Perbandingan metode regresi kuadrat terkecil dengan metode kekar

(1)

ABSTRACT

HENDRA YULFI. Comparison of Least Squares Regression Methods with Robust Methods. Supervised by N.K. KUTHA ARDANA and HADI SUMARNO.

Ordinary least squares method is generally used to estimate parameter of a linear model. However, ordinary least squares is vulnerable against outliers because this method treats every element of data with equal weight. To overcome this problem, several studies have been done to find methods that produce more robust estimator. The robust methods being studied in this paper are weighted least squares, least absolute deviations, least median squares, and least trimmed squares methods. The comparison among those methods indicates that the method of least absolute deviation and weighted least squares are more resistant in case of the presence of outliers in the dependent variable. Meanwhile, least median squares and least trimmed squares methods are resistant to the presence of outliers both in the dependent and independent variable.

(2)

ABSTRAK

HENDRA YULFI. Perbandingan Metode Regresi Kuadrat Terkecil dengan Metode Kekar. Dibimbing oleh N.K. KUTHA ARDANA dan HADI SUMARNO.

Metode Kuadrat Terkecil secara umum digunakan dalam pendugaan model linear. Namun metode Kuadrat Terkecil kurang cocok digunakan pada kasus gugus data yang berisi pencilan, karena metode ini memperlakukan semua data pengamatan dengan bobot yang sama. Untuk mengatasi masalah tersebut, dilakukan penelitian pendugaan parameter lain yang lebih kekar (robust) dalam mengatasi pencilan, yaitu Metode Kuadrat Terkecil Terboboti, metode Simpangan Mutlak Terkecil, metode Median Terkecil Kuadrat Terkecil, dan metode Kuadrat Terkecil Terpangkas. Hasil pembandingan antar metode menunjukkan metode Simpangan Mutlak Terkecil dan metode Kuadrat Terkecil Terboboti lebih tahan akan keberadaan pencilan namun hanya pencilan terhadap peubah tidak bebas (Y), sedangkan metode Median Terkecil Kuadrat dan metode Kuadrat Terkecil Terpangkas tahan akan keberadaan pencilan baik pencilan terhadap peubah tidak bebas (Y) maupun terhadap peubah bebas (X) sehingga menghasilkan dugaan parameter yang baik.

(3)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dunia teknologi mengalami perkembangan yang sangat pesat. Hal ini ditandai dengan banyak penemuan yang dapat mempermudah kebutuhan hidup manusia. Seiring dengan berkembangnya matematika dan statistika, telah banyak metode komputasi yang diterapkan dalam berbagai bidang sebagai dasar bagi pengambilan keputusan seperti penganalisaan, peramalan dan lainnya. Kita dapat menggunakan berbagai metode yang memungkinkan untuk melihat jauh di luar data yang dikumpulkan dan masuk ke dalam wilayah pengambilan keputusan melalui penganalisaan dan peramalan.

Salah satu model yang telah diterapkan secara luas di berbagai bidang adalah model regresi. Regresi dapat digunakan untuk memprediksi nilai peubah tidak bebas berdasarkan nilai peubah bebas yang diketahui.

Sejak regresi menjadi populer dalam berbagai area penelitian, analisis regresi telah menerapkan berbagai teknik. Telah banyak metode regresi digunakan akan tetapi hasilnya terkadang kurang tepat untuk gugus data tertentu. Oleh karena itu, pencarian metode regresi yang terbaik untuk berbagai data adalah tujuan yang tidak pernah berakhir.

Analisis regresi digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih peubah, yang salah satu peubahnya

merupakan peubah tak bebas dan lainnya merupakan peubah bebas. Metode yang umum digunakan dalam menduga parameter regresi adalah Ordinary Least Squares

(OLS).

Adanya pencilan pada Regresi Linear Sederhana yang menggunakan metode

Ordinary Least of Squares (OLS) atau metode Kuadrat Terkecil merupakan masalah karena penduga parameter pada OLS sensitif terhadap pencilan. Untuk mengatasi masalah tersebut, banyak penelitian dilakukan untuk mencari alternatif pendugaan parameter lain yang lebih kekar (robust) dalam mengatasi pencilan. Metode-metode tersebut antara lain adalah Metode-metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Squares), metode Simpangan Mutlak Terkecil (Least Absolute Deviations), metode Median Terkecil Kuadrat (Least Median Squares), dan metode Kuadrat Terkecil Terpangkas (Least Trimmed Squares).

1.2 Tujuan

1. Mengkaji dan membandingkan metode regresi biasa OLS dengan metode regresi kekar LMS, LAD, LTS, dan WLS.

2. Menerapkan teknik komputasi Metode LMS, LAD, LTS, dan WLS dengan Pemograman Fungsional Mathematica.

II LANDASAN TEORI

2.1 Regresi Linear

Yi : peubah tak bebas ; i = 1, 2, …, n

Xi : peubah bebas ; i = 1, 2, …, n

:vektor parameter regresi ; i = 1, 2, …, n

:vektor galat ; i = 1, 2, …, n

2.2 Regresi Linear Sederhana

Menurut Myers (1990), regresi linear sederhana adalah regresi yang hanya memiliki satu peubah regresor (peubah bebas), misalkan X. Diberikan deskripsi

Yi= β₀+ β₁Xi+ εi i=1,2,…,n 2

Dengan menggunakan data berpasangan {(xi, yi)} untuk i = 1, 2, … , n, akan dicari

dugaan parameter β0 dan β1..

Metode Kuadrat Terkecil dirancang untuk menghasilkan penduga b0 dan b1 untuk menduga β0 dan β1, dan nilai dugaan

y_i= b0+ b1xi 3 yang meminimumkan jumlah kuadrat galat

JKG= n

i=1

= y_i y_i 2

i=1

(4)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis regresi digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih peubah, yang salah satu peubahnya

merupakan peubah tak bebas dan lainnya merupakan peubah bebas. Metode yang umum digunakan dalam menduga parameter regresi adalah Ordinary Least Squares

(OLS).

Adanya pencilan pada Regresi Linear Sederhana yang menggunakan metode

1.2 Tujuan

1. Mengkaji dan membandingkan metode regresi biasa OLS dengan metode regresi kekar LMS, LAD, LTS, dan WLS.

2. Menerapkan teknik komputasi Metode LMS, LAD, LTS, dan WLS dengan Pemograman Fungsional Mathematica.

II LANDASAN TEORI

2.1 Regresi Linear

Yi : peubah tak bebas ; i = 1, 2, …, n

Xi : peubah bebas ; i = 1, 2, …, n

:vektor parameter regresi ; i = 1, 2, …, n

:vektor galat ; i = 1, 2, …, n

2.2 Regresi Linear Sederhana

Menurut Myers (1990), regresi linear sederhana adalah regresi yang hanya memiliki satu peubah regresor (peubah bebas), misalkan X. Diberikan deskripsi

Yi= β₀+ β₁Xi+ εi i=1,2,…,n 2

Dengan menggunakan data berpasangan {(xi, yi)} untuk i = 1, 2, … , n, akan dicari

dugaan parameter β0 dan β1..

Metode Kuadrat Terkecil dirancang untuk menghasilkan penduga b0 dan b1 untuk menduga β0 dan β1, dan nilai dugaan

y_i= b0+ b1xi 3 yang meminimumkan jumlah kuadrat galat

JKG= n

i=1

= y_i y_i 2

i=1

(5)

2.3 Persamaan Regresi Linear

Model Regresi Linear dapat dinyatakan dalam persamaan:

4 Keterangan:

:vektor peubah tak bebas berukuran n x 1 :vektor parameter regresi berukuran p x 1 :matriks peubah bebas berukuran n x p

:vektor galat berukuran n x 1 (Myers 1990) 2.4 Pendugaan Koefisien Regresi Linear

Metode Kuadrat Terkecil adalah suatu metode untuk menghitung koefisien regresi sampel ( ) sebagai penduga koefisien regresi populasi ( ), sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat galatnya memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematik, dapat dinyatakan sebagai berikut:

Model sebenarnya adalah Model estimasinya adalah

(5)

Galat (error)adalah

(6)

Jumlah kuadrat galat adalah

(7) Jadi metode Kuadrat Terkecil adalah metode menghitung sedemikian rupa sehingga persamaan (7) minimum. Caranya adalah dengan membuat turunan parsial mula-mula terhadap dan menyamakan dengan nol.

2 0

2 ₀

2 2 0

(8) (9) (Draper & Smith 1992)

2.5 Pencilan

Pencilan (outlier) didefinisikan sebagai suatu pengamatan yang tampak bertentangan atau tidak konsisten terhadap pengamatan yang lain.

(Barnett & Lewis 1994) Misalkan terdapat n buah data pengamatan y1, y2, ..., yn. Q1 dan Q3

berturut-turut adalah kuartil pertama dan ketiga data pengamatan. Pencilan antara lain dapat dideteksi sebagai pengamatan yang lebih besar dari Q3 + 1.5 (Q3 – Q1) atau lebih kecil dari Q1 – 1.5 (Q3 – Q1).

