Metode kuadrat terkecil terbobot untuk meminimalkan galat pada pengukuran jaringan ketinggian.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRAK
Dalam pengukuran ketinggian, masalah utamanya adalah menentukan titik-titik
tinggi dengan ukuran galat sekecil mungkin. Salah satu metode yang dapat
meminimalkan galat pada pengukuran ketinggian adalah metode kuadrat terkecil
tebobot.
Tugas akhir ini bertujuan untuk menunjukan hubungan antara masalah jaringan
ketinggian dengan sebuah graf dimana titik-titik tinggi dilambangkan dengan simpul
dan beda ketinggian dilambangkan dengan ruas. Kemudian masalah jaringan
ketinggian yang telah direpresentasikan dengan sebuah graf akan diselesaikan dengan
meggunakan metode kuadrat terkecil tebobot. Pada bagian akhir tugas akhir ini, akan
diberi contoh penerapan dari sebuah graf yang mempresentasikan suatu masalah
jaringan ketinggian dan penyelesaiaannya dengan menggunakan metode kuadrat
terkecil tebobot.

Kata Kunci : galat, jaringan ketinggian, metode kuadrat terkecil terbobot, graf,
simpul, ruas.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRACT
In the measurements of height, the main problem is to find the point of height which
the size of error as small as possible. One method that can minimize the error in the
measurements of height is weighted least squares.
This paper aims to show the relation of height network with a graph in which the
points of height are assigned by nodes and the differences of height are assigned by edges.
Then the height network’s problems that have been represented by a graph will be solved by
weighted least squares method. At the end of this paper will be given an example of the
application of a graph that presented a height network’s problem and it’s solution by
weighted least squares method.

Keywords : error, height network, weighted least squares, graph, node, edge.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT UNTUK
MEMINIMALKAN GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAN
KETINGGIAN
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika

Disusun Oleh :
Sisilia Nov Ciptaning Pradini

103114018

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

WEIGHTED LEAST SQUARES METHOD TO MINIMIZE THE ERROR IN
THE MEASUREMENTS OF HEIGHT NETWORK

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program

By :
Sisilia Nov Ciptaning Pradini
103114018

MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2015

ii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN

TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

MAKALAII
METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT T]NTT]K MEMIMMALKAI\

GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAI\I KETINGGIAN
Disusun oleh

:

Sisilia Nov Ciptaning Pradini

Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan

tanggal 16 Februari 2015

ilt

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

PERT{YATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis

ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutrpan dan daftar pustaka sebagai mana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta 27 Februari 2015

""-w

Sisilia Nov Ciptaning Pradini

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

LEMBAR PER}IYATAAN PERSETUJUAN
PIJBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAI\ AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawatr ini, saya matrasiswa Universitas Sanata Dharma

Nama

:

:

SisiliaNov Ciptaning Pradini

Nomormahasiswa : 103114018

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul

Perpustakaan

:

Metode Kuadrat Terkecil Tebobot untuk Meminimalkan Galat pada
Pengukuran Jaringan Ketinggian
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpn, mengalihkan

dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan datq
mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain
untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan
royalti kepada saya selamatetap mencantumkan narnasaya sebagai penulis.
Demikian pemyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 3 Februari 2015

Yang menyatakan

(Sisilia Nov Ciptaning Pradini)

vt

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI

TERPUJI

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“There Is No Elevator to Success,
You’ve to Take The Stairs”

Ku persembahkan Tugas akhir ini kepada :
My beloved Jesus
Mama dan Bapakku tercinta
Adik-adikku tersayang Fifin, Benny dan Ella
Teman-teman teralienku Anes, Bibi, Nyai, Yoyo, Juna, dan Ayu

vii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI

TERPUJI

ABSTRAK
Dalam pengukuran ketinggian, masalah utamanya adalah menentukan titik-titik
tinggi dengan ukuran galat sekecil mungkin. Salah satu metode yang dapat
meminimalkan galat pada pengukuran ketinggian adalah metode kuadrat terkecil
tebobot.
Tugas akhir ini bertujuan untuk menunjukan hubungan antara masalah jaringan
ketinggian dengan sebuah graf dimana titik-titik tinggi dilambangkan dengan simpul
dan beda ketinggian dilambangkan dengan ruas. Kemudian masalah jaringan
ketinggian yang telah direpresentasikan dengan sebuah graf akan diselesaikan dengan
meggunakan metode kuadrat terkecil tebobot. Pada bagian akhir tugas akhir ini, akan
diberi contoh penerapan dari sebuah graf yang mempresentasikan suatu masalah
jaringan ketinggian dan penyelesaiaannya dengan menggunakan metode kuadrat
terkecil tebobot.

Kata Kunci : galat, jaringan ketinggian, metode kuadrat terkecil terbobot, graf,
simpul, ruas.

viii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRACT
In the measurements of height, the main problem is to find the point of height which
the size of error as small as possible. One method that can minimize the error in the
measurements of height is weighted least squares.
This paper aims to show the relation of height network with a graph in which the
points of height are assigned by nodes and the differences of height are assigned by edges.
Then the height network’s problems that have been represented by a graph will be solved by
weighted least squares method. At the end of this paper will be given an example of the
application of a graph that presented a height network’s problem and it’s solution by
weighted least squares method.

Keywords : error, height network, weighted least squares, graph, node, edge.

ix

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria
atas berkatNya yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Penulis menyadari, tugas akhir ini tidak akan selesai tanpa bantuan dari
berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima
atas segala bimbingan, dorongan, semangat, sehingga tugas akhir ini terselesaikan
dengan baik, kepada:
1.

Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

2.

Bapak Y.G.Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika
Universitas Sanata Dharma.

3.

Bapak Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan selaku dosen pembimbing yang
dengan penuh kesabaran, kesungguhan hati serta memberikan banyak ide serta
masukan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

4.

Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc. yang telah memberikan ide dan masukan
untuk menulis tugas akhir ini dan selaku dosen pembimbing akademik.

