Kumpulan Soal dan Jawaban Statistika Das
TUGAS INDIVIDU
SOAL DAN PEMBAHASAN
MATEMATIKA DAN STATISTIKA
Oleh:
Rizki Amalia Arifiani
(NIM. 051711133037/B)
Dosen Pembimbing:
Ir. Elly Ana, M.Si
FAKULTAS FARMASI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
2017
BAB 1
PENGANTAR TEORI PROBABILITAS
1.
Seperangkat kartu bridge dikocok dan diambil satu kartu secara acak. Berapa
peluang bahwa kartu yang terambil adalah:
a. kartu warna merah
b. kartu As atau King
c. kartu hitam dan Ratu
Jawab :
Ruang sampel ada 52 kemungkinan.
a. Kartu warna merah ada 26, maka peluangnya adalah
26
52
=
1
2
b. Kartu as ada 4 buah dan kartu king ada 4 buah, maka peluangnya adalah
4
4
8
2
+
=
=
52
52
52
13
Catatan: Kejadian terambil kartu As atau kartu King seperti di atas
merupakan kejadian saling lepas, yaitu tidak ada kejadian yang menjadi
anggota kedua kejadian tersebut.
c. Kartu hitam ada 26 buah dan kartu Ratu ada 4 buah, maka peluangnya
26
4
104
1
×
=
=
52
52
2704
26
Catatan: Kejadian terambil kartu warna hitam dan kartu Ratu seperti di atas
adalah
merupakan kejadian saling bebas, yaitu kejadian-kejadian yang peluangnya
tidak saling mempengaruhi satu sama lain.
2.
Pada sebuah rak buku terdapat 5 buku Kimia Organik dan 4 buku Kimia
Medisinal. Berapakah banyak cara supaya 2 buku Kimia Organik tertentu
akan terletak berdampingan?
Jawab:
Apabila dianggap bahwa 2 buku Kimia Organik tertentu dapat digantikan
sebagai 1 buku sehingga ada total 8 buku yang dapat diatur sehingga ada
permutasi 8 buku dari 8 buku yang tersedia yaitu
diantara 2 buku tersebut dapat dibuat permutasi
8! 2! cara.
2
2
P=2 !
8
8
P=8 !
Cara dan
sehingga total ada
BAB 2
DISTRIBUSI PROBABILITAS
1. Sebuah apotek melaporkan bahwa diantara 500 orang pelanggan tetap mereka,
125 orang memilih menggunakan jasa pesan antar obat melalui panggilan telepon.
Apabila 10 orang di antara pelanggan tetap tersebut diambil secara acak, berapa
probabilitas tepat ada 4 orang yang memilih datang langsung ke apotek untuk
membeli obat?
Diketahui:
Banyak pelanggan tetap N = 500
Banyak sampel n = 10
Menggunakan jasa pesan antar obat q =
x
n
=
125
500
=
1
4
= 0,25
Datang langsung ke apotek p = 1 – q = 1 – 0,25 = 0,75
Ditanya:
P(X=4) ?
Jawab:
Karena n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka distribusi hipergeometrik ini
dapat dihampiri dengan distribusi binomial.
h(x;N,n,k) b(x;n,p)
b(x;n,p) =
(nx) p q
x
n−x
P(X=4) b(4;10, 0,25) =
(104)(0,75) (0,25)
4
10−4
P(X=4) = 210(0,3164)(0,00024)
P(X=4) = 0,0159.
Jadi, probabilitas tepat ada 4 orang yang memilih datang langsung ke apotek
untuk membeli obat adalah 0,0159.
2. Nilai rata-rata ujian akhir semester mahasiswa farmasi untuk pelajaran Kimia
Medisinal adalah 63,8 dengan simpangan baku 6,5. Apabila distribusi nilai
mahasiswa farmasi tersebut mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas dari
mahasiswa tersebut yang mendapatkan nilai:
a. Lebih dari 70
b. Kurang dari 45
c. 50 sampai 60
Diketahui:
µ = 63,8
σ = 6,5
Ditanya:
a. P(X>70)
b. P(X0,9538)
= 1 – P(Z p0 H1 : p > 0,4
Daerah Kritis: Tolak H0 jika Z > Zα
Statistik Uji:
Z=
x−n p0
√ n p 0 q0
=
75 – 75 (0,4)
√75(0,4)(0,6)
=
45
√18
=
45
4,24
= 10,6132
Zα = 2,04
Z > Zα
2,04
Z tabel
10,6132
Z hitung
Keputusan: ditolak H0, diterima H1
Kesimpulan: Suplemen baru tersebut memang lebih baik.
