Limit dan tak dan hingga
TUGAS MAKALAH MATEMATIKA
LIMIT TAK HINGGA
DISUSUN OLEH
-
:
NURRAHMAH SEPTIANDINI
FERIYAN ARIZKI
MUHAMMAD RIFQI PAHLEVI
SUPARMAN
KELAS
: XI MIA.1
SMAN 1 PEMALI
TAHUN PELAJARAN 2014/2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang rahmat- Nya maka kami dapat
menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga
“.
Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk
menyelesaikan tugas mata kuliah kalkulus.
Dalam penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan- kekurangan
baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki
penulis. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi
penyempurnaan pembuatan makalah ini.
Akhirnya penulis berharap semoga makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak
Hingga “ dapat bermanfaat untuk kita semua.
Penulis,
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada
kalkulus.
Cobalah kamu mengambil kembang gula. Kembang gula dalam sebuah tempat
dengan genggaman sebanyak 5 kali. Setelahdihitung, pengambilan pertama terdapat 5
bungkus, pengambilan kedua terdapat 6 bungkus, pengambilan ketiga 5 bungkus,
pengambilan keempat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.Jadi,dirata-rata pada
pengambilan pertama sampai pengambilan kelima adalah 5,!, dan dikatakan hamper
mendekati 6. "alam #ontoh sehari-hari,banyak sekali kita temukan kata-kata hampir,
mendekati, harga batas dsb. $engertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian Limit
1.2 Rumusan Masalah
1. Sejarah kalkulus dan limit fungsi
2. Latar belakang limit tak hingga
3. Ilmuan-ilmuan
4. Konsep dan sifat
5. Soal dan Pembahasan
1.3 Tujuan
1. Dapat memahani tentang limit tak hingga.
2. Dapat memahami tentang limit di tak hingga
3. Dapat menguasai materi limit tak hingga dan di tak hingga.
BAB II
ISI
SEJARAH LIMIT
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulusdan analisis,
tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki
limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika xdekat pada p. Dengan kata
lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika xjuga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi,
bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang
(secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada
keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.
Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaituzaman
kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran
tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan
sistematis.[2] Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus
integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus
tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volumepiramida terpancung.
[3]
Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang
menyerupai kalkulus integral.[4]
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak
terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan
diferensial dasar.[5] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk
mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil
takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[6] Sekitar tahun 1000,
matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan
rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil
pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[7] Pada abad
ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah
hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [8] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan
matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus
khusus dari deret Taylor[9], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[10][11][12]
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh
matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John
Wallis dan Isaac
Barrow memberikan
terobosan
dalam
kalkulus.[13]James
Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan
dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam
waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke
bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak
digunakan sekarang.[14]
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul
kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima
penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu,
tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan
Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.[15]
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan
Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz
diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya "The science of fluxions".[15]
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih
lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan
infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.
Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.
Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18,
gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan
dasar-dasar teknik epsilon-delta. [1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah
menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. [2] Presentasi yang ketat
terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan olehWeirstrass pada dasawarsa 1850-an dan
1860-an[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah
oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.
diperkenalkan
LATAR BELAKANG MUNCULNNYA LIMIT
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang
sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah
bilangan dxyang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil
daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap
perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata
lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini,
kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.[18]
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat,
sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai
input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah
sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.[18] Secara cermat, definisi limit suatu
fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p
itu sendiri. Kita mengatakan bahwalimit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan
menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya
sedemikian rupanya untuk setiap x:
ILMUAN-ILMUAN YANG BERKAITAN
1.Augustin-Louis
Cauchy (ogysˈtɛ̃
lwi
koˈʃi,
lahir
Agustus1789 – meninggal di Sceaux, 23 Mei 1857 pada umur
seorangmatematikawan Perancis.
di Paris, Perancis, 21
67 tahun) ialah
Dididik di Ecole Polytechnique. Karena kesehatan yang buruk ia dinasihatkan untuk
memusatkan pikirannya pada matematika. Selama kariernya, ia menjabat sebagai mahaguru
di École Politechnique, Sorbonne, dan College de France. Sumbangan-sumbangan
matematikanya cemerlang dan mengejutkan jumlahnya.Produktivitasnya amat hebat
hingga Akademi Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah
untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.
