Diktat Aljabar Linier Matrix Waniwatining Astuti

  

DIKTAT

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

  

VEKTOR

Penyusun

Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.

KATA PENGANTAR

  Pertama-tama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan rahmat Nya, hingga materi kuliah Aljabar Linier dan Matriks ini dapat diselesaikan. Mudah-mudahan diktat ini dapat membantu mahasiswa STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP dalam mengikuti mata kuliah Aljabar Linier dan Matriks.

  Penulis mengucapkan terimakasih dan menyampaikan pengharagaan yang setinggi-tingginya pada Ketua STMIK Global Informatika MDP dan Direktur AMIK MDP yang selalu memberikan dorongan baik pada penulis maupun maupun pada rekan- rekan dosen lainnya untuk menyusun materi kuliah baik dalam bentuk diktat atau buku. Dorongan tersebut telah menambah semangat penulis dalam menyelesaikan tulisan ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan pada rekan-rekan dosen yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan diktat ini. Mudahan-mudahan dengan adanya dorongan dan dukungan yang diberikan pada penulis akan dapat dihasilkan diktat lain dalam waktu singkat.

  Meskipun telah berhasil diterbitkan, penulis menyadari bahwa diktat ini masih sangat sederhana dan tentu masih banyak kekurangan dan kelemahannya. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian, sehingga dapat dihasilkan diktat yang lebih baik pada masa yang akan datang. Saran, kritik dan koreksi dapat disampaikan pada alamat,

  

  Akhirnya penulis mengucapkan selamat belajar kepada seluruh mahasiswa STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP. Mudahan-mudahan sukses selalu menyertai saudara-saudara.

  Palembang, 24 Desember 2014 Penulis, Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.

DAFTAR ISI

  KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii BAB 1 Vektor pada Bidang Berdimensi Dua dan Tiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.1 Pengantar Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Aritmatika Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.3 Vektor Dalam Sistem Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.4 Vektor Posisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.5 Sifat-sifat Operasi Vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.6 Panjang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.7 Vektor Satuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

  1.8 Perkalian Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

  1.9 Proyeksi Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  1.10 Perkalian Silang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  2 Ruang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Ruang Bedimensi n Euclidean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  2.3 Subruang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Latihan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  55

  Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  65

  DAFTAR PUSTAKA

  4.3 Diagonalisasi Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  59 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  4.1 Interpretasi Geometrik Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . 55 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Diagonalisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  54 4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2.2 Ruang Vektor Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  50 Latihan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3.1 Hasilkali Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam . . . . . .

  45

  2.7 Rank dan Nulitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Latihan . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Ruang Hasilkali Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2.6 Ruang Nul, Ruang Baris, dan Ruang Kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Latihan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  2.5 Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Latihan . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  2.4 Kebebasan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  27

BAB 1 VEKTOR PADA BIDANG BERDIMENSI DUA DAN BERDIMENSI TIGA

1.1 Pengantar Vektor

  Dalam bidang sains kita telah mengenal istilah besaran yang tidak mempunyai arah dan besaran yang mempunyai arah. Umumnya, besaran yang tidak mempunyai arah dikenal dengan istilah besaran skalar. Sedangkan besaran yang mempunyai arah disebut besaran vektor atau vektor. Sebagai contoh, besaran-besaran seperti temperatur, panjang, waktu tempuh termasuk besaran skalar. Sedangkan kecepatan, gaya, torsi termasuk besaran vektor atau vektor. Secara geometrik, vektor dapat

  2

  3 dinyatakan sebagai ruas garis berarah pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Tanda panah menunjukkan arah vektor, sedangkan panjang garis berarah adalah panjang vektor.

  Titik pangkal dari garis berarah disebut titik awal ( initial point ) vektor, dan titik terminal point ujung ( ) disebut titik ujung atau titik akhir vektor (Gambar 1.1).