BAB 5
ANALISIS VARIANSI
1. Dari 4 jenis obat pereda dysmenorrhea yang diberikan kepada 16 orang yang
menderita dysmenorrhea dicatat jumlah tablet yang diperlukan agar sembuh
dari nyeri tersebut. Ke-16 orang tersebut dibagi secara acak ke dalam 4
kelompok dan masing-masing diberi satu jenis obat. Diperoleh data sebagai
berikut.
Obat pereda dysmenorrhea
Feminax
Emnagidon
Mefinal
Proris
3
2
4
7
5
5
6
5
2
4
2
7
3
6
4
6
Total
13
17
16
21
67
ni
4
4
4
4
16
Gunakan analisis variansi untuk menguji hipotesis bahwa rata-rata banyaknya
tablet dari ke-4 jenis obat pereda dysmenorrhea yang dibutuhkan untuk
sembuh dari dysmenorrhea adalah sama. Gunakan tingkat signifikan 0,05.
--------------------------------------------------------------------------------------------Jawab:
Hipotesis :
H0 : Rata-rata banyaknya tablet dari ke-4 jenis obat Pereda dysmenorrhea
yang dibutuhkan agar sembuh dari dysmenorrhea adalah sama.
H1 : Tidak semua rata-rata banyaknya tablet yang dibutuhkan dari ke-4 jenis
obat pereda dysmenorrhea tersebut sama.
Daerah kritis untuk α = 0,05 : Tolak H0 jika : F > F(α,v1,v2)
F > F(0,05,3,12)
F > 3,49
Perhitungan:
JKT = 32 + 52 + 22 +....+ 62 –
JKP =
13 2
+
4
17 2
+
4
67 2
16
= 359 – 280,5625 = 78, 4375
16 2
+
4
212
4
67 2
16
= 42,25 + 72,25 + 64 +
110,25 – 280,5625
= 8,1875
JKE = 78, 4375 - 8,1875 = 70,25
Hasil perhitungan dapat disusun dalam tabel analisis variansi sebagai berikut
Sumber
Derajat
Jumlah
Kuadrat
F
Perlakuan
Error
total
Keputusan
bebas
kuadrat
tengah
3
8,1875
2,7292
0,4662
12
70,25
5,8542
15
78, 4375
: Terima H0 karena nilai F = 0,4662 di luar daerah kritis
Kesimpulan
: Rata-rata banyaknya tablet dari ke-4 jenis obat pereda
dysmenorrhea tersebut yang dibutuhkan agar sembuh dari
dysmenorrhea adalah sama.
2. Dalam suatu laboratorium, empat orang apoteker sedang membuat obat
kapsul jenis A, B, dan C. Masing-masing apoteker harus membuat obat
kapsul jenis A, B,dan C dalam waktu 30 menit. Setelah 30 menit, diperoleh
jumlah obat kapsul sebagai berikut.
Apoteker 1
Apoteker 2
Apoteker 3
Apoteker 4
A = 20
A = 15
A = 25
A = 10
B = 18
B = 22
B = 18
B = 14
C = 23
C = 10
C =16
C = 20
Ujilah hipotesis dengan tingkat signifikan 0,05 bahwa rataan jumlah obat
kapsul yang dibuat oleh keempat apoteker adalah sama.
