Pemodelan matematika mengenai masalah konduksi panas - USD Repository
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI MASALAH KONDUKSI
PANAS
Makalah
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program studi matematika
Oleh
Erlika Priyati
093114009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
2014
i
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
MAKALAH
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI
MASALAH KONDUKSI PANAS
Oleh:
Erlika Priyati
NIM: 093114009
Telah disetujui oleh:
Pembimbing
Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si.,M.Si.
Tanggal 21 Juli 2014
ii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
MAKALAH
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI
MASALAH KONDUKSI PANAS
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Erlika Priyati
NIM: 093114009
Telah dipertahankan didepan Panitia Penguji
pada tanggal 24 Juli 2014
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap
Tanda Tangan
Ketua
Hartono,Ph.D.
………………
Sekretaris
Sudi Mungkasi,Ph.D.
………………
Anggota
Lusia Krismiyati Budiasih,S.Si., M.Si.
………………
Yogyakarta, 24 Juli 2014
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
(P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc.)
iii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dalam hidupku.
“Sebab Engkau bukit batuku dan pertahananku, dan oleh karena-Mu
Engkau akan menuntun dan membimbing aku.”
(Mazmur 31:4)
“Engkaulah persembunyianku dan perisaiku;
aku berharap kepada firman-Mu.”
(Mazmur 119:114)
Karya ini aku persembahkan untuk:
Orang-orang terkasih: keluarga besar mbah Margono,
simbah, bapak, mami, Septi, dan denok
Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009
iv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 21 Juli 2014
Penulis
Erlika Priyati
v
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah pemodelan matematika
mengenai masalah konduksi panas. Masalah panas sering ditemukan pada
berbagai peristiwa, dan seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah
yang memuat pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan
konduksi panas. Konduksi panas merupakan proses perpindahan panas dari daerah
yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media
tersebut dapat berupa zat padat, zat cair dan zat gas.
Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu merupakan
suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas merupakan proses
perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang berbeda, energi yang mengalir
tersebut disebut juga energi panas atau panas. Bila sebuah media dikenai panas
maka suhu media menjadi naik. Demikian juga sebaliknya, suatu media menjadi
dingin akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya.
Pada model pendinginan air, suhu akan turun mendekati suhu di
sekitarnya. Model ini dikatakan baik karena jika dibandingkan dalam keadaan
real, hasil dari model sudah mendekati keadaan real. Untuk model pemanas air,
jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama maka suhunya akan menjadi
sangat tinggi. Model ini dikatakan kurang baik karena jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan. Untuk
masalah konduksi panas melalui dinding, model ini membahas tentang distribusi
suhu terhadap ketebalan dinding dan merupakan fungsi linear. Model konduksi
panas melalui dinding dikatakan baik hanya untuk ketebalan dinding tertentu.
Model konduksi panas radial merupakan fungsi logaritma. Model ini berlaku
untuk kondisi suhu setimbang.
vi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
Topics covered in this paper is the mathematical modeling of heat
conduction problems. Heat problems often found in a variety of events, and is
often associated with temperature. Some of the problems of heating and cooling
load are often associated with heat conduction. Heat conduction is the process of
heat transfer from the high temperature to the low temperature in a media. The
media can be a solid, liquid and gas substances.
Heat and temperature have a very close relationship. Temperature is a
quantity to measure the heat. Heat transfer is the process of energy transfer that
flows at different temperatures, the flow of energy is also called thermal energy or
heat. When a media receive heat then the temperature of media will be rise.
Conversely, a media will be cool down due to temperature because heat is lost to
the surrounding.
In the model of cooling water, the temperature will decrease closer to the
surrounding temperature. This model is said to be good because if it is compared
to the real situation, the result of model will approach the real situation. For model
of the water heater, if the water is heated in a very long time, the temperature will
be very high. This model is said to be less good because if the water is heated in a
very long time, if will be depleted due to evaporation. For the problem of heat
conduction through the wall, it is model about the temperature distribution of the
wall thickness, which is a linear function. Model of heat conduction through the
walls said to be good only for a certain wall thickness. Radial heat conduction
model is a logarithmic function. This model applies to the condition of
equilibrium temperature.
vii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN
AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama: Erlika Priyati
NIM: 093114009
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Pemodelan Matematika Mengenai Masalah Konduksi Panas
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada
Perpustakaan
Universitas
Sanata
Dharma
untuk
menyimpan,
mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalan bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau
media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya
maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 21 Juli 2014
Yang menyatakan
(Erlika Priyati)
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
memberikan
hikmat
dan
menyertai
penulis
sehingga
penulis
mampu
menyelesaikan makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan
untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1)
dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak
pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi
Matematika dan dosen pembimbing, yang senantiasa sabar dalam
membimbing dalam menyelesaikan makalah ini.
2. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberi pengetahuan
kepada penulis selama proses kuliah ini.
3. Keluarga besar mbah Margana, terutama untuk Alm. St. Darmawidjaja Pr.
(pakdhe sus), Br. Michael Pudyartana (pakdhe pud), Ig. Budi Lingana
(pakdhe luluk), dan G. Budi Prijatmo (pakdhe momok), yang telah sudi
untuk membantu biaya kuliah penulis dan selalu memberikan motivasi
untuk menyelesaikan kuliah.
4. Simbah, kedua orang tuaku, dan adik-adikku yang senantiasa memberikan
doa, motivasi dan dukungannya.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5. Teman-teman Matematika 2009: Nana, Faida, Ochie, Etik, Jojo, Sekar,
Kuthull, dan Dimas, terima kasih untuk kebersamaan dalam suka maupun
duka dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis.
6. Widiantoro yang selalu memberikanku semangat dan sebagai salah satu
motivasiku untuk menyelesaikan makalah ini.
7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah terlibat
dalam proses penulisan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah
ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan
makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat
bagi para pembaca.
Yogyakarta, 21 Juli 2014
Penulis
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .......................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..............................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................
iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................
iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..........................................................
v
ABSTRAK .......................................................................................................
vi
ABSTRACT .................................................................................................... vii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............. viii
KATA PENGANTAR .....................................................................................
ix
DAFTAR ISI ...................................................................................................
xi
DAFTAR TABEL ........................................................................................... xiii
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN ...............................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah ......................................................................
1
B. Rumusan Masalah ................................................................................
3
C. Batasan Masalah ..................................................................................
3
D. Tujuan Penulisan .................................................................................
3
E. Manfaat Penulisan ...............................................................................
3
F. Metode Penulisan ................................................................................
3
G. Sistematika Penulisan ..........................................................................
4
BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL .....
6
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
A. Model Matematika ................................................................................
6
B. Limit Fungsi Dan Turunan ....................................................................
8
C. Persamaan Diferensial ........................................................................... 23
BAB III MODEL KONDUKSI PANAS ......................................................... 28
A.
Panas Dan Suhu .................................................................................. 28
B.
Konduksi Panas Pada Proses Pendinginan Air ................................... 30
C.
Konduksi Panas Pada Pemanas Air .................................................... 38
D.
Konduksi Panas Melalui Dinding ....................................................... 57
E.
Konduksi Panas Radial ....................................................................... 67
BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 77
A. Kesimpulan ........................................................................................... 77
B. Saran ...................................................................................................... 78
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 79
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan ..................................................... 29
Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton
.............................................. 34
Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa bahan ............................................... 60
Tabel 4. Daya konduksi ntuk beberapa macam bahan bangunan .................... 61
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1.
Grafik
fungsi
suhu
terhadap
waktu
pada
proses
pendinginan air ....................................................................... 37
Gambar 3.2.
Diagram skema dari pemanas air ........................................... 39
Gambar 3.3.
Skema perpindahan panas ...................................................... 40
Gambar 3.4.
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.5.
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.6.
................................................................ 51
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.7.
................................................................ 48
................................................................ 54
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.8.
dan
........................... 55
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
dan
untuk waktu
yang lama dan suhu yang sangat tinggi .................................. 56
Gambar 3.9.
Konduksi panas pada dinding ................................................ 62
Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding ................................ 63
Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding ..................... 67
Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial ............................................ 69
Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur ........................................................... 74
Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur ................ 76
xiv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Masalah panas sering ditemukan pada berbagai peristiwa, dan
seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah yang memuat
pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan konduksi
panas. Misalnya, ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum
sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu
untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C? Untuk
menjawab pertanyaan tersebut akan dikenalkan beberapa konsep dasar
fisika, yakni mengenai suhu dan panas. Pada masalah ini terlihat
perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat penting untuk
menyelesaikan masalah tersebut.
Pertama, tentang suhu yang menggambarkan bagaimana panas
pada kopi tersebut. Jika diasumsikan suhu dari kopi seluruhnya adalah
seragam (homogen) maka suhu hanya merupakan fungsi terhadap waktu.
Suhu diukur dengan satuan derajad celcius (0C) atau dalam kelvin (K),
dimana suhu pada derajad celcius (0C) memiliki selisih 273 lebih rendah
daripada suhu pada kelvin. Jadi, 0C + 273 = K.
Kedua, tentang panas. Suhu dari kopi turun karena energi panas
dipindahkan ke udara sekitarnya. Hal ini terjadi karena udara sekitarnya
1
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
bersuhu rendah, dan panas selalu dipindahkan dari daerah bersuhu tinggi
ke daerah bersuhu rendah. Panas adalah sebuah bentuk energi yang diukur
dengan satuan Joule, satuan dari sistem SI.
Kemudian untuk menjawab pertanyaan tentang secangkir kopi
yang disebutkan di atas, dibutuhkan persamaan yang sesuai untuk suhu.
Tetapi untuk itu harus menentukan peristiwa panas terlebih dahulu dan
dibutuhkan persamaan untuk mendiskripsikan kecepatan perpindahan
panas ke sekitar.
Masalah lain yang sama adalah bagaimana menentukan waktu
yang dibutuhkan air pada sebuah pemanas air menjadi panas dengan suhu
tertentu, dengan asumsi suhunya homogen dan merupakan fungsi terhadap
waktu. Air pada pemanas air menjadi panas dipengaruhi oleh elemen
pemanas.
