ALJABAR MATRIKSrev1 Teknik Sipil | IF Only News
ALJABAR MATRIKS
Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier
2x + 3y + 3z
=0
x + y + 3z
=0
– x + 2y – z = 0
Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS,
dan secara umum dapat dituliskan sbb :
2 3 2
1 1 3
1 2 1
Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS,
dan secara umum dapat dituliskan sbb :
a11
a
21
a31
.
.
.
a
i1
a m1
a12
a 22
a13
a 23
aij
a2 j
a32
.
a33
.
a3 j
.
.
.
.
.
.
.
ai 2
am2
ai 3
a m3
aij
a mj
a1n
a 2 n
a3n
.
.
.
ain
a mn
m, n
adalah bilangan bulat ≥ 1.
aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)
m banyak baris
orde matriks mxn
n banyaknya kolom
Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)
Macam matriks
• Matriks bujur sangkar, bila m = n
1 2 3
4 5 6
7 8 9 mxn
Elemen-elemen
a11, a22, .........., ann
disebut “elemen-elemen diagonal utama”
Macam matriks
•
Matriks baris, bila m = 1
1
•
2 3 4 5
[ A ]mx1
Matriks kolom, bila n = 1
1
2
3
4
5
[ A ]1x n
Macam matriks
• Matriks nol, bila aij = 0 :
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
•
Matriks Diagonal,
Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali
elemen-elemen diagonal utamanya.
1
0
0
0
0 0 0
2 0 0
0 3 0
0 0 4
aij = 0
aii ≠ 0
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
•
Matriks Satuan (unit matriks).
Jika elemen-elemen diagonal sama
dengan 1 dan elemen-elemen yang lain
sama dengan nol.
1
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= [I]
Disebut juga matriks identitas = [ I ]
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks simetris, jika aij = aji
1 2 3
2 0 7
3 7 5
• Matriks skew-simetris, jika aij = - aji
1 2 3
2 0 7
3 7
5
OPERASI MATRIKS
• Kesamaan matriks
Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
aij = bij
[ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.
OPERASI MATRIKS
•
Penjumlahan matriks
Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka
kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan
menjadi matriks [C]
[C] = [A] + [B]
cij = aij +
bij
Sifat-sifat penjumlahan Matriks
[A]+[B]=[B]+[A]
→ Komutatif
[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif
EXAMPLE :
[A] =
1 2 3
4 5 6
[C] =
1 0 2 3 3 2
4 1 5 2 6 3
[C] =
1 5 5
5 7 9
[B] =
0 3 2
1 2 3
OPERASI MATRIKS
• Perkalian dengan skalar :
Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar
menghasilkan suatu matriks
[D] = k [A]
dij = k . aij
Sifat-sifat perkalian skalar matriks:
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]
k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k
k
EXAMPLE :
1 2 3
[A]=
4
5
6
[D]=
2 4 6
8 10 12
; k = -2
OPERASI MATRIKS
• Perkalian matriks
Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan
matriks baru
[E]mxn = [A]mxp [B]pxn
p
eij aik bkj
k 1
dimana :
i = 1, 2, … m ;
j = 1, 2, … n
;
k = 1, 2, … p
EXAMPLE :
[A] =
2 1 5
1 3 2
2 x3
;
2 x3 1( 1) 5 x 2
[E] =
1x3 3( 1) 2 x 2
15 15
[E] =
4
12
2x2
3 4
[B] = 1 2
2 1 3 x 2
2 x 4 1x 2
1x 4
5 x1
3 x 2 2 x1
Sifat-sifat perkalian matriks :
•
[A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]
; sifat distributif
•
( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C]
; sifat distributif
•
[A] ( [B] [C] )
; sifat assosiatif
•
[A] [B] ≠ [B] [A]
•
[A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]
= ( [A] [B] ) [C]
TRANSPOSE MATRIKS
Jika matriks [A] dengan orde m x n
Transpose matriks [A]
= [A]T
adalah matriks berorde n x m dengan baris
dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan
baris matrix [A]T
EXAMPLE :
1 2 3
[A] =
4 5 6
2 x3
1 4
[A]T = 2 5
3 6 3x 2
Sifat-sifat dari transpose matriks
• ( [A]T )T = [A]
• ( k [A] )T = k [A]T
• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T
• ( [A] [B] )T = [B]T [A]T
DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR
[A]2x2 =
a11
a
21
a12
a 22
Det. [A] = A a11 a 22 a1 2 a 21
b11
[B]3x3 b21
b31
b12
b22
b32
b13
b23
b33
B b11 b22 .b33 b23 b32 b12 b21 .b33 b23 .b31 b13 b21 .b32 b22 .b31
Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij
Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama
n
A aik cik ai1ci1 ai 2 ci 2 ....... ain cin
k 1
dimana cik = co-factor aik
INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya.
Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari
matriks tersebut.
• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar,
dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka
matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan
matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].
• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR
• Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks
SINGULAR.
• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1
EXAMPLE :
[A] =
6 2 3
1 1
0
1 0
1
1
[A] [A]-1 = 0
0
0
1
0
; [A]-1 =
0
0
1
1
1
1
2
3
2
3
3
4
=[I]
Catatan :
Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa
metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan,
metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.
Metode Gauss-Jordan
Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn
Langkah-langkah yang dilakukan :
1) Ambil matriks satuan [I]nxn
2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A]
menjadi matriks satuan
3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ],
sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah
berubah menjadi matriks [A]-1
EXAMPLE :
7 3 3
[A]-1 = 1 1 0
1 0
1
1 3 3
[A] = 1 4 3
1 3 4
LANGKAH KE-1
LANGKAH KE-2
LANGKAH KE-3
1
1
1
3
4
31
30
0
1
3
40
0
0
0
1
1 3 3 1 0 0
0
1
0
1
1
0
1 3 4 0 0 1
1 3 3 1 0 0
0
1
0
1
1
0
0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-4
1 0 3 4 3 0
0
1
0
1
1
0
0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-5
1 0 0 7 3 3
0
1
0
1
1
0
0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-n
Selesai …?????
MATRIKS ORTHOGONAL
Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks
orthogonal
bila [A]-1 = [A]T
[A] [A]T = [A] [A]-1 = [ I ]
EXAMPLE :
[A] =
[A]-1 =
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
[A] =
sin
T
sin
cos
Karena [A]-1 = [A]T → matriks [A] disebut matriks orthogonal
[T] =
[T]T =
cos
sin
0
cos
sin
0
sin
cos
0
sin
cos
0
0
0
1
[T]-1 =
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
0
0
1
Karena [T]-1 = [T]T → matriks [T] disebut matriks orthogonal
TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS
Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka
matriks tersebut dapat diekspresikan dalam
bentuk :
[A] = [L] [U]
a11
a
21
a31
.
.
a n1
a12 a13 ...... a1n
a 22 a 23 ...... a 2 n
a32 a33 ...... a3n
.
. ...... .
.
. ...... .
a n 2 a n 3 ...... a nn
=
nxn
l11 0 0
l l
21 22 0
l31 l32 l33
.
.
.
.
.
.
l n1 l n 2 l n3
[L] = lower triangle matriks
[U] = upper triangle matriks
....
....
....
....
....
....
0
0
0
.
.
l nn
nxn
u11 u i 2 u13
0 u u
22
23
0 0 u 33
.
.
.
.
.
.
0 0 0
.... u1n
.... u 2 n
.... u 3n.
.... .
.... .
.... u nn
nxn
EXAMPLE :
36 27 63
20 25 39
12 14 33
=
[A]
=
9 0 0
5 2 0
3 1 7
4 3 7
0 5 2
0 0 8
[L]
[U]
Aplikasi pada solusi persamaan linier simultan :
[A] {X} = [B]
[L] [U] {X} = [B]
→
misal
[U] {X} = {Y}
[L] {Y} = [B]
{X} = [U]-1 {Y}
{Y} = [L]-1 [B]
dapat diperoleh tanpa
inverse matriks
Sehingga : {X} = [U]-1 [L]-1 [B]
dapat diperoleh tanpa
inverse matriks
SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui
dapat dituliskan sbb :
a11
a21
.
.
.
an1
x1
x1
x1
a12
a22
.
.
.
an 2
x2
x2
x2
a11
a
21
.
.
a n1
.......... a1n
.......... a2 n
..........
.
..........
.
..........
.
.......... ann
a 21
a 22
.
.
an 2
.... a1n
.... a 2 n
.... .
.... .
