Implementasi Pewarnaan Graf Menggunakan. pdf

1

Implementasi Pewarnaan Graf Menggunakan
Algoritma Welch Powell Untuk Penjadwalan
Mata Kuliah
Chyntia Kumalasari Puteri, Darmaji, dan Soetrisno
Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail: chyntiakp@gmail.com
Abstrak—Penjadwalan mata kuliah merupakan salah satu

masalah umum yang dihadapi oleh universitas. Masalah yang
sering terjadi adalah adanya ‘tubrukan’ jadwal mata kuliah.
Mahasiswa tidak bisa mengambil mata kuliah tertentu
dikarenakan jadwal kuliah yang diambil bertubrukan dengan
jadwal kuliah lainnya. Banyak faktor yang mempengaruhi
dalam penyusunan jadwal, seperti jumlah ruangan, daya
tampung ruangan, slot waktu, serta penentuan dosen pengajar.
Akibatnya penjadwalan perkuliahan menjadi lebih rumit. Studi
kasus yang digunakan adalah penjadwalan mata kuliah di
Departemen Matematika ITS. Pada penelitian ini, akan

digunakan Algoritma Welch Powell dalam menyelesaikan
masalah penjadwalan tersebut. Hasilnya adaah Algoritma
Welvch Powell dapat menyelesaikan masalah penjadwalan mata
kuliah di Departemen Matematika ITS tanpa adanya jadwal
yang bertubrukan.
Kata Kunci—Penjadwalan Mata Kuliah, Pewarnaan Graf,
Algoritma Welch Powell.

simpul merepresentasikan kuliah yang akan dijadwalkan, sisi
merepresentasikan pasangan kuliah yang bisa menimbulkan
tubrukan yaitu tidak bisa dijadwalkan pada waktu yang sama,
dan warna pada simpul merepresentasikan slot waktu kapan
kuliah tersebut dijadwalkan [6]. Permasalahan dalam Tugas
Akhir ini akan diselesaikan dengan pewarnaan graf
menggunakan Algoritma Welch Powell.
Algoritma Welch Powell merupakan salah satu
algoritma pewarnaan graf yang digunakan untuk pewarnaan
dengan teknik largest degree ordering (ldo) yaitu melakukan
pewarnaan berdasarkan derajat besar ke derajat kecil dan
menggunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama

dan simpul berikutnya yang tidak berdampingan dengan
simpul pertama dan seterusnya [7]. Oleh karena itu,
digunakan pewarnaan graf menggunakan Algoritma Welch
Powell untuk menyelesaikan masalah penjadwalan mata
kuliah di DM ITS agar pembelajaran di DM dapat terlaksana
lebih baik, maksimal, dan efisien.

I. PENDAHULUAN
enyusunan jadwal merupakan sebuah masalah periodik
yang selalu dihadapi oleh sekolah dan universitas [1].
Studi kasus yang digunakan adalah masalah penjadwalan
kuliah yang dihadapi oleh Departemen Matematika ITS (DM
ITS). Banyak faktor yang mempengaruhi dalam penyusunan
jadwal di Departemen Matematika ITS, seperti jumlah
ruangan, daya tampung ruangan, dan slot waktu yang sedikit,
serta penentuan dosen pengajar menjadikan penjadwalan
perkuliahan lebih rumit. Akibatnya masih sering terjadi
permasalahan, yaitu jadwal yang diambil oleh setiap
mahasiswa ada yang saling bentrok / bertubrukan untuk
beberapa semester yang ada.