(Tukey 1979) 2.6 Regresi Kekar

Regresi kekar ditujukan untuk mengatasi penyimpangan-penyimpangan sebagai pengganti metode OLS. Kelebihan metode tersebut adalah kurang peka dibandingkan kuadrat terkecil terhadap penyimpangan-penyimpangan yang sering terjadi dari asumsi ideal.

(Huber 1981) 2.7 Metode Kekar

Metode alternatif lainnya yang bersifat kekar atau tahan terhadap data pencilan antara lain:

1. Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Squares, WLS) 2. Metode Simpangan Mutlak Terkecil

(Least Absolute Deviations, LAD) 3. Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas

(Least Trimmed Squares, LTS) 4. Metode Median Kuadrat Terkecil

(Least Median of Squares, LMS) (Yaffee 2002) 2.8 Metode Median Kuadrat Terkecil

Metode Median Kuadrat Terkecil adalah salah satu metode estimasi dari keluarga regresi kekar. Metode ini melakukan penghitungan dengan menghilangkan pengaruh-pengaruh residu. Dengan menggunakan penduga yang dihasilkan akan lebih kekar dalam menghadapi pencilan, sehingga untuk menghasilkan galat terkecil metode Kuadrat Median Terkecil memiliki fungsi

minimize $% med

(Rousseeuw 1984)

2

(6)

2.9 Prosedur Metode Median Kuadrat Terkecil

Misalkan diberikan sebuah gugus data sampel berukuran N, dan ingin diduga vektor θ berdimensi p yang berisi parameter dari gugus data tersebut. Langkah-langkah yang dilakukan adalah :

1. Tentukan ukuran subset n, tentukan jumlah subset M, dan tentukan juga batas kesalahan yang diinginkan γ

2. Secara acak, ambil M buah subset berukuran n dari sampel berukuran N. Cari dugaan parameter θ'j untuk setiap subset. Cari median dari kuadrat galat e2ij

dari setiap subset. Indeks i adalah indeks untuk sampel, i = 1, 2, 3, …, n dan indeks j adalah untuk subset, j = 1, 2, 3, …, M

3. Definisikan

m= arg min j medi (eij

sehingga subset θ'm merupakan subset dengan median kuadrat galat terkecil dan {eim} adalah vektor galat yang dihasilkan

subset tersebut, 4. Hitung

S0= 1.4826*1+ 5

N p+ ,medieim

2 10 5. Hitung bobot wi, misalkan dengan

wi=1 , -ei

S0- ≤ γ dan wi= s0

|ei|, lainnya

6. Berikan bobot wi kepada

setiap sampel.

7. Lakukan pengepasan dengan menggunakan metode Weighted Least Squares menggunakan {wi} sebagai

bobot untuk mendapatkan /' final. (Yingying C 2009) 2.10 Prosedur Metode Kuadrat Terkecil

Terboboti

1. Hitung galat model 0 1 23 4 , 6 dengan:

0= data pengamatan ke-i,

1 23 4 , 6 = data hasil pendugaan ke-i, i = 1, 2 ,…, n

2. Hitung bobot data pengamatan ke-i ( wi)

yang didefinisikan sebagai berikut:

7 8=1 jika < =_{jika > =}? 12 dengan:

m = 1.345σ ; i = 1, 2, …, n

σ = simpangan baku galat

3. Minimumkan jumlah kuadrat galat terkecil terboboti :

min 8@ 6 7

(Huber 1981) Pada metode Kuadrat Terkecil Terboboti ini, data pencilan diberi bobot < 1 sehingga memiliki peranan yang kecil pada saat peminimuman jumlah kuadrat galat. Oleh karena itu, metode ini menjadi tahan terhadap pengaruh pencilan (bersifat robust). 2.11 Metode Simpangan Mutlak Terkecil

Metode ini merupakan bentuk lain dari metode Kuadrat Terkecil Terboboti [Tanika, 2006]. Paramater p diduga dengan cara meminimumkan jumlah nilai mutlak galat sebagai berikut:

min 8@ 6 C0 g 23 4 , 6 C A

B dengan:

0= data pengamatan ke-i, 1 x3 4 , 6 = data hasil pendugaan ke-i, i = 1, 2,…, n

(Huber 1981) 2.12 Metode Penyelesaian Simpangan

Mutlak Terkecil

Untuk menyelesaikan metode Simpangan Mutlak Terkecil sudah banyak metode yang dipergunakan antara lain: metode Modifikasi Simplex, metode Iteratif Kuadrat Terkecil. Walaupun ide dasar dari metode Simpangan Mutlak Terkecil sekilas terlihat lebih mudah dari metode Kuadrat Terkecil. Namun ternyata tidak mudah untuk menghitungnya secara efisien. Hal ini dikarenakan metode Simpangan Mutlak Terkecil tidak memiliki metode penyelesaian secara analitik. Oleh sebab itu pendekatan secara iteratif dibutuhkan untuk menyelesaikannya.

Terdapat beberapa teknik penyelesaian metode Simpangan Mutlak Terkecil antara lain:

1. Metode Modifikasi Simpleks dengan algoritma Barrodale-Roberts.

(Barrodale-Roberts, 1973) 2. Metode Iteratif Kuadrat Terkecil Terboboti (Iteratively Re-weighted Least Squares).

(Schlossmacher, 1973) 3. Metode Turunan Langsung Wesolowsky’s (Wesolowsky’s Direct Descent Method).

(Wesolowsky, 1981)

3

(7)

4. Metode Pendekatan Maximum Likelihood Li-Arce’s (Li-Arce’s Maximum Likelihood Approach).

(Li-Arce, 2003) (Pfeil 2006) 2.13 Prosedur Metode Iteratif Kuadrat

Terkecil Terboboti

Metode Iteratif Kuadrat Terkecil Terboboti (IRLS) digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi tertentu. Metode ini menyelesaikan fungsi objektif dalam bentuk:

arg min ₇ A

|0 G | ,

Metode iteratif ini setiap langkahnya melibatkan penyelesaian masalah kuadrat terkecil terboboti dalam bentuk:

HI arg min ₇ A

H _{|0 G} _|

2.14 Prosedur Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas

1. Hitung galat model 0 1 23 4 , 6

dengan:

0= data pengamatan ke-i,

1 23 4 , 6 = data hasil pendugaan ke-i, i = 1, 2 ,…, n

2. Urutkan kuadrat galat tersebut dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar:

J K, J K, … , J K

3. Minimumkan jumlah dari q kuadrat galat terkecil:

min 8@ 6 J K A

B dengan:

M N O NPI O,

P = banyaknya parameter;

Q2R bilangan bulat terbesar < 2 (Cizek 2002) Dari prosedur ini terlihat bahwa beberapa galat terbesar (yang diantaranya dihasilkan oleh pencilan) dipangkas (diberi bobot nol) pada saat peminimuman jumlah kuadrat galat. Oleh karena itu, Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas menjadi tahan terhadap pengaruh pencilan (bersifat robust).

2.15 Rataan Persentase Galat Mutlak (Mean Absolute Percentage Error,

MAPE)

MAPE digunakan untuk membandingkan tingkat akurasi penduga antar model. MAPE didefinisikan oleh rumus:

XYZ[ 1_\ ]0 _{0 ] _ 100%}0^ A

13 dengan 0 adalah nilai aktual dan 0^ adalah nilai pendugaan. Rentang norma MAPE adalah [0,100]. Semakin kecil nilai MAPE, model dinilai semakin baik.

2.16 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi, R2, menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model. Untuk model linear sederhana, R2 merupakan kuadrat dari koefisien korelasi, sehingga R2 Є [0,100] %. Makin tinggi nilai R2 makin representatif model tersebut.

(Rodgers & Nicewander 1988) 2.17 Box-and-Whisker-Plot

Box-and-whisker plot digunakan untuk melihat bentuk tebaran dan keragaman dari suatu gugus data. Box-and-whisker plot

terdiri atas:

• sebuah kotak yang mewakili data yang terletak diantara kuartil ke-1(Q1) dan kuartil ke-3(Q3),

• whisker yang mewakili data yang terletak diantara data terkecil dan kuartil ke-1(Q1), dan

• whisker yang mewakili data yang terletak diantara kuartil ke-3(Q3) dan data terbesar.

Di dalam kedua whisker bisa terdapat pencilan.

Gambar 1 Bentuk umum box-and-whisker-plot

(Weisstein 199

4

(8)

III METODOLOGI PENELITIAN

Gambar 2 Diagram alur penelitian

Alur penelitian dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Tahap pembangkitan Data

Dilakukan pembangkitan 3 gugus data berukuran n = 20 berdasarkan model regresi

Y = β0 + β1X + ei. Gugus data 1 merupakan

data tanpa pencilan. Gugus data 2 merupakan data dengan pencilan terhadap Y. Gugus data 3 merupakan data dengan pencilan terhadap X.

