Sistem Bilangan Riil dan Konsep Fungsi

!
Fakultas

Program Studi

Fakultas Teknik

Teknik Sipil

"

!

TatapMuka

#

$ #% &

Kode MK

DisusunOleh

MK90016

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Abstract

Kompetensi

Teknik sipil sebagai ilmu rekayasa
membutuhkan pemahaman mengenai
apa itu kalkulus. Untuk mempelajari
kalkulus kita harus mengerti mengenai
sistem bilangan dan fungsi matematika
sebagai dasar dari kalkulus. Dalam
modul ini mahasiswa akan mempelajari
tentang dasar dari kalkulus yaitu
sistem bilangan rill dan fungsi
matematika, diantaranya operasi pada

fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi
invers serta berbagai macam fungsi
dan grafiknya.

Diharapkan setelah membaca modul ini
Mahasiswa mampu:
1. Mengerti mengenai Sistem Bilangan
Riil, Bilangan Asli, Bilangan Bulat,
Bilangan Rasional.
2. Mengerti mengenai konsep fungsi
3. Mengerti tentang operasi-operasi
fungsi
4. Mengerti tentang fungsi komposisi
dan fungsi invers
5. Mengerti tentang berbagai macam
fungsi dan grafiknya

1. SISTEM BILANGA
AN RIIL
Kalkulus didasarkan pada sistem

sis
bilangan riil dan sifat-sifatnya. Tetapii apakah
a
bilangan riil
itu dan sifat-sifatnya? Berikut
ut ini
i akan dibahas beberapa sistem bilangan.
Diantara sistem bilangan, yan
ang paling sederhana adalah bilangan-bilanga
gan asli,
1, 2, 3, 4, 5, 6, ....
Dengan bilangan ini kita dap
apat menghitung. Jika kita gandengkan deng
ngan negatifnya dan
nol, kita peroleh bilangan-bila
ilangan bulat,
...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Bilangan-bilangan yang dapa
apat dituliskan dalam bentuk m/n, dimana
a m dan n adalah

bilangan-bilangan bulat denga
gan n≠0, disebut bilangan-bilangan rasional
al

3 7 21 19 16 17
,
, ,
, ,
2 2 2
4 8 5
Ada juga bilangan-bilangan yang
ya tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi
gi dua buah bilangan
bulat, contohnya √2, √5, √7, , dan sekelompok bilangan lainnya.. Bilangan-bilangan
B

ini dinamakan bilangan-bila
bilangan tak-rasional.
Sekumpulan bilangan (ras
asional dan tak-rasional) yang dapat me

engukur panjang,
bersama-sama dengan nega
gatifnya dan nol dinamakan bilangan-bilang
ngan riil.
EMPAT OPERASI HITUNGAN
AN
Dengan dua bilangan riil x dan
an y, kita dapat menambahkan atau mengalika
likan keduanya untuk
memperoleh dua bilangan riil
iil baru x+y dan x.y (biasanya cukup dituliskan
an xy). Penambahan
dan perkalian mempunyai sifa
ifat-sifat yang telah dikenal berikut.
Sifat-sifat Medan
Hukum Komutatif. x + y = y + x dan xy = yx
Hukum Asosiatif. x + (y + z)) = (x
( + y) + z dan x(yz) = (xy)z
Hukum Distribusi. x(y + z) = xy + xz
Elemen-elemen Identitas. Terdapat

Terd
dua bilangan riil yang berlainan 0 dan 1 yang
ya memenuhi x + 0 = x
dan x . 1 = x
ngan x mempunyai balikan aditif (disebut juga sebua
ebuah negatif), -x, yang
5. Balikan(Invers). Setiap bilanga
memenuhi x + (-x) = 0. Juga,
a, se
setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan
n pe
perkalian (disebut juga
kebalikan) x-1, yang memenuh
nuhi x . x-1 = 1
1.
2.
3.
4.

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

Pengurangan dan pembagian
an didefinisikan dengan

x – y = x + (-y)
dan
= .

2. KONSEP FUNGSI
SI
Definisi
Sebuah fungsi f adalah
h ssuatu aturan padanan yang menghubungk
gkan tiap obyek x
dalam satu himpunan, yang
ya
disebut daerah asal, dengan sebuah ni
nilai unik f(x) dari

himpunan kedua. Himpuna
unan nilai yang diperoleh secara demikian dise
sebut daerah nilai
fungsi tersebut.

X

Y
f

1

5

2
6
3
4

7

f : X → Y adalah sebuah fung
ngsi.
Setiap elemen dalam X berhu
hubungan dengan tepat satu buah elemen dala
alam Y.

