TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA. docx
TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA
“TURUNAN DAN FUNGSI”
:
Y
DISUSUN OLEH KELOMPOK 4 : 1. JUNANDA ARDIANSYAH
2. BENNY SYAWILDI
3. WAWAN SUHENDRA
4. ZAID MUAMMAR
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat
dan kesehatan kepada kita semua, sehingga kita dapat melaksanakan suatu
proses pembelajaran sebagaimana yang terlaksana seperti sekarang ini. Dalam
Makalah ini, kami mencoba membuat suatu pembahasan mengenai “Turunan
dan Fungsi” yang dapat kami sajikan yaitu beberapa defenisi- defenisi dan
rumus-rumus disertai dengan contoh dan pembahasan soal. Makalah ini sangat
sederhana dan masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu, untuk
membantu kesempurnaan Makalah ini, kami sangat mengharapkan kritik dan
saran dari semua pihak terutama bapak dosen. Selain itu atas kekurangankekurangan yang ada didalam Makalah ini maka saya juga memohon maaf
yang sebesar- besarnya.
Mudah-mudahan
dengan
adanya
pembuatan
makalah
ini
dapat
memberikan manfaat berupa ilmu pengetahuan yang baik bagi penulis maupun
bagi kita semua.
1
DAFTAR ISI
Kata Pengantar .......................................................................................................
1
Daftar Isi
2
BAB 1
...............................................................................................................
: PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ......................................................................................
3
B. Rumusan Masalah .................................................................................
3
C. Tujuan ....................................................................................................
3
BAB II : PEMBAHASAN
2
BAB 1
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Turunan fungsi (diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Turunan ( diferensial )
digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan
mekanika.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan ( differentiation ). Teorema
dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari
pengintegralan. Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika
yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input
nilainya.Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Persamaan –
persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting
dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan sering muncul dalam berbagai bidang
matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial dan bahkan
aljabar abstrak.
B. RUMUSAN MASALAH
Makalah ini membahas defenisi dari turunan fungsi. Dalam makalah ini dijelaskan
rumus – rumus, aturan pencarian turunan dan disertai dengan contoh soal dan
pembahasannya.
C. TUJUAN
1. Untuk mengetahui defenisi dari turunan
2. Untuk mengetahui aturan pencarian turunan
3. Dapat menyelesaikan soal – soal yang berkaitan dengan turunan
3
BAB II
PEMBAHASAN
A. TURUNAN FUNGSI
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya
fungsi
f
menjadi
f'
fungsi f : x → f ( x) pada
yang mempunyai nilai tidak beraturan. Laju perubahan nilai
x=a
dapat ditulis:
Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu
fungsi yang kontinu pada selang - ∞
¿ x< ∞ , berlaku
lim f ( x +h ) −f ( x )
h →0
h
(turunan pertama dari f ( x ) ). Sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:
f ' ( x )=lim
h→0
f ( x +h )−f (x)
h
4
= f '(x)
f
Jika nilai limitnya ada, fungsi
f
disebut fungsi turunan dari
y '=f '(x ) . Notasi dari
dikatakan diferensiabel di
. Turunan dari
y=f ( x)
y ' =f '( x ) juga dapat ditulis:
x , dan f ' (x)
sering kali ditulis dengan
dy df (x)
=
.
dx
dx
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa)
fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan
Turunan”,
namun
istilah
“persamaan
diferensial”
(aequatio
differentialis)
yang
diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum
digunakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial
y ’=
3 x2
( y+1)
x 3 +1
dapat ditulis dalam bentuk
[
]
3 x2
3 x2
3 x2
'
dy= 3 ( y+ 1) dx atau y − 3
y= 3
x +1
x +1
x +1
Contoh soal :
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x )=x 3 +5 !
