Estimasi Parameter Distribusi Pareto Dengan Metode Kuadrat Terkecil, Maximum Product Of Spacing, Dan Regresi Ridge

(1)

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN

METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT

OF SPACING DAN REGRESI RIDGE

SKRIPSI

MEILISA MALIK

070803005

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(2)

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN

METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT

OF SPACING DAN REGRESI RIDGE

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains

MEILISA MALIK

070803005

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL,

MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, DAN REGRESI RIDGE

Kategori : SKRIPSI

Nama : MEILISA MALIK

Nomor Induk Mahasiswa : 070803005

Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si. Drs, Marwan Harahap, M.Eng NIP. 195003211980031001 NIP. 194612251974031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof.Dr.Tulus.Vordipl.Math.,M.Si.,Ph.D NIP. 196209011988031002

(4)

PERNYATAAN

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, DAN REGRESI

RIDGE

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

MEILISA MALIK 070803005

(5)

PENGHARGAAN

Bismillahirrahmanirrahim

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang, atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah membawa umatnya ke jalan kebenaran.

Skripsi ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi dan diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Fakultas FMIPA Departemen Matematika. Pada skripsi ini penulis mengambil judul skripsi tentang ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, DAN REGRESI RIDGE.

Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini melibatkan banyak pihak yang telah membantu. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng sebagai dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si sebagai dosen pembimbing II atas bimbingan dan penjelasan yang diberikan demi selesainya skripsi ini.

3. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si sebagai komisi penguji yang telah banyak memberikan saran demi perbaikan skripsi ini.

4. Bapak Prof.Dr.Tulus.Vordipl.Math.,M.Si.,Ph.D dan ibu Dra.Mardiningsih,M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

5. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.

6. Bapak Drs. Pangeran Sianipar, M.S selaku dosen Penasehat Akademik.

7. Bapak dan Ibu dosen pengajar Departemen Matematika FMIPA USU yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

8. Staf pegawai Departemen Matematika FMIPA USU.

9. Ayahanda Edi Wijaya dan Ibunda Sri Lestari yang saya sayangi dan telah membesarkan mendidik saya dengan penuh kasih sayang dari kecil hingga saat ini memberi dukungan moril dan materil yang tak ternilai dengan apapun.

10.Adik-adik tersayang: D’Wawan, Tegar, Nova dan seluruh keluarga yang selama ini selalu memberikan semangat dalam menyelesaikan skripsi ini.

11.Untuk Rizqi terima kasih telah memberi bantuan dan motivasi yang sangat besar sehingga saya lebih bersemangat mengerjakan skripsi ini.

12.Teman-teman kuliah: Kessy, Nely, Dian, Zulham, Warsini, Lia, Siti F, Erna, Novi, Siti H, Rina dan teman-teman stambuk 2007, serta kakak dan abang senior: Kak Tria, Kak Linda dan Bang Mahatir yang telah banyak memberikan motivasi dan bantuan.

(6)

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan skripsi ini. Semoga segala bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan dari Allah SWT.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat kepada pembaca.

Medan, Juni 2011, Penulis

(7)

ABSTRAK

Dalam tulisan ini, metode kuadrat terkecil, regresi ridge, dan Maximum Product of Spacing (MPS) digunakan untuk menaksir parameter distribusi pareto. Metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penaksir yang tidak bias, tetapi koefisien variansnya mungkin besar. Regresi ridge akan menghasilkan penaksir bias, sehingga koefisien variansnya bisa diperkecil. MPS memberikan penaksir yang konsisten pada lebih banyak kondisi yang umum, dan juga memberikan penaksir yang efisien. Untuk mengetahui penaksir mana yang terbaik, rata-rata kuadrat error (MSE) digunakan untuk membandingkan antara metode-metode ini dan contoh kasus diberikan.

(8)

ESTIMATION PARAMETERS FOR PARETO DISTRIBUTION BY LEAST SQUARES, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, AND RIDGE

REGRESSION METHODS

ABSTRACT

In this paper, least squares, ridge regression, and Maximum Product of Spacing (MPS) methods are used to estimate the parameters for pareto distribution. Least squares method will produce unbiased estimators, but coefficient of variance of the estimators may be large. Ridge regression method will produce biased estimators, so coefficient of variance of the estimators can be minimized. MPS method gives consistent estimators under much more general conditions, it gives also efficient estimators. To know which the best estimators, then Mean Squared Error (MSE) are used to compare between these methods and numerical example are worked out.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan……….………ii