5.

Seluruh Dosen Program Studi Matematika serta karyawan Fakultas Sains dan
Teknologi. Terima kasih atas bimbingan, doa dan pelajaran yang diberikan
selama berkuliah di Universitas Sanata Dharma.

6.

Keluargaku tercinta, my big bos Paternus Dithu dan bu presdir Setyaning
Prihati yang senantiasa memberi dukungan, semangat dan mendoakan anaknya
x

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

yang selalu bikin panik ini. Terima kasih atas kesabaran dan kasih sayang
dalam mendidik anak-anaknya. Adik-adik penulis Fifin, Beni, Ella.
7.

Sahabat-sahabat penulis di Program Studi Matematika , Anes, Bibi, Nyai, Juna,
Yoyo, Selly, Aster, Ayu, Arga, Tika, Ratri, Pandu, Roy, Yohan, yang selalu
setia mendengar keluh kesah, menemani dan memberi semangat untuk penulis
yang sangat berarti.

8.

Keluarga Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas segala dukungan
dan bantuannya kepada penulis.

9.

Teman-teman sekaligus keluarga penulis, Mbak Rub yang selalu siap
menyediakan keperluan penulis, Apin, Mbak Astrid, Mbak Arin yang terus
memberi semangat, dukungan dan doa. Banyak suka dan duka telah kita lewati
bersama selama ini.

10.

Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis dalam
menyelesaikan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Terima
kasih banyak atas semua bantuannya.
Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini memiliki berbagai

kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca.
Semoga tugas akhir ini dapat menjadi referensi bagi rekan-rekan dalam
mengembangkan ilmu pengetahuan.
Yogyakarta, 11 Februari 2015

Penulis
xi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR ISI

JUDUL ...................................................................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN................................................................................................. iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................................v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ......................................................................................... vii
ABSTRAK ............................................................................................................................ viii
ABSTRACT............................................................................................................................ ix
KATA PENGANTAR ..............................................................................................................x
BAB I : PENDAHULUAN .......................................................................................................1
I.1

Latar belakang ...........................................................................................................1

I.2

Rumusan Masalah .....................................................................................................6

I.4

Tujuan Penulisan .......................................................................................................7

I.5

Metode Penulisan ......................................................................................................7

I.6

Manfaat Penulisan .....................................................................................................7

I.7

Sistematika Penulisan ................................................................................................7

BAB II : LANDASAN TEORI ...............................................................................................10
II.1

Matriks Singular dan Tak singular ..........................................................................10

II.2

Ruang Vektor...........................................................................................................11

II.3

Ruang Bagian ..........................................................................................................13

II.4

Kebebasan Linear ....................................................................................................14

xii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

II.5

Basis dan Dimensi ...................................................................................................18

II.6

Ruang Baris dan Ruang Kolom ...............................................................................22

II.7

Rank.........................................................................................................................24

II.8

Ruang Nol (Kernel/ Nullspace) ...............................................................................25

II.9

Ruang Hasil Kali Dalam ..........................................................................................27

II.10

Norma ......................................................................................................................28

II.11

Ortogonalitas ...........................................................................................................33

II.12

Metode Kuadrat Terkecil .........................................................................................34

II.13

Matriks Definit Positif .............................................................................................37

II.14

Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika ...............................................................37

II.15

Dasar-Dasar Teori Graf ...........................................................................................39

BAB III : JARINGAN KETINGGIAN ..................................................................................44
III.1

Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil ..............44

III.2

Kuadrat Terkecil Terbobot ......................................................................................66

III.3

Jaringan Ketinggian Dan Graf .................................................................................70

BAB IV : PENUTUP ..............................................................................................................81
IV.1

Kesimpulan ..............................................................................................................81

IV.2

Saran ........................................................................................................................82

Daftar Pustaka .........................................................................................................................83

xiii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN

I.1

Latar Belakang
Pada kehidupan sekarang ini, tak dapat dipungkiri bahwa manusia sangat

membutuhkan teknologi demi membantu kelangsungan hidup mereka. Contohnya
adalah manusia sekarang tidak pernah terlepas dari alat komunikasi jarak jauh yang
disebut handphone. Handphone selain dapat membantu manusia untuk dapat
berkomunikasi dari jarak jauh, handphone juga dilengkapi dengan fitur-fitur yang
semakin memanjakan penggunanya. Contohnya adalah fitur kamera, radio, games,
dan lain-lain. Semakin mahal harga handphone maka biasanya semakin lengkap fitur
yang dimilikinya. Salah satu fitur yang dimiliki sebuah handphone adalah GPS. GPS
tidak hanya terdapat pada handphone, tetapi banyak dijumpai juga di mobil. Hal ini
dikarenakan oleh fungsi GPS yang membantu pengguna sebagai penunjuk arah.
GPS (Global Positioning System) adalah sistem satelit navigasi dan penentuan
posisi sebuah objek yang terletak pada permukaan bumi. Teknologi yang dimiliki dan
dikelola oleh Amerika Serikat ini pada awalnya dikembangkan untuk kepentingan
militer. Namun, mengingat kegunaannya terutama dalam bidang navigasi serta
geografi, maka dalam perjalanannya sistem ini juga dikembangkan untuk keperluan
sipil. GPS didesain untuk memberikan informasi dalam menentukan letak/posisi,
kecepatan, percepatan, dan waktu yang teliti.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Gambar 1.1 (Global Positioning System)
Dalam menentukan posisi dan letak pada GPS, manusia membutuhkan ilmu
pengetahuan tentang bumi yang disebut geodesi. Menurut IAG (International
Association of Geodesy), geodesi adalah ilmu yang mempelajari pengukuran dan
perepresentasian dari bumi dan benda-benda langit lainnya, termasuk medan gaya
beratnya masing-masing dalam ruang tiga dimensi yang berubah dengan waktu.
Dengan kata lain, geodesi adalah ilmu yang mempelajari tentang bentuk dan ukuran
bumi termasuk berat dan kepadatannya. Dalam prakteknya, ilmuwan geodesi
mengadakan pengamatan dan pengukuran secara teliti untuk menentukan posisi titik
pada permukaan bumi untuk dipetakan.
Salah satu faktor yang berpengaruh dalam menentukan letak dan posisi pada
GPS dengan mengacu pada ilmu geodesi adalah ketinggian. Ketinggian suatu tempat
atau daerah diperoleh dari percobaan-percobaan serta pengukuran matematis. Arti