-----------------------------------------------------------------------------------------Jawab:
Hipotesis :
H0 : α1= α2= α3= 0 (pengaruh jenis obat kapsul nol)
α1= pengaruh obat kapsul jenis A
α2= pengaruh obat kapsul jenis B
α3= pengaruh obat kapsul jenis C
H1 : sekurang-kurangnya ada satu αi tidak sama dengan nol
Daerah kritis untuk α = 0,05
: Tolak H0 jika : F > F(α,v1,v2)
F > F(0,05,2,6)
F > 5,14
Tabel analisis variansi 2 arah :
Apoteker
(B)
1
2
3
4
Total
Jenis obat (P)
B
18
22
18
14
72
A
20
15
25
10
70
Total
C
23
10
16
20
69
61
47
59
44
211
Perhitungan:
2
2
2
2
211 2
12
= 3963 – 3710,0833 = 252,9167
722
+
4
69 2
4
211
12
= 3711,25 – 3710,0833 = 1,1667
JKT = 20 + 15 + 25 +....+ 20 –
JKP =
JKB =
70 2
+
4
61
4
2
2
+
47
4
2
+
59 44
+
4
4
2
-
211
12
= 3782,333 – 3710,0833 =
72,2497
JKE = 252,9167 – 1,1667 – 72,2497 = 179,5003
Hasil perhitungan dapat disusun dalam tabel analisis variansi sebagai berikut
Sumber
Derajat
Jumlah kuadrat
Kuadrat
F
Jenis obat (p)
Apoteker (b)
Error
Total
Keputusan
bebas
tengah
2
1,1667
0,58335
0,02
3
72,2497
24,0832
6
179,5003
29,91671667
11
252,9167
54,5832667
: Terima H0 karena nilai F = 0,02 di luar daerah kritis
Kesimpulan
: Rataan jumlah obat kapsul yang dibuat oleh keempat
apoteker adalah sama tidak ada pengaruh apapun dari jenis
obatnya.
BAB 6
KORELASI DAN REGRESI LINIER
1. Suatu percobaan pembuatan obat cair baru dilakukan untuk menentukan
apakah ada hubungan antara penambahan pelarut dalam ml (X) dengan
berkurangnya konsentrasi larutan yang ditambahkan pelarut dalam persen
(Y). Hasil percobaan diperoleh data sebagai berikut :
X
5
9
12
15
20
7
Y
13
18
26
30
36
15
a. Dugalah model regresi linear sederhana berdasarkan data sampel tersebut.
b. Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi antara penambahan pelarut dengan
konsentrasi yang berkurang.
c. Gunakan α = 0,05 untuk menguji apakah korelasi tersebut secara
signifikan berbeda dari nol?
d. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk parameter β0.
e. Dugalah rata-rata konsentrasi larutan yang berkurang untuk penambahan
pelarut 23 ml.
---------------------------------------------------------------------------------------- Pembahasan
a. Model regresi linear adalah Yi = β0 + β1Xi. Berdasarkan data diatas
diperoleh :
ΣXi
= 68
ΣYi
= 138
ΣXiYi = 1814
ΣXi2
= 924
ΣYi2
= 3590
Ӯ
= 23
´x
= 11,3333
Sehingga diperoleh :
β1 =
ΣX i Y i – n ´x Ӯ
Σ X i2−n x´ 2
=
1814−(6) ( 11,3333 ) (23)
2
924−6 ( 11,3333 )
= 1,6304
β0 = Ӯ - β1 ´x = 23 – (1,6304 x 11,3333) = 4,5222
Penduga model regresi linear sederhana adalah y = 4,5222 + 1,6304 X
b.
r=
ΣX i Y i – n ´x Ӯ
√ Σ X i2 −n ´x2 √ Σ Y i2 −n Ӯ 2
=
1814−(6) ( 11,3333 ) (23)
√924−(6)( 11,3333 ) √ 3590− ( 6 ) ( 23 )
2
r = 0,9899
2
Nilai r = 0,9899, artinya ukuran keeratan hubungan kedua variabel
sebesar 98,99 %
c. Hipotesis :
H0 : ρ = 0
ρ = korelasi antara variabel X dan Y
H1 : ρ ≠ 0
Daerah kritis untuk α = 0,05 : Tolak H0 jika :│t│ > t (α,v)
│t│ > t (0,024, 4)
│t│ > 2,776
Statistik Uji
r √ n−2
√ 1−r 2
:t=
=
0,9899 √ 6−2
√1− ( 0,9899 )2
= 13,9619
Keputusan: Tolak H0 karena nilai t = 13,9619 memenuhi daerah
kritis
Kesimpulan: Korelasi antara variabel X dan Y berbeda dengan nol.
d.
Interval kepercayaan 95% untuk parameter β0 adalah sebagai berikut.