.... a nn
Secara matriks ditulis,
xn
xn
xn
x1
x
2
.
x
n 1
x n
b1
b2
.
.
.
bn
b1
b
2
= .
b
n 1
bn
[A] {X} = [B]
EXAMPLE :
4x + 3y + z = 13
x + 2y + 3z = 14
3x + 2y + 5z = 22
4 3 1
1 2 3
3 2 5
[A]
x
13
y
= 14
z
22
{X} =
[B]
{ X } = [A]-1[B]
4 3 1
x
1 2 3
y
=
z
3 2 5
1
13
14 = …..??????
22
PARTISI MATRIKS
Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara
hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.
Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi
persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa
A
a11
a21
a31
a12
a13
a14
a15
a16
A11 A12 A13
a26 =
A
A
A
21 22 23
a36
a22
a32
a23
a33
a24
a34
a25
a35
A12
a12
a 22
a13
A22 a32
dimana ;
A11
a11
a 21
A21 a31
a 23
a14
a 24
A13
a33
a34
A23 a35
a15 a16
a
a
26
25
a36
EXAMPLE :
5
A 4
10
A B
3
6
3
1
2
4 3 x 3
A11
A21
A A
11 12
A21 A22 2 x 2
B1
B2 2 x1
5
4
A11 B1
3
6
1
2
A12 B2
A21 B1 10
A12
A22 2 x 2
5
B1
4
B2 2 x1
2
3X 2
A B A12 B2
11 1
A21 B1 A22 B2
1 5 11 37
2 4 16 44
3 2
3 2
6 4
3
A22 B2 4 3
14 39
sehingga ; [ A] [B] 22 48
28 70
1
B 2
3
1
2
5
16
4
2 12
8
32
BEBERAPA RUMUS KHUSUS
[ A ] = Matriks bujur sangkar dan simetris ; orde n x n : aij
[ B ] = Matriks empat persegi panjang ; orde n x m : bij
{ X } = Vektor kolom ; orde n x 1 : xi
{ Y } = Vektor kolom ; orde m x 1 ; yi
Bila ;
Maka ;
atau sebaliknya ;
T
1 xn
12{X }
n
n
i 1
j 1
[ A] nxn 1 2 a ij xi y j
x1
x2
.... [ A] nxn { X }nx1
{X }
....
xn
A X
{X }
; 1 2 { X }T [ A]{ X }
EXAMPLE :
x1
X x2
x
3
1 2 3
A 2 4 5
3 5 6
1 2 { X }T [ A]{ X } 1 2 x1
Ф = ½ ( x1 x2 x3 )
Ф
12
x
2
1
2
2
x2
x1 2 x 2
2 x1 4 x2
3x1 5 x2
1 2 3 x1
x3 2 4 5 x 2
3 5 6 x3
3 x3
5 x3
6 x3
4 x2 6 x3 4 x1 x2 6 x1 x3 10 x2 x3
1 2 2 x1 4 x2 6 x2 x1 2 x2 3 x3
x1
1 2 8 x2 4 x1 10 x3 2 x1 4 x2 5 x3
x2
1 212 x3 6 x1 10 x2 3x1 5 x2 6 x3
x3
x
1 1 2 3
2 4 5
x 2 3 5 6
x
3
x1
x2
x
3
A { X }
{ X }
Bila ;
T
{ X }
1 xn
[ B] Y
nxm
mx1
B nxm Y mx1
Maka ;
X
EXAMPLE :
1 2 3 4
B 3x 4 5 6 7 8 { X }3x1 =
9 10 11 12
X B Y x1
T
x2
x1
x2
x
3
y1
y
{ Y }4x1 = 2
y3
y 4
y1
1 2 3 4
y2
x3 5 6 7 8
y3
9 10 11 12
y 4
x1 x 2
x3
y1 2 y 2 3 y 3 4 y 4
5 y 6 y 7 y 8 y
2
3
4
1
9 y1 10 y 2 11 y 3 12 y 4
y1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 x1 5 y1 6 y 2 7 y 3 8 y 4 x 2 9 y1 10 y 2 11 y 3 12 y 4
y1 2 y 2 3 y 3 4 y 4
x1
5 y1 6 y 2 7 y3 8 y4
x2
9 y1 10 y 2 11 y3 12 y 4
x3
x
1
x
2
x
3
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
y1
y
2
y3
y 4
B Y
X
x3
Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier
2x + 3y + 3z
=0
x + y + 3z
=0
– x + 2y – z = 0
Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS,
dan secara umum dapat dituliskan sbb :
2 3 2
1 1 3
1 2 1
Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS,
dan secara umum dapat dituliskan sbb :
a11
a
21
a31
.
