APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA MASALAH PENJADWALAN PENGOPERASIAN BUS BATIK SOLO TRANS (BST) KORIDOR SATU DI SURAKARTA.

ii

ABSTRAK
Dwi Setiawan, 2016. APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA MASALAH
PENJADWALAN PENGOPERASIAN BUS BATIK SOLO TRANS (BST) KORIDOR SATU DI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam. Universitas Sebelas Maret.
Aljabar maks-plus merupakan cabang ilmu matematika bidang aljabar. Aljabar maks-plus dinotasikan dengan Rmax yang merupakan himpunan dari Rϵ =
R∪{ϵ = −∞} dengan dua operasi biner yaitu maksimum yang dinotasikan ⊕ dan
penjumlahan yang dinotasikan ⊗. Aljabar maks-plus dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan
tersebut diantaranya, masalah sistem produksi, sistem transportasi, dan sistem
penjadwalan. Contoh yang disebutkan merupakan contoh dari discrete event system (DES). Suatu DES dapat diselesaikan dengan sistem linier maks-plus waktu
invarian.
Tujuan dari penelitian ini adalah mengaplikasikan aljabar maks-plus pada
masalah penjadwalan. Penjadwalan yang dimaksud adalah jadwal pengoperasian bus BST koridor satu di Surakarta dengan menentukan waktu keberangkatan
dari setiap shelter. Dalam penelitian ini ditentukan jadwal keberangkatan bus
BST dari dua model yang berbeda, yaitu model yang mengabaikan lampu merah
(model bus priority) dan model yang memperhatikan lampu merah (model bus reguler). Dalam pembuatan jadwal, secara umum dilakukan dengan menyelesaikan
sistem persamaan linier
v(k + 1) = A ⊗ v(k).
Dengan v(k) merupakan keberangkatan ke-(k) dan A merupakan matriks yang
elemennya berupa waktu tempuh bus antar shelter. Selanjutnya menentukan nilai

eigen dan vektor eigen dari matriks A. Dari nilai eigen dan barisan vektor eigen
diperoleh jadwal keberangkatan bus BST dari setiap shelter. Nilai eigen yang
dihasilkan merepresentasikan periode keberangkatan bus dengan nilai eigen model
bus priority adalah 13.2 menit dan model bus reguler adalah 17.733 menit. Jadwal
keberangkatan BST secara periodik berdasarkan persamaan v(k + 1) = λ ⊗ v(k),
dengan λ merupakan nilai eigen dari masing-masing model.
Kata kunci: aljabar max-plus, BST, bus, nilai eigen, penjadwalan, shelter, dan
vektor eigen.

iii

ABSTRACT
Dwi Setiawan. 2016. APPLICATIONS OF MAX-PLUS ALGEBRA ON
THE SCHEDULING PROBLEMS OPERATION OF THE FIRST CORRIDOR
BATIK SOLO TRANS (BST) IN SURAKARTA. Faculty of Mathematics and
Natural Sciences. Sebelas Maret University.
The max-plus algebra is a branch of mathematical sciences field of algebra.
The max-plus algebra is denoted by Rmax sets of Rϵ = R ∪ {ϵ = −∞} with
two binary operations, there are maximum dentoted by ⊕ and addition denoted
by ⊗. Max-plus algebra is appropiately to solve live problems. Those problems

include the problems of production system, transportation system, and scheduling
system. The examples of that are examples of discrete event system (DES). A
DES can be solved with a system of max-plus linear invariant time.
The purpose of this research is to apply the max-plus algebra in scheduling
problems. Scheduling in question is operating schedules of the first corridor BST
in Surakarta to determine the time of departure for each shelter. In this research
the schedule of BST departure is determined by two different models. There are
bus priority model and regular bus model. The schedule of manufacture was done
by complete the linear equation system
v(k + 1) = A ⊗ v(k),
with v(k) is a departure to-k and A is a matrix element in the form of travel time
bus between the shelter. Furthermore determine the eigenvalues and eigenvectors
of matrix A. Base on eigenvalues and rows of eigenvectors were obtained schedule
of BST for each shelter. The result of eigenvalues represent the period of bus
departure, with eigenvalues bus priority model is 13.2 minutes and regular bus
model is 17.733 minutes. Departures of BST periodically based on the equation
v(k + 1) = λ ⊗ v(k), with λ is the eigenvalues of each model.
Keywords: max-plus algebra, BST, bus, eigenvalue, scheduling, eigenvector.

iv

MOTO

If you believe, nothing is impossible
(Penulis)

Change your habbit or Habbit will be change you
(Penulis)

Alon-alon waton kelakon
(Falsafah Jawa)

Hasil tidak akan mengkhianati usaha
(Penulis)

