Review Probabilitas dan Statistik Dasar
Review
Probabilitas dan Statistik
Dasar
Overview
Dunia nyata dari sudut pandang modeler adalah probabilistik,
bukan deterministik
Beberapa model statistik bisa memodelkan variasinya
Model yang cocok bisa dibuat dengan melihat fenomena
terkait
Dipilih distribusi yang ada dari dugaan
Dibuat perkiraan parameter
Diuji kesesuaiannya
Variable Random Diskret
X adalah variabel random diskret jika jumlah kemungkinan
nilai X terbatas
Contoh: X : jumlah pelanggan yang datang pada antrian
tunggal
Rx : nilai yang mungkin untuk X = {0,1,2,3,...}
p(xi) : probabilitas nilai random adalah xi = P(X=xi)
p(xi), i=1,2,3,... harus memenuhi:
p(xi) > 0, untuk semua i
∞
∑
=
=
Himpunan dari pasangan [Xi, p(xi)], i=1,2,... Dinamakan
probability distribution function dari X, dan p(xi) disebut
probability mass function dari X
Variabel Random Kontinu
X adalah variabel random kontinu, jika range space dari X (Rx)
adalah interval
Probabilitas X berada dalam interval [a,b] adalah
≤ ≤
=∫
f(x) dinyatakan sebagai pdf dari X, memenuhi:
>, , untuk x dalam Rx
∫
=
=
, untuk x diluar Rx
Variabel random kontinu
Contoh : umur suatu perangkat tertentu
=
−
,x>0
f(x) = 0, untuk nilai lainnya
X mempunyai distribusi exponensial dengan mean 2 tahun
Probabilitas bahwa perangkat hidup antara 2 dan 3 tahun
≤ ≤
=
∫
−
=
Cummulative Distribution Function
Cdf dinyatakan sebagai F(x), dimana F(x) = P(X≤x)
Jika x diskret maka
=
∑
≤
Jika x kontinu maka
=
∫
−∞
Sifat CDF
F(X) adalah non decreasing function, a < b, F(a) < F(b)
limx→∞ F(x) = 1
limx→-∞ F(x) = 0
Contoh CDF
=
Umur perangkat
∫
−
−
= −
Probabilitas umur perangkat kurang dari 2 tahun
≤
≤
=
−
=
= −
=
Probabilitas umur antara 2 sampai 3 tahun
=
−
=
−
−
−
−
−
=
Ekspektasi
Ekspektasi nilai dari X dinyatakan E(x)
Jika X diskret
=∑
Jika X kontinu
∞
=
∫
−∞
Variansi dan deviasi
Varian dari X dinyatakan V(X)
Definisi :V(X) = E[X - E[X]2]
Juga : V(X) = E(X2) – [E(x)]2
Ukuran dari sebaran nilai kemungkinan nilai x di sekitar mean
Standard Deviasi dari X
Akar kuadrat dari V(X)
Model Statistik
Antrian
Sistem inventori dan suply chain
Kehandalan dan maintainability
Keterbatasan data
Sistem Antrian
Waktu antar kedatangan dan lama waktu layanan probabilistik
Contoh model
Distribusi eksponensial: jika layanan random
Distribusi normal: normal dengan variasi
Potongan normal: normal dengan batasan
Distribusi Gamma dan Weibull : lebih umum daripada
eksponensial
Inventori dan Suply Chain
Umumnya tiga variabel random
Unit yang diminta per order atau per waktu
Waktu antar order
Lead time
Contoh model lead time
Gamma
Contoh model statistik untuk distribusi permintaan:
Poisson
Negative binomial distribution
geometric
Kehandalan dan
Maintainability
TTF (time to failure)
Eksponensial : Random failure
Gamma: untuk stanby redundancy jika setiap komponen adalah
exponensial
Weibull : failure karena cacat pada komponen dari sistem
Normal : failure karena pemakaian
Area lain
Untuk kasus keterbatasan data, distribusi yang lain:
Uniform, triangular, dan beta
Distribusi lain:
Bernoulli, binomial, hyperexponential
Diskusi Kelompok
Bahas masing-masing distribusi berikut:
Bernoulli, binomial, Hyperexponential
Uniform, triangular, dan beta
Berikan penjelasan, fungsi, contoh.
