (t)] · · · ]]
= e−λ+λPn−1 ,
rata-rata pada generasi ke-n dicari menggunakan persamaan (3.5)
µn = E(ξXn ) = µn = λn ,
Nur Alfiani Santoso
5
(4.3)
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
variansi pada generasi ke-n dicari menggunakan persamaan (3.6)
{ 2n n
λ −λ
, λ ̸= 1
2
λ−1
σn =
nλ,
λ = 1.
(4.4)
4.2. Penerapan.
Pada penerapan ini data penyebaran penyakit influenza
yang digunakan mengacu pada Longini et.al [4] dengan banyaknya populasi N =
2000 individu yang berada pada kawasan tertentu dan memiliki kemungkinan tertular influenza dengan nilai rata-rata penularan λ = 1.9. Waktu yang dibutuhkan
untuk penyebaran virus influenza t = 4 hari. Data penyebaran penyakit influenza
berkarakteristik distribusi Poisson dengan p adalah probabilitas seorang individu
tertular penyakit influenza sebesar 0.5. Pada penelitian ini dicari banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza, ukuran populasi yang diwakili oleh
rata-rata dan variansi, diambil sampel sampai generasi ke-10. Dengan bantuan software Mathematica 8.0 diperoleh banyaknya individu baru yang terbentuk
dari satu individu induk untuk data berdistribusi Poisson, diambil sampel gambar
pada pada generasi ke-1, 5, dan 10 yang disajikan dalam Gambar 1.
Gambar 1. Banyaknya individu pada (a) generasi ke-1, (b) generasi ke-5 dan,
(c) generasi ke-10 dari proses percabangan penyebaran penyakit influenza
Nur Alfiani Santoso
6
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
Dari Gambar 1 (a) banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza
dalam kurun waktu 4 hari sebanyak satu individu. Pada Gambar 1 (b) banyaknya
individu baru yang tertular penyakit influenza pada generasi ke-5 dari satu induk
dengan waktu setiap generasi 4 hari atau 20 hari kemudian sebanyak 8 individu.
Pada Gambar 1 (c) banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza
pada generasi ke-10 dari satu individu induk dengan waktu setiap generasi 4 hari
atau 40 hari kemudian sebanyak 165 individu. Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa
banyaknya individu baru yang tertular di setiap generasi mengalami peningkatan.
Ukuran populasi dari data penyebaran penyakit influenza yang diterapkan
dalam proses percabangan perlu diketahui agar dapat dilakukan analisis. Ukuran populasi dapat diwakili dengan rata-rata dan variansi dari data. Nilai ratarata dan variansi dapat dicari menggunakan p.g.f dari distribusi Poisson sesuai
persamaan 4.3 dan 4.4. Data banyaknya individu baru yang tertular penyakit
influenza, rata-rata dan variansi sampai generasi ke-10 ditampilkan pada Tabel
1.
Tabel 1. Data banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza, rata-rata dan
variansi
Generasi ke- Banyaknya Individu Rata-Rata
Variansi
1
1
1.9
1.9
2
2
3.61
10.469
3
2
6.859
44.652
4
5
13.032
174.227
5
8
24.761
653.718
6
13
47.046
2406.962
7
29
89.387
8778.5282
8
49
169.836
31860.465
9
86
322.688
115338.348
10
165
613.107
416985.314
Dari Tabel 1 dapat dilihat banyaknya individu baru yang tertular penyakit
influenza serta perubahan rata-rata dan variansi di setiap generasi. Banyaknya
individu yang tertular influenza dari generasi ke generasi mengalami peningkatan.
5. KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan.
Nur Alfiani Santoso
7
2016
Proses Percabangan pada Distribusi Poisson . . .
(1) Proses percabangan untuk mengetahui banyaknya individu pada generasi
tertentu dituliskan pada persamaan (4.1) dan jumlah seluruh individu
baru sampai generasi tertentu dituliskan pada persamaan (4.2).
(2) Penerapan dengan nilai parameter yang mengacu pada Longini [4] mengenai penyebaran penyakit influenza merupakan proses percabangan menggunakan fungsi pembangit probabilitas pada distribusi Poisson dengan
banyaknya individu baru yang tertular penyakit influenza mengalami peningkatan dalam setiap peningkatan generasi artinya kesuksesan penyebaran penyakit influenza cukup besar.
Daftar Pustaka
[1] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddla River, N.J., 2003.
[2] Bain, L. J. and M. Engelhardt., Introduction to Probability and Mathematical statistics,
Duxbury, 1992.
[3] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Eugene Higgins
Professor of Mathematics, Princenton University, 1950.
[4] Longini, I. M.,M. E. Halloran, A. Nizam and Y. Yang, Containing Pandemic Influenza
with Antiviral Agents, American Journal of Epidemilogy 159 (2004), 625-626.
[5] Reluga, T. C., Branching Process and Noncommuting Random Variables in Population
Biology, Canadian Applied Mathematics Quarterly 17 (2009), 394-395.
[6] Taylor, Howard. M. and S. Karlin, An Introduction to Stochastic Modelling : revised edition, United States of America, 1994.
[7] Walpole, R. E., R. H. Myers, S. L. Myers, and K. Ye, Probability Statistics for Engineers
Scientist, Pearson, 2011.
Nur Alfiani Santoso
8
2016