logika matematika dan pembuktian matemat

1
LOGIKA MATEMATIKA

Pokok-pokok bahasan
1.1
1.2

1.3
1.4
1.5
1.6
1.1

logika dan pernyataan
a. Konjungsi
b. disjungsi
c. implikasi
d. biimplikasi
negasi atau ingkara
konvers,invers dan kontraposisi
pernyataan kuantor

penarikan kesimpula
PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN

Kebenaran seuatu teori yang dikemukakan seriap ilmuan, matematikawan
maupun para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasi
mereka . untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk
mengaitkan suatu fakta atau valid. Sebagai akibatnya, logika adalah ilmu
yang sangat penting dipelajari. Di dalam mata pelajaran matematika
maupun IPA , aplikasi logika seringkali ditemukan meskipun tidak secara
formal disebut sebagai belajar logika, bagian ini akan membahas tentang
logika yang di dahului dengan pengertian penalaran, diikuti dengan
pernyataan, berakit-rakit membentuk : negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi
dan biimplikasi.
A. PENGERTIAN LOGIKA
Ada pernyataan menarik yang dikemukakan mantan presidden AS
Thomas jefferson sebagai mana dikutip copi (1978) berikut ini, “ in a
republican natio, whose citizes are to be led by reason and persuasion and
not by force, the art of reasoning becomes of first importance”

(p.vii).

pernyataan itu mnunjukan pentingnya logika, penalaran dan argumentasi
dipelajari dan dikembangkan disuatu negara sehingga setiap warga ngara
akan dapat dipimpin dengan daya nalar (otak) dan bukannya dengan
kekuatan (otak) saja. Karenanya, seperti yang dinyatakan mantan presiden
AS tadi, seni bernalar merupakan hala yang sangat penting. Di samping itu,
copi (1978) juga mngutip pendapat juliana geren pilon yang senada dengan
yang diucapkan mantan presiden AS tadi: “civilized life depends upon the
success of reason in social intercourse, the prevalence of logic over violence
in terpersonal conflict” (p.vii)
Dua pernyataan diatas telah menunjukan pentingnya penalaran
(reasoning) dan percaturan politik dan pemerintahan disuatu negara. Tidak
hanya di bidang ketatanegaraan maupun hukum saja kemampuan bernalar
itu mnjadi penting. Disaat mempelajari matematika maupun ilmu-ilmu
lainnya penalaran itu menjadi sangat penting dan menentukan. Secara
etimologis, logika berasal dari kata yunani ‘logos’ yang berarti kata ucapan
pikiran secara utuh atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (kusumah,
1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji

penurunan-peurunan kesimpilan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak

sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi saat peurunan atau
menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau
dianggap benar itu sering juga disebut dengan penalaran (reasoning).
B. PERNYATAAN
Diulai sejak ia masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit
melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Disaat berkomunikasi seseorang
harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat yang
memiliki arti atau bermakana. Kalimat adalah susunan kata-kata yang
memiliki arti yang dapat berupa

pernyataan (“pintu itu tertutup.”),

pernyataan (“apakah pintu itu tertutup?”), perintah (“tutup pintu itu!”),
ataupun permintaan(“tolong pintunya ditutup”). Dari empat macam kalimat
tersebut, hanya pernyataan saja yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak
sekaligus benar atau salah. Meskipun para ilmuan, matematika ataupun ahliahli lainn7a seringmenggunakan beberapa macam kalimat tersebut dalam
kehidupan sehari-harinya namun hanya pernyataan saja yang menjadi
perhatian mereka dalam mengembangkan ilmunya.
Setiap ilmuan matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha
untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar. Suatu

ernyataan (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar.
Karenanya, pembicaraan mengenai benar tidaknya suatu kalimat yang
memuat suatu teori telah menjadi pembicaraan dan perdebatan para ahli
filsafat

dan

logika

sejak

dahulu

kala.

Beberapa

nama

yang

patut

diperhitungkan karena telah berjasa untuk kita adalah plato (427-347),
aristoteles (384-322 SM), charles s peirce (1839-1914) dan bertrand russell
(1872-1970). Paparan berikut akan membicarakan tentang kebenaran dalam
arti bilamana disebut salah. Untuk menjelaskan tentang kriteria kebenaran
ini perhatikan dua kalimat berikut:
a. Semua manusia akan mati.
b. Jumalah sudut lingkaran adalah 360 °

Pernytaan dari dua kalimat tersebut, kalimat manakah yang bernila benar
dan manakah yang berniai salah. Pernyataan selanjutnya, mengapa kalimat
tersebut dikategorikan bernilai benar atau salah. Dan bilamana suatu
kalimat dikategorikan sebagai kalimat yang bernilai benar atau salah. Untuk
menjawab pertanyaan tersebut , suriasumantri (1988) menyatakan bahwa
ada tiga teori yang berkait dengan kriteria kebenaran ini yaitu : teori
korespondensi dan koherensi pragmatis. Namun sebagan buku hany
membicarakan duateori saja, yaitu korespondensi dan teori koherensi
sehingga pembicaraan kita hanya berkait dengan dua teori terswebut.

1. Teori korespondensi
Teori korespondensi (the correspondence of truth) menunjukan bahawa
suatu kalimat akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam
pernyataan

tersebut

sesuai

atau

cocok

dengam

keadaan

yang

sesungguhnya. Contohnya “bandung adalah ibukota provinsi jawa barat”

merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya
memang demikian. Yaitu bandung memang benar merupakan ibukota
provinsi jawa barat. Namun pernyataan “ jakarta adalah ibu kota provinsi
jawa tengah”, menurut teori ini akan bernilai salah karena hal-hal yang
terkandung didalam pernyataan itu tidak sesuai dengan kenyataannya.
Teori korespondensi adalah kalimat yang tertutup kemungkinan untuk
ditanggapi berbeda.
Contoh :

ibu kota negara indonesia adalah jakarta
Kalimat pernyataan diatas tidak mungkin salah kebenarannya,
karena sesuai dengan fakta bahwa jakarta adalah ibu kota
negara indonesia

2. Teori koherensi
Teori kohernsi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika
pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten
atau tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang
dianggap benar. Contohnya,

Pengetahuan aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang
dianggap benar. Pernyataan yang dianggap benar itu disebut aksioma atau
postulat.
Teori koherensi adalah kalimat yang terbuka kemungkinan untuk
ditanggapi berbeda.
Contoh :

teorema seperti –b + (a+b) = a dapat dibuktikan dengan cara

berikut:
-b + (a+b) = -b + (b+a)

aks 3 - komutatif

=(-b+b) + a

aks 2 - asosiatif

=0 + a

aks 6 - invers

=a

aks 5 – identitas

Aksioma

Tertutup, a+b ∈ R dan a,b ∈ R
Asosiatif, a+(b+c) = (a+b)+c dan a.(b.c) = (a.b).c
Komutatif, a+b = b+a dan a.b = b.a
Distributif, a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c).a=b.a+c.a
Identitas, a+0 = 0+a = a dan a.1 = 1.a = a
1
1
6) Invers, a+(-a)=(-a)+a=0 dan a .
=
. a=1
2
2

1)
2)
3)
4)
5)

Latihan 1.1
1. Manakah diantara kalimat berikut yang merupakan pernyataan.
aX+3=2
b.
c.
d.
e.

X+3=2 adalah suatu pernyataan.
111 adalh bilangan prima
Tadi pagi fahmi bertanya “pak guru kapan ulangan?”
2n+1= untuk n ∈ A adalah bilangan ganjil

2. andi berbohong pada hari senin, selasa, dan rabu sedangkan pada

hari-hari yang lain ia berkata benar. Teman karibnya, si badu
berbohong pada hari kamis, jumat, dan sabtu, sedangkan pada harihari yang lain ia berkata benar. Pada suatu hari, andi berkata “
kemarin adalah hari dimana saya berbohong.” Badu lalu menimpali :
“kemarin adalah hari dimana saya berbohong juga”.
a. Pada hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itu.
b. Jika mereka berdua sama-sama menyatakan bahwa hari kemarin
adalah hari di mana mereka berkata benar, pada hari-hari apakah
mereka berdua dapat menyatakan hal itu?
3. Pada suatu rumah makan , ANDI seorang SOPIR sedang duduk
mengelilingi meja berbentuk persegi dengan tiga orang temannya.
Ketiga teman Andi tersebut bekerja sebagai KLASI, PILOT, dan
MARKONIS.
Tentukan pekerjaan Budi jika: andi duduk di sebelah kiri CHANDRA,
BUDI duduk disebelah kanan kelasi dan DANI duduk berhadapan
dengan chandra bukanlah seorang pilot.
4. Ada tiga orang siswa yaitu TONI,DIDI dan HORY dientukan bahwa:

a. Toni tidak pernah berbohong. Didi kadang-kadang berbohong.
Sedangkan hory selalu berbohng
b. Mereka memakai kaos HIJAU, KUNING dan MERAH
c. Siswa yang memakai kaos kuing, menyatakan bahwa siswa yang
berkaos merah adalah hory
d. Siswa yang memakai kaos merah menyatakan bahwa dirinya
adalah didi
e. Siswa terakhir yang memakai kaos hijau , menyatakan bahwa siswa
yang berkaos merah adalah toni
Berdasarkan keterangkaan di atas , tentukan warana kaos yang
dipakai tiap siswa.