Bahas tentang simulasi sistem inventori sederhana
Model
Model probabilitas dan statistik yang dipakai
Distribusi Diskret
Variabel random diskret dipakai untuk memodelkan fenomena
random yang hanya menggunakan nilai integer
Percobaan Bernoulli dan distribusi Bernoulli
Distribusi binomial
Distribusi binomial negatif dan geometric
Distribusi Poisson
Percobaan Bernoulli dan distribusi
bernoulli
Misalkan dilakukan n percobaan, masing-masing percobaan
bisa sukses dan gagal:
Xj = 1 jika sukses
Xj = 0 jika gagal
Distribusi Bernoulli (satu percobaan)
=
= −
=
=
=
=
=
Dimana E(Xj)=p dan V(Xj)=p(1-p)=pq
Bernoulli process:
N percobaan Bernoulli dimana masing-masing bebas:
P(x1,x2,x3,...,xn)=p1(x1)p2(x2)p3(x3)...pnxn
Distribusi binomial
Jumlah sukses dalam n percobaan Bernoulli , X, mempunyai
distribusi binomial
=
−
=
Mean : E(x) = p + p + ... + p = n*p
Varians : V(X) = pq + pq + ... + pq = n*pq
Distribusi binomial negatif dan
geometric
Distribusi geometric
Jumlah percobaan Bernoulli X untuk mendapatkan sukses
pertama
=
−
=
E(X)=1/p, V(X)=q/p2
Distribusi binomial negatif
Jumlah percobaan Bernoulli sampai sukses ke k
Jika Y adalah distribusi binomial negatif dengan parameter p dan
k maka:
−
= −
−
E(Y)=k/p dan V(X)=kq/p
=
+
+
Distribusi Poisson
Bisa dipakai untuk memodelkan distribusi banyak proses
dengan baik dan secara matematis sederhana
Jika α > 0, pdf dan cdf
=
−α
E(X) = α =V(X)
α
=
=∑
=
−α
α
Distribusi Poisson
Seorang technical support mendapat permintaan per jam
dengan distribusi Poisson (α = 2 per jam)
Probabilitas 3 permintaan dalam jam berikutnya
p(3)=(e-223)/3!=0.18
P(3)=F(3)-F(2)=0.857-0.677=0.18
Probabilitas 2 atau lebih permintaan dalam tiap jam
P(2 atau lebih) = 1-p(0)-p(1) = 1-F(1)=0.594
Distribusi kontinu
Uniform
Exponential
Normal
Weibul
Lognormal
Distribusi uniform
Variabel random disktret mempunyai distribusi uniform dalam
interval (a,b),U(a,b) jika pdf dan cdfnya
= −
≤ ≤
Sifat
E(X)=(a+b)/2, V(X)=(b-a)2/12
−
=
−
≤
≥
Distribusi eksponensial
Variabel random X terdistribusi eksponensial dengan
parameter λ> 0 jika pdf dan cdfnya
λ
=
−λ
E(X) = 1/λ, V(X) = 1/λ2
>
=
∫ λ
−λ
= −
−λ
≥
Distribusi Normal
Variabel random dengan distribusi normal mempunyai pdf
=
σ
Mean ∞
Variance σ
Dinyatakan
π
−
−
σ
∞
σ
∞
∞
Distribusi Weibull
Variabel random mempunyai distribusi Weibull dengan pdf
β − β −
= α α
3 parameter
Location parameter v
Scale parameter β
Shape parameter α
− β
−
α
≥
Distribusi lognormal
Variable random dengan distribusi lognormal mempunyai pdf
=
πσ
(
−
−
σ
)
Distribusi Poisson
Sifat
−λ
=
=
λ
≥
=
Probabilitas dan Statistik
Dasar
Overview
Dunia nyata dari sudut pandang modeler adalah probabilistik,
bukan deterministik
Beberapa model statistik bisa memodelkan variasinya
Model yang cocok bisa dibuat dengan melihat fenomena
terkait
Dipilih distribusi yang ada dari dugaan
Dibuat perkiraan parameter
Diuji kesesuaiannya