2. Tahap pengolahan dengan metode OLS Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3 dengan menggunakan Ordinary Least Square (OLS) dan menentukan nilai , , dan .

3. Tahap pengolahan dengan metode LMS Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang telah dibangkitkan. Kemudian akan diperoleh M kali pengambilan sampel yang

akan diperoleh M subset. Subset-subset tersebut akan diregresikan antar peubah X

dan Y dengan OLS. Dari masing-masing subset akan diperoleh hasil regresi dan mencari nilai median kuadrat galat yang paling kecil. Dugaan parameter subset dengan median kuadrat galat terkecil akan digunakan sebagai hasil LMS.

4. Tahap pengolahan dengan metode LAD Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang telah dibangkitkan. Peubah X dan Y

diregresikan dengan OLS sehingga diperoleh galat. Kemudian dihitung bobot data pengamatan dan diregresikan kembali. Itu semua dilakukan secara berulang. Selanjutnya meminimumkan jumlah dari nilai mutlak galat.

5. Tahap pengolahan dengan metode LTS Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang MEMBANGKITKAN DATA

TANPA PENCILAN DENGAN PENCILAN

OLS LMS LAD LTS

MEMBANDINGKAN HASIL DUGAAN PARAMETER OLS, LMS, LAD, LTS, DAN WLS

STOP

WLS

(9)

telah dibangkitkan. Kemudian peubah X dan

Y diregresikan dengan OLS sehingga diperoleh kuadrat galat. Kuadrat galat diurutkan dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, lalu dilakukan pemangkasan. Langkah terakhir minimumkan jumlah dari kuadrat galat terkecil.

6. Tahap pengolahan dengan metode WLS Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang telah dibangkitkan. Peubah X dan Y

diregresikan dengan OLS sehingga

diperoleh kuadrat galat. Bobot data pengamatan dihitung dan diregresikan kembali. Jumlah kuadrat galat terboboti, kemudian diminimumkan.

7. Tahap pembandingan hasil pendugaan parameter

Pada tahap akhir ini akan dibandingkan Rataan Persentase Galat Mutlak (MAPE) dan hasil dari dugaan kelima metode di atas. Dugaan parameter yang dihasilkan akan ditampilkan dalam bentuk tebaran data (scatter plot)dan persamaan regresi.

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pembangkitan Data

Pada kasus ini dilakukan pembangkitan 3 gugus data berukuran n = 20 berdasarkan model regresi Y = β0 + β1X + eidengan cara

sebagai berikut :

• Gugus data 1. Data tanpa pencilan. a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10

dan ei ~ N (0,5)

b. Dibangkitkan nilai Y dengan memasukkan nilai X = 1,2,…20

• Gugus data 2. Data dengan pencilan terhadap X.

a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10 dan ei ~ N (0,5)

b. Dibangkitkan nilai X = 1,2,…,20 kemudian mengubah nilai X = 17 menjadi X = 30 dan X = 19 menjadi X = 40. • Gugus data 3. Data dengan pencilan

terhadap Y.

a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10 dan

ei ~ N (0,5)

b. Dibangkitkan nilai Y dengan memasukkan nilai X = 1,2,…20 kemudian mengubah nilai Y = 17 menjadi Y = 300 dan Y = 19 menjadi Y = 500.

4.2 Proses Pengolahan Data

4.2.1 Pengolahan Data dengan OLS Gugus data 1, 2, dan 3 diregresikan dengan metode OLS. Tentukan nilai , , , dan MAPE.

4.2.2 Pengolahan Data dengan LMS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3

dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.

b. Membagi setiap gugus data secara random kedalam 5 anak gugus data. c. Meregresikan setiap anak gugus data

dengan metode OLS dan dicari mediannya.

d. Menentukan minimum median dari tiap anak gugus.

e. Mnentukan menggunakan dari hasil regresi gugus data yang mempunyai median yang paling minimum.

f. Menentukan kuadrat galat .

g. Menentukan S0 dan hitung bobot wi untuk mendapatkan dan final. h. Menentukan MAPE.

4.2.3 Pengolahan Data dengan LAD a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3

dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.

b. Menentukan standar deviasi dari . c. Menghitung bobot wi.

d. Meregresikan kembali.

e. Lakukan secara berulang (iteratively) sampai mendapatkan yang relatif stabil.

f. Menentukan MAPE.

4.2.4 Pengolahan Data dengan LTS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3

dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.

b. Menentukan kuadrat galat .

c. Mengurutkan kuadrat galat tersebut dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar.

(10)

telah dibangkitkan. Kemudian peubah X dan

6. Tahap pengolahan dengan metode WLS Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang telah dibangkitkan. Peubah X dan Y

diregresikan dengan OLS sehingga

diperoleh kuadrat galat. Bobot data pengamatan dihitung dan diregresikan kembali. Jumlah kuadrat galat terboboti, kemudian diminimumkan.

7. Tahap pembandingan hasil pendugaan parameter

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pembangkitan Data

Pada kasus ini dilakukan pembangkitan 3 gugus data berukuran n = 20 berdasarkan model regresi Y = β0 + β1X + eidengan cara

sebagai berikut :

• Gugus data 1. Data tanpa pencilan. a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10

dan ei ~ N (0,5)

b. Dibangkitkan nilai Y dengan memasukkan nilai X = 1,2,…20

• Gugus data 2. Data dengan pencilan terhadap X.

a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10 dan ei ~ N (0,5)

b. Dibangkitkan nilai X = 1,2,…,20 kemudian mengubah nilai X = 17 menjadi X = 30 dan X = 19 menjadi X = 40. • Gugus data 3. Data dengan pencilan

terhadap Y.

a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10 dan

ei ~ N (0,5)

b. Dibangkitkan nilai Y dengan memasukkan nilai X = 1,2,…20 kemudian mengubah nilai Y = 17 menjadi Y = 300 dan Y = 19 menjadi Y = 500.

4.2 Proses Pengolahan Data

4.2.1 Pengolahan Data dengan OLS Gugus data 1, 2, dan 3 diregresikan dengan metode OLS. Tentukan nilai , , , dan MAPE.

4.2.2 Pengolahan Data dengan LMS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3

dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.

b. Membagi setiap gugus data secara random kedalam 5 anak gugus data. c. Meregresikan setiap anak gugus data

dengan metode OLS dan dicari mediannya.

d. Menentukan minimum median dari tiap anak gugus.

e. Mnentukan menggunakan dari hasil regresi gugus data yang mempunyai median yang paling minimum.

f. Menentukan kuadrat galat .

g. Menentukan S0 dan hitung bobot wi untuk mendapatkan dan final. h. Menentukan MAPE.

4.2.3 Pengolahan Data dengan LAD a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3

dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.

b. Menentukan standar deviasi dari . c. Menghitung bobot wi.

d. Meregresikan kembali.

e. Lakukan secara berulang (iteratively) sampai mendapatkan yang relatif stabil.

f. Menentukan MAPE.

4.2.4 Pengolahan Data dengan LTS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3

dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.

b. Menentukan kuadrat galat .

c. Mengurutkan kuadrat galat tersebut dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar.

(11)

d. Melakukan pemangkasan sebesar

a \ 1b dari data.

e. Kemudian meregresikan kembali hingga mendapatkan dan final.

f. Menentukan MAPE.

4.2.5 Pengolahan Data dengan WLS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3

dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.

b. Menentukan kuadrat galat .

c. Menentukan standar deviasi dari . d. Menghitung bobot wi.

e. Meregresikan kembali hingga mendapatkan dan final.

f. Menentukan MAPE. 4.3 Hasil

4.3.1 Metode OLS untuk data tanpa pencilan (n = 20)

Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode OLS yaitu:

'_cde 11.6346 9.9577 MAPE 7.3 %

R 99.2860

Gambar 3 Model linear dengan metode OLS untuk data tanpa pencilan

4.3.2 Metode LMS untuk data tanpa pencilan (n = 20)

Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LMS yaitu:

'_dqe _{9.8636 10.0765} MAPE 8.1 %

Gambar 4 Model linear dengan metode LMS untuk data tanpa pencilan

4.3.3 Metode LAD untuk data tanpa pencilan (n = 20)

Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu:

'_drs 10.8228 9.9661 MAPE 9.8 %

Gambar 5 Model linear dengan metode LAD untuk data tanpa pencilan

4.3.4 Metode LTS untuk data tanpa pencilan (n = 20)

Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LTS yaitu:

'_{d e} 10.1312 10.0163 MAPE 6.6 %

5 10 15 20

50 100 150 200

5 10 15 20

50 100 150 200

5 10 15 20

50 100 150 200

(12)

Gambar 6 Model linear dengan metode LTS untuk data tanpa pencilan

4.3.5 Metode WLS untuk data tanpa pencilan (n = 20)

Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode WLS yaitu:

'_tde 10.7187 9.9975 MAPE 8.7 %

Gambar 7 Model linear dengan metode WLS untuk data tanpa pencilan

Gambar 8 Model linear perbandingan metode OLS (▬), LMS (▬), LAD (▬), LTS (▬), dan WLS (▬) tanpa pencilan

Gambar 8 menunjukkan grafik OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS terlihat berhimpit. Dapat disimpulkan untuk data yang tidak mengandung pencilan, tidak ada perbedaan antara kelima metode tersebut.