Pernyataan……….………iii

Penghargaan……….………...iv

Abstrak……….………...vi

Abstract……….vii

Daftar Isi……….……….viii

Daftar Tabel………....x

Daftar Gambar……….………..xi

Bab 1 Pendahuluan………..……….1

1.1Latar Belakang………..1

1.2Perumusan Masalah………...2

1.3Tinjauan Pustaka………...2

1.4Tujuan Penelitian………...5

1.5Kontribusi Penelitian………...6

1.6Metodologi Penelitian………...6

Bab 2 Landasan Teori………...8

2.1 Penaksiran Parameter..………..8

2.1.1 Metode Penaksiran Klasik………...8

2.1.2 Metode Penaksiran Bayes…….………...9

2.1.3 Cara-cara Menaksir...………...10

2.2 Distribusi Pareto……….10

2.3 Metode Kuadrat Terkecil…………..………..14

2.4 Regresi Ridge……….16

(10)

Bab 3 Pembahasan………...20

3.1 Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil..20

3.2 Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Regresi Ridge…..22

3.3 Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Maximum Product of Spacing...…... ………...…23

3.4 Contoh Kasus……….25

3.4.1 Penyelesaian dengan Metode Kuadrat Terkecil………29

3.4.2 Penyelesaian dengan Metode Regresi Ridge………31

3.4.3 Penyelesaian dengan Metode Maximum Product of Spacing ……..34

Bab 4 Kesimpulan dan Saran……….………50

4.1 Kesimpulan………...50

4.2 Saran………..51

(11)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 Taksiran Regresi Ridge…...………....………18

Tabel 3.1 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi

ridge ( , )……….……… 24 Tabel 3.2 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi

ridge ( , )………. 25 Tabel 3.3 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi

ridge ( , )………..26 Tabel 3.4 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi

ridge ( , )………..27 Tabel 3.5 Estimasi parameter dengan metode kuadrat terkecil……....……..……....30 Tabel 3.6 Estimasi parameter dengan metode regresi ridge……….….……..…...32 Tabel 3.7 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )...33 Tabel 3.8 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )...35 Tabel 3.9 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )...37 Tabel 3.10 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , ).…..39 Tabel 3.11 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , ).…..41 Tabel 3.12 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )…...43 Tabel 3.13 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )…...45 Tabel 3.14 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )…...47 Tabel 3.15 Estimasi parameter dengan metode MPS………...………..48

(12)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai

nilai k………..12

Gambar 2.2 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai

nilai ……….………12

Gambar 2.3 Cumulative Distribution Function Distribusi Pareto untuk

berbagai nilai ……..…….……….………..13 Gambar 2.4 Cumulative Distribution Function Distribusi Pareto untuk

(13)

ABSTRAK

(14)

ESTIMATION PARAMETERS FOR PARETO DISTRIBUTION BY LEAST SQUARES, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, AND RIDGE

REGRESSION METHODS

ABSTRACT

(15)

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Para peneliti maupun administrator dalam bidang bisnis, pendidikan, pemerintahan, ekonomi, maupun bidang lain, semuanya berkepentingan dalam masalah estimasi atau penaksiran. Misalnya dalam menaksir banyaknya siswa yang memasuki perguruan tinggi periode mendatang, atau proporsi pemilih yang akan memilih salah satu diantara tiga calon presiden dalam pemilihan umum mendatang. Estimasi ini biasanya dilakukan pada parameter suatu populasi. Untuk mengambil kesimpulan dari masalah-masalah tersebut maka perlu melakukan estimasi parameter-parameter yang belum diketahui harga sebenarnya.

Dalam mengestimasi parameter-parameter populasi, ada banyak metode yang dapat digunakan. Tiga diantaranya yaitu metode kuadrat terkecil,

maximum product of spacing, dan regresi ridge. Metode kuadrat terkecil dan regresi ridge biasanya digunakan dalam penaksiran regresi. Sedangkan

maximum product of spacing biasanya digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter dalam model statistika univariat.

Distribusi pareto merupakan model probabilitas dengan variabel

continuous. Distribusi pareto memiliki dua parameter yang biasa disebut

location parameter dan slope parameter. Distribusi pareto umumnya digunakan dalam bidang sosial, ekonomi, bisnis, asuransi, maupun politik. Sebagai contoh, politik perhatian john dan baumgartner (2005) menganggap kemungkinan perubahan kebijakan didistibusikan dengan distribusi pareto. Distribusi pareto juga telah digunakan untuk mempelajari tingkat ozon di atmosfer.

(16)

Untuk kepentingan-kepentingan tertentu dalam bidang-bidang di atas, sering kali perlu dilakukan penaksiran terhadap parameter-parameter distribusi pareto agar dapat diambil kesimpulan yang tepat. Untuk mengetahui taksiran parameter-parameternya maka perlu dilakukan estimasi. Parameter-parameter ini dapat diestimasi dengan banyak metode, diantaranya tiga metode di atas yaitu metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing, dan regresi ridge.

Dari uraian di atas serta dengan mempertimbangkan kemampuan penulis, maka penulis ingin melakukan penelitian dengan judul “ Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil, Maximum product of spacing, dan Regresi Ridge”.

1.2.Perumusan Masalah

Dalam penulisan ini yang menjadi permasalahannya adalah menentukan parameter-parameter distribusi pareto yang akan ditaksir, kemudian memperlihatkan bagaimana cara menaksir parameter-parameter tersebut dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing

dan regresi ridge.

