1. Filsafat Matematika, Logika, dan Yayasan Matematika - FILSAFAT MATEMATIKA

FILSAFAT MATEMATIKA
http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/
Jika matematika dianggap sebagai ilmu, maka flsafat matematika dapat dianggap
sebagai cabang dari flsafat ilmu, di samping disiplin ilmu seperti flsafat fsika dan
flsafat

biologi.aamun,

karena

pokok

permasalahannya,

flsafat

matematika

menempati tempat khusus dalam flsafat ilmu. Sedangkan ilmu alam menyelidiki
entitas yang berada dalam ruang dan waktu, itu sama sekali tidak jelas bahwa ini
juga

kasus

yang

berhubungan

dengan

objek

yang

dipelajari

dalam

matematika. Selain itu, metode investigasi matematika berbeda dari metodemetode penyelidikan dalam ilmu alam. Sedangkan yang terakhir memperoleh
pengetahuan umum menggunakan metode induktif, pengetahuan matematika
tampaknya diperoleh dengan cara yang berbeda, yaitu, dengan deduksi dari

prinsip-prinsip dasar. Status pengetahuan matematika juga tampaknya berbeda
dari status pengetahuan dalam ilmu alam. Teori-teori ilmu-ilmu alam tampaknya
kurang yakin dan lebih terbuka untuk revisi dari teori matematika. Untuk
matematika alasan menimbulkan masalah dari jenis yang cukup khusus untuk
flsafat. Oleh karena itu flsuf telah diberikan perhatian khusus untuk pertanyaanpertanyaan ontologis dan epistemologis tentang matematika.
1. Filsafat Matematika, Logika, dan Yayasan Matematika
Di satu sisi, flsafat matematika berkaitan dengan masalah yang terkait erat
dengan

masalah

sentral

metafsika

dan

epistemologi.Pada

blush

pertama,

matematika muncul untuk belajar entitas abstrak. Hal ini membuat orang bertanyatanya apa sifat dari entitas matematika terdiri dan bagaimana kita dapat memiliki
pengetahuan tentang entitas matematika. Jika masalah ini dianggap sebagai
terselesaikan, maka salah satu mungkin mencoba untuk melihat apakah bendabenda matematis entah bagaimana bisa milik dunia beton setelah semua.
Di sisi lain, ternyata bahwa sampai batas tertentu itu adalah mungkin untuk
membawa metode matematis untuk menanggung pada pertanyaan flosofs
tentang matematika. Pengaturan di mana ini telah dilakukan adalah bahwa logika
matematika ketika secara luas dianggap sebagai bukti terdiri dari teori, teori
model, Teori himpunan, dan teori komputabilitas sebagai subbidang. Sehingga
abad kedua puluh telah menyaksikan penyelidikan matematika dari konsekuensi
dari apa yang di bawah teori flosofs tentang sifat matematika.
Ketika matematikawan profesional prihatin dengan dasar subjek mereka, mereka
dikatakan terlibat dalam penelitian dasar. Ketika flsuf profesional menyelidiki
pertanyaan flosofs tentang matematika, mereka dikatakan untuk berkontribusi
pada flosof matematika. Tentu saja perbedaan antara flsafat matematika dan
dasar-dasar matematika tidak jelas, dan interaksi yang lebih ada antara flsuf dan
ahli logika matematika bekerja pada pertanyaan yang berkaitan dengan sifat

matematika,

semakin

baik.

2. Empat Sekolah
Prospek flosofs dan ilmiah yang umum di abad kesembilan belas cenderung ke
arah empiris. Platonistic aspek teori rasionalistik matematika dengan cepat
kehilangan dukungan. Terutama sekali sangat-memuji fakultas intuisi rasional ide
dianggap

dengan

merumuskan

teori

kecurigaan. Oleh
flosofs

karena

matematika

itu

menjadi

yang

bebas

tantangan
dari

untuk

unsur-unsur

platonistic.Pada dekade pertama abad kedua puluh, tiga account non-platonistic
matematika dikembangkan: logicism, formalisme, dan intuisionisme. Ada muncul
pada awal abad kedua puluh juga program keempat: predicativism. Karena
keadaan historis kontingen, potensi sesungguhnya tidak dibawa keluar sampai
tahun 1960-an. aamun, cukup layak mendapat tempat di samping tiga sekolah
tradisional.
2.1 Logicism
Proyek

logicist

terdiri

dalam

upaya

untuk

mengurangi

matematika

untuk

logika. Karena logika seharusnya netral tentang hal-hal ontologis, proyek ini
tampaknya selaras dengan suasana anti-platonistic waktu.
Gagasan bahwa logika matematika adalah menyamar kembali ke Leibniz. Tetapi
upaya sungguh-sungguh untuk melaksanakan program logicist secara rinci dapat
dilakukan hanya bila pada abad kesembilan belas prinsip dasar teori matematika
pusat tersebut disampaikan (oleh Dedekind dan Peano) dan prinsip-prinsip logika
yang ditemukan (oleh Frege).
Frege mengabdikan sebagian besar karirnya untuk mencoba untuk menunjukkan
bagaimana matematika dapat direduksi menjadi logika (Frege 1884). Dia berhasil
menurunkan prinsip-prinsip (kedua-order) aritmatika Peano dari hukum dasar dari
sistem logika orde kedua. derivasi-aya sempurna. aamun, ia mengandalkan satu
prinsip yang ternyata tidak menjadi prinsip logis setelah semua. Lebih buruk lagi,
hal ini tidak bisa dipertahankan. Prinsip yang dimaksud adalah Frege Dasar Hukum
V:
{X | Fx} = {x | Gx} ∀ ≡ x (Fx ≡ Gx),

Dengan kata: set dari Fs identik dengan set if Gs para Fs adalah justru Gs. Dalam
sebuah surat yang terkenal kepada Frege, Russell menunjukkan bahwa Frege Dasar
Hukum V memerlukan suatu kontradiksi (Russell 1902). Argumen ini telah datang
dikenal sebagai paradoks Russell (lihat Bagian 2.4).
Russell sendiri kemudian mencoba untuk mengurangi matematika untuk logika
dengan cara lain. Frege Dasar Hukum V mensyaratkan bahwa sesuai dengan setiap
properti entitas matematika, ada kelas entitas matematika memiliki sifat itu. Ini

jelas terlalu kuat, karena itu persis konsekuensi yang menyebabkan paradoks
Russell. Jadi Russell mendalilkan bahwa hanya sifat benda matematika yang telah
terbukti ada, menentukan kelas. Predikat yang secara implisit mengacu pada kelas
yang mereka untuk menentukan apakah kelas tersebut ada, tidak menentukan
sebuah kelas. Jadi struktur diketik properti diperoleh: sifat-sifat objek tanah,
properti kedua objek tanah dan kelas obyek tanah, dan sebagainya. Struktur diketik
sifat menentukan alam semesta berlapis obyek matematika, mulai dari obyek
tanah, melanjutkan ke kelas obyek tanah, kemudian ke kelas kedua objek tanah
dan kelas obyek tanah, dan sebagainya.
Sayangnya, Russel menemukan bahwa prinsip-prinsip logika nya diketik tidak
cukup untuk menyimpulkan bahkan undang-undang dasar aritmatika. Russell
diperlukan, antara lain, untuk meletakkan sebagai prinsip dasar yang terdapat