Penyelesaian :
f ( x )=x 3 +5
3
f ( x +h ) =( x+ h ) + 5
3
2
2
2
¿ x +3 x h+3 x h +h +5
f ’ (x) =
=
=
=
lim f ( x +h ) −f (x )
h →0
h
lim x 3+ 3 x 2 h+3 x h2 +h 2+5−(x 3 +5)
h →0
h
lim 3 x 2 h+3 x h2+ h2
h →0
h
lim h(3 x 2 +3 xh+h)
h →0
h
5
2
(3 x +3 xh+h)
= lim
h→0
= 3 x2 +3 x .0+ 02
= 3 x2
2. Carilah f ' ( x ) jika f ( x )= √ x , x >0
Penyelesaian
lim f ( x +h )−f (x)
'
h→0
f ( x )=
h
lim √ x+ h−√ x
¿ h →0
h
Dalam soal ini dapat diselesaikan dengan merasionalkan pembilang.
=
=
=
=
=
[√
x+ h− √ x √ x +h+ √ x
.
h
h→0
√ x +h+ √ x
lim x +h−x
f ’ (x) = lim
]
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim h
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim 1
h →0
√ x +h+ √ x
1
√ x +√ x
1
2√x
B. ATURAN PENCARIAN TURUNAN
f
Turunan suatu fungsi
adalah rumus untuk
f , maka
Ketika kita menurunkan
mengoperasikan
simbol
Dx
f
adalah fungsi lain
f,
2
f ’ ( x)=3 x +7
adalah rumus untuk
artinya kita mendiferensiasikan
untuk menghasilkan
bahwa kita mengambil turunan (terhadap peubah
3
2
Dx (x +7 x)=3 x +7.
1. Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat
Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta
6
f.
f’ .
Turunan
f ’ . Kita biasanya menggunakan
untuk menandakan operasi diferensiasi. Simbol
D x f ( x)=f ’( x ) atau
f (x)=x 3 +7 x
f ’ . Jika
Dx
menyatakan
x ). Maka, kita menuliskan
f (x)=k
Jika
dengan
k
suatu konstanta, maka untuk sebarang
x , f ’ ( x )=0 ; yakni
D x (k)=0
Bukti
lim f ( x +h ) −f (x )
f ’ (x)=¿
h →0
h
lim k −k
¿ h →0
h
¿ lim 0
h→0
¿0
Teorema B : Aturan Fungsi Identitas
Jika f ( x)=x , maka f ’ (x)=1 ; yakni
D x (x )=1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
f ( x +h )−f ( x )
h
¿ lim
h→0
x+ h−x
h
lim h
¿ h →0
h
¿1
Teorema C : Aturan Pangkat
Jika f (x)=x n , dengan n bilangan bulat positif, maka f ’ (x)=n xn−1 ; yakni
7
n
Dx (x )=n x
n−1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
f ( x +h )−f ( x )
h
lim (x +h)n−x n
¿
h →0
h
x n +n x n−1 h+
¿ lim ¿
h→0
¿
lim ¿
h→0
[
n(n−1) n−2 2
x h + … .+ nx h n−1 +h 2−x n
2
h
h n x n−1 +
n(n−1) n−2
x h+…+ nx h n−2 +h n−1
2
h
]
h
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai
faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila
h
sebagai
mendekati
nol. Jadi
n−1
f ’ (x)=n x
Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa :
Dx ( x 3 )=3 x 2 D x ( x 9 ) =9 x8 D x ( x 100 )=100 x 99
Jika k
Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta
suatu konstanta dan f
suatu fungsi yang terdiferensial maka
(kf ) ’( x )=k . f ’ ( x); yakni,
D x [ k . f ( x ) ]=k . Dx . f (x )
Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari
operator Dx.
Bukti
8
Andaikan
F( x )=k . f ( x). Maka
lim F ( x+ h )−F ( x )
F ’ ( x )=
h→ 0
h
k . f ( x +h )−k . f ( x)
h
¿
lim ¿
¿
lim k .
h→0
h→0
f ( x +h )−f (x )
h
¿ k . f ' (x )
Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah
D x (−7 x 3 ) =−7 D x ( x 3 ) =−7 . 3 x 2=−21 x 2
dan
Dx
9
9
8
8
x
Teorema E : Aturan Jumlah
f
Jika
( 43 x )= 43 D ( x )= 43 . 9 x =12 x
dan
g
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdiferensial,
maka
(f + g) ’ ( x)=f ’( x )+ g’ (x ); yakni,
D x [ f ( x ) +g ( x) ] =Dx f (x )+ Dx g ( x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunanturunan.