1.3.Tinjauan Pustaka

(Walpole, 1995) sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel disebut statistik. Sedangkan sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu populasi disebut parameter. Nilai parameter yang sebenarnya tetapi belum diketahui dapat ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Metode kuadrat terkecil berpangkal pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua (kuadrat) dari pada jarak antara titik-titik dengan garis regresi

(17)

yang sedang dicari harus sekecil mungkin. Untuk fenomena yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y dimana model regresi linier untuk populasi

dapat ditaksir parameter-parameternya. Harga parameter dan ditaksir oleh a dan b sehingga diperoleh persamaan regresi dengan menggunakan data sampel :

Walpole dan Myers (1986, hal: 374), metode kuadrat terkecil menghasilkan penaksir tak bias untuk koefisien regresi, tapi penaksir mungkin mempunyai variansi yang besar. Variansi yang besar ini menimbulkan dua kesulitan, dalam praktek, pada penaksir kuadrat terkecil bila terdapat kolinieritas ganda yang parah:

1. penaksir mungkin sekali amat tidak stabil, maksudnya peka terhadap perubahan kecil pada data yang kelihatannya tidak penting;

2. penaksir cenderung menghasilkan koefisien yang terlalu besar, positif maupun negatif

ini disebabkan kenyataan bahwa mungkin mempunyai bias positif yang besar akibat kolinearitas kendatipun tak bias. Karena korelasi antara peubah bebas sering merupakan gejala yang wajar, kesulitan karena kolinearitas ini tidak selalu dapat dihindari dengan mengubah rencana percobaan atau dengan mencari tambahan data. Suatu cara menghadapi masalah ini adalah meninggalkan metode kuadrat terkecil dan menggunakan cara penaksiran yang bias.

Dalam menggunakan cara penaksiran yang bias, pada dasarnya kita bersedia menerima sejumlah bias tertentu dalam taksiran agar variansi penaksir dapat diperkecil. Penaksir yang bias yang diperoleh untuk koefisien regresi , , , … , dalam model

(18)

dinyatakan dengan , , … , dan disebut taksiran regresi ridge.

(Wikipedia, 2010), dalam statistika, Maximum Spacing Estimation

(MSE) atau Maximum product of spacing (MPS) adalah metode untuk mengestimasi parameter dari model statistika univariat. Metode ini membutuhkan rata-rata geometrik maximum dari jarak data tersebut, yang berbeda antara nilai cdf dari titik data. Metode MPS memilih nilai parameter untuk membuat observasi data seseragam mungkin, berdasarkan spesifikasi ukuran kuantitatif dari keseragaman.

Andaikan ,…, adalah sampel acak berukuran n dari distribusi univariat dengan cdf , dimana adalah parameter yang belum diketahui dan akan ditaksir, dan andaikan { ,…, } kecocokan sample , itu merupakan hasil dari pemilihan semua observasi dari yang terkecil hingga terbesar.

Definisikan spacing sebagai “celah” antara nilai fungsi distribusi pada titik perintah yang berdekatan :

, dimana .

Maka penaksir maximum spacing dari didefinisikan sebagai nilai maximum logaritma rata-rata geometrik dari spacing sampel :

̂ .

Dimana,

∑

(19)

(Yossef, 2005), distibusi pareto atau disebut juga dengan distibusi power law adalah suatu model probabilitas untuk variabel continuous untuk variable acak X didefinisikan sebagai :

(

dimana x adalah nilai dalam range yang didefinisikan untuk X, adalah salah satu parameter yang disebut location parameter dan adalah parameter lain yang disebut slope parameter.

Fungsi padat peluang (PDF) distribusi pareto yaitu:

PDF tersebut mempunyai rata-rata yang infinit pada dan varians yang infinit pada

1.4.Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari taksiran parameter distribusi pareto dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing, dan regresi ridge. Kemudian, dari sebuah contoh kasus yang diberikan akan dibandingkan mana metode yang terbaik diantara ketiga metode ini.

(20)

1.5.Kontribusi Penelitian

Selain sebagai tambahan literatur dan pengetahuan pembaca yang ingin mempelajari tentang estimasi parameter dan distribusi pareto, semoga penelitian ini dapat bermanfaat bagi peneliti lain yang ingin meneliti masalah yang berhubungan dengan estimasi parameter distribusi pareto agar dapat mengambil kesimpulan yang tepat.

1.6.Metodologi Penelitian

Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur yang diambil dari berbagai buku teks dan jurnal, dimana penyajiannya menggunakan metode menguraikan dan menjelaskan konsep-konsep dasar dan pembahasan yang berhubungan dengan studi ini. Adapun kerangka pemikiran dalam studi ini menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Mempelajari tentang cara-cara mengestimasi atau menaksir dan metode-metode yang digunakan dalam menaksir.