koleksi benda-benda tanah tak terbatas. Hal ini tidak bisa dianggap sebagai prinsip
logis.Dengan demikian upaya kedua untuk mengurangi matematika untuk logika
juga tersendat.
Dan ada hal-hal berdiri selama lebih dari lima puluh tahun. Pada tahun 1983, buku
Crispin Wright pada teori Frege dari alam nomor muncul (Wright 1983). Di
dalamnya, Wright meniupkan kehidupan baru ke dalam proyek logicist. Dia
mengamati bahwa Frege derivasi dari kedua orde Peano Aritmetika dapat dipecah
menjadi dua tahap. Pada tahap pertama, Frege menggunakan Undang-Undang
Dasar tidak konsisten V untuk mendapatkan apa yang kemudian dikenal sebagai
Hume Prinsip:
Jumlah Fs = jumlah Gs ≡ F ≈ G,
dimana F ≈ G berarti bahwa Fs dan Gs berdiri di satu-ke-satu korespondensi
dengan satu sama lain. (Ini hubungan antara satu-ke-satu korespondensi dapat
dinyatakan dalam logika orde kedua.) Kemudian, dalam tahap kedua, prinsipprinsip orde kedua Peano Aritmatika berasal dari Hume Prinsip dan prinsip-prinsip
diterima logika orde kedua. Secara khusus, Dasar Hukum V tidak diperlukan pada
bagian kedua dari derivasi. Selain itu, Wright menduga bahwa dalam kontras
dengan Frege Dasar Hukum V, Prinsip Hume konsisten. George Boolos dan lain-lain
mengamati

bahwa

Prinsip

Hume

memang

konsisten

(Boolos

1987). Wright

melanjutkan untuk mengklaim bahwa Prinsip Hume bisa dianggap sebagai
kebenaran logika. Jika demikian, maka setidaknya aritmatika Peano orde kedua ini
diturunkan ke logika saja. Jadi bentuk baru logicism lahir; hari pandangan ini
dikenal

sebagai

neo-logicism

(Hale

&

Wright

2001).

Kebanyakan flsuf keraguan hari ini matematika yang Hume Prinsip adalah prinsip
logika. Memang, bahkan Wright dalam beberapa tahun terakhir berusaha untuk

memenuhi syarat klaim ini. aamun demikian, karya Wright telah menarik perhatian
flsuf matematika untuk jenis prinsip-prinsip yang Dasar Hukum V dan Prinsip Hume
adalah

contoh. Prinsip-prinsip

ini

disebut

prinsip

abstraksi. Saat

ini,

flsuf

matematika upaya untuk membangun teori-teori umum prinsip abstraksi yang
menjelaskan prinsip-prinsip abstrak yang diterima dan yang tidak, dan mengapa
(Bendung 2003).
2.2 intuisionisme
Intuisionisme

berasal

dalam

karya

matematikawan

LEJ Brouwer

(van

Atten

2004). Menurut intuisionisme, matematika pada dasarnya adalah suatu kegiatan
konstruksi. aomor alam merupakan konstruksi mental, bilangan real merupakan
konstruksi mental, bukti dan teorema merupakan konstruksi mental, yang berarti
matematika merupakan konstruksi mental, .... Matematika konstruksi diproduksi
oleh matematikawan ideal, yaitu, disarikan dari kontingen, keterbatasan fsik
matematika kehidupan nyata.Tetapi bahkan ahli matematika yang ideal tetap
menjadi terbatas sedang. Dia tidak pernah dapat menyelesaikan suatu konstruksi
yang tak terbatas, meskipun dia dapat menyelesaikan secara sewenang-wenang
hingga besar bagian awal dari itu.(Pengecualian dibuat oleh Brouwer untuk intuisi
kita garis nyata.) Intuisionisme ini mensyaratkan bahwa untuk sebagian besar
menolak keberadaan aktual (atau selesai) tak terbatas; kebanyakan hanya koleksi
potensial tidak terbatas diberikan dalam kegiatan konstruksi. Contoh dasar
pembangunan berturut-turut dalam waktu dari alam nomor individu.
Dari pertimbangan-pertimbangan umum tentang sifat matematika, intuitionists
menyimpulkan untuk sikap revisionis dalam logika dan matematika. Mereka
menemukan bukti adanya non-konstruktif dapat diterima. bukti adanya nonkonstruktif adalah bukti yang dimaksudkan untuk menunjukkan keberadaan entitas
matematika memiliki properti tertentu tanpa bahkan secara implisit mengandung
sebuah metode untuk menghasilkan contoh dari suatu entitas. Intuisionisme
menolak keberadaan bukti non-konstruktif sebagai 'teologis' dan 'metafsik'. Fitur
karakteristik bukti adanya non-konstruktif adalah bahwa mereka memanfaatkan
penting dari prinsip dikecualikan tengah,
φ ∨ ¬ φ,
atau salah satu setara, seperti prinsip negasi ganda,
¬ ¬ φ → φ.
Dalam logika klasik, prinsip-prinsip ini berlaku. Logika matematika intuitionistic
diperoleh dengan membuang prinsip tengah dikecualikan (dan setara kas) dari
logika

klasik. Hal

ini

tentu

saja

mengarah

ke

revisi

pengetahuan

matematika. Sebagai contoh, teori klasik aritmatika dasar, Peano aritmatika, tidak
bisa lagi diterima. Sebaliknya, teori intuitionistic aritmatika (disebut Heyting
aritmatika)

adalah

usulan

yang

tidak

mengandung

prinsip

dikecualikan

tengah. Meskipun aritmatika dasar intuitionistic lebih lemah dari aritmatika dasar

klasik, perbedaan tersebut tidak semua yang besar. Ada ada terjemahan sintaksis
sederhana yang menerjemahkan semua teorema klasik aritmatika menjadi teorema
yang intuitionistically dapat dibuktikan.
Pada dekade pertama abad kedua puluh, bagian dari komunitas matematika sangat
simpati terhadap kritik intuitionistic matematika klasik dan alternatif yang
diusulkan. Situasi ini berubah ketika menjadi jelas bahwa dalam matematika lebih
tinggi, alternatif intuitionistic agak berbeda drastis dari teori klasik.Sebagai contoh,
analisis matematis intuitionistic adalah teori yang cukup rumit, dan ini sangat
berbeda dari analisis matematika klasik. Ini dibasahi antusiasme masyarakat
matematika untuk proyek intuitionistic. aamun demikian, pengikut Brouwer terus
mengembangkan matematika intuitionistic ke hari ini (Troelstra & van Dalen 1988).
2.3 Formalisme
David Hilbert setuju dengan intuitionists bahwa ada rasa di mana bilangan asli
merupakan dasar dalam matematika. aamun tidak seperti intuitionists, Hilbert
tidak

mengambil

alam

nomor

menjadi

konstruksi

mental. Sebaliknya,

ia

berpendapat bahwa bilangan asli dapat diambil untuk menjadi simbol. Simbol
adalah entitas abstrak, tapi mungkin entitas fsik dapat memainkan peran alam
nomor. Sebagai contoh, kita dapat mengambil tinta beton jejak formulir | menjadi
angka 0, tinta konkret menyadari jejak | | untuk menjadi nomor 1, dan
seterusnya. Hilbert pikir itu yang terbaik diragukan bahwa matematika lebih tinggi
bisa langsung ditafsirkan dengan sama langsung dan bahkan mungkin dengan cara
beton.
Berbeda dengan intuitionists, Hilbert tidak siap untuk mengambil sikap revisionis
terhadap tubuh ada pengetahuan matematika.Sebaliknya, ia mengadopsi sikap
instrumentalis sehubungan dengan matematika yang lebih tinggi. Dia berpikir
bahwa matematika yang lebih tinggi tidak lebih dari permainan formal.Laporan
matematika