4.3.6 Metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode OLS yaitu:

'_cde _{19.9975 14.9672} MAPE 29.9 %

R2 65.4448

Gambar 9 Model linear dengan metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap Y

4.3.7 Metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LMS yaitu:

'_dqe _{10.851 10.0297} MAPE 16.3 %

Gambar 10 Model linear dengan metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap Y

4.3.8 Metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu :

'_drs _{20.0096 9.4257} MAPE 20.5 %

5 10 15 20

50 100 150 200 x y

5 10 15 20

50 100 150 200 x y

5 10 15 20

50 100 150 200 x y

5 10 15 20

0 100 200 300 400 500 x y

5 10 15 20

0 100 200 300 400 500 x y

8

(13)

Gambar 11 Model linear dengan metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap Y

4.3.9 Metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LTS yaitu:

'_{d e} _{7.4702 10.69} MAPE 11.2 %

Gambar 12 Model linear dengan metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap Y

4.3.10 Metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode WLS yaitu:

'_tde _{13.4787 10.8963} MAPE 19.4 %

Gambar 13 Model linear dengan metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap Y

Gambar 14 Model linear perbandingan metode OLS (▬), LMS (▬), LAD (▬), LTS (▬), dan WLS (▬) dengan pencilan terhadap Y

Gambar 14 menunjukkan perubahan grafik OLS. Garis regresi metode Kuadrat Terkecil bergeser ke atas menuju titik pencilan, sedangkan LMS, LAD, LTS, dan WLS tidak mengalami pergeseran. Disimpulkan metode LMS, LAD, LTS, dan WLS lebih kekar dibandingkan dengan metode OLS untuk data yang mengandung pencilan terhadap Y.

4.3.11 Metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode OLS yaitu:

'_cde _{74.3304 3.1712} MAPE 68.4 %

R 26.5784

5 10 15 20

0 100 200 300 400 500

5 10 15 20

0 100 200 300 400 500

5 10 15 20

0 100 200 300 400 500

5 10 15 20

0 100 200 300 400 500

(14)

Gambar 15 Model linear dengan metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap X

4.3.12 Metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LMS yaitu:

'_dqe _{3.3536 10.4923} MAPE 12.6 %

Gambar 16 Model linear dengan metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap X

4.3.13 Metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu:

'_drs _{74.3914 3.1634} MAPE 68.4 %

Gambar 17 Model linear dengan metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap X

4.3.14 Metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LTS yaitu:

'_{d e} _{11.704 10.1302} MAPE 36.2 %

Gambar 18 Model linear dengan metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap X

4.3.15 Metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode WLS yaitu:

'_tde _{74.3914 3.1634} MAPE 68.4 %

10 20 30 40

50 100 150 200

10 20 30 40

0 100 200 300 400

10 20 30 40

50 100 150 200

10 20 30 40

0 100 200 300 400

(15)

Gambar 19 Model linear dengan metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap X

Gambar 20 Model linear perbandingan metode OLS (▬), LMS (▬), LAD (▬), LTS (▬), dan WLS (▬) dengan pencilan terhadap X

Gambar 20 menunjukkan perubahan grafik OLS, LAD, dan WLS. Garis OLS, LAD, dan WLS bergeser ke bawah menuju titik pencilan, sedangkan LMS, dan LTS tidak mengalami pergeseran. Disimpulkan metode LMS dan LTS lebih kekar dibandingkan dengan metode OLS, LAD, dan WLS untuk data yang mengandung pencilan terhadap X.

4.3.16 Metode LAD untuk data simetris tanpa pencian (n = 20)

Minimum galat mutlak yang yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu:

uYv | ̂ | A

45.9 uYv | ̂ |

45.9

Gambar 21 Model linear dengan metode LAD untuk data simetris tanpa pencilan 4.4 Pembahasan

Dari hasil di atas dapat dilihat perilaku garis regresi OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS. Untuk data tanpa pencilan, dugaan parameter metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS tidak jauh berbeda. Namun ketika terdapat pencilan terhadap Y terjadi pembiasan dugaan parameter pada metode OLS. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 9, grafik regresi tergeser ke arah pencilan. metode LMS, LAD, LTS, dan WLS tidak mengalami pergeseran sebesar metode OLS. Hal ini dapat dilihat pada gambar 10, Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13.

Begitu pula ketika terdapat pencilan terhadap X terjadi pembiasan dugaan parameter pada metode OLS, LAD, dan WLS. Hal ini ditunjukan pada Gambar 15, Gambar 17, dan Gambar 19 grafik regresi tergeser ke arah pencilan. metode LMS dan LTS tidak mengalami pergeseran sebesar metode OLS, LAD, dan WLS. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 16 dan Gambar 18. Gambar 14 dan Gambar 20 menunjukkan keunggulan metode LMS dan LTS dibandingkan metode OLS, LAD, dan WLS. Metode LMS dan LTS lebih baik dalam mengatasi adanya pencilan baik terhadap Y

maupun terhadap X.

Pada umumnya LAD tidak konsisten dan tidak unik. Pada kasus ini juga terihat bahwa LAD dan WLS tidak konsisten dan tidak unik, karena ketika terdapat pencilan terhadap Y, grafik regresi tidak mengalami pergeseran ke arah pencilan. Namun ketika terdapat pencilan terhadap X grafik regresi mengalami pergeseran ke arah pencilan. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 14 dan Gambar 20. Metode LAD menghasilkan penduga yang tidak unik pada kasus data simetris. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 21.

10 20 30 40

50 100 150 200 x y

10 20 30 40

0 100 200 300 400 x y

5 10 15 20

200 100 0 100 200 x y

11

(16)

Cara lain untuk melihat hasil galat untuk setiap metode adalah menggunakan diagram kotak (box-and-whisker-plot). Diagram kotak ditampilkan Gambar 21 untuk data tanpa pencilan, Gambar 22 untuk data dengan pencilan terhadap Y, dan Gambar 23 untuk data dengan pencilan terhadap X.

Selisih Q3 dan Q1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data. Semakin

besar nilainya maka data semakin beragam. Data yang digunakan dalam diagram kotak ini adalah persentase galat mutlak dari masing-masing metode.

Untuk lebih memperjelas diagram kotak, diberikan juga tabel tentang Q1, Q2,

Q3, nilai maksimum, nilai minimum dan rataan dari galat untuk setiap metode.

Tabel 1 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk data tanpa pencilan Metode Q1 (%) Q2 (%) Q3 (%) Max (%) Min (%) Rataan (%)

OLS 1.3 3.2 6.7 67.0 0.2 7.3

LMS 1.2 3.2 5.7 54.2 0.3 8.1

LAD 1.5 3.0 10.3 60.8 0.1 9.8

LTS 1.6 3.0 5.9 55.8 0.1 6.6

WLS 1.4 3.3 7.5 60.2 0.1 8.7

Gambar 22 Diagram kotak untuk setiap data awal tanpa pencilan Dari diagram kotak dan tabel untuk data

tanpa pencilan yang ditunjukkan pada Gambar 21 dan Tabel 1 di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil dugaan

parameter yang ditunjukkan oleh rentang Q1 dengan Q3 untuk metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama.

Tabel 2 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk data dengan pencilan terhadap Y

Metode Q1 (%) Q2 (%) Q3 (%) Max (%) Min (%) Rataan (%)

OLS 13.2 23.0 35.3 138.9 1.4 29.9

LMS 1.9 3.7 8.3 96.7 0.2 16.3

LAD 2.8 4.3 14.3 127.7 0.3 20.5

LTS 2.6 5.2 8.4 57.9 0.5 11.2

WLS 7.8 11.4 17.8 88.5 1.5 19.4

(17)

Gambar 23 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap Y

Dari diagram kotak dan tabel untuk data tanpa pencilan yang ditunjukkan pada Gambar 22 dan Table 2 di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil dugaan parameter yang ditunjukkan oleh rentang Q1

dengan Q3 untuk metode WLS, LMS, LAD, dan LTS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama kecil, sedangkan metode OLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif besar.

Tabel 3 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min, dan rataan dari galat untuk data dengan pencilan terhadap

Metode Q1 (%) Q2 (%) Q3 (%) Max (%) Min (%) Rataan (%)

OLS 21.4 30.9 65.1 499.5 4.4 68.3

LMS 1.3 3.8 11.0 76.5 0.1 12.6

LAD 21.5 31.0 65.2 499.9 4.4 68.4

LTS 1.8 3.7 11.2 300.6 0.3 36.2

WLS 21.5 31.0 65.2 499.9 4.4 68.4

Gambar 24 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap X

Dari diagram kotak dan tabel untuk data tanpa pencilan yang ditunjukkan pada Gambar 23 dan Table 3 di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil dugaan parameter yang ditunjukkan oleh rentang Q1

dengan Q3 untuk metode LMS, dan LTS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama kecil, sedangkan metode LAD, OLS, dan WLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama besar.