β0 – t
α
2
Se √ Σ X i 2
√ n Sx
4,5222 – 2,776
< β0 < β 0 + t
1,4485 √ 942
√6 (12,3830)
α
2
Se √ Σ X i 2
√ n Sx
< β0 < 4,5222 + 2,776
1,4485 √ 942
√6 (12,3830)
0,4925 < β0 < 8,5519
Keterangan :
2
2
Sxx =
Σ X i −n ´x
Syy =
ΣY i −n Ӯ
2
2
= 924−( 6 ) ( 11,3333 )2=¿ 153,3379
= 3590−( 6 )( 23 )2=¿ 416
2. Presentase aktivitas penangkapan radikal bebas diperkirakan merupakan
jumlah konsentrasi ekstrak vitamin E yang ditambahkan pada sampel. Data
yang diperoleh adalah sebagai berikut:
% Aktivitas
Antiradikal
42,72
48,53
55,22
65,82
73,74
Ekstrak Vitamin E
(μg /ml)
10
25
50
75
100
a. Dugalah model regresi linier sederhana berdasarkan data di atas!
b. Gunakan α = 10% untuk menguji apakah jumlah konsentrasi ekstrak
berpengaruh terhadap aktivitas antiradikal?
c. Buat interval kepercayaan 90% untuk parameter
β
!
1
d. Dugalah rata-rata presentase aktivitas antiradikal untuk konsentrasi ekstrak
vitamin E sebesar 20 μg /ml!
Penyelesaian:
a. Dalam kasus ini variabel respon Y adalah aktivitas antiradikal (%),
sedangkan variabel predictor X adalah konsentrasi ekstrak vitamin E.
Berdasarkan
data
tersebut
diperoleh:
5
5
5
5
i=1
i=1
i =1
i=1
5
´=
¿ 5 ; ∑ Xi=260 ; ∑ Yi=286,03; ∑ XiYi=16711,95 ; ∑ Xi =18850 ; ∑ Yi2=16999,27; X
2
, sehingga persamaan regresi dapat diduga dengan:
´y
^β
=
^β o + ^β
=
∑ XiYi−n X´ Y´
x
1 i
5
1
i=1
Xi 2−n X´
2
16711,95−5.52 .57,206
18850−5(52)2
^β
1
=
^β
0
= Y´ − β^
1
= 0,345
( X´ ) = 57,206 – 0,345 (52) = 39,27
Penduga model regresi linier sederhana adalah
´y =39,27+ 0,345 x
i=1
b. Untuk menguji apakah ada pengaruh konsentrasi ekstrak vitamin E
terhadap presentase aktivitas antiradikal, maka harus diuji:
H0:
^β
1
= 0 lawan H0:
β
0
≠ 0 ; α = 10% = 0,1; α/2 = 0,05; v = n-2 = 5-
2=3
Daerah kritis: H0 ditolak jika t < - t(α/2; n-2) atau t > t(α/2; n-2)
Daerah kritis: H0 ditolak jika t < - 2,353 atau t > 2,353
5
SXX =
∑ Xi 2−n X´ 2=18850−5 (52)2=5330
i=1
5
SYY =
∑ Yi 2−n Y´ 2=16999,27−5 ( 57,206 )2=636,64
i=1
5
SXY =
∑ XiYi−n X´ Y´ =16711,95−5 .52 . 57,206=1838,39
i=1
Se2 =
1
n−2
(SYY – ^β
S ) = 1/3 (636,64 – (0,345 . 1838,39)) = 0,797
1 XY
Statistik ujinya adalah t=
β^ 1−β 1 0,345−0
=
Se/ Sx 0,893/ 73
= 28,20
Keputusan: H0 ditolak karena t = 28,80 memenuhi daerah kritis.
Kesimpulan: Konsentrasi ekstrak vitamin E mempengaruhi presentase
aktivitas antiradikal.
c. Interval kepercayaan 90% untuk β1 adalah …
^β 1−t 0,05(3) Se < β 1< ^β1 +t 0,05(3) Se
Sx
Sx
0,345−2,353
0,893
< β < 0,345+2,353 (
( 0,893
73 )
73 )
1
0,345−0,029< β 1< 0,345+ 0,029
0,316< β 1
SOAL DAN PEMBAHASAN
MATEMATIKA DAN STATISTIKA
Oleh:
Rizki Amalia Arifiani
(NIM. 051711133037/B)
Dosen Pembimbing:
Ir. Elly Ana, M.Si
FAKULTAS FARMASI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
2017
BAB 1
PENGANTAR TEORI PROBABILITAS
1.