  B v

  A

Gambar 1.1 Geometri Vektor

  Biasanya vektor dinyatakan secara simbolis dengan huruf kecil, seperti u, v, w dengan atau huruf lainnya yang dicetak tebal. Gambar 3.1 adalah sebuah vektor v yang mempunyai titik awal A dan titik ujung B dan dapat ditulis,

  ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB

  u u v v u

  Dua buah vektor u = ( 1 , 2 ) dan v = ( 1 , 2 ) dikatakan ekivalen jika dan hanya jika

  1 v u v u u v v

  = 1 dan 2 = 2 . Dengan kata lain arah dan besar u = ( 1 , 2 ) dan v = ( 1 , 2 ) adalah sama.

Gambar 1.2 Vektor-vektor Ekivalen

  Vektor yang mempunyai panjang nol disebut sebagai vektor nol dan dilambangkan dengan 0 yang memiliki arah sembarang.

1.2 Aritmatika Vektor

  1.2.1 Penjumlahan Dua Vektor Definisi 1.1

  Jika titik awal v berimpit dengan titik ujung u, maka jumlah u dan v, (ditulis u +

  v) adalah vektor yang titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal u dan

  titik ujungnya berimpit dengan titik ujung v seperti yang yang ditunjukkan pada Gambar 1.3a berikut. Jika pada definisi 1.1 v diganti dengan u dan u diganti dengan v, maka didapat jumlah v dan u (ditulis v + u) seperti pada Gambar 1.3.b. _{v u + v u u + v} u

  (a) (b) _v

  Gambar 1.3 Penjumlahan Dua Vektor

  Jika Gambar 1.3.a dan b diletakkan sedemikian rupa sehingga u + v dan v + u berimpit, seperti Gambar 1.4, maka kita dapat menyimpulkan bahwa u + v = v

• u. _{u + v v}
_{u v v + u} u Gambar 1.4

  

u + v = v + u

  1.2.2 Pengurangan Dua Vektor Definisi 1.2

  Jika titik awal u dan v berimpit, maka selisih v dari u (ditulis u

• – v) merupakan vektor yang titik awalnya berimpit dengan titik ujung v dan titik ujungnya berimpit dengan u seperti pada Gambar 1.5.

  u _{u v} – v

  Gambar 1.5 Selisih v dari u

1.2.3 Hasilkali Skalar dengan Vektor Definisi 1.3

  Jika terdapat sembarang bilangan ril k tak-nol dan vektor u tak-nol, maka hasil kali ku didefinisikan sebagai |k| kali panjang u yang arahnya sama dengan u jika k > 0 dan berlawanan dengan u jika k < 0 (Gambar 1.6). _{u 1/2 u 1/3 u 2u}

• –u

  Gambar 1.6 Hasilkali skalar dengan vektor

1.3 Vektor dalam Sistem Koordinat

1.3.1 Vektor dalam Sistem Koordinat Berdimensi 2

  2 Misal terdapat vektor u dalam sistem koordinat bidang atau R . Jika titik awal

  vektor tersebut diletakkan sedemikian rupa sehingga berimpit dengan titik asal sistem koordinat dan titik akhirnya berada pada koordinat (u

  1 , u 2 ), maka

  koordinat (u

  1 , u 2 ) disebut sebagai komponen vektor u dan ditulis, u = (u 1 , u 2 ),

  dan u disebut sebagai vektor posisi. Gambar 1.8 menunjukkan sebuah vektor

  u(u 1 , u 2 ) pada sebuah sistem koordinat berdimensi dua.

  y

  1

  2

  (u , u )

   u 1 u

  x

   u

  2 Gambar 1.7

  Vektor pada Sistem Koordinat Berdimensi 2 Misal terdapat vektor u = (u

  1 , u 2 ) dan vektor v = (v 1 , v 2 ). Jumlah vektor u dan v adalah jumlah dari masing-masing komponen vektor u dan v. u + v = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ) Dalam sistem koordinat berdimensi 2, penjumlahan vektor ditunjukkan pada Gambar 1.8 berikut.