Niat, usaha, dan doa
satu paket menuju keberhasilan yang tidak bisa terpisahkan
(Penulis)

v

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan untuk

Ibuku Sumiyem dan bapakku Suparman yang senantiasa mendoakan dan
memberikan kasih sayangnya selama ini

Kakak dan Adik-adiku si Kembar (Alex Nugroho dan Adi Mustofa) yang
senantiasa memberikan motivasi serta memberikan waktu bercandanya
disela-sela pennyusunan karya ini

Om, Bude dan Bulik terimakasih atas bantuan dan doa-doanya

Teman-teman matematika 2011 terimakasih untuk empat tahun terakhir ini
yang telah membuat cerita dalam perjalananku hingga terselesaikanya karya ini

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada
1. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan materi dan penulisan dalam skripsi ini,
2. Dr. Sutanto, S.Si., DEA sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, saran, dan masukan dalam penulisan skripsi ini, dan
3. teman-teman matematika 2011 serta semua pihak yang tidak dapat penulis
sebutkan satu persatu yang telah membantu penulis dalam penulisan karya
ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat.

Surakarta, Januari 2016

Penulis

vii

DAFTAR ISI

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

ABSTRACT

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

I

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2.1

Batik Solo Trans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Struktur Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.3

Teori Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.4

Discrete Event System (DES) . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.5

Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.6

Matriks dalam Rmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

viii

2.3

2.2.7

Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI) . . . . .

13

2.2.8

Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

III METODE PENELITIAN

17

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

18

4.1

Kondisi Pengoperasian BST di Lapangan . . . . . . . . . . . . . .

18

4.2

Model Aljabar Maks-Plus Pada Masalah Penjadwalan BST . . . .

20

4.3

Jadwal Pengoperasian BST

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.3.1

Kendala (Lampu Merah) Diabaikan . . . . . . . . . . . . .

29

4.3.2

Pengoperasian BST dengan Kendala Diperhatikan . . . . .

36

V PENUTUP

41

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

DAFTAR PUSTAKA

43

LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

45

DAFTAR TABEL

2.1

Lama bus BST berhenti di shelter . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.1

Waktu tempuh perjalanan bus BST . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.2

Pemisalan shelter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4.3

Jadwal keberangkatan BST 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.4

Jadwal keberangkatan BST 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.1

Jadwal keberangkatan BST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.2

Jadwal keberangkatan bus BST model bus priority

. . . . . . . .

48

5.3

Jadwal keberangkatan bus BST model bus reguler . . . . . . . . .

49

x

DAFTAR GAMBAR

2.1

Graf sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Graf berarah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

Graf berbobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.1

Rute sederhana yang dilalui BST . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.2

Jadwal Keberangkatan BST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.1

Rute yang ditempuh BST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.2

Bus BST tampak depan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.3

Bus BST tampak belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.4

Bus BST tampak samping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.5

Bus BST tampak dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

xi

NOTASI DAN SIMBOL

G

:

grup

R

:

ring

F

:

field

S

:

semiring

R

:

himpunan bilangan real

Rmax

:

aljabar maks-plus

Rϵ

:

himpunan elemen pada aljabar maks-plus yaitu R dan ϵ = − ∝

∪

:

union

+

:

operasi penjumlahan dalam aljabar biasa

×

:

operasi perkalian dalam aljabar biasa

⊕

:

operasi maksimum dalam aljabar maks-plus

⊗

:

operasi penjumlahan dalam aljabar maks-plus

m×n
Rmax

:

himpunan matriks berukuran m × n dalam aljabar maks-plus

λ

:

nilai eigen

v

:

vektor eigen

V (G)

:

himpunan vertex pada graf G

V (G)

:

himpunan edge pada graf G

xii

BAB I
PENDAHULUAN
1.1

Latar Belakang

Aljabar maks-plus merupakan cabang dari ilmu matematika bidang aljabar.
Struktur aljabar maks-plus mengacu pada struktur aljabar secara umum. Dalam
aljabar operasi yang digunakan secara umum adalah penjumlahan (+) dan perkalian (×). Menurut Muchlisah [9, 10] dan Hungerford [7] suatu himpunan tak
kosong yang dilengkapi dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian akan
membentuk suatu ring(R) jika merupakan suatu grup komutatif terhadap penjumlahan dan bersifat asosiatif terhadap perkalian serta bersifat distributif terhadap penjumlahan dan perkalian. Suatu ring(R) dapat membentuk suatu field (F)
atau lapangan jika merupakan division ring yang bersifat komutatif. Menurut
Rudhito [11] struktur dari aljabar maks-plus adalah semifield idempoten yang
dinotasikan sebagai Rmax . Aljabar maks-plus (Rmax ) merupakan himpunan dari
Rϵ = R ∪ {ϵ = −∞} dengan dua operasi biner yaitu maksimum yang dinotasikan
⊕ dan penjumlahan yang dinotasikan ⊗.
Aljabar maks-plus dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan tersebut diantaranya, masalah sistem manufaktur fleksibel, jaringan telekomunikasi, sistem proses paralel,
sistem traffic control, dan sistem logistik [14]. Contoh yang disebutkan merupakan contoh dari discrete event system (DES). Suatu sistem dikatakan DES
apabila sistem tersebut akan bekerja pada suatu komponen jika telah selesai dari
komponen sebelumnya. Menurut Schutter [12] beberapa klasifikasi masalah yang
termasuk ke dalam DES dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem linier
maks-plus waktu invarian (SLMI). Menurut Heidergot [6] SLMI dibedakan menjadi dua, yaitu SLMI yang mempunyai jadwal keberangkatan khusus dan SLMI
1