1.2

a. KONJUNGSI (Ʌ)

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan praktik
“dan, tetapi, namun” (p ʌ q) dibaca (p atau q)
contoh: “ibu akan pergi kepasar ia hanya membawa uang dan keranjang
karna nanti tidak diberi kantong untuk membawa barang-barangnya.
Pernyataan tersebut ekuivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut : “ibu
membawa uang” dan “ibu membawa keranjang”
Pernyataan
Membawa
uang

Nilai kebenaran
dan Benar

keranjang
Membawa uang saja
Membawa keranjang saja
Tidak membawa keduanya

Salah
Salah
Salah

pernyataan


Ibu membawa uang dan keranjang, ibu bisa kepasar dan membeli



keperluan yg akan di belinya dan bisa dibawa menggunakan keranjang
Ibu hanya membawa uang saja, ibu bisa membeli keperluan yg akan di
belinya, tadi dia tidak bisa membawanya karena tidak membawa



keranjang
Ibu hanya membawa keranjang saja, tidak bisa membeli apapun karna



tidak membawa uang sebagai alat tukar
Tidak membawa keduanya, tidak jadi kepasar karna tdak membawa
keduanya

Tabel kebenaran (A ʌ B)
A
B
B

B
B
S

AʌB
B
S

Tabel
inclusi
f

S
S

B
S

S
S

Dasar dari tabel kebenaran adalah teori peluang
Atau teori peluang

A

B

A= membawa uang

B
B= membawa keranjang
B
S
B
S
S
Tabel tersebut tidak berlaku untuk consol “ibu igin berbelanja ke pasar
dia ingin membeli sepatu dan sandal”
Ibu
Ibu
Ibu
Ibu

Pernyataan
membeli sepatu dan sandal
membeli sepatu
membeli sandal
tidak membeli keduaduanya

Nilai kebenaran
Benar
Benar
Benar
Salah

Pernyataan:





Ibu jadi berbelanja karena membeli dua-duanya sepatu dan sandal
Ibu jadi belanja karena karna ibu membeli membeli sepatu
Ibu jadi belanja karena ibu membeli sandal
Tidak

Tabel kebenaran
P

Q

p ⋀

B
B
S
S

B
S
B
S

q
B
B
B
S

Tabel
exclusif
Misalkan: p = membeli sepatu

q = membeli sandal
kata kuncinya “jika salah satunya benar maka bernilai benar”
tabel tersebut merupakan tabel kebenaran disjungsi, bukan konjungsi.
1.
2

b. DISJUNGSI (V)

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan peraktik
“atau” (A v B)

Contoh: “ayah menyuruh saya untuk mengambilkan segelas kopi atau
segelas teh yang akan dia minum.
Pernyataan
Jika diambilkan teh dan kopi
Jika diambilkan teh saja
Jika diambilkan kopi saja
Tidak diambilkan kedua-

Nilai kebenaran
Benar
Benar
Benar
Salah

duanya





Jika
Jika
Jika
Jika

diambilkan teh dan kopi, ayah bisa minum
diambilkan teh saja, ayah bisa minum
diambilkan kopi saja, ayah bisa minum
tidak diambilkan kedua-duanya, ayah tidak bisa minum
Tabel kebaran (p ᴠ q)

P
B
B
S
S

q
B
S
B
S

pᴠq
B
B
B
S

Disjung
si
inclusif

P=diambilkan kopi
Q=diambilkan teh
Kata kuncinya untuk disjungsi inclusif “jika semuanya salah maka
bernilai salah”

Tabel tersebut tidak berlaku untuk consol “menjual sate ayam dan sate
kambing”
P
B
B
S
S

Q
B
S
B
S

p ∨ q
S
B
B
S

Disjung
si
exclusif

X
B
B
S
S

Y
B
S
B
S

x → y
B
S
B
B

Kata kuncnya

“ jika

semuanya

benar

maka bernilai salah”
“

jika

semuanya salah maka bernilai salah”
“ jika salah satu benar maka bernilai benar”

1.2

c. IMPLIKASI ( ⟶ )

Misalkan ada dua pernyataan p dan q yang sering menjadi perhatian para
ilmuan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan
bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk
mencapai keinginannya tersebut, diletakkan kata “jika” sebelum pernyataan
pertama dan pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan
majemuk yag disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat kondisional
ayau hypothetical dengan notasi “ → ” seperti ini . (p → q)”
Contoh: “jika tidak hujan maka abang akan datang”
Pernyataan
Nilai kebenaran
Tidak hujan abang datang
Benar
Tidak
hujan
abang
tidak Salah
datang
Hujan, abang datang
Hujan, abang tidak abang
Tabel pembuktian

Benar
Benar

Contoh yang tidak sesuai “jika kambing hidup maka bernafas”
pernyataan





Jika
Jika
Jika
Jika

Kambing hidup maka ia bernafas
kambing hidup maka ia tidak bernafas
kambing mati maka ia bernafas
kambing mati maka ia tidak bernafas
pernyataan

Jika

Kambing

Nilai

hidup

kebenaran
maka Benar

bernafas
Jika kambing hidup maka ia tidak Salah
bernafas
Jika kambing

mati

maka

ia salah

bernafas
Jika kambing mati maka ia tidak Benar
bernafas
X = kambing hidup
Y = bernafas
Tabel kebenaran
X
B
B
S
S

y
B
S
B
S

x → y
B
S
S
B

Karena tabel kebenaran ini merupakan tabel biimplikasi maka tabel ini bukan
termasuk contoh implikasi

1.
2

d. BIIMPLIKASI ( ⟷ )

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua
pernyataan p dan q yang dinnotasikan dengan p ↔ q yang bernilai sama

dengan (p → q) ˄ (q → p) sehingga dapat dibaca : “p jika dan hanya jika
q” atau “p bila dan hanya bila q” tabel kebenaran dari (p ↔ q) adalah:
contoh: “ kambing hidup jika dan hanya jika bernafas”
Pernyataan
Nilai kebenarannya
kambing hidup jika dan hanya jika Benar
bernafas
kambing hidup jika dan hanya jika tidak Salah
bernafas
kambing mati

jika

dan

hanya

jika Salah

bernafas
kambing mati jika dan hanya jika tidak Benar
bernafas
Tabel kebenaran
P
B
B
S
S

Q
B
S
B
S

p ↔ q
B
S
S
B

P=kambing
Q=bernafas
Contoh yang tidak sesuai “ abang datang jika dan hanya jika tidak hujan”





Abang
Abang
Abang
Abang

datang jika dan hanya jika tidak hujan
datang jika dan hanya jika hujan
tidak datang jika dan hany jika tidak hujan
tidak datang jika dan hanya jika hujan

Pernyataan

Kebenar

Abang datang jika dan hanya jika tidak

an
Benar

hujan
Abang datang jika dan hanya jika hujan
Abang tidak datang jika dan hany jika tidak

Benar
Salah

hujan
Abang tidak datang jika dan hanya jika

Benar

hujan

P = abang datang
Q = tidak hujan
Tabel kebenaran
P
B
B
S
S

Q
B
S
B
S

p ↔ q
B
B
S
B

Tabel ini tidak sesuai dengan tabel kebenran biimplikasi , karna tabel ini
merupakan tabel implikasi

Latihan 1.2
1. Tetukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. 3+2=6 ↔ 4+2=5
b. 3+2=5 ↔ 4+2=5
c. 3+2=5 atau jakarta ibu kota diaceh.
d. Jika x2 =4 maka x=2
e. Jika x= -2 maka x2=4
B , maka x = -1
f. Jika 3x+4=2 dan x ∈
2. Jika
p: 10 habs dibagi 5
q: 8 adalah blangan prima

nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan di bawah
ini lalu tentukan nilai kebenarannya
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.

p
q
pɅq
pvq
pɅ
p → q
p ↔ q
(p v

3. jika

pɅ
pɅq
q
q)

q

→

(

p v q)

a : lisa gadis cantik dan
b : lisa gadis cerdas,

nyatakan pernyataan dibawah ini dengan menggunaka a, b dan simbolsimbol logika matematika.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
4.

Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas
Lisa gadis yang tidak cantik dan tidakcerdas
Meskipun lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas
Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas
Tidak benar bahwa lisa gadis yang cantik dan cerdas
Jika lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas
Jika lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.
a.

p→ q ↔ p

b.

p ʌ q →( q ʌ q → r ʌ q)

c.

[(

ᴠq

p → r ) ᴠ ( p → q )] ʌ r

5. Tentukan nilai kebenaran berikut
a. 3 ≤ 7 dan 4 adalah bilangan ganjil
b. 3 ≤ 7 atau 4 adalah bilangan ganjil
c. 2+1=3 atau 4 ¿ 4
d. 5 adalah bilangan ganjil atau bisa dibagi dengan 4
e. Tidak benar bahwa 2+2=5 dan 5 ¿ 7
f. Tidak benar bahwa 2+2=5 atau 5 ¿ 7
g. 3 ≥ 3
6. Misalkan p = adalah 7 bilangan genap, g = 3+1=4 dan r = 24 habis
dibagi dengan 8
a. Tuliskan simbolnya dan tetapkan nilai kebenarannya
- 3+1 ≠ 4 dan 24 habis dibagi 8

- Tidak benar bahwa 7 adalah bilangan ganjl atau 3+1=4
- 3+1=4 dan 24 tidak habis dibagi 8
b. Tuliskan kata-kata berikut dan tetapkan nilai kebenarannya
- Pv
q
(r Ʌ q)
rv
q
5. Buatlah tabel kebenaran untuk :
a.
pvq
b.
pɅq
c. (
p v q) Ʌ r
d.
(p v q)
e.
pɅ
q
f.
pv
q
g. P v
p
h.
(
p)
6. Tentukan negasinya
a. 3 - 4 ¿ 7
b. 3 + 1 =5 dan 2 ≤ 4
c. 8 habis dibagi 3 dan tidak habis dibagi 4
7. misalkan kita mendefinisikan (*) penyambung, dengan mengatakan
bahwa p * q bernilai benar hanya jika q benar dan p salah selain itu
bernilai salah
a. menuliskan tabel kebenaran untuk p*q
b. menuliskan tabel kebenaran untuk q*p
c. menuliskan tabel kebenaran untuk (p*p) *q
8. mari kita melambangkan "eksklusif atau" kadang-kadang digunakan
dalam percakapan biasa dengan ⊕. sehingga p ⊕ q akan bernilai benar
ketika tepat satu dari p, q adalah benar dan yang lainnya salah
a. tuliskan tabel kebenaran untuk p ⊕ q
b. tuliskan tabel kebenaran untuk p ⊕ p dan (p ⊕ q) ⊕ q
c. tunjukkan tabel kebenaran untuk (p Ʌ q)⊕ (p ⊕ q) adalah sama
dengan tabel kebenaran untuk p v q
d. tunjukkan bahwa tidak ada bedanya jika kita mengambil kedua
"atau" dalam "dan / atau" menjadi inklusif (v) atau eksklusif (⊕)

1.3

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan
Jika p adalah “jakarta ibu kota negara indonesia” maka negas atau

ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah

p yaitu: “jakarta

bukan ibukota negara indonesia” atau “tidak benar bahwa jakarta ibu kota
negara indonesia”
Karna contoh diatas nampak jelas bahwa p merupakan pernyataan yang
benilai benar karena jakarta pada kenyataannya memang ibu ota negara
indonesia, sehingga

p akan bernilai salah . namun jika p bernlai

salah maka

p akan bernilai benar seperti ditunjukkan oleh tabel

kebenaran dibawah ini.
P
B
S

P

Q

p
S
B

p
p

q

p
˅

ʌq
q

B
B
S
S

B
S
B
S

S
S
B
B

S
B
S
B

B
S
S
S

p

B
B
B
S

p
→

q
B
S
B
B

pʌ
↔

p ˅

pʌ

q
B
S
S
B

p

q
q
S
S
S
B

S
B
B
B

(p ˅ q) ≡

˅
q

pʌq

p
˅

q

S
B
S
S

B
B
S
B
pʌ

(p ˅ q) ≡ pʌq

q
B
S
B
B

S
S
B
S
q

(p ʌq) ≡ p ˅ q
q) ≡ p ˅ q

(pʌ

Implikasi
p ˅ q

p ˅ q)

(
pʌ

≡ p → q

q

≡ (p → q)

≡ (p → q)

biimplikasi p ↔ q
(p → q) ʌ(q → p)

≡ p ↔ q

[(p → q) ʌ(q → p)

≡ (p ↔ q)

(p → q) ˅
(pʌ

q) ˅ (q ʌ

(q → p) ≡ (p ↔ q)
p)

≡ (p ↔ q)

1. Negasi suatu konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit
“dan”
Contohnya, pernyataan adi berikut ini:
“heru makan nasi dan minum kopi”
Pernyataan tersebut ekuivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut: heru
makan nasi dan sekaligus heru minum kopi. Suatu konjungsi p˄q akan
bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q,
keduanya bernlai benar sedangkan negasi atau ingkaran suatu pernyataan
adalah pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai
salah dan bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Karena itu,
negasi dari: heru makan nasi dan minum kopi. Adalah suatu peryataan
majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari
komponen pernyataan awalnya dengan demkian, negasinya adalah heru
tidak makan nasi atau tidak minum kopi.” Sebagai mana ditunjukan tabel
kebenaran berikut :

P

Q

p˄q

B
B
S
S

B
S
B
S

B
S
S
B

p
S
S
B
B

q
S
B
S
B

p ˅ q
S
B
B
B

2. Negasisuatu disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit
“atau”
Contohnya, pernyataan adi berikut :heru makan nasi atau minum kopi.”
Suatuakhirnya, disjungsi p ˅ q akan bernilai salah hanya jika kompenenkompenennya, yaitu baik p maupun q keduanya bernilai salah, yang selain
itu akan bernilai benar. Karenanya, negasinya adalah “ heru tidak makan
nasi dan tidak minum kopi,” sebagai mana ditunjukkan tabel kebenaran
berikut :
P

Q

p ˅ q

B
B
S
S

B
S
B
S

B
B
B
S

p
S
S
B
B

q
S
B
S
B

p ˄ q
S
S
S
B

3. Negasi suatu implikasi
Perhatikan pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi:
“jika hari hujan maka heru membawa payung”
Negasi dari implikasi diatas adalah “hari hujan akan tetapi andi tidak
membawa patung”
Sehingga

(p → q) ≡ p˄

q seperti ditunjukkan tabel

kebenaran berikut ini:

P

Q

p → q
q

p ˄ q

B
B
S
S

B
S
B
S

S
B
S
B

B
S
B
B

S
B
S
S

Berdasarkan penjelasan diatas p → q ≡ [
(p˄

(p → q)] ≡

q) ≡ p˅q

4. Negasi suatu biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua
pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p ↔ q yang ekuivalen (p →
q) ˄(q → p) sehingga:
(p ↔ q)
=
=

=

[(p → q) ˄( q → p)]
p˅q) ˄(
q˅p)]
p˅q) ˅
(

[(
(

q˅p)
=

(p˄

q) ˅( q˄

Latihan 1.3
1. Tetukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
g. 3+2=6 ↔ 4+2=5
h. 3+2=5 ↔ 4+2=5
i. 3+2=5 atau jakarta ibu kota diaceh.

p)

j. Jika x2 =4 maka x=2
k. Jika x= -2 maka x2=4
B , maka x = -1
l. Jika 3x+4=2 dan x ∈
2. Jika
p: 10 habs dibagi 5
q: 8 adalah blangan prima
nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan di bawah
ini lalu tentukan nilai kebenarannya
k.
l.
m. p Ʌ q
n. p v q
o.
p.
q. p Ʌ
r. p → q
s. p ↔ q
t. (p v

p
q
pɅ
pɅq
q
q)

q

→

(

p v q)

2. buatkah negasi dari pernyataan ini
a. p →

q

b. p Ʌ q

→

c.