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

1. Pemeriksaan ada atau tidaknya data pencilan merupakan hal yang penting

untuk menentukan metode apa yang sesuai.

(18)

Gambar 23 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap Y

dengan Q3 untuk metode WLS, LMS, LAD, dan LTS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama kecil, sedangkan metode OLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif besar.

Tabel 3 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min, dan rataan dari galat untuk data dengan pencilan terhadap

Metode Q1 (%) Q2 (%) Q3 (%) Max (%) Min (%) Rataan (%)

OLS 21.4 30.9 65.1 499.5 4.4 68.3

LMS 1.3 3.8 11.0 76.5 0.1 12.6

LAD 21.5 31.0 65.2 499.9 4.4 68.4

LTS 1.8 3.7 11.2 300.6 0.3 36.2

WLS 21.5 31.0 65.2 499.9 4.4 68.4

Gambar 24 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap X

dengan Q3 untuk metode LMS, dan LTS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama kecil, sedangkan metode LAD, OLS, dan WLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama besar.

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

1. Pemeriksaan ada atau tidaknya data pencilan merupakan hal yang penting

untuk menentukan metode apa yang sesuai.

(19)

2. Metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS sama baiknya dalam menduga parameter untuk data yang tidak mengandung pencilan. Metode OLS kurang dapat digunakan dalam menduga parameter pada data yang mengandung pencilan karena tidak tahan terhadap pencilan tersebut. 3. Ukuran pembanding antar metode yang

digunakan di sini yaitu MAPE. MAPE di sini hanya digunakan untuk membandingkan, tidak bisa digunakan untuk akurasi model. MAPE menunjukkan bahwa metode LMS, LAD, LTS, dan WLS lebih cocok digunakan pada pendugaan parameter yang melibatkan data pencilan. Metode

LAD dan WLS lebih tahan akan keberadaan pencilan namun hanya pencilan terhadap Y, sedangkan metode LMS dan LTS sangat tahan akan keberadaan pencilan baik pencilan terhadap Y maupun terhadap X sehingga menghasilkan dugaan parameter yang baik.

5.2 Saran

Gugus data yang tidak terdapat pencilan (outlier) sebaiknya menggunakan metode OLS, karena metode ini lebih efektif dan lebih umum, sedangkan untuk gugus data yang mengandung pencilan sebaiknya menggunakan metode kekar LMS, LAD, LTS, atau WLS.

DAFTAR PUSTAKA

Barnett V and Lewis T. 1994. Outliers in

Statistical Data. New York: John Wiley & Sons. Inc.

Cizek P. 2002. Nonlinear Least Trimmed Square.www.statspol.cz/robust/200 2_cizek.pdf (20 Oktober 2005). Draper N and H Smith. 1992. Analisis

Regresi Terapan. Ed. ke-2. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Huber P. 1981. Robust Statistics. New

York: John Wiley & Sons. Inc. Myers R H. 1990. Classical and Modern

Regression with Applications. Boston: PWS-KENT Publishing Company.

Rodgers J L and Nicewander W A. 1988. Thirteen ways to look at the correlation coefficient. The American Statistician 42: 59–66. doi:10.2307/2685263

.

Rousseuw P J. 1984. Least Median of Squares Regression. Journal of the

American Statistician Association

Vol.76, No. 388: 871-880.

Tukey J W. 1979. Exploratory Data Analysis. London: Addison – Wesley PublishingCompany. Weisstein E W. 1999.

Box-and-WhiskerPlot.http://mathworld.Wolf ram.com/Box-andWhiskerPlot.html (19 Mei 2006).

Pfeil W A. 2006. Statistical Teaching Aids, Bachelor of Science thesis, Worcester Polytechnic Institute.

Yaffee R A. 2002. Robust Regression Analysis: Some Popular Statistical Package Options. www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robu st Reg2. Pdf ( 13 September 2005). Yingying C. 2009. Securing Emerging

Wireless Systems, Lower Layer Approaches. New York: Springer Science Bussiness Media.

(20)

PERBANDINGAN METODE REGRESI KUADRAT

TERKECIL DENGAN METODE KEKAR

HENDRA YULFI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(21)

5.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

Barnett V and Lewis T. 1994. Outliers in

Statistical Data. New York: John Wiley & Sons. Inc.

Cizek P. 2002. Nonlinear Least Trimmed Square.www.statspol.cz/robust/200 2_cizek.pdf (20 Oktober 2005). Draper N and H Smith. 1992. Analisis

Regresi Terapan. Ed. ke-2. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Huber P. 1981. Robust Statistics. New

York: John Wiley & Sons. Inc. Myers R H. 1990. Classical and Modern

Regression with Applications. Boston: PWS-KENT Publishing Company.

Rodgers J L and Nicewander W A. 1988. Thirteen ways to look at the correlation coefficient. The American Statistician 42: 59–66. doi:10.2307/2685263

.

Rousseuw P J. 1984. Least Median of Squares Regression. Journal of the

American Statistician Association

Vol.76, No. 388: 871-880.

Tukey J W. 1979. Exploratory Data Analysis. London: Addison – Wesley PublishingCompany. Weisstein E W. 1999.

Box-and-WhiskerPlot.http://mathworld.Wolf ram.com/Box-andWhiskerPlot.html (19 Mei 2006).

Pfeil W A. 2006. Statistical Teaching Aids, Bachelor of Science thesis, Worcester Polytechnic Institute.

Wireless Systems, Lower Layer Approaches. New York: Springer Science Bussiness Media.

(22)

PERBANDINGAN METODE REGRESI KUADRAT

TERKECIL DENGAN METODE KEKAR

HENDRA YULFI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(23)

ABSTRACT

HENDRA YULFI. Comparison of Least Squares Regression Methods with Robust Methods. Supervised by N.K. KUTHA ARDANA and HADI SUMARNO.

(24)

ABSTRAK

HENDRA YULFI. Perbandingan Metode Regresi Kuadrat Terkecil dengan Metode Kekar. Dibimbing oleh N.K. KUTHA ARDANA dan HADI SUMARNO.

(25)

PERBANDINGAN METODE REGRESI KUADRAT

TERKECIL DENGAN METODE KEKAR

HENDRA YULFI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPERTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(26)

Judul Skripsi : Perbandingan Metode Regresi Kuadrat Terkecil dengan Metode

Kekar

Nama

: Hendra Yulfi

NIM

: G54063014

Menyetujui,

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana,M.Sc.

Dr. Ir. Hadi Sumarno,MS.

NIP. 19640823 198903 1 001

NIP. 19590926 198501 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(27)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Payakumbuh pada tanggal 22 November 1988 dari Bapak Firmansyah dan Ibu Yulhaida. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Tahun 2006 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Curug Tangerang dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis melanjutkan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika IPB sebagai Anggota pada tahun 2007.

(28)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat, hidayat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Perbandingan Metode Regresi Kuadrat Terkecil dengan Metode Kekar”. Banyak suka dan duka yang telah penulis alami selama penyusunan karya ilmiah ini. Tapi berkat dorongan dari keluarga, teman dan dosen pembimbing, akhirnya penulis berhasil menyelesaikan karya ilmiah ini.

Penulis menyadari keterbatasan dan kekurangan yang dimiliki, oleh karena itu penulis membutuhkan banyak bantuan dan dukungan dari berbagai pihak yang telah memberikan kontribusi dalam penyusunan karya ilmiah ini, baik secara langsung maupun tak langsung. Penulis bermaksud mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: kedua orang tua (ayah dan ibu) yang selalu memberikan kasih sayang, semangat, bekal dan do’a; Anggi Dwi Putri yang terus mendorong penulis agar tetap semangat; Bapak Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc dan Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku pembimbing yang telah memberikan pengarahan, masukan, serta semangat dalam penelitian dan penulisan karya ilmiah ini; Ibu Ir. Retno Budiarti, MS atas masukan-masukannya yang bermanfaat; Bapak dan Ibu dosen; Staf TU Matematika (Pak Yono, Bu Ade, Bu Susi, Mas Heri, Mas Deny, Mas Bono, dkk.) yang telah membantu kelancaran administrasi; Apri, Manto, dan Boy sebagai rekan diskusi yang telah memberikan banyak pencerahan; Rekan-rekan Math 43 (Emta, Peli, Albrian, Andruw, Resti, Zul); Rekan-rekan Math 42, 44, dan 45; Bocah-bocah Pondok Wina (Tukul, Bete, Nodi, Hengky, Ijo, Miftah, Ongkrek, Koko, Abok, Riqi, Kris, Ekay, Bayu, Gondes, Nanang); Bocah-bocah Jojoba (Dono, Risal, Ipank, Fiul, Ridho, Tedi, Tito, Onta, Wahyu); Adik-adik tersayang; Semua sahabat atas do’a, saran, motivasi, masukan, serta dukungannya kepada penulis; serta seluruh pihak yang tak dapat penuis sebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2010