Seperangkat kartu bridge dikocok dan diambil satu kartu secara acak. Berapa
peluang bahwa kartu yang terambil adalah:
a. kartu warna merah
b. kartu As atau King
c. kartu hitam dan Ratu
Jawab :
Ruang sampel ada 52 kemungkinan.
a. Kartu warna merah ada 26, maka peluangnya adalah
26
52
=
1
2
b. Kartu as ada 4 buah dan kartu king ada 4 buah, maka peluangnya adalah
4
4
8
2
+
=
=
52
52
52
13
Catatan: Kejadian terambil kartu As atau kartu King seperti di atas
merupakan kejadian saling lepas, yaitu tidak ada kejadian yang menjadi
anggota kedua kejadian tersebut.
c. Kartu hitam ada 26 buah dan kartu Ratu ada 4 buah, maka peluangnya
26
4
104
1
×
=
=
52
52
2704
26
Catatan: Kejadian terambil kartu warna hitam dan kartu Ratu seperti di atas
adalah
merupakan kejadian saling bebas, yaitu kejadian-kejadian yang peluangnya
tidak saling mempengaruhi satu sama lain.
2.
Pada sebuah rak buku terdapat 5 buku Kimia Organik dan 4 buku Kimia
Medisinal. Berapakah banyak cara supaya 2 buku Kimia Organik tertentu
akan terletak berdampingan?
Jawab:
Apabila dianggap bahwa 2 buku Kimia Organik tertentu dapat digantikan
sebagai 1 buku sehingga ada total 8 buku yang dapat diatur sehingga ada
permutasi 8 buku dari 8 buku yang tersedia yaitu
diantara 2 buku tersebut dapat dibuat permutasi
8! 2! cara.
2
2
P=2 !
8
8
P=8 !
Cara dan
sehingga total ada
BAB 2
DISTRIBUSI PROBABILITAS
1. Sebuah apotek melaporkan bahwa diantara 500 orang pelanggan tetap mereka,
125 orang memilih menggunakan jasa pesan antar obat melalui panggilan telepon.
Apabila 10 orang di antara pelanggan tetap tersebut diambil secara acak, berapa
probabilitas tepat ada 4 orang yang memilih datang langsung ke apotek untuk
membeli obat?
Diketahui:
Banyak pelanggan tetap N = 500
Banyak sampel n = 10
Menggunakan jasa pesan antar obat q =
x
n
=
125
500
=
1
4
= 0,25
Datang langsung ke apotek p = 1 – q = 1 – 0,25 = 0,75
Ditanya:
P(X=4) ?
Jawab:
Karena n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka distribusi hipergeometrik ini
dapat dihampiri dengan distribusi binomial.
h(x;N,n,k) b(x;n,p)
b(x;n,p) =
(nx) p q
x
n−x
P(X=4) b(4;10, 0,25) =
(104)(0,75) (0,25)
4
10−4
P(X=4) = 210(0,3164)(0,00024)
P(X=4) = 0,0159.
Jadi, probabilitas tepat ada 4 orang yang memilih datang langsung ke apotek
untuk membeli obat adalah 0,0159.
2. Nilai rata-rata ujian akhir semester mahasiswa farmasi untuk pelajaran Kimia
Medisinal adalah 63,8 dengan simpangan baku 6,5. Apabila distribusi nilai
mahasiswa farmasi tersebut mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas dari
mahasiswa tersebut yang mendapatkan nilai:
a. Lebih dari 70
b. Kurang dari 45
c. 50 sampai 60
Diketahui:
µ = 63,8
σ = 6,5
Ditanya:
a. P(X>70)
b. P(X0,9538)
= 1 – P(Z p0 H1 : p > 0,4
Daerah Kritis: Tolak H0 jika Z > Zα
Statistik Uji:
Z=
x−n p0
√ n p 0 q0
=
75 – 75 (0,4)
√75(0,4)(0,6)
=
45
√18
=
45
4,24
= 10,6132
Zα = 2,04
Z > Zα
2,04
Z tabel
10,6132
Z hitung
Keputusan: ditolak H0, diterima H1
Kesimpulan: Suplemen baru tersebut memang lebih baik.
