BAB 7 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT
BAB 7 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
2 a bx c
, a 0 B.
Akar-akar Penyelesaian Persamaan Kuadrat a.
Metode pemfaktoran 2
ax bx c
( px r )( qx s ) gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat
px r qx s r s x x 1 2 p q
b.
Metode melengkapi kuadrat sempurna Contoh: 2 3 x x 2 12 21 kedua ruas dibagi 3
x x 2 4 7
( x 2 ) 2 4 7 ( x 2 ) 2 11
( x 2 )
11
( x 2 )
11 x 1 , 2 2
11 Jadi x 1 2 11 atau x 2
2
11 c.
Menggunakan rumus persamaan kuadrat (abc) 2
a bx c
Dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna, diperoleh rumus: 2
b b ac
4
x 1 , 2 a
2 C.
Diskriminan Persamaan Kuadrat 2 ax bx c 2 D b
4 ac a. D , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil. Jika b. D , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang berbeda.
Jika
c. , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang sama
D
Jika (kembar).
d. D , maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar penyelesaian yang riil (tidak
Jika nyata/imajiner).
2 ax bx c b x x 1 2 a c x . x 1 2 a 2 E. a bx c Dengan Sifat Akar-Akarnya
D. Hasil Jumlah Dan Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Hubungan Antara Koefisien Persamaan Kuadrat a.
Akar-akar penyelesaiannya sama/kembar 2
b
4 ac b. Akar-akar penyelesaiannya berlawanan (salah satu akar-akarnya positif dan yang lain negatif)
b c.
Akar-akar penyelesaiannya berkebalikan (salah satu akar-akarnya
= 2 2 1 2 2 2 1 . .
= )
6 x x x x
2 1 2 2 2 1 . .
x x x x x x
. 6 . ( 2 )
6 x x x x = 2 1 2 1 2 2 1 . .
2
6 ( 2 =
1
=
a c
.x x =
6 2 1
1 ) 6 ( =
=
2 ( 6 ) 2 ( 2 )
12
x dan 2 x , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah 2 1 = x x a b
3
1 2 x , pemilihan 1
5 1 x
2
5 2 x 1 x
5 2 ( x x
2 2 x x ) 1 )(
5
4 36 = 20 Pembahasan Soal-soal: 1.
3 4 x x adalah .... Pembahasan:
nilai dari 2 1
x dan 2 x . Jika 1 2 , maka x x
2 2 x x adalah 1
3
5
Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat
Jika akar-akar penyelesaiannya 1
q p
) . ( ) ( 2 1 2 1 2 x x x x x x b.
n x dan ) ( 2 n x
Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kurangnya atau ) ( 1
2 c n x b n x a c.
dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2 c bx ax adalah
n x dan ) ( 2 n x
Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n lebihnya atau ) ( 1
x dan 2 x adalah
2 c n x b n x a d.
Persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya 1
Persamaan Kuadrat Baru a.
F.
a c
)
p q
dan yang lain
dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2 c bx ax adalah
Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kali akar-akar persamaan kuadrat 2 c bx ax adalah 2
1 a , 6 b , 2 c .
Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat
6 2 x x Bentuk umum persamaan kuadrat 2 c bx ax , sehingga
2
Pembahasan:
6 x x x x adalah ....
x dan 2 x . Nilai 2 1 2 2 2 1 . .
6 2 x x adalah 1
2
2 c nx b nx a Contoh:
kali akar-akar persamaan kuadrat 2 c bx ax adalah
1
n
Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya
c n x b n x a e.
x dan 2 x berdasarkan syarat pada soal 1 2 x x Sehingga: 2 1
3 4 x x = ) 1 (
2 a , 3 b ,
2
=
2 ) 3 (
=
x dan 2 x , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah 2 1 = x x a b
Jika akar-akar penyelesaiannya 1
7 c .