2

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

pengukuran secara umum menurut Umar (1991) adalah kegiatan yang sistematis
untuk mendapatkan informasi mengenai suatu objek secara kuantitatif dengan alat
ukur yang dimiliki. Seringkali dalam melakukan pengukuran ketinggian, data yang
didapat untuk suatu tempat tidak selalu akurat karena terdapat galat (kesalahan/error).
Galat yang dimaksud di sini adalah kesalahan dalam proses pengambilan data.
Menurut buku karangan Suntoyo Yitnosumarto (1993), galat adalah keanekaragaman
(variabilitas) hasil pengukuran yang disebabkan oleh ketidakmampuan materi
pengukuran atau objek pengukuran untuk berperilaku sama dalam pengukuran
tersebut. Galat dapat berfungsi untuk menunjukkan efisiensi dari satu jenis
pengukuran

ke pengukuran yang lain. Secara normal, yang diharapkan dalam

pengukuran adalah galat yang bernilai kecil. Untuk itu dibutuhkan metode matematis
yang dapat meminimalkan galat pada pengukuran tersebut (dalam hal ini pengukuran
ketinggian).

Objek pengukuran

pengukuran 1

pengukuran 1

galat

Bagan (1.1)

3

Pengukuran 1

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Bagan (1.1) menjelaskan pengukuran suatu objek yang dilakukan beberapa
kali. Pengukuran-pengukuran tersebut menghasilkan galat. Selanjutnya, galat
tersebut akan diestimasi untuk memperkirakan ukuran atau bentuk objek yang
sesungguhnya.
Salah satu metode yang dapat membantu meminimalkan galat adalah metode
kuadrat terkecil. Matematikawan besar dari Jerman, Carl Friedrich Gauss adalah
salah satu pencetus ide tentang metode kuadrat terkecil. Selain Gauss ada beberapa
penemu lainnya yaitu Adrien Marie Legendre pada tahun 1805 dan Robert Adrian
tahun 1808. Prinsip dari metode kuadrat terkecil adalah meminimalisasi jumlah
kuadrat deviasi data dari pengukuran yang didapat.
Persamaan untuk meminimalisasi jumlah galat pada metode kuadrat terkecil
adalah x = b, dengan

adalah matriks koefisien yang berukuran m x n dan b adalah

vektor yang berisi hasil-hasil pengukuran yang didapat dari data. Dalam hal ini harus
dicari vektor
panjang vektor

sehingga ‖

‖ seminimal mungkin, dengan ‖

. Maksudnya adalah harus dicari sebuah vektor

‖ adalah

untuk

yang terdekat ke .
Misalkan
jarang ditemukan

= ‖

= 0. Jika

‖,

menotasikan galat pada perhitungan. Biasanya
= 0 maka perhitungan x adalah perhitungan yang

eksak untuk persamaan Ax = b. Jadi harus ditemukan ̂, sehingga ukuran

‖

=

‖ adalah yang paling kecil. Sebut ̂ adalah solusi metode kuadrat terkecil.
4

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Yang dimaksud terkecil adalah jumlah kuadrat dari elemen-elemen Ax - b
diminimalisasikan.
Dalam mengukur ketinggian, masalahnya adalah menemukan x1,x2,...,xn
dimana n ditentukan dan x1,x2,...,xn adalah titik-titik ketinggian yang akan dicari.
Sebagai contoh, patokan-patokan pada gambar (1.1) di bawah melambangkan setiap
titik x1,x2,...,x10

Gambar 1.1
Seringkali, dalam mengukur ketinggian, yang kita lakukan adalah
menghitung beda tinggi dari satu titik ke titik yang lain. Maksud dari beda tinggi
adalah jarak vertikal antara dua bidang datar yang melalui kedua titik tersebut (lihat
gambar 1.2). Dalam hal ini, beda dari titik x1 ke titik x2 sama dengan jarak vertikal
dari titik

ke titik

.

5

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Gambar 1.2
Makalah ini akan membahas lebih lanjut tentang minimalisasi galat pada
pengukuran ketinggian dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot..

I.2

Rumusan Masalah
a. Apa yang dimaksud dengan metode kuadrat terkecil terbobot?
b. Bagaimana menerapkan metode kuadrat terkecil terbobot tersebut ke
dalam data jaringan ketinggian yang didapat?

I.3

Batasan Masalah
a.

Perhitungan galat ini dilakukan hanya pada matriks yang mempunyai
rank kolom penuh.

b. Makalah ini tidak membahas secara rinci tentang statistik. Dalam hal ini,
tidak akan dibahas secara mendalam mengenai bagaimana memperoleh
variansi yang akan digunakan sebagai entri-entri dari matriks terbobot.

6

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

I.4

Tujuan Penulisan
a. Memahami metode kuadrat terkecil dalam meminimalkan galat dari suatu
hasil pengukuran.
b. Memahami bagaimana metode kuadrat terkecil terbobot diaplikasikan
dalam jaringan ketinggian.
c. Mengaplikasikan graf sebagai representasi dari jaringan untuk membantu
memecahkan masalah menentukan titik-titik ketinggian.

I.5

Metode Penulisan
Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan menggunakan buku-

buku referensi sebagai acuan penulisan serta pengambilan data.

I.6

Manfaat Penulisan
a. Dapat mengaplikasikan metode kuadrat terkecil untuk meminimalkan
galat pada pengukuran jaringan ketinggian.
b. Membantu berbagai pihak dalam mengukur ketinggian agar galat dari
hasil pengukuran yang diperoleh dapat diminimalkan.