Permasalahan penjadwalan dapat dimodelkan dan
diselesaikan dengan teknik pewarnaan graph [3],[4]. Teknik
pewarnaan graf merupakan sebuah kasus khusus untuk
pelabelan sebuah graf. Pewarnaan graf merupakan
penambahan warna pada elemen sebuah graf. Ada tiga
macam persoalan pewarnaan graf (graph colouring), yaitu
pewarnaan simpul (vertex coloring), pewarnaan sisi (edge
coloring), dan pewarnaan wilayah (region coloring). Selain
untuk penjadwalan, pewarnaan graf juga digunakan dalam
aplikasi pengalokasian frekuensi pada jaringan selular [5].
Model konvensional pewarnaan graf untuk penjadwalan,

P

II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Pewarnaan Graf

Pewarnaan graf merupakan pemberian warna pada simpul
graf sedemikian dua simpul bertetangga mempunyai warna
yang berbeda. Pewarnaan simpul adalah memberi warna pada

simpul-simpul di dalam graf sedemikian setiap dua simpul
bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Di dalam
persoalan pewarnaan graf, kita tidak hanya sekedar mewarnai
simpul-simpul dengan warna berbeda dari warna simpul
tetangganya saja, namum kita juga menginginkan jumlah
macam warna yang digunakan sesedikit mungkin. Kita dapat
memberikan sembarang warna pada simpul asalkan berbeda
dengan simpul tetangganya.
B. Algoritma Welch Powell

Algoritma Welch Powell dapat digunakan untuk mewarnai
sebuah graf secara efisien. Akan tetapi algoritma ini tidak
selalu memberikan jumlah minimum warna yang diperlukan
untuk mewarnai. Walaupun demikian, algoritma ini praktis
untuk digunakan dalam mewarnai simpul graf [13]. Berikut
ini adalah flowchart dari Algoritma Welch Powell yang
ditunjukkan pada Gambar 1.

2
8. Mata kuliah pilihan Analisis & Aljabar tidak boleh ada di

slot waktu yang sama.
Selanjutnya, data mata kuliah tersebut diubah ke dalam
bentuk matriks yang berisi angka 0 dan 1. Angka 0
menyatakan mata kuliah boleh diletakkan pada slot waktu
yang sama. Sedangkan angka 1 menyatakan mata kuliah tidak
boleh diletakkan pada slot waktu yang sama. Berikut ini
adalah data 114 mata kuliah semester gasal tahun ajaran
2015/2016 yang ditunjukkan pada Tabel 1.

Gambar. 1. Flowchart Algoritma Welch Powell

III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Penjadwalan mata kuliah merupakan salah satu penerapan
dari pewarnaan graf. Salah satunya adalah penjadwalan mata
kuliah DM ITS. Banyaknya mata kuliah yang digunakan
pada semester gasal tahun ajaran 2015/2016 adalah 40 mata
kuliah termasuk beberapa mata kuliah semester genap yang
dibuka. Pertama yang dilakukan adalah menganalisis jumlah
mata kuliah yang akan diolah ke dalam bentuk matriks.
Karena jumlah sebelum dianalisis adalah 40, maka dengan

adanya syarat-syarat tertentu, jumlah mata kuliah yang
digunakan adalah 114 mata kuliah. Syarat tersebut adalah :
1. Mata kuliah wajib 2x pertemuan dalam 1 minggu.
2. Mata kuliah pilihan 1x pertemuan dalam 1 minggu.
3. Semester 1 dan semester 3 tidak boleh ada di slot waktu
yang sama.
4. Semester 2 dan semester 4 tidak boleh ada di slot waktu
yang sama.
5. Semester 5 dan semester 7 tidak boleh ada di slot waktu
yang sama.
6. Mata kuliah pilihan Ilmu Komputer tidak boleh ada di slot
waktu yang sama.
7. Mata kuliah pilihan Matematika Terapan tidak boleh ada
di slot waktu yang sama.

Tabel 1.
Data Berisi Semester dan Mata Kuliah Semester Gasal 2015/2016
Semester
Mata Kuliah
Geometri Analitik - A1

Geometri Analitik - A2
Geometri Analitik - B1
Geometri Analitik - B2
Geometri Analitik - C1
Geometri Analitik - C2
1
Logmat - A1
Logmat - A2
Logmat - B1
Logmat - B2
Logmat - C1
Logmat - C2
ALE 1
2
ALE 2
Analisis Riil I - A1
Analisis Riil I - A2
Analisis Riil I - B1
Analisis Riil I - B2
Analisis Riil I - C1

