PENERAPAN ALJABAR MAKS-PLUS PADA PENJADWALAN SISTEM PRODUKSI HARIAN UMUM SOLOPOS DI PT. SOLO GRAFIKA UTAMA.

ABSTRAK
Arif Muntohar, 2016. PENERAPAN ALJABAR MAKS-PLUS PADA
PENJADWALAN SISTEM PRODUKSI HARIAN UMUM SOLOPOS DI
PT. SOLO GRAFIKA UTAMA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Sistem produksi merupakan contoh dari sistem kejadian diskret (SKD). Karakteristik dari SKD adalah dinamika berjalan yang berarti bahwa proses operasi
dapat dimulai setelah semua proses sebelumnya terselesaikan. Dalam menyelesaikan permasalahan SKD dapat menggunakan aljabar maks-plus dengan mengubah persamaan nonlinier menjadi persamaan linier. Aljabar maks-plus adalah
himpunan R ∪ {−∞} yang dilengkapi operasi maksimum (⊕) dan jumlah (⊗).
Tujuan dari penelitian ini untuk menentukan penjadwalan sistem produksi harian umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama dengan menggunakan sistem
produksi tipe serial dalam aljabar maks-plus. Dari pengamatan proses produksi harian umum Solopos, kemudian disusun persamaan sistem produksi dalam
bentuk x(k + 1) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ u(k +
⊕1) dan y(k) = C ⊗ x(k). Selanjutnya
menentukan matriks Ā, dengan Ā = A B ⊗ C. Supaya penjadwalan sistem
produksi berjalan secara periodik, ditentukan periode dan waktu awal yang baik
untuk mengawali sistem produksi, yaitu dengan menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Ā. Hasil dari penelitian ini, dapat disusun jadwal sistem
produksi harian umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama.
Kata Kunci : aljabar maks-plus, sistem produksi tipe serial, sistem penjadwalan.

iii

ABSTRACT
Arif Muntohar, 2016. APLICATION OF MAX-PLUS ALGEBRA ON

SCHEDULING PRODUCTION SYSTEMS OF SOLOPOS DAILY NEWS
IN SOLO GRAFIKA UTAMA LTD. Faculty of Mathematics and Natural
Sciences, Sebelas Maret University.
The production system is an example of a discrete event system (DES).
Characteristics of DES is the dynamics of running, which means that the process
of operation can be started after all of the previous process has completed. In
completing DES problems we can use a max-plus algebra by replacing the nonlinear
equations into linear equations. Max-plus algebra is the set of R ∪ {−∞} with
maximum operation (⊕) and plus operation (⊗). The aim of this study is to
determine the scheduling of the production system of Solopos daily news in Solo
Grafika Utama Ltd. with production system serial type in the max-plus algebra.
From the observations of Solopos daily news, we arrange equation production
system in the form x(k + 1) = A ⊗ x(k) ⊕ B
⊕⊗ u(k + 1) and y(k) = C ⊗ x(k).
Then we determine the matrix Ā, for Ā = A B ⊗ C. In order to the scheduling
production systems run periodically, we determine the period and a good start to
initiate production system, to determine the eigenvalues and eigenvectors of the
matrix Ā. In this research, we arrange schedules of production system of Solopos
daily news in Solo Grafika Utama Ltd.

Keywords : max-plus algebra, production system serial type, scheduling system.

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, ayah, kakak, dan adik saya
yang selalu menyertakan nama saya dalam setiap do’a-nya.

v

MOTO

If ”Plan A” didn’t work. Stay cool, the alphabet has
25 more letters!

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini
berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu
penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini,
2. Drs. Santoso B.W., M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan dalam penulisan skripsi ini,
3. Andika E. S. H. M., S.Si., Dwi Setiawan serta Ahmad Dimyati yang sering
berbagi ilmu mengenai aljabar maks-plus, dan
4. Raras Tri Puspitaningrum, S.Si. yang selalu mendukung dan memberi motivasi untuk segera menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Januari 2016

Penulis

vii

DAFTAR ISI

I

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRACT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2.1

Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Matriks dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.3

Graf dalam Aljabar Maks-Plus

. . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.4

Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.5

Bentuk Persamaan Sistem Produksi Sederhana . . . . . . .

8

viii

2.2.6
2.3

Bentuk Persamaan 5 Tipe Sistem Produksi . . . . . . . . .

10

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

III METODE PENELITIAN

17

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

18

4.1

4.2

Gambaran Umum PT. Solo Grafika Utama . . . . . . . . . . . . .

18

4.1.1

Sejarah Perkembangan PT. Solo Grafika Utama . . . . . .

18

4.1.2

Aspek Produksi di PT. Solo Grafika Utama . . . . . . . .

19

Penerapan Aljabar Maks-plus pada Sistem Produksi Harian Umum
Solopos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.2.1

Sistem Produksi Berita Nasional . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.2.2

Sistem Produksi Berita Soloraya . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.2.3

Sistem Produksi Berita Olahraga . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2.4

Jadwal Sistem Produksi Harian Umum Solopos . . . . . .

36

V PENUTUP

39

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

DAFTAR PUSTAKA

40

ix

DAFTAR GAMBAR

2.1

Sistem produksi sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Sistem produksi tipe serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Sistem produksi tipe assembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4

Sistem produksi tipe splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5

Sistem produksi tipe parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.6

Sistem produksi tipe flexible dengan Aktivitas Barisan Tertentu .

14

4.1

Bagan unit pemroses harian umum Solopos . . . . . . . . . . . . .