tingkat

tinggi

yang

uninterpreted

string

simbol. Membuktikan

pernyataan tersebut tidak lebih dari sebuah permainan di mana simbol-simbol yang
dimanipulasi sesuai dengan aturan tetap. Inti dari 'permainan matematika yang
lebih tinggi' yang terdiri, dalam pandangan Hilbert, dalam membuktikan laporan
aritmatika dasar, yang memang memiliki interpretasi langsung (Hilbert 1925).
Hilbert berpikir bahwa tidak ada keraguan tentang kesehatan dari Arithmetic Peano
klasik - atau setidaknya tentang kesehatan dari subsistem itu yang disebut primitif
algoritma aritmatika (Tait 1981). Dan dia berpikir bahwa setiap pernyataan
aritmatika yang dapat dibuktikan dengan membuat jalan memutar melalui
matematika

yang

lebih

tinggi,

juga

dapat

dibuktikan

langsung

di

Peano

aritmatika. Bahkan, ia diduga kuat bahwa setiap masalah aritmatika dasar dapat
diputuskan dari aksioma Peano Aritmetika. Tentu saja pemecahan masalah

aritmatika

dalam

aritmatika

yang

dalam

beberapa

kasus

praktis

tidak

mungkin.Sejarah matematika telah menunjukkan bahwa membuat "jalan memutar"
melalui matematika yang lebih tinggi kadang-kadang dapat menyebabkan bukti
pernyataan aritmatika yang jauh lebih pendek dan yang memberikan wawasan
lebih dari bukti murni aritmatika dari pernyataan yang sama.
Hilbert

menyadari,

meskipun

agak

samar-samar,

bahwa

sebagian

dari

keyakinannya sebenarnya bisa dianggap dugaan matematika. Untuk bukti dalam
sistem formal matematika yang lebih tinggi atau aritmatika dasar adalah objek
kombinatorial terbatas yang dapat, modulo coding, dianggap nomor alami. Tapi di
tahun 1920-an rincian coding bukti sebagai bilangan asli belum sepenuhnya
dipahami.
Pada pandangan formalis, persyaratan minimal sistem formal matematika lebih
tinggi adalah bahwa mereka paling tidak konsisten. Jika setiap pernyataan dari
aritmatika dasar dapat dibuktikan di dalamnya. Hilbert juga melihat (lagi, samarsamar) bahwa konsistensi sistem matematika yang lebih tinggi mensyaratkan
bahwa sistem ini setidaknya sebagian deret hitung suara. Jadi Hilbert dan muridmuridnya berangkat untuk membuktikan pernyataan seperti konsistensi standar
dalil-dalil analisis matematis. Tentu saja pernyataan seperti itu harus dibuktikan di
bagian 'aman' matematika, seperti aritmatika. Jika bukti tidak meningkatkan
keyakinan kita dalam konsistensi dari analisis matematis. Dan, untungnya,
tampaknya mungkin pada prinsipnya untuk melakukan hal ini, karena dalam
laporan analisis konsistensi fnal, lagi modulo coding, laporan aritmatika. Jadi,
tepatnya, Hilbert dan murid-muridnya berangkat untuk membuktikan konsistensi,
misalnya, aksioma analisis matematis dalam aritmatika Peano klasik. Proyek ini
dikenal sebagai program Hilbert (Zach 2006). Ternyata lebih sulit dari yang mereka
harapkan. Pada

kenyataannya,

mereka

bahkan

tidak

berhasil

membuktikan

konsistensi aksioma Peano Aritmetika di Peano aritmatika.
Kemudian Kurt Gödel membuktikan bahwa terdapat laporan aritmatika yang
diputuskan dalam Peano Aritmetika (Gödel 1931).Ini dikenal sebagai Teorema
ketidaklengkapan Gödel pertama. Ini tidak pertanda baik untuk program Hilbert,
tetapi dibiarkan terbuka kemungkinan bahwa konsistensi matematika yang lebih
tinggi tidak salah satu dari laporan diputuskan. Sayangnya, Gödel lalu cepat-cepat
menyadari bahwa, kecuali (melarang Allah!) Peano aritmatika tidak konsisten,
konsistensi Peano Aritmetika adalah independen dari Peano Aritmetika. Ini adalah
kedua teorema ketidaklengkapan Gödel. teorema ketidaklengkapan Gödel ternyata
secara umum berlaku untuk semua teori rekursif axiomatizable cukup kuat tetapi
konsisten. Bersama-sama,

mereka

memerlukan

bahwa

program

Hilbert

gagal. Ternyata bahwa matematika yang lebih tinggi tidak dapat diinterpretasikan
dalam cara yang murni instrumental. matematika lebih tinggi dapat membuktikan

kalimat aritmatika, seperti laporan konsistensi, yang berada di luar jangkauan
Peano Aritmetika.
Semua ini tidak berarti akhir formalisme. Bahkan dalam menghadapi teorema
ketidaklengkapan, adalah koheren untuk mempertahankan bahwa matematika
adalah ilmu dari sistem formal. Satu versi pandangan ini diusulkan oleh Curry
(1958).Pada pandangan ini, matematika terdiri dari kumpulan sistem formal yang
tidak memiliki interpretasi atau subjek. (Curry sini membuat pengecualian untuk
metamathematics.) Sehubungan dengan suatu sistem formal, dapat dikatakan
bahwa sebuah pernyataan adalah benar jika dan hanya jika diturunkan dalam
sistem. Tetapi pada tingkat dasar, semua sistem matematika pada nominal. Ada
dapat di alasan yang paling pragmatis untuk memilih satu sistem atas yang
lain. sistem tidak konsisten dapat membuktikan semua laporan dan karena itu
cukup berguna. Jadi, ketika sistem ditemukan tidak konsisten, itu harus diubah. Ini
hanyalah sebuah pelajaran dari teorema ketidaklengkapan Gödel bahwa sistem
konsisten cukup kuat tidak dapat membuktikan konsistensi sendiri.
Ada keberatan kanonik terhadap posisi formalis Curry.Matematikawan pada
kenyataannya tidak memperlakukan semua sistem formal yang konsisten sebagai
sejajar. Kebanyakan dari mereka tidak mau mengakui bahwa preferensi sistem
aritmetika

di

mana

kalimat

aritmetika

mengungkapkan

konsistensi

Peano

Aritmetika yang diturunkan atas orang yang negasi adalah diturunkan, misalnya,
pada

akhirnya

dapat

matematikawan

ingin

dijelaskan

dalam

mempertahankan

istilah

murni

bahwa

pragmatis. Banyak

kebenaran

dirasakan

(ketidaktepatan) dari sistem formal tertentu akhirnya harus dijelaskan dengan fakta
bahwa mereka benar (salah) menjelaskan materi tertentu.
Detlefsen telah menekankan bahwa teorema ketidaklengkapan tidak menghalangi
bahwa konsistensi bagian dari matematika yang lebih tinggi yang dalam
prakteknya

