SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATENKOTA 2004

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2004

  Prestasi itu diraih bukan didapat !!!

SOLUSI SOAL

  Bidang Matematika Disusun oleh : Eddy Hermanto, ST

BAGIAN PERTAMA

  1. (Jawaban : E)

  1

  1

  1 = = − ₂

  1

  2

  2

  

3

  1

  2

  2

  3

  1

  2

  2

  3 ( ) − −

• − − ( )

  ( )( )( )( )

  1 adalah bilangan bulat negatif.

  ∴

  1

  2

  2

  3

  1

  2

  2

  3

• − −

  ( )( )( )( ) Misalkan penamaan titik seperti pada gambar. o

  Pada − (c + e) Æ ∠BFG = c + e

  ∆EFC berlaku ∠EFC = 180

  o

  Pada − (a + d) Æ ∠FGB = a + d

  ∆AGD berlaku ∠AGD = 180

  o o

  Pada Æ (c + e) + (a + d) + (b) = 180 .

  ∆FGB berlaku ∠BFG + ∠FGB + ∠FBG = 180

  o a + b + c + d + e = 180 .

  ∴

  3. (Jawaban : B)

• 16 5000

  4 5000 % % ⋅ ⋅

  Kenaikan harga dari semangkuk bakso dan segelas jus = = 10%

• 5000 5000 ∴ Kenaikan harga dari semangkuk bakso dan segelas jus adalah 10 %.

  4. (Jawaban : ?)

  2

  a < a Æ a(a − 1) < 0 Æ 0 < a < 1.

  2 ∴ Jika a < a maka 0 < a < 1.

  5. (Jawaban : B)

  2

  y = x − 6x + 7 Nilai pada ujung-ujung interval : x = 0 ₂ Æ y = 7 sedangkan x = 4 Æ y = −1

  6

  4

  1

  7 D ( ) ( )( ) − − 2 − = − = −

  4

  4

  1 a ( )

  ∴ Maka ordinat terkecil dan ordinat terbesar adalah −2 dan 7.

  6. (Jawaban : C) Kemungkinan penjumlahan mata dadu sama dengan 6 ada 5, yaitu (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).

  Kemungkinan penjumlahan mata dadu sama dengan 8 ada 5, yaitu (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).

  5 Peluang jumlah

• 5

  angka yang muncul adalah 6 atau 8 =

  36

  10

  ∴ Peluang jumlah angka yang muncul adalah 6 atau 8 =

  36

  7. (Jawaban : D)

  2

  2

  2

  2

  2

2 Karena 0 + 5 = 3 + 4 = 25 maka pasangan (x, y) yang memenuhi ada 12, yaitu (0, 5), (0,

  −5), (5, 0), ( −5, 0), (3, 4), (3, −4), (−3, 4), (−3, −4), (4, 3), (4, −3), (−4, 3) dan (−4, −3). ∴ Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 ada 12.

  8. (Jawaban : C) _{5 5 5}

  k

  5 Karena 5 memiliki angka satuan 5 untuk setiap k asli maka memiliki angka terakhir 5. _{6 6 6} k

  6 Karena 6 memiliki angka satuan 6 untuk setiap k asli maka memiliki angka terakhir 6. _{10 10 10} k

  10 Karena 10 memiliki angka satuan 0 untuk setiap k asli maka memiliki angka terakhir 0.

  1

  8 memiliki angka satuan 8

  2

  8 memiliki angka satuan 4

  3

  8 memiliki angka satuan 2

  4

  8 memiliki angka satuan 6

  5

  8 memiliki angka satuan 8 dst

  4k+i i Maka 8 (mod 10) untuk setiap k dan i bilangan asli. _{8 8} ≡ 8 _{8 8 8}

  4

  8

8 Karena habis dibagi 4 maka memiliki angka satuan yang sama dengan 8 yaitu 6.

  1

  9 memiliki angka satuan 9

  2

  9 memiliki angka satuan 1

  3

  9 memiliki angka satuan 9 dst

  2k+i i Maka 9 ≡ 9 (mod 10) untuk setiap k dan i bilangan asli. _{9 9 9}

  1 k

  _{5 5 5 6 6 6 8 8 9 9 9 10 10 10}

9 Karena 9 ganjil untuk k asli maka memiliki angka satuan yang sama dengan 9 yaitu 9.

  5

  6

  8

  9

  10

  ∴ Maka di antara , , , dan yang angka terakhirnya berturut-turut bukan 5, _{8 8}

  8 6, 8, 9 atau 0 adalah .

  9. (Jawaban : D)

• y x y x

  Misalkan

  k = = = x z z y −

  Maka : y = k(x − z) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) x + y = kz

  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) x = ky ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)

  (1) + (2) + (3) Æ 2(x + y) = k(x + y) Æ k = 2 x x

  2 Karena maka k = = y y x

  ∴ nilai sama dengan 2

  y

  10. (Jawaban : C)

  2 x + 2

  (x = 1 − x − 1)

  Kemungkinan-kemungkinan yang memenuhi adalah :

• x + 2 = 0 Æ x = −2

  2

  (( −2) − (−2) − 1) ≠ 0 maka x = −2 memenuhi

• x − x − 1 = 1 Æ (x − 2)(x + 1) = 0 x = 2 dan x =

  −1 yang keduanya memenuhi

  2

• x − x − 1 = −1 Æ x(x − 1) = 0 Æ x = 0 atau x = 1

  Jika x = 0 maka x + 2 = 2 (bilangan genap). Maka x = 0 memenuhi Jika x = 1 maka x + 2 = 3 (bilangan ganjil). Maka x = 1 tidak memenuhi. Nilai-nilai x yang memenuhi adalah −2, −1, 0 dan 2.