2 2 x x Bentuk umum persamaan kuadrat 2 c bx ax , sehingga
.x x =
3
7
Pembahasan:
2 2 x x , maka nilai 2 1 2 2 1 ( 2 ) x x x x adalah ....
3
7
x dan 2 x adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat
Jika 1
4 3.
3 2 1
a c
=
3 2
4
=
4 28 9
=
4 9
7
1
=
2
=
2
7
2
( 2 ) x x x x =
7 2 1 2 2 1
2
5
4
3
3 2 x x , maka nilai
= a b
Jika akar-akar penyelesaiannya dan , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah
3 a , 4 b , 5 c .
3 2 x x Bentuk umum persamaan kuadrat 2 c bx ax , sehingga
4
5
1 1 adalah .... Pembahasan:
4
=
5
Jika dan adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat
7 2.
=
3 10
=
5 4
2
3 ) 4 (
3
=
3 .
5
1 1 =
4
3
5
3
.
=
1 1 =
5
3
=
a c
=
4 .
3
19
4. Akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( 2
2 2 m m dibagi
4
Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat
4 m 5.
2 2 m Jadi,
4 1 m
4 m 2 m
) 2 )( 4 ( m m
m
2 2 m
8
2
4
2 2 x x adalah 1
16
m m dikalikan silang
2 2
4
16
9
m m m m
2 2 2
1
3
6
3
3
x dan 2 x . Persamaan kuadrat
9
). 5 ( 5 .( 2 (
23
61
x x x
2 2
20
50
3
11
2 2 x x x
11 3 ) 25 10 (
2 2 2 x x x
15 ) 3 )
yang akar-akar penyelesaiannya
4
2 2 x x
5 ( 3 ) 5 (
2 2 x x Sehingga: 4 )
3
4
5 x adalah:
5 2 x , maka setiap x diganti dengan
5 1 x dan
Pembahasan: Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya
5 2 x adalah ....
5 1 x dan
18
m m m m
x m x
2 , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah =
3
2
. Sehingga: 2 ) 1 ( 2 x m x
3 m 1
Karena merupakan salah satu akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( 2 x m x , maka x dapat diganti dengan
3 m 1
1 m =
m 1 3 =
2 =
1 1 m
Jika akar-akar penyelesaiannya dan serta
3
1 a , m 1 b , 2 c .
, sehingga
c bx ax
Bentuk umum persamaan kuadrat 2
x m x
Pembahasan: 2 ) 1 ( 2
m adalah ....
, maka nilai
dan
2
adalah dan . Jika
1 ) 1 (
1 2
1 2 ( 2 2
3
1 2 ( 3 )
9 )
9 2 .
m m m m
2 2 2
1
9
2
1
2
1
m m m m m
2 2 2
1
9
1
3
2
m m m
2 2 x x
G. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat 2 a bx c , a 0 2 a bx c , a 0 2 a bx c , a 0 2 a bx c , a 0
H. Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat
Contoh 1: 2 Himpunan penyelesaian dari x x 2 3 > 0 adalah ....
Pembahasan: 2
x
x 2 3 = 0 ( x 3 )( x 1 ) = 0
( x 3 ) V ( x 1 ) x = 3 x = -1
- 1
3
x x x x R
Jadi Hp = | 1 atau 3 , Contoh 2: 2
x x
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat
3
10 8 adalah .... Pembahasan: 2 3 x x
10 8 Pembuat nol: 2 3 x x
10 8 ( 3 x 2 )( x 4 )
3 x 2 x
4
2 x
3
4
2
3 Uji x diganti dengan 0 pada persamaan kuadratnya. Ternyata bernilai negatif, berarti daerah mulai
2 sampai 4 bernilai negatif, sedangkan daerah lainnya bernilai positif.
3 Karena soal diminta , berarti daerah penyelesaiannya adalah daerah dengan nilai negatif.
2
Jadi, HP = x | x 4 , x R
3
Pembahasan Soal-soal: 2
1. x x 10 21 adalah ....