I.7

Sistematika Penulisan
Bab I : Pendahuluan
I.1

Latar Belakang

I.2

Batasan Masalah

I.3

Rumusan Masalah

I.4

Tujuan Penulisan

7

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

I.5

Metode Penulisan

I.6

Manfaat Penulisan

I.7

Sistematika Penulisan

Bab II : Landasan Teori
II.1

Matriks Singular dan Taksingular

II.2

Ruang Vektor

II.3

Kebebasan Linear

II.4

Basis dan Dimensi

II.5

Ruang Baris dan Ruang Kolom

II.6

Rank

II.7

Ruang Nol (Kernel)

II.8

Ruang Hasil Kali Dalam

II.9

Norma

II.10

Ortogonalitas

II.11

Metode Kuadrat Tekecil

II.12

Matriks Definit Positif

II.13

Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika
A. Nilai Harapan Variabel Random
B. Variansi Variabel Random
C. Kovariansi dari Dua Variabel Random

II.14

Dasar-Dasar Teori Graf
A. Teori Graf
8

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

B. Graf Berarah
C. Graf Lengkap
Bab III : Jaringan Ketinggian
III.1

Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode
Kuadrat Terkecil

III.2

Kuadrat Terkecil Terbobot

III.3

Jaringan Ketinggian dan Graf

Bab IV : Penutup
IV.1

Kesimpulan

IV.2

Saran

9

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB II
LANDASAN TEORI
II.1

Matriks Singular dan Tak singular

Definisi (2.1) : Suatu matriks A berorde n x n dikatakan tak singular (nonsingular)
atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks
B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A.
Jika B dan C keduanya adalah invers perkalian dari A, maka :
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
Jadi, satu matriks memiliki paling banyak satu invers perkalian.
Definisi (2.2) : Suatu matriks n x n dikatakan singular jika tidak memiliki invers
perkalian.
Sebut invers perkalian dari suatu matriks taksingular A sebagai invers dari A dan
ditulis sebagai

.

Contoh :

Matriks-matriks

dan

adalah saling invers karena,

[
dan

]

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

[

]

Teorema (2.1)
Suatu matriks A berorde n x n adalah singular jika dan hanya jika

Bukti (Leon, teorema 2.2.2, hal.90)

II.2

Ruang Vektor
Misalkan

adalah himpunan tak kosong di mana didefinisikan operasi-

operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya bahwa untuk setiap
pasangan elemen-elemen

dan

di dalam

yang tunggal yang juga berada di

dapat diasosiasikan dengan elemen

, dan dengan setiap elemen

di

dan

setiap skalar

, dapat diasosiasikan dengan elemen

yang tunggal di dalam

.

Himpunan

bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian

dengan skalar dikatakan membentuk ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut
dipenuhi :
untuk setiap

A.1.

dan

untuk setiap

A.2.
A.3.

Terdapat elemen 0 di sehingga

A.4.

Untuk setiap

A.5.

di

terdapat elemen –

=
di

untuk setiap skalar

11

di
untuk setiap

di

sehingga

-

dan setiap

di

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

A.6.

untuk setiap skalar

A.7.
A.8.

untuk setiap skalar

=

1.

=

dan

dan

dan setiap

dan setiap

setiap

Elemen-elemen dari V disebut vektor. Istilah skalar biasanya adalah suatu bilangan
real, meskipun dalam beberapa kasus adalah bilangan kompleks. Seringkali istilah
ruang vektor real digunakan untuk menyatakan bahwa himpunan skalar-skalar adalah
himpunan bilangan-bilangan real. Simbol 0 telah digunakan dalam Aksioma 3 untuk
membedakan vektor nol dan skalar 0.
Beberapa contoh Ruang vektor :
1. Ruang vektor Euclides
Himpunan semua pasangan terurut

|

2. Ruang vektor
Misalkan

himpunan semua matriks

real. Jika

dan

matriks
didefinisikan

dengan entri-entri bilangan real:

yang berorde
sebagai matriks

, maka jumlahan

dengan entri-entri bilangan
didefinisikan sebagai

. Jika diberikan skalar
dimana entri ke- adalah

, maka dapat
.

3. Ruang vektor
Misalkan

menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang

didefinisikan dan kontinu pada interval tertutup

12

. Dalam kasus ini himpunan

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jadi vektornya adalah fungsi-fungsi di
. Jumlah

dari dua fungsi di

didefinisikan oleh
,

untuk semua

di

. Fungsi yang baru dari

adalah elemen dari

karena jumlahan dari fungsi kontinu adalah kontinu. Jika
dan

suatu bilangan real, maka

,

adalah fungsi di

didefinisikan oleh
,

untuk semua

di

. Jelas bahwa

berada di dalam

karena jika konstan

dikalikan dengan fungsi kontinu selalu kontinu.
4. Ruang vektor
Misalkan
dan

adalah himpunan semua polinom dengan derajat
didefinisikan

dan

. Untuk

oleh

dan

II.3

Ruang Bagian

Definisi (2.3) : Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor . Dan
memenuhi syarat-syarat berikut :
1.

13

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

2.
maka

disebut ruang bagian (subspace) dari .

Contoh :
|

Misalkan
jika

adalah ruang bagian dari

, karena

, maka :

1.
jika

. Maka

.
dan

maka :

2.

II.4

Kebebasan Linear
Pada bagian ini, akan dibatasi pada ruang-ruang vektor yang dibentuk dari

himpunan-himpunan berhingga. Setiap vektor dalam ruang vektor yang bersangkutan
dapat dibentuk dari elemen-elemen dalam himpunan penghasil ini hanya dengan
menggunakan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Himpunan
penghasil ini biasanya disebut himpunan perentang. Lebih khususnya akan dicari
himpunan perentang “minimal”. Kata minimal maksudnya adalah himpunan
perentang tanpa elemen yang tidak diperlukan (artinya, semua elemen dalam
himpunan tersebut diperlukan untuk merentang ruang vektor yang bersangkutan).