Bukti
Andaikan
F ’ (x)
F(x )=f (x)+ g (x). Maka
¿
¿ lim ¿
h→0
lim [ f ( x +h ) + g ( x +h ) ]− [ f ( x )+ g (x) ]
h →0
h
[
f ( x +h )−f (x) g ( x+ h )−g( x)
+
h
h
9
]
lim f ( x +h ) −f ( x )
h →0
¿
lim ¿
+¿
h
h→0
g ( x +h ) −g (x)
h
¿ f ' ( x )+ g ' ( x )
Jika
f
Teorema F : Aturan selisih
g
dan
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdiferensiasikan,
( f −g )' ( x )=f ' ( x ) −g ' ( x) ; yakni,
D x [ f ( x )−g ( x ) ] =D x f ( x )−D x g ( x )
Bukti
Andaikan
F ’ (x)
F ( x )=f ( x ) −g ( x) . Maka
¿
¿ lim ¿
h→0
lim [ f ( x +h ) −g ( x +h ) ] −[ f ( x )−g(x ) ]
h →0
h
[
f ( x +h )−f ( x) g ( x +h ) −g(x)
−
h
h
lim f ( x +h ) −f ( x )
¿ h →0
h
−¿
lim ¿
h→0
]
g ( x +h ) −g ( x)
h
¿ f ' ( x )+ g ' ( x )
Contoh:
Tentukan turunan dari 5 x2 +7 x – 6 dan 4 x 6 – 3 x 5 – 10 x 2 +5 x+ 16.
Penyelesaian
D x (5 x 2+ 7 x – 6)=Dx (5 x 2+ 7 x ) – D x (6)
2
¿ Dx (5 x )+ D x (7 x) – D x (6)
10
(Teorema F)
(Teorema E)
maka
2
¿ 5 Dx ( x )+7 D x ( x) – D x (6)
(Teorema D)
¿ 5 .2 x+ 7 .1+0
(Teorema C,B,A)
¿ 10 x +7
Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema
pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,
D x (4 x 6 – 3 x5 – 10 x 2+ 5 x +16)=D x (4 x 6 )– Dx (3 x 5) – D x (10 x2 )+ Dx (5 x)+ D x (16)
6
5
2
¿ 4 D x (x ) – 3 D x ( x )– 10 Dx (x )+5 D x (x )+ Dx (16)
¿ 4 (6 x 5) – 3 (5 x 4 ) – 10(2 x)+5 (1)+0
5
4
¿ 24 x – 15 x – 20 x +5
2. Turunan Hasilkali dan Hasilbagi
Teorema G : Aturan Hasilkali
Jika f
dan
g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
(f . g)’ (x)=f ( x) g ’ ( x)+ g ( x)f ’ (x)
Yakni,
D x [f ( x) g (x)]=f (x) Dx g ( x)+ g(x )D x f (x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua
fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi
kedua dikalikan fungsi pertama.
Bukti
Andaikan
F ’ (x)=f (x ) g(x ). Maka
11
lim F ( x +h )−F (x )
'
F ( x )=
h →0
h
f ( x+ h ) g ( x +h ) −f ( x ) g( x )
h
¿ lim ¿
h→0
lim f ( x +h ) g ( x+ h )−f ( x +h ) g ( x )+ f ( x+ h ) g ( x )−f ( x ) g( x )
¿
h →0
h
[
lim f ( x+ h ) .
¿
h→0
g ( x+ h )−g( x )
F ( x+ h )−F ( x)
+g ( x ).
h
h
g ( x +h ) −g ( x)
+¿
h
lim ¿
lim f ( x+ h ) .
¿
h→0
h→0
]
lim F ( x+ h )−F (x)
g ( x) .
h →0
h
¿ f (x) g ’ ( x)+ g ( x)f ’ (x)
Contoh :
2
Carilah turunan
4
(3 x – 5)(2 x – x)
dengan menggunakan aturan hasil kali.
Periksalah jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain.
Penyelesaian :
D x [ ( 3 x −5 ) (2 x −x) ]=(3 x – 5) D x (2 x – x)+(2 x – x) D x (3 x −5)
2
4
2
4
4
2
¿(3 x 2 – 5)(8 x3 – 1)+(2 x 4 – x )(6 x)
¿ 24 x 5 – 3 x 2 – 40 x 3 +5+12 x5 +6 x 2
5
3
2
¿ 36 x – 40 x – 9 x +5
Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.