digunakan

untuk

memecahkan

masalah

aritmatika

yang

matematikawan tertarik bisa deret hitung didirikan (Detlefsen 1986). Dalam hal ini,
sesuatu yang mungkin bisa diselamatkan dari api bahkan jika instrumentalis sikap
Hilbert menuju seluruh matematika yang lebih tinggi pada akhirnya tidak bisa
dipertahankan.
Upaya lain untuk menyelamatkan bagian dari program Hilbert pernah dilakukan
oleh Isaacson (1987). Dia membela pandangan bahwa dalam arti tertentu, Peano
Aritmetika mungkin lengkap setelah semua. Dia berpendapat bahwa kalimat benar
diputuskan dalam Peano Aritmetika hanya dapat dibuktikan melalui konsep-konsep
tingkat tinggi. Misalnya, konsistensi Peano Aritmetika dapat dibuktikan dengan
induksi sampai nomor urut transfnite (Gentzen 1938). Tapi gagasan mengenai
nomor urut adalah sebuah konsep set-teoritis, dan karenanya non-aritmatika,. Jika
satunya cara untuk membuktikan konsistensi aritmatika memanfaatkan penting
dari pengertian yang dapat dikatakan milik matematika tingkat tinggi, maka
konsistensi aritmatika, meskipun dapat dinyatakan dalam bahasa Peano Arithmetic,

adalah masalah non-aritmatika. Dan generalisasi dari ini, kita dapat bertanya-tanya
apakah Hilbert menduga bahwa setiap masalah aritmatika dapat diputuskan dari
aksioma Peano Aritmetika mungkin masih benar.
2.4 Predicativism
Seperti

yang

telah

disebutkan

sebelumnya,

predicativism

tidak

biasanya

digambarkan sebagai salah satu sekolah. Tapi itu hanya untuk alasan kontingen
bahwa sebelum kedatangan predicativism perang dunia kedua tidak naik ke tingkat
keunggulan dari sekolah lain.
Asal-usul predicativism terletak pada karya Russell. Pada isyarat dari Poincaré, ia
tiba di diagnosis berikut paradoks Russell. Untuk negara paradoks Russell, C koleksi
semua entitas matematika yang memuaskan ¬ x ∈ x didefnisikan. Paradoksnya
kemudian mulai dengan menanyakan apakah C itu sendiri memenuhi kondisi ini,
dan berasal kontradiksi. Diagnosis Poincaré-Russell dari menyatakan paradoks
bahwa defnisi C tidak memilih koleksi sama sekali: tidak mungkin untuk
mendefnisikan sebuah koleksi S dengan suatu kondisi yang secara implisit
mengacu pada S itu sendiri. Hal ini disebut prinsip lingkaran setan. Defnisi yang
melanggar prinsip lingkaran setan disebut impredicative. Defnisi suara koleksi
hanya merujuk kepada badan usaha yang ada secara independen dari koleksi
ditetapkan. defnisi

seperti

ini

disebut

predikatif. Seperti

Gödel

kemudian

menunjukkan, seorang Platonis yakin akan menemukan baris ini penalaran tidak
meyakinkan. Jika koleksi matematika ada secara independen dari tindakan
mendefnisikan, maka tidak segera jelas mengapa ada tidak bisa koleksi yang
hanya dapat didefnisikan impredicatively.
Semua ini menyebabkan Russell untuk mengembangkan sederhana dan teori
bercabang jenis, di mana pembatasan sintaksis dibangun di mana membuat
defnisi impredicative sakit-terbentuk. Dalam teori tipe sederhana, variabel bebas
dalam menentukan rumus rentang selama entitas yang koleksi harus didefnisikan
bukan milik. Dalam teori tipe bercabang, diperlukan, di samping itu, bahwa rentang
variabel terikat dalam mendefnisikan formula tidak termasuk koleksi yang akan
ditetapkan. Ini ditunjukkan dalam Bagian 2.1 bahwa teori jenis Russell tidak dapat
dilihat sebagai pengurangan matematika dengan logika. Tetapi bahkan selain dari
itu, diamati sejak awal bahwa teori jenis terutama bercabang tidak cocok untuk
merumuskan argumen matematika biasa.
Ketika Russell berbalik ke area lain dari flsafat analitis, Hermann Weyl mengambil
penyebab predicativist (Weyl 1918). Seperti Poincaré, Weyl tidak berbagi Russell
keinginan untuk mengurangi matematika untuk logika. Dan kanan dari awal ia
melihat bahwa akan mustahil dalam praktek untuk bekerja di suatu teori tipe
bercabang. Weyl mengembangkan sikap flosofs yang dalam arti antara antara
intuisionisme dan Platonisme. Ia mengambil kumpulan bilangan asli sebagai
unproblematically diberikan sebagai yang tak terbatas yang sebenarnya. Tapi

konsep subset sewenang-wenang dari alam nomor tidak diambil untuk segera
diberikan dalam intuisi matematika. Hanya mereka subset yang ditentukan oleh
predikat orde pertama aritmatika yang dianggap menjadi predicatively diterima.
Di satu sisi, hal itu muncul bahwa banyak defnisi standar dalam analisis
matematika impredicative. Sebagai contoh, penutupan minimal operasi pada
himpunan yang biasanya didefnisikan sebagai persimpangan dari semua set yang
tertutup di bawah aplikasi operasi. Tetapi penutupan minimal sendiri adalah salah
satu

set

yang

tertutup

di

bawah

aplikasi

operasi. Jadi

defnisi

ini

impredicative. Dengan cara ini, perhatian berangsur-angsur bergeser jauh dari
kekhawatiran tentang paradoks set-teoritis untuk peran impredicativity dalam
matematika mainstream. Di sisi lain, Weyl menunjukkan bahwa sering mungkin
untuk bekerja di sekitar gagasan impredicative. Bahkan muncul bahwa sebagian
besar analisis matematis mainstream abad kesembilan belas dapat dibuktikan
secara predikatif (Feferman 1988).
Pada tahun 1920, sejarah campur. Weyl dimenangkan ke lebih radikal proyek
intuitionistic Brouwer. Sementara itu, ahli matematika menjadi yakin bahwa teori
himpunan sangat impredicative transfnite dikembangkan oleh penyanyi dan
Zermelo

kurang

akut

terancam

oleh

paradoks

Russell

dari

sebelumnya

dicurigai. Faktor-faktor ini menyebabkan predicativism untuk terjerumus ke dalam
keadaan tidak aktif selama beberapa dekade.
Membangun kerja menurut teori rekursi umum, Salomo Feferman memperpanjang
proyek predicativist pada 1960-an (Feferman 2005). Dia menyadari bahwa strategi
Weyl itu bisa iterasi ke transfnite. Juga yang set angka yang dapat didefnisikan
dengan

menggunakan

kuantifkasi

atas

set

yang

Weyl

dianggap

sebagai

predicatively dibenarkan, harus dihitung sebagai predicatively diterima, dan
sebagainya. Proses ini dapat diperbanyak di sepanjang jalur ordinal. Jalan ini
membentang sejauh ordinal ke transfnite sebagai predikatif ordinals mencapai, di
mana ordinal adalah predikatif jika mengukur panjang yang dapat dibuktikan baik
pemesanan alam nomor. Ini kalibrasi kekuatan matematika predikatif, yang karena
Feferman dan (independen) Schutte, dewasa ini cukup berlaku umum. Feferman
kemudian diteliti berapa banyak analisis matematis standar dapat dilakukan dalam
kerangka

predicativist. Penelitian

Feferman

dan

lain-lain

(terutama

Harvey

Friedman) menunjukkan bahwa sebagian besar analisis abad kedua puluh dapat
diterima

dari

sudut

pandang

predicativist.