14

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Untuk melihat bagaimana mencari himpunan perentang yang minimal perlu
diperhatikan bagaimana vektor-vektor di dalam himpunan saling “bergantung” satu
sama lain.


vektor-vektor

dalam ruang vektor

disebut bebas linear

(linearly independent) jika

mengakibatkan semua skalar

harus sama dengan 0.

Contoh :

Vektor-vektor

dan

adalah bebas linear, karena jika

yaitu

maka satu-satunya penyelesaian dari sistem ini adalah


vektor-vektor

,

dan

dalam ruang vektor

linear (linearly dependent) jika terdapat skalar-skalar
semuanya nol sehingga
15

.

disebut bergantung
yang tidak

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Contoh :

Diberikan.

( )

Vektor-vektor

( )

( )

bergantung linear karena apabila

( )

( )

( )

( )

maka diperoleh :

Dalam kasus ini

= 1,

,

,

, jadi
.

Teorema (2.2)
Misalkan

adalah vektor dalam

16

dan misalkan

( )

( )

adalah

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

untuk

, maka vektor-vektor

. Jika

adalah bergantung linear jika dan hanya jika

adalah matriks singular.

Bukti (Leon, teorema 3.3.1, hal.122)
Teorema (2.2) dapat digunakan untuk menguji apakah
linear atau bergantung linear dalam

vektor adalah bebas

. Langkah awalnya adalah bentuk suatu

matriks yang elemen-elemennya adalah vektor-vektor yang akan diuji kebebasan
linearnya, sebut matriks itu adalah matriks

. Untuk menentukan apakah matriks

singular atau tidak, hitunglah nilai dari det(

. Jika det(

= 0, maka vektor-

≠ 0 maka vektor-vektornya bebas linear.

vektornya bergantung linear. Jika det (
Contoh :

bergantung linear

dan

Tentukan apakah vektor-vektor
atau bebas linear?
Penyelesaian :

Misalkan X = (

). Untuk menentukan apakah matriks

singular atau tidak

singular adalah dengan mencari nilai determinannya

|

|

|

17

|

|

|

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

.
Karena

, maka menurut teorema (2.2), vektor-vektor tersebut adalah

bergantung linear.

II.5

Basis dan Dimensi

Definisi (2.4) : Vektor-vektor

membentuk basis untuk ruang vektor

jika dan hanya jika :
i.

bebas linear

ii.

merentang

Contoh :

“Basis baku” untuk

adalah {

( )

( )

terdapat banyak basis untuk yang dapat dipilih untuk

( )}, akan tetapi
(basis dari ruang vektor

tidak tunggal). Sebagai contoh

{( )

( )

kedua-duanya adalah basis untuk

( )} dan {( )

( )

( )}

karena kedua-duanya memenuhi syarat basis

yaitu merentang dan bebas linear.

18

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Buktinya adalah :

Diberikan {( )

( )

( )}, maka :

1. Harus dibuktikan bahwa himpunan vektor-vektor di atas merentang
( )

( )

( )

Menghasilkan :

maka,

jadi,

( )

( )

19

( )

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

sehingga ketiga vektor tersebut merentang

.

2. Harus dibuktikan bahwa ketiga vektor tersebut bebas linear.

| )

(

(
| )

(
(

| )

(
(

| )

| )

| )

Jadi,

. Maka, ketiga vektor di atas adalah bebas linear.

Terbukti bahwa himpunan vektor {( )

( )

( )} adalah merentang dan bebas

linear. Maka himpunan vektor tersebut adalah basis untuk

.

Teorema (2.3)
Jika

adalah basis dari suatu ruang vektor , maka himpunan sebarang

vektor di , dengan

adalah bergantung linear.

Bukti (Leon, teorema 3.4.1, hal.129)
Akibat (2.3.1)

20

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

kedua-duanya adalah basis untuk suatu

dan

Jika
ruang vektor , maka

.

Bukti (Leon, akibat 3.4.2, hal. 130)
Definisi (2.5) : Misalkan
dari
dari

adalah ruang vektor. Jika

vektor, maka dapat dikatakan bahwa
dikatakan memilik dimensi 0.

memiliki dimensi . Ruang bagian

dikatakan memiliki dimensi hingga jika

terdapat himpunan berhingga vektor yang merentang
demikian, maka dapat dikatakan bahwa

memiliki basis yang terdiri

dan bebas linear; jika tidak

memiliki dimensi tak hingga.

Contoh :
Ruang vektor

. Karena terdapat

memiliki basis

basis tersebut, maka

vektor dalam

memiliki dimensi n.

Conotoh :
Teorema (2.4)
Jika

adalah ruang vektor dengan dimensi

1. Sembarang himpunan n vektor bebas linear merentang
2. Sembarang himpunan

vektor yang merentang

Bukti (Leon, Teorema 3.4.3, hal. 131)

21

adalah bebas linear.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Contoh :

Tunjukkan bahwa {( )
Karena dim

(

)

( )} adalah basis untuk

.

, maka hanya perlu ditunjukkan bahwa ketiga vektor ini bebas

linear.

(

Misalkan

), maka
|

|

|

|

|

|

Karena ketiga vektor di atas bebas linear, maka menurut teorema (2.4) ketiga vektor
di atas merentang

II.6

. Jadi ketiga vektor di atas adalah basis untuk

.

Ruang Baris dan Ruang Kolom
Jika

adalah matriks berorde

, maka setiap baris dari

bilangan-bilangan real sehingga dapat dianggap sebagai vektor dalam
yang bersesuaian dengan baris-baris dari
(row vector) dari
sebagai vektor

.

vektor

akan disebut sebagai vektor-vektor baris

. Dengan cara yang serupa, setiap kolom dari
dan dapat diasosiasikan

adalah tupel-n

dapat dianggap

vektor kolom dengan matriks .
22

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi (2.6) : Jika

adalah matriks berorde

yang direntang oleh vektor-vektor baris dari
dilambangkan dengan
vektor kolom dari
dengan

, maka ruang bagian dari
disebut ruang baris (row space) dari

. Ruang bagian dari

yang direntang oleh vektor-

disebut ruang kolom (column space) dari

dilambangkan

.