Himpunan penyelesaian dari Pembahasan: 2
x x
10 21 Pembuat nol: 2
x x
10 21 ( x 7 )( x 3 )
3
x 7 x
3
7 Karena >, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif HP = x | x 3 atau x 7 , x R
2
x x 2.
2
11 5 adalah .... Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
Pembahasan: 2 2 x 11 x 5
Pembuat nol: 2 2 x 11 x 5
( 2 x 1 )( x 5 )
2 x 1 x
5
1 x
2
1
5
2 Karena , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif
1
Hp = x | x 5 , x R
2 I.
Bentuk Umum Fungsi Kuadrat 2 f ( x ) ax bx c
, a J.
Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah: a).
Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x → y = 0 2
f ( x ) ax bx c 2 y ax bx c 2
ax bx c ( px r )( qx s ) gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat
px r qx s r s x x 1 2 p q
r s
Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah , dan ,
p q
b). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0 2
f ( x ) ax bx c 2 y ax bx c 2 y a ( ) b ( ) c y c
Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah , c c). Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat 2
f x ax bx c
( )
b x 2 a d). x , y )
Menentukan koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( p p 2
f x ax bx c
( )
b x y f ( x ) p p p a
2 x y
Koordinat titik ekstrim/balik/puncak = ( , ) p p e). Menghubungkan titik-titik yang telah ditemukan sehingga terbentuk kurva parabola fungsi kuadrat
K. Persamaan Fungsi Kuadrat yang Diketahui Beberapa Titik x a).
( , ) dan Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui dua titik potong dengan sumbu x, yaitu 1
( x , ) dan satu titik lain, yaitu ( y x , ) 2
y a ( x x )( x x ) 1 2 Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. f ( x ) a ( x x )( x x ) 1 2 Lalu masukkan a, x , dan x (x dan f(x) dibiarkan tetap). 1 2 Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut. x y x
b). , dan satu titik lain, yaitu ( y , ) Diketahui titik balik/puncak/ekstrim p p 2
y a ( x x ) y p p Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. 2 f ( x ) a ( x x ) y p p Lalu masukkan a, x , dan y (x dan f(x) dibiarkan tetap). p p Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.
Contoh:
Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah .... Pembahasan: memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6)
x x x y
sehingga: 1 1 , 2 2 , , dan 6 , maka:
y a x x x x
= ( )( ) 1 2
y a x x x x
= ( )( ) 1 2
- – 6 = a ( 1 )( (
2 ))
- – 6 = a ( 1 )(
2 )
- – 6 =
2 a
6
a =
2 a = 3
Jadi, fungsi kuadratnya f (x ) = a ( x x )( x x ) 1 2
f (x ) =
3 ( x x 1 )( ( 2 )) = 3 ( x 2 1 )( x 2 )
x x x
= 3 ( 2 2 2 )
x
= 3 ( x 2 2 )
f x x
(x ) =
3
3
6 Pembahasan Soal-soal: 2 1.
y
3 x x 2 dengan sumbu x dan sumbu y berturut- Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat turut adalah ....
Pembahasan: Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x 2 → y = 0
y
3 x x 2
2 3 x x
2 x x
(
3 2 )( 1 ) untuk mengecek kebenaran gunakan aturan perkalian aljabar
3 x 2 x 1
2 x x 1 2
1
3
2
Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah 0, dan 1 ,
3
2 2 x x x
a =
2 1 p y
4 1 p y
3 p y
Jadi, koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (1 , 3) 3. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti di bawah ini adalah ....