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

X

Y
g

1

5

2

6

3

7

4

8

g : X → Y adalah BUKAN seb
ebuah fungsi.
Elemen 1 dalam X berhubung
ngan dengan dua buah elemen dalam Y yaitu
u 5 dan 6.
CARA MENULISKAN FUNGS
GSI
Untuk memberi nama fungsi

si dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau
tau g atau F). Maka
f(x), yang di baca “f dari x” ata
tau “f pada x”, menunjukkan nilai yang diberika
ikan oleh f kepada x.
Contoh : jadi jika f(x) = x3 – 4,,
f(2) = 23 – 4 = 4

f(a) = a3 – 4

f(-1) = (-1)3 – 4 = -5

f(a+h) = (a+h)3 – 4 = a3 + 3a2h + 3 ah2 + h3 – 4

DAERAH ASAL DAN DAERA
RAH NILAI
Aturan padanan merupakan
an pusat dari suatu fungsi, tetapi sebuah fun
fungsi belum secara
lengkap di tentukan sampai daerah
da
asalnya diberikan.
Daerah asal adalah himpunan
an elemen-elemen pada mana fungsi itu mend
ndapat nilai.
Daerah Nilai adalah himpuna
nan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.
f

f(x)
x

Daerah Asal
sal

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Daerah Nilai

http://www.mercubuana.ac.id

Misalnya, jika F adalah suatu
tu fungsi dengan aturan F(x) = x2 + 1 dan jika
ad
daerah asal di rinci
sebagai {-1, 0, 1, 2, 3} , maka
ka daerah nilainya adalah {1, 2, 5, 10}.
F(x) = x2 + 1

-1

1

0
1

2

2

5

3

10

Daerah Asal

Daerah Nilai

Daerah asal dan aturan untuk
uk menentukan daerah nilai tersebut.
Bilamana untuk sebuah fungs
gsi daerah asalnya tidak dirinci, kita selalu menganggap
me
bahwa
daerah asalnya adalah himp
punan bilangan riil yang tebesar sehingga
a aturan fungsi ada
maknanya dan memberikan nilai
n bilangan riil. Ini disebut daerah asal alam
lamiah.
CONTOH :
Cari daerah asal alamiah untu
tuk :

(a) ( ) = (

)

Daerah asal alamiah untu
ntuk f adalah { x ∈ R : x ≠ 3 }. Ini dibaca “him
impunan x dalam R
(bilangan riil) sedemikian
an sehingga x tidak sama dengan 3”. Kita kecualikan
k
3 untuk
menghindari pembagian o
oleh 0.

(b) (!) = √9

!"

Disini kita harus memb
batasi t sedemikian sehingga 9
menghindari nilai-nilai tak
ak riil untuk √9

! " ≥ 0 dengan tujuan

! " . Ini dicapai dengan mensy
syaratkan bahwa |!|

≤ 3. Sehingga, daerah asal
as alamiah adalah { t ∈ R : |!| ≤ 3 }. Dala
alam cara penulisan
selang, kita dapat menulis
lis daerah asal sebagai [-3,3].
Bilamana aturan untuk suatu
tu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan
n berbentuk y = f(x)
(misalnya, y = x3 + 3x – 6) , x seringkali disebut peubah bebas dan y peubah
pe
tak bebas.
Sebarang elemen dari daerah
rah asal boleh dipilih sebagai nilai dari peuba
ubah bebas x, tetapi
pilihan itu secara tuntas men
enentukan nilai padanan dari peubah tak be
bebas. Jadi, nilai y
tergantung dari pilihan nilai x.

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

3. OPERASI PADA F
FUNGSI
Fungsi bukanlah bilangan. Tetapi
Te
seperti halnya dua bilangan a dan b dapat
d
ditambahkan
untuk menghasilkan sebuah
h bilangan baru a+b, demikian juga dua fun
ungsi f dan g dapat
ditambahkan untuk menghasil
silkan sebuah fungsi baru f+g. Ini baru salah
h satu
s
dari beberapa
jenis operasi pada fungsi yang
ng lainnya.