yang tidak memiliki jadwal keberangkatan khusus. SLMI yang tidak memiliki
jadwal keberangkatan khusus disebut SLMI autonomous.
Aljabar maks-plus juga dapat diaplikasikan dalam masalah penjadwalan [1,
17, 18]. Sebagai contoh aplikasi penjadwalan dalam bidang transportasi publik.
Transportasi publik merupakan sistem transportasi yang disediakan pemerintah
untuk masyarakat umum. Salah satu contohnya adalah transportasi publik di
kota Solo yaitu Batik Solo Trans (BST). Keberadaan BST diharapkan dapat
membantu masyarakat dalam beraktivitas sehari-hari. Dengan adanya aktivitas
masyarakat yang beragam tentu saja kebutuhan akan transportasi dengan BST
juga beragam. Sehingga diperlukan adanya jadwal dalam pengoperasian BST
agar semua kebutuhan masyarakat terpenuhi. Dalam pembuatan jadwal, kondisi
lapangan merupakan satu hal yang sangat perlu diperhatikan.
Kondisi lapangan yang perlu diperhatikan dalam masalah penjadwalan ini
adalah rute yang akan dilalui serta tempat pemberhentian bus (shelter ) yang
disinggahi BST sementara dan waktu tempuh antar shelter. Data tersebut akan
direpresentasikan ke dalam bentuk graf berarah dengan vertex-vertexnya adalah
shelter pilihan dan jarak antar shelter sebagai edge serta waktu tempuh antar
shelter sebagai bobot dari edge. Selanjutnya, graf tersebut diubah ke dalam
bentuk matriks dan diselesaikan dengan menggunakan SLMI. Pada sistem linier
maks-plus waktu invarian akan diperoleh nilai eigen dan vektor eigen sebagai
hasil akhir dari penelitian ini. Nilai eigen dan vektor eigen tersebut selanjutnya
direpresentasikan dalam masalah penjadwalan.
Penelitian ini mengacu pada Anderson [1], Vries [17], dan Winarni [18] yang
menerapkan aplikasi aljabar maks-plus pada masalah penjadwalan keberangkatan
pesawat disuatu bandara, keberangkatan kereta api dan keberangkatan bus. Aplikasi tersebut selanjutnya diaplikasikan untuk masalah penjadwalan pengoperasian bus BST di Surakarta dengan menyesuaikan keadaan lapangan di Surakarta.
Penjadwalan yang dimaksud dalam hal ini adalah waktu keberangkatan bus di
setiap shelter.

2

1.2

Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, didapat rumusan masalah yaitu bagaimana mengaplikasikan aljabar maks-plus pada masalah penjadwalan pengoperasian BST koridor satu di Surakarta.

1.3

Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah dapat mengaplikasikan aplikasi aljabar
maks-plus pada masalah penjadwalan pengoperasian BST koridor satu di Surakarta dengan menentukan waktu keberangkatan dari setiap shelter dalam model
aljabar maks-plus.

1.4

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini dibagi menjadi dua, yaitu manfaat teoritis dan
manfaat praktis.
1. Manfaat Teoritis
Manfaat teoritis dari penelitian ini dapat memberikan wawasan yang lebih
luas tentang aljabar maks-plus khususnya pada masalah nilai eigen dan
vektor eigen.
2. Manfaat Praktis
Manfaat praktis dari penelitian ini dapat memberikan wawasan tentang
aplikasi aljabar maks-plus. Penelitian ini difokuskan pada aplikasi aljabar maks-plus tentang masalah penjadwalan keberangkatan bus BST di
Surakarta. Hal serupa juga dapat dikerjakan pada masalah penjadwalan
keberangkatan dan kedatangan kereta api di stasiun, penjadwalan keberangkatan dan kedatangan pesawat di suatu bandara serta masalah sistem
produksi.

3