2. Menjelaskan tentang beberapa teori dan definisi yang akan digunakan dalam studi ini.

3. Membuat persamaan regresi linier sederhana dari fungsi probabilitas distribusi pareto.

4. Mencari taksiran parameter distribusi pareto dengan metode kuadrat terkecil dari persamaan regresi yang diperoleh.

5. Menentukan kendala tunggal dari persamaan regresi linier.

6. Dengan metode multiple Langrange akan dicari taksiran parameter distribusi pareto dengan metode regresi ridge.

7. Menentukan spacing atau jarak antara fungsi probabilitas distribusi pareto. 8. Menentukan logaritma rata-rata geometrik dari jarak fungsi tersebut. 9. Meminimumkan rata-rata geometrik dan mencari taksiran parameter

(21)

10.Dari contoh kasus yang diberikan, akan dibandingkan mana metode yang terbaik diantara ketiga metode ini dengan MSE.

(22)

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1. Penaksiran Parameter

Jika adalah nilai parameter populasi yang belum diketahui harganya , maka dapat ditaksir oleh nilai statistik ̂, dan ̂ disebut sebagai penaksir atau fungsi keputusan. Dalam menaksir sangat dikehendaki ̂ , tetapi ini merupakan keinginan yang bersifat ideal. Kenyataannya yang bisa terjadi adalah:

a. ̂

b. ̂

Keduanya ini jelas tidak dikehendaki. Oleh karena itu diinginkan penaksir yang baik.

2.1.1. Metode Penaksiran Klasik

Metode penaksiran klasik mendasarkan kesimpulannya semata-mata pada informasi yang diperoleh dari suatu contoh acak yang ditarik dari populasi tersebut. Metode ini sering digunakan untuk menaksir rata-rata, proporsi, simpangan baku, dan lain-lain.

Misalkan ̂ adalah taksiran untuk parameter yang belum diketahui nilainya. Jelas diinginkan sebaran penarikan sampel untuk ̂ memiliki rata-rata yang sama

(23)

dengan parameter yang ditaksir, yaitu ( ̂ . Penaksir yang memiliki sifat ini disebut dengan penaksir tak bias.

Definisi:

1. Penaksir ̂ dikatakan penaksir tak bias jika rata-rata semua harga ̂ yang mungkin, akan sama dengan , yaitu: ( ̂ .Apabila ̂ dan ̂ merupakan penaksir tak bias bagi parameter populasi yang sama, maka akan dipilih penaksir yang sebaran penarikan sampelnya mempunyai varians terkecil. Bila varians ̂ lebih kecil dari varians ̂ , maka ̂ merupakan penaksir yang lebih efisien dari pada ̂ .

2. Diantara semua penaksir tak bias yang mungkin bagi parameter , yang mempunyai varians terkecil adalah penaksir paling efisien bagi dan disebut dengan penaksir bervarians minimum.

3. Penaksir yang tak bias dan bervarians minimum dinamakan penaksir terbaik.

2.2.2. Metode Penaksiran Bayes

Pendekatan Bayes terhadap metode penaksiran statistik menggabungkan informasi yang dikandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya. Teknik Bayes menggunakan sebaran awal bersama-sama dengan bukti yang dikandung oleh sampel untuk menghitung sebaran posterior bagi parameter . Penarikan kesimpulan mengenai parameter selanjutnya didasarkan pada sebaran posterior ini. Misalnya, nilai tengah sebaran posterior ini dapat digunakan sebagai nilai taksiran titik bagi .

(24)

2.2.3. Cara-cara Menaksir

Penaksir terbaik yaitu penaksir tak bias dan bervarians minimum belum tentu memperoleh nilai taksiran parameter yang benar-benar tepat. Keakuratan penaksiran dapat ditingkatkan dengan memperbesar sampel, tetapi ini tidak menjamin bahwa nilai taksiran yang berasal dari suatu sampel akan sama dengan parameter yang ditaksir. Untuk itu harus dicari interval taksiran yang di dalamnya diharapkan terdapat nilai parameter yang sebenarnya.

Suatu interval taksiran dari parameter adalah interval yang berbentuk ̂ ̂ . Karena sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai ̂ yang berbeda, demikian pula dengan ̂ dan ̂ ,maka kedua titik itu dapat dipandang sebagai nilai bagi peubah padanannya ̂ dan ̂ . Dari sebaran penarikan sampel untuk ̂ dapat ditentukan ̂ dan ̂ sehingga ( ̂ ̂ dimana , maka akan dihasilkan suatu interval yang mengandung . Interval ̂ ̂ disebut selang kepercayaan, disebut koefisien kepercayaan, dan ̂ dan ̂ masing-masing disebut batas kepercayaan sebelah atas dan sebelah bawah.

2.2. Distribusi Pareto

Distribusi pareto berasal dari nama seorang ekonom yaitu Vilfredo Pareto (1848-1923) yang mengamati bahwa 85% kekayaan di Milan dimiliki oleh hanya 15% dari penduduknya. Distribusi pareto disebut juga dengan distribusi power la w.