Contoh :

Misalkan

Ruang baris dari

adalah himpunan tiga tupel yang berbentuk

Ruang kolom dari

adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

Jadi ruang baris dari
kolom dari

adalah

adalah ruang bagian berdimensi dua dari

dan ruang

.

Teorema (2.5)
Dua matriks A dan B yang ekivalen baris (B dapat dibetuk dari A dengan serangkaian
operasi baris yang berhingga banyaknya, yaitu vektor-vektor baris dari B merupakan
kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A) memiliki ruang baris yang sama.
23

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Bukti (Leon, teorema 3.6.1, hal. 144)

II.7

Rank
Rank dari suatu matriks

adalah dimensi dari ruang baris dari

. Untuk

menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan cara mereduksi matriks
yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris. Baris-baris taknol dari matriks
eselon baris akan membentuk basis untuk ruang barisnya.
Contoh :
Misalkan

(
Dengan mereduksi

(

)

menjadi bentuk eselon baris

)
(

(

)

)

(
)

(

maka diperoleh matriks

(

)
24

)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Jelas bahwa
dan

membentuk basis untuk ruang baris dari . Karena

ekivalen baris, maka matriks

matriks

II.8

dan

sehinga rank dari

memiliki ruang baris yang sama dengan

adalah 2.

Ruang Nol (Kernel/ Nullspace)
Misalkan

adalah matriks

. Misalkan

semua penyelesaian dari sistem homogen

menyatakan himpunan

, maka :
|

Akan ditunjukan bahwa
Jika

dan

sehingga

adalah ruang bagian dari

suatu skalar, maka

.

Oleh karena itu,

, maka :

. Ini berarti bahwa

Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen
bagian dari

. Ruang bagian

ruang bagian dari

jika

25

.

membentuk ruang

disebut ruang nol (kernel atau nullspace) dari .

Contoh :
Tentukan

sebagai berikut :

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Penyelesaian : Dengan menggunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan
, maka diperoleh :

|

|
|

|

Bentuk eselon baris tereduksi melibatkan dua variable bebas

jadi, jika didefinisikan

=

dan

(
adalah penyelesaian dari

dan

, maka

)
. Ruang vektor

berbentuk

26

terdiri dari semua vektor

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

di mana

II.9

dan

adalah skalar.

Ruang Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor

adalah sebuah operasi pada

memetakan setiap pasang vektor-vektor ,

yang

dengan sebuah bilangan real

yang memenuhi syarat berikut :
i

, dengan kesamaan jika dan hanya jika

ii

untuk semua

dan

iii

di dalam
untuk semua

semua skalar
Ruang vektor

di dalam

dan

dan

yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil

kali dalam.
Sifat-sifat dasar ruang hasil kali dalam
Jika

adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , panjang atau

norma dari

diberikan oleh
‖ ‖

Dua vektor dikatakan ortogonal jika

√
= 0.
27

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Teorema (2.6) (Hukum Pythagoras)
Jika

dan

adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali dalam

, maka :
‖

‖ ‖

‖ ‖

‖

Bukti (Leon, teorema 5.3.1, hal. 203)
Teorema (2.7) (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika

dan

adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka
|

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika

|

‖ ‖‖ ‖
dan

bergantung linear.

Bukti (Leon, teorema 5.3.2, hal. 206)

II.10 Norma
Definisi (2.7) : Sebuah ruang vektor

dikatakan ruang linear bernorma

(normed linear space) jika untuk setiap vektor
bilangan real ‖ ‖ yang disebut norma dari
i

‖ ‖

ii ‖

iii ‖

dikaitkan dengan sebuah

yang memenuhi :

dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika

‖

‖

| |‖ ‖ untuk setiap skalar .
‖ ‖

‖ ‖ untuk semua
28

.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Teorema (2.8)
Jika

sebuah ruang hasil kali dalam, maka
‖ ‖

√

untuk semua

mendefinisikan sebuah norma pada .
Bukti (Leon, teorema 5.3.3, hal. 207)
Ada banyak norma yang dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor yang
diberikan. Sebagai contoh di
i. ‖ ‖

∑

ii. ‖ ‖

iii. ‖ ‖

∑

:

| |, untuk setiap
| |

=

| |
⁄

Secara khusus, jika p = 2, maka :

‖ ‖

(∑| | )

⁄

Bukti bahwa i, ii, iii adalah norma :
i. Misalkan
1. ‖ ‖
‖ ‖

| |

| |

‖ ‖
|

|

| |

29

| |

|

|

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

| |

2. ‖

|

dan

dan

dan | |

| |

‖

|

|

|

| || |

| | | |
3. Misalkan
‖

|

| |

| |‖ ‖

‖

| |

| |

‖ ‖

dan

|

|

|

| |

|

| || |

|

|

| |

|

dan |

dan

|

| |

| ||
|

‖ ‖

| |

|

| |

| |

|

‖ ‖

|

|

|

| |
|

| |

|

|

| |
| |

| |

Jadi, terbutki bahwa (i) adalah norma.
ii. Misalkan
| || |

1. ‖ ‖

‖ ‖
|

| || |

|

|

Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖

‖ ‖

| |

| || |

dan | |

|

|

dan

30

dan |

|

|

| |

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

dan

2. ‖

‖

|

| || || |

|

| || | | || |

3. Misalkan

dan

|

||

|

| |

‖

dan

| || |

| |‖ ‖

‖

| ||
|

|

||

| || |

| |

| || |

| || |
‖ ‖

|

|

|

|

|

‖ ‖

|

‖ ‖

|

|

|

| |

|

| |

| || |
|

|

| || |

|

| |

| || |

Jadi terbukti bahwa (ii) adalah norma.

iii. Misalkan
1. ‖ ‖

‖ ‖

√

‖ ‖

∑

√

√
31

| |

⁄

√

| |

| |

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

√

2. ‖

‖

dan

dan

dan

dan

dan

dan

√

√
√
√

3. Misalkan
‖

√

| |‖ ‖

‖ ‖

‖

‖ ‖
Diperoleh ‖

‖ ‖

‖

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖

‖ ‖

∑

‖ ‖
‖ ‖ .