Pembahasan: Berdasarkan grafik pada soal, diketahui bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu x di titik (– 3 , 0) dan (5 , 0) dan melalui titik (0 , 30) sehingga: , 30 dan ,
5 ,
3 2 1 y x x x , maka:
y = ) )( ( 2 1 x x x x a y = ) )( ( 2 1 x x x x a
30 = ) 5 ))( ( 3 ( a 30 = )
5 )( 3 ( a 30 =
a 15
15
1 ( 2 p y
30 a
=
2
Jadi, fungsi kuadratnya ) (x f = ) )( ( 2 1
x x x x a
) (x f =
) 5 ))( ( 3 (
2 x x = ) 5 )(
3 ( 2 x x
= )
15
3 5 (
4
4 ) 1 ( 2 )
x y
4 ( 2 ) 2 x x x f
5
30 Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0
2
3 2 x x y
( 2 ) ) (
3 2 y
2 y Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah 2 , 0 2. Koordinat titik balik grafik fungsi
4 ( 2 ) 2 x x x f adalah ....
Pembahasan: Koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( p p
. y x ) c bx ax x f 2
) (
Sehingga:
) 1 ( f y p
1 a ,
2 b ,
4 c
1
2
2 ) 1 (
2 ) 2 (
2
a b x p
4 ( 2 ) 2
x x x f ) ( p p x f y
- 3
) (x
5
B.
2
25
A.
x x adalah ….
1
1
2 2 x x , maka nilai dari 2 2 2 1
x dan 2 x adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat
6
Jika 1
LATIHAN UN: 1.
1 ) ( 2 x x x f
2
2
4
Jadi, fungsinya
1 2 x x y
25
C.
2
A.
8 2 x x
7
7 2 x x D.
8
9 2 x x C.
10
9 2 x x B.
10
Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya ) 2 ( dan ) 2 ( adalah ….
25
4 2 x x .
5
Diketahui dan merupakan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat
8 2.
25
25
D.
8
2
4
f
2 2 x x 4.
4 2 a 6 ) 4 ( 4 a
4 2 a 6 ) 2 (
6 )) ( 2 (
y x x a y 2 ) (
(–2 , 6) dan satu titik lain ) , ( y x , yaitu (0 , 4) p p
p p , y x , yaitu
Pembahasan: Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik balik/puncak/ekstrim
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang titik puncaknya (–2 , 6) dan melalui titik (0 , 4) adalah ....
4
4
30
=
f
) (x
x x
2 2
15 2 (
= )
a
6 4 a
1 2 x x y
1
2
2 x x y2
2
2
6
1 2 x x y
2
4 4 (
6 )
2
4 2 4 2
1 2 x y 6 ) 2 . 2 . 2 (
2
1 2 x y 6 ) 2 (
2
) ( 6 )) ( 2 (
1 a p p y x x a y 2
2
a
6 E.
2 x x E.
8
7 2
5 x 4 12 adalah …. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
x 3.
6
A. x | x 2 atau x , x R
5
6
B. x | x 2 atau x , x R
5
6
C. x | x atau x 2 , x R
5
6
D. x | x 2 , x R
5
6
E. x | 2 x , x R
5 2
y x x
4. 4 8 3 adalah ....
Titik puncak grafik fungsi kuadrat A.
(–1 , –15) B. (–1 , 1) C. (–1 , 9) D.
(1 , 1) E. (1 , 9) 5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (–2 , 0) dan (2 , 0) serta melalui titik (0 , –4) adalah .... 2
y
A. x 2
2
y
B. x 2
4
y x x
C. 2
2
y x x
D. 2
4
y x x
E. 2
2 6. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang sesuai dengan gambar di bawah ini adalah ....
y 2 A. f ( x ) x 2
4 B. f ( x ) x 4 x P (– 2 , 4) 2
4 C. f ( x ) x 2
4 D. f ( x ) x 2 4 x
E. f ( x ) x 4 x
x
- – 4 – 2 7.
Fungsi kuadrat dari grafik di samping adalah …. 2 A. f ( x ) x 2 x
3 2 y B. f ( x ) x 2 4 x
3 C. f ( x ) 2 x 4 x
6 2
6 D. f ( x ) 2 x 2 4 x
6 E. f ( x ) 2 x 8 x
6
1
x
- 3