Cauchy ialah seorang Katolik yang saleh dan pengikut Raja yang patuh. Dengan menolak
bersumpah setia kepada pemerintahan Prancis yang berkuasa pada 1830, ia pindah
ke Italia selama beberapa tahun dan mengajar di beberapa institusi keagamaan di Paris
sampai sumpah kesetiaan dihapuskan setelah Revolusi 1848.
Cauchy memiliki perhatian yang luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu naskah dalam
ilmu persajakan dalam bahasa Ibrani. Keimanannya dalam beragama mengantarnya
mendukung kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dannarapidana.
Meski kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, dasar-dasarnya tetap kacau dan berantakan
sampai Cauchy dan rekannya Carl Friedrich Gauß, Niels Henrik Abel, dan Bernard
Bolzano mengadakan ketelitian baku.
2.Sir Isaac
Newton FRS (lahir
di Woolsthorpe-by-Colsterworth, Lincolnshire, 4
Januari 1643 – meninggal 31 Maret 1727 pada umur 84 tahun; KJ: 25 Desember 1642 – 20
Maret 1726/7[1]) adalah seorang fisikawan, matematikawan, ahliastronomi, filsuf alam,
alkimiawan, dan teolog yang berasal dari Inggris. Ia merupakan pengikut aliran heliosentris
dan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak
ilmu fisika klasik.[7]
Karya bukunya Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica yang diterbitkan pada tahun
1687 dianggap sebagai buku paling berpengaruh sepanjang sejarah sains. Buku ini
meletakkan dasar-dasar mekanika klasik. Dalam karyanya ini, Newton menjabarkan hukum
gravitasi dan tiga hukum gerak yang mendominasi pandangan sains mengenai alam semesta
selama tiga abad. Newton berhasil menunjukkan bahwa gerak benda di Bumi dan bendabenda luar angkasa lainnya diatur oleh sekumpulan hukum-hukum alam yang sama. Ia
membuktikannya dengan menunjukkan konsistensi antara hukum gerak planet Kepler dengan
teori gravitasinya. Karyanya ini akhirnya menyirnakan keraguan para ilmuwan
akan heliosentrisme dan memajukanrevolusi ilmiah.
Dalam
bidang mekanika,
Newton
mencetuskan
adanya
prinsip
kekekalanmomentum dan momentum
sudut.
Dalam
bidang optika,
ia
berhasil
[8]
membangun teleskop refleksi yang pertama dan mengembangkan teoriwarna berdasarkan
pengamatan bahwa sebuah kaca prisma akan membagi cahaya putih menjadi warna-warna
lainnya. Ia juga merumuskan hukum pendinginan dan mempelajari kecepatan suara.
Dalam bidang matematika pula, bersama dengan karya Gottfried Leibniz yang dilakukan
secara terpisah, Newton mengembangkan kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Ia juga
berhasil menjabarkan teori binomial, mengembangkan "metode Newton" untuk melakukan
pendekatan terhadap nilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi terhadap kajian deret pangkat.
Sampai sekarang pun Newton masih sangat berpengaruh di kalangan ilmuwan. Sebuah survei
tahun 2005 yang menanyai para ilmuwan dan masyarakat umum di Royal Society mengenai
siapakah yang memberikan kontribusi lebih besar dalam sains, apakah Newton atau Albert
Einstein, menunjukkan bahwa Newton dianggap memberikan kontribusi yang lebih besar.
3.Gottfried Wilhem Leibniz atau kadangkala dieja sebagai Leibnitz atau Von Leibniz (1
Juli (21 Juni menurut tarikh kalender Julian) 1646 – 14 November 1716) adalah seorang
filsuf Jerman keturunan Sorbia dan berasal dari Sachsen. Ia terutama terkenal karena
faham Théodicée bahwa manusia hidup dalam dunia yang sebaik mungkin karena dunia ini
diciptakan oleh Tuhan Yang Sempurna. Faham Théodicée ini menjadi terkenal karena dikritik
dalam buku Candidekarangan Voltaire.