1.4

↔

pvq

(q Ʌ
[(

q
p

→

r Ʌ q)

→ r) v (p

→

q) Ʌ r

KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

1.3
Pengertian dan contohnya, perhatikan pernyataan ini
Jika anda menggunakan bayclin maka baju akan putih bersih
Jika tidak menggunakan bayclin maka baju anda tidak akan putih bersih
Kesimpulan
P ≡ b=menggunakan bayclin
q ≡ b=baju putih bersih

Menggunakan bayclin baju putih bersih
Menggunakan bayclin baju tidak putih bersih
Tidak menggunakna baylin baju putih bersih
Tidak menggunakan bayclin baju tidak putih

Benar
Salah
Benar
Benar

bersih

P

Q

B
B
S
S

B
S
B
S

p →

q →

p

q

q

p →

q →

S
S
B
B

S
B
S
B

q
p
B
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
B
Implikasi
invers

p
B
B
S
B
kontra

komperensi
≡
≡

Consol:
3. Jika x2=4 maka x=2
Jika ≠2 maka x2≠4 terdapat

x=-2

dimana

x≠2,

sehingga

sedangkan disitu tertera bahwa x2≠4
diatas bernilai salah
4. Jika x2=4 maka x=2 aau x=-2
Jawab:
(x2=4) (x=2˅x=-2)
( x=2˅x=-2)
(x2=4)
2
(x≠2˅ x≠-2) (x ≠4) kebenaran benar

→

x 2=4,
soal

LATIHAN 1.4
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut :
a. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada
b.
c.
d.
e.
f.

bendera tersebut.
a ¿ 0 →
a3 >¿ 0.
a ¿ 0 → ab ¿ 0.
Jika dua persegi panjang kongruen maka luasnya sama.
x ¿ 3 → x2 ¿ 9.
Jika segitiga ABC adalah segita sama sisi maka sisi-sisi segita
tersebut sama panjang.

2. Tentukan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi
dari soal diatas.
3. Cari:
a. Kontrapositif dari ¬ p → q.
b. Kebalikan dari ¬ q → p.
c. Kebalikan dari kebalikan dari q → ¬ p.
d. Para negations dari p → ¬ q.
e. Kebalikan dari ¬ p ∧ q.

4. Menunjukkan yang mana dari pernyataan berikut ini yang bernilai
benar
a. Jika 2 + 1 = 4 maka 3 + 2 = 5.
b. Merah putih jika dan hanya jika hijau biru.
c. 2 + 1 = 3 dan 3 + 1 = 5 4 menyiratkan aneh.
d. Jika 4 adalah aneh maka 5 aneh.
e. Jika 4 adalah aneh maka 5 bahkan.
f. Jika 5 adalah aneh maka 4 aneh.

1.5

PERNYATAAN BERKUANTOR

A. KALIMAT TERBUKA, PERNYATAAN DAN KUANTOR
Perhatikan tiga kalimat berikut:
(1)3+4=6 (2) x2-5x+6=0 , x ∈ A dan (3) 2x+5 ¿ 4 , x ∈ A
Tiga kalimat matematika seperti diatas dapat digunakan sebagai salah satu
alternatif untuk memulai proses pembelajaran kuantor. Hanya kalimat
pertama yang merupakan pernyataan. Kalimat kedua dan ketiga belum
dapat ditentukan niloai kebenarnnya sebelum variabel x-nya diganti dengan
salah satu anggota semesta pembicaraannya, karenanya, kalimat kedua dan
ketiga dikategorikan sebagai kalimat pembuka.
Apa yang terjadi jika terhadap suatu kalima terbuka ditambahkan katakata seperti “untuk semua/setiap x....”, beberapa/terdapat/ada x....”, dan

“tidak ada x....”, sehingga untuk kalimat terbuka kedua didapat kalimatkalimat berikut:
(1)Untuk setiap /semua bilangan Sali x, x 2-5x+6=0 (2) terdapat
bilangan aslix sedemikain sehingga x 2-5x+6=0 dan (3) tidak ada
bilangan asli x sedemikian sehingga x2-5x+6=0
Sekarng, dapatkah anda menentukan nilai kebenaran ketiga kalimat diatas?
Beberapa kata yang dikenal sebagai kuantor tersebut menunjukkan
atau terkait dengan banyaknya pengganti perubah x, yaitu semua,
beberapa, ataupun tidak ada. Sehingga didapatkan suatu pernyataan
berkuantor yang bernilai benar saja atau salah saja, wheeler (1977:23)
menyatakan “ quantifiers are most useful in rewriting assertions that cannot
be classified as true or false...so that they can be classified either as true or
false.” Ada dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal (kuantor umum) dan
kuantor eksistensial (kuantor khusus).

A. Kuantor universal
Kuantor jenis ini mempunyai lambang

∀

dan dibaca “untuk setiap”

atau “untuk semua”. Misalkan p(x) adalh suatu kalimat terbuka , pernyataan
∀ x. P(x) dibaca, “untuk setiap x berlaku p(x)” atau “untuk semua x
berlaku p(x)”, berikut ini adalah beberapa contoh pernyataan berkuantor
universal:
1. “semua artis adalah cantik. “pernyataan berkuantor universal ini
menggambarkan
adanya dua hmpunan , yaitu himpunan artiss dan himpunan orang
cantik.
Pernyataan “semua artis adalah cantik,” ini bernilai benar jika telah
ditentukan kriteria artis dari kriteria cantik serta dapat menunjukkan

bahwa setiap artis yang merupakan anggota himpunan artis adalah
cantik. Namun pernyataan berkuantor universal tadi akan benilai salah
jika dapat ditunjukkan adanya salah satu atau beberapa orang yang
dapat dikategorikan sebagai artis namun ia tidak termasuk pada kriteria
cantik. Contoh yang menunjukkan salahya suatu pernyataan berkuantor
universal ini disebut dengan counterexample atau contoh sangkalan
sebagai manadinyatakan clemes, o’daffer, dan conney (1984:49) berikut:
“A counterexample is a single example that shows a generalization to be
false”
5. Jika (px) adalah “x+4 ¿ 1” dengan x adalah peubah pada himpunan
bilangan bulat B maka ( ∀ x ∈ B) p(x) adalah ( ∀ x ∈ B) x+4 ¿ 1
dan dibaca “untuk setiap bilangan bulat x berlaku x+4 ¿ 1.” Pernyataan
ini bernilai salah, karena jika x-nya diganti dengan bilangan blat -5
misalnya akan didapat pernyataan -5+4 ¿ 1 yang bernilai salah .
6. Jikaq q(n) berarti : 2n-1 adalh bilangan prima untuk n bilangan bulat ,
maka ( ∀ n∈ B) q(n) berarti : (

∀ n∈ B) 2n-1 adalah bilangan prima, dan

dibaca: “untuk setiap bilangan bulat n berlaku 2 n-1 adalah bilangan
prima”.
Pernyataan ini bernilai salah .

Contoh
A=mahasiswa kelas 1-b

A

B=mahasiswa gemar mncontek
B

Ada mahasiswa kelas 1-b yang gemar mencontek
Semua mahasiswa yang gemar mencontek merupakan mahasiswa kelas 1-b

Kuantor : 1. Universal mencakup seluruh anggota domain { ∀ )
Bisa ditandai denga kata, semua seluruh , setiap tiap dll
2. eksistensial, mencakup sebagian anggota domain ( ∃ )
Bsa ditandai dengan kata : sebagia, beberapa, ada, nilai terdapat
dll
Contoh:
1. Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap
2. Semua laki-laki adalah buaya darat
3. ∀ x ∈ N, x2-x+41 adalah bilangan prima
4. ∃ x ∈ N ∈ n1 + n2 ∈ N
Jawab:
1. Bilangan genap dapat dinyatakan dengan 2n, n ∈ N
Sehingga 2n1+n2 = 2(2n1+n2)
Di dapat 2(2n1+n2)=2p yang merupakan bilangan genap
Kesimpulan benar
2. Bukti : bapak saya laki-laki, menurut ibu saya , bapak saya bukan
buaya darat
Kesimpulan salah
3. Bukti : ambil x=41 sehingga 412-41+41=412
Bukan merupakan bilangan prima
- Semua bilangan berpangkat jika dihitung hasilnya bukan bilangan
prima
Kesimpulan salah
4. Bukti: tukul arwana menurut pendapat saya tidak tampan
Kesimpulan salah
5. ∃ x ∈ N ∋ n1 + n2 ∈ N
Berdasarkan aksioma ketertutupan bilagan asli dalam penjumlahan
∀ x ∈ N, x1+x2 ∈ N
Kesimpulan premi salah
Menentukan semua itu benar atau tidak
universal : harus dibuktikan secara umum, jangan diambil contoh satu
persatu
eksistensial:

untuk membenarkan suatu pernyataan hanya perlu

mengambil satu
contoh yang sesuai dengan pernyataan diatas.