(25)

Definisi:

1. Jika X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka probabilitas bahwa X lebih besar dari beberapa nilai x diberikan oleh :

{ (

dimana dan adalah parameternya.

2. Jika X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka Cumulative Distribution Function (CDF) dari variabel acak Pareto dengan parameter dan adalah :

{ (

dimana dan adalah parameternya.

3. Jika X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka P robability Density Function (PDF) dari variabel acak pareto dengan parameter dan adalah :

{

(

(26)

Gambar 2.1 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai nilai k

Gambar 2.2 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai nilai

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200

0 2 4 6 8 10 12

k = 1

k = 3

k = 5

-1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000

0 5 10 15

α = 1 α = 3 α = 3

(27)

Gambar 2.3 Cumulative Distribution Function Distribusi Pareto untuk berbagai nilai

Gambar 2.4 Cumulative Distribution Function Distribusi Pareto untuk berbagai nilai

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 2 4 6 8 10 12

α = 1 α = 3 α = 3

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 2 4 6 8 10 12

k = 1

k = 3

(28)

Teorema:

1. Andaikan X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka:

Dimana

2. andaikan X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka:

(

Dimana

2.3. Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil merupakan teknik yang sangat terkenal dalam statistika. Metode kuadrat terkecil digunakan untuk menghitung taksiran parameter. Metode ini merupakan salah satu teknik statistika modern yang pertama kali dipublikasikan pada tahun 1805 oleh matematikawan asal Prancis yaitu Legendre dalam sebuah riwayat klasik. Namun, metode ini telah ada sebelum Legendre mempublikasikannya. Setelah riwayat Legendre dipublikasikan, matematikawan terkenal asal Jerman, yaitu Gauss mempublikasikan riwayat lain pada tahun 1809 yang menyebutkan bahwa dia sudah menemukan metode ini sebelumnya, dan telah menggunakannya sekitar tahun 1795. Ini menimbulkan perselisihan, namun tidak mengurangi ketenaran dari teknik ini.

Pearson dan Fisher yang banyak berperan dalam pengembangan statistika, menggunakan dan mengembangkan metode kuadrat terkecil dalam konteks yang berbeda yaitu analisis faktor dan rancangan percobaan. Sekarang, metode kuadrat terkecil umumnya digunakan untuk menaksir nilai-nilai numerik dari suatu parameter untuk menentukan fungsi yang tepat untuk sekumpulan data dan untuk menggolongkan sifat-sifat dari taksiran tersebut.

(29)

Metode kuadrat terkecil terdiri dari beberapa macam. Metode kuadrat terkecil yang paling sederhana adalah Ordina ry Least Square (OLS). Metode yang lebih rumit lagi yaitu Weighted Least Square (WLS). Metode WLS lebih baik dari pada metode OLS karena WLS bisa mengatur pentingnya setiap observasi dalam menentukan solusi akhir. Selain OLS dan WLS, ada juga Alternating Least Square (ALS) dan

Partial Least Square (PLS).

Metode kuadrat terkecil yang sering digunakan adalah OLS. OLS biasanya digunakan dalam regresi linier untuk menentukan persamaan garis atau kurva yang tepat untuk sekumpulan data. Dalam rumus standard, suatu himpunan n pasangan dari observasi { } digunakan untuk menemukan suatu fungsi yang memberikan nilai variabel terikat Y dari nilai variabel bebas X. Dengan 1 variabel bebas dan fungsi linier, diberikan persamaan regresi :

̂ .

Persamaan ini memiliki 2 parameter yaitu a dan b dari garis regresi. Metode kuadrat terkecil mendefinisikan taksiran parameter-parameter ini sebagai nilai minimum jumlah kuadrat dari selisih antara ukuran dan model taksiran:

∑( ̂

∑ [ ]

dimana adalah error yang harus diminimalkan dan n adalah jumlah sampel. Ini dapat diperoleh dengan menggunakan teknik kalkulus yaitu dengan sifat fungsi kuadratis yang mencapai nilai minimum ketika turunannya nol. Turunan terhadap a

dan b diberikan oleh persamaan :

∑ ∑ dan

∑ ∑ ∑ 2 persamaan ini memberi taksiran dari a dan b yaitu :

(30)

dan

̂ ∑_∑ ∑

∑

Dengan dan adalah rata-rata X dan Y yaitu: ∑ dan

∑

OLS bisa diperpanjang untuk lebih dari 1 variabel bebas dengan menggunakan aljabar matriks dan metode ini juga dapat digunakan untuk fungsi nonlinier.

2.4.Regresi Ridge

Regresi ridge merupakan metode yang baik digunakan untuk menyusutkan nilai parameter-parameter regresi mendekati nol, dengan cara demikian menjamin eksistensi penaksiran. Regresi ridge sudah diperkenalkan oleh Hoerl dan Kennard pada tahun 1970 untuk menanggulangi masalah Ordinary Least Squa re (OLS) dan memperoleh taksiran yang lebih baik.