Aplikasi lain dari masalah tentang konduksi panas adalah
perpindahan panas pada dinding. Pertimbangkan kecepatan perpindahan
panas pada dinding. Kecepatan perpindahan panas pada dinding sangat
penting untuk menentukan bahan penyekat dinding, agar energi yang
digunakan lebih efisien. Suhu pada sisi luar dinding akan berbeda dari sisi
dalam, dimana panas akan mengalir dari sisi luar dinding yang bersuhu
tinggi ke sisi dalam dinding yang bersuhu rendah.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:
1. Apa yang dimaksud dengan proses perpindahan panas?
2. Bagaimana pemodelan matematika mengenai konduksi panas?
C. BATASAN MASALAH
Masalah perpindahan panas yang dibahas dalam tulisan ini adalah
masalah konduksi panas pada proses pendinginan air, pemanas air,
konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini yaitu untuk memodelkan masalah konduksi
panas.
E. MANFAAT PENULISAN
Memperoleh
pengetahuan
tentang
pemodelan
matematika
mengenai masalah konduksi panas.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan masalah perpindahan
panas.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II MODEL MATEMATIKA dan PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Model matematika
B. Limit fungsi dan Turunan
C. Persamaan diferensial
BAB III MODEL KONDUKSI PANAS
A. Panas dan suhu
B. Konduksi panas pada proses pendinginan air
C. Konduksi panas pada pemanas air
D. Konduksi panas melalui dinding
E. Konduksi panas radial
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
A.
MODEL MATEMATIKA
Model merupakan gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang
disusun berdasarkan tujuan tertentu. Obyek di sini dapat berupa suatu
sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Sebagai contoh
dari model adalah sebuah maket. Biro arsitektur yang merencanakan
pembangunan suatu kompleks akan membuat gambar-gambar sketsa,
menyusun perhitungan-perhitungan konstruksi kemudian membuat maket
yang merupakan tiruan dari calon kompleks. Jika ada segi-segi yang
kurang disetujui oleh pemilik, maka rencana masih dapat diubah dengan
mudah.
Sistem merupakan suatu himpunan beserta relasi antar unsurunsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Sebagai contoh dari sebuah
sistem adalah suatu rumah sakit. Suatu rumah sakit adalah suatu sistem
yang bertujuan merawat orang sakit. Semua bagian rumah sakit harus
berfungsi mendukung tujuan di atas.
Model hanya menirukan sebagian dari obyek sesuai dengan tujuan
penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari
6
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
dan dimanipulasi lebih lanjut. Dengan demikian dapat dipahami bahwa
model pasti lebih sederhana dari aslinya.
Model dapat dibedakan berdasarkan tujuan penyusunan model. Model
yang berguna mengendalikan keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan
cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya disebut model keterkaitan.
Model yang bertujuan untuk mengadakan pendugaan (prediksi) untuk
memperbaiki keadaan obyek disebut model pendugaan. Sedangkan model
yang berguna mengadakan optimasi bagi obyek disebut model optimasi.
Model menurut jenisnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu model
fisis dan model simbolik (model matematika). Model fisis merupakan
model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya
bentuknya atau polanya. Model simbolik (model matematika) merupakan
model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika/logika
untuk menyajikan perilaku obyek.
Model matematika dapat dianggap sebagai usaha abstraksi
terhadap obyek lewat cara analitis atau numeris dalam benuk persamaanpersamaan matematika. Model ini juga dapat berupa persamaan
diferensial.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8
B. LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN
Definisi 2.1.
Niai mutlak biangan real
didefinisikan sebagai berikut
}
{
Contoh 2.2.
1.
2.
(
3.
)
Teorema 2.3.
Misalkan
, maka
1.
2. | |
.
Bukti:
1. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang
Untuk
dan
Untuk
dan
maka
maka
maka
, sehingga berlaku
, sehingga berlaku
.
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
9
Untuk
dan
(
Untuk
Untuk
(
(
)(
)
)
maka
, sehingga berlaku
maka
, sehingga berlaku
.
dan
.
dan
)
maka
, sehingga berlaku
.
Jadi terbukti bahwa untuk sebarang
maka
2. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang
.
maka | |
.
, sehingga berlaku | |
.
Untuk
dan
maka
Untuk
dan
maka
Untuk
dan
maka
, sehingga berlaku | |
. /
dan
maka
, sehingga berlaku | |
. /
dan
maka
.
Untuk
.
Untuk
.
Jadi terbukti bahwa untuk sebarang
, sehingga berlaku | |
, sehingga berlaku | |
maka | |
.
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10
Contoh 2.4.
1. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Akan dibuktikan bahwa
.
(kalikan dengan 5)
(
(
)
(
)
.
Jadi, terbukti bahwa
2. Misalkan
)
.
adalah suatu bilangan positif. Tentukan bilangan positif
sedemikian rupa sehingga
Penyelesaian:
(
)
(
)
(dikalikan dengan )
Jadi, bilangan positif
adalah .
yang memenuhi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11
Definisi 2.5.
( )
berarti bahwa untuk tiap
(betapapun kecilnya), terdapat
sehingga
( )
yang diberikan
yang berpadanan sedemikian
asalkan bahwa
,yakni,
( )
Contoh 2.6.
(
Buktikan bahwa
)
Penyelesaian:
Misalkan
bilangan positif sebarang. Akan dibuktikan terdapat suatu
sedemikian sehingga
(
)
Perhatikan ketaksamaan pada ruas kanan
(
)
(
)
(
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12
Dengan demikian, jika dipilih
maka untuk
menghasilkan
(
(
Jadi, terbukti bahwa
(
)
)
)
.
Teorema 2.7.
Jika
dan
suatu konstanta, maka
(
)
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Untuk
suatu
Karena
, maka (
untuk setiap
, maka menjadi
)
terdapat suatu
(
(
sehingga
)
)
(
sehingga
)
, ditentukan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13
Untuk
, maka (
Ambil sebarang bilangan positif
Jadi, terbukti bahwa
)
(
)
(
)
untuk setiap nilai
sehingga berlaku
(
)
(
)
(
)
.
Contoh 2.8.
Teorema 2.9.
Jika suatu konstanta, maka untuk setiap bilangan ,
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Ambil sebarang bilangan positif , maka
Jadi, terbukti bahwa
.
terdapat suatu
.
sehingga
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14
Contoh 2.10.
Teorema 2.11.
Jika
( )
, ( )
( )
dan
( )-
, ( )
, maka
( )-
( )
( )
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Karena diketahui
bahwa untuk
( )
terdapat suatu
terdapat suatu
, ( )
( )-
(
sehingga
)
, maka dari definisi limit diperoleh
sehingga
( )
Karena diketahui
bahwa untuk
( )
terdapat suatu
, maka dari definisi limit diperoleh
sehingga
( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
15
Misalkan
adalah bilangan terkecil dari dua bilangan
dan
dan
. Jadi
. Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika
, ( )
( )-
Jadi, terbukti bahwa
, maka
(
( )
)
( ( )
( )
, ( )
( )-
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Karena diketahui
bahwa untuk
( )
terdapat suatu
)
, ( )
( ( )
)
.
terdapat suatu
( )-
(
sehingga
)
, maka dari definisi limit diperoleh
sehingga
( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16
( )
Karena diketahui
bahwa untuk
, maka dari definisi limit diperoleh
terdapat suatu
sehingga
( )
Misalkan
adalah bilangan terkecil dari dua bilangan
dan
dan
. Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika
, ( )
( )-
Jadi, terbukti bahwa
, maka
(
( )
)
, ( )
( ( )
( )
( )-
)
( ( )
)
.
Jadi, terbukti bahwa
, ( )
( )-
, ( )
( )-
( )
( )
. Jadi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17
Contoh 2.12.
(
)
Teorema 2.13.
Jika
( )
(
dan fungsi
)( )
( )
kontinu di , maka
(( ( ))
(
( ))
Bukti:
Karena
kontinu di
maka untuk setiap
terdapat suatu
sehingga
Karena
sehingga
( )
( )
, untuk setiap
( )
terdapat suatu
( )
Jika
diperoleh untuk setiap
dan
(1)
(2)
disubstitusikan ke dalam (1) oleh ( ) maka
terdapat suatu
sehingga
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
18
( )
| ( ( ))
( )|
dari pernyataan (2) dan (3) diperoleh bahwa untuk setiap
suatu
(3)
terdapat
sehingga
| ( ( ))
( )|
Jadi, terbukti bahwa
(
)( )
(( ( ))
( )
(
( ))
Teorema 2.14.
Jika
( )
( )
( )
( )
dan
maka
jika
Bukti:
Misalkan
komposisi
fungsi yang didefinisikan oleh
didefinisikan oleh
( ( ))
dimana-mana kecuali di 0. Karena itu
( )
(
( )
. Maka fungsi
⁄ ( ). Fungsi
( ( ))
( ))
( )
kontinu
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19
Sehingga diperoleh
( )
( )
Jadi, terbukti bahwa
( )
( )
( )
( )
jika
Contoh 2.15.
Definisi 2.16.
Misalkan
selang (
suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan pada
). Limit
( ) adalah , dituliskan
( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20
apabila untuk setiap
sehingga
, betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
( )
jika
.
Contoh 2.17.
Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi
pada penyebut yaitu
.
.
Jadi, terbukti bahwa
.
yang muncul
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21
Definisi 2.18.
Misalkan
suatu fungsi yang didefinisikan pada selang (
( ) adalah , dituliskan
). Limit
( )
apabila untuk setiap
sehingga
, betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
( )
jika
.
Contoh 2.19.
Tentukan
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan
.
.
Jadi,
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
22
Definisi 2.20.
Turunan fungsi
(dibaca “ aksen”) yang nilainya
adalah fungsi lain
pada sebarang bilangan
adalah
( )
(
)
( )
)
( )
asalkan limit ini ada.
Contoh 2.21.
