BAB III Matrik dan Relasi

Matrik dan Relasi
Oleh Devie Rosa Anamisa

Matriks
• Di dalam MD, matriks digunakan
untuk merepresentasikan struktur
diskrit
• Struktur diskrit adalah struktur
matematika abstrak yang digunakan
untuk merepresentasikan objek-objek
diskrit dan hubungan antara objekobjek tersebut
2

• Struktur diskrit yang di
representasikan dengan matrik
antara lain relasi, graf dan pohon

3

defnisi
• Matriks adalah susunan skalar

elemen-elemen dalam bentuk baris
dan kolom.
• Matriks A yang berukuran dari m baris
dan n kolom (m x n) adalah :

4

a11 a12 .... a1n 


a21 a22 .... a2 n 

A


 


am1 am 2 .... amn 
5

Macam-macam matriks
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Matriks
Matriks
Matriks
Matriks
Matriks
Matriks

diagonal
identitas
segitiga atas bawah
Transpose

Simetri
0/1

6

Matriks diagonal
• Matriks bujur sangkar dengan aij = 0
untuk i ≠ j
• Seluruh elemen tidak terdapat pada
posisi i ≠ j bernilai 0
• Matrik diagonal adalah matriks bujur
sangkar dimana semua elemen
kecuali diagonal utama adalah nol.

7

2. Matriks Identitas
• Matriks identitas dilambangkan
dengan I, adalah matriks diagonal
dengan semua elemen diagonal = 1

• Matrik identitas adalah matriks
diagonal dimana semua elemen pada
diagonal utama adalah 1.

8

3. Matriks segitiga atas
/bawah
• Matrik yang elemen-elemen di
atas/di bawah diagonal bernilai 0,
yaitu aij = 0 , jika ij)
• Matriks segitiga atas adalah matriks
dimana semua elemen dibawah
diagonal utama adalah nol.
• Matriks segitiga bawah adalah
matriks dimana semua elemen diatas
diagonal utama adalah nol.
9

4. Matriks tranpose

• Matriks yang diperoleh dengan
mempertukarkan baris-baris dan
kolom-kolom.
• Misalkan A=[aij] berukuran m x n,
maka transpose dari matriks A ditulis
AT, adalah matriks n x m yang dalam
hal ini jika AT=[bij] maka bij = aij
untuk I = 1,2,…n dan j = 1,2,…m
10

5. Matriks Simetri
• A adalah matriks simetri jika AT=A
yaitu jika aij = aji untuk setiap I dan j
• Pada matriks simetri elemen di
bawah diagonal adalah hasil
pencerminan dari elemen di atas
diagonal terhdap sumbu diagonal
matriks

11

6. Matriks 0/1
• Adalah matriks yang setiap
elemennya hanya bernilai 0 atau 1
• Matriks ini banyak digunakan untuk
merepresentasikan relasi
keterhubungan

12

Operasi Pada Matriks
• Penjumlahan dua buah matriks
• Defnisi. A dan B adalah suatu dua
matriks yang ukurannya sama, maka
jumlah A + B adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan bersamasama entri yang seletak/bersesuaian
dalam kedua matriks tersebut. Matriksmatriks yang ordo/ukurannya berbeda
tidak dapat ditambahkan.

13

Perkalian dua buah matriks
• Defnisi. Jika A adalah matriks m x r dan B
adalah matriks r x n, maka hasil kali AB
adalah matriks m x n yang entri-entrinya
ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari
entri dalam baris i dan kolom j dari AB,
pilihlah baris I dari matriks A dan kolom j
dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang
bersesuaian dari baris dan kolom tersebut
bersama-sama kemudian tambahkanlah
hasil kali yang dihasilkan.

14

15

Sifat sifat yang berlaku pada
perkalian matriks

16

Perkalian matriks dengan
skalar
• Misal k adalah sebuah skalar
• Perkalian matriks A dengan skalar k
adlah mengalikan setiap elemen
matriks dengan k

17

Defnisi Relasi
• Hubungan antara elemen himpunan dengan
elemen himpunan lain
• Relasi (R) dari himpunan X ke himpunan Y adalah
sebuah sub himpunan dari hasil kali X.Y.
– Maka himpunan X atau x Є X | (x,y) Є R untuk beberapa
y Є Y disebut daerah asal (domain).
– Kemudian himpunan Y atau y Є Y | (x,y) Є R untuk
beberapa x Є X disebut daerah kawan (kodomain)

– Sedangkan daerah hasil (range) adalah himpunan relasi
dari himpunan X dan himpunan Y adalah X.Y

• Contoh:
– X ={Bill,Marry,Beta,Dave}
– Y ={Ilmu komputer, Matematika, Seni,
sejarah} maka relasi X.Y adalah
R={(Bill,ilmu komputer),
(Marry,Matematika),(Bill,Seni),
(Beta,Sejarah),(Beta,ilmu komputer),
(Dave,Matematika)}