21

4.2

Sistem produksi harian umum Solopos . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.3

Sistem produksi berita Nasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.4

Sistem produksi berita Soloraya . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.5

Sistem produksi berita Olahraga . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

x

DAFTAR NOTASI

R

:

himpunan bilangan real

N∗

:

himpunan bilangan asli

N∗

:

himpunan bilangan cacah

(+)

:

operasi penjumlahan

(×)

:

operasi perkalian

⊕

:

operasi maksimum pada aljabar max-plus

⊗

:

operasi jumlah pada aljabar max-plus

ε

:

elemen identitas untuk ⊕ dengan ε = −∞

e

:

elemen identitas untuk ⊗ dengan e = 0

Rmax

:

R ∪ {ε}

Rmax

:

himpunan Rmax dilengkapi dengan operasi-operasi ⊕ dan ⊗

m×n
Rmax

:

himpunan matriks berukuran m × n dengan elemen Rmax

Ām×n

:

himpunan matriks Ā berukuran m × n dengan elemen Rmax

G

:

graf

D

:

graf berarah

V (G)

:

himpunan yang beranggotakan vertex pada graf

E(G)

:

himpunan yang beranggotakan edge atau busur pada graf

λ

:

nilai eigen dari suatu matriks Ā

v

:

vektor eigen dari suatu matriks Ā

xi

BAB I
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah

Seiring dengan perkembangan dunia industri yang semakin pesat, menarik perhatian dunia akademik untuk memodelkan, menganalisis dan mengontrol
masalah-masalah sistem yang kompleks pada dunia industri. Sebagai contoh sistem yang kompleks pada dunia industri yaitu sistem produksi, sistem penjadwalan, dan jaringan transportasi (Schutter dan Boom [16]). Sistem tersebut merupakan contoh dari sistem kejadian diskret (SKD). SKD adalah nama klasifikasi
dari masalah suatu sistem buatan manusia dengan sumber daya dan pengguna
yang terbatas untuk mencapai tujuan bersama (Subiono [17]). Salah satu karakteristik dari SKD adalah dinamika berjalan yang berarti bahwa proses operasi
dapat dimulai setelah semua proses sebelumnya terselesaikan. Pada umumnya
permasalahan SKD berbentuk persamaan nonlinier sehingga tidak mudah untuk
diselesaikan. Oleh karena itu, dalam menyelesaikan permasalahan SKD dapat
menggunakan aljabar maks-plus dengan mengubah persamaan nonlinier menjadi
persamaan linier (Schutter dan Boom [16]). Aljabar maks-plus adalah himpunan
R ∪ {−∞} yang dilengkapi operasi maksimum (⊕) dan jumlah (⊗). Sedangkan
aljabar biasa adalah himpunan bilangan real R yang dilengkapi operasi hitung
penjumlahan (+) dan perkalian (×). Schutter [15] menjelaskan bahwa terdapat
kesamaan antara aljabar maks-plus dengan aljabar biasa sehingga beberapa teori
dalam aljabar biasa juga berlaku dalam aljabar maks-plus.
Sebelumnya telah diteliti mengenai penerapan aljabar maks-plus pada sistem produksi. Pada tahun 1992, Bacceli et al. [3] menjelaskan penerapan aljabar
maks-plus pada sistem mesin produksi, namun penerapan hanya dilakukan pada
1

sistem produksi sederhana. Kemudian penerapan aljabar maks-plus pada sistem
produksi sederhana diterapkan oleh Kharisma [9], Kuswanto [10], dan Rafflesia
[13]. Pada tahun 1996, Schutter [15] meneliti tentang penerapan aplikasi aljabar
maks-plus pada sistem produksi sederhana yang dapat dikembangkan menjadi 5
tipe sistem produksi yaitu sistem produksi tipe serial, assembly, splitting, parallel,
dan flexible dengan aktivitas barisan tertentu.
Dalam penelitian ini dilakukan pengamatan proses produksi untuk tiap-tiap
unit pemroses pada sistem produksi harian umum Solopos di PT. Solo Grafika
Utama. Harian umum Solopos merupakan salah satu harian umum terpopuler di
Kota Solo, hal ini terbukti dengan masih beredarnya harian umum Solopos sejak
terbit untuk pertama kali pada 19 September 1997. Harian umum Solopos menyajikan 3 macam berita, yakni berita tentang Soloraya, Nasional dan Olahraga
yang cukup diminati juga oleh masyarakat di luar Kota Solo. Untuk proses percetakan dan penerbitan harian umum Solopos dilakukan oleh anak perusahaan,
yakni PT. Solo Grafika Utama. Proses produksi harian umum Solopos di PT.
Solo Grafika Utama, setiap unit pemroses memiliki rangkaian yang dihubungkan
secara seri. Berdasarkan hasil pengamatan, dapat diterapkan sistem produksi
tipe serial yang dijelaskan oleh Schutter [15] pada sistem produksi di PT. Solo Grafika Utama. Selanjutnya, pada penelitian ini diteliti mengenai penerapan
aljabar maks-plus pada penjadwalan sistem produksi harian umum Solopos di
PT. Solo Grafika Utama.

1.2

Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, dapat dirumuskan suatu masalah yaitu bagaimana menentukan penjadwalan sistem produksi harian umum Solopos di PT. Solo
Grafika Utama dengan menggunakan sistem produksi tipe serial dalam aljabar
maks-plus ?

2

1.3

Tujuan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah dapat menentukan penjadwalan sistem produksi harian umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama dengan
menggunakan sistem produksi tipe serial dalam aljabar maks-plus.

1.4

Manfaat

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini, diharapkan dengan menerapkan hasil penjadwalan ini dapat mengoptimalkan waktu produksi pada sistem produksi
harian umum Solopos sehingga waktu produksi dapat digunakan secara efektif
dan efisien. Selanjutnya, hasil penulisan tugas akhir ini dapat menambah wawasan dalam perkembangan teori aljabar maks-plus, khususnya penerapan aljabar
maks-plus pada sistem produksi.

3