Untuk menyalahkan suatu pernyataan
Universal: Untuk menyalahkan suatu pernyataan universal hanya
perlu
mengambil

satu

contoh

yang

tidak

sesuai

dengan

pernyataan

Eksistensial

p(x1)

∃ x1 p(x)

P(x2) v.....v P(xn) ≡

B

jika salah satu benar bernilai benar , berlambang (v)

Universal
∀

˅

(x1) Ʌ P(x2) Ʌ ..... Ʌ P(xn) ≡

x1 P(x)

jika

semua

bilangan

B

benar

maka

bernilai

benar,

berlambang (Ʌ)
Contoh
1. Terdapat bilangan ganjil yang kurang dari atau sama dengan 4
∃ x1 p(x)
P (3) v p(5) v p(7) ≡ B
(eksistensial)
Jawab:
∃ x1 p(x)
P (3) v p(5) v p(7) ≡ B
(eksistensial)
≡ B
B v S v S
2. Jumlah dua blanga yang berbeda di A adalah kurang dari atau
sama dengan 12
A= {3,5,7}
Jawab:
P(3+5) Ʌ P(3+7) Ʌ P(5+7)
B
Ʌ
B
Ʌ B

≡ B
≡

(universal)

∀

Misal : x dan y merupakan orang.
L (x,y) = x mencintai y
-

∃
∃
∀
∀
∃

xL
yL
x[
y[
x[

(x,y)
= beberapa x mencintai y
(x,y)
= x mencintai beberapa y
∃ y L (x,y)] = beberapa y dicintai semua x
∃ x L (x,y)] = beberapa x mencintai semua y
∀ y L (x,y)] =beberapa x mencintai semua y

x1 P(x ,y)

∀ x ∀ y L (x,y)
∃ y ∀ x L (x,y)

-

=semua x mencintai semua y
=semua x mncintai bberapa y

Tambahan

ketentuan

∀ x (P(x) Ʌ Q(x))

≡

∀ x P(x) Ʌ ∀ x Q(x)

≡

∃ x P(x) v

semua (Ʌ)
∃ x (P(x) v Q(x))

∃ x Q(x)

beberapa (v)
1. Semua singa menyeramkan
P(x) = x merupakan singa
q(x) = x menyeramkan
p(x) Ʌ q(x) p(x) Ʌ q(x)

terdapat semua singa dan ia

menyeramkan
premi

tersebut

kurang

tepat

karena

belum
pembuktian

tentu semua singa itu menyeramkan
p(x) q(x)

jika terdapat semua singa maka ia

menyeramkan
premi tersebut tepat karena sudah tertera
pada kalimatnya.
Kesimpulan:

∀ x ∈

D , P(x) → q(x)

Arguments and the principle (pembuktian tidak langsung)
Of demonstration
P(x1)
P(x2)
P(x3)
:
P(xn)
P(x1)Ʌ P(x2)Ʌ P(x3) Ʌ......Ʌ P(xn)

Latihan 1.5
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.

Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini.
Setiap perwira TNI adalah laki-laki.
Beberapa Gubernur di Indonesia adalah perempuan.
Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1.
Setiap bilangan memiliki lawan (invers penjumlahan).
Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian).
Setiap persegi adalah jajargenjang.
Setiap jajargenjang adalah trapesium.
Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan

jika

ditambahkan ke bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu
sendiri.
i. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika dibagi
dengan bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri.
j. Setiap jajargenjang memiliki simetri setengah putaran.
k. Beberapa siswa menganggap matematika itu sulit.

l. Setiap tahun yang habis dibagi 4 adalah tahun kabisat.
2. Menerjemahkan berikut ke dalam bentuk simbolis, menunjukkan
pilihan yang tepat untuk domain:
a. Terdapat sebuah integer x sehingga 4 = x + 2.
b. Untuk semua x integer, 4 = x + 2.
c. Setiap segitiga sama sisi adalah pigura yg sudutnya sama.
d. Semua siswa seperti logika.
e. Beberapa siswa menyukai logika.
f. Tidak ada orang yang merupakan sebuah pulau.
g. Setiap orang yang memahami logika menyukainya.
h. Setiap orang memiliki seorang ibu.
i. Di antara semua integer ada beberapa yang bilangan prima.
j. Bilangan bulat Beberapa bahkan dan habis dibagi 3.
k. Beberapa bilangan bulat bahkan atau dibagi 3.
l. Semua kelompok siklik adalah abelian.
m. Setidaknya salah satu surat dalam pisang adalah vokal.
n. Suatu hari bulan depan adalah hari Jumat.
o. x ^ 2 - 4 = 0 memiliki solusi positif.
p. Setiap solusi dari x ^ 2 - 4 = 0 adalah positif.
q. Tidak ada solusi dari x ^ 2 - 4 = 0 adalah positif.
r. Salah satu kandidat akan menjadi pemenang.
s. Setiap elemen dalam himpunan A adalah elemen dari himpunan B.

16

penarikan kesimpulan
3. Addition

p

bernilai benar

pvq

jika salah satu benar maka bernilai benar

4. Simplify
p Ʌq
Penyederhanaan p
q
5. Conjunction
Penyatuan

p dan q bernilai benar

p
q
pɅq

6. Odus ponen
P

p
q
q

7. Modus tolens

q
P

q
p

8. Hipothetical syllogis

p
r
r

q
p
9. Disjunction syllogism

q

pvq
p
q

10.

∀ x P(x)

Universal instantion
P(c)

∃ x P(x)

11.

Eksistensial instantion
P (c)

12.

Universal generalization
∀ x P(x)

p(c)

13.

Eksistensial generalization
∃ x P(x)

p(c)

Resolution
1. [(pvq) Ʌ(

pvr)] → (qvr)

Pvq
pvr
Qvr
Resolusi
i.

= p = benar
p= salah
kemungkinan
Pvq

Bvq
pvr

qvr

B v (s/b)
Svr

qvr

karna

r

(v)disjungsi

≡

B

q=(s/b)

SvB

≡ B

r=B

=

q=(b/s)

karna

B,

jika salah satu benar

maka bernilai
benar
ii.

benar

P = salah
p= benar
Pvq

Svq
pvr

Bvr

(S/B)
qvr

SvB

qvr

≡

B

B v (S/B)

q=B
≡ B

r

=

2. (pɅq)vr
r → s
pvs

≡ (p v r)Ʌ(q v r)
rɅs
pvs
pvr
qvr

r = benar
r =salah
r

S
Pvs

Latihan 1.6
1. Semua singa menyeramkan
Beberapa singa tidak minum kopi
Beberapa yang menyeramkan tidak minum kopi
2. Ada tiga buah hipotesis
Jika kau mengirimi ku e-mail maka aku akan menyelesaikan tugas
Jika kau tidak mengirimiku e-mail maka aku akan tidur lebih awal
Jika saya tidur lebih awal maka ketika bangun akan merasa lebih segar
simpulkan bahwa

Jika saya tidak menyelesaikan tugas maka ketka bangun tidur saya
merasa segar
3. Ada tiga buah hipotesis
1. Mungkin saya sedang bermimpi/berhalusinasi
2. Saya tidak sedang bermimpi
3. Jika saya berhalusinasi maka saya melihat wajah berbikini
Dit: buat kesimpulan yang dapat dibuat dari 3 hipotesis tersebut
4. Ada 4 hipotesis
1. Hari tidak cerah dan dingin
2. Jika kita bernang maka hari cerah
3. Jika kita tidak berenang maka kita main kano
4. Jika kita main kano maka pulang lebih awal
buat kesimpulan

2
PEMBUKTIAN MATEMATIKA

POKOK-POKOK BAHASA
2.1
2.2

metode of proof

2.1 model
Modal :



Analisis
Sintesis

= mencari komposisi
= sesuatu yang kecil untuk dibuat menjadi sesuatu



yang utuh / lebih
Deduktif
= suatu konsep didasari oleh suatu konsep lainnya /




konsep-konsep sebelumnya
Induktif
= melihat pola / keteraturan
Abduktif
= terdapat tahapan yang harus

di

tempuh

untuk

mendapatkan suatu hasil.
Langsung

berbentuk implikasi (p → q)

Pembuktian
Tidak langsung berbentuk kontrapositif (

Pembuktian matematika

q → p)

Pembuktian dibagi menjadi 2 cara, yaitu :
1. Pembuktian langsung, adalah pembuktian yang biasanya dinyatakan
dalam bentuk implikasi (p → q)
2. Pembuktian tidak langsung adalah
berbentuk kontrapositif
((p → q) ≡ (¬q →
((p

→

q)

≡

(p

∧

pembuktian

¬q)

→

c).