3. Platonisme
Pada tahun-tahun sebelum perang dunia kedua itu menjadi jelas bahwa keberatan
berat telah diajukan terhadap masing-masing dari tiga program anti-Platonis dalam
flsafat matematika.Predicativism adalah pengecualian, tapi pada saat program
tanpa pembela. Dengan demikian ruang diciptakan untuk suatu minat baru dalam

prospek pandangan platonistic tentang sifat matematika. Pada konsepsi platonistic,
materi pelajaran matematika terdiri dari entitas abstrak.
3.1 Gödel's Platonisme
Gödel adalah seorang Platonis berkenaan dengan objek matematika dan dalam
kaitannya dengan konsep-konsep matematika (Gödel 1944, 1964). Tapi melihat
platonistic nya lebih canggih daripada matematikawan di jalan.
Gödel menyatakan bahwa ada paralelisme kuat antara teori-teori yang masuk akal
objek matematika dan konsep-konsep di satu sisi, dan teori masuk akal benda fsik
dan properti di sisi lain.Seperti benda-benda fsik dan sifat, objek matematika dan
konsep yang tidak dibangun oleh manusia. Seperti benda-benda fsik dan sifat,
objek matematika dan konsep yang tidak dapat direduksi kepada badan
mental. Matematika objek dan konsep adalah sebagai tujuan sebagai objek fsik
dan sifat. Matematika objek dan konsep adalah, seperti benda-benda fsik dan sifat,
didalilkan dalam rangka untuk mendapatkan suatu teori yang memuaskan dari
pengalaman kami. Memang, dengan cara yang analog dengan hubungan persepsi
kita untuk benda-benda fsik dan sifat, melalui intuisi matematika kita berdiri dalam
suatu hubungan kuasi-persepsi dengan objek dan konsep matematika.Persepsi kita
tentang objek fsik dan konsep bisa salah dan dapat diperbaiki. Dengan cara yang
sama, intuisi matematika tidak bodoh-bukti - sebagai sejarah Frege Dasar Hukum V
menunjukkan - tetapi dapat dilatih dan ditingkatkan. Tidak seperti benda-benda
fsik dan sifat, benda-benda matematis tidak ada dalam ruang dan waktu, dan
konsep-konsep
intuisi

matematika

matematika

kami

tidak

instantiated

memberikan

bukti

dalam

ruang

intrinsik

untuk

atau

waktu.

prinsip-prinsip

matematika. Hampir semua pengetahuan matematika kita bisa dideduksi dari
aksioma Zermelo-Fraenkel Teori himpunan dengan Aksioma of Choice (ZFC). Dalam
pandangan Gödel, kita memiliki bukti intrinsik yang meyakinkan untuk kebenaran
aksioma ini. Tapi ia juga khawatir bahwa intuisi matematis mungkin tidak cukup
kuat untuk memberikan bukti yang menarik bagi aksioma yang secara signifkan
melebihi

kekuatan

ZFC.

Selain dari bukti intrinsik, adalah dalam pandangan Gödel juga mungkin untuk
memperoleh bukti ekstrinsik untuk prinsip-prinsip matematika. Jika prinsip-prinsip
matematika yang sukses, kemudian, bahkan jika kami tidak dapat memperoleh
bukti intuitif bagi mereka, mereka mungkin dianggap sebagai mungkin benar.Gödel
mengatakan bahwa "sukses di sini berarti berbuah di konsekuensi, terutama di
'diverifkasi' konsekuensi, yaitu konsekuensi diverifkasi tanpa aksioma baru, yang
bukti-bukti dengan bantuan dari aksioma baru, bagaimanapun, adalah jauh lebih
sederhana dan lebih mudah untuk menemukan, dan yang membuat mungkin untuk
kontrak menjadi satu bukti banyak berbeda bukti [...] Tidak mungkin ada aksioma

sangat banyak di konsekuensi diverifkasi mereka, shedding cahaya begitu banyak
di seluruh bidang, seperti menghasilkan metode yang kuat untuk memecahkan
masalah [...] itu, tidak peduli atau tidak mereka secara intrinsik perlu, mereka
harus diterima sedikitnya dalam arti sama dengan teori fsika yang mapan "(Gödel
1947, 477). Gödel ini terinspirasi untuk mencari aksioma baru yang dapat ekstrinsik
termotivasi dan yang dapat memutuskan pertanyaan-pertanyaan seperti hipotesis
kontinum, yang sangat independen dari ZFC (lih. Bagian 5.1).
Gödel Hilbert berbagi keyakinan bahwa semua pertanyaan matematika memiliki
jawaban yang pasti. Tapi Platonisme dalam flsafat matematika tidak boleh
dianggap ipso facto berkomitmen untuk memegang bahwa semua dalil set-teoretis
memiliki nilai kebenaran tentu. Ada versi Platonisme yang menjaga, misalnya,
bahwa semua teorema ZFC dibuat benar oleh fakta set-teoritis menentukan, tetapi
bahwa tidak ada fakta set-teori yang membuat pernyataan tertentu yang sangat
independen dari ZFC kebenaran-tentu. Tampaknya set teori terkenal Paul Cohen
diadakan beberapa pandangan seperti (Cohen 1971).
3.2 aaturalisme dan Indispensability
Quine diartikulasikan kritik metodologis flsafat tradisional. Dia menyarankan
metodologi flosofs yang berbeda daripada yang telah menjadi dikenal sebagai
naturalisme (Quine 1969). Menurut naturalisme, teori-teori kita yang terbaik adalah
teori ilmiah terbaik kami. Jika kita ingin mendapatkan jawaban terbaik yang
tersedia untuk pertanyaan flosofs seperti Apa yang kita ketahui? dan yang jenis
entitas ada?, kita seharusnya tidak menarik bagi teori epistemologis dan metafsik
tradisional. Kita juga harus menahan diri dari memulai penyelidikan epistemologis
atau metafsik fundamental mulai dari prinsip-prinsip pertama. Sebaliknya, kita
harus berkonsultasi dan menganalisis teori-teori ilmiah yang terbaik. Mereka berisi,
meskipun seringkali secara implisit, rekening kami saat ini terbaik dari apa yang
ada, apa yang kita tahu, dan bagaimana kita tahu itu.
Putnam diterapkan sikap naturalistik Quine untuk ontologi matematika (Putnam
1972). Sejak Galileo, teori-teori kita terbaik dari ilmu-ilmu alam secara matematis
dinyatakan. Teori gravitasi aewton, misalnya, sangat bergantung pada teori klasik
dari

bilangan

real. Jadi

komitmen

ontologis

terhadap

entitas

matematika

tampaknya melekat pada teori-teori ilmiah terbaik kami. Garis penalaran ini bisa
diperkuat oleh menarik tesis Quinean dari holisme confrmational. Bukti empiris
tidak

memberikan

kekuasaan

konfrmatori

pada

setiap

hipotesis

satu

orang. Sebaliknya, pengalaman global menegaskan teori di mana hipotesis individu
tertanam. Karena teori matematika adalah bagian dan bingkisan dari teori-teori
ilmiah, mereka juga sudah dikonfrmasi oleh pengalaman. Jadi, kami telah
konfrmasi

empiris

untuk

teori

matematika. Bahkan

lebih

muncul

benar. Tampaknya bahwa matematika sangat diperlukan untuk teori-teori ilmiah
terbaik kami: itu sama sekali tidak jelas bagaimana kita bisa mengekspresikan