  2 x + 2 ∴ Banyaknya bilangan bulat x yang merupakan solusi dari persamaan (x − x − 1) = 1 ada 4.

  BAGIAN KEDUA 11. 2005 = 5 ⋅ 401 dengan 401 adalah bilangan prima.

  ∴ Faktor prima terbesar dari 2005 adalah 401. 12. ⏐x − 1⏐ + ⏐x − 4⏐ = 2

• Jika x ≤ 1

  Maka ⏐x − 1⏐ = 1 − x dan ⏐x − 4⏐ = 4 − x

  3

  1 − x + 4 − x = 2 Æ x = (memenuhi karena x ≤ 1)

  2

• Jika 1 < x ≤ 4

  Maka ⏐x − 1⏐ = x − 1 dan ⏐x − 4⏐ = 4 − x x − 1 + 4 − x = 2 Æ 3 = 2 (tidak memenuhi kesamaan)

• Jika x > 4

  Maka ⏐x − 1⏐ = x − 1 dan ⏐x − 4⏐ = x − 4

  7

  x − 1 + x − 4 = 2 Æ x = (tidak memenuhi x > 4)

  2

  3 ∴ Nilai x yang memenuhi persamaan ⏐x − 1⏐ + ⏐x − 4⏐ = 2 adalah x = .

  2

  2

  2

  13. 9a = 0 − 12ab + 4b ₂

  ⎛ a ⎞

  3

  2 − = ⎜⎜ ⎟⎟ b ⎝ ⎠

  2 a

  ∴ Maka

  =

  3 b

  14. Luas B = 2 Luas A Æ B = 2A

  2

  2 Misalkan panjang sisi A = x dan panjang sisi B = y maka Luas B = y = 2x

  Æ y = x √2

  5

  Æ 4x √2 = 20 Æ x =

  2 Keliling B = 4y

  2 Keliling A = 4x = 10

  √2 ∴ Keliling A = 10√2 cm

15. Banyaknya cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu = 2 x 3 x 2 = 12 cara ∴ Banyaknya cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu adalah 12.

  ₄

  1

  2 16. x ₄ ≤ + x

  1

  1

  2

  2 Sesuai dengan ketaksamaan AM-GM maka ⁴

+

x x ₄ ≥ ⋅ = ⁴ ₄ x x ₄

  1 ₄

  1 ₄

  1

  2

  2

  2 Karena dan maka ketaksamaan hanya dipenuhi jika . x x x ₄ ≤ ≥ ₄

• + + +

₄ = ₂ x x x

  1 ⎛ ^{2 ⎞} x − = ₂ ⎜⎜ ⎟⎟ x ⎝ ⎠

  ∴ Bilangan real x yang memenuhi persamaan adalah x = 1 atau x = −1

  17. Misalkan bilangan tersebut adalah n = 100a + 10b + c 100a + 10b + c = 30(a + b + c)

  10 c

  10(7a − 2b) = 29c Æ

  =

  7

  2

  29 a − b

  Karena 10 dan 29 relatif prima maka 7a − 2b = 29k dan c = 10k. Karena 0

  ≤ c ≤ 9 maka nilai k yang memenuhi c = 0 Æ 7a = 2b Karena 2 dan 7 relatif prima sedangkan 0

  ≤ a, b ≤ 9 maka nilai a dan b yang memenuhi adalah a= 2 dan b = 7. ∴ Bilangan tiga angka yang memenuhi adalah 270.

  8 o 8 o 4 o 4 o 4 o 4 o

  18. sin

  75 75 = (sin 75 + cos 75 ) (sin

  75 75 ) − cos − cos

  8 o 8 o 2 o 2 o

  2

2 o

2 o 2 o 2 o 2 o 2 o

  sin

  75 75 = ((sin 75 +cos 75 ) 75 )(cos 75 )) (sin 75 +cos 75 )(sin

  75 75 ) − cos − 2(sin − cos

  2

  2

  2

  2 Mengingat bahwa sin

  α + cos α = 1, sin 2α = 2 sin α cos α, cos α − sin α = cos 2α maka :

  8 o 8 o 2 o o

  sin

  75 75 = (1 150 )( ) − cos − ½ sin −cos 120

  7 8 o 8 o

  75 75 = ∴ sin − cos

  16

  19. Jika segiempat adalah trapesium sebarang maka belum dapat dipastikan bangun tersebut memiliki tepat satiu sumbu simetri lipat sebab ada kemungkinan trapesium tersebut tidak memiliki sumbu simetri lipat. ∴ Maka bangun tersebut adalah trapesium sama kaki.

  4

  2

• 1 20.

  = m n

  3

  mn − 4n − 2m = 0 Æ (m − 4)(n − 2) = 8 = 2

  Karena 4 dan 2 memiliki paritas yang sama maka m − 4 dan n − 2 memiliki paritas yang sama. Maka kemungkinan-kemungkinan penyelesaiannya adalah :

• m − 4 = −2 dan n − 2 = −4 m = 2 dan n =

  −2 (tidak memenuhi m dan n keduanya bulat positif)