Analisis Riil I - C2
KPB - A1
KPB - A2
KPB - B1
KPB - B2
KPB - C1
KPB - C2
Matdis - A1
Matdis - A2
Matdis - B1
Matdis - B2
Matdis - C1
3
Matdis - C2
Metstat - A1
Metstat - A2
Metstat - B1
Metstat - B2
Metstat - C1
Metstat - C2

PBO - A1
PBO - A2
PBO - B1
PBO - B2
PBO - C1
PBO - C2
RO - A1
RO - A2
RO - B1
RO - B2
RO - C1
PDB 1
4
PDB 2
Aljabar II - A1
Aljabar II - A2
5
Aljabar II - B1
Aljabar II - B2

3

5

6

7

DAA
Geometri
Matsis - A1
Matsis - A2
Matsis - B1
Matsis - B2
Matstat - A1
Matstat - A2
Matstat - B1
Matstat - B2
Matstat - C1
Matstat - C2

Metmat - A1
Metmat - A2
Metmat - B1
Metmat - B2
PK
PB
PDTL
Stokastik
RPL
ROL
SBD
SO
Teori Bilangan
PDP 1
PDP 2
Aljabar Linier - A1
Aljabar Linier - A2
Aljabar Linier - B1
Aljabar Linier - B2
Aljabar Linier - C1
Aljabar Linier - C2
Analisis Fourier
Kapsel Ilkom I
Kapsel Pemod I
Kapsel Analisis I
Kapsel SOR I
Kecerdasan Buatan
MEH
Peramalan
Pemod - A1
Pemod - A2
Pemod - B1
Pemod - B2
Pemod - C1
Pemod - C2
Penganfung - A1
Penganfung - A2
Penganfung - B1
Penganfung - B2
Penganfung - C1
Penganfung - C2
Web
PCD
PIM - A
PIM - B
PIM - C

atau 5 slot waktu. Berikut ini adalah sebagian dari hasil
penjadwalan yang ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 2.
Hasil Penjadwalan dengan Case Real
Hari

Shift

Ruang 1
Geometri Analitik (A1)

1

07.00 - 08.50
Semester 1
Riset Operasi (A2)

2

09.00 - 10.50
Semester 3
Riset Operasi (A1)

Senin

3

11.00 - 12.50
Semester 3
Aljabar Linier Elementer 1

4

13.00 - 14.50
Semester 2
Analisis Riil I (A1)

5

15.00 - 16.50
Semester 3
Logika Matematika (A2)

1

07.00 - 08.50
Semester 1
Logika Matematika (A1)

2

09.00 - 10.50
Semester 1
Geometri Analitik (A2)

Selasa

3

11.00 - 12.50
Semester 1
Aljabar Linier Elementer 1

4

13.00 - 14.50
Semester 2
Matematika Diskrit (A1)

5

15.00 - 16.50
Semester 3

Tanpa mengurangi perumusan dalam bahasa, maka
digunakan pengujian lain dengan 7 mata kuliah. Mata kuliah
yang digunakan dalam pengujian ini adalah DAA, Kapsel
Ilkom I, Kecerdasan Buatan, Sistem Operasi, PCD, SBD, dan
Pengemb, Aplikasi Web. Beberapa mata kuliah tersebut
adalah mata kuliah pilihan semester 7 dan semester 5.
Sehingga berdasarkan syarat tertentu, jumlah mata kuliah
yang digunakan sebagai input matriks tetap 7 mata kuliah.
Berikut ini adalah syarat yang digunakan :
1. Mata kuliah pilihan pada semester yang sama tidak boleh
di slot waktu yang sama.
2. Semester 5 dan semester 7 tidak boleh ada di slot waktu
yang sama.Berikut ini adalah bentuk matriks dari
pengujian ini yang ditunjukkan pada Tabel 3.