  y (u1 + v1, u2 + v2) u

  1,

  2 u

  2 + v2 u

  2

_{v 1,}

₂ v

  2 _{u 1}

_v

₁

x ₊ u v _{1 1} Gambar 1.8

  Penjumlahan Vektor pada Sistem Koordinat Berdimensi 2

1.3.2 Vektor dalam Sistem Koordinat Berdimensi 3

  Sistem koordinat berdimensi 3 adalah sistem koordinat yang terdiri dari tiga sumbu koordinat (coordinate axes) yang saling tegak lurus dan berpotongan pada titik asal (origin). Sumbu yang mengarah ke diri pembaca, arah kanan, dan ke atas masing-masing adalah sumbu-sumbu x, y, dan z positif. Sedangkan sumbu yang mengarah ke arah yang berlawanan adalah sumbu negatif (Gambar 1.9a). Sistem koordinat ini dikenal sebagai sistem koordinat tangan kanan (right-handed). Sedangkan sistem koordinat pada Gambar 3.9b dikenal dengan sistem koordinat tangan kiri (left-handed). Selanjutnya sistem koordinat yang akan digunakan adalah sistem koordinat tangan kanan. z z y x x y (a) (b)

  Gambar 1.9 Sistem Koordinat Berdimensi Tiga

  3 Misal terdapat vektor u dalam sistem koordinat bidang atau R . Jika titik awal

  vektor diletakkan sedemikian rupa sehingga berimpit dengan titik asal sistem

  1

  2

  3

  koordinat dan titik akhirnya berada pada koordinat (u , u , u ), maka

  1

  2

  3

  koordinat (u , u , u ) disebut sebagai komponen vektor u dan ditulis,

  u = (u 1 , u 2 , u 3 )

Gambar 1.10 menggambarkan sebuah vektor u(u

  1 , u 2 , u 3 ) pada sebuah sistem koordinat berdimensi tiga. _u z

  3 _{u (u , u , u ) 1 2 3 u} y _u

  2

  1 x

  Gambar 1.10 Vektor pada Sistem Koordinat Berdimensi 3

  Jika u = (u

  1 , u 2 , u 3 ) dan v = (v

1 , v

2 , v 3 ) adalah dua buah vektor pada ruang

  berdimensi 3, maka argumen yang berlaku pada vektor bidang juga berlaku untuk vektor pada ruang berdimensi 3. Hal ini berarti,

  u dan v dikatakan ekivalen jika dan hanya jika u 1 = v 1 , u 2 = v 2 , u 3 = v

  3 u + v = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v

3 )

  Jika k adalah sebuah skalar, maka ku = (ku

  1 , ku 2 , ku 3 ).

  Contoh 3.1

  Jika u = (2, 2, 5), v = (3, –2, –1), dan k = 2, tentukan u + v, v – u, dan kv. Penyelesaian

  u + v = (2+3, 2+(

• –2), 5 +(–4)) = (5, 0, 1)

  v

• – u = (3 – 2, –2 –2, –1 –5) = (1, –4, –6)

  kv = 2(3,

• –2, –1) = (6, –4, –2)

1.4 Vektor Posisi

  Vektor yang mempunyai titik awal berimpit dengan titik asal (origin) disebut vektor posisi. Jika terdapat sebuah vektor yang mempunyai titik awal tidak berimpit dengan titik asal koordinat, maka kita bisa menggeser vektor tersebut sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal. Misal titik awal suatu vektor u adalah P

  1 (x 1 , y 1 , z 1 ) dan titik ujungnya P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ). Vektor posisi u didapat dengan

  mengurangkan komponen titik P

  1 dari komponen P 2 seperti yang dijelaskan pada rumus berikut.

  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( Vektor posisi = − , − , − )

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1.5 Sifat-sifat Operasi Vektor Teorema 1.1

  2

  3 Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada bidang (R ) atau pada ruang (R ); c dan k

  adalah skalar-skalar, maka berlaku: (a) u + v = v + u (b) (u + v) + w = u + (v + w) (c) u + 0 = 0 + u (d) u

• – u = u + (–u ) = 0 (e) 1u = u (f) ck(u) = c(ku) = k(cu) (g) (c+k)u = cu + ku (h) k(u+v) = ku + kv

  1.6 Panjang Vektor

  Panjang (length) sebuah vektor dikenal dengan istilah norma (norm) dari vektor tersebut dan dilambangkan dengan ||u||. Sesuai dengan teorema Pythagoras, norma

  2

  3 sebuah vektor, baik pada R dan R adalah sebagai berikut.