mereka tanpa menggunakan kosa kata matematika. Oleh karena itu sikap naturalis
memerintahkan kita untuk menerima entitas matematika sebagai bagian dari
ontologi flosofs kita. Baris ini argumentasi disebut argumen indispensability
(Colyvan 2001).
Jika kita mengambil matematika yang terlibat dalam teori-teori ilmiah yang terbaik
pada

nilai

nominalnya,

maka

kita

tampaknya

berkomitmen

untuk

bentuk

Platonisme. Tetapi merupakan bentuk yang lebih sederhana Platonisme dari
Platonisme Gödel's. Untuk tampak bahwa ilmu alam dapat bertahan dengan
(sekitar) fungsi ruang di bilangan real. Daerah yang lebih tinggi teori himpunan
transfnite tampaknya sangat tidak relevan bahkan teori-teori kita paling maju
dalam ilmu alam. aamun demikian, Quine pikir (di beberapa titik) bahwa set yang
didalilkan oleh ZFC dapat diterima dari sudut pandang naturalistik, mereka dapat
dianggap sebagai pembulatan murah hati-of dari matematika yang terlibat dalam
teori-teori ilmiah kita. Quine penilaian tentang masalah ini tidak diterima secara
universal. Feferman, misalnya, berpendapat bahwa semua teori matematika yang
pada dasarnya digunakan dalam teori-teori ilmiah saat ini yang terbaik adalah
predicatively

direduksi

(Feferman

2005).

Dalam flsafat Quine's, ilmu-ilmu alam adalah penengah utama tentang keberadaan
dan kebenaran matematika matematika. Hal ini menyebabkan Charles Parsons ke
objek bahwa gambar ini membuat kejelasan matematika dasar agak misterius
(Parsons 1980). Sebagai contoh, pertanyaan apakah setiap nomor alamiah memiliki
penerus akhirnya tergantung, dalam pandangan Quine, pada teori empiris yang
terbaik, namun entah bagaimana fakta ini muncul lebih cepat dari itu. Dalam
semangat yang sama, catatan Maddy bahwa matematikawan tidak menganggap
diri mereka berada dalam cara apapun dibatasi dalam kegiatan mereka dengan
ilmu-ilmu alam. Memang, orang mungkin bertanya-tanya apakah matematika tidak
harus dianggap sebagai ilmu dalam dirinya sendiri, dan apakah komitmen ontologis
matematika tidak harus dinilai bukan berdasarkan metode rasional yang tersirat
dalam praktek matematika.
Termotivasi oleh pertimbangan, Maddy berangkat untuk menyelidiki standar
eksistensi tersirat dalam praktek matematika, dan ke dalam komitmen ontologis
implisit matematika yang mengikuti dari standar (Maddy 1990). Dia difokuskan
pada teori himpunan, dan pada pertimbangan metodologis yang dibawa untuk
menanggung oleh komunitas matematika pada pertanyaan yang aksioma-kardinal
besar dapat diambil untuk menjadi kenyataan. Jadi pandangannya lebih dekat
dengan yang Gödel dibandingkan dengan yang Quine. Dalam karyanya yang lebih
baru, dia isolat dua pepatah yang tampaknya akan membimbing teori set ketika
merenungkan prinsip penerimaan set-teori baru: menyatukan dan memaksimalkan
(Maddy 1997). Pepatah itu "menyatukan" adalah dorongan bagi teori himpunan
untuk menyediakan sistem tunggal di mana semua objek matematika dan semua

struktur

matematika

dapat

instantiated

atau

dimodelkan. pepatah

The

"memaksimalkan" berarti bahwa teori himpunan harus mengadopsi prinsip-prinsip
teoritis

set-yang

sebagai

kuat

dan

berbuah

matematis

mungkin.

3.3 mengempis Platonisme
Bernays mengamati bahwa ketika seorang matematikawan sedang bekerja dia
"naif" memperlakukan benda-benda dia berurusan dengan cara platonistic. Setiap
matematikawan bekerja, katanya, adalah sebuah Platonis (Bernays 1935). Tetapi
ketika matematikawan adalah tertangkap tugas oleh seorang flsuf yang kuis
tentang komitmen ontologis, ia cenderung untuk kaki shufe dan menarik diri ke
posisi non-platonistic samar-samar. Ini telah diambil oleh beberapa orang untuk
menunjukkan bahwa ada sesuatu yang salah dengan pertanyaan-pertanyaan
flosofs tentang sifat objek matematika dan pengetahuan matematika.
Carnap memperkenalkan perbedaan antara pertanyaan yang internal untuk
kerangka kerja dan pertanyaan-pertanyaan yang bersifat eksternal dengan
kerangka kerja (Carnap 1950). Tait telah bekerja secara rinci bagaimana hal seperti
perbedaan

ini

dapat

diterapkan

untuk

matematika

(Tait

2005). Ini

telah

menghasilkan apa yang mungkin dianggap sebagai versi defasi dari Platonisme.
Menurut Tait, pertanyaan keberadaan entitas matematika hanya dapat diminta
bijaksana dan cukup menjawab dari dalam (aksiomatik) kerangka matematis. Jika
seseorang bekerja di teori bilangan, misalnya, maka kita dapat bertanya apakah
ada bilangan prima yang memiliki properti tertentu. Pertanyaan semacam ini
kemudian akan diputuskan atas dasar murni matematika.
Filsuf memiliki kecenderungan untuk langkah di luar kerangka matematika dan
bertanya "dari luar" apakah objek matematika benar-benar ada dan apakah
proposisi matematika adalah benar.Dalam pertanyaan ini mereka meminta supradasar matematika atau metafsik untuk kebenaran matematika dan klaim
eksistensi.Tait berpendapat bahwa sulit untuk melihat bagaimana akal dapat dibuat
pertanyaan eksternal seperti. Dia mencoba untuk menurunkan mereka, dan
membawa mereka kembali ke tempat mereka berada: untuk berlatih matematika
itu sendiri. Tentu saja tidak semua orang setuju dengan Tait pada titik ini. Linsky
dan Zalta telah mengembangkan cara sistematis menjawab tepat jenis pertanyaan
eksternal yang Tait pendekatan dengan jijik (Linsky & Zalta 1995).
Ia datang tidak mengejutkan bahwa Tait memiliki sedikit digunakan untuk menarik
Gödelian untuk intuisi matematika dalam flsafat matematika, atau untuk tesis
flosofs bahwa obyek matematika ada "di luar ruang dan waktu". Secara umum,
Tait berpendapat bahwa matematika tidak memerlukan landasan flosofs, ia ingin
membiarkan matematika berbicara sendiri.Dalam hal ini, posisinya mengingatkan
pada (dalam arti Wittgensteinian) sikap ontologis alam yang dianjurkan oleh Arthur
Fine dalam perdebatan realisme dalam flsafat ilmu.