BAB 5
ANALISIS VARIANSI
1. Dari 4 jenis obat pereda dysmenorrhea yang diberikan kepada 16 orang yang
menderita dysmenorrhea dicatat jumlah tablet yang diperlukan agar sembuh
dari nyeri tersebut. Ke-16 orang tersebut dibagi secara acak ke dalam 4
kelompok dan masing-masing diberi satu jenis obat. Diperoleh data sebagai
berikut.
Obat pereda dysmenorrhea
Feminax
Emnagidon
Mefinal
Proris
3
2
4
7
5
5
6
5
2
4
2
7
3
6
4
6
Total
13
17
16
21
67
ni
4
4
4
4
16
Gunakan analisis variansi untuk menguji hipotesis bahwa rata-rata banyaknya
tablet dari ke-4 jenis obat pereda dysmenorrhea yang dibutuhkan untuk
sembuh dari dysmenorrhea adalah sama. Gunakan tingkat signifikan 0,05.
--------------------------------------------------------------------------------------------Jawab:
Hipotesis :
H0 : Rata-rata banyaknya tablet dari ke-4 jenis obat Pereda dysmenorrhea
yang dibutuhkan agar sembuh dari dysmenorrhea adalah sama.
H1 : Tidak semua rata-rata banyaknya tablet yang dibutuhkan dari ke-4 jenis
obat pereda dysmenorrhea tersebut sama.
Daerah kritis untuk α = 0,05 : Tolak H0 jika : F > F(α,v1,v2)
F > F(0,05,3,12)
F > 3,49
Perhitungan:
JKT = 32 + 52 + 22 +....+ 62 –
JKP =
13 2
+
4
17 2
+
4
67 2
16
= 359 – 280,5625 = 78, 4375
16 2
+
4
212
4
67 2
16
= 42,25 + 72,25 + 64 +
110,25 – 280,5625
= 8,1875
JKE = 78, 4375 - 8,1875 = 70,25
Hasil perhitungan dapat disusun dalam tabel analisis variansi sebagai berikut
Sumber
Derajat
Jumlah
Kuadrat
F
Perlakuan
Error
total
Keputusan
bebas
kuadrat
tengah
3
8,1875
2,7292
0,4662
12
70,25
5,8542
15
78, 4375
: Terima H0 karena nilai F = 0,4662 di luar daerah kritis
Kesimpulan
: Rata-rata banyaknya tablet dari ke-4 jenis obat pereda
dysmenorrhea tersebut yang dibutuhkan agar sembuh dari
dysmenorrhea adalah sama.
2. Dalam suatu laboratorium, empat orang apoteker sedang membuat obat
kapsul jenis A, B, dan C. Masing-masing apoteker harus membuat obat
kapsul jenis A, B,dan C dalam waktu 30 menit. Setelah 30 menit, diperoleh
jumlah obat kapsul sebagai berikut.
Apoteker 1
Apoteker 2
Apoteker 3
Apoteker 4
A = 20
A = 15
A = 25
A = 10
B = 18
B = 22
B = 18
B = 14
C = 23
C = 10
C =16
C = 20
Ujilah hipotesis dengan tingkat signifikan 0,05 bahwa rataan jumlah obat
kapsul yang dibuat oleh keempat apoteker adalah sama.