Andaikan ( )
. Cari
( )
Penyelesaian:
( )
(
[(
)
(
(
Jadi, jika diketahui ( )
, maka
)] ,
-
)
( )
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23
C. PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan
satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Sebagai contoh dari
persamaan diferensial sebagai berikut
(4)
(5)
(
)(
)
(6)
(7)
Bila peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu
fungsi satu peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan
diferensial biasa. Sedangkan, jika peubah yang terikat dalam suatu
persamaan diferensial adalah suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas
maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial. Dalam
contoh di atas persamaan (4)-(6) merupakan contoh persamaan diferensial
biasa dan persamaan (7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.22.
Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial
yang memuat fungsi satu peubah bebas. Sedangkan, persamaan diferensial
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24
parsial merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi dua
atau lebih peubah bebas.
Contoh 2.23.
Pada contoh persamaan diferensial di atas yang merupakan persamaan
diferensial biasa adalah persamaan (1)-(3). Sedangkan, contoh persamaan
diferensial parsial adalah persamaan (4).
Definisi 2.24.
Suatu persamaan diferensial biasa tingkat
persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
dimana
( )
( )
merupakan suatu
(
semua ditentukan nilainya oleh .
(
)
)
Contoh 2.25.
Persamaan (1) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 1.
Sedangkan, persamaan (2) dan (3) merupakan contoh persamaan
diferensial biasa tingkat 2.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25
Definisi 2.26.
Suatu
( )
penyelesaian
(
(
persamaan
)
)
merupakan
ditentukan pada suatu selang bagian
persamaan
( )
(
(
diferensial
suatu
fungsi
biasa
( )
yang
yang secara identik memenuhi
)
) pada seluruh selang .
Contoh 2.27.
Suatu fungsi
, yang ditulis sebagai
penyelesaian dari
Bukti:
Hasil substitusi
ke dalam persamaan
menghasilkan
(
atau
)
merupakan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
26
Hasil substitusi tersebut merupakan suatu kesamaan dalam
Jadi,
untuk semua
merupakan penyelesaian dari
Definisi 2.28.
Penyelesaian umum suatu persamaan diferensial tingkat
suatu penyelesaian yang mengandung
adalah
konstanta sebarang yang bebas.
Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial adalah penyelesaian
sebarang yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada
konstanta sebarang dalam penyelesaian umum untuk persamaan tersebut.
Contoh 2.29.
Perhatikan persamaan diferensial tingkat satu
atau dapat ditulis
Bila kedua ruas diintegralkan akan diperoleh
∫
∫
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
27
dengan
Jadi,
suatu konstanta sebarang.
merupakan penyelesaian umum dari
Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu
kepada
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB III
MODEL KONDUKSI PANAS
A. Panas dan Suhu
Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu
merupakan suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas
merupakan proses perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang
berbeda, energi yang mengalir tersebut disebut juga energi panas atau
panas. Bila sebuah media atau obyek dikenai energi panas maka suhu
media tersebut menjadi naik. Demikian juga, suatu obyek menjadi dingin
akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya. Suatu
media dengan massa yang lebih banyak akan lebih banyak memerlukan
panas untuk menaikkan suhu, sedangkan jika suhu dari sebuah media
turun, maka energi panas dari media tersebut lebih banyak yang hilang.
Asumsikan perubahan pada panas adalah berbanding langsung
dengan perubahan suhu dan juga massa dari suatu obyek, yakni dapat
ditulis sebagai
{
*
}
(3.1)
28
+
*
+
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
29
dengan
adalah konstanta positif pembanding sebagai panas jenis dari
bahan, diasumsikan
tidak bergantung pada massa sebuah obyek dan
perubahan suhu.
Misalkan didefinisikan
sebagai laju perubahan panas terhadap
waktu (diukur dalam watt),
adalahmassa dari bahan yang akan
dipanaskan atau didinginkan (diukur dalam kg), dan
merupakan suhu,
maka diperoleh
(3.2)
Setiap bahan memiliki panas jenis yang berbeda-beda. Di bawah
ini diberikan data nilai panas jenis dari berbagai bahan.
Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan (Barnes, Gleeen, 2009)
Bahan
Bahan
Aluminium
896
Asbes
841
Tembaga
383
Batu bata
840
Stainlis steel
461
Gelas
800
Kayu
2385
Mentega
2300
Beton
878
Daging domba
3430
Air (pada 200C
4187
Kentang
3520
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30
B. Konduksi Panas pada Proses Pendinginan Air
Panas dari sebuah obyek menjadi hilang karena adanya penukaran
energi panas dengan sekitarnya. Jika perbedaan suhu antara permukaan
dari suatu obyek dan sekitarnya menjadi bertambah, maka diharapkan
panas menjadi cepat hilang.
Diasumsikan bahwa laju dari aliran panas adalah berbanding
langsung dengan perbedaan suhu diantara permukaan dan sekitarnya. Dari
asumsi tersebut dirumuskan Hukum Newton pada keadaaan pendinginan,
yang akan berlaku juga pada masalah pemanasan.
Perubahan suhu akibat pertukaran panas menurut Newton adalah
berbanding lurus dengan waktu. Bila suhu obyek lebih tinggi dari pada
suhu sekitarnya maka akan terjadi pendinginan pada obyek atau penurunan
suhu dan demikian pula sebaliknya. Perbandingan ini dapat dijadikan
persamaan dengan melibatkan suatu faktor konstanta, sehingga
dengan
(
dan
)
masing-masing merupakan suhu obyek dan suhu
sekitarnya. Tanda negatif menunjukkan terjadinya penurunan suhu bila
.
Perbedaan suhu ditentukan dari panas pada permukaan yang dapat
menghilang ataupun bertambah. Jika
obyek, suhu
adalah luas permukaan dari sebuah
dari sebuah obyek lebih tinggi dari suhu
maka dapat ditulis
di sekitarnya,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31
{
}
{
}
(
)
{
}
2
3
(3.3)
Ketika suhu pada sekitar lebih tinggi daripada suhu pada obyek
(
), maka laju penukaran panas sebagai berikut,
{
}
(
)
(3.4)
Jadi, hukum Newton pada masalah pendinginan maupun
pemanasan dirumuskan sebagai berikut,
{
}
(3.5)
dengan
= perbedaan suhu
= luas permukaan yang panasnya hilang ataupun bertambah (diukur
dalam m2)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
32
= koefisien pendinginan Newton (diukur dalam watt/m2/0C) .
Konduksi merupakan perpindahan panas dari daerah yang bersuhu
tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media tersebut
dapat berupa zat padat, zat cair maupun gas. Perpindahan terjadi karena
molekul bersinggungan secara langsung tanpa adanya perpindahan
molekul yang cukup besar. Suhu elemen suatu zat sebanding dengan
energi kinetik (energi yang diakibatkan karena suatu gerak) rata-rata dari
molekul-molekul yang membentuk zat tersebut. Energi yang dimiliki suatu
elemen zat yang diakibatkan adanya kecepatan dan posisi relatif molekulmolekulnya merupakan energi dalam.
Misalnya ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum
sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu
untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C?Pada masalah
ini terlihat perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat
penting untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Pada masalah secangkir kopi di atas terdapat hubungan antara laju
perubahan panas dan laju perubahan suhu. Untuk mendeskripsikan panas
yang terkandung dalam secangkir kopi, ditunjukkan sebagai berikut
{
}
{
}
(3.6)
Jadi, persamaan konduksi panas pada masalah pendinginan air
sebagai berikut
(
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
33
(
(
(
)
)
(
)
)
(3.7)
Nilai
awal (
dapat ditentukan dari suhu awal. Jika suhu pada saat
) bernilai
maka
)
(
Jadi, penyelesaian persamaan (3.7) adalah sebagai berikut
(
)
(3.8)
Tanda negatif menunjukkan adanya panas yang hilang ke sekitar atau
terjadinya pendinginan.
Untuk
maka fungsi suhu pada persamaan (3.8) akan menjadi
sebagai berikut
(
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34
Koefisien pendinginan Newton ( ) memiliki nilai yang berbeda-
beda. Di bawah ini diberikan nilai pendinginan Newton pada suatu
lempengan dengan ketebalan 0,5 m. Nilai koefisien pendinginan Newton
semakin besar pada saat laju aliran udara semakin besar. Akibatnya, nilai
koefisien pendinginan Newton sangat berpengaruh terhadap aplikasi
model yang telah diperoleh.
Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton
Lempengan pada udara terbuka
4.5
Lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s
12
Lempengan dengan laju aliran udara 35 m/s
75
Koefisien pendinginan Newton pada udara terbuka digunakan pada
keadaan normal, yakni keadaan dimana tidak ada hembusan udara.
Koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju aliran udara 2
m/s digunakan ketika ada tiupan atau angin sepoi-sepoi. Sedangkan
koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju udara 35 m/s
digunakan pada saat terjadi angin kencang seperti angin topan.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35
Contoh 3.1
Dari data secangkir kopi yang memiliki diameter 7cm dan tinggi
8cm, massa dari kopi tersebut adalah 0,2 kg. Diketahui bahwa suhu sekitar
dari kopi tersebut adalah 260C dan suhu awal dari kopi 780C. Misalkan
cangkir tersebut terbuat dari gelas sehingga panas jenisnya adalah 800 dan
koefisien pendinginan Newton 4,5. Berapa lama waktu yang dibutuhkan
untuk menunggu saat kopi siap diminum pada susu 550C?
Penyelesaian:
Dari masalah tersebut diketahui bahwa koefisien pendinginan Newton ( )
adalah4,5, panas jenis ( ) adalah 800 watt/kg 0C. Massa dari bahan yang
akan di dinginkan ( ) adalah 0.2 kg. Suhu awal (
0
) dari bahan adalah 78
C dan suhu sekitarnya ( ) adalah 26 0C. Cangkir tersebut memiliki
diameter 7 cm dan tinggi 8 cm, sehingga jari-jari cangkir adalah 3.5 cm.
Dari data di atas, maka luas permukaan gelas dapat didekati sebagai luas
permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut
= Luas cangkir
= Luas tabung dengan tutup
= Luas alas + luas selimut tabung + luas tutup
=
, dengan
= jari-jari cangkir dan
tinggi cangkir
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36
)
=(
=(
=
=
)
cm2
(
(
)
(
)
(
) cm2
)
m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu agar suhu kopi turun dari 78 0C
menjadi 55 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.7) adalah
sebagai berikut
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
s
menit
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi
menjadi 550C adalah sekitar 822 s atau 14 menit.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
37
Dari data di atas dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik sebagai
berikut
Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pendinginan air.