(29)

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR ISI ... vii DAFTAR TABEL ... viii DAFTAR GAMBAR ... viii DAFTAR LAMPIRAN ... viii I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI ... 1 2.1 Regresi Linear ... 1 2.2 Regresi Linear Sederhana ... 1 2.3 Persamaan Regresi Linear ... 2 2.4 Pendugaan Koefisien Regresi Linear Sederhana ... 2 2.5 Pencian ... 2 2.6 Regresi Kekar ... 2 2.8 Metode Kekar ... 2 2.9 Metode Median Kuadrat Terkecil ... 3 2.10 Prosedur Metode Median Kuadrat Terkecil ... 3 2.11 Prosedur Metode Kuadrat Terkecil Terboboti ... 3 2.12 Metode Simpangan Mutlak Terkecil ... 3 2.13 Metode Penyelesaian Simpangan Mutlak Terkecill ... 4 2.14 Prosedur Metode Iteratif Kuadrat Terkecil Terboboti ... 4 2.15 Prosedur Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas ... 4 2.16 Rataan Persentase Galat Mutlak (Mean Absolut Percentage Error, MAPE) ... 4 2.17 Koefisien Determinasi ... 4 2.18 Box-and-Whisker-Plot ... 4 III METODOLOGI PENELITIAN ... 5 IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 6 4.1 Pembangkitan Data ... 6 4.2 Proses Pengolahan Data ... 6 4.3 Hasil ... 7 4.4 Pembahasan ... 11 V SIMPULAN DAN SARAN ... 13 5.1 Simpullan ... 13 5.2 Saran ... 14 DAFTAR PUSTAKA ... 14 LAMPIRAN ... 15

(30)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 1 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk data tanpa pencilan ... 12 Tabel 2 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk data dengan pencilan

terhadap Y ... 12 Tabel 3 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk data dengan pencilan

terhadap X ... 19

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1 Bentuk umum box-and-whisker-plot ... 4 Gambar 2 Diagram alur penelitian ... 5 Gambar 3 Model linear dengan metode OLS untuk data tanpa pencilan ... 7 Gambar 4 Model linear dengan metode LMS untuk data tanpa pencilan ... 7 Gambar 5 Model linear dengan metode LAD untuk data tanpa pencilan ... 7 Gambar 6 Model linear dengan metode LTS untuk data tanpa pencilan ... 8 Gambar 7 Model linear dengan metode WLS untuk data tanpa pencilan ... 8 Gambar 8 Model linear perbandingan metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS tanpa

pencilan ... 8 Gambar 9 Model linear dengan metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap Y ... 8 Gambar 10 Model linear dengan metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap Y ... 8 Gambar 11 Model linear dengan metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap Y ... 9 Gambar 12 Model linear dengan metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap Y ... 9 Gambar 13 Model linear dengan metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap Y ... 9 Gambar 14 Model linear perbandingan metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS dengan

pencilan terhadap Y ... 9 Gambar 15 Model linear dengan metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap X ... 10 Gambar 16 Model linear dengan metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap X ... 10 Gambar 17 Model linear dengan metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap X ... 10 Gambar 18 Model linear dengan metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap X ... 10 Gambar 19 Model linear dengan metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap X ... 11 Gambar 20 Model linear perbandingan metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS dengan

pencilan terhadap X ... 11 Gambar 21 Model linear dengan metode LAD untuk data simetris tanpa pencilan ... 11 Gambar 22 Diagram kotak untuk setiap data awal tanpa pencilan ... 12 Gambar 23 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap Y... 13 Gambar 24 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap X ... 13

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 Implementasi metode ke dalam pemograman fungsional Mathematica ... 16 Lampiran 2 Membangkitkan data hipotetik tanpa pencilan ... 19 Lampiran 3 Membangkitkan data hipotetik dengan pencilan terhadap Y ... 23 Lampiran 4 Membangkitkan data hipotetik dengan pencilan terhadap X ... 25 Lampiran 5 Membangkitkan data hipotetik simetris tanpa pencilan ... 29 Lampiran 6 Mencari nilai persentase galat mutlak untuk setiap metode untuk data tanpa

(31)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis regresi digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih peubah, yang salah satu peubahnya

merupakan peubah tak bebas dan lainnya merupakan peubah bebas. Metode yang umum digunakan dalam menduga parameter regresi adalah Ordinary Least Squares

(OLS).

Adanya pencilan pada Regresi Linear Sederhana yang menggunakan metode

1.2 Tujuan

1. Mengkaji dan membandingkan metode regresi biasa OLS dengan metode regresi kekar LMS, LAD, LTS, dan WLS.

2. Menerapkan teknik komputasi Metode LMS, LAD, LTS, dan WLS dengan Pemograman Fungsional Mathematica.

II LANDASAN TEORI

2.1 Regresi Linear

Yi : peubah tak bebas ; i = 1, 2, …, n

Xi : peubah bebas ; i = 1, 2, …, n

:vektor parameter regresi ; i = 1, 2, …, n

:vektor galat ; i = 1, 2, …, n

2.2 Regresi Linear Sederhana

Menurut Myers (1990), regresi linear sederhana adalah regresi yang hanya memiliki satu peubah regresor (peubah bebas), misalkan X. Diberikan deskripsi

Yi= β₀+ β₁Xi+ εi i=1,2,…,n 2

Dengan menggunakan data berpasangan {(xi, yi)} untuk i = 1, 2, … , n, akan dicari

dugaan parameter β0 dan β1..

Metode Kuadrat Terkecil dirancang untuk menghasilkan penduga b0 dan b1 untuk menduga β0 dan β1, dan nilai dugaan

y_i= b0+ b1xi 3 yang meminimumkan jumlah kuadrat galat

JKG= n

i=1

= y_i y_i 2

i=1

(32)

2.3 Persamaan Regresi Linear

Model Regresi Linear dapat dinyatakan dalam persamaan:

4 Keterangan:

:vektor peubah tak bebas berukuran n x 1 :vektor parameter regresi berukuran p x 1 :matriks peubah bebas berukuran n x p

:vektor galat berukuran n x 1 (Myers 1990) 2.4 Pendugaan Koefisien Regresi Linear

Model sebenarnya adalah Model estimasinya adalah

(5)

Galat (error)adalah

(6)

Jumlah kuadrat galat adalah

(7) Jadi metode Kuadrat Terkecil adalah metode menghitung sedemikian rupa sehingga persamaan (7) minimum. Caranya adalah dengan membuat turunan parsial mula-mula terhadap dan menyamakan dengan nol.

2 0

2 ₀

2 2 0

(8) (9) (Draper & Smith 1992)

2.5 Pencilan

Pencilan (outlier) didefinisikan sebagai suatu pengamatan yang tampak bertentangan atau tidak konsisten terhadap pengamatan yang lain.

(Barnett & Lewis 1994) Misalkan terdapat n buah data pengamatan y1, y2, ..., yn. Q1 dan Q3

(Tukey 1979) 2.6 Regresi Kekar

(Huber 1981) 2.7 Metode Kekar

Metode alternatif lainnya yang bersifat kekar atau tahan terhadap data pencilan antara lain:

1. Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Squares, WLS) 2. Metode Simpangan Mutlak Terkecil

(Least Absolute Deviations, LAD) 3. Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas

(Least Trimmed Squares, LTS) 4. Metode Median Kuadrat Terkecil

(Least Median of Squares, LMS) (Yaffee 2002) 2.8 Metode Median Kuadrat Terkecil

minimize $% med

(Rousseeuw 1984)

2

(33)

2.9 Prosedur Metode Median Kuadrat Terkecil

Misalkan diberikan sebuah gugus data sampel berukuran N, dan ingin diduga vektor θ berdimensi p yang berisi parameter dari gugus data tersebut. Langkah-langkah yang dilakukan adalah :

1. Tentukan ukuran subset n, tentukan jumlah subset M, dan tentukan juga batas kesalahan yang diinginkan γ

2. Secara acak, ambil M buah subset berukuran n dari sampel berukuran N. Cari dugaan parameter θ'j untuk setiap subset. Cari median dari kuadrat galat e2ij

dari setiap subset. Indeks i adalah indeks untuk sampel, i = 1, 2, 3, …, n dan indeks j adalah untuk subset, j = 1, 2, 3, …, M

3. Definisikan

m= arg min j medi (eij

sehingga subset θ'm merupakan subset dengan median kuadrat galat terkecil dan {eim} adalah vektor galat yang dihasilkan

subset tersebut, 4. Hitung

S0= 1.4826*1+ 5

N p+ ,medieim

2 10 5. Hitung bobot wi, misalkan dengan

wi=1 , -ei

S0- ≤ γ dan wi= s0

|ei|, lainnya

6. Berikan bobot wi kepada

setiap sampel.