-----------------------------------------------------------------------------------------Jawab:
Hipotesis :
H0 : α1= α2= α3= 0 (pengaruh jenis obat kapsul nol)
α1= pengaruh obat kapsul jenis A
α2= pengaruh obat kapsul jenis B
α3= pengaruh obat kapsul jenis C
H1 : sekurang-kurangnya ada satu αi tidak sama dengan nol
Daerah kritis untuk α = 0,05
: Tolak H0 jika : F > F(α,v1,v2)
F > F(0,05,2,6)
F > 5,14
Tabel analisis variansi 2 arah :
Apoteker
(B)
1
2
3
4
Total
Jenis obat (P)
B
18
22
18
14
72
A
20
15
25
10
70
Total
C
23
10
16
20
69
61
47
59
44
211
Perhitungan:
2
2
2
2
211 2
12
= 3963 – 3710,0833 = 252,9167
722
+
4
69 2
4
211
12
= 3711,25 – 3710,0833 = 1,1667
JKT = 20 + 15 + 25 +....+ 20 –
JKP =
JKB =
70 2
+
4
61
4
2
2
+
47
4
2
+
59 44
+
4
4
2
-
211
12
= 3782,333 – 3710,0833 =
72,2497
JKE = 252,9167 – 1,1667 – 72,2497 = 179,5003
Hasil perhitungan dapat disusun dalam tabel analisis variansi sebagai berikut
Sumber
Derajat
Jumlah kuadrat
Kuadrat
F
Jenis obat (p)
Apoteker (b)
Error
Total
Keputusan
bebas
tengah
2
1,1667
0,58335
0,02
3
72,2497
24,0832
6
179,5003
29,91671667
11
252,9167
54,5832667
: Terima H0 karena nilai F = 0,02 di luar daerah kritis
Kesimpulan
: Rataan jumlah obat kapsul yang dibuat oleh keempat
apoteker adalah sama tidak ada pengaruh apapun dari jenis
obatnya.
BAB 6
KORELASI DAN REGRESI LINIER
1. Suatu percobaan pembuatan obat cair baru dilakukan untuk menentukan
apakah ada hubungan antara penambahan pelarut dalam ml (X) dengan
berkurangnya konsentrasi larutan yang ditambahkan pelarut dalam persen
(Y). Hasil percobaan diperoleh data sebagai berikut :
X
5
9
12
15
20
7
Y
13
18
26
30
36
15
a. Dugalah model regresi linear sederhana berdasarkan data sampel tersebut.
b. Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi antara penambahan pelarut dengan
konsentrasi yang berkurang.
c. Gunakan α = 0,05 untuk menguji apakah korelasi tersebut secara
signifikan berbeda dari nol?
d. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk parameter β0.
e. Dugalah rata-rata konsentrasi larutan yang berkurang untuk penambahan
pelarut 23 ml.
---------------------------------------------------------------------------------------- Pembahasan
a. Model regresi linear adalah Yi = β0 + β1Xi. Berdasarkan data diatas
diperoleh :
ΣXi
= 68
ΣYi
= 138
ΣXiYi = 1814
ΣXi2
= 924
ΣYi2
= 3590
Ӯ
= 23
´x
= 11,3333
Sehingga diperoleh :
β1 =
ΣX i Y i – n ´x Ӯ
Σ X i2−n x´ 2
=
1814−(6) ( 11,3333 ) (23)
2
924−6 ( 11,3333 )
= 1,6304
β0 = Ӯ - β1 ´x = 23 – (1,6304 x 11,3333) = 4,5222
Penduga model regresi linear sederhana adalah y = 4,5222 + 1,6304 X
b.
r=
ΣX i Y i – n ´x Ӯ
√ Σ X i2 −n ´x2 √ Σ Y i2 −n Ӯ 2
=
1814−(6) ( 11,3333 ) (23)
√924−(6)( 11,3333 ) √ 3590− ( 6 ) ( 23 )
2
r = 0,9899
2
Nilai r = 0,9899, artinya ukuran keeratan hubungan kedua variabel
sebesar 98,99 %
c. Hipotesis :
H0 : ρ = 0
ρ = korelasi antara variabel X dan Y
H1 : ρ ≠ 0
Daerah kritis untuk α = 0,05 : Tolak H0 jika :│t│ > t (α,v)
│t│ > t (0,024, 4)
│t│ > 2,776
Statistik Uji
r √ n−2
√ 1−r 2
:t=
=
0,9899 √ 6−2
√1− ( 0,9899 )2
= 13,9619
Keputusan: Tolak H0 karena nilai t = 13,9619 memenuhi daerah
kritis
Kesimpulan: Korelasi antara variabel X dan Y berbeda dengan nol.
d.
Interval kepercayaan 95% untuk parameter β0 adalah sebagai berikut.