( 3 x 2−5 ) (2 x 4−x )=6 x 6 – 10 x 4 – 3 x 3+5 x
Jadi,
12
D x [ ( 3 x 2−5 ) ( 2 x 4−x ) ] =Dx ( 6 x 6 ) – D x (10 x 4 ) – Dx (3 x 3)+ D x (5 x )
¿ 36 x5 – 40 x3 – 9 x 2 +5
Teorema H : Aturan Hasilbagi
Andaikan f
dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan
g( x) ≠ 0 . Maka
'
'
g ( x ) f ( x )−f ( x ) g (x)
f '
( x )=
g
g 2( x )
()
Yakni,
Dx
( fg(x( x )) )
=
g ( x ) D x f ( x )−f ( x ) D x g ( x)
g2 ( x )
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi
adalah sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi
pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.
Bukti
Andaikan
F ( x )=
f (x)
. Maka
g (x)
F' ( x )=lim
h→0
lim
¿
h →0
F ( x +h )−F (x )
h
f ( x +h) f (x )
−
g (x+ h) g(x )
h
lim g ( x ) f ( x +h ) −f ( x ) g (x+ h)
¿
h →0
.
h
¿ lim
h→0
[
1
g ( x ) g(x +h)
g ( x ) f ( x +h )−g ( x ) f ( x ) + g ( x ) f ( x ) −f ( x ) g ( x +h )
1
.
h
g ( x ) g ( x +h )
13
]
¿ lim
h→0
{[
g(x)
]
f ( x +h ) −f ( x)
g ( x+ h )−g (x)
1
−f (x)
h
h
g ( x ) g(x +h)
¿ [ g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g ' ( x) ]
}
1
g ( x ) g ( x)
Contoh:
a. Carilah turunan
x
(¿¿ 2+7)
.
(3 x−5)
¿
Penyelesaian:
DX
[
2
2
3 x−5 ( x +7 ) Dx ( 3 x−5 )−(3 x −5) D x ( x +7)
=
2
x 2 +7
( x 2 +7 )
]
( x 2 +7 ) ( 3 )−(3 x−5)(2 x)
¿
2
( x 2+7 )
¿
−3 x 2+10 x +21
2
( x 2 +7 )
Dx y
b. Carilah
jika
y=
2
3
+
x +1 x
4
Penyelesaian
D x y=D x
( x 2+1 )+ D ( 3x )
x
4
( x 4+ 1 ) D x ( 2 ) −2 D x ( x 4 +1) x D x ( 3 ) −3 D x (x)
¿
+
2
x2
( x4 + 1)
¿
( x 4+ 1 ) ( 0 )−2 ( 4 x3 ) x ( 0 )−3 ( 1 )
+
2
x2
( x 4 +1 )
3
¿
−8 x
3
−
2
2
( x 4+ 1 ) x
c. Tunjukkan bahwa aturan pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif; yakni,
14
D x ( x−n )=−n x−n−1
Penyelesaian
D x ( x−n )=D x
¿
1
n
x
( )
x n . 0−1 . n x n−1
x2n
n−1
−n x
¿
2n
x
¿−n x
−n−1
Kita melihat sebagai bagian dari contoh sebelumnya bahwa
Maka dengan rumus aturan pangkat bulat negatif didapat
Dx
( 3x )=3 D ( x
−1
x
)=3 (−1 ) x −2=¿
BAB III
PENUTUP
15
−3
.
x2
Dx
( 3x )= −3x
2
A. KESIMPULAN
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Turunan ( diferensial )
digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometrid an
mekanika.
DAFTAR PUSTAKA
16
Finizio dan G.Ladas . 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Edisi
kedua. Jakarta:Erlangga.
Muchtinah, Ety Sri, dkk. 2009. Matematika Untuk SMA/MA kelas XI. Bekasi:Swadaya
Murni
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi kedelapan. Jakarta:Erlangga
Zaelani, Ahmad, dkk. 2006. 1700 BANK SOAL Bimbingan Pemantapan MATEMATIKA
Untuk SMA/MA. Bandung:Yrama Widya.