Dalam regresi linier dengan persamaan:

dimana , , … , merupakan parameter-parameternya dapat ditaksir dengan menggunakan regresi ridge. , , … , akan ditaksir oleh , , … , . Misalkan persamaan regresi linier di atas dibuat dalam bentuk:

dimana:

) ) dan

(31)

maka taksiran regresi ridge dapat ditulis dalam persamaan:

dimana:

)

Regresi ridge merupakan salah satu dari beberapa cara penaksiran yang biasa dilakukan dalam penaksiran bias dengan tujuan memperkecil variansi penaksir koefisien regresi, walaupun penaksir yang diperoleh bias. Biasanya takiran regresi

ridge diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat error untuk persamaan:

dengan kendala tunggal ∑ , bila konstanta positif yang berhingga. Menurut metode multiple Langrange, maka harus dicari turunan :

∑

terhadap , , …, . Bila turunan ini disamakan dengan nol, maka diperoleh suatu sistem persamaan :

Dari persamaan ini dapat dicari taksiran untuk regresi ridge, dinyatakan dalam pengali Langrange d.

Definisi:

Taksiran regresi ridge adalah :

dimana

Dalam definisi di atas, taksiran regresi ridge dihitung untuk beberapa nilai d

yang semakin besar, sampai dapat ditentukan suatu nilai d yang memberikan suatu nilai semua koefisien regresi yang mantap. Beberapa perhitungan mungkin perlu dikerjakan sebelum taksiran koefisien regresi mencapai kemantapan . Dengan merajah

(32)

grafik nilai-nilai koefisien dengan nilai-nilai d padanannya, maka akan diperoleh suatu kurva yang disebut runut ridge.

Tabel 2.1 Taksiran Regresi Ridge

0.000 3.2803 9.0361 9.7245 -0.2647 0.004 5.4449 7.1270 9.0451 -0.2790 0.012 6.3413 6.3189 8.6327 -0.1789 0.020 6.5993 6.0695 8.4053 -0.0634 0.100 6.7426 5.6694 7.1994 0.8067 0.200 6.5000 5.4970 6.3675 1.3844 0.300 6.2533 5.3273 5.8221 1.7013 0.400 6.0225 5.1583 5.4220 1.8870

2.5. Maximum Product of Spacing (MPS)

Metode maximum product of spacing (MPS) digunakan untuk menaksir parameter-parameter distribusi univariat continuous. Metode MPS diusulkan oleh Russel Cheng dan Nik Amin tahun 1983 dan diperkenalkan oleh Bo Ranneby pada tahun 1984. Mereka menjelaskan bahwa integral probabilitas mengubah parameter-parameter yang sebenarnya, jarak antara setiap observasi akan didistribusikan secara seragam (uniform). Ini berakibat bahwa perbedaan antara nilai CDF pada observasi yang berderet akan sama. Ini adalah kasus memaksimumkan rata-rata geometrik yang akan menghasilkan keputusan terbaik. Ranneby membenarkan metode ini dengan mendemonstrasikan bahwa penaksir ini mirip dengan Maximum Likelihood Estimation.

Definisi :

Andaikan ,…, adalah sampel acak berukuran n dari distribusi univariat dengan CDF , dimana adalah parameter yang belum diketahui dan akan ditaksir.

(33)

maka didefinisikan spacing sebagai “celah” antara nilai fungsi distribusi pada titik

perintah yang berdekatan :

, dimana .

Maka penaksir maximum spacing dari didefinisikan sebagai nilai maximum logaritma rata-rata geometrik dari jarak sampel :

̂ .

Dimana

∑

Dengan pertidaksamaan rata-rata aritmatik dan geometrik, fungsi berbatas atas oleh dan dengan demikian maksimum harus ada pada supremum. Beberapa peneliti mendefinisikan fungsi secara berbeda. Ranneby mengalikan setiap oleh faktor , sedangkan Cheng dan Stephens (1989) menghilangkan didepan penjumlahan dan menambahkan “ “ agar mengubah maksimalisasi kedalam minimalisasi.

(34)

Bab 3

PEMBAHASAN

3.1. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil Dengan aturan logaritma, maka persamaan fungsi probabilitas distribusi pareto

(1)

dapat dibuat dalam bentuk : (

(2)

Dengan membagi persamaan (2) dengan , maka diperoleh:

atau

. (3)

Misalkan :

, , , dan (4)

Substitusi persamaan (4) ke persamaan (3), sehingga diperoleh model persamaan regresi linier yaitu :

(35)

Dengan :

= variabel terikat = variabel bebas

Metode kuadrat terkecil mendefinisikan taksiran parameter a dan b ini sebagai nilai minimum jumlah kuadrat galat :

∑ (5)

Dimana adalah error dan n adalah banyaknya sampel. Untuk meminimumkan error, dapat diperoleh dengan menurunkan terhadap a dan b, dimana turunannya sama dengan nol.