Jika air didinginkan dalam waktu yang lama maka suhunya akan
menjadi sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
38
Jadi, jika air didinginkan dalam waktu yang sangat lama maka suhu dari
air tersebut akan mendekati suhu sekitarnya. Dari grafik pada Gambar 3.1.
dapat dilihat bahwa untuk
maka
( )
. Pada Gambar 3.1.
tampak bahwa grafik turun sesuai dengan fungsi eksponensial. Setelah
dilakukan praktek secara nyata dengan diukur menggunakan termometer
ternyata waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi turun
menjadi 55 0C adalah sekitar 17 menit. Pada masalah secangkir kopi ini
diasumsikan bahwa cangkir atau gelas seakan-akan tidak ada, sehingga
waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi menjadi dingin pada suhu
55 0C menjadi lebih cepat daripada dalam keadaan real. Jadi hasil dari
model sudah mendekati nilai yang sesungguhnya. Model ini sudah
dikatakan baik karena ketika menunggu air sampai berapa lamapun suhu
hanya akan mendekati suhu sekitar.
C. Konduksi Panas pada Pemanas Air
Pada contoh pemanas air, persamaan diferensial untuk suhu
diperoleh dari air yang dipanaskan dengan elemen pemanas elektrik.
Masalah pemanas air ini pada dasarnya mempunyai prinsip yang sama
dengan masalah secangkir kopi, bedanya bahwa pada masalah pemanas
air, panas ditambahkan melalui elemen pemanas.
Beberapa contoh alat pemanas air adalah ceret dan ketel. Masalah
pemanas air menggunakan elemen elektrik yang biasa digunakan di tiaptiap rumah, biasanya berisi 2 liter air, dengan tinggi pemanas air 20 cm
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
39
dan diameter 15 cm. Awalnya diasumsikan air menjadi bersuhu 150C.
Elemen pemanas yang digunakan untuk memanaskan memiliki laju
konstan (per jam) 3,6 Kw (yang lain biasanya menggunakan 4,8 kW/jam).
Pada gambar di bawah ini menunjukkan ilustrasi dari panas yang keluar
dan masuk dari sistem. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk
mengambil air tersebut saat bersuhu 600C?
air
Elemen pemanas
Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air.
Dalam menyelesaikan masalah pemanas air dikenalkan beberapa
notasi. Misalkan
awal air,
( ) sebagai suhu air pada waktu ,
merupakan suhu akhir air,
dipanaskan dan
merupakan suhu
sebagai massa dari air yang akan
sebagai laju persediaan energi panas.
(dalam m2)
menunjukkan luas permukaan dari pemanas air atau tangki yang panasnya
keluar.
Pertama, asumsikan air pada tangki seluruhnya bersuhu homogen.
Tanpa asumsi tersebut masalah akan menjadi lebih komplek, karena suhu
akan menjadi fungsi dari waktu dan posisi. Dengan asumsi tersebut yang
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
40
dipertimbangkan hanya suhu dari air sebagai fungsi terhadap waktu.
Kedua, asumsikan bahwa panas yang hilang dari permukaan tangki
menurut hukum Newton pada pendinginan. Akhirnya, asumsikan bahwa
panas konstan, sebagai panas jenis dan koefisien pendinginan Newton.
Untuk mendeskripsikan masalah pemanasan air pertimbangkan
sistem yang mengaplikasikan hukum keseimbangan seperti ditunjukkan
pada gambar berikut ini.
Panas dari
panas yang hilang
Panas pada
tangki
elemen pemanas
ke sekitar
Gambar 3.3. Skema perpindahan panas.
Panas pada tangki yang berasal dari elemen pemanas akan sama besarnya
dengan panas yang hilang ke sekitar.
Keseimbangan
panas
untuk
sistem
dideskripsikan
dengan
persamaan berikut ini,
{
}
{
}
{
}
(3.9)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
41
Perubahan
suhu
digunakan
untuk
memperoleh
persamaan
matematika. Persamaan dasar yang digunakan untuk merelasikan panas
dengan suhu adalah sebagai berikut,
}
{
(3.10)
sebagai massa dari air dan ( )
dengan adalah panas tertentu dari air,
menunjukkan suhu pada waktu .
Asumsikan bahwa elemen pemanas memproduksi panas dengan
laju konstan per unit waktu, yang dinyatakan dengan . Jadi,
{
}
(3.11)
Laju panas yang hilang ke sekitar dirumuskan dengan
menggunakan hukum Newton pada pendinginan, yaitu
{
}
*
+
( ( )
dengan
adalah luas permukaan dari pemanas dan
)
(3.12)
adalah koefisien
pendinginan Newton. Perbedaan suhu merupakan perbedaan antara suhu
arus air ( ( )) dan suhu sekitar ( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
42
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.10), (3.11) dan (3.12) ke
dalam
persamaan
(3.9)
diperoleh
persamaan
diferensial
yang
mendeskripsikan variasi suhu terhadap waktu sebagai berikut,
( ( )
)
(3.13)
Atau dapat ditulis
( ( )
)
( )
( )
Misalkan,
maka
( )
atau
Dengan demikian, ruas kanan persamaan (3.14) menjadi
(3.14)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
43
Jika persamaan tersebut diintegralkan akan diperoleh
∫
∫
Di substitusikan ke dalam ruas kiri persamaan (3.14) menjadi sebagai
berikut,
∫
( ))
(
( ))
(
(3.15)
( ))
(
( ))
(
)
(
.
( ))
(
/
( )
( )
.
/
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
44
.
( )
Nilai
/
(3.16)
dapat diperoleh dari persamaan (3.15) sebagai berikut
( ))
(
( ))
(
(
( ))
Jadi, penyelesaian dari persamaan (3.16) adalah
/
.
dengan
Untuk
)
(
(3.17)
maka fungsi suhu pada persamaan (3.17) akan menjadi
sebagai berikut
.
)/
(
.
(
)/
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
45
Contoh 3.2
Sebagai contoh dari masalah pemanas ini adalah memanaskan air
dengan menggunakan pemanas. Diketahui pemanas tersebut memiliki
diameter 10 cmdan tinggi 20 cm, massa dari air yang akan dipanaskan 1,5
kg, suhu awal air dan suhu sekitar sama yaitu 26 0C, karena pemanas
terbuat dari stainlis steel maka panas jenisnya adalah 461, diberikan
koefisien pendinginan atau pemanasan Newton 4,5 dan misalkan laju
panas yang digunakan adalah 100 watt. Berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk menunggu air tersebut sampai mendidih 100 0C ?
Penyelesaian :
Dari data tersebut diketahui bahwa suhu awal (
) dari bahan adalah 26 0C
dan suhu sekitar ( ) adalah 26 0C. Diberikan koefisien pemanasan
Newton ( ) adalah 4,5 dan panas jenis ( ) 461 watt/kg 0C. Massa dari
bahan yang dipanaskan ( ) adalah 1,5 kg. Laju panas ( ) yang digunakan
100 watt. Diketahui pemanas memiliki diameter 10 cm dan tinggi 20 cm,
sehingga jari-jari dari pemanas adalah 5 cm.
Dari data di atas, maka luas permukaan pemanas dapat didekati sebagai
luas permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
46
= Luas pemanas
= Luas alas
=
, dengan
=
tinggi cangkir
)
=(
=(
= jari-jari cangkir dan
) cm2
m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu sampai air mendidih pada suhu
100 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah sebagai
berikut
.
(
dengan
=
=
=
=
))
(
(
(
(
)
/
)
)
)
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
/
(
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
47
(
100=
.
)
/
/
.
100 =
/
.
/
.
.
/
/
.
.
(
/
)
(
(
)
s
menit.
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
48
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada
suhu 100 0C adalah sekitar 531 s atau 9 menit.
Dari data di atas dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut
Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
49
0
C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati
suhu 2857 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk
maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai
mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut
.
(
dengan
=
=
=
))
(
(
(
(
)
)
)
/
)
(
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
50
=
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
(
100=
/
.
)
/
.
100 =
/
/
.
/
.
/
.
.
/
.
/
)
(
(
(
)
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
51
s
menit.
Jadi, jika ingin menunggu air sampai mendidih 1000C maka dibutuhkan
waktu sekitar 163 s atau sekitar 3 menit. dengan diketahui bahwa daya
yang digunakan adalah 350 watt.
Dari data untuk
dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai
berikut
Gambar 3.5. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
52
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
0
C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati
suhu 9934 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk
, maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai
mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut
.
(
dengan
=
=
=
=
))
(
(
(
(
)
)
)
/
)
(
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
53
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
(
100=
/
/
.
)
/
.
100 =
.
/
.
/
/
.
.
/
.
/
)
(
(
(
)
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
54
s
menit.
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih dalam
suhu 1000C adalah sekitar 131 s atau sekitar 2 menit. Dengan diketahui
bahwa daya yang digunakan adalah 450 watt.
Dari data untuk
dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai
berikut
Gambar 3.6. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
55
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
0
C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama dengan
menggunakan daya sebesar 450 watt maka suhu akan mendekati 12765 0C.
Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat
lama akan habis karena adanya penguapan.
Jika grafik kenaikan suhu dengan
dan
dijadikan satu maka akan menjadi sebagai berikut
Gambar 3.7. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air
dengan
dan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
56
Gambar 3.8. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
dan
untuk waktu yang lama dan suhu yang sangat tinggi.
Dari Gambar (3.7) tampak bahwa waktu yang dibutuhkan untuk
menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C semakin cepat ketika
yang digunakan semakin besar nilainya. Dari Gambar (3.8.) tampak bahwa
nilai
sangat berpengaruh terhadap waktu yang dibutuhkan untuk
menunggu air sampai mendidih. Perbandingan suhu antara penggunaan
dan
sangat jauh berbeda. Semakin besar nilai
yang
digunaka
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI MASALAH KONDUKSI
PANAS
Makalah
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program studi matematika
Oleh
Erlika Priyati
093114009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
2014
i
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
MAKALAH
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI
MASALAH KONDUKSI PANAS
Oleh:
Erlika Priyati
NIM: 093114009
Telah disetujui oleh:
Pembimbing
Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si.,M.Si.