Jadi terbukti bahwa (iii) adalah norma.

32

| |

⁄

√

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Contoh :
Misalkan

. Hitung ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

di

adalah vektor

Penyelesaian :
‖ ‖

| |

‖ ‖

√

‖ ‖

|

|

| ||

| |

|| |

√

II.11 Ortogonalitas
Definisi (2.8) : Dua ruang bagian
untuk setiap

dan

Definisi (2.9) : Misalkan
vektor di dalam

dan

dari

dikatakan ortogonal jika

. Notasi yang digunakan jika

adalah ruang bagian dari

yang ortogonal pada setiap vektor di

dan

. Himpunan semua vektorakan dinotasikan dengan

. Jadi,
|
Himpunan

disebut komplemen ortogonal dari .

Teorema (2.9)
Jika

adalah sebuah matriks

, maka

dan

33

ortogonal adalah

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Bukti (Leon, teorema 5.2.1, hal.196).

II.12 Metode Kuadrat Terkecil
Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai sebuah
sistem kelebihan persamaan linear. Sistem kelebihan persamaan linear melibatkan
lebih banyak persamaan daripada peubah yang tidak diketahui. Sistem yang demikian
biasanya tidak konsisten (sistem persamaan tidak dapat diselesaikan). Jadi, jika
diberikan sebuah sistem
Misalkan

yaitu

dengan

adalah sebuah matriks

dengan

.
. Untuk setiap

,

definisikan
‖ ‖
Tinjau sistem persamaan

√

√

. Untuk setiap

dapat dibentuk sebuah vektor

sisa (residual)

Jarak antara

dan

diberikan oleh
‖

Akan dicari sebuah vektor
‖

‖

‖

sehingga ‖

‖ adalah sama dengan meminimumkan ‖

fungsi kuadrat, untuk setiap

dan

‖

tak negatif, jika

34

‖ minimum. Meminimumkan
‖ . Alasannya adalah dalam
maka

. Sebuah

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

vektor

yang memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk

sistem

maka

.
Jika ̂ adalah penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem
adalah sebuah vektor di dalam ruang kolom dari

̂,

dan

yang terdekat ke .

Teorema (2.10)
Misalkan

adalah ruang bagian dari

sebuah elemen tunggal

dari

‖

‖

‖

di dalam . Lebih lanjut, vektor

paling dekat dengan vektor

terdapat

yang terdekat ke , artinya:
‖

untuk semua

. Untuk setiap

yang diberikan dalam

jika dan hanya jika

akan

.

Bukti (Leon, Teorema 5.4.1, hal. 212)
Sebuah vektor ̂ akan menjadi penyelesaian masalah kuadrat terkecil

dan hanya jika

̂ adalah vektor di dalam

dikatakan sebagai proyeksi dari

pada

yang terdekat ke . Vektor

. Berdasarkan Teorema (2.10)
̂

harus merupakan sebuah elemen dari

jika

. Jadi

masalah kuadrat terkecil jika dan hanya jika

35

̂

̂ adalah sebuah penyelesaian

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

̂

Kunci penyelesaian dari masalah kuadrat terkecil diberikan oleh Teorema (2.9) yang
menyatakan bahwa :

Sebuah vektor ̂ akan menjadi penyelesaian kuadrat terkecil dari sistem

jika

dan hanya jika:

̂
atau, ekivalen dengan :
̂

̂

Jadi, untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil

, harus diselesaikan :

̂
Persamaan di atas menggambarkan sebuah persamaan linear

. Persamaan di atas

disebut sebagai persamaan normal (normal equation).
Teorema (2.11).
Jika

adalah matriks

yang memiliki rank , maka persamaan normal

36

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

mempunyai sebuah penyelesaian tunggal
̂

dan ̂ adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem
Bukti (Leon, Teorema 5.4.2, hal. 214).

II.13 Matriks Definit Positif
Suatu matriks A berorde

dikatakan definit positif jika matriks tersebut

simetris dan memenuhi

untuk setiap

II.14

=

Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika

A. Nilai Harapan Variabel Random
Definisi (2.10) : Nilai harapan suatu variabel random

Jika variabel random kontinu
dengan fungsi densitas
Jika
variabel random diskret
dengan fungsi probabilitas

∫
{

didefinisikan oleh

∑

B. Variansi Variabel Random
37

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi (2.11) : Variansi dari suatu variabel random
nilai harapan dari

dengan

adalah

. Yaitu

Contoh :
Dalam suatu keluarga, yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari banyaknya
anak yang terlahir, akan mengikuti ketentuan di bawah ini :

Banyaknya

anak

0

1

2

¼

½

¼

perempuan X
Probabilitas

Nilai harapan dan variansi dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan
dihitung sebagai berikut :

( )

∑

( )
( )

( )
C. Kovariansi Dari Dua Variabel Random

38

( )
( )

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi (2.12) : Diberikan
probabilitas bersama

dan

adalah variabel random dengan distribusi

. Kovariansi dari

dan

]

[
dengan

adalah

dan

II.15 Dasar-Dasar Teori Graf
A. Teori Graf
Definisi (2.13) : Graf
dalam hal ini
dan
yaitu

didefinisikan sebagai pasangan himpunan

, yang

adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul, yaitu
adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul,
, atau dapat ditulis dengan notasi

menghubungkan simpul

dan

maka dapat ditulis

Contoh :
Gambar 2.1 menyatakan graf

dengan:

Gambar 2.1

39

. Bila sisi
.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi (2.14) : Dua buah simpul pada graf

dikatakan berhubungan bila keduanya

terhubung langsung oleh suatu sisi.
Untuk sebarang sisi

, sisi

dikatakan bersisian dengan titik

dan titik .

