Agus Miftakus Surur1 , Yudi Ari Adi2 , dan Sugiyanto3
JURNAL FOURIER | April 2013, Vol. 2, No. 1, 33-43
ISSN 2252-763X
Penyelesaian Persamaan Telegraph Dan Simulasinya
1
2
3 Agus Miftakus Surur , Yudi Ari Adi , dan Sugiyanto 1,3
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
2 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Ahmad Dahlan, Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH
Janturan Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Sugiyanto, Email: [email protected] Abstrak
Persamaan Telegraph adalah salah satu jenis dari persamaan gelombang. Pemecahan persamaan gelombang dapat
diperoleh dengan menggunakan fungsi Green dengan metode kondisi batas. Penelitian ini bertujuan untuk
menunjukkan proses mendapatkan rumus matematika dari persamaan gelombang dan juga mengetahui bentuk
solusi persamaan gelombang dengan menggunakan fungsi Green. Hasil analisis menunjukkan bahwa proses
mendapatkan rumus matematis dari persamaan gelombang dari fungsi Green yang berlaku dalam persamaan yang
berhubungan dengan persamaan gelombang, yang diterapkan pada persamaan Telegraph. Solusi dimulai dengan
mencari bentuk publik dari fungsi Green, selanjutnya mencari penyelesaian persamaan gelombang dalam fungsi
Green. Aplikasi dari persamaan gelombang digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan Telegraph. Hasil dari
persamaan Telegraph yang telah diperoleh akan ditampilkan dalam bentuk gambar (Bisa diketahui dengan simulasi)
sehingga bentuk dari persamaan Telegraph.Kata Kunci: Abstract
Equation Telegraph is one of type from wave equation. Solving of the wave equation obtainable by using Green's
function with the method of boundary condition problem. This research aim to to show the process obtain;get the
mathematical formula from wave equation and also know the form of solution of wave equation by using Green's
function. Result of analysis indicate that the process get the mathematical formula from wave equation from
applicable Green's function in equation which deal with the wave equation, that is applied in equation Telegraph.
Solution started with searching public form from Green's function, hereinafter look for the solving of wave equation
in Green's function. Application from the wave equation used to look for the solving of equation Telegraph. Result
from equation Telegraph which have been obtained will be shown in the form of picture (knowable to simulasi) so
that form of the the equation Telegraph. Keywords PendahuluanFungsi Green merupakan suatu fungsi yang mempunyai kriteria khusus. Fungsi Green juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial: persamaan Gelombang dan persamaan Panas. Cabang dari persamaan Gelombang ada beberapa persamaan diantaranya persamaan Schrodinger dan persamaan Telegraph.
Persamaan Telegraph adalah persamaan yang diambil sebagai aplikasi dari persamaan Gelombang yang diselesaikan dengan fungsi Green dengan metode masalah syarat batas dari persamaan diferensial.
Persamaan Telegraph
Suatu aliran listrik pada sebuah kabel dapat diuraikan dengan menggunakan persamaan diferensial parsial
Agus Miftakus Surur, et al.
- = + ( + ) Persamaan diferensial parsial di atas disebut dengan Persamaan Telegraph. Dimana adalah suatu daya, adalah suatu induksi, adalah suatu kapasitor, dan adalah suatu kebocoran, dari semua bagian tersebut diukur panjangnya (besarnya) dari suatu kabel. Suatu fungsi yang tidak diketahuin ( ; ) bisa menggambarkan besarnya tegangan volt atau arus pada suatu waktu , pada posisi dari suatu kabel tersebut dimana > 0, −∞ < < ∞.