  2 Jika u adalah vektor pada R maka

  2

  2

• 1

  ‖ ‖ = √

  2

  3 Jika u adalah vektor pada R maka

  2

  2

  2

• ‖ ‖ = √

  1

  2

  3

1.7 Vektor Satuan Vektor satuan (unit vector) adalah vektor yang mempunyai norma sama dengan satu.

  Secara formal vektor satuan mengikuti teorema 1.2 berikut.

  Teorema 1.2

  2

  3 Jika v adalah sebuah vektor tak-nol, baik pada R maupun R , maka

  1 =

  ‖ ‖ adalah vektor satuan. Vektor satuan yang secara umum dikenal adalah vektor satuan

  2

  3

  standar untuk R dan R yang disimbolkan dengan i, j, k. Komponen masing-masing vektor tersebut adalah i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = ( 0, 0, 1), seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.11. _k z (0, 0, 1) _j y _i (0, 1, 0) (1, 0, 0)

  x

  Gambar 1.11 Vektor-vektor satuan standar

  1 dan titik akhir P

  1

  (a) P

  2 sebagai berikut.

  1 (a, b, c), P 2 (0, 0, 0) (d) P 1 (

  1. Tentukan komponen-komponen vektor dengan titik awal P

  Latihan untuk pasal 1.1 – 1.7

  = (0, 0, 0, … , 1)

  n

  = (0, 0, 1, … , 0), . . . , e

  

3

  = (0, 1, 0, … , 0), e

  2

  = (1, 0, 0, … , 0), e

  e

  (c) P

  biasanya disimbolkan dengan,

  n

  Vektor satuan standar untuk R

  u = (u 1 , u 2 , u 3 ) = u 1 (1, 0, 0) + u 2 (0, 1, 0) + u 3 (0, 0, 1) = u 1 i + u 2 j + u 3 k.

  ), maka kita dapat menulisnya dalam bentuk vektor satuan standar i, j, k, yaitu,

  3

  , u

  2

  , u

  1

  Jika terdapat vektor u = (u

  2 (

  1 (2, 7), P 2 (4, 6) (b) P 1 (1, 8, 3), P 2 (2, 3, 7)

• –2, 5, –9), P
• –3, –4, 6)
>–2, –3, 5) sedemikian rupa sehingga (a) u memiliki arah yang sama dengan v = (3, 5,
• –4) (b) u memiliki arah yang berlawanan dengan v = (3
• –4)
• –2, 4), v = (–3, –5, 2), dan w = (3, 3, –7). Tentukan komponen- komponen vektor x yang memenuhi persamaan 3u – 4v = 2w – 5x.
• –4), v = (1, –5, 2), dan w = (–2, 3, –1). Tentukan skalar k
• –3, 5), v = (2, –3, 4), dan w = (3, –5, 4). Tentukan, (a) ||u + v|| (b) ||u|| + ||v|| (c) ||3u
• – 4v + 2w||
• –2, 6), tentukan skalar-skalar k sedemikian rupa sehingga ||kv|| = 7

7. Tunjukkan, jika adalah vektor tak nol sembarang, maka

  Perkalian titik menghasilkan skalar. Misal terdapat dua vektor posisi u dan v, dan dimisalkan juga sudut yang diapit oleh kedua vektor tersebut adalah 

  . = { ‖ ‖ ‖ ‖ cos  jika  0 dan  0 0 jika = 0 atau = 0

  dan  adalah sudut yang diapit oleh u dan v maka hasil kali titik, disimbolkan dengan u.v, didefinisikan oleh,

  3

  maupun pada R

  2

  Jika u dan v adalah vektor-vektor, baik pada R

  Definisi 1.4

  9. Tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang berlawanan dengan vektor v = (

  8. Tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan vektor v = (3,4)

  1 ‖ ‖ adalah vektor satuan.