∑ ∑ (6)

dan

∑ ∑ ∑ (7)

Persamaan (6) dan (7) ini memberikan nilai untuk a dan b yaitu :

∑ ∑ ₍₈₎

dan

∑ ∑ ∑

∑ (∑ (9)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (8) dan (9), maka diperoleh taksiran untuk k dan :

̂ ∑ ∑ ̂ ∑ ∑

(36)

dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

Dimana:

̂ ̂ adalah taksiran untuk parameter k

̂ _̂ adalah taksiran untuk parameter = variabel acak berdistribusi pareto = fungsi probabilitas distribusi pareto

3.2. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Regresi Ridge

Dengan regresi ridge, taksiran untuk a dan b dari model regresi linier dapat diperoleh dengan meminimumkan model ̂ dengan kendala tunggal . Dimana adalah konstanta positif berhingga. Menurut metode multiple Langrange, maka cari turunan

∑

terhadap a dan b. Bila turunannya disamakan dengan nol, maka diperoleh:

∑ ∑ (10)

dan

∑ ∑ ∑ (11)

Persamaan (10) dan (11) ini memberikan nilai a dan b yaitu :

∑ ∑ (12)

(37)

∑ _∑ ∑ ∑ (∑ (13)

Dengan mensubstitusikan persamaan 4 ke persamaan (12) dan (13), maka akan diperoleh taksiran untuk k dan :

̂ ∑ ∑ Dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

Dimana:

̂ ̂ adalah taksiran untuk parameter k

̂ _̂ adalah taksiran untuk parameter = variabel acak berdistribusi pareto = fungsi probabilitas distribusi pareto

3.3. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Maximum Product of Spacing

Misalkan merupakan jarak antara fungsi distribusi pareto. Maka :

_∑

∑ (

(14)

(38)

∑ ( ( ( ( ( (

(15)

∑

(

(16)

Untuk memperoleh taksiran dan k, maka persamaan (15) dan (16) dapat diselesaikan dengan metode Newton Raphson, yaitu:

̂ Dan

̂ Dimana:

̂= taksiran untuk parameter ̂= taksiran untuk parameter k

= rata-rata geometric dari jarak titik sampel = turunan terhadap

(39)

3.4. Contoh Kasus

Andaikan X merupakan variabel acak yang mewakili penghasilan masyarakat Indonesia (dalam juta rupiah), dan X berdistribusi pareto. Diberikan sampel sebanyak 30 yaitu gaji Rp. 1.000.000 hingga Rp. 30.000.000 dan beberapa pasangan parameter , yaitu (1,1), (1,2), (2,1), dan (3,3).

Penyelesaian :

Tabel 3.1 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi ridge ( , )

1 1 1 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 1 1 0,500000 0,301030 -0,301030 -0,090619 0,090619 3 1 1 0,333333 0,477121 -0,477121 -0,227645 0,227645 4 1 1 0,250000 0,602060 -0,602060 -0,362476 0,362476 5 1 1 0,200000 0,698970 -0,698970 -0,488559 0,488559 6 1 1 0,166667 0,778151 -0,778151 -0,605519 0,605519 7 1 1 0,142857 0,845098 -0,845098 -0,714191 0,714191 8 1 1 0,125000 0,903090 -0,903090 -0,815572 0,815572 9 1 1 0,111111 0,954243 -0,954243 -0,910579 0,910579 10 1 1 0,100000 1,000000 -1,000000 -1,000000 1,000000 11 1 1 0,090909 1,041393 -1,041393 -1,084499 1,084499 12 1 1 0,083333 1,079181 -1,079181 -1,164632 1,164632 13 1 1 0,076923 1,113943 -1,113943 -1,240870 1,240870 14 1 1 0,071429 1,146128 -1,146128 -1,313609 1,313609 15 1 1 0,066667 1,176091 -1,176091 -1,383191 1,383191 16 1 1 0,062500 1,204120 -1,204120 -1,449905 1,449905 17 1 1 0,058824 1,230449 -1,230449 -1,514005 1,514005 18 1 1 0,055556 1,255273 -1,255273 -1,575709 1,575709 19 1 1 0,052632 1,278754 -1,278754 -1,635211 1,635211 20 1 1 0,050000 1,301030 -1,301030 -1,692679 1,692679 21 1 1 0,047619 1,322219 -1,322219 -1,748264 1,748264 22 1 1 0,045455 1,342423 -1,342423 -1,802099 1,802099 23 1 1 0,043478 1,361728 -1,361728 -1,854303 1,854303 24 1 1 0,041667 1,380211 -1,380211 -1,904983 1,904983 25 1 1 0,040000 1,397940 -1,397940 -1,954236 1,954236 26 1 1 0,038462 1,414973 -1,414973 -2,002150 2,002150 27 1 1 0,037037 1,431364 -1,431364 -2,048802 2,048802 28 1 1 0,035714 1,447158 -1,447158 -2,094266 2,094266 29 1 1 0,034483 1,462398 -1,462398 -2,138608 2,138608 30 1 1 0,033333 1,477121 -1,477121 -2,181887 2,181887 Jumlah 32,423660 -32,423660 -38,999066 38,999066