Untuk memperoleh bentuk yang lebih sesuai dalam menguraikan ini, maka dengan memberikan permisalan
1
2 2 = =
, , = + Sehingga menghasilkan persamaan
2 (1)
- 2 + = Dari persamaan menggambarkan
2
1
2 − = 4 ( − )
Dengan demikian hanya membutuhkan penyelesaian dari persamaan (1) dari nilai dan dengan
2 ketentuan
− ≥ 0. (1) diselesaikan dari nilai yang berubah-ubah pada , . Untuk lebih detailnya, dipunyai dua kasus:
2 Kasus I : >
2 Kasus II : =
Karena persamaan Telegraph merupakan orde dua, maka untuk dasar menetapkan dua kondisi awal: ( ; 0) = ( ), ( ; 0) = ( )
1
2 Persamaan tersebut adalah linear dan homogen, maka pertama dapat menyelesaikannya dengan = 0, kemudian menyelesaikan dengan = 0, dan menjumlahkan hasil-hasilnya.
1
2 Sebagai pendahuluan penyederhanaan, didefinisikan transformasi dari ( ; ) = ( ; )
2
= 0, supaya persamaan menjadi =
- persamaan telegraph untuk bentuk khusus dengan
2 , yang sesuai untuk kasus 1.
1. Kasus I
2
2
2 Pada kasus 1 yaitu , yang merupakan masalah nilai awal dari <
− = dengan ( ; 0) = ( ), ( ; 0) = ( ).
1
2 Untuk menghubungkan susunan tersebut pada persamaan gelombang, dimasukkan sebuah variabel baru yang bebas yaitu dan fungsi menjadi
( )
( ; ; ) = ( ; )
2 ( ) ( ) ( )
Untuk fungsi ini, dipunyai , , , sehingga = = ⁄ )
= ( persamaan menjadi
2 − ( ) = 0 +
Penyelesaian Persamaan Telegraph Dan Simulasinya
2
2 = √( )
2 , didefinisikan variabel baru dari pengintegralan dengan formula
(2) Untuk memperkirakan integral
2 | |<
1
2
−
1
2
1
−
2
√( )
1 )
( )( + 2)2 −
2 cos , 0 < < , untuk mendapatkan
2 ∬
2 =
2 cos
1
2 −
√( )
∫ ( )
( )
2
∫ ( )( +
2
2 −
1
2 −
√( )
2 )
( +
1
2
2 Dimana
Nilai operator rata-ratanya adalah dinyatakan dari:
2 ( ) .
2 ( , ) =
,
1 ( )
1 ( , ) =
1 ) +
1
Persamaan gelombang ini diselesaikan dengan formula ( ; ; ) = (
( ) .
2 ( )
( ; ; 0) =
( ) ,
1 ( )
1 ( , ) =
2 ∬
=
−
, = 1,2 | |<
2
2
−
2
1
2
( +
√( )
2
1
)
2
1 , +
Dengan ( ; ; 0) =
2 Pembuktian:
−
√( )
|
2 =
2
2
2 −
1
2 −
2 )
|<√( )
( )( +
2 ∫
1
2 −
2 √( )
2 = sin
1
2
2
2 ( )
2
2
1
−
2
|<√( )
2
2 |
2
−
2 −
1
2 −
) √( )
2
∫ ( +
2
1
2 −
= √sin
1
2 )
1
2 −
2 = ((( )
2 cos )
1
2 −
2 = (√( )
(
2 )
2 sin
1
2 −
2 = √( )
| |<√( )
1
2 −
2 = √( )
2 ) cos
= (cos
2 )
2 = √( )
1
2
2 − cos
2 ( )
2 − (cos
1
2 −
2
2 ( )
2 −
1
2 −
√( )
2 )
1
2
2 − cos
2 cos Agus Miftakus Surur, et al.