17
“TURUNAN DAN FUNGSI”
:
Y
DISUSUN OLEH KELOMPOK 4 : 1. JUNANDA ARDIANSYAH
2. BENNY SYAWILDI
3. WAWAN SUHENDRA
4. ZAID MUAMMAR
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat
dan kesehatan kepada kita semua, sehingga kita dapat melaksanakan suatu
proses pembelajaran sebagaimana yang terlaksana seperti sekarang ini. Dalam
Makalah ini, kami mencoba membuat suatu pembahasan mengenai “Turunan
dan Fungsi” yang dapat kami sajikan yaitu beberapa defenisi- defenisi dan
rumus-rumus disertai dengan contoh dan pembahasan soal. Makalah ini sangat
sederhana dan masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu, untuk
membantu kesempurnaan Makalah ini, kami sangat mengharapkan kritik dan
saran dari semua pihak terutama bapak dosen. Selain itu atas kekurangankekurangan yang ada didalam Makalah ini maka saya juga memohon maaf
yang sebesar- besarnya.
Mudah-mudahan
dengan
adanya
pembuatan
makalah
ini
dapat
memberikan manfaat berupa ilmu pengetahuan yang baik bagi penulis maupun
bagi kita semua.
1
DAFTAR ISI
Kata Pengantar .......................................................................................................
1
Daftar Isi
2
BAB 1
...............................................................................................................
: PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ......................................................................................
3
B. Rumusan Masalah .................................................................................
3
C. Tujuan ....................................................................................................
3
BAB II : PEMBAHASAN
2
BAB 1
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Turunan fungsi (diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Turunan ( diferensial )
digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan
mekanika.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan ( differentiation ). Teorema
dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari
pengintegralan. Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika
yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input
nilainya.Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Persamaan –
persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting
dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan sering muncul dalam berbagai bidang
matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial dan bahkan
aljabar abstrak.
B. RUMUSAN MASALAH
Makalah ini membahas defenisi dari turunan fungsi. Dalam makalah ini dijelaskan
rumus – rumus, aturan pencarian turunan dan disertai dengan contoh soal dan
pembahasannya.
C. TUJUAN
1. Untuk mengetahui defenisi dari turunan
2. Untuk mengetahui aturan pencarian turunan
3. Dapat menyelesaikan soal – soal yang berkaitan dengan turunan
3
BAB II
PEMBAHASAN
A. TURUNAN FUNGSI
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya
fungsi
f
menjadi
f'
fungsi f : x → f ( x) pada
yang mempunyai nilai tidak beraturan. Laju perubahan nilai
x=a
dapat ditulis:
Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu
fungsi yang kontinu pada selang - ∞
¿ x< ∞ , berlaku
lim f ( x +h ) −f ( x )
h →0
h
(turunan pertama dari f ( x ) ). Sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:
f ' ( x )=lim
h→0
f ( x +h )−f (x)
h
4
= f '(x)
f
Jika nilai limitnya ada, fungsi
f
disebut fungsi turunan dari
y '=f '(x ) . Notasi dari
dikatakan diferensiabel di
. Turunan dari
y=f ( x)
y ' =f '( x ) juga dapat ditulis:
x , dan f ' (x)
sering kali ditulis dengan
dy df (x)
=
.
dx
dx
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa)
fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan
Turunan”,
namun
istilah
“persamaan
diferensial”
(aequatio
differentialis)
yang
diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum
digunakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial
y ’=
3 x2
( y+1)
x 3 +1
dapat ditulis dalam bentuk
[
]
3 x2
3 x2
3 x2
'
dy= 3 ( y+ 1) dx atau y − 3
y= 3
x +1
x +1
x +1
Contoh soal :
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x )=x 3 +5 !
Penyelesaian :
f ( x )=x 3 +5
3
f ( x +h ) =( x+ h ) + 5
3
2
2
2
¿ x +3 x h+3 x h +h +5
f ’ (x) =
=
=
=
lim f ( x +h ) −f (x )
h →0
h
lim x 3+ 3 x 2 h+3 x h2 +h 2+5−(x 3 +5)
h →0
h
lim 3 x 2 h+3 x h2+ h2
h →0
h
lim h(3 x 2 +3 xh+h)
h →0
h
5
2
(3 x +3 xh+h)
= lim
h→0
= 3 x2 +3 x .0+ 02
= 3 x2
2. Carilah f ' ( x ) jika f ( x )= √ x , x >0
Penyelesaian
lim f ( x +h )−f (x)
'
h→0
f ( x )=
h
lim √ x+ h−√ x
¿ h →0
h
Dalam soal ini dapat diselesaikan dengan merasionalkan pembilang.