DAA

Kemudian, input matriks dengan 114 mata kuliah tersebut
direpresentasikan ke dalam bentuk graf. Simpul yang ada
pada graf menyatakan nama mata kuliah. Sisi yang ada pada
graf menyatakan jadwal dari mata kuliah tidak bisa diadakan
secara bersamaan. Kemudian dilakukan pewarnaan
menggunakan Algoritma Welch Powell dan didapatkan
bilangan kromatik sebanyak 23 yang dapat dibagi menjadi 4

Jam

DAA
SBD
SO
Kapsel
Ilkom I
PCD
Peng.
Web
KB

0
1
1

Tabel 3.
Matriks dengan 7 Mata Kuliah
Kapsel
SBD
SO
PCD
Ilkom I
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1

Peng.
Web
1
1
1

KB
1
1
1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

4
Kemudian dari matriks tersebut direpresentasikan ke dalam
bentuk graf. Berikut ini adalah bentuk graf yang ditunjukkan
pada Gambar 2.

Tabel 2.
Hasil Penjadwalan dengan Data Real

Gambar. 3. Pewarnaan Graf dengan 7 Mata Kuliah

Gambar. 2. Graf dengan 7 Mata Kuliah

Selanjutnya dilakukan pewarnaan pada graf di atas. Pertama,
yang dilakukan adalah meyusun daftar simpul graf, tetangga,
dan derajatnya yang ditunjukkan pada Tabel 4 berikut ini.
Tabel 4.
Hasil Penjadwalan dengan Case 3
Simpul

Tetangga

Derajat

DAA

SBD, SO, Kapsel Ilkom I, PCD, Peng. Web, KB

6

SBD

DAA, SO, Kapsel Ilkom I, PCD, Peng. Web, KB

6

Berdasarkan Gambar 3, hasil dari Algoritma Welch Powell
yaitu terdapat 7 bilangan kromatik untuk 7 mata kuliah yang
berbeda. Sehingga dari 7 mata kuliah yang deprogram
tersebut, masing-masing mata kuliah dapat dijadwalkan
seefisien mungkin dengan 1 ruang dan 2 slot waktu. Berikut
ini adalah hasil penjadwalan yang ditunjukkan pada Tabel 5
berikut ini

Senin

Tabel 5.
Hasil Penjadwalan dengan 7 Mata Kuliah
Slot
Jam
Ruang 1
Waktu
Kecerdasan Buatan
1

SO

DAA, SBD, Kapsel Ilkom I, PCD, Peng. Web, KB

6

Kapsel
Ilkom I

DAA, SBD, SO, PCD, Peng. Web, KB

6

PCD

DAA, SBD, SO, Kapsel Ilkom I, Peng. Web, KB

6

Peng.
Web

DAA, SBD, SO, Kapsel Ilkom I, PCD, KB

6

KB

DAA, SBD, SO, Kapsel Ilkom I, PCD, Peng. Web

07.00 - 08.50
Semester 7

Senin
Pengemb. Aplikasi dan Web
2

09.00 - 10.50
Semester 7
PCD

1

07.00 - 08.50
Semester 7

Selasa
Kapsel Ilkom I
2

09.00 - 10.50
Semester 7

6

Sistem Operasi
1

Kemudian diurutkan derajat dari tiap simpul dari derajat
tertinggi sampai derajat yang terendah dengan hasil yang
sama seperti Tabel 4. Langkah selanjutnya yaitu mewarnai
graf tersebut menggunakan Algoritma Welch Powell sesuai
dengan proses yang telah dijelaskan sebelumnya sampai
semua simpul telah diwarnai. Berikut ini adalah hasil
pewarnaan graf dari 7 mata kuliah yang dtunjukkan pada
Gambar 3 berikut ini.