3.4 Benacerraf's epistemologis Masalah
Benacerraf dirumuskan masalah epistemologis untuk berbagai posisi platonistic
dalam flsafat ilmu (Benacerraf 1973). Argumen ini secara khusus ditujukan
terhadap rekening intuisi matematika seperti yang dari Gödel. argumen Benacerraf
dimulai dari premis bahwa teori terbaik kita pengetahuan adalah teori kausal
pengetahuan. Hal ini kemudian dicatat bahwa menurut Platonisme, benda-benda
abstrak

tidak

spasial

atau

temporal

lokal,

sedangkan

daging-dan-darah

matematikawan secara spasial dan temporal lokal. Teori terbaik epistemologis kami
kemudian memberitahu kita bahwa pengetahuan entitas matematika harus
dihasilkan dari interaksi kausal dengan entitas tersebut. Tapi sulit membayangkan
bagaimana ini bisa terjadi.
Hari ini beberapa epistemologists berpendapat bahwa teori kausal pengetahuan
adalah teori pengetahuan terbaik kami. Tapi ternyata bahwa masalah Benacerraf
adalah sangat kuat di bawah variasi teori epistemologis. Sebagai contoh, mari kita
asumsikan demi argumen bahwa reliabilism adalah teori pengetahuan terbaik
kami. Kemudian masalah menjadi untuk menjelaskan bagaimana kita berhasil
mendapatkan kepercayaan yang dapat diandalkan tentang entitas matematika.
Hodes telah merumuskan varian semantical masalah epistemologis Benacerraf's
(Hodes 1984). Menurut teori kami saat ini terbaik dari referensi, koneksi kausalhistoris antara manusia dan dunia concreta memungkinkan kata-kata kita untuk
merujuk kepada badan fsik dan sifat. Menurut Platonisme, matematika mengacu
pada entitas abstrak. Platonis Karena itu berhutang kita account masuk akal
tentang bagaimana kita (secara fsik diwujudkan manusia) dapat merujuk kepada
mereka.Di wajah itu, tampak bahwa teori kausal acuan tidak akan mampu untuk
memasok kita dengan account yang dibutuhkan dari 'mikro acuan' wacana
matematika.
3.5 Plenitudinous Platonisme
Sebuah versi dari Platonisme telah dikembangkan yang dimaksudkan untuk
memberikan solusi untuk masalah epistemologis Benacerraf's (Linsky & Zalta 1995;
Balaguer 1998).Posisi ini dikenal sebagai plenitudinous Platonisme. Tesis sentral
dari teori ini adalah bahwa setiap teori matematika secara logis konsisten harus
mengacu pada suatu entitas abstrak. Apakah matematika yang dirumuskan teori
tahu bahwa itu merujuk atau tidak tahu ini, sebagian besar material. Dengan
menghibur sebuah teori matematis yang konsisten, matematika secara otomatis
memperoleh pengetahuan tentang subyek teori. Jadi, pada pandangan ini, tidak
ada masalah epistemologis untuk memecahkan lagi.
Dalam versi Balaguer's, Platonisme plenitudinous mendalilkan aneka ragam alam
semesta

matematika,

masing-masing

sesuai

dengan

teori

matematika

konsisten. Jadi, pertanyaan seperti masalah kontinum tidak menerima jawaban
yang unik: di beberapa set alam semesta teoritis hipotesis kontinum memegang, di

lain itu gagal terus. aamun, tidak semua orang setuju bahwa gambar ini dapat
dipertahankan. Martin telah dikembangkan argumen untuk menunjukkan bahwa
alam semesta beberapa dapat selalu "akumulasi" ke dalam alam semesta tunggal
(Martin 2001).
Dalam versi Linsky dan Zalta tentang Platonisme plenitudinous, entitas matematika
yang dipostulasikan oleh teori matematika yang konsisten telah persis sifat
matematika

yang

dikaitkan

kepadanya

oleh

teori. Entitas

abstrak

yang

berhubungan dengan ZFC, misalnya, adalah parsial dalam arti bahwa hal itu tidak
membuat hipotesis kontinum benar atau salah. Alasannya adalah bahwa ZFC tidak
memerlukan hipotesis kontinum ataupun penyangkalan. Ini tidak berarti bahwa
semua cara konsisten memperluas ZFC berada di setara. Beberapa cara mungkin
akan berbuah dan kuat, yang lain kurang begitu. Tapi melihat tidak menyangkal
bahwa cara-cara yang konsisten tertentu memperluas ZFC yang lebih baik karena
mereka terdiri dari prinsip-prinsip sejati sedangkan yang lain mengandung prinsipprinsip palsu.
4. Strukturalisme dan aominalisme
pekerjaan Benacerraf's termotivasi flsuf untuk mengembangkan kedua teori
strukturalis dan nominalis dalam flsafat matematika (Reck & Harga 2000). Dan
sejak

1980-an,

kombinasi

strukturalisme

dan

nominalisme

juga

telah

dikembangkan.
4.1 Bilangan Apa yang Tidak Bisa Jadi
Seolah-olah saddling Platonisme dengan satu masalah sulit tidak cukup (Bagian
3.4), Benacerraf

merumuskan suatu

tantangan bagi Platonisme set-teoritis

(Benacerraf 1965). Tantangan mengambil formulir berikut.
Terdapat tak terhingga banyak cara mengidentifkasi bilangan asli dengan set
murni. Mari kita membatasi, tanpa kehilangan penting dari umum, diskusi kami
dengan dua cara seperti:
I:
0=∅
1 = {∅}
2 = {{∅}}
3 = {{{∅}}}
...
II:
0=∅
1 = {∅}
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

...
Pertanyaan sederhana yang Benacerraf bertanya adalah:
Yang ini hanya terdiri laporan identitas sejati: I atau II?
Sepertinya sangat sulit untuk menjawab pertanyaan ini. Hal ini tidak sulit untuk
melihat bagaimana fungsi pengganti dan penambahan dan operasi perkalian dapat
didefnisikan pada calon nomor I dan nomor calon II sehingga semua laporan
aritmetika yang kita ambil untuk menjadi kenyataan keluar benar.Memang, jika hal
ini dilakukan dengan cara yang alami, maka kita sampai pada struktur isomorfk
(dalam arti teoritis set-kata), dan struktur isomorfk membuat kalimat yang sama
benar (mereka elementarily setara). Hanya ketika kita mengajukan pertanyaan
ekstra-aritmatika, seperti 1 ∈ 3? bahwa dua account dari alam nomor menghasilkan
jawaban divergen. Jadi tidak mungkin bahwa kedua rekening sudah benar. Menurut
cerita saya, 3 = {{{∅}}}, padahal menurut cerita II, 3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}. Jika
kedua account itu benar, maka transitivitas identitas akan menghasilkan kesalahan
set-teori

murni.

Menyimpulkan, kita sampai pada situasi berikut. Di satu sisi, ada tampaknya tidak
ada alasan mengapa satu account lebih unggul dari yang lain. Di sisi lain, account
tidak bisa keduanya benar.keadaan ini kadang-kadang disebut label identifkasi
masalah Benacerraf's.
Kesimpulan yang tepat untuk menarik dari teka-teki ini tampaknya bahwa akun
saya atau akun II adalah benar. Karena pertimbangan serupa akan muncul dari
membandingkan upaya akal-mencari lain untuk mengurangi jumlah alami untuk
set, tampak bahwa bilangan asli tidak set setelah semua. Jelas, apalagi, bahwa
argumen

yang

sama

dapat

dirumuskan

untuk

nomor

rasional,

bilangan

real, ....Benacerraf menyimpulkan bahwa mereka juga, tidak set sama sekali.
Ini sama sekali tidak jelas apakah Gödel, misalnya, berkomitmen untuk mengurangi
angka alami untuk set murni. Tampaknya Platonis harus bisa menegakkan klaim
bahwa angka-angka alam dapat tertanam ke alam semesta set-teori sambil
mempertahankan bahwa embedding tidak harus dilihat sebagai pengurangan
ontologis. Memang, kita telah melihat bahwa pada account Platonis plenitudinous
Linsky dan Zalta's, alam nomor tidak memiliki sifat luar yang diberikan ke mereka
dengan teori kita dari alam nomor (Peano aritmatika). Tapi tampaknya Platonis
harus mengambil garis yang sama sehubungan dengan angka rasional, bilangan
kompleks, .... Sedangkan mempertahankan bahwa angka-angka alam sui generis
diakui

memiliki

daya

tarik

beberapa,

mungkin

kurang

alami

untuk

mempertahankan bahwa bilangan kompleks, misalnya, juga sui generis. Dan,
bagaimanapun, bahkan jika nomor alam, bilangan kompleks, ... yang dalam arti
tertentu tidak dapat direduksi ke sesuatu yang lain, seseorang mungkin bertanyatanya apakah ada cara lain untuk menjelaskan sifat mereka.