Selain seorang filsuf, ia adalah ilmuwan, matematikawan, diplomat, fisikawan,sejarawan dan
doktor dalam hukum duniawi dan hukum gereja. Ia dianggap sebagai Jiwa Universalis
zamannya dan merupakan salah seorang filsuf yang paling berpengaruh pada abad ke-17 dan
ke-18. Kontribusinya kepada subyek yang begitu luas tersebar di banyak jurnal dan puluhan
ribu surat serta naskah manuskrip yang belum semuanya diterbitkan. Sampai sekarang masih
belum ada edisi lengkap mengenai tulisan-tulisan Leibniz dan dengan ini laporan lengkap
mengenai prestasinya belum dapat dilakukan.
Leibniz lahir di Leipzig dan meninggal dunia di Hannover.
KONSEP DAN SIFAT LIMIT
Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai
fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah xmembesar atau mengecil
tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang
terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah
atau
(x→ c dapat diganti x→
atau x→
). Konsep kedua adalah tentang limit
fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang
mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini
kemungkinannya adalah
atau
Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit, dan
prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama,
tetapi x→c di ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan.
SOAL DAN PEMBAHASAN
Pembahasan
Soal
:
Pembahasan
Soal
:
:
:
Pembahasan
Soal
:
:
Pembahasan
:
KESIMPULAN
Ø Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai
fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah xmembesar atau mengecil
tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang
terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah
atau
(x→ c dapat diganti x→
atau x→
). Konsep kedua adalah tentang limit
fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang
mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini
kemungkinannya adalah
atau
Ø Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit,
dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama,
tetapi x→c di ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan.
DAFTAR PUSTAKA
1. https://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/06/lim4.jpg
2. https://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/19/soal-dan-pembahasan-limit-takhingga-bentuk-akar-1-3/
3. http://rumushitung.com/2014/03/02/limit-matematika-dan-contoh-soal/
4. http://ilmu-duniadanakhirat.blogspot.com/2013/10/materi-soal-dan-pembahasanlengkap.html
LIMIT TAK HINGGA
DISUSUN OLEH
-
:
NURRAHMAH SEPTIANDINI
FERIYAN ARIZKI
MUHAMMAD RIFQI PAHLEVI
SUPARMAN
KELAS
: XI MIA.1
SMAN 1 PEMALI
TAHUN PELAJARAN 2014/2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang rahmat- Nya maka kami dapat
menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga
“.
Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk
menyelesaikan tugas mata kuliah kalkulus.
Dalam penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan- kekurangan
baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki
penulis. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi
penyempurnaan pembuatan makalah ini.
Akhirnya penulis berharap semoga makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak
Hingga “ dapat bermanfaat untuk kita semua.
Penulis,
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada
kalkulus.
Cobalah kamu mengambil kembang gula. Kembang gula dalam sebuah tempat
dengan genggaman sebanyak 5 kali. Setelahdihitung, pengambilan pertama terdapat 5
bungkus, pengambilan kedua terdapat 6 bungkus, pengambilan ketiga 5 bungkus,
pengambilan keempat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.Jadi,dirata-rata pada
pengambilan pertama sampai pengambilan kelima adalah 5,!, dan dikatakan hamper
mendekati 6. "alam #ontoh sehari-hari,banyak sekali kita temukan kata-kata hampir,
mendekati, harga batas dsb. $engertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian Limit
1.2 Rumusan Masalah
1. Sejarah kalkulus dan limit fungsi
2. Latar belakang limit tak hingga
3. Ilmuan-ilmuan
4. Konsep dan sifat
5. Soal dan Pembahasan
1.3 Tujuan
1. Dapat memahani tentang limit tak hingga.
2. Dapat memahami tentang limit di tak hingga
3. Dapat menguasai materi limit tak hingga dan di tak hingga.
BAB II
ISI
SEJARAH LIMIT
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulusdan analisis,
tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki
limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika xdekat pada p. Dengan kata
lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika xjuga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi,
bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang
(secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada
keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.
Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaituzaman
kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran
tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan
sistematis.[2] Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus
integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus
tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volumepiramida terpancung.
[3]
Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang
menyerupai kalkulus integral.[4]
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak
terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan
diferensial dasar.[5] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk
mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil
takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[6] Sekitar tahun 1000,
matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan
rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil
pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[7] Pada abad
ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah
hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [8] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan
matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus
khusus dari deret Taylor[9], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[10][11][12]
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh
matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John
Wallis dan Isaac
Barrow memberikan
terobosan
dalam
kalkulus.[13]James
Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan
dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam
waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke
bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak
digunakan sekarang.[14]
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul
kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima
penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu,
tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan
Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.[15]
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan
Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz
diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya "The science of fluxions".[15]
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih
lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan
infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.
Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.
Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18,
gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan
dasar-dasar teknik epsilon-delta. [1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah
menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. [2] Presentasi yang ketat
terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan olehWeirstrass pada dasawarsa 1850-an dan
1860-an[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah
oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.
diperkenalkan
LATAR BELAKANG MUNCULNNYA LIMIT
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang
sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah
bilangan dxyang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil
daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap
perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata
lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini,
kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.[18]
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat,
sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai
input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah
sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.[18] Secara cermat, definisi limit suatu
fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p
itu sendiri. Kita mengatakan bahwalimit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan
menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya
sedemikian rupanya untuk setiap x:
ILMUAN-ILMUAN YANG BERKAITAN
1.Augustin-Louis
Cauchy (ogysˈtɛ̃
lwi
koˈʃi,
lahir
Agustus1789 – meninggal di Sceaux, 23 Mei 1857 pada umur
seorangmatematikawan Perancis.
di Paris, Perancis, 21
67 tahun) ialah
Dididik di Ecole Polytechnique. Karena kesehatan yang buruk ia dinasihatkan untuk
memusatkan pikirannya pada matematika. Selama kariernya, ia menjabat sebagai mahaguru
di École Politechnique, Sorbonne, dan College de France. Sumbangan-sumbangan
matematikanya cemerlang dan mengejutkan jumlahnya.Produktivitasnya amat hebat
hingga Akademi Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah
untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.
Cauchy ialah seorang Katolik yang saleh dan pengikut Raja yang patuh. Dengan menolak
bersumpah setia kepada pemerintahan Prancis yang berkuasa pada 1830, ia pindah
ke Italia selama beberapa tahun dan mengajar di beberapa institusi keagamaan di Paris
sampai sumpah kesetiaan dihapuskan setelah Revolusi 1848.
Cauchy memiliki perhatian yang luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu naskah dalam
ilmu persajakan dalam bahasa Ibrani. Keimanannya dalam beragama mengantarnya
mendukung kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dannarapidana.
Meski kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, dasar-dasarnya tetap kacau dan berantakan
sampai Cauchy dan rekannya Carl Friedrich Gauß, Niels Henrik Abel, dan Bernard
Bolzano mengadakan ketelitian baku.
2.Sir Isaac
Newton FRS (lahir
di Woolsthorpe-by-Colsterworth, Lincolnshire, 4
Januari 1643 – meninggal 31 Maret 1727 pada umur 84 tahun; KJ: 25 Desember 1642 – 20
Maret 1726/7[1]) adalah seorang fisikawan, matematikawan, ahliastronomi, filsuf alam,
alkimiawan, dan teolog yang berasal dari Inggris. Ia merupakan pengikut aliran heliosentris
dan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak
ilmu fisika klasik.[7]
Karya bukunya Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica yang diterbitkan pada tahun
1687 dianggap sebagai buku paling berpengaruh sepanjang sejarah sains. Buku ini
meletakkan dasar-dasar mekanika klasik. Dalam karyanya ini, Newton menjabarkan hukum
gravitasi dan tiga hukum gerak yang mendominasi pandangan sains mengenai alam semesta
selama tiga abad. Newton berhasil menunjukkan bahwa gerak benda di Bumi dan bendabenda luar angkasa lainnya diatur oleh sekumpulan hukum-hukum alam yang sama. Ia
membuktikannya dengan menunjukkan konsistensi antara hukum gerak planet Kepler dengan
teori gravitasinya. Karyanya ini akhirnya menyirnakan keraguan para ilmuwan
akan heliosentrisme dan memajukanrevolusi ilmiah.