Tanggal 21 Juli 2014
ii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
MAKALAH
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI
MASALAH KONDUKSI PANAS
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Erlika Priyati
NIM: 093114009
Telah dipertahankan didepan Panitia Penguji
pada tanggal 24 Juli 2014
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap
Tanda Tangan
Ketua
Hartono,Ph.D.
………………
Sekretaris
Sudi Mungkasi,Ph.D.
………………
Anggota
Lusia Krismiyati Budiasih,S.Si., M.Si.
………………
Yogyakarta, 24 Juli 2014
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
(P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc.)
iii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dalam hidupku.
“Sebab Engkau bukit batuku dan pertahananku, dan oleh karena-Mu
Engkau akan menuntun dan membimbing aku.”
(Mazmur 31:4)
“Engkaulah persembunyianku dan perisaiku;
aku berharap kepada firman-Mu.”
(Mazmur 119:114)
Karya ini aku persembahkan untuk:
Orang-orang terkasih: keluarga besar mbah Margono,
simbah, bapak, mami, Septi, dan denok
Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009
iv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 21 Juli 2014
Penulis
Erlika Priyati
v
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah pemodelan matematika
mengenai masalah konduksi panas. Masalah panas sering ditemukan pada
berbagai peristiwa, dan seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah
yang memuat pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan
konduksi panas. Konduksi panas merupakan proses perpindahan panas dari daerah
yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media
tersebut dapat berupa zat padat, zat cair dan zat gas.
Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu merupakan
suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas merupakan proses
perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang berbeda, energi yang mengalir
tersebut disebut juga energi panas atau panas. Bila sebuah media dikenai panas
maka suhu media menjadi naik. Demikian juga sebaliknya, suatu media menjadi
dingin akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya.
Pada model pendinginan air, suhu akan turun mendekati suhu di
sekitarnya. Model ini dikatakan baik karena jika dibandingkan dalam keadaan
real, hasil dari model sudah mendekati keadaan real. Untuk model pemanas air,
jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama maka suhunya akan menjadi
sangat tinggi. Model ini dikatakan kurang baik karena jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan. Untuk
masalah konduksi panas melalui dinding, model ini membahas tentang distribusi
suhu terhadap ketebalan dinding dan merupakan fungsi linear. Model konduksi
panas melalui dinding dikatakan baik hanya untuk ketebalan dinding tertentu.
Model konduksi panas radial merupakan fungsi logaritma. Model ini berlaku
untuk kondisi suhu setimbang.
vi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
Topics covered in this paper is the mathematical modeling of heat
conduction problems. Heat problems often found in a variety of events, and is
often associated with temperature. Some of the problems of heating and cooling
load are often associated with heat conduction. Heat conduction is the process of
heat transfer from the high temperature to the low temperature in a media. The
media can be a solid, liquid and gas substances.
Heat and temperature have a very close relationship. Temperature is a
quantity to measure the heat. Heat transfer is the process of energy transfer that
flows at different temperatures, the flow of energy is also called thermal energy or
heat. When a media receive heat then the temperature of media will be rise.
Conversely, a media will be cool down due to temperature because heat is lost to
the surrounding.
In the model of cooling water, the temperature will decrease closer to the
surrounding temperature. This model is said to be good because if it is compared
to the real situation, the result of model will approach the real situation. For model
of the water heater, if the water is heated in a very long time, the temperature will
be very high. This model is said to be less good because if the water is heated in a
very long time, if will be depleted due to evaporation. For the problem of heat
conduction through the wall, it is model about the temperature distribution of the
wall thickness, which is a linear function. Model of heat conduction through the
walls said to be good only for a certain wall thickness. Radial heat conduction
model is a logarithmic function. This model applies to the condition of
equilibrium temperature.
vii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN
AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama: Erlika Priyati
NIM: 093114009
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Pemodelan Matematika Mengenai Masalah Konduksi Panas
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada
Perpustakaan
Universitas
Sanata
Dharma
untuk
menyimpan,
mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalan bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau
media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya
maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 21 Juli 2014
Yang menyatakan
(Erlika Priyati)
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
memberikan
hikmat
dan
menyertai
penulis
sehingga
penulis
mampu
menyelesaikan makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan
untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1)
dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak
pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi
Matematika dan dosen pembimbing, yang senantiasa sabar dalam
membimbing dalam menyelesaikan makalah ini.
2. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberi pengetahuan
kepada penulis selama proses kuliah ini.
3. Keluarga besar mbah Margana, terutama untuk Alm. St. Darmawidjaja Pr.
(pakdhe sus), Br. Michael Pudyartana (pakdhe pud), Ig. Budi Lingana
(pakdhe luluk), dan G. Budi Prijatmo (pakdhe momok), yang telah sudi
untuk membantu biaya kuliah penulis dan selalu memberikan motivasi
untuk menyelesaikan kuliah.
4. Simbah, kedua orang tuaku, dan adik-adikku yang senantiasa memberikan
doa, motivasi dan dukungannya.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5. Teman-teman Matematika 2009: Nana, Faida, Ochie, Etik, Jojo, Sekar,
Kuthull, dan Dimas, terima kasih untuk kebersamaan dalam suka maupun
duka dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis.
6. Widiantoro yang selalu memberikanku semangat dan sebagai salah satu
motivasiku untuk menyelesaikan makalah ini.
7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah terlibat
dalam proses penulisan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah
ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan
makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat
bagi para pembaca.
Yogyakarta, 21 Juli 2014
Penulis
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .......................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..............................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................
iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................
iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..........................................................
v
ABSTRAK .......................................................................................................
vi
ABSTRACT .................................................................................................... vii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............. viii
KATA PENGANTAR .....................................................................................
ix
DAFTAR ISI ...................................................................................................
xi
DAFTAR TABEL ........................................................................................... xiii
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN ...............................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah ......................................................................
1
B. Rumusan Masalah ................................................................................
3
C. Batasan Masalah ..................................................................................
3
D. Tujuan Penulisan .................................................................................
3
E. Manfaat Penulisan ...............................................................................
3
F. Metode Penulisan ................................................................................
3
G. Sistematika Penulisan ..........................................................................
4
BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL .....
6
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
A. Model Matematika ................................................................................
6
B. Limit Fungsi Dan Turunan ....................................................................
8
C. Persamaan Diferensial ........................................................................... 23
BAB III MODEL KONDUKSI PANAS ......................................................... 28
A.
Panas Dan Suhu .................................................................................. 28
B.
Konduksi Panas Pada Proses Pendinginan Air ................................... 30
C.
Konduksi Panas Pada Pemanas Air .................................................... 38
D.
Konduksi Panas Melalui Dinding ....................................................... 57
E.
Konduksi Panas Radial ....................................................................... 67
BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 77
A. Kesimpulan ........................................................................................... 77
B. Saran ...................................................................................................... 78
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 79
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan ..................................................... 29
Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton
.............................................. 34
Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa bahan ............................................... 60
Tabel 4. Daya konduksi ntuk beberapa macam bahan bangunan .................... 61
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1.
Grafik
fungsi
suhu
terhadap
waktu
pada
proses
pendinginan air ....................................................................... 37
Gambar 3.2.
Diagram skema dari pemanas air ........................................... 39
Gambar 3.3.
Skema perpindahan panas ...................................................... 40
Gambar 3.4.
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.5.
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.6.
................................................................ 51
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.7.
................................................................ 48
................................................................ 54
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
Gambar 3.8.
dan
........................... 55
Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan
dan
untuk waktu
yang lama dan suhu yang sangat tinggi .................................. 56
Gambar 3.9.
Konduksi panas pada dinding ................................................ 62
Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding ................................ 63
Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding ..................... 67
Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial ............................................ 69
Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur ........................................................... 74
Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur ................ 76
xiv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Masalah panas sering ditemukan pada berbagai peristiwa, dan
seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah yang memuat
pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan konduksi
panas. Misalnya, ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum
sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu
untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C? Untuk
menjawab pertanyaan tersebut akan dikenalkan beberapa konsep dasar
fisika, yakni mengenai suhu dan panas. Pada masalah ini terlihat
perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat penting untuk
menyelesaikan masalah tersebut.
Pertama, tentang suhu yang menggambarkan bagaimana panas
pada kopi tersebut. Jika diasumsikan suhu dari kopi seluruhnya adalah
seragam (homogen) maka suhu hanya merupakan fungsi terhadap waktu.
Suhu diukur dengan satuan derajad celcius (0C) atau dalam kelvin (K),
dimana suhu pada derajad celcius (0C) memiliki selisih 273 lebih rendah
daripada suhu pada kelvin. Jadi, 0C + 273 = K.
Kedua, tentang panas. Suhu dari kopi turun karena energi panas
dipindahkan ke udara sekitarnya. Hal ini terjadi karena udara sekitarnya
1
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
bersuhu rendah, dan panas selalu dipindahkan dari daerah bersuhu tinggi
ke daerah bersuhu rendah. Panas adalah sebuah bentuk energi yang diukur
dengan satuan Joule, satuan dari sistem SI.
Kemudian untuk menjawab pertanyaan tentang secangkir kopi
yang disebutkan di atas, dibutuhkan persamaan yang sesuai untuk suhu.
Tetapi untuk itu harus menentukan peristiwa panas terlebih dahulu dan
dibutuhkan persamaan untuk mendiskripsikan kecepatan perpindahan
panas ke sekitar.
Masalah lain yang sama adalah bagaimana menentukan waktu
yang dibutuhkan air pada sebuah pemanas air menjadi panas dengan suhu
tertentu, dengan asumsi suhunya homogen dan merupakan fungsi terhadap
waktu. Air pada pemanas air menjadi panas dipengaruhi oleh elemen
pemanas.