Pembuktian Langsung
Teorema dalam penjumlahan bilangan bulat.
1. Genap + genap = genap
M &
n
bilangan bulat
Bilangan genap dapat di tuliskan dengan 2p, p
Misal m = 2q
N = 2r q.r
Sehngga m+n = 2q+2r = 2(q+r)
Misal (q+r)=s
Di dapat 2(q+r) = 2s (genap)

∈

B

2. Ganjil + ganjil =
M &
n
bilangan bulat
Bilangan ganjil dapat di tuliskan degan 2p+1 , p ∈ B
Bilangan genap dapat di tuliskan dengan 2p, p ∈ B
q.r

N = 2r+1
Sehngga m+n = (2q+1)+(2r+1) = 2q+1+2r+1
= 2(q+r+1)
Misal (q+r+1)=s
Di dapat 2(q+r+1) = 2S (genap)
maka ganjil + ganjil = genap
3. Genap + ganjil =
M &
n
bilangan bulat
Bilangan ganjil dapat di tuliskan degan 2p+1 , p ∈ B
Bilangan genap dapat di tuliskan dengan 2p, p ∈ B
Misal m = 2q
N = 2r +1

biasanya

¬p)) atau berbentuk Reductio Ad Absurdum

Contoh :

Misal m = 2q+1

yang

q.r

Sehngga m+n = (2q)+(2r+1) = 2q+2r+1
= 2(q+r)+1

Misal (q+r)=s
Di dapat 2(q+r)+1 = 2S+1 (ganjil)
maka ganjil + ganjil = ganjil

teorema perkalian dalam bilangan bulat
1. Genap x genap = genap
M

&

n

bilangan bulat

Bilangan ganjil dapat di tuliskan degan 2p+1 , p ∈ B
Bilangan genap dapat di tuliskan dengan 2p, p ∈ B
Misal m = 2q+1
N = 2r+1

q.r

Sehngga m+n = (2q+1)+(2r+1) = 2q+1+2r+1
= 2(q+r+1)
Misal (q+r+1)=s
Di dapat 2(q+r+1) = 2S (genap)
maka ganjil x ganjil = genap
2. Ganjil x ganjil = genap
M &
n
bilangan bulat
Bilangan ganjil dapat di tuliskan degan 2p+1 , p ∈ B
Bilangan genap dapat di tuliskan dengan 2p, p ∈ B
Misal m = 2q+1
N = 2r+1 Konte
Sehngga m+n = (2q+1)+(2r+1) = 2q+1+2r+1
= 2(q+r+1)
Misal (q+r+1)=s
Di dapat 2(q+r+1) = 2S (genap)
maka ganjil x ganjil = genap
3. Ganjil x genap = gajil
M &
n
bilangan bulat
Bilangan ganjil dapat di tuliskan degan 2p+1 , p ∈ B
Bilangan genap dapat di tuliskan dengan 2p, p ∈ B
Misal m = 2q+1
N = 2r
Konte
Sehngga m+n = (2q+1)+2r = 2q+1+2r
= 2(q+r)+1
Misal (q+r)=s
Di dapat 2(q+r) = 2S+1 (ganjil)
maka ganjil x genap = ganjil
4. Genap x ganjil = ganjil

Karena sudah di buktikan pada pembuktian no 3
Teorema dalam (- ) & (+)
1. (+ ) x (+)
Misal m x n ¿ 0,
dimana m,n adalah bilangan rill (m,n ∈ R)
M x n = n + n + ....... + n
Sebanyak m
Karena (n) nya positif jadi kita menggunakan teorema yang positif
Teorema
a ¿ 0 & b ¿ 0

a+b

→

sehingga n + n +..... .....+ n

penjabarannya
a ¿ 0
¿ 0
b ¿ 0 +
a+b ¿ 0
¿ 0

positif karna lebih dari 0

sebanyak M
m x n = m.n

¿ 0

(+) x (+) = (+)
2. (+ ) x (-)
Misal m ¿

0 dan n

¿

0 dimana m,n adalah bilangan rill (m,n

∈

R)
M x n = n + n + ....... + n
Sebanyak m
Karena (n) nya negatif jadi kita menggunakan teorema yang negatif
Teorema
a ¿ 0 & b ¿ 0

a+b

→

sehingga n + n +..... .....+ n
sebanyak M
m x n = m.n
(+) x (-) = (-)
3. (-) x (+) = (-)

¿

0

penjabarannya
a ¿ 0
¿ 0
b ¿ 0
a+b ¿ 0
¿ 0

negatif karna lebih dari 0

Karna teorema sama seperti no 3 dan sudah di buktikan pada teorema
no 3
4. (- ) x (-) = (+)
Misal dalam perkalian dengan 0
(-m) x 0 =0
(-m) x (n-n) = 0
(-m) x (n+(-n)) = 0 → aksioma distributif
[(-m x n)] + [(-m) x (-n)]
Misal (-m) x (-n) = p
[-m x n] + p =0
P = 0- [-m n]
P = 0 + mn
P = mn
Dengan kata lain p = (-m) x (-n) = mn

(positif)

Pembuktian tidak langsung
Kontapositif (p

→

q)

(

q →

p)

Consol
1. Misal m dan m adalah bilangan genap dan m + n adalah bilangan
ganjil.
Maka m = 2j dan m+n =2k+1 , j dan k termasuk bilangan bulat.
Oleh karena itu n adalah ganjil maupun genap, yang melengkapi bukti,
bahwa itu kontradiksi
Jwb
dik:

M,n genap

m+n genap

P

q

M + n ganjil

m ganjil
q

Dit: m ganjil

n=...?

m genap

N genap

n=...?

Jwb:
Pembuktian 1

pembuktian 2

Misal m= ganjil

misal m=genap

M+n =2k+1

M+n =2k+1

M=2 j+1

M=2 j

N=n+m-m

N=n+m-m

N=(n+m)-m

N=(n+m)-m

N=(2k+1)-(2j+1)

N=(2k+1)-(2j)

N=2k-2j =2(k-j) genap

N=2k-2j+1 =2(k-j)+1 ganjil

M=ganjil n=genap

m=genap n ganjil

Pembuktian formal dan nonformal
1. Pembuktian Formal
Pembuktian formal adalah pembuktian yang kalimat pernyataannya
menggunakan

kalimat

logika.

Jadi

untuk

pembuktiannya

dibuktikan dengan formal.
Contoh :
Dengan n ¿ 0, n adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 5n





harus

+¿

6

merupakan bilangan ganjil. (p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p))
Bukti :
p → q
“jika ganjil maka 5n+6 ganjil
Diketahui
: n bilangan ganjil atau dapat dinyatakan dengan 2k+1 , k
∈B
Ditanyakan : pembuktian bahwa 5n+6 adalah ganjil
Jawab
: 5n+6
=5(2k+1)+6
=10k+11
=10k+10+1
=2(5k+5)+1
Dengan kata lain 5n+6 adalah ganjil
(terbukti)
q → p

“jika, 5n+6 ganjil maka n ganjil”
Kontrapositif, dari q → p adalah
p → q
Diketahui :Di misalkan n genap atau dapat dinyatakan dengan n=2j,
j ∈B
Ditanyakan : pembuktian bahwa 5n+6 adalah genap
Jawab
: : 5n+6 =5(2j)+6
=10j+6
=2(5j+3)
Dengan kata lain 5n+6 adalah genap, berdasarkan pembuktian p →
q dan q → p.
Sehingga teorema benar
2. Pembuktian tidak Formal
Pembuktian tidak formal adalah pembuktian yang kalimatnya bukan
merupakan kalimat logika. Jadi untuk pembuktiannya dibuktikan
secara tidak formal.
Contoh :
1. Buktikan bahwa tidak ada bilangan x rasional sehingga x 2
¿ 2.
Bukti :
Anggap x merupakan bilangan rasional, sehingga x dapat dinyatakan
a
,b
b

dengan
Didapat

≠

0, a,b

x 2=¿

∈

B .