=
=
=
=
=
[√
x+ h− √ x √ x +h+ √ x
.
h
h→0
√ x +h+ √ x
lim x +h−x
f ’ (x) = lim
]
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim h
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim 1
h →0
√ x +h+ √ x
1
√ x +√ x
1
2√x
B. ATURAN PENCARIAN TURUNAN
f
Turunan suatu fungsi
adalah rumus untuk
f , maka
Ketika kita menurunkan
mengoperasikan
simbol
Dx
f
adalah fungsi lain
f,
2
f ’ ( x)=3 x +7
adalah rumus untuk
artinya kita mendiferensiasikan
untuk menghasilkan
bahwa kita mengambil turunan (terhadap peubah
3
2
Dx (x +7 x)=3 x +7.
1. Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat
Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta
6
f.
f’ .
Turunan
f ’ . Kita biasanya menggunakan
untuk menandakan operasi diferensiasi. Simbol
D x f ( x)=f ’( x ) atau
f (x)=x 3 +7 x
f ’ . Jika
Dx
menyatakan
x ). Maka, kita menuliskan
f (x)=k
Jika
dengan
k
suatu konstanta, maka untuk sebarang
x , f ’ ( x )=0 ; yakni
D x (k)=0
Bukti
lim f ( x +h ) −f (x )
f ’ (x)=¿
h →0
h
lim k −k
¿ h →0
h
¿ lim 0
h→0
¿0
Teorema B : Aturan Fungsi Identitas
Jika f ( x)=x , maka f ’ (x)=1 ; yakni
D x (x )=1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
f ( x +h )−f ( x )
h
¿ lim
h→0
x+ h−x
h
lim h
¿ h →0
h
¿1
Teorema C : Aturan Pangkat
Jika f (x)=x n , dengan n bilangan bulat positif, maka f ’ (x)=n xn−1 ; yakni
7
n
Dx (x )=n x
n−1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
f ( x +h )−f ( x )
h
lim (x +h)n−x n
¿
h →0
h
x n +n x n−1 h+
¿ lim ¿
h→0
¿
lim ¿
h→0
[
n(n−1) n−2 2
x h + … .+ nx h n−1 +h 2−x n
2
h
h n x n−1 +
n(n−1) n−2
x h+…+ nx h n−2 +h n−1
2
h
]
h
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai
faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila
h
sebagai
mendekati
nol. Jadi
n−1
f ’ (x)=n x
Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa :
Dx ( x 3 )=3 x 2 D x ( x 9 ) =9 x8 D x ( x 100 )=100 x 99
Jika k
Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta
suatu konstanta dan f
suatu fungsi yang terdiferensial maka
(kf ) ’( x )=k . f ’ ( x); yakni,
D x [ k . f ( x ) ]=k . Dx . f (x )
Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari
operator Dx.
Bukti
8
Andaikan
F( x )=k . f ( x). Maka
lim F ( x+ h )−F ( x )
F ’ ( x )=
h→ 0
h
k . f ( x +h )−k . f ( x)
h
¿
lim ¿
¿
lim k .
h→0
h→0
f ( x +h )−f (x )
h
¿ k . f ' (x )
Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah
D x (−7 x 3 ) =−7 D x ( x 3 ) =−7 . 3 x 2=−21 x 2
dan
Dx
9
9
8
8
x
Teorema E : Aturan Jumlah
f
Jika
( 43 x )= 43 D ( x )= 43 . 9 x =12 x
dan
g
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdiferensial,
maka
(f + g) ’ ( x)=f ’( x )+ g’ (x ); yakni,
D x [ f ( x ) +g ( x) ] =Dx f (x )+ Dx g ( x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunanturunan.