Representasi Relasi
• Ada 3 cara untuk penyajian:
– Tabel
– Matrik
– Grafk berarah

Bentuk Tabel
• Misal : X ={2,3,4}, Y={3,4,5,6,7} jika

didefnisikan relasi R dari X ke Y dengan (x,y)
Є R, jika X membagi Y (tanpa sisa) maka R
adalah:{(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)}, untuk
bentuk tabel:

Bentuk Matrik
• Misalkan R adalah relasi dari A ={a,b,...z} dan
B={1,2,...,100}. Relasi R dapat disajikan
dengan matrik M=[mij].
• M=

• Dengan kata lain, elemen matrik pada posisi
(I,j) bernilai 1 jika A dihubungkan dengan B dan
bernilai 0 jika A tidak dihubungkan dengan B.

Contoh Matrik
• A = {Amir,Budi,Cecep}
• B={IF221,IF251,IF342,IF323}
R={(Amir,IF251),(Amir,IF323),(Budi,IF221),
(Budi,251),(Cecep,IF323)}, maka matriknya:

R=

Bentuk Graf Berarah
• Merupakan representasi relasi secara grafs
• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan
sebuah titik (simpul) dan tiap pasangan
terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang
arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
• Contoh :
– R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),
(d,b)}, maka representasinya:

Mengkombinasikan Relasi
•

Jika R1 dan R2 merupakan relasi dari himpunan A ke
himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 U R2, dan sebagainya.
• Contoh :
A ={a,b,c} dan B={a,b,c,d}, Relasi R1={(a,a),(b,b),(c,c)}
dan relasi R2={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A
ke B. Kombinasi relasi :
R1 ∩ R2 ={(a,a)}
R1 U R2 ={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
R1 – R2= {(b,b),(c,c)}
R2 – R1={(a,b),(a,c),(a,d)}
R1 + R2 = (R1 U R2)-(R1 ∩ R2) ={(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),
(a,d)}

Komposisi Relasi
•

Komposisi R dari S, dinotasikan dengan RoS adalah relasi
A ke C yang didefnisikan oleh:
RoS ={(a,c)| a Є A, c Є C}, dimana b Є B, (a,b) Є R dan
(b,c) Є S.
• Contoh:
R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari
himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S={(2,u),
(u,s),(4,t),(6,t),(8,4)} dan relasi dari himpunan {2,4,6,8}
ke himpunan {s,t,u} maka komposisi relasi R dan S
adalah
RoS ={(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Soal
1. P={2,4,8,9,15} dan Q={2,3,4}.
Defnisikan bahwa R jika P habis
dibagi Q.
Jawab:
R={(2,2),(4,2),(4,4),(8,4),(9,3),
(15,3)}

2. Berapa relasi (R) pada x={1,2,3,4} dengan
didefnisikan oleh (x,y) Є R jika x ≤ y, x, y Є x !
3. Gambarkan graf pada relasi (R) pada soal 2!
4. R adalah relasi pada A={2,3,4,8,9} yang
didefnisikan oleh (x,y) Є R, jika x adalah faktor
prima dari Y.
a. Berapa R!
b. Gambarkan matriks
5. Tuliskan relasi sebagai himpunan pasangan
terurut:

6. R adalah relasi pada A ={1,2,3,4} jika
didefnisikan oleh “ X lebih kecil dari Y”!
7. Tentukan Invers dari R (R^-1) dari relasi pada soal
6!
8. R adalah relasi dari A={1,2,3,4} ke B={x,y,z}
didefnisikan oleh:
R={(1,y),(1,z),(3,y),(4,x),(4,z)}
a. Tentukan domain dan range dari R!
b. Tentukan relasi invers dari R (R^-1) !

9. Buatlah diagram panah untuk sebuah relasi dari
himpunan berhingga A ke himpunan berhingga B.
R={(1,y),(1,z),(3,y),(4,x),(4,z)}!
10. S adalah relasi dari A ={Ellen,Stephania,Audrey,Jane}
ke b={ya,tidak} didefnisikan dengan R={(ellen,tidak),
(stephania,ya),(audrey,ya),(jane,tidak)}. Tentukan matrik
M yang mewakili relasi R.
11. R adalah relasi dari X={1,2,3,4} ke Y={a,b,c,d} seperti
ditunjukkan pada berikut:
a. 1 R b
b. 2 R c
c. 3 R a
d. 4 R c

12. A ={1,2,3}, B={a,b,c}, C={x,y,z},
relasi R dari A ke B adalah {(1,b),
(2,a),(2,c)} dan relasi B ke C adalah
{(a,y),(b,x),(c,y),(c,z)}, tentukan
komposisi RoS!
13. A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d} dan
C={x,y,z}. Relasi R dari A ke B
adalah {(1,a),(2,d),(3,a),(3,b),(3,d)},
relasi S dari B ke C adalah {(b,x),
(b,z),(c,y),(d,z)}. Tentukan relasi
RoS?