= ( )
2 −
1
2 −
) √( )
− ((
2 cos )
1
2 −
1 2 ∫ cos (( ) √( )
− =
2 cos
1
√( )
1 [∫ cos (( )
1 2 ∫ ( )
2 ) =
1
2 −
) √( )
− ((
1 2 ∫ cos ( cos )
Bessel: ( ) =
2 ). Menurut fungsi
1
2 −
( ) (√( )
2 ) =
√( )
2 cos
1 ( , ) =
1
2
2
2 −
1
2 −
) √( )
2
( )( +
1 )
1 2 ∬ ( +
Dengan demikian diperoleh
2 −
2 cos )
1
2 −
√( )
1 ∫ cos (( )
2 ) =
1
2 −
√( )
(( )
2 cos ) ]
1
(3) Hasil dari integral (3) telah diketahui pada fungsi Bessel,
1
∫
−
2 −
cos ) sin √( )
2
1
−
2
( √( )
) ∫
= (
2
1
2
2 (−√( )
|<√( )
2
2 |
2
2
−
2
1
−
2
√( )
( 2 )
1
2 −
2 −
( (
( ) √( )
( ) ∫
|cos |≤1 =
2 )
1
2 −
cos ) sin √( )
2
1
−
2
√( )
) ∫
1
= (
2
1
−
2
cos |<√( )
2
1
−
2
|√( )
2 sin )
2 | |< Penyelesaian Persamaan Telegraph Dan Simulasinya 2 )
( )( +
1 = ∫
( + )
1
1
2
2
2
2 2 ∫
√( ) − −
1
2 −
2
2
| |<√( ) −
1
1
2
2 ( ) ( )
= ( + ) ∫ √( ) − cos
1
1
1 2 ∫
−
1
2
2 ( )
= (( − ) ( + ) √( )
1
1
1 2 ∫ )
− ( ) 1
2
2 (4)
= ∫ ( + ) ( √( ) − )
1
1
1 −
2 ( )
1 Untuk menemukan penyelesaian yang lebih umum, dibutuhkan mendiferensialkan integral tersebut terhadap
Dengan demikian factor , didapatkan penyelesaian persamaan Telegraph dengan = 0.
: )
(
1
1
2
2 )
= [ ( + ) + ( − )] + ( + [ √( ) − ]}
1
1
1 2 2 ∫ {
− ′
Akan tetapi turunan dari fungsi Bessel adalah fungsi Bessel . Dengan demikian : =
1
1 disimpulkan bahwa
1
2
2 (5)
) ( ) = [ ( + ) + ( − )] + ∫ ( + [ √( ) − ]
1
1
1 −
2
2
2
2 Gambaran secara jelas dari penyelesaian persamaan Telegraph − = dengan
( ; 0) = ( ), ( ; 0) = ( ) seperti yang ditunjukkan oleh
1
2
1
2
2 ( ; ) = [ √( ) − ]
∫ ( + )
2 −
2
1
1
2
(6) [ √( ) − ]
- 2
[ ( + ) + ( − )] + ∫ ( + )
1
1
2
1 −
2
2 2.
Kasus II
2 Pada kasus 2 yaitu , yang merupakan masalah nilai awal dari =
2 (7)
− = 0 dengan ( ; 0) = ( ), ( ; 0) = ( ).