.
.
a
i1
a m1
a12
a 22
a13
a 23
aij
a2 j
a32
.
a33
.
a3 j
.
.
.
.
.
.
.
ai 2
am2
ai 3
a m3
aij
a mj
a1n
a 2 n
a3n
.
.
.
ain
a mn
m, n
adalah bilangan bulat ≥ 1.
aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)
m banyak baris
orde matriks mxn
n banyaknya kolom
Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)
Macam matriks
• Matriks bujur sangkar, bila m = n
1 2 3
4 5 6
7 8 9 mxn
Elemen-elemen
a11, a22, .........., ann
disebut “elemen-elemen diagonal utama”
Macam matriks
•
Matriks baris, bila m = 1
1
•
2 3 4 5
[ A ]mx1
Matriks kolom, bila n = 1
1
2
3
4
5
[ A ]1x n
Macam matriks
• Matriks nol, bila aij = 0 :
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
•
Matriks Diagonal,
Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali
elemen-elemen diagonal utamanya.
1
0
0
0
0 0 0
2 0 0
0 3 0
0 0 4
aij = 0
aii ≠ 0
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
•
Matriks Satuan (unit matriks).
Jika elemen-elemen diagonal sama
dengan 1 dan elemen-elemen yang lain
sama dengan nol.
1
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= [I]
Disebut juga matriks identitas = [ I ]
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks simetris, jika aij = aji
1 2 3
2 0 7
3 7 5
• Matriks skew-simetris, jika aij = - aji
1 2 3
2 0 7
3 7
5
OPERASI MATRIKS
• Kesamaan matriks
Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
aij = bij
[ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.
OPERASI MATRIKS
•
Penjumlahan matriks
Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka
kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan
menjadi matriks [C]
[C] = [A] + [B]
cij = aij +
bij
Sifat-sifat penjumlahan Matriks
[A]+[B]=[B]+[A]
→ Komutatif
[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif
EXAMPLE :
[A] =
1 2 3
4 5 6
[C] =
1 0 2 3 3 2
4 1 5 2 6 3
[C] =
1 5 5
5 7 9
[B] =
0 3 2
1 2 3
OPERASI MATRIKS
• Perkalian dengan skalar :
Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar
menghasilkan suatu matriks
[D] = k [A]
dij = k . aij
Sifat-sifat perkalian skalar matriks:
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]
k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k
k
EXAMPLE :
1 2 3
[A]=
4
5
6
[D]=
2 4 6
8 10 12
; k = -2
OPERASI MATRIKS
• Perkalian matriks
Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan
matriks baru
[E]mxn = [A]mxp [B]pxn
p
eij aik bkj
k 1
dimana :
i = 1, 2, … m ;
j = 1, 2, … n
;
k = 1, 2, … p
EXAMPLE :
[A] =
2 1 5
1 3 2
2 x3
;
2 x3 1( 1) 5 x 2
[E] =
1x3 3( 1) 2 x 2
15 15
[E] =
4
12
2x2
3 4
[B] = 1 2
2 1 3 x 2
2 x 4 1x 2
1x 4
5 x1
3 x 2 2 x1
Sifat-sifat perkalian matriks :
•
[A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]
; sifat distributif
•
( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C]
; sifat distributif
•
[A] ( [B] [C] )
; sifat assosiatif
•
[A] [B] ≠ [B] [A]
•
[A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]
= ( [A] [B] ) [C]
TRANSPOSE MATRIKS
Jika matriks [A] dengan orde m x n
Transpose matriks [A]
= [A]T
adalah matriks berorde n x m dengan baris
dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan
baris matrix [A]T
EXAMPLE :
1 2 3
[A] =
4 5 6
2 x3
1 4
[A]T = 2 5
3 6 3x 2
Sifat-sifat dari transpose matriks
• ( [A]T )T = [A]
• ( k [A] )T = k [A]T
• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T
• ( [A] [B] )T = [B]T [A]T
DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR
[A]2x2 =
a11
a
21
a12
a 22
Det. [A] = A a11 a 22 a1 2 a 21
b11
[B]3x3 b21
b31
b12
b22
b32
b13
b23
b33
B b11 b22 .b33 b23 b32 b12 b21 .b33 b23 .b31 b13 b21 .b32 b22 .b31
Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij
Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama
n
A aik cik ai1ci1 ai 2 ci 2 ....... ain cin
k 1
dimana cik = co-factor aik
INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya.
Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari
matriks tersebut.
• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar,
dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka
matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan
matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].
• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR
• Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks
SINGULAR.
• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1
EXAMPLE :
[A] =
6 2 3
1 1
0
1 0
1
1
[A] [A]-1 = 0
0
0
1
0
; [A]-1 =
0
0
1
1
1
1
2
3
2
3
3
4
=[I]
Catatan :
Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa
metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan,
metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.
Metode Gauss-Jordan
Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn
Langkah-langkah yang dilakukan :
1) Ambil matriks satuan [I]nxn
2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A]
menjadi matriks satuan
3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ],
sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah
berubah menjadi matriks [A]-1
EXAMPLE :
7 3 3
[A]-1 = 1 1 0
1 0
1
1 3 3
[A] = 1 4 3
1 3 4
LANGKAH KE-1
LANGKAH KE-2
LANGKAH KE-3
1
1
1
3
4
31
30
0
1
3
40
0
0
0
1
1 3 3 1 0 0
0
1
0
1
1
0
1 3 4 0 0 1
1 3 3 1 0 0
0
1
0
1
1
0
0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-4
1 0 3 4 3 0
0
1
0
1
1
0
0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-5
1 0 0 7 3 3
0
1
0
1
1
0
0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-n
Selesai …?????
MATRIKS ORTHOGONAL
Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks
orthogonal
bila [A]-1 = [A]T
[A] [A]T = [A] [A]-1 = [ I ]
EXAMPLE :
[A] =
[A]-1 =
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
[A] =
sin
T
sin
cos
Karena [A]-1 = [A]T → matriks [A] disebut matriks orthogonal
[T] =
[T]T =
cos
sin
0
cos
sin
0
sin
cos
0
sin
cos
0
0
0
1
[T]-1 =
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
0
0
1
Karena [T]-1 = [T]T → matriks [T] disebut matriks orthogonal
TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS
Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka
matriks tersebut dapat diekspresikan dalam
bentuk :
[A] = [L] [U]
a11
a
21
a31
.
.
a n1
a12 a13 ...... a1n
a 22 a 23 ...... a 2 n
a32 a33 ...... a3n
.
. ...... .
.
. ...... .
a n 2 a n 3 ...... a nn
=
nxn
l11 0 0
l l
21 22 0
l31 l32 l33
.
.
.
.
.
.
l n1 l n 2 l n3
[L] = lower triangle matriks
[U] = upper triangle matriks
....
....
....
....
....
....
0
0
0
.
.
l nn
nxn
u11 u i 2 u13
0 u u
22
23
0 0 u 33
.
.
.
.
.
.
0 0 0
.... u1n
.... u 2 n
.... u 3n.
.... .
.... .
.... u nn
nxn
EXAMPLE :
36 27 63
20 25 39
12 14 33
=
[A]
=
9 0 0
5 2 0
3 1 7
4 3 7
0 5 2
0 0 8
[L]
[U]
Aplikasi pada solusi persamaan linier simultan :
[A] {X} = [B]
[L] [U] {X} = [B]
→
misal
[U] {X} = {Y}
[L] {Y} = [B]
{X} = [U]-1 {Y}
{Y} = [L]-1 [B]
dapat diperoleh tanpa
inverse matriks
Sehingga : {X} = [U]-1 [L]-1 [B]
dapat diperoleh tanpa
inverse matriks
SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui
dapat dituliskan sbb :
a11
a21
.
.
.
an1
x1
x1
x1
a12
a22
.
.
.
an 2
x2
x2
x2
a11
a
21
.
.
a n1
.......... a1n
.......... a2 n
..........
.
..........
.
..........
.
.......... ann
a 21
a 22
.
.
an 2
.... a1n
.... a 2 n
.... .
.... .
.... a nn
Secara matriks ditulis,
xn
xn
xn
x1
x
2
.
x
n 1
x n
b1
b2
.