β0 – t
α
2
Se √ Σ X i 2
√ n Sx
4,5222 – 2,776
< β0 < β 0 + t
1,4485 √ 942
√6 (12,3830)
α
2
Se √ Σ X i 2
√ n Sx
< β0 < 4,5222 + 2,776
1,4485 √ 942
√6 (12,3830)
0,4925 < β0 < 8,5519
Keterangan :
2
2
Sxx =
Σ X i −n ´x
Syy =
ΣY i −n Ӯ
2
2
= 924−( 6 ) ( 11,3333 )2=¿ 153,3379
= 3590−( 6 )( 23 )2=¿ 416
2. Presentase aktivitas penangkapan radikal bebas diperkirakan merupakan
jumlah konsentrasi ekstrak vitamin E yang ditambahkan pada sampel. Data
yang diperoleh adalah sebagai berikut:
% Aktivitas
Antiradikal
42,72
48,53
55,22
65,82
73,74
Ekstrak Vitamin E
(μg /ml)
10
25
50
75
100
a. Dugalah model regresi linier sederhana berdasarkan data di atas!
b. Gunakan α = 10% untuk menguji apakah jumlah konsentrasi ekstrak
berpengaruh terhadap aktivitas antiradikal?
c. Buat interval kepercayaan 90% untuk parameter
β
!
1
d. Dugalah rata-rata presentase aktivitas antiradikal untuk konsentrasi ekstrak
vitamin E sebesar 20 μg /ml!
Penyelesaian:
a. Dalam kasus ini variabel respon Y adalah aktivitas antiradikal (%),
sedangkan variabel predictor X adalah konsentrasi ekstrak vitamin E.
Berdasarkan
data
tersebut
diperoleh:
5
5
5
5
i=1
i=1
i =1
i=1
5
´=
¿ 5 ; ∑ Xi=260 ; ∑ Yi=286,03; ∑ XiYi=16711,95 ; ∑ Xi =18850 ; ∑ Yi2=16999,27; X
2
, sehingga persamaan regresi dapat diduga dengan:
´y
^β
=
^β o + ^β
=
∑ XiYi−n X´ Y´
x
1 i
5
1
i=1
Xi 2−n X´
2
16711,95−5.52 .57,206
18850−5(52)2
^β
1
=
^β
0
= Y´ − β^
1
= 0,345
( X´ ) = 57,206 – 0,345 (52) = 39,27
Penduga model regresi linier sederhana adalah
´y =39,27+ 0,345 x
i=1
b. Untuk menguji apakah ada pengaruh konsentrasi ekstrak vitamin E
terhadap presentase aktivitas antiradikal, maka harus diuji:
H0:
^β
1
= 0 lawan H0:
β
0
≠ 0 ; α = 10% = 0,1; α/2 = 0,05; v = n-2 = 5-
2=3
Daerah kritis: H0 ditolak jika t < - t(α/2; n-2) atau t > t(α/2; n-2)
Daerah kritis: H0 ditolak jika t < - 2,353 atau t > 2,353
5
SXX =
∑ Xi 2−n X´ 2=18850−5 (52)2=5330
i=1
5
SYY =
∑ Yi 2−n Y´ 2=16999,27−5 ( 57,206 )2=636,64
i=1
5
SXY =
∑ XiYi−n X´ Y´ =16711,95−5 .52 . 57,206=1838,39
i=1
Se2 =
1
n−2
(SYY – ^β
S ) = 1/3 (636,64 – (0,345 . 1838,39)) = 0,797
1 XY
Statistik ujinya adalah t=
β^ 1−β 1 0,345−0
=
Se/ Sx 0,893/ 73
= 28,20
Keputusan: H0 ditolak karena t = 28,80 memenuhi daerah kritis.
Kesimpulan: Konsentrasi ekstrak vitamin E mempengaruhi presentase
aktivitas antiradikal.
c. Interval kepercayaan 90% untuk β1 adalah …
^β 1−t 0,05(3) Se < β 1< ^β1 +t 0,05(3) Se
Sx
Sx
0,345−2,353
0,893
< β < 0,345+2,353 (
( 0,893
73 )
73 )
1
0,345−0,029< β 1< 0,345+ 0,029
0,316< β 1