1
2 Untuk menyelesaikan (7) digunakan Transformasi Fourier Agus Miftakus Surur, et al.
1 ∞ −
(8) ( ) = ∫ ( ) = 1,2
−∞
2 Dengan membalikkan formula, sehingga diperoleh ∞
(9) ( ) = ∫ ( ) = 1,2
−∞ Gambaran Fourier yang diinginkan dari penyelesaian adalah
∞ (10)
( ; ) = ∫ ( , ) −∞
Dimana ( , ) adalah fungsi yang akan ditentukan. Untuk melakukan ini, (10) disubsitusikan ke dalam persamaan gelombang (7)
∞
2
2 ( ; )] + 0 = [ ∫ ( ; )
−∞ Ini diperlukan oleh untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa
2
2
- ( ; ) = 0 Sehingga
(11) ( ; ) = ( ) cos + ( ) sin
Untuk memperoleh ( ) dan ( ), diberikan = 0 pada (10) dan (11)
∞ ∞ ,
( ; 0) = ∫ ( ) ( ; 0) = ∫ ( ) −∞ −∞
Membandingkan dengan (9) dan kondisi awal dari (7), dipunyai ( ) = ( ), ( ) = ( )
1
2 Disubtitusikan ke dalam (11) dan mengembalikan dari (10). Diperoleh gambaran Fourier ∞ sin
(12) ]
( ; ) = ∫ [ ( ) cos + ( )
1
2 −∞
Dengan menggunakan (12) didapatkan gambaran yang berhubungannya dengan fungsi-fungsi ( ), ( ) yang telah diberikan. Ingat kembali bahwa
1
2
1
1 − −
- cos = ( ) sin = ( − )
2
2 Maka ∞ ∞
1 −
∫ ( ) cos = ∫ ( ) + )
1
1 2 (
−∞ −∞ ∞
1 ( + ) − ( − )
- = ) ( )(
1 2 ∫
−∞
Penyelesaian Persamaan Telegraph Dan Simulasinya
1 = [ ( + ) + ( − )]
1
1
2 Dengan cara yang sama
∞ ∞ − sin 1 −
∫ = ∫ ) ( ) ( )
2
2 2 (
−∞ −∞ ∞
( + ) ( − ) 1 −
= ( ) ( )
2 2 ∫
−∞ ∞
- 1
= ) ( ) (∫
2 2 ∫
− −∞
- ∞
1 = ( ) )
2 2 ∫ (∫
−∞ −
- 1
= ( )
2 2 ∫
− Dari hasil di atas jika keduanya dijumlahkan maka akan diperoleh:
1 1 + (13)
( ; ) = [ ( + ) + ( − )] + ∫ ( )
1
1
2 −
2
2 Inilah bentuk persamaan Telegraph pada saat kasus II.
Simulasi Persamaan Telegraph
Simulasi, pada penelitian ini adalah bentuk (gambar) dari persamaan telegraph setelah di-plot ke dalam Mathematica versi 6, sehingga diketahui bentuk dari persamaan salah satu software ternama yaitu
Telegraph berdasar dari persamaan yang telah didapatkan di atas.
Sebagai langkah awal untuk mencari simulasi persamaan Telegraph ini, dimasukkan suatu nilai (angka) pada variabel.
1
2
2 ( ; ) = ∫ ( + ) [ √( ) − ]
2 −
2
1
1
2
2 [ ( + ) + ( − )] + ( + ) [ + ∫ √( ) − ]
1
1
2
1 −
2
2 Dengan nilai tiap-tiap variabelnya: = 1; = 1; = 1; interval = { |3 ≤ ≤ 4}; =
2 , berikut adalah output pada kasus I:
= , = { |1 ≤ ≤ 2} dan
1
2 Agus Miftakus Surur, et al.
Gambar 1 Output pada interval = { |3 ≤ ≤ 4}; = { |1 ≤ ≤ 2}.
Pada interval = { |1 ≤ ≤ 5}; = { |1 ≤ ≤ 20}, simulasinya:
Gambar 2 Output pada interval = { |1 ≤ ≤ 5}; = { |1 ≤ ≤ 20}.
Pada interval = { |0 ≤ ≤ 10}; = { |0 ≤ ≤ 20}
Gambar 3 Output pada interval = { |0 ≤ ≤ 10}; = { |0 ≤ ≤ 20}.
Dari simulasi gambar 1, gambar 2, dan gambar 3, dapat diambil kesimpulan bahwa semakin besar nilai yang diberikan pada persamaan maa gelombang yang terbentuk semakin banyak, sehingga bentuk dari gelombang itu sendiri akan semakin tampak jelas.
Penyelesaian Persamaan Telegraph Dan Simulasinya
Selanjutnya aka dicari simulasi pada kasus II. Langkah untuk mencari simulasi hampir sama seperti langkah pada kasus I, hanya saja persamaan yang digunakan berbeda, sehingga hasil yang diperoleh juga berbeda dengan kasus I.