Contoh :
Pada gambar 2.1, simpul

berhubungan dengan simpul

, tetapi simpul

tidak

adalah titik-titik dalam graf

, jalan

berhubungan dengan simpul .
Definisi (2.15) : Misal
dari
dari

adalah graf,

dan

didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang dimulai

dan diakhiri dengan

sedemikian sehingga titik-titik dan rusuk-rusuk yang

berurutan saling bersisian.
Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang
menghubungkan titik

dan

disebut lintasan

Definisi (2.16) : Misalkan
hanya bila untuk setiap simpul

.

adalah graf. Graf
dan

merupakan graf terhubung bila

di , ada jalan dari titik

Contoh :

Gambar 2.2

40

ke titik .

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Graf

merupakan graf terhubung, sedangkan graf

merupakan graf tidak

terhubung.
B. Terminologi Graf
Berikut ini diberikan diberikan beberapa definisi dari jenis-jenis graf
Definisi (2.17) : Garis parallel adalah dua buah garis yang menghubungkan titik
yang sama. Loop adalah garis yang titik awal dan titik ujungnya sama.
Contoh:

Gambar 2.3
Gambar 2.3 adalah contoh graf yang memuat garis parallel dan loop.
C. Graf Lengkap

41

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi (2.18) : Graf lengkap

adalah graf yang memiliki

dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Graf lengkap

titik dan setiap titik
disebut juga graf

trivial.
Contoh :

Gambar 2.4
Gambar 2.4 merupakan beberapa contoh graf lengkap.
D. Graf Berarah
Definisi (2.19): Suatu graf berarah (Directed Graph) D terdiri atas dua himpunan :
(1) Himpunan V, anggotanya disebut simpul
(2) Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut, yang disebut sisi
berarah.
Graf berarah dinotasikan dengan D(V,A).
Simpul anggota V, digambarkan sebagai titik. Sedangkan sisi a = (u,v), digambarkan
sebagai garis dilengkapi dengan tanda panah mengarah dari simpul u ke simpul v.
simpul u disebut titik pangkal, dan simpul v disebut titik terminal.
Contoh :

Gambar 2.5

42

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Gambar di atas adalah sebuah contoh dari graf berarah dengan :
(1) V mengandung 4 simpul, yakni 1,2,3 dan 4
(2) A mengandung 4 sisi berarah yakni (1,4), (2,1),(4,2),(2,3),(4,3) dan (2,2)
Definisi (2.18) : Apabila sisi berarah suatu graf berarah menyatakan suatu bobot,
maka Graf Berarah tersebut dinamakan jaringan (network).
Contoh :

Gambar 2.6
Gambar (2.5) menyatakan suatu jaringan karena setiap sisi berarahnya diberi bobot.

43

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB III
JARINGAN KETINGGIAN

III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil
Pertama diberikan sebuah contoh permasalahan di dalam geodesi yaitu
masalah leveling, dalam hal ini adalah penentuan tinggi. Masalahnya adalah
menentukan ketinggian dari n titik yang ditentukan x1, x2, ... , xn. Di dalam
prakteknya yang seringkali diukur adalah beda ketinggian. Ketinggian dari titik i
diukur dari titik j, dengan menggunakan prinsip beda ketinggian bij (mungkin tidak
eksak) adalah:

Beda-beda ketinggian ini diukur untuk pasangan tertentu (i,j). Dari pengukuran
bij dapat diperkirakan ketinggian yang sebenarnya.
Pertama, diasumsikan tidak ada galat dalam pengukuran. Maka diharapkan
penyelesaian dapat diselesaikan secara eksak. Tapi, jika dilihat pada persamaan
dengan n = 3 variabel dan m = 3 persamaan, akan ditemukan masalah yaitu :

}
Sistem persamaan linear ini bersifat singular. Matriks koefisien dari persamaan
di atas adalah :

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

A=[

]

Matriks A tidak dapat dibalik (tidak invertibel). Determinan dari A sama
dengan nol :
det (A) = 0 |

|

|

= 0 (-1 – 0)+1(0-1)+1(1-0)

|

|

|

= 0.
Jika ketiga persamaan pada (3.2) tersebut dijumlahkan akan menghasilkan :
0=

(3.3)

Sebuah sistem persamaan linear singular mempunyai dua kemungkinan, tidak ada
penyelesaian atau ada banyak penyelesaian :
1. Tidak konsisten, artinya adalah tidak ada penyelesaian. Jumlahan dari
tidak sama dengan nol. (kasus 1)
2. Persamaan konsisten tapi penyelesaian x1, x2, x3 tidak tunggal. Ada tak hingga
banyak penyelesaian ketika kekonsistenan pada (3.3) dipenuhi. (kasus 2)
Bukti penyelesaian tidak tunggal adalah :

45

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

[

]R3:R3+R1[

|

]R3:R3+R2

]

|

[

|

Jika x3 = , x1 = x2 + b12, x2 = x3 + b23
Maka x2 =

23,

x1 = ( + b23) + b12 , x3 = ,

suatu skalar.

Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan berada pada kasus 1 : tidak ada
penyelesaian. Untuk perhitungan yang eksak, harus berada pada kasus 2 : banyak
penyelesaian. Penjelasannya adalah sebagai berikut:
Tidak dapat menentukan ketinggian yang sebenarnya semata-mata hanya dari
perhitungan beda tinggi. Satu atau lebih dari tinggi xj harus ditetapkan. Titik tinggi
yang telah ditetapkan akan dihilangkan dari variabel.
Misalkan titik ketinggian yang diketahui adalah x3 = H. Persamaan menjadi :

}
Sekarang terdapat tiga persamaan dan hanya dengan dua variabel. Catat bahwa
persamaan tersebut memiliki kekonsistenan yang sama dengan (

) yakni

. Masih terdapat dua kemungkinan, tetapi persamaa