Aplikasi lain dari masalah tentang konduksi panas adalah
perpindahan panas pada dinding. Pertimbangkan kecepatan perpindahan
panas pada dinding. Kecepatan perpindahan panas pada dinding sangat
penting untuk menentukan bahan penyekat dinding, agar energi yang
digunakan lebih efisien. Suhu pada sisi luar dinding akan berbeda dari sisi
dalam, dimana panas akan mengalir dari sisi luar dinding yang bersuhu
tinggi ke sisi dalam dinding yang bersuhu rendah.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:
1. Apa yang dimaksud dengan proses perpindahan panas?
2. Bagaimana pemodelan matematika mengenai konduksi panas?
C. BATASAN MASALAH
Masalah perpindahan panas yang dibahas dalam tulisan ini adalah
masalah konduksi panas pada proses pendinginan air, pemanas air,
konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini yaitu untuk memodelkan masalah konduksi
panas.
E. MANFAAT PENULISAN
Memperoleh
pengetahuan
tentang
pemodelan
matematika
mengenai masalah konduksi panas.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan masalah perpindahan
panas.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II MODEL MATEMATIKA dan PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Model matematika
B. Limit fungsi dan Turunan
C. Persamaan diferensial
BAB III MODEL KONDUKSI PANAS
A. Panas dan suhu
B. Konduksi panas pada proses pendinginan air
C. Konduksi panas pada pemanas air
D. Konduksi panas melalui dinding
E. Konduksi panas radial
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
A.
MODEL MATEMATIKA
Model merupakan gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang
disusun berdasarkan tujuan tertentu. Obyek di sini dapat berupa suatu
sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Sebagai contoh
dari model adalah sebuah maket. Biro arsitektur yang merencanakan
pembangunan suatu kompleks akan membuat gambar-gambar sketsa,
menyusun perhitungan-perhitungan konstruksi kemudian membuat maket
yang merupakan tiruan dari calon kompleks. Jika ada segi-segi yang
kurang disetujui oleh pemilik, maka rencana masih dapat diubah dengan
mudah.
Sistem merupakan suatu himpunan beserta relasi antar unsurunsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Sebagai contoh dari sebuah
sistem adalah suatu rumah sakit. Suatu rumah sakit adalah suatu sistem
yang bertujuan merawat orang sakit. Semua bagian rumah sakit harus
berfungsi mendukung tujuan di atas.
Model hanya menirukan sebagian dari obyek sesuai dengan tujuan
penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari
6
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
dan dimanipulasi lebih lanjut. Dengan demikian dapat dipahami bahwa
model pasti lebih sederhana dari aslinya.
Model dapat dibedakan berdasarkan tujuan penyusunan model. Model
yang berguna mengendalikan keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan
cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya disebut model keterkaitan.
Model yang bertujuan untuk mengadakan pendugaan (prediksi) untuk
memperbaiki keadaan obyek disebut model pendugaan. Sedangkan model
yang berguna mengadakan optimasi bagi obyek disebut model optimasi.
Model menurut jenisnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu model
fisis dan model simbolik (model matematika). Model fisis merupakan
model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya
bentuknya atau polanya. Model simbolik (model matematika) merupakan
model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika/logika
untuk menyajikan perilaku obyek.
Model matematika dapat dianggap sebagai usaha abstraksi
terhadap obyek lewat cara analitis atau numeris dalam benuk persamaanpersamaan matematika. Model ini juga dapat berupa persamaan
diferensial.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8
B. LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN
Definisi 2.1.
Niai mutlak biangan real
didefinisikan sebagai berikut
}
{
Contoh 2.2.
1.
2.
(
3.
)
Teorema 2.3.
Misalkan
, maka
1.
2. | |
.
Bukti:
1. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang
Untuk
dan
Untuk
dan
maka
maka
maka
, sehingga berlaku
, sehingga berlaku
.
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
9
Untuk
dan
(
Untuk
Untuk
(
(
)(
)
)
maka
, sehingga berlaku
maka
, sehingga berlaku
.
dan
.
dan
)
maka
, sehingga berlaku
.
Jadi terbukti bahwa untuk sebarang
maka
2. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang
.
maka | |
.
, sehingga berlaku | |
.
Untuk
dan
maka
Untuk
dan
maka
Untuk
dan
maka
, sehingga berlaku | |
. /
dan
maka
, sehingga berlaku | |
. /
dan
maka
.
Untuk
.
Untuk
.
Jadi terbukti bahwa untuk sebarang
, sehingga berlaku | |
, sehingga berlaku | |
maka | |
.
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10
Contoh 2.4.
1. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Akan dibuktikan bahwa
.
(kalikan dengan 5)
(
(
)
(
)
.
Jadi, terbukti bahwa
2. Misalkan
)
.
adalah suatu bilangan positif. Tentukan bilangan positif
sedemikian rupa sehingga
Penyelesaian:
(
)
(
)
(dikalikan dengan )
Jadi, bilangan positif
adalah .
yang memenuhi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11
Definisi 2.5.
( )
berarti bahwa untuk tiap
(betapapun kecilnya), terdapat
sehingga
( )
yang diberikan
yang berpadanan sedemikian
asalkan bahwa
,yakni,
( )
Contoh 2.6.
(
Buktikan bahwa
)
Penyelesaian:
Misalkan
bilangan positif sebarang. Akan dibuktikan terdapat suatu
sedemikian sehingga
(
)
Perhatikan ketaksamaan pada ruas kanan
(
)
(
)
(
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12
Dengan demikian, jika dipilih
maka untuk
menghasilkan
(
(
Jadi, terbukti bahwa
(
)
)
)
.
Teorema 2.7.
Jika
dan
suatu konstanta, maka
(
)
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Untuk
suatu
Karena
, maka (
untuk setiap
, maka menjadi
)
terdapat suatu
(
(
sehingga
)
)
(
sehingga
)
, ditentukan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13
Untuk
, maka (
Ambil sebarang bilangan positif
Jadi, terbukti bahwa
)
(
)
(
)
untuk setiap nilai
sehingga berlaku
(
)
(
)
(
)
.
Contoh 2.8.
Teorema 2.9.
Jika suatu konstanta, maka untuk setiap bilangan ,
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Ambil sebarang bilangan positif , maka
Jadi, terbukti bahwa
.
terdapat suatu
.
sehingga
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14
Contoh 2.10.
Teorema 2.11.
Jika
( )
, ( )
( )
dan
( )-
, ( )
, maka
( )-
( )
( )
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Karena diketahui
bahwa untuk
( )
terdapat suatu
terdapat suatu
, ( )
( )-
(
sehingga
)
, maka dari definisi limit diperoleh
sehingga
( )
Karena diketahui
bahwa untuk
( )
terdapat suatu
, maka dari definisi limit diperoleh
sehingga
( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
15
Misalkan
adalah bilangan terkecil dari dua bilangan
dan
dan
. Jadi
. Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika
, ( )
( )-
Jadi, terbukti bahwa
, maka
(
( )
)
( ( )
( )
, ( )
( )-
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap
Karena diketahui
bahwa untuk
( )
terdapat suatu
)
, ( )
( ( )
)
.
terdapat suatu
( )-
(
sehingga
)
, maka dari definisi limit diperoleh
sehingga
( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16
( )
Karena diketahui
bahwa untuk
, maka dari definisi limit diperoleh
terdapat suatu
sehingga
( )
Misalkan
adalah bilangan terkecil dari dua bilangan
dan
dan
. Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika
, ( )
( )-
Jadi, terbukti bahwa
, maka
(
( )
)
, ( )
( ( )
( )
( )-
)
( ( )
)
.
Jadi, terbukti bahwa
, ( )
( )-
, ( )
( )-
( )
( )
. Jadi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17
Contoh 2.12.
(
)
Teorema 2.13.
Jika
( )
(
dan fungsi
)( )
( )
kontinu di , maka
(( ( ))
(
( ))
Bukti:
Karena
kontinu di
maka untuk setiap
terdapat suatu
sehingga
Karena
sehingga
( )
( )
, untuk setiap
( )
terdapat suatu
( )
Jika
diperoleh untuk setiap
dan
(1)
(2)
disubstitusikan ke dalam (1) oleh ( ) maka
terdapat suatu
sehingga
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
18
( )
| ( ( ))
( )|
dari pernyataan (2) dan (3) diperoleh bahwa untuk setiap
suatu
(3)
terdapat
sehingga
| ( ( ))
( )|
Jadi, terbukti bahwa
(
)( )
(( ( ))
( )
(
( ))
Teorema 2.14.
Jika
( )
( )
( )
( )
dan
maka
jika
Bukti:
Misalkan
komposisi
fungsi yang didefinisikan oleh
didefinisikan oleh
( ( ))
dimana-mana kecuali di 0. Karena itu
( )
(
( )
. Maka fungsi
⁄ ( ). Fungsi
( ( ))
( ))
( )
kontinu
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19
Sehingga diperoleh
( )
( )
Jadi, terbukti bahwa
( )
( )
( )
( )
jika
Contoh 2.15.
Definisi 2.16.
Misalkan
selang (
suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan pada
). Limit
( ) adalah , dituliskan
( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20
apabila untuk setiap
sehingga
, betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
( )
jika
.
Contoh 2.17.
Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi
pada penyebut yaitu
.
.
Jadi, terbukti bahwa
.
yang muncul
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21
Definisi 2.18.
Misalkan
suatu fungsi yang didefinisikan pada selang (
( ) adalah , dituliskan
). Limit
( )
apabila untuk setiap
sehingga
, betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
( )
jika
.
Contoh 2.19.
Tentukan
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan
.
.
Jadi,
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
22
Definisi 2.20.
Turunan fungsi
(dibaca “ aksen”) yang nilainya
adalah fungsi lain
pada sebarang bilangan
adalah
( )
(
)
( )
)
( )
asalkan limit ini ada.
Contoh 2.21.