  6. Jika u = (3,

  5. Misal u = (1,

  1 , k 2 , dan k 3 sededemikian rupa sehingga k 1 u + k 2 v + k 3 w = (5, 6, –9).

  4. Misal u = (5, 1,

  3. Misal u = (1,

  2. Tentukan suatu vektor tak-nol u dengan titik awal (

• –2, –3, 6)

1.8 Perkalian Titik Perkalian titik disebut juga perkalian skalar atau perkalian dalam Euclidean.

  y (u , u )

  1

  

2

_{v u} – u _v (v , v )

  1

  2 _O0 x

   Gambar 1.13

  Penerapan aturan cosinus Dari gambar 1.13 kita dapat membuat hubungan antara definisi 1.4 dan aturan cosinus sebagai berikut. Dari aturan cosinus,

  2

  2

  2

• ‖ ‖ − ‖ − ‖ ‖ ‖ cos  =

  2‖ ‖ ‖ ‖

  2

  2

  2

  2‖ ‖‖ ‖cos  = ‖ ‖ + ‖ ‖ − ‖ − ‖

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  − ( − ) − ( − + ) + + =

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

• − + = − − − + 2 + 2 +

  1

  2

  1

  2

  

1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  = 2 + 2

  1

  1

  2

  2

  ‖ ‖‖ ‖cos  = +

  1

  1

  2

2 Dari definisi 1.4, ‖ ‖‖ ‖cos  = .

  2

• Sehingga perkalian titik dua buah vektor di R adalah . =

  1

  1

  2

  2

  3 Sedangkan perkalian titik dua buah vektor di R adalah . = + +

  1

  1

  2

  2

  3

  3 Contoh 1.2

  Jika u = (

• –1, 2, 2), v = (–2, 2, 1), tentukan u . v dan sudut yang diapit oleh kedua vektor tersebut! Penyelesaian

  u . v = u 1 v 1 + u 1 v 1 + u 1 v 1 =(

• –1)(–2) + (2)(2) + (2)(1) = 8

  2

  2

  2

  2

  

2

  2

  ‖ ‖‖ ‖ = √(−1) + (2) + 2 √(– 2) + 2 + 1 = √9 √9 = 9 .

  8

  o

  cos =  = 27,266 ‖ ‖‖ ‖ = 9 ;

  Teorema 1.3

  2

  3 Misal u dan v adalah vektor-vektor, baik pada R maupun pada R , 2 1/2

  (a) v . v = ||v|| ; yaitu ||v|| = (v . v)

  (b) Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol dan  adalah sudut yang diapitnya, maka  adalah sudut lancip jika dan hanya jika u . v > 0  adalah sudut tumpul jika dan hanya jika u . v < 0  = /2 jika dan hanya jika u . v = 0

  Kita telah mengetahui bahwa jika dua buah vektor membentuk sudut  = /2 berarti vektor tersebut saling tegak lurus atau ortogonal. Jadi dapat disimpulkan bahwa, Jika u . v = 0 maka u dan v saling tegak lurus atau ortogonal.

  Teorema 1.4 Sifat-sifat hasil kali titik

  Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3, dan k adalah skalar, maka (a) u . v = v . u (b) u . (v + w ) = u . v + u . w (c) k (u . v) = (k u) . v = u . (k v) (d) v . v > 0 jika v  0, dan v . v = 0 jika v = 0

1.9 Proyeksi Ortogonal

  Jika terdapat vektor tak-nol u dan a, maka kita dapat menguraikan vektor u yang sejajar a dan tegak lurus a. Misal titik awal vektor u dan a diletakkan sedemikian rupa sehingga berimpit di titik Q

   w 2 u w 2 u u w

  2 Q w 1 a Q a w 1 w

  1 Q a

  Gambar 1.14 Proyeksi vektor u sejajar dan tegak lurus a

1 Vektor w disebut sebagai proyeksi ortogonal u pada a (orthogonal projection of u on

  a) atau komponen vektor u sepanjang a (vector component of u along a) dan

  dinotasikan sebagai proj a u Vektor w

  2 disebut sebagai komponen vektor u yang ortogonal terhadap a (vector component of u orthogonal to a).