Bukti
Andaikan
F ’ (x)
F(x )=f (x)+ g (x). Maka
¿
¿ lim ¿
h→0
lim [ f ( x +h ) + g ( x +h ) ]− [ f ( x )+ g (x) ]
h →0
h
[
f ( x +h )−f (x) g ( x+ h )−g( x)
+
h
h
9
]
lim f ( x +h ) −f ( x )
h →0
¿
lim ¿
+¿
h
h→0
g ( x +h ) −g (x)
h
¿ f ' ( x )+ g ' ( x )
Jika
f
Teorema F : Aturan selisih
g
dan
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdiferensiasikan,
( f −g )' ( x )=f ' ( x ) −g ' ( x) ; yakni,
D x [ f ( x )−g ( x ) ] =D x f ( x )−D x g ( x )
Bukti
Andaikan
F ’ (x)
F ( x )=f ( x ) −g ( x) . Maka
¿
¿ lim ¿
h→0
lim [ f ( x +h ) −g ( x +h ) ] −[ f ( x )−g(x ) ]
h →0
h
[
f ( x +h )−f ( x) g ( x +h ) −g(x)
−
h
h
lim f ( x +h ) −f ( x )
¿ h →0
h
−¿
lim ¿
h→0
]
g ( x +h ) −g ( x)
h
¿ f ' ( x )+ g ' ( x )
Contoh:
Tentukan turunan dari 5 x2 +7 x – 6 dan 4 x 6 – 3 x 5 – 10 x 2 +5 x+ 16.
Penyelesaian
D x (5 x 2+ 7 x – 6)=Dx (5 x 2+ 7 x ) – D x (6)
2
¿ Dx (5 x )+ D x (7 x) – D x (6)
10
(Teorema F)
(Teorema E)
maka
2
¿ 5 Dx ( x )+7 D x ( x) – D x (6)
(Teorema D)
¿ 5 .2 x+ 7 .1+0
(Teorema C,B,A)
¿ 10 x +7
Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema
pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,
D x (4 x 6 – 3 x5 – 10 x 2+ 5 x +16)=D x (4 x 6 )– Dx (3 x 5) – D x (10 x2 )+ Dx (5 x)+ D x (16)
6
5
2
¿ 4 D x (x ) – 3 D x ( x )– 10 Dx (x )+5 D x (x )+ Dx (16)
¿ 4 (6 x 5) – 3 (5 x 4 ) – 10(2 x)+5 (1)+0
5
4
¿ 24 x – 15 x – 20 x +5
2. Turunan Hasilkali dan Hasilbagi
Teorema G : Aturan Hasilkali
Jika f
dan
g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
(f . g)’ (x)=f ( x) g ’ ( x)+ g ( x)f ’ (x)
Yakni,
D x [f ( x) g (x)]=f (x) Dx g ( x)+ g(x )D x f (x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua
fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi
kedua dikalikan fungsi pertama.
Bukti
Andaikan
F ’ (x)=f (x ) g(x ). Maka
11
lim F ( x +h )−F (x )
'
F ( x )=
h →0
h
f ( x+ h ) g ( x +h ) −f ( x ) g( x )
h
¿ lim ¿
h→0
lim f ( x +h ) g ( x+ h )−f ( x +h ) g ( x )+ f ( x+ h ) g ( x )−f ( x ) g( x )
¿
h →0
h
[
lim f ( x+ h ) .
¿
h→0
g ( x+ h )−g( x )
F ( x+ h )−F ( x)
+g ( x ).
h
h
g ( x +h ) −g ( x)
+¿
h
lim ¿
lim f ( x+ h ) .
¿
h→0
h→0
]
lim F ( x+ h )−F (x)
g ( x) .
h →0
h
¿ f (x) g ’ ( x)+ g ( x)f ’ (x)
Contoh :
2
Carilah turunan
4
(3 x – 5)(2 x – x)
dengan menggunakan aturan hasil kali.
Periksalah jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain.
Penyelesaian :
D x [ ( 3 x −5 ) (2 x −x) ]=(3 x – 5) D x (2 x – x)+(2 x – x) D x (3 x −5)
2
4
2
4
4
2
¿(3 x 2 – 5)(8 x3 – 1)+(2 x 4 – x )(6 x)
¿ 24 x 5 – 3 x 2 – 40 x 3 +5+12 x5 +6 x 2
5
3
2
¿ 36 x – 40 x – 9 x +5
Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.