2

2

a
=¿ 2
b
a2
¿
b2
2
¿ 2 b2
a
Dengan kata lain
a2

2
merupakan bilangan genap atau dapat

B .
dinyatakan a ¿ 2j , j ∈
2
2
Akibatnya : a
¿
ab
2
(2 j ) =¿ 2 b2
¿ 2 b2
4 j2
2
2 j2
¿
b
Dengan kata lain b2 merupakan bilangan genap.

Jika a bilangan genap dan b bilangan genap maka
(a,b)

¿

a
b

memiliki FPB

2. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan x merupakan

bilangan rasional.

∴

x bilangan rasional adalah SALAH, yang benar x adalah bilangan

Irasional

Kalau

kalimat

pembuktiannya

merupakan

kalimat

logka

maka

dibuktikan
harus secara formal
Kalau kalimat pembuktiannya bukan merupakan kalimat logka maka
dibuktikan secara formal

Contoh:

q

diketahui:

j

2 1

¿

2+ ¿

1=180o pelurus

¿ 2 +

¿ 4 = akibat

aksioma
4

3

pelurus

j’

playfar

dan

P
k
diketahui

:

2+ ¿

¿

j ¿ 2+

1=180o pelurus

¿ 4 = akibat aksioma pelurus dan playfar

J // j’ dipotong oleh k di p dan q
Ditanyakan :

¿

Jawab

¿ 1+

:

2= ¿

¿1
Seingga

3

¿ 2 =180o

(pelurus)

+ ¿ 3 = 180

(playfar)

¿1 + ¿ 2 =

¿ 1+

¿ 3....................................Terbukti

Contoh
3. tunjukkan bahwa minimal atau setidaknya ada 1 bilangan real
a1,a2,a3,.....an yang lebih dari atau sama dengan rata-ratanya
diketahui : a1+a2+a3,.....an = A
n
ditanyakan : tunjukan a1+a2+a3,.....an = A
lebih dari atau sama
dengan

rata2nya

n

jawab

: asumsikan a1,a2,a3,.....an ¿ A
maka a1+a2+a3,.....an ¿ n. A
sehingga bila pertidak samaan dibagi dengan n di dapat
a1+a2+a3,.....an ¿ n.A
n
n
a1+a2+a3,.....an ¿ A
n
hal ini kontradiksi dengan a1+a2+a3,.....an = A
n

maka asumsi a1,a2,a3,.....an ¿ A adalah salah
4. buktikan bahwa minimal(a, minimal (b,c) = minimal (minimal (a,b),c)
R
untuk semua a,b,c ∈
1. a ≤ b ≤ c
minimal (a, minimal n(b,c))
minimal (a,b)
a
=
2. a ≤ c ≤ b
minimal (a, minimal n(b,c))
minimal (a,c)
a
=
3. b ≤ a ≤ c
minimal (a, minimal n(b,c))
minimal (a,b)
b
=
4. b ≤ c ≤ a
minimal (a, minimal n(b,c))
minimal (a,b)
b
=
5. c ≤ a ≤ b
minimal (a, minimal n(b,c))
minimal (a,c)
c
=

= minimal (minimal (a,b),c)
= (a,c)
a
= minimal (minimal (a,b),c)
= (a,c)
a
= minimal (minimal (a,b),c)
= (b,c)
b
= minimal (minimal (a,b),c)
= (b,c)
b
= minimal (minimal (a,b),c)
= (a,c)
c

Latihan 2.1
1. Tentukan mana dari "bukti" berikut adalah benar dan yang tidak benar.
Jika bukti sudah benar, menunjukkan jenis dan jika bukti tidak benar,
menunjukkan mengapa hal itu tidak benar.

Teorema: jika x dan y bilangan bulat maka x - y adalah bilangan bulat.
a. "Bukti 1": Misalkan x dan y keduanya bilangan ganjil. Maka terdapat
bilangan bulat j, k sehingga x = 2j + 1 dan y = 2k + 1. maka
x - y = 2j + 1 - (2k + 1) = 2 (j - k) yang bahkan.
Yang merupakan bilangn genap
b. "Bukti 2": Misalkan x - y adalah genap dan x adalah ganjil. Maka
terdapat bilangan bulat j, k seperti bahwa x - y = 2j dan x = 2k + 1.
Maka
y = y - x + x =-2j + 2k + 1 = 2 (k - j) + 1.
Jadi y adalah ganjil, kontradiksi.
c. "Bukti 3": Misalkan x - y adalah bilangan ganjil. Maka terdapat j
bilangan bulat sedemikian rupa sehingga x - y = 2j + 1. Jika y
bahkan kita selesai, sehingga misalkan y bilangan ganjil , katakan y
= 2k + 1 untuk beberapa j bilangan bulat. demikian
x = x - y + y = 2j +1 - (2k + 1) = 2 (j - k)
Jadi x adalah genap dan bukti selesai.
d. "Bukti 4": Misalkan x bbilangan genap dan x - y jugabilangan genap.
Kemudian terdapat j bilangan bulat, k sedemikian sehingga x = 2j
dan x - y = 2k. demikian
y = x - (x - y) = 2j - 2k = 2 (j - k)
sehingga y adalah bilangan genap
e. "Bukti 5": Misalkan x, y bilangan genap dan x - y adalah bilangan
ganjil . Kemudian terdapat bilangan bulat j dan k sehingga x = 2j
dan

y

=

x - y = 2j - 2k = 2 (j - k)
sehingga x - y bilangan genap,

2k.

sekarang

Tapi ini bertentangan dengan

asumsi kita bahwa x - y adalah ganjil sehingga bukti selesai.
f. "Bukti 6": Suppode bahwa x - y adalah ganjil, katakanlah x - y = 2j
+ 1 untuk beberapa j bilangan bulat. jika x adalah ganjil kita sudah
selesai, jadi menganggap bahwa x bahkan, katakanlah x = 2k untuk
beberapa

k

bilangan

bulat.

kemudian

y = x - (x - y) = 2k - (2j + 1) = 2 (k - j) - 1 = 2 (k - j - 1) + 1
sehingga y bilangan ganjil dan kami selesai.
g. "Bukti 7": Misalkan x dan y keduanya bilangan genap. Maka
terdapat bilangan bulat j, k sehingga x = 2j dan y = 2k. maka
x - y = 2j - 2k = 2 (j - k)
sehingga x - y bilangan genap

h. "Bukti 8": Misalkan x - y bilangan genap. Kemudian jika x adalah
ganjil kita sudah selesai, sehingga menganggap bahwa x adalah
genap. Kemudian terdapat bilangan bulat j, k seperti bahwa x - y =
2j dan x = 2k.maka
y = x - (x - y) = 2k - 2j = 2 (k - j)
sehingga y juga bahkan.
i. "Bukti 9": Misalkan x - y adalah ganjil, katakanlah x - y = 2j + 1
untuk beberapa j bilangan bulat. Kemudian jika x adalah ganjil,
katakanlah x = 2k + 1 untuk beberapa k bilangan bulat, kita
memiliki
y = x - (x - y) = 2k + 1 - (2j + 1) = 2 (k - j)
sehingga y bilangan genap dan kita selesai.
j. "Bukti 10": Misalkan x dan y adalah bilangan ganjil dan x - y adalah
bilangan ganjil. Kemudian ada keluar bilangan bulat j, k sehingga x
= 2j + 1, y = 2k + 1. Dengan demikian kita memiliki
x - y = 2j + 1 - (2k + 1) = 2 (j - k)
sehingga x - y adalah baik ganjil dan genap, kontradiksi.
2. Untuk dugaan berikut, membuktikan yang benar dan memberikan
counterexample untuk yang salah:
a. Jika x adalah integer dan 4x bilangan positif maka x adalah
bilangan positif.
b. Jika x adalah bilangan bulat genap maka 4x adalah genap.
c. Jika x adalah bilangan bulat dan x ^ 2 adalah genap maka x
genap.
d. Jika x adalah integer dan 3x genap maka x adalah genap.
e. Jika x, y, z adalah bilangan bulat dan x + y + z adalah ganjil
maka ganjil x, y, z adalah gajil.