Diawali dengan mengambl persamaan yang sudah diperoleh dari penjabaran:
- 1
1 ( ; ) =
[ ( + ) + ( − )] + ( )
1
1
2 2 2 ∫
− Dengan nilai tiap variabelnya:
= 1; interval = { |1 ≤ ≤ 2}; = { |2 ≤ ≤ 20} dan =
1
2 , =
2 Gambar 4 Output pada interval = { |1 ≤ ≤ 2}.
Pada interval = { |1 ≤ ≤ 5}; = { |1 ≤ ≤ 20}
Gambar 5 Output pada interval = { |1 ≤ ≤ 5}; = { |1 ≤ ≤ 20}.
Pada interval = { |0 ≤ ≤ 10}; = { |0 ≤ ≤ 20}
Gambar 6 Output pada interval = { |0 ≤ ≤ 10}; = { |0 ≤ ≤ 20}.
Dari simulasi (gambar 4, gambar 5, dan gambar 6) dapat diambil kesimpulan bahwa nilai dan yang diberikan pada persamaan tidak terlalu mempengaruhi bentuk simulai.
Agus Miftakus Surur, et al.
Kesimpulan 1.
Persamaan Telegraph mempunyi bentuk umum
2
- 2 + = Dan mempunyai dua:
2 Kasus I : >
2 Kasus II : = 2.
Kasus I memperoleh persamaan Telegraph
1
2
2 ( ; ) = ( + ) [ √( ) − ]
∫
2 −
2
1
1
2
2 [ √( ) − ]
- ∫ ( + )
[ ( + ) + ( − )] +
1
1
2
1 −
2
2 Dan simulasinya dengan nilai tiap-tiap variabelnya:
2 ,
= 1; = 1; = 1; interval = { |1 ≤ ≤ 2}; = { |2 ≤ ≤ 20} dan = , =
1
2 3.
Kasus II memperoleh persamaan Telegraph
- 1
1 ( ; ) = [ ( + ) + ( − )] + ( )
1
1
2 2 2 ∫
− Dan simulasinya dengan nilai tiap-tiap variabelnya:
2 = 1; interval = { |1 ≤ ≤ 2}; = { |2 ≤ ≤ 20} dan = , =
1
2 Untuk kasus II: Penyelesaian Persamaan Telegraph Dan Simulasinya Referensi rd
[1] Partial Differential Equations and Boundary-Value PRobles with Applications 3 edition.
Pinsky, Mark A. 1998. “ McGraw-Hill International Editions.
Kalkulus.
[2] Jakarta: Erlangga.
Purcell, Edwin J. Varberg, Dale and Rigdon, Steve E.. 2001. [3] Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.
Anton, Howard. 1995, Kalkulus III, [4] Jakarta: Universitas Terbuka.
Soedijono, Bambang, 2004. [5] The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill Higher Education.
Bracewell, Ronald N.. 2000.
Filsafat Ilmu Sebuah Pengantar Populer.
[6] Jakarta: Pustaka Sinar Harapan.
Suriasumantri, Jujun S.. 1987. [7] Calculus, Belmon USA: Brooks/Cole.
Tan, Soo T.. 2010.
Pengantar Analisis Real, [8] Jurusan Matematika Fakultas MIPA UGM.
Darmawijaya, Prof. Dr. Soeparna. 2006.
[9] Fungsi Green dan Penerapannya pada Persamaan Diferensial Biasa. Skripsi Jurusan Matematika
Astuti, Fani Dwi,FMIPA Universitas Negeri Malang, lulus tahun 2007. th [10] Calculus 9 edition. USA: Brooks/Cole. Larson, Ron, Bruce H, Edwards. 2010. th
Calculus 11 Including Second-Order Differential Equations, [11] Addison-Weslay.
Thomas, 2005, th
[12] Schaum’'s Outline Series Calculus 5 editions. USA: The McGraw-Hill
Ayres, Frank, Jr., PhD, Elliott Mendelson, PhD.Companies. [13] Cara mudah menyelesaikan Matematika dengan Mathematica. Yogyakarta: Andi Razali, Muhammad. 2008.