4.2 Ante Rem Strukturalisme
Shapiro menarik pembedaan yang bermanfaat antara teori matematika aljabar dan
non-aljabar (Shapiro 1997). Kira-kira, teori non-aljabar adalah teori yang muncul
pada pandangan pertama tentang model unik: model dimaksudkan teori. Kita telah
melihat contoh teori seperti: aritmatika, analisis matematis .... teori aljabar,
sebaliknya, tidak membawa tuntutan prima facie untuk menjadi tentang model
unik. Contohnya adalah teori grup, topologi, teori graph, ....
tantangan Benacerraf bisa dipasang untuk objek yang non-aljabar teori muncul
untuk menggambarkan. aamun tantangan tidak berlaku untuk teori aljabar. teori
aljabar tidak tertarik pada objek matematika per se, mereka tertarik pada aspek
struktural objek matematika. Benacerraf ini menyebabkan berspekulasi apakah
sama tidak bisa benar juga teori non-aljabar. Mungkin pelajaran yang bisa ditarik
dari masalah identifkasi Benacerraf adalah bahwa bahkan aritmatika tidak
menggambarkan benda-benda matematis tertentu, tetapi hanya menjelaskan
hubungan struktural?
Shapiro dan Resnik berpendapat bahwa semua teori matematika, bahkan yang
non-aljabar, menjelaskan struktur. Posisi ini dikenal sebagai strukturalisme (Shapiro
1997; Resnik 1997). Struktur terdiri dari tempat-tempat yang berdiri dalam
hubungan

struktural

satu

sama

lain. Dengan

demikian,

derivatively,

teori

matematika menjelaskan tempat atau posisi dalam struktur. Tapi mereka tidak
menggambarkan objek. aomor 3, misalnya, akan pada pandangan ini tidak menjadi
obyek tetapi tempat dalam struktur alam nomor.
Sistem instantiations struktur. Sistem yang instantiate struktur yang dijelaskan oleh
teori non-aljabar isomorfk satu sama lain, dan dengan demikian, untuk tujuan
teori, sama baiknya. Sistem I dan II yang dijelaskan dalam Bagian 4.1 dapat dilihat
sebagai instantiations dari struktur alam nomor. Set {{{∅}}} dan {∅, {∅}, {∅,
{∅}}} sama-sama cocok untuk memainkan peran nomor tiga.Tapi satu tidak
adalah nomor 3. Untuk nomor 3 merupakan tempat terbuka di struktur alam
nomor, dan tempat ini terbuka tidak memiliki struktur internal. Sistem biasanya
berisi properti atas dan di atas mereka yang relevan untuk struktur yang mereka
dibawa ke instantiate.
pertanyaan identitas Masuk akal adalah mereka yang bisa diajukan dari dalam
struktur. Mereka adalah pertanyaan-pertanyaan yang dapat dijawab berdasarkan
aspek struktural struktur. pertanyaan Identitas yang melampaui struktur tidak
masuk akal. Satu dapat mengajukan pertanyaan apakah 3, ∈ 4 tetapi tidak
cogently: pertanyaan ini melibatkan kesalahan kategori.Pertanyaan campuran dua
struktur yang berbeda: ∈ adalah gagasan set-teoritis, sedangkan 3 dan 4 adalah
tempat di struktur alam nomor. Hal ini tampaknya merupakan jawaban yang
memuaskan untuk tantangan Benacerraf's.
Dalam pandangan Shapiro, struktur ontologis tidak tergantung pada keberadaan
sistem yang instantiate mereka. Bahkan jika tidak ada sistem yang tak terbatas

dapat ditemukan di alam, struktur dari alam nomor akan ada. Jadi struktur sebagai
Shapiro memahami mereka adalah abstrak, entitas platonis. merek Shapiro
strukturalisme sering dicap strukturalisme rem ante.
Dalam

buku

teks

pada

teori

himpunan

kita

juga

menemukan

gagasan

struktur. Secara kasar, defnisi set-teoritis mengatakan bahwa struktur adalah
memerintahkan n-tuple yang terdiri dari satu set, sejumlah hubungan di set ini, dan
sejumlah elemen dibedakan dari himpunan ini. Tapi ini tidak dapat gagasan
struktur yang strukturalisme dalam flsafat matematika dalam pikiran. Untuk
gagasan set-teori struktur mengandaikan konsep set, yang menurut strukturalisme,
harus sendiri dijelaskan secara struktural.Atau, untuk menempatkan titik berbeda,
struktur set-teoritis hanyalah sebuah sistem yang instantiates struktur yang
ontologis sebelum itu.
Tampaknya ante strukturalisme rem menjelaskan pengertian struktur dengan cara
yang agak melingkar. susunan A digambarkan sebagai tempat yang berdiri dalam
hubungan satu sama lain, tetapi tempat yang tidak dapat digambarkan secara
independen dari struktur mana ia berasal. aamun ini belum tentu masalah. Untuk
strukturalis rem ante, gagasan struktur adalah konsep primitif, yang tidak dapat
didefnisikan dalam istilah yang lebih mendasar lainnya. Paling-paling, kita dapat
membangun sebuah teori aksiomatik struktur matematika.
Tapi masalah epistemologis Benacerraf masih tampaknya mendesak. Struktur dan
tempat-tempat dalam struktur mungkin tidak objek, tetapi mereka adalah
abstrak. Jadi, adalah wajar untuk bertanya-tanya bagaimana kita berhasil dalam
mendapatkan pengetahuan dari mereka. Masalah ini telah diambil oleh flsuf
tertentu sebagai alasan untuk mengembangkan teori nominalis matematika dan
kemudian untuk mendamaikan teori ini dengan prinsip dasar strukturalisme.
4.3 Matematika Tanpa Entitas Abstrak
Goodman dan Quine mencoba awal menggigit peluru dan memulai sebuah proyek
untuk merumuskan teori dari ilmu pengetahuan alam tanpa memanfaatkan entitas
abstrak (Goodman & Quine 1947). Rekonstruksi nominalistic teori-teori ilmiah
terbukti menjadi tugas yang sulit. Quine, untuk satu, ditinggalkan setelah upaya
awal ini. Dalam dekade terakhir banyak teori telah diajukan yang dimaksudkan
untuk memberikan rekonstruksi nominalistic matematika. Burgess & Rosen 1997
berisi diskusi kritis baik dari pandangan tersebut.
Dalam rekonstruksi nominalis matematika, entitas beton akan harus memainkan
peran yang entitas abstrak bermain di rekening platonistic matematika. Tapi di sini
masalah muncul. Sudah Hilbert mengamati bahwa, mengingat diskritisasi alam
dalam mekanika kuantum, ilmu-ilmu alam mungkin di akhir mengklaim bahwa
hanya ada e