Andaikan ( )
. Cari
( )
Penyelesaian:
( )
(
[(
)
(
(
Jadi, jika diketahui ( )
, maka
)] ,
-
)
( )
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23
C. PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan
satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Sebagai contoh dari
persamaan diferensial sebagai berikut
(4)
(5)
(
)(
)
(6)
(7)
Bila peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu
fungsi satu peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan
diferensial biasa. Sedangkan, jika peubah yang terikat dalam suatu
persamaan diferensial adalah suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas
maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial. Dalam
contoh di atas persamaan (4)-(6) merupakan contoh persamaan diferensial
biasa dan persamaan (7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.22.
Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial
yang memuat fungsi satu peubah bebas. Sedangkan, persamaan diferensial
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24
parsial merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi dua
atau lebih peubah bebas.
Contoh 2.23.
Pada contoh persamaan diferensial di atas yang merupakan persamaan
diferensial biasa adalah persamaan (1)-(3). Sedangkan, contoh persamaan
diferensial parsial adalah persamaan (4).
Definisi 2.24.
Suatu persamaan diferensial biasa tingkat
persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
dimana
( )
( )
merupakan suatu
(
semua ditentukan nilainya oleh .
(
)
)
Contoh 2.25.
Persamaan (1) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 1.
Sedangkan, persamaan (2) dan (3) merupakan contoh persamaan
diferensial biasa tingkat 2.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25
Definisi 2.26.
Suatu
( )
penyelesaian
(
(
persamaan
)
)
merupakan
ditentukan pada suatu selang bagian
persamaan
( )
(
(
diferensial
suatu
fungsi
biasa
( )
yang
yang secara identik memenuhi
)
) pada seluruh selang .
Contoh 2.27.
Suatu fungsi
, yang ditulis sebagai
penyelesaian dari
Bukti:
Hasil substitusi
ke dalam persamaan
menghasilkan
(
atau
)
merupakan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
26
Hasil substitusi tersebut merupakan suatu kesamaan dalam
Jadi,
untuk semua
merupakan penyelesaian dari
Definisi 2.28.
Penyelesaian umum suatu persamaan diferensial tingkat
suatu penyelesaian yang mengandung
adalah
konstanta sebarang yang bebas.
Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial adalah penyelesaian
sebarang yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada
konstanta sebarang dalam penyelesaian umum untuk persamaan tersebut.
Contoh 2.29.
Perhatikan persamaan diferensial tingkat satu
atau dapat ditulis
Bila kedua ruas diintegralkan akan diperoleh
∫
∫
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
27
dengan
Jadi,
suatu konstanta sebarang.
merupakan penyelesaian umum dari
Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu
kepada
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB III
MODEL KONDUKSI PANAS
A. Panas dan Suhu
Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu
merupakan suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas
merupakan proses perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang
berbeda, energi yang mengalir tersebut disebut juga energi panas atau
panas. Bila sebuah media atau obyek dikenai energi panas maka suhu
media tersebut menjadi naik. Demikian juga, suatu obyek menjadi dingin
akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya. Suatu
media dengan massa yang lebih banyak akan lebih banyak memerlukan
panas untuk menaikkan suhu, sedangkan jika suhu dari sebuah media
turun, maka energi panas dari media tersebut lebih banyak yang hilang.
Asumsikan perubahan pada panas adalah berbanding langsung
dengan perubahan suhu dan juga massa dari suatu obyek, yakni dapat
ditulis sebagai
{
*
}
(3.1)
28
+
*
+
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
29
dengan
adalah konstanta positif pembanding sebagai panas jenis dari
bahan, diasumsikan
tidak bergantung pada massa sebuah obyek dan
perubahan suhu.
Misalkan didefinisikan
sebagai laju perubahan panas terhadap
waktu (diukur dalam watt),
adalahmassa dari bahan yang akan
dipanaskan atau didinginkan (diukur dalam kg), dan
merupakan suhu,
maka diperoleh
(3.2)
Setiap bahan memiliki panas jenis yang berbeda-beda. Di bawah
ini diberikan data nilai panas jenis dari berbagai bahan.
Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan (Barnes, Gleeen, 2009)
Bahan
Bahan
Aluminium
896
Asbes
841
Tembaga
383
Batu bata
840
Stainlis steel
461
Gelas
800
Kayu
2385
Mentega
2300
Beton
878
Daging domba
3430
Air (pada 200C
4187
Kentang
3520
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30
B. Konduksi Panas pada Proses Pendinginan Air
Panas dari sebuah obyek menjadi hilang karena adanya penukaran
energi panas dengan sekitarnya. Jika perbedaan suhu antara permukaan
dari suatu obyek dan sekitarnya menjadi bertambah, maka diharapkan
panas menjadi cepat hilang.
Diasumsikan bahwa laju dari aliran panas adalah berbanding
langsung dengan perbedaan suhu diantara permukaan dan sekitarnya. Dari
asumsi tersebut dirumuskan Hukum Newton pada keadaaan pendinginan,
yang akan berlaku juga pada masalah pemanasan.
Perubahan suhu akibat pertukaran panas menurut Newton adalah
berbanding lurus dengan waktu. Bila suhu obyek lebih tinggi dari pada
suhu sekitarnya maka akan terjadi pendinginan pada obyek atau penurunan
suhu dan demikian pula sebaliknya. Perbandingan ini dapat dijadikan
persamaan dengan melibatkan suatu faktor konstanta, sehingga
dengan
(
dan
)
masing-masing merupakan suhu obyek dan suhu
sekitarnya. Tanda negatif menunjukkan terjadinya penurunan suhu bila
.
Perbedaan suhu ditentukan dari panas pada permukaan yang dapat
menghilang ataupun bertambah. Jika
obyek, suhu
adalah luas permukaan dari sebuah
dari sebuah obyek lebih tinggi dari suhu
maka dapat ditulis
di sekitarnya,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31
{
}
{
}
(
)
{
}
2
3
(3.3)
Ketika suhu pada sekitar lebih tinggi daripada suhu pada obyek
(
), maka laju penukaran panas sebagai berikut,
{
}
(
)
(3.4)
Jadi, hukum Newton pada masalah pendinginan maupun
pemanasan dirumuskan sebagai berikut,
{
}
(3.5)
dengan
= perbedaan suhu
= luas permukaan yang panasnya hilang ataupun bertambah (diukur
dalam m2)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
32
= koefisien pendinginan Newton (diukur dalam watt/m2/0C) .
Konduksi merupakan perpindahan panas dari daerah yang bersuhu
tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media tersebut
dapat berupa zat padat, zat cair maupun gas. Perpindahan terjadi karena
molekul bersinggungan secara langsung tanpa adanya perpindahan
molekul yang cukup besar. Suhu elemen suatu zat sebanding dengan
energi kinetik (energi yang diakibatkan karena suatu gerak) rata-rata dari
molekul-molekul yang membentuk zat tersebut. Energi yang dimiliki suatu
elemen zat yang diakibatkan adanya kecepatan dan posisi relatif molekulmolekulnya merupakan energi dalam.
Misalnya ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum
sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu
untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C?Pada masalah
ini terlihat perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat
penting untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Pada masalah secangkir kopi di atas terdapat hubungan antara laju
perubahan panas dan laju perubahan suhu. Untuk mendeskripsikan panas
yang terkandung dalam secangkir kopi, ditunjukkan sebagai berikut
{
}
{
}
(3.6)
Jadi, persamaan konduksi panas pada masalah pendinginan air
sebagai berikut
(
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
33
(
(
(
)
)
(
)
)
(3.7)
Nilai
awal (
dapat ditentukan dari suhu awal. Jika suhu pada saat
) bernilai
maka
)
(
Jadi, penyelesaian persamaan (3.7) adalah sebagai berikut
(
)
(3.8)
Tanda negatif menunjukkan adanya panas yang hilang ke sekitar atau
terjadinya pendinginan.
Untuk
maka fungsi suhu pada persamaan (3.8) akan menjadi
sebagai berikut
(
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34
Koefisien pendinginan Newton ( ) memiliki nilai yang berbeda-
beda. Di bawah ini diberikan nilai pendinginan Newton pada suatu
lempengan dengan ketebalan 0,5 m. Nilai koefisien pendinginan Newton
semakin besar pada saat laju aliran udara semakin besar. Akibatnya, nilai
koefisien pendinginan Newton sangat berpengaruh terhadap aplikasi
model yang telah diperoleh.
Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton
Lempengan pada udara terbuka
4.5
Lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s
12
Lempengan dengan laju aliran udara 35 m/s
75
Koefisien pendinginan Newton pada udara terbuka digunakan pada
keadaan normal, yakni keadaan dimana tidak ada hembusan udara.
Koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju aliran udara 2
m/s digunakan ketika ada tiupan atau angin sepoi-sepoi. Sedangkan
koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju udara 35 m/s
digunakan pada saat terjadi angin kencang seperti angin topan.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35
Contoh 3.1
Dari data secangkir kopi yang memiliki diameter 7cm dan tinggi
8cm, massa dari kopi tersebut adalah 0,2 kg. Diketahui bahwa suhu sekitar
dari kopi tersebut adalah 260C dan suhu awal dari kopi 780C. Misalkan
cangkir tersebut terbuat dari gelas sehingga panas jenisnya adalah 800 dan
koefisien pendinginan Newton 4,5. Berapa lama waktu yang dibutuhkan
untuk menunggu saat kopi siap diminum pada susu 550C?
Penyelesaian:
Dari masalah tersebut diketahui bahwa koefisien pendinginan Newton ( )
adalah4,5, panas jenis ( ) adalah 800 watt/kg 0C. Massa dari bahan yang
akan di dinginkan ( ) adalah 0.2 kg. Suhu awal (
0
) dari bahan adalah 78
C dan suhu sekitarnya ( ) adalah 26 0C. Cangkir tersebut memiliki
diameter 7 cm dan tinggi 8 cm, sehingga jari-jari cangkir adalah 3.5 cm.
Dari data di atas, maka luas permukaan gelas dapat didekati sebagai luas
permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut
= Luas cangkir
= Luas tabung dengan tutup
= Luas alas + luas selimut tabung + luas tutup
=
, dengan
= jari-jari cangkir dan
tinggi cangkir
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36
)
=(
=(
=
=
)
cm2
(
(
)
(
)
(
) cm2
)
m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu agar suhu kopi turun dari 78 0C
menjadi 55 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.7) adalah
sebagai berikut
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
s
menit
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi
menjadi 550C adalah sekitar 822 s atau 14 menit.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
37
Dari data di atas dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik sebagai
berikut
Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pendinginan air.