07.00 - 08.50
Semester 5

Rabu
Sistem Basis Data
2

09.00 - 10.50
Semester 5
Desain dan Analisis Algoritma

1

07.00 - 08.50

2

09.00 - 10.50

1

07.00 - 08.50

2

09.00 - 10.50

Kamis

Semester 5

Jumat

5
IV. KESIMPULAN/RINGKASAN
Berdasarkan analisis terhadap hasil pengujian program,
maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Algoritma Welch Powell telah berhasil diterapkan untuk
menyelesaikan masalah penjadwalan mata kuliah
Departemen Matematika ITS.
2. Untuk pengujian dengan case real, semester gasal tahun
ajaran 2015/2016, perangkat lunak ini mampu
menghasilkan jadwal yang tidak bertubrukan, sehingga
aplikasi ini dapat membantu pembuatan jadwal mata kuliah
dengan batasan-batasan pembuatan jadwal yang ada pada
tugas akhir ini.
3. Untuk pengujian dengan 7 Mata Kuliah, perangkat lunak
mampu menghasilkan jadwal yang tidak bertubrukan
dengan 1 ruang dan 2 slot waktu.
Terrdapat beberapa hal yang penulis sarankan untuk
pengembangan penelitian selanjutnya :
1. Perlu dilakukan studi lebih lanjut dalam penjadwalan mata
kuliah Departemen Matematika ITS menggunakan
algoritma pewarnaan graf lainnya.
2. Data yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah data
mata kuliah di Departemen Matematika ITS dengan
penjadwalan normal yang ada di DM ITS. Sehingga, lebih
baik apabila data yang digunakan dapat melibatkan mata
kuliah UPMB yang ada di DM ITS.
3. Perlu dilakukan studi lebih lanjut dalam penjadwalan mata
kuliah Departemen Matematika ITS dengan slot waktu real
dari mata kuliah wajib dan mata kuliah pilihan.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Rachmawati, Heni at al. 2013. “Analisis Penyelesaian Masalah
Penjadwalan Kuliah Menggunakan Teknik Pewarnaan Graph dengan
Algoritma Koloni Lebah”. Bidang Keahlian Telematika, Jurusan
Teknik Elektro, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

[2] Munir, Rinaldi. 2008. Diktat Kuliah IF2031: “Struktur Diskrit”.
Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung.

[3] K.A. Dowsland dan J.M.Thompson. 2005. “Ant Colony Optimization
for the Examination Schedulling Problem”, Journal of the
Operational Research Society, 56, 426-438.

[4] F.T.Leighton. 1979. “A Graph Coloring Algorithm for Large
Schedulling Problems”, Journal of Research of The National Bureau
of Standards, 84(1979),489-506.

[5] A. Gamst. 1999. “Some Lower Bounds for a Class of Frequency
Assignment Problem”, IEEETransaction of Vehicular Technology,
35, 8-14.

[6] D. de Werra. 1985. “An introduction to timetabling”.

European
Journal of Operational Research , 19(2):151–162, February 1985.

[7] Dessy H, Ely Rosely, and RA. Paramita M. 2016. “Penerapan
Algoritma Welch Powell dengan Pewarnaan Graf pada Penjadwalan
Mata Pelajaran SMA”. Seminar Nasional Sistem Informasi Indonesia,
1 November 2016.

[8] Tiagio Januario, Sebastian Urrutia, Celso C. Ribeiro, and Dominique
de Werra. 2016. “A Natural Model for Sports Scheduling”, European
Journal of Operational Research , 254, 1–8

[9] Cahyo Heny Meliana, and Dwi Maryono. 2014. “Aplikasi Pewarnaan
Graf untuk Optimalisasi Pengaturan Traffic Light di Sukoharjo”.
JIPTEK, Vol. VII No. 1, Januari 2014

[10] Nisky Imansyah Yahya, Perry Zakaria, and Lailany Yahya. 2013.
“Penerapan Konsep Graf dalam Penyusunan Jadwal Perkuliahan
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNG”. Jurusan Pendidikan
Matematika FMIPA UNG , Vol. 1, No. 1 2013.

[11] Ardiansyah, Fery Sofian Efendi, Syaifullah, Mateus Pinto, Pujianto,
and Hendro Steven Tempake. 2010. “Implementasi Algoritma Greedy
untuk Melakukan Graph Coloring : Studi Kasus Peta Propinsi Jawa
Timur”. JURNAL INFORMATIKA, Vol 4, No. 2, Juli 2010.

[12] Astuti, Setia. 2011. “Penyusunan Jadwal Ujian Mata Kuliah Dengan
Algoritma Pewarnaan Graf Welch Powell”. Jurnal Dian Vol. 11 No. 1
Januari 2011

[13] Munir, Rinaldi. 2010. ”Matematika Diskrit Edisi Keempat”. Bandung
: Informatika Bandung.