JUMLAH, SELISIH, HASIL
ILKALI, HASILBAGI, dan PANGKAT
Misalkan f(x) dan g(x) fungsi-ffungsi riil dengan daerah asal Df dan Dg

•

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(x), Df+g = Df ∩ Dg

•

(f − g)(x) = f(x) − g(x)
(x), Df−g = Df ∩ Dg

•

(f.g)(x) = f(x).g(x), Dfg = Df ∩ Dg

•

(f/g)(x) = f(x)/g(x), Df/g
f/ = Df ∩ Dg ∩ {x|g(x) ≠ 0}

•

fn(x) = f(x) f(x) ··· f(x)
(x)

, Dfn = Df

n suku
Contoh :

f(x) =

,

"

( )=√

Kita dapat membuat sebuah
h fungsi baru f + g dengan cara memberikan
an pada x nilai

√ , yakni,
( + )( ) = ( ) + ( ) =

2

3

"

+

+√

Tentu saja, kita harus sedikitit hati-hati mengenai daerah asal. Jelas, x har
arus berupa sebuah
bilangan pada mana f maupu
pun g berlaku. Dengan lain perkataan, daerah
rah asal f + g adalah
irisan (bagian irisan/bagian bersama)
be
dari daerah asal f dan g.

Daerah asal
f+g
Daerah asal g

Daerah asal f

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

Dengan anggapan bahwa f d
dan g mempunyai daerah asal alamiah, kita
ita mempunyai yang
berikut,
Rumu
mus

Daera
erah Asal

( + )( ) = ( ) + ( ) =
(

)( ) = ( )

2

( )=

2

( . )( ) = ( )). ( ) =
% &( ) =

( )
=
( )
2√

2
3

3
3
3

+√

[0 ∞)
[0,

√

[0 ∞)
[0,

√

[0 ∞)
[0,
(0 ∞)
(0,

Contoh :
Andaikan F(x) = √ + 1 dan G(x)
G = √9
'

"

, dengan masing-masing daerah
dae
asal alamiah

[-1, ∞] dan [-3, 3]. Cari rumuss untuk F + G, F – G, F.G, F/G, dan F5 dan be
berikan daerah asal
alamiahnya.

R
Rumus

Daerah Asal

(F + G)(x) = F(x) + G(x) = √ + 1 + √9
'

"

(F - G)(x) = F(x) - G(x) = √ + 1 - √9
'

(F.G)(x) = F(x).G
).G(x) = √ + 1.√9
'

"
"

[-1, 3]
[-1, 3]
[-1, 3]

(
(( )
√ +1
% &( ) =
=
"
)
)( ) √9
'

*

[-1, 3)
/

( * ( ) = +(( ),* = - √ + 1. = ( + 1)'
'

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

[-1, ∞)

4. FUNGSI KOMPOS
SISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI

X

f(X)

g(f(X))
Jika f bekerja pada x untukk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerj
erja pada f(x) untuk
menghasilkan g(f(x)), dikatak
takan bahwa kita telah menyusun g denga
gan f. Fungsi yang
dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan g ◦ f.

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

X

g(X)

f(g(X))

Jika g bekerja pada x untuk
uk menghasilkan g(x) dan kemudian f bekerja
erja pada g(x) untuk
menghasilkan f(g(x)), dikatak
takan bahwa kita telah menyusun f dengan
an g. Fungsi yang
dihasilkan, disebut komposit f dengan g, dinyatakan f ◦ g.

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

Contoh :

( )=

(

)

"

( )=√

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g3

4=5

"

"

√
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = -√ . = "

Segera kita perhatikan satu hal
h : Susunan (komposisi) fungsi tidak komut
utatif ; g ◦ f dan f ◦ g
umumnya berlainan.
6

CONTOH 2. Andaikan ( ) =

7 8

( ) = √3

dan

Pertama, cari (f ◦ g)(12) ; kemu
mudian cari (f ◦ g)(x) dan berikan daerah asaln
alnya.
Penyelesaian :
(f ◦ g)(12) = f(g(12)) = f(√36)) = f(6) =

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(√3 ) =

6√

-√

.

7

8

6(6)

(6)7 8

=

6√

=
8

6

6 8

=

=

6

"9

=

:

"√

Daerah asal f ◦ g adalah [0
[0,3) ∪ (3, ∞) . (Ingat kembali bahwa ∪ menyatakan
me
operasi
gabungan pada himpunan).
). Perhatikan bahwa 3 dikecualikan dari d
daerah asal untuk
menghindari pembagian oleh
h 0.