.
induksai matemaitka
dipergunakan hanya untuk yang berkaitan dengan bilangan asli
N himpunan bilangan asli
Well ordered principle (wop) dari
Setiap himpunan bilangan dari

N
N

memiliki elemen terkecil

Perinsip induksi matematik (versi 1)
∈N

Misal S

memenuhi sifat-sifat berikut:

1. 1 ∈ S
N maka S =
2. Jika k ∈ S maka k+1 ∈ S, untuk ∀ k ∈
 Misal p(n) adalah pernyataan yang memuat n (tentang n)

N

Perinsip induksi matematik (versi 2)
∈

Misalkan p(n) , n

N

memenuhi sifat

1. P(1) benar
2. Jika p(k) benar untuk k ∈
Sehingga p(k) benar untuk

N maka p (k+1) benar
∀ n ∈
N

Prinsip induksi matematika (versi 3)
∈

Misalkan p(n) dengan n1, ≥ no , n1, no
1. P(no)
2. jika p(k) benar untuk k ≥
∀ n

≥

no

2

+3+¿

yang memenuhi

N

no maka p(k+1) benar, sehingga p(n) benar

Aplikasi
Contoh
Contoh 1 :
1

+¿

-

Untuk n
1

-

1
1
2

¿
¿

1

¿

1

¿

1

¿

+¿ n

(1
1
2

+¿

+¿

2

n
2

¿

(n

1)

+¿

1)

.2

2
2
1 ….. terbukti

Asumsikan benar untuk n
1

-

….

+3+¿

….

+¿ k

k

¿
¿

Akan dibuktikan benar untuk n

n
2
¿

(k

k

1)

+¿

+¿

1

1
1

2

+¿

….

+3+¿

+¿ k

+¿

(k

+¿

1)

¿

(k +1)
2

¿

( k +1 ) (k +2)
2

(k

1)

+¿

n
2
(k

(k

+¿
1)

+¿
(k

+¿

(k

+¿

1
2

(k

1)

+¿

(k

+¿

( k2 + 1)
k 2
1) ( + )
2 2
k +2
1) (
2 )

+¿

1)

¿

¿
¿

2

1. 13 +23+.....+n3 =
1
n (n+1)
2

Untuk n=1
2

13

= 11(1+1)
2

13

=

1

2

2(2)
=1

1

(benar)

Asumsian n=k

2

13 +23+.....+k3 =
1
k (k+1)
2
Akan dibuktikan n=k+1
2

3
= 13 +23+.....+k3 (k+1)
= 1
(k+1)(k+2)

K
=

2
2

1

k (k+1) +
(k+1) =

3

1

( k +1 ) (k +2)
2
¿

Latihan:

Jawab:

( k +1 ) (k +2)
2

¿

( k +2 )

( k +1 ) (k +2)
2

1)

2

(k+1)(k+2)

( k +1 ) (k +2)
2

( k +1 ) (k +2)
2

( k +1 ) (k +2)
2
Terbukti

+¿

2

2
K

2

+ (k+1)
2=

=
(k+1)2

K2+(k+1)

=
(k+1)2

4

1

2

(k+1)(k+2)

2
1

2

(k+1)(k+2)

=2
2

K2+4k+4 1
= (k+1)
=
(k+1)(k+2)
4
2
1
1
2
2
4
2
=
(k 4k+4)
(k+1)(k+2)
2
1
(k+1) =1
2
2
2
2
(k+2)
(k+1)(k+2)
2

= (k+1)

2
1 =
(k+1)(k+1+1)
=
2
=

1

2

(k+1)
2 (k+2)

2. 1+3+5+...+(2n-1)=n2
Jawab: untuk n=1
(2.1-1) = 12
(1) = 1
benar
Asumsikan n=k
1+3+5+...+(2k-1) =k2
n
Akan dibuktikan untuk n=k+1
1+3+5+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) =k2
K2+(2k+2-1)

=(k+1)2

K2+2k+1 = k2+2k+1

terbukti

3. (1+1-1) (1+2-1) (1+3-1) ..... (1+n-1) =n+1
Jawab: untuk n=1
(1+1-1) (1+2-1) (1+3-1) ..... (1+n-1) =n+1
(1+1-1)= 1+1
(1+1/1) = 2
2 =2
benar
Asumsikan n=k
(1+1-1) (1+2-1) (1+3-1) ..... (1+k-1) =k+1
n
Akan dibuktikan
(1+1-1) (1+2-1) (1+3-1) ..... (1+k-1)(1+(k+1)-1) =k+1
n

(k+1)(1+1/(k+1)) =
(k+1)+1
(k+1) (k+1)+1
= k+2
(k+1)
K+2 = k+2
terbukti
4. 3+11+17+ ...+(8n-5) = 4n2-n
Jawab : untuk n=1
3+11+17+ ...+(8n-5) = 4n2-n
(8.1-5)= 4.12-1
(8-3) = 4-1
3
= 3 benar
Asumsikan untuk n=k
3+11+17+ ...+(8k-5) = 4k2-k
Akan dibuktikan untuk n=k+1
3+11+17+ ...+(8n-5) +(8(k+1)-5) = 4(k+1)2-(k+1)
n
(4k2-k)+(8k+3) = 4(k+1)2-(k+1)
(4k2-k+8k+4-1) = 4(k+1)2-(k+1)
(4k2+8k+4)-(k+1) = 4(k+1)2-(k+1)
4(k2+2k+1)-(k+1) = 4(k+1)2-(k+1)
4(k+1)2-(k+1) = 4(k+1)2-(k+1)

terbukti

5. 1.3.5 + 3.5.7 + ..... + (2k-1) (2k+1) (2k+3) = k(2k3 +8k2+7k-2)
Jawab untuk n=k=1
1.3.5 + 3.5.7 + ..... + (2k-1) (2k+1) (2k+3) = k(2k3 +8k2+7k-2)
(2(1)-1)(2(1)+1)(2(1)+3) =1(2(1)3+8(1)2+7(1)-2)
(2-1)(2+1)(2+3)
=(2+8+7-2)
(1)(3)(5)
= 15
15 = 15
Akan dibuktikan untuk n= k+1
1.3.5 + 3.5.7 + ..... + (2k-1) (2k+1) (2k+3)+ (2(k+1)-1) (2(k+1)+1)
(2(K+1)+3)
K

=

(k+1)

(2(k+1)3

+8(k+1)2+7(k+1)-2)
k(2k3 +8k2+7k-2)+ (2(k+1)-1) (2(k+1)+1) (2(K+1)+3) = (k+1) (2(k+1) 3
+8(k+1)2+7(k+1)-2)
(2k4+8k3+7k2+2k)+(2k+1) (2k+3) (2k+5)

= (k+1) (2(k+1) 3

+8(k+1)2+7(k+1)-2)
(2k4+8k3+7k2+2k)+(4k2+8k+3) (2k+5)

= (k+1) (2(k+1) 3

+8(k+1)2+7(k+1)-2)
(2k4+8k3+7k2+2k)+ (8k3+20k2+16k2+40k+6k+15k)
+8(k+1)2+7(k+1)-2)

= (k+1) (2(k+1)3

(2k4+16k3+43k2+44k+15)

=(k+1)

(2(k3+3k2+3k+1)+

8

(k2+2k+1)+(7k+7)-2)
(2k4+16k3+43k2+44k+15)

=(k+1) [(2 k3+6k2+6k+2) + (8

k2+16k+8) (7k+5)]
(2k4+16k3+43k2+44k+15)

= (k+1) (2k3+14k2+29k+15)

(2k4+16k3+43k2+44k+15)

=

2k4+14k3+292+15k+2k3+14k2+29k+15
2k4+16k3+43k2+44k+15

= 2k4+16k3+43k2+44k+15

terbukti
Pertidaksamaaan
Pertidaksamaan
Jika x
-

≥

0 maka

∀

∈

n

Untuk n ¿ 1
1+ x
≥ 1 + x1
(
1
¿¿
≥ 1
1 +¿ x

x1

+¿

-

Asumsikan benar untuk n
1+ x
k
≥
(
1+ x
¿ ¿k

-

Akan dibuktikan benar untuk n
(
(
(
(
(

≥ 1 +¿
x k+1
1+ x
k
≥
1+ x
¿ ¿k +1
1+ x
(1 +¿ x)
k
¿¿
1+ x
(1 +¿ x)
k
¿¿
1+ x
≥
k +1
¿¿
1+ x
≥
k +1
¿¿

(

1+ x
k +1
¿¿

1+ x
¿ ¿n

N ,(

≥

….. terbukti

k