  Dari Gambar 1.14

  w 2 = u

  1

• – w w

  1 + w 2 = w 1 + (u 1 ) = u

• – w w

  2 = u a u

• – proj

  Teorema 1.5

  Jika u dan a adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3, dan jika a  0, maka .

  Komponen vektor u sepanjang a atau proja adalah, proj =

  a

  ‖ ‖ Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a atau (u a u) adalah

• – pr
• – proj = −

  a

  ‖ ‖

  Contoh 1.3

  Jika u = (3, 1,

• –4), a = (5, –2, 1), tentukan komponen vektor u sepanjang a dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Penyelesaian Komponen vektor u sepanjang a

  . (3)(5) + (1)(−2) + (−4)(1) w = proj = = (5, – 2, 1)

  1 a

  2

  2

  2

  5 + (−2) + 1 ‖ ‖

  9

  3

  3

  3 = 30 (5, – 2, 1) = ( 2 , − 5 , 10)

  Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a .

  3

  3

  3

  3

  8

  43 w = – proj = − = (3, 1, −4) − (

  2 a

  ‖ ‖ 2 , − 5 , 10) = ( 2 , 5 , − 10)

  Latihan untuk pasal 1.8 – 1.9

  1. Diketahui (a) u = (2, 3, 1), v = (4, 2, (b) u = (1,

• –5 ) –8, 3), v = (2, 3, 7) (c) u = ( (d) u = (
• –1, 4, 2), v = (–2, 1, 3) –2, 5, –1), v = (–3, –4, 6) Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul, atau saling tegak lurus.

  2. Tentukan proyeksi ortogonal u pada a dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a jika, (a) u = (2, 5), a = (1, 3) (b) u = (

• –2, –3), a = (–2, 1) (c) u = ( (d) u = (
• –2, 3), a = (5, –4) –5, 2), a = (–3, –5)

  3. Tentukan tiga buah vektor tak-nol yang ortogonal terhadap u = (3, 5,

• –4)

1.10 Perkalian Silang

1.10.1 Hasilkali Silang Vektor Perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor.

  Perkalian silang disebut juga dengan istilah perkalian vektor dan hanya

  3 berlaku untuk R .

  Definisi 1.5

  1

  2

  3

  1

  2

  3 Jika u = (u , u , u ) dan v = (v , v , v ) adalah dua buah vektor maka hasil

  kali silang, yang disimbolkan dengan u x v, didefinisikan sebagai,

  2

  3

  1

  3

  1

  2

  x = | | = | | , − | | , | |

  1

  2

  3

  2

  3

  1

  3

  1

  2

  1

  2

  3

  = ( − , − , − )

  2

  3

  3

  2

  3

  1

  1

  3

  1

  2

  2

  1 Contoh 1.4

  Jika u = (2,

• –1, –4), v = (3, –3, 1), tentukan u x v Penyelesaian x = ( − , − , − )

  2

  3

  3

  2

  3

  1

  1

  

3

  1

  2

  2

  1

  = ((−1)(1) − (−4)(−3), (−4)(3) − (2)(1), (2)(−3) − (−1)(3)) = (−13, −14, −3)

  Teorema 1.6 Hubungan antara hasilkali titik dan hasil kali silang

  Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka: (a) u . (u x v) = (u ortogonal terhadap u x v) (b) v . (u x v) = 0 (v ortogonal terhadap u x v)

  2

  2

  2

  

2

  (c) ||u x v|| = ||u|| ||v|| (identitas Lagrange)

• –(u . v) (d) u x (v x w) = (u . w)v
• – (u . v)w (hubungan hasil kali titik dan hasil kali silang) (e) (u x v) x w = (u . w)v
• – (v . w)u (hubungan hasil kali titik dan hasil kali silang)

  Teorema 1.7 Sifat-sifat hasil kali silang

  Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, dan k adalah sembarang skalar, maka: (a) u x v = (b) u x (v+w) = (u x v) + (u x w)

• – (u x v) (c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) (d) k(u x v) = (ku) x v (e) u x 0 = 0 x u = 0 (f) u x u = 0