7. Lakukan pengepasan dengan menggunakan metode Weighted Least Squares menggunakan {wi} sebagai

bobot untuk mendapatkan /' final. (Yingying C 2009) 2.10 Prosedur Metode Kuadrat Terkecil

Terboboti

1. Hitung galat model 0 1 23 4 , 6 dengan:

0= data pengamatan ke-i,

1 23 4 , 6 = data hasil pendugaan ke-i, i = 1, 2 ,…, n

2. Hitung bobot data pengamatan ke-i ( wi)

yang didefinisikan sebagai berikut:

7 8=1 jika < =_{jika > =}? 12 dengan:

m = 1.345σ ; i = 1, 2, …, n

σ = simpangan baku galat

3. Minimumkan jumlah kuadrat galat terkecil terboboti :

min 8@ 6 7

Metode ini merupakan bentuk lain dari metode Kuadrat Terkecil Terboboti [Tanika, 2006]. Paramater p diduga dengan cara meminimumkan jumlah nilai mutlak galat sebagai berikut:

min 8@ 6 C0 g 23 4 , 6 C A

B dengan:

0= data pengamatan ke-i, 1 x3 4 , 6 = data hasil pendugaan ke-i, i = 1, 2,…, n

(Huber 1981) 2.12 Metode Penyelesaian Simpangan

Mutlak Terkecil

Terdapat beberapa teknik penyelesaian metode Simpangan Mutlak Terkecil antara lain:

1. Metode Modifikasi Simpleks dengan algoritma Barrodale-Roberts.

(Barrodale-Roberts, 1973) 2. Metode Iteratif Kuadrat Terkecil Terboboti (Iteratively Re-weighted Least Squares).

(Schlossmacher, 1973) 3. Metode Turunan Langsung Wesolowsky’s (Wesolowsky’s Direct Descent Method).

(Wesolowsky, 1981)

3

(34)

4. Metode Pendekatan Maximum Likelihood Li-Arce’s (Li-Arce’s Maximum Likelihood Approach).

(Li-Arce, 2003) (Pfeil 2006) 2.13 Prosedur Metode Iteratif Kuadrat

Terkecil Terboboti

Metode Iteratif Kuadrat Terkecil Terboboti (IRLS) digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi tertentu. Metode ini menyelesaikan fungsi objektif dalam bentuk:

arg min ₇ A

|0 G | ,

Metode iteratif ini setiap langkahnya melibatkan penyelesaian masalah kuadrat terkecil terboboti dalam bentuk:

HI arg min ₇ A

H _{|0 G} _|

2.14 Prosedur Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas

1. Hitung galat model 0 1 23 4 , 6

dengan:

0= data pengamatan ke-i,

1 23 4 , 6 = data hasil pendugaan ke-i, i = 1, 2 ,…, n

2. Urutkan kuadrat galat tersebut dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar:

J K, J K, … , J K

3. Minimumkan jumlah dari q kuadrat galat terkecil:

min 8@ 6 J K A

B dengan:

M N O NPI O,

P = banyaknya parameter;

2.15 Rataan Persentase Galat Mutlak (Mean Absolute Percentage Error,

MAPE)

MAPE digunakan untuk membandingkan tingkat akurasi penduga antar model. MAPE didefinisikan oleh rumus:

XYZ[ 1_\ ]0 _{0 ] _ 100%}0^ A

13 dengan 0 adalah nilai aktual dan 0^ adalah nilai pendugaan. Rentang norma MAPE adalah [0,100]. Semakin kecil nilai MAPE, model dinilai semakin baik.

2.16 Koefisien Determinasi

(Rodgers & Nicewander 1988) 2.17 Box-and-Whisker-Plot

Box-and-whisker plot digunakan untuk melihat bentuk tebaran dan keragaman dari suatu gugus data. Box-and-whisker plot

terdiri atas:

• sebuah kotak yang mewakili data yang terletak diantara kuartil ke-1(Q1) dan kuartil ke-3(Q3),

• whisker yang mewakili data yang terletak diantara data terkecil dan kuartil ke-1(Q1), dan

• whisker yang mewakili data yang terletak diantara kuartil ke-3(Q3) dan data terbesar.

Di dalam kedua whisker bisa terdapat pencilan.

Gambar 1 Bentuk umum box-and-whisker-plot

(Weisstein 199

4

(35)

III METODOLOGI PENELITIAN

Gambar 2 Diagram alur penelitian

Alur penelitian dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Tahap pembangkitan Data

Dilakukan pembangkitan 3 gugus data berukuran n = 20 berdasarkan model regresi

Y = β0 + β1X + ei. Gugus data 1 merupakan

data tanpa pencilan. Gugus data 2 merupakan data dengan pencilan terhadap Y. Gugus data 3 merupakan data dengan pencilan terhadap X.

2. Tahap pengolahan dengan metode OLS Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3 dengan menggunakan Ordinary Least Square (OLS) dan menentukan nilai , , dan .

3. Tahap pengolahan dengan metode LMS Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang telah dibangkitkan. Kemudian akan diperoleh M kali pengambilan sampel yang

akan diperoleh M subset. Subset-subset tersebut akan diregresikan antar peubah X

4. Tahap pengolahan dengan metode LAD Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang telah dibangkitkan. Peubah X dan Y

5. Tahap pengolahan dengan metode LTS Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang MEMBANGKITKAN DATA

TANPA PENCILAN DENGAN PENCILAN

OLS LMS LAD LTS

MEMBANDINGKAN HASIL DUGAAN PARAMETER OLS, LMS, LAD, LTS, DAN WLS

STOP

WLS

(1)

data1=Transpose[{x,y}]

data2=Transpose[{x,12.928109955309369`-(y-12.928109955309369`)}]

{{1,22.4284},{2,32.0457},{3,41.3094},{4,53.1783},{5,67.7215},{6,73 .384},{7,80.6535},{8,95.4931},{9,97.9162},{10,103.521},{11,119.926 },{12,121.191},{13,140.103},{14,156.559},{15,160.489},{16,169.043} ,{17,178.262},{18,189.072},{19,202.042},{20,217.565}}

{{1,3.42783},{2,-6.18948},{3,-15.4532},{4,-27.3221},{5,-41.8653},{ 6,-47.5278},{7,-54.7973},{8,-69.6369},{9,-72.06},{10,-77.665},{11, -94.0694},{12,-95.335},{13,-114.247},{14,-130.703},{15,-134.633},{ 16,-143.187},{17,-152.405},{18,-163.216},{19,-176.185},{20,-191.70 9}}

Menduga parameter data simetris tanpa pencilan

LADFit[data1]

{{12.8072,9.78634},4.84648,{22.4284,32.0457,41.3094,53.1783,67.721 5,73.384,80.6535,95.4931,97.9162,103.521,119.926,121.191,140.103,1 56.559,160.489,169.043,178.262,189.072,202.042,217.565},{22.5935,3 2.3799,42.1662,51.9525,57.4051,71.5252,81.3116,91.0979,100.884,110 .671,120.457,130.243,140.03,123.502,159.602,169.389,179.175,188.96 1,198.748,161.843},{-0.165137,-0.334169,-0.856797,1.22576,4.31843, 1.85881,-0.658053,4.39526,-2.968,-7.14931,-0.531239,-9.05198,0.073 6854,2.98867,0.886565,-0.345509,-0.913223,0.110567,3.29391,3.82177 }}

ply=ListPlot[y];

p3=Plot[LADFit[data1][[1,1]]+t*LADFit[data1][[1,2]],{t,1,Length[y] },PlotStyle->Red,Axes->False,Frame->True,FrameLabel->{"x","y"},Plo tRange->All];

Show[p3,ply]

LADFit[data2]

{{13.3204,-9.94165},6.2911,{3.42783,-6.18948,-15.4532,-27.3221,- 41.8653,-47.5278,-54.7973,-69.6369,-72.06,-77.665,-94.0694,- 95.335,-114.247,-130.703,-134.633,-143.187,-152.405,-163.216,- 176.185,-191.709},{3.37879,-6.56286,-16.5045,-26.4462,-36.3878,- 46.3295,-56.2711,-66.2128,-73.6694,-59.5386,-96.0377,-54.881,- 115.921,-125.863,-135.804,-145.746,-155.688,-165.629,-175.571,-

185.513},{0.0490388,0.373383,1.05132,-0.875918,-5.47746,-

1.19835,1.47383,-5 10 15 20

50 100 150 200

(2)

3.42417,3.61072,2.62048,1.96827,0.379765,1.67397,-4.84056,1.17171,2.5591,3.28212,2.41365,-0.614381,-6.19652}}

p2y=ListPlot[12.928109955309369`- (y-12.928109955309369`)];

p4=Plot[LADFit[data2][[1,1]]+t*LADFit[data2][[1,2]],{t,1,Length[y] },PlotStyle->Red,Axes->False,Frame->True,FrameLabel->{"x","y"},Plo tRange->All];

Show[p4,p2y]

Kesimetrisan

Show[p3,ply,p4,p2y]