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

FUNGSI INVERS
etiap x∈Df ke y∈Rf maka balikan dari fungsi
si f mengembalikan
Jika fungsi f memetakan seti
unsur y tersebut ke unsur x semula.
se

= ( )
maka
=>=?=@ (

mak
aka :
a

x

b

y

f-1(y) = a

c

z

f-1(z) = c

A

f-1(x) = b

B

f

Perhatikan gambar sebagaii berikut
be

A

B
f
y=f (x)

x=f-1(y)
f-1

Untuk menentukan rumus fung
ungsi invers dari fungsi f dapat dilakukan langk
gkah-langkah :
•

Memisalkan f(x) = y

•

Menyatakan x dalam y

•

Menentukan rumus da
dari f-1(x) dengan mengingat f-1(y) = x dan me
mengganti variabel y
dengan x

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

Contoh :

ABC!DE=C FCGBHI >=HJ

L"

Jawab :
K
KL"

K
KL"

,
2

"

,

1
1

5. FUNGSI TRIGONO
NOMETRI

mir (mrg)
miring
hadapan (hdp)
θ
dekatan (dkt)

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

sin P

@>Q
RH

cos P

>E!
RH

tan P

@>Q
>E!

http://www.mercubuana.ac.id

Beberapa Fungsi Trigono
nometri

tan !

sin !
cos !

sec !

1
cos !

cot !
csc !

cos !
sin !
1
sin !

Hubungan Dengan Trigonom
ometri Sudut
Sudut biasanya diukur dalam
m derajat atau dalam radian. Sudut yang ber
erpadanan terhadap
0
satu putaran putaran penuh
h berukuran 360 , atau 2π radian. Demikian
ian pula, sudut lurus
0
berukuran 180 atau π radian.
n.

1800 = π radian X 3.1415927 radian

atau,
10 X 0.0174533 radian
atau
1 radian X 57.295780

Grafik Sinus dan Cosinus

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

6. MACAM-MACAM F
FUNGSI DAN GRAFIKNYA
FUNGSI GENAP
Fungsi f disebu
but fungsi genap bila memenuhi f(−a) = f(a).
Grafik dari fung
ngsi genap simetri terhadap sumbu-y

FUNGSI GANJIL
but fungsi ganjil bila memenuhi f(−a) = −f(a).
).
Fungsi f disebu
Grafiknya sime
etri terhadap titik asal (titik pusat koordinat).

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

FUNGSI KONSTAN
Fungsi f : x → C dengan C konstan
kon
disebut fungsi konstan (tetap).
Fungsi f memetakan setiap bilangan
bil
rill dengan C.
Grafik fungsi konstan y = f(x)
x) d
dengan f(x) = C adalah garis lurus yang seja
ejajar sumbu-X untuk
c ≠ 0 dan berimpit dengan sum
umbu-X jika c = 0.
Contoh :
Fungsi f : x → 3
y

f(-2) = 3

-2

f(0) = 3

3

f(5) = 3

0

y = f(x) = 3

x

5

FUNGSI IDENTITAS
sikan sebagai : I : x → x disebut fungsi identita
itas.
Fungsi R → R yang didefinisik
Grafik fungsi identitas y = x ad
adalah garis lurus yang melalui O(0,0).
y
y = f(x) = x
f(2) = 2
2
1

f(1)) = 1

f(0) = 0
0

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

1

x

2

http://www.mercubuana.ac.id

FUNGSI LINEAR
Fungsi f : R → R yang didefin
finisikan : f(x) = ax + b , a dan b konstan den
engan a ≠ 0 disebut
fungsi linear.

y

y = f(x) = 2x + 1

f(2) = 5

5
4
f(1)) = 3
3
2
1

f( = 1
f(0)

0

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

1

2

http://www.mercubuana.ac.id

x

FUNGSI KUADRAT
Fungsi f : R → R yang didefini
finisikan : f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, disebut
fungsi kuadrat.

y

y = f(x) = x2

f(-2)) = 4

4

f(-1) = 1

-2

-1

f(2) = 4
f(1) = 1

1

0
f(0) = 1

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

1

2

x

Ba 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.
1. ________. e-paper. Bab
https://sultansevgilim.fi
.files.wordpress.com/2008/11
2. Djohan, Warsoma, Drs
rs, Msi dan Budhi, Wono Setya, Dr. 2007. e-pa
paper. Diktat
Kalkulus I. Departemen
en Matematika, Fakultas MIPA, ITB, Bandung
ng.
http://personal.fmipa.itb
.itb.ac.id/hgunawan/my-courses/files/2009/08
2004. e-paper. Fungsi, Persamaan, Pertidaksa
ksamaan. PPPG
3. Markaban, Drs, Msi. 20
Matematika. Yogyakar
arta. http://p4tkmatematika.org/downloads/sma
ma
4. Nicholas, Jacky. et al.l. 1997. e-paper. Function and Their Graphs.. Mathematics
M
Learning Centre. Unive
iversity of Sydney.
http://sydney.edu.au/st
/stuserv/documents/maths_learning_centre
Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geome
metri Analitis. Jilid 1.
5. Purcell, Edwin J dan V
Jakarta. Penerbit Erlan
langga.

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id