Dalam
bidang mekanika,
Newton
mencetuskan
adanya
prinsip
kekekalanmomentum dan momentum
sudut.
Dalam
bidang optika,
ia
berhasil
[8]
membangun teleskop refleksi yang pertama dan mengembangkan teoriwarna berdasarkan
pengamatan bahwa sebuah kaca prisma akan membagi cahaya putih menjadi warna-warna
lainnya. Ia juga merumuskan hukum pendinginan dan mempelajari kecepatan suara.
Dalam bidang matematika pula, bersama dengan karya Gottfried Leibniz yang dilakukan
secara terpisah, Newton mengembangkan kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Ia juga
berhasil menjabarkan teori binomial, mengembangkan "metode Newton" untuk melakukan
pendekatan terhadap nilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi terhadap kajian deret pangkat.
Sampai sekarang pun Newton masih sangat berpengaruh di kalangan ilmuwan. Sebuah survei
tahun 2005 yang menanyai para ilmuwan dan masyarakat umum di Royal Society mengenai
siapakah yang memberikan kontribusi lebih besar dalam sains, apakah Newton atau Albert
Einstein, menunjukkan bahwa Newton dianggap memberikan kontribusi yang lebih besar.
3.Gottfried Wilhem Leibniz atau kadangkala dieja sebagai Leibnitz atau Von Leibniz (1
Juli (21 Juni menurut tarikh kalender Julian) 1646 – 14 November 1716) adalah seorang
filsuf Jerman keturunan Sorbia dan berasal dari Sachsen. Ia terutama terkenal karena
faham Théodicée bahwa manusia hidup dalam dunia yang sebaik mungkin karena dunia ini
diciptakan oleh Tuhan Yang Sempurna. Faham Théodicée ini menjadi terkenal karena dikritik
dalam buku Candidekarangan Voltaire.
Selain seorang filsuf, ia adalah ilmuwan, matematikawan, diplomat, fisikawan,sejarawan dan
doktor dalam hukum duniawi dan hukum gereja. Ia dianggap sebagai Jiwa Universalis
zamannya dan merupakan salah seorang filsuf yang paling berpengaruh pada abad ke-17 dan
ke-18. Kontribusinya kepada subyek yang begitu luas tersebar di banyak jurnal dan puluhan
ribu surat serta naskah manuskrip yang belum semuanya diterbitkan. Sampai sekarang masih
belum ada edisi lengkap mengenai tulisan-tulisan Leibniz dan dengan ini laporan lengkap
mengenai prestasinya belum dapat dilakukan.
Leibniz lahir di Leipzig dan meninggal dunia di Hannover.
KONSEP DAN SIFAT LIMIT
Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai
fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah xmembesar atau mengecil
tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang
terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah
atau
(x→ c dapat diganti x→
atau x→
). Konsep kedua adalah tentang limit
fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang
mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini
kemungkinannya adalah
atau
Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit, dan
prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama,
tetapi x→c di ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan.
SOAL DAN PEMBAHASAN
Pembahasan
Soal
:
Pembahasan
Soal
:
:
:
Pembahasan
Soal
:
:
Pembahasan
:
KESIMPULAN
Ø Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai
fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah xmembesar atau mengecil
tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang
terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah
atau
(x→ c dapat diganti x→
atau x→
). Konsep kedua adalah tentang limit
fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang
mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini
kemungkinannya adalah
atau
Ø Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit,
dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama,
tetapi x→c di ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan.
DAFTAR PUSTAKA
1. https://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/06/lim4.jpg
2. https://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/19/soal-dan-pembahasan-limit-takhingga-bentuk-akar-1-3/
3. http://rumushitung.com/2014/03/02/limit-matematika-dan-contoh-soal/
4. http://ilmu-duniadanakhirat.blogspot.com/2013/10/materi-soal-dan-pembahasanlengkap.html