1.10.2 Hasilkali Silang Vektor Satuan Standar

  Pada pasal 1.7 telah dibahas vektor satuan standar dan komponen- komponennya, yaitu,

  i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Berikut contoh perkalian dua vektor satuan standar. i x j = (0)(0)

• –(0)(1), (0)(0) – (1)(0), (1)(1) – (0(0) = (0, 0, 1) = k

  k x j = (0)(0)

• –(1)(1), (1)(0) – (0)(0), (0)(1) – (0)(0) = (–1, 0, 0) =
• –(1, 0,0) = – i

  i x i = (0)(0)

• –(0)(0), (0)(1) – (1)(0), (1)(0) – (0(1) = (0, 0, 0) = 0 _i
_k j Gambar 1.15

  Lingkaran Perkalian Silang vektor satuan standar Untuk mempermudah hasil perkalian silang antar dua vektor satuan standar, kita dapat menggunakan Lingkaran Perkalian Silang antar Vektor Satuan Standar (Gambar 1.15). Prinsip penggunaan lingkaran tersebut adalah sebagai berikut. Jika perkalian silang dilakukan searah jarum jam, maka hasilnya adalah vektor satuan standar berikutnya. Jika perkalian silang dilakukan berlawanan dengan arah jarum jam maka hasilnya adalah negatif dari vektor satuan berikutnya. Sedangkan perkalian silang yang dilakukan antar vektor satuan standar yang sama hasilnya adalah vektor 0.

  i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j i x k = j x i = k x j =

• –j –k –i

1.10.3 Interpretasi Geometrik Hasilkali Silang

  Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang yang berdimensi 3, maka norma u x v dapat ditentukan denganmenggunakan identitas Lagrange (teorema 3.6)

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  ||u x v|| = ||u|| ||v|| = ||u|| ||v|| ||v|| cos 

• –(u . v) –||u||

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  = ||u|| ||v|| (1 ) = ||u|| ||v|| sin 

• – cos   , maka sin  0. Sehingga ||u x v|| .

  Karena 0  =||u|| ||v|| sin

  Interpretasi geometriks dari ||u x v|| dapat dilihat pada Gambar 3.16 berikut. v _{||v|| ||v|| sin}

  

_||u||

u

  Gambar 1.16 Interpretasi Geometrik hasilkali silang

Gambar 1.16 menunjukkan bahwa vektor u dan v membentuk suatu jajaran genjang. Sedangkan norma hasilkali silang vektor u dan v menunjukkan luas

  jajaran genjang yang dibatasinya.

  Teorema 1.8 Luas bidang

  Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka ||u x v|| adalah luas bidang yang dibatasi oleh vektor u dan v.

  Contoh 1.5

  Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh u = (2, 1, 3) dan v = (4, 5, 0) Penyelesaian x = ( − , − , − )

  2

  3

  3

  2

  3

  1

  1

  3

  

1

  2

  2

  1

  = (1)(0) − (3)(5), (3)(4) − (2)(0), (2)(5) − (1)(4) = (−15, 12, 6)

  2

  2

  2

• 12 + 6 = √225 + 144 + 36 = √405 = 9√5 ‖ x ‖ = √(−15)

  Definisi 1.6

  Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka u . (v x

  

w) disebut sebagai hasilkali tripel skalar (scalar triple product), yang

  didapat dari,

  1

  

2

  3

  . ( x ) = |

  1

  

2

3 |

  1

  

2

  3 Contoh 1.6

  Hitung hasilkali tripel skalar u . (v x w) jika

  u = 2i + j + 3k v = 4i + 2j + 2k w = i

• – j + 3k Penyelesaian

  2

  1

  3 2 4 2

  4

  2 . ( x ) = |

  4

  2 2 | = 2 | 2 −1 3| − | 1 3| + 3 | 1 −1| 1 −1 3

  = 16 − 10 − 18 = −2

  Teorema 1.9

  (a) Nilai absolut dari determinan

  1

  2

  [ ]

  1

  2 sama dengan luas bidang pada ruang berdimensi dua yang dibatasi oleh vektor

  u = (u 1 , u 2 , u 3 ) dan v = (v 1 , v

2 , v

3 ).