( 3 x 2−5 ) (2 x 4−x )=6 x 6 – 10 x 4 – 3 x 3+5 x
Jadi,
12
D x [ ( 3 x 2−5 ) ( 2 x 4−x ) ] =Dx ( 6 x 6 ) – D x (10 x 4 ) – Dx (3 x 3)+ D x (5 x )
¿ 36 x5 – 40 x3 – 9 x 2 +5
Teorema H : Aturan Hasilbagi
Andaikan f
dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan
g( x) ≠ 0 . Maka
'
'
g ( x ) f ( x )−f ( x ) g (x)
f '
( x )=
g
g 2( x )
()
Yakni,
Dx
( fg(x( x )) )
=
g ( x ) D x f ( x )−f ( x ) D x g ( x)
g2 ( x )
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi
adalah sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi
pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.
Bukti
Andaikan
F ( x )=
f (x)
. Maka
g (x)
F' ( x )=lim
h→0
lim
¿
h →0
F ( x +h )−F (x )
h
f ( x +h) f (x )
−
g (x+ h) g(x )
h
lim g ( x ) f ( x +h ) −f ( x ) g (x+ h)
¿
h →0
.
h
¿ lim
h→0
[
1
g ( x ) g(x +h)
g ( x ) f ( x +h )−g ( x ) f ( x ) + g ( x ) f ( x ) −f ( x ) g ( x +h )
1
.
h
g ( x ) g ( x +h )
13
]
¿ lim
h→0
{[
g(x)
]
f ( x +h ) −f ( x)
g ( x+ h )−g (x)
1
−f (x)
h
h
g ( x ) g(x +h)
¿ [ g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g ' ( x) ]
}
1
g ( x ) g ( x)
Contoh:
a. Carilah turunan
x
(¿¿ 2+7)
.
(3 x−5)
¿
Penyelesaian:
DX
[
2
2
3 x−5 ( x +7 ) Dx ( 3 x−5 )−(3 x −5) D x ( x +7)
=
2
x 2 +7
( x 2 +7 )
]
( x 2 +7 ) ( 3 )−(3 x−5)(2 x)
¿
2
( x 2+7 )
¿
−3 x 2+10 x +21
2
( x 2 +7 )
Dx y
b. Carilah
jika
y=
2
3
+
x +1 x
4
Penyelesaian
D x y=D x
( x 2+1 )+ D ( 3x )
x
4
( x 4+ 1 ) D x ( 2 ) −2 D x ( x 4 +1) x D x ( 3 ) −3 D x (x)
¿
+
2
x2
( x4 + 1)
¿
( x 4+ 1 ) ( 0 )−2 ( 4 x3 ) x ( 0 )−3 ( 1 )
+
2
x2
( x 4 +1 )
3
¿
−8 x
3
−
2
2
( x 4+ 1 ) x
c. Tunjukkan bahwa aturan pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif; yakni,
14
D x ( x−n )=−n x−n−1
Penyelesaian
D x ( x−n )=D x
¿
1
n
x
( )
x n . 0−1 . n x n−1
x2n
n−1
−n x
¿
2n
x
¿−n x
−n−1
Kita melihat sebagai bagian dari contoh sebelumnya bahwa
Maka dengan rumus aturan pangkat bulat negatif didapat
Dx
( 3x )=3 D ( x
−1
x
)=3 (−1 ) x −2=¿
BAB III
PENUTUP
15
−3
.
x2
Dx
( 3x )= −3x
2
A. KESIMPULAN
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Turunan ( diferensial )
digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometrid an
mekanika.
DAFTAR PUSTAKA
16
Finizio dan G.Ladas . 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Edisi
kedua. Jakarta:Erlangga.
Muchtinah, Ety Sri, dkk. 2009. Matematika Untuk SMA/MA kelas XI. Bekasi:Swadaya
Murni
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi kedelapan. Jakarta:Erlangga
Zaelani, Ahmad, dkk. 2006. 1700 BANK SOAL Bimbingan Pemantapan MATEMATIKA
Untuk SMA/MA. Bandung:Yrama Widya.
17