Jika air didinginkan dalam waktu yang lama maka suhunya akan
menjadi sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
38
Jadi, jika air didinginkan dalam waktu yang sangat lama maka suhu dari
air tersebut akan mendekati suhu sekitarnya. Dari grafik pada Gambar 3.1.
dapat dilihat bahwa untuk
maka
( )
. Pada Gambar 3.1.
tampak bahwa grafik turun sesuai dengan fungsi eksponensial. Setelah
dilakukan praktek secara nyata dengan diukur menggunakan termometer
ternyata waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi turun
menjadi 55 0C adalah sekitar 17 menit. Pada masalah secangkir kopi ini
diasumsikan bahwa cangkir atau gelas seakan-akan tidak ada, sehingga
waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi menjadi dingin pada suhu
55 0C menjadi lebih cepat daripada dalam keadaan real. Jadi hasil dari
model sudah mendekati nilai yang sesungguhnya. Model ini sudah
dikatakan baik karena ketika menunggu air sampai berapa lamapun suhu
hanya akan mendekati suhu sekitar.
C. Konduksi Panas pada Pemanas Air
Pada contoh pemanas air, persamaan diferensial untuk suhu
diperoleh dari air yang dipanaskan dengan elemen pemanas elektrik.
Masalah pemanas air ini pada dasarnya mempunyai prinsip yang sama
dengan masalah secangkir kopi, bedanya bahwa pada masalah pemanas
air, panas ditambahkan melalui elemen pemanas.
Beberapa contoh alat pemanas air adalah ceret dan ketel. Masalah
pemanas air menggunakan elemen elektrik yang biasa digunakan di tiaptiap rumah, biasanya berisi 2 liter air, dengan tinggi pemanas air 20 cm
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
39
dan diameter 15 cm. Awalnya diasumsikan air menjadi bersuhu 150C.
Elemen pemanas yang digunakan untuk memanaskan memiliki laju
konstan (per jam) 3,6 Kw (yang lain biasanya menggunakan 4,8 kW/jam).
Pada gambar di bawah ini menunjukkan ilustrasi dari panas yang keluar
dan masuk dari sistem. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk
mengambil air tersebut saat bersuhu 600C?
air
Elemen pemanas
Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air.
Dalam menyelesaikan masalah pemanas air dikenalkan beberapa
notasi. Misalkan
awal air,
( ) sebagai suhu air pada waktu ,
merupakan suhu akhir air,
dipanaskan dan
merupakan suhu
sebagai massa dari air yang akan
sebagai laju persediaan energi panas.
(dalam m2)
menunjukkan luas permukaan dari pemanas air atau tangki yang panasnya
keluar.
Pertama, asumsikan air pada tangki seluruhnya bersuhu homogen.
Tanpa asumsi tersebut masalah akan menjadi lebih komplek, karena suhu
akan menjadi fungsi dari waktu dan posisi. Dengan asumsi tersebut yang
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
40
dipertimbangkan hanya suhu dari air sebagai fungsi terhadap waktu.
Kedua, asumsikan bahwa panas yang hilang dari permukaan tangki
menurut hukum Newton pada pendinginan. Akhirnya, asumsikan bahwa
panas konstan, sebagai panas jenis dan koefisien pendinginan Newton.
Untuk mendeskripsikan masalah pemanasan air pertimbangkan
sistem yang mengaplikasikan hukum keseimbangan seperti ditunjukkan
pada gambar berikut ini.
Panas dari
panas yang hilang
Panas pada
tangki
elemen pemanas
ke sekitar
Gambar 3.3. Skema perpindahan panas.
Panas pada tangki yang berasal dari elemen pemanas akan sama besarnya
dengan panas yang hilang ke sekitar.
Keseimbangan
panas
untuk
sistem
dideskripsikan
dengan
persamaan berikut ini,
{
}
{
}
{
}
(3.9)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
41
Perubahan
suhu
digunakan
untuk
memperoleh
persamaan
matematika. Persamaan dasar yang digunakan untuk merelasikan panas
dengan suhu adalah sebagai berikut,
}
{
(3.10)
sebagai massa dari air dan ( )
dengan adalah panas tertentu dari air,
menunjukkan suhu pada waktu .
Asumsikan bahwa elemen pemanas memproduksi panas dengan
laju konstan per unit waktu, yang dinyatakan dengan . Jadi,
{
}
(3.11)
Laju panas yang hilang ke sekitar dirumuskan dengan
menggunakan hukum Newton pada pendinginan, yaitu
{
}
*
+
( ( )
dengan
adalah luas permukaan dari pemanas dan
)
(3.12)
adalah koefisien
pendinginan Newton. Perbedaan suhu merupakan perbedaan antara suhu
arus air ( ( )) dan suhu sekitar ( )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
42
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.10), (3.11) dan (3.12) ke
dalam
persamaan
(3.9)
diperoleh
persamaan
diferensial
yang
mendeskripsikan variasi suhu terhadap waktu sebagai berikut,
( ( )
)
(3.13)
Atau dapat ditulis
( ( )
)
( )
( )
Misalkan,
maka
( )
atau
Dengan demikian, ruas kanan persamaan (3.14) menjadi
(3.14)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
43
Jika persamaan tersebut diintegralkan akan diperoleh
∫
∫
Di substitusikan ke dalam ruas kiri persamaan (3.14) menjadi sebagai
berikut,
∫
( ))
(
( ))
(
(3.15)
( ))
(
( ))
(
)
(
.
( ))
(
/
( )
( )
.
/
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
44
.
( )
Nilai
/
(3.16)
dapat diperoleh dari persamaan (3.15) sebagai berikut
( ))
(
( ))
(
(
( ))
Jadi, penyelesaian dari persamaan (3.16) adalah
/
.
dengan
Untuk
)
(
(3.17)
maka fungsi suhu pada persamaan (3.17) akan menjadi
sebagai berikut
.
)/
(
.
(
)/
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
45
Contoh 3.2
Sebagai contoh dari masalah pemanas ini adalah memanaskan air
dengan menggunakan pemanas. Diketahui pemanas tersebut memiliki
diameter 10 cmdan tinggi 20 cm, massa dari air yang akan dipanaskan 1,5
kg, suhu awal air dan suhu sekitar sama yaitu 26 0C, karena pemanas
terbuat dari stainlis steel maka panas jenisnya adalah 461, diberikan
koefisien pendinginan atau pemanasan Newton 4,5 dan misalkan laju
panas yang digunakan adalah 100 watt. Berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk menunggu air tersebut sampai mendidih 100 0C ?
Penyelesaian :
Dari data tersebut diketahui bahwa suhu awal (
) dari bahan adalah 26 0C
dan suhu sekitar ( ) adalah 26 0C. Diberikan koefisien pemanasan
Newton ( ) adalah 4,5 dan panas jenis ( ) 461 watt/kg 0C. Massa dari
bahan yang dipanaskan ( ) adalah 1,5 kg. Laju panas ( ) yang digunakan
100 watt. Diketahui pemanas memiliki diameter 10 cm dan tinggi 20 cm,
sehingga jari-jari dari pemanas adalah 5 cm.
Dari data di atas, maka luas permukaan pemanas dapat didekati sebagai
luas permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
46
= Luas pemanas
= Luas alas
=
, dengan
=
tinggi cangkir
)
=(
=(
= jari-jari cangkir dan
) cm2
m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu sampai air mendidih pada suhu
100 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah sebagai
berikut
.
(
dengan
=
=
=
=
))
(
(
(
(
)
/
)
)
)
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
/
(
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
47
(
100=
.
)
/
/
.
100 =
/
.
/
.
.
/
/
.
.
(
/
)
(
(
)
s
menit.
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
48
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada
suhu 100 0C adalah sekitar 531 s atau 9 menit.
Dari data di atas dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut
Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
49
0
C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati
suhu 2857 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk
maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai
mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut
.
(
dengan
=
=
=
))
(
(
(
(
)
)
)
/
)
(
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
50
=
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
(
100=
/
.
)
/
.
100 =
/
/
.
/
.
/
.
.
/
.
/
)
(
(
(
)
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
51
s
menit.
Jadi, jika ingin menunggu air sampai mendidih 1000C maka dibutuhkan
waktu sekitar 163 s atau sekitar 3 menit. dengan diketahui bahwa daya
yang digunakan adalah 350 watt.
Dari data untuk
dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai
berikut
Gambar 3.5. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
52
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
0
C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati
suhu 9934 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk
, maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai
mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut
.
(
dengan
=
=
=
=
))
(
(
(
(
)
)
)
/
)
(
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
53
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
(
100=
/
/
.
)
/
.
100 =
.
/
.
/
/
.
.
/
.
/
)
(
(
(
)
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
54
s
menit.
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih dalam
suhu 1000C adalah sekitar 131 s atau sekitar 2 menit. Dengan diketahui
bahwa daya yang digunakan adalah 450 watt.
Dari data untuk
dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai
berikut
Gambar 3.6. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
55
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
0
C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama dengan
menggunakan daya sebesar 450 watt maka suhu akan mendekati 12765 0C.
Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat
lama akan habis karena adanya penguapan.
Jika grafik kenaikan suhu dengan
dan
dijadikan satu maka akan menjadi sebagai berikut
Gambar 3.7. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air
dengan
dan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
56
Gambar 3.8. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
dan
untuk waktu yang lama dan suhu yang sangat tinggi.
Dari Gambar (3.7) tampak bahwa waktu yang dibutuhkan untuk
menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C semakin cepat ketika
yang digunakan semakin besar nilainya. Dari Gambar (3.8.) tampak bahwa
nilai
sangat berpengaruh terhadap waktu yang dibutuhkan untuk
menunggu air sampai mendidih. Perbandingan suhu antara penggunaan
dan
sangat jauh berbeda. Semakin besar nilai
yang
digunaka