  (b) Nilai absolut dari determinan

  1

  2

  3

  [

  1

  2 3 ]

  1

  2

  3

  sama dengan volume pada ruang berdimensi 3 yang dibatasi oleh vektor-vektor luas bidang pada ruang berdimensi dua yang dibatasi oleh vektor

  u = (u 1 , u 2 , u 3 ), v = (v 1 , v 2 , v 3 ), dan = (w 1 , w 2 , w 3 ) .

  Luas dan volume yang dimaksud ditunjukkan pada Gambar 3.17 berikut. _{y z u ( , ) u u 1 2 u ( , , )} u u u _{1 2 3 v ( , ) v v v v v 1 2 w ( , , )} w w w _{1 v 2 3 ( , , ) 1 2 3}

  (a) (b) _{O x O y}

  Bidang yang dibatasi Volume yang dibatasi vektor

• –vektor u dan v vektor-vektor u, v, dan w
_X Gambar 3.17 Luas dan volume yang diapit vektor-vektor

  Teorema 1.10

  Jika vektor-vektor u = (u

  1 , u 2 , u 3 ), v = (v 1 , v 2 , v 3 ), dan = (w 1 , w 2 , w 3 ) memiliki

  titik awal yang sama, maka vektor-vektor tersebut akan terletak pada bidang yang sama jika dan hanya jika,

  

1

  2

  3

  . ( x ) = |

  

1

  2 3 | = 0

  

1

  2

  3

  1. Misal u = (2,

   Latihan untuk pasal 1.10

• –3, 1), v = (–4, 2, 0), dan w = (1, –8, 3), hitunglah (a) u x (v x w) (b) (u x v) x w (c) u x (v
• – 2w)

  (d) (u x v)

• – 2w

  2. Tentukan sebuah vektor yang ortogonal, baik terhadap u maupun v jika, (a) u = (

• –6, 4, 2), v = (3, 1, 5) (b) u = (–2, 1, 5), v = (3, 0, –3)

  3. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh (a) u = (4, 3, 1), v = (2, 2, 5) (b) u = (4, 1,

• –2), v = (1, 1, –3)

  4. Tentukan volume ruang yang dibatasi oleh vektor-vektor, (a) u = (

• –1, 2, 4), v = (3, 4, –2), dan w = (–2, 3, 5) (b) u = (3, 1, 3), v = (3, 4, 1), dan w = (1, 2, 4)

BAB 2 RUANG VEKTOR

2.1 Ruang berdimensi n Euclidean

  Pada materi sebelumnya kita telah membahas vektor pada ruang berdimensi 2 dan 3 yang masing-masing disimbolkan dengan R2 dan R3. Pada bab ini kita akan membahas vektor pada ruang yang bersifat lebih umum, yaitu vektor pada ruang berdimensi n yang disimbolkan dengan Rn. Meskipun secara geometrik Rn hanya ruang berdimensi 2 dan 3 yang dapat digambarkan, akan tetapi dengan memanfaatkan sifat-sifat analitik vektor pada R2 maupun R3 kita dapat memperluas pembahasan untuk vektor pada ruang berdimensi n.

2.1.1 Vektor pada Ruang Berdimensi n. Definisi 2.1

  Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n-

  tuple) adalah suatu urutan dari n bilangan real (a1, a

  2, … , an). Himpunan semua tupel berurutan disebut ruang berdimensi n (n-space) dan dinyatakan dengan Rn. Umumnya istilah tupel n berurutan hanya digunakan jika n > 3. Jika n = 2, urutan bilangan real (a1, a2) disebut dengan istilah pasangan berurutan (ordered pair). Jika n = 3, urutan bilangan real (a1, a2, a3) disebut dengan istilah tripel berurutan(ordered triple). Sedangkan untuk n = 1 menunjukkan

  hanya terdapat satu bilangan real dan himpunannya adalah himpunan bilangan real yang disimbolkan dengan R; bukan R1.