Variable Random Diskret
X adalah variabel random diskret jika jumlah kemungkinan
nilai X terbatas
Contoh: X : jumlah pelanggan yang datang pada antrian
tunggal
Rx : nilai yang mungkin untuk X = {0,1,2,3,...}
p(xi) : probabilitas nilai random adalah xi = P(X=xi)
p(xi), i=1,2,3,... harus memenuhi:
p(xi) > 0, untuk semua i
∞
∑
=
=
Himpunan dari pasangan [Xi, p(xi)], i=1,2,... Dinamakan
probability distribution function dari X, dan p(xi) disebut
probability mass function dari X
Variabel Random Kontinu
X adalah variabel random kontinu, jika range space dari X (Rx)
adalah interval
Probabilitas X berada dalam interval [a,b] adalah
≤ ≤
=∫
f(x) dinyatakan sebagai pdf dari X, memenuhi:
>, , untuk x dalam Rx
∫
=
=
, untuk x diluar Rx
Variabel random kontinu
Contoh : umur suatu perangkat tertentu
=
−
,x>0
f(x) = 0, untuk nilai lainnya
X mempunyai distribusi exponensial dengan mean 2 tahun
Probabilitas bahwa perangkat hidup antara 2 dan 3 tahun
≤ ≤
=
∫
−
=
Cummulative Distribution Function
Cdf dinyatakan sebagai F(x), dimana F(x) = P(X≤x)
Jika x diskret maka
=
∑
≤
Jika x kontinu maka
=
∫
−∞
Sifat CDF
F(X) adalah non decreasing function, a < b, F(a) < F(b)
limx→∞ F(x) = 1
limx→-∞ F(x) = 0
Contoh CDF
=
Umur perangkat
∫
−
−
= −
Probabilitas umur perangkat kurang dari 2 tahun
≤
≤
=
−
=
= −
=
Probabilitas umur antara 2 sampai 3 tahun
=
−
=
−
−
−
−
−
=
Ekspektasi
Ekspektasi nilai dari X dinyatakan E(x)
Jika X diskret
=∑
Jika X kontinu
∞
=
∫
−∞
Variansi dan deviasi
Varian dari X dinyatakan V(X)
Definisi :V(X) = E[X - E[X]2]
Juga : V(X) = E(X2) – [E(x)]2
Ukuran dari sebaran nilai kemungkinan nilai x di sekitar mean
Standard Deviasi dari X
Akar kuadrat dari V(X)
Model Statistik
Antrian
Sistem inventori dan suply chain
Kehandalan dan maintainability
Keterbatasan data
Sistem Antrian
Waktu antar kedatangan dan lama waktu layanan probabilistik
Contoh model
Distribusi eksponensial: jika layanan random
Distribusi normal: normal dengan variasi
Potongan normal: normal dengan batasan
Distribusi Gamma dan Weibull : lebih umum daripada
eksponensial
Inventori dan Suply Chain
Umumnya tiga variabel random
Unit yang diminta per order atau per waktu
Waktu antar order
Lead time
Contoh model lead time
Gamma
Contoh model statistik untuk distribusi permintaan:
Poisson
Negative binomial distribution
geometric
Kehandalan dan
Maintainability
TTF (time to failure)
Eksponensial : Random failure
Gamma: untuk stanby redundancy jika setiap komponen adalah
exponensial
Weibull : failure karena cacat pada komponen dari sistem
Normal : failure karena pemakaian
Area lain
Untuk kasus keterbatasan data, distribusi yang lain:
Uniform, triangular, dan beta
Distribusi lain:
Bernoulli, binomial, hyperexponential
Diskusi Kelompok
Bahas masing-masing distribusi berikut:
Bernoulli, binomial, Hyperexponential
Uniform, triangular, dan beta
Berikan penjelasan, fungsi, contoh.