Mencari nilai minimum galat mutlak untuk data simetris tanpa pencilan

Minedata1=Plus@@Abs[LADFit[data1][[5]]]

45.9

minedata2=Plus@@Abs[LADFit[data2][[5]]]

45.9

Lampiran 6

Mencari nilai persentase galat mutlak untuk setiap metode untuk data tanpa

pencilan

Quartiles[galat1];Max[galat1];Min[galat1];Mean[galat1];

5 10 15 20

 150  100  50 0

5 10 15 20

 200

 100

0 100 200

(3)

Quartiles[galat2];Max[galat2];Min[galat2];Mean[galat2];

Quartiles[galat3];Max[galat3];Min[galat3];Mean[galat3];

Quartiles[galat4];Max[galat4];Min[galat4];Mean[galat4];

Quartiles[galat5];Max[galat5];Min[galat5];Mean[galat5];

Metode Q1 (%) Q2 (%) Q3 (%) Max (%) Min (%) Rataan (%)

OLS 1.3 3.2 6.7 67 0.2 7.3

LMS 1.2 3.2 5.7 54.2 0.3 8.1

LAD 1.5 3 10.3 60.8 0.2 9.8

LTS 1.6 3 5.9 55.8 0.1 6.6

WLS 1.4 3.3 7.5 60.2 0.1 8.7

galat1= Abs[(y–OLSFit[data][[3]])/y]*100

{67.0181,9.956,17.4967,3.23761,9.34213,0.828741,3.25664,3.95363,7. 86356,0.220924,5.45732,1.30678,3.18971,1.09299,3.35482,0.399617,1. 37043,3.50987,1.82794,2.17806}

galat2=Abs[(y–LMSFit[data,4][[3]])/y]*100

{54.2384,4.61188,51.6575,5.67401,7.24674,0.666182,2.06391,3.01907, 8.50235,0.304668,5.81971,1.0397,3.34541,1.1638,3.34844,0.47561,1.2 3514,3.70886,2.07421,2.47108}

galat3=Abs[(y–LADFit[data][[3]])/y]*100

{60.8041,7.18542,33.1244,4.70072,7.97177,0.246794,2.30069,3.10576, 26.6891,0.435003,22.4676,0.757405,3.00905,1.54764,12.7152,0.001721 66,1.73522,3.15155,1.49717,1.8659}}

galat4=Abs[(y–LTSFit[data][[3]])/y]*100

{55.8431,5.12514,20.1354,5.62341,7.18753,0.798173,1.8689,2.77563,8 .75166,0.605802,6.12739,0.688551,3.69859,1.54025,3.72965,0.0673171 ,1.64696,3.26657,1.63017,2.01738}

galat5=Abs[(y–WLSFit[data][[3]])/y]*100

{60.242,7.04174,33.1882,4.66003,8.06626,0.127416,2.44788,3.27357,2 6.5836,0.245532,9.20246,0.968411,3.46291,1.32762,3.54601,0.23596,1 .50064,3.40194,1.74722,2.12019}

Needs["StatisticalPlots"]

BoxWhiskerPlot[b4,b1,b2,b5,b3,BoxOutliers->All,BoxLabels->{"LTS"," OLS","LMS","WLS","LAD"},FrameLabel->{None,"%"}]

(4)

Mencari nilai persentase galat mutlak untuk setiap metode untuk data

dengan pencilan terhadap Y

Quartiles[galat6];Max[galat6];Min[galat6];Mean[galat6];

Quartiles[galat7];Max[galat7];Min[galat7];Mean[galat7];

Quartiles[galat8];Max[galat8];Min[galat8];Mean[galat8];

Quartiles[galat9];Max[galat9];Min[galat9];Mean[galat9];

Quartiles[galat10];Max[galat10];Min[galat10];Mean[galat10];

Metode Q1 (%) Q2 (%) Q3 (%) Max (%) Min (%) Rataan (%)

OLS 13.2 23 35.3 138.9 1.4 29.9

LMS 1.9 3.7 8.3 96.7 0.2 16.3

LAD 2.8 4.3 14.3 127.9 0.3 20.5

LTS 2.6 5.2 8.4 57.9 0.5 11.2

WLS 7.8 11.4 17.8 88.5 1.5 19.4

galat6=Abs[(ypencilan–OLSFit[datapencilan][[3]])/ypencilan]*100

{138.91,65.3686,50.4992,25.0364,2.3797,1.39647,7.61614,13.5678,4.3 7805,16.8588,12.8567,23.311,19.7912,24.1181,22.7631,28.8938,21.851 8,35.2548,47.1242,35.4104}

galat7=Abs[(ypencilan–LMSFit[datapencilan,4][[3]])/ypencilan]*100

{61.5143,7.72706,18.6249,4.1694,8.58804,0.332043,2.90163,3.71717,7 .98704,0.163509,5.45086,1.36877,3.08525,0.946168,3.17703,0.615835, 92.1008,3.7876,96.6874,2.49609}

galat8=Abs[(ypencilan–LADFit[datapencilan][[3]])/ypencilan]*100

{127.684,35.4357,4.02246,8.50748,19.5155,8.14976,9.1607,8.64346,4. 59978,2.97376,3.48897,2.84474,2.18881,0.486215,3.11796,0.318897,74 .7935,2.8583,90.5737,1.07984}

galat9=Abs[(ypencilan–LTSFit[datapencilan][[3]])/ypencilan]*100

{40.4709,0.54691,21.4074,5.56003,8.44679,1.15265,4.47733,5.88232,5 .6559,3.06718,2.42162,4.87838,0.484956,2.89327,0.738934,4.83474,36 .9333,8.39952,57.884,7.25868}

(5)

{88.5425,22.925,8.23467,7.28801,20.9787,11.3881,13.9378,14.6027,1. 50077,10.3407,4.03685,11.4327,6.44787,8.71877,6.20297,10.3016,33.7 616,13.6713,82.0966,12.171}

Needs["StatisticalPlots"]

BoxWhiskerPlot[b9,b7,b8,b10,b6,BoxOutliers->All,BoxLabels->{"LTS", "LMS","LAD","WLS","OLS"},FrameLabel->{None,"%"}]

Mencari nilai persentase galat mutlak untuk setiap metode untuk data

dengan pencilan terhadap X

Quartiles[galat11];Max[galat11];Min[galat11];Mean[galat11];

Quartiles[galat12];Max[galat12];Min[galat12];Mean[galat12];

Quartiles[galat13];Max[galat13];Min[galat13];Mean[galat13];

Quartiles[galat14];Max[galat14];Min[galat14];Mean[galat14];

Quartiles[galat15];Max[galat15];Min[galat15];Mean[galat15];

Metode Q1 (%) Q2 (%) Q3 (%) Max (%) Min (%) Rataan (%)

OLS 21.4 30.9 65.1 499.5 4.4 68.3

LMS 1.3 3.8 11 76.5 0.1 12.6

LAD 21.5 31 65.2 499.9 4.4 68.4

LTS 1.8 3.7 11.2 300.6 0.3 36.2

WLS 21.5 31 65.2 499.9 4.4 68.4

Galat11=Abs[(xpencilan–OLSFit[datapencilan][[3]])/xpencilan]*100

{499.482,181.156,66.6536,63.6012,60.5451,31.8721,115.133,13.5227,8 3.064,4.4373,14.7857,13.173,20.707,22.2538,26.8267,26.5493,30.0869 ,28.7356,31.7617,33.2245}

Galat12=Abs[(xpencilan–LMSFit[datapencilan,4][[3]])/xpencilan]*100

{7.0991,15.1782,30.7689,14.7868,0.6412,6.33795,68.7191,0.606028,76 .4736,2.42434,7.33055,0.135055,4.10349,1.61497,3.51244,0.559351,0. 930726,4.23715,2.77896,3.34639}

(6)

{499.893,181.314,66.7283,63.6572,60.5842,31.8921,114.913,13.521,82 .8352,4.45272,14.8051,13.1983,20.7348,22.2855,26.8604,26.5869,30.1 26,28.7787,31.806,33.4512}

Galat14=Abs[(xpencilan–LTSFit[datapencilan][[3]])/xpencilan]*100

{68.8895,11.4002,16.3303,1.81005,11.0008,2.38845,300.655,5.60362,2 79.369,1.83762,3.923,2.95925,1.6037,0.533473,1.76033,2.06085,0.265 702,5.2309,3.52449,3.88362}

galat15=Abs[(xpencilan–WLSFit[datapencilan][[3]])/xpencilan]*100

{499.893,181.314,66.7283,63.6572,60.5842,31.8921,114.913,13.521,82 .8352,4.45272,14.8051,13.1983,20.7348,22.2855,26.8604,26.5869,30.1 26,28.7787,31.806,33.4512}

Needs["StatisticalPlots"]

BoxWhiskerPlot[b12,b14,b11,b13,b15,BoxOutliers->All,BoxLabels->{"L MS","LTS","OLS","LAD","WLS"},FrameLabel->{None,"%"}]