.
.
bn
b1
b
2
= .
b
n 1
bn
[A] {X} = [B]
EXAMPLE :
4x + 3y + z = 13
x + 2y + 3z = 14
3x + 2y + 5z = 22
4 3 1
1 2 3
3 2 5
[A]
x
13
y
= 14
z
22
{X} =
[B]
{ X } = [A]-1[B]
4 3 1
x
1 2 3
y
=
z
3 2 5
1
13
14 = …..??????
22
PARTISI MATRIKS
Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara
hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.
Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi
persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa
A
a11
a21
a31
a12
a13
a14
a15
a16
A11 A12 A13
a26 =
A
A
A
21 22 23
a36
a22
a32
a23
a33
a24
a34
a25
a35
A12
a12
a 22
a13
A22 a32
dimana ;
A11
a11
a 21
A21 a31
a 23
a14
a 24
A13
a33
a34
A23 a35
a15 a16
a
a
26
25
a36
EXAMPLE :
5
A 4
10
A B
3
6
3
1
2
4 3 x 3
A11
A21
A A
11 12
A21 A22 2 x 2
B1
B2 2 x1
5
4
A11 B1
3
6
1
2
A12 B2
A21 B1 10
A12
A22 2 x 2
5
B1
4
B2 2 x1
2
3X 2
A B A12 B2
11 1
A21 B1 A22 B2
1 5 11 37
2 4 16 44
3 2
3 2
6 4
3
A22 B2 4 3
14 39
sehingga ; [ A] [B] 22 48
28 70
1
B 2
3
1
2
5
16
4
2 12
8
32
BEBERAPA RUMUS KHUSUS
[ A ] = Matriks bujur sangkar dan simetris ; orde n x n : aij
[ B ] = Matriks empat persegi panjang ; orde n x m : bij
{ X } = Vektor kolom ; orde n x 1 : xi
{ Y } = Vektor kolom ; orde m x 1 ; yi
Bila ;
Maka ;
atau sebaliknya ;
T
1 xn
12{X }
n
n
i 1
j 1
[ A] nxn 1 2 a ij xi y j
x1
x2
.... [ A] nxn { X }nx1
{X }
....
xn
A X
{X }
; 1 2 { X }T [ A]{ X }
EXAMPLE :
x1
X x2
x
3
1 2 3
A 2 4 5
3 5 6
1 2 { X }T [ A]{ X } 1 2 x1
Ф = ½ ( x1 x2 x3 )
Ф
12
x
2
1
2
2
x2
x1 2 x 2
2 x1 4 x2
3x1 5 x2
1 2 3 x1
x3 2 4 5 x 2
3 5 6 x3
3 x3
5 x3
6 x3
4 x2 6 x3 4 x1 x2 6 x1 x3 10 x2 x3
1 2 2 x1 4 x2 6 x2 x1 2 x2 3 x3
x1
1 2 8 x2 4 x1 10 x3 2 x1 4 x2 5 x3
x2
1 212 x3 6 x1 10 x2 3x1 5 x2 6 x3
x3
x
1 1 2 3
2 4 5
x 2 3 5 6
x
3
x1
x2
x
3
A { X }
{ X }
Bila ;
T
{ X }
1 xn
[ B] Y
nxm
mx1
B nxm Y mx1
Maka ;
X
EXAMPLE :
1 2 3 4
B 3x 4 5 6 7 8 { X }3x1 =
9 10 11 12
X B Y x1
T
x2
x1
x2
x
3
y1
y
{ Y }4x1 = 2
y3
y 4
y1
1 2 3 4
y2
x3 5 6 7 8
y3
9 10 11 12
y 4
x1 x 2
x3
y1 2 y 2 3 y 3 4 y 4
5 y 6 y 7 y 8 y
2
3
4
1
9 y1 10 y 2 11 y 3 12 y 4
y1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 x1 5 y1 6 y 2 7 y 3 8 y 4 x 2 9 y1 10 y 2 11 y 3 12 y 4
y1 2 y 2 3 y 3 4 y 4
x1
5 y1 6 y 2 7 y3 8 y4
x2
9 y1 10 y 2 11 y3 12 y 4
x3
x
1
x
2
x
3
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
y1
y
2
y3
y 4
B Y
X
x3