Bahas tentang simulasi sistem inventori sederhana
Model
Model probabilitas dan statistik yang dipakai
Distribusi Diskret
Variabel random diskret dipakai untuk memodelkan fenomena
random yang hanya menggunakan nilai integer
Percobaan Bernoulli dan distribusi Bernoulli
Distribusi binomial
Distribusi binomial negatif dan geometric
Distribusi Poisson
Percobaan Bernoulli dan distribusi
bernoulli
Misalkan dilakukan n percobaan, masing-masing percobaan
bisa sukses dan gagal:
Xj = 1 jika sukses
Xj = 0 jika gagal
Distribusi Bernoulli (satu percobaan)
=
= −
=
=
=
=
=
Dimana E(Xj)=p dan V(Xj)=p(1-p)=pq
Bernoulli process:
N percobaan Bernoulli dimana masing-masing bebas:
P(x1,x2,x3,...,xn)=p1(x1)p2(x2)p3(x3)...pnxn
Distribusi binomial
Jumlah sukses dalam n percobaan Bernoulli , X, mempunyai
distribusi binomial
=
−
=
Mean : E(x) = p + p + ... + p = n*p
Varians : V(X) = pq + pq + ... + pq = n*pq
Distribusi binomial negatif dan
geometric
Distribusi geometric
Jumlah percobaan Bernoulli X untuk mendapatkan sukses
pertama
=
−
=
E(X)=1/p, V(X)=q/p2
Distribusi binomial negatif
Jumlah percobaan Bernoulli sampai sukses ke k
Jika Y adalah distribusi binomial negatif dengan parameter p dan
k maka:
−
= −
−
E(Y)=k/p dan V(X)=kq/p
=
+
+
Distribusi Poisson
Bisa dipakai untuk memodelkan distribusi banyak proses
dengan baik dan secara matematis sederhana
Jika α > 0, pdf dan cdf
=
−α
E(X) = α =V(X)
α
=
=∑
=
−α
α
Distribusi Poisson
Seorang technical support mendapat permintaan per jam
dengan distribusi Poisson (α = 2 per jam)
Probabilitas 3 permintaan dalam jam berikutnya
p(3)=(e-223)/3!=0.18
P(3)=F(3)-F(2)=0.857-0.677=0.18
Probabilitas 2 atau lebih permintaan dalam tiap jam
P(2 atau lebih) = 1-p(0)-p(1) = 1-F(1)=0.594
Distribusi kontinu
Uniform
Exponential
Normal
Weibul
Lognormal
Distribusi uniform
Variabel random disktret mempunyai distribusi uniform dalam
interval (a,b),U(a,b) jika pdf dan cdfnya
= −
≤ ≤
Sifat
E(X)=(a+b)/2, V(X)=(b-a)2/12
−
=
−
≤
≥
Distribusi eksponensial
Variabel random X terdistribusi eksponensial dengan
parameter λ> 0 jika pdf dan cdfnya
λ
=
−λ
E(X) = 1/λ, V(X) = 1/λ2
>
=
∫ λ
−λ
= −
−λ
≥
Distribusi Normal
Variabel random dengan distribusi normal mempunyai pdf
=
σ
Mean ∞
Variance σ
Dinyatakan
π
−
−
σ
∞
σ
∞
∞
Distribusi Weibull
Variabel random mempunyai distribusi Weibull dengan pdf
β − β −
= α α
3 parameter
Location parameter v
Scale parameter β
Shape parameter α
− β
−
α
≥
Distribusi lognormal
Variable random dengan distribusi lognormal mempunyai pdf
=
πσ
(
−
−
σ
)
Distribusi Poisson
Sifat
−λ
=
=
λ
≥
=