(40)

Tabel 3.2 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi ridge ( , )

1 1 2 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 1 2 1,000000 0,301030 0,000000 0,000000 0,000000 3 1 2 0,666667 0,477121 -0,176091 -0,084017 0,031008 4 1 2 0,500000 0,602060 -0,301030 -0,181238 0,090619 5 1 2 0,400000 0,698970 -0,397940 -0,278148 0,158356 6 1 2 0,333333 0,778151 -0,477121 -0,371273 0,227645 7 1 2 0,285714 0,845098 -0,544068 -0,459791 0,296010 8 1 2 0,250000 0,903090 -0,602060 -0,543714 0,362476 9 1 2 0,222222 0,954243 -0,653213 -0,623323 0,426687 10 1 2 0,200000 1,000000 -0,698970 -0,698970 0,488559 11 1 2 0,181818 1,041393 -0,740363 -0,771008 0,548137 12 1 2 0,166667 1,079181 -0,778151 -0,839766 0,605519 13 1 2 0,153846 1,113943 -0,812913 -0,905539 0,660828 14 1 2 0,142857 1,146128 -0,845098 -0,968591 0,714191 15 1 2 0,133333 1,176091 -0,875061 -1,029152 0,765732 16 1 2 0,125000 1,204120 -0,903090 -1,087429 0,815572 17 1 2 0,117647 1,230449 -0,929419 -1,143603 0,863820 18 1 2 0,111111 1,255273 -0,954243 -1,197834 0,910579 19 1 2 0,105263 1,278754 -0,977724 -1,250268 0,955943 20 1 2 0,100000 1,301030 -1,000000 -1,301030 1,000000 21 1 2 0,095238 1,322219 -1,021189 -1,350236 1,042828 22 1 2 0,090909 1,342423 -1,041393 -1,397989 1,084499 23 1 2 0,086957 1,361728 -1,060698 -1,444382 1,125080 24 1 2 0,083333 1,380211 -1,079181 -1,489498 1,164632 25 1 2 0,080000 1,397940 -1,096910 -1,533414 1,203212 26 1 2 0,076923 1,414973 -1,113943 -1,576200 1,240870 27 1 2 0,074074 1,431364 -1,130334 -1,617919 1,277654 28 1 2 0,071429 1,447158 -1,146128 -1,658628 1,313609 29 1 2 0,068966 1,462398 -1,161368 -1,698382 1,348776 30 1 2 0,066667 1,477121 -1,176091 -1,737229 1,383191 Jumlah 32,423660 -23,693790 -29,238572 22,106031

(41)

Tabel 3.3 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi ridge ( , )

1 2 1 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 2 1 0,250000 0,301030 -0,602060 -0,181238 0,362476 3 2 1 0,111111 0,477121 -0,954243 -0,455289 0,910579 4 2 1 0,062500 0,602060 -1,204120 -0,724952 1,449905 5 2 1 0,040000 0,698970 -1,397940 -0,977118 1,954236 6 2 1 0,027778 0,778151 -1,556303 -1,211039 2,422077 7 2 1 0,020408 0,845098 -1,690196 -1,428381 2,856763 8 2 1 0,015625 0,903090 -1,806180 -1,631143 3,262286 9 2 1 0,012346 0,954243 -1,908485 -1,821158 3,642315 10 2 1 0,010000 1,000000 -2,000000 -2,000000 4,000000 11 2 1 0,008264 1,041393 -2,082785 -2,168997 4,337995 12 2 1 0,006944 1,079181 -2,158362 -2,329264 4,658529 13 2 1 0,005917 1,113943 -2,227887 -2,481740 4,963479 14 2 1 0,005102 1,146128 -2,292256 -2,627219 5,254438 15 2 1 0,004444 1,176091 -2,352183 -2,766381 5,532763 16 2 1 0,003906 1,204120 -2,408240 -2,899810 5,799620 17 2 1 0,003460 1,230449 -2,460898 -3,028009 6,056018 18 2 1 0,003086 1,255273 -2,510545 -3,151418 6,302836 19 2 1 0,002770 1,278754 -2,557507 -3,270422 6,540843 20 2 1 0,002500 1,301030 -2,602060 -3,385358 6,770716 21 2 1 0,002268 1,322219 -2,644439 -3,496528 6,993055 22 2 1 0,002066 1,342423 -2,684845 -3,604197 7,208395 23 2 1 0,001890 1,361728 -2,723456 -3,708605 7,417211 24 2 1 0,001736 1,380211 -2,760422 -3,809966 7,619932 25 2 1 0,001600 1,397940 -2,795880 -3,908473 7,816945 26 2 1 0,001479 1,414973 -2,829947 -4,004299 8,008598 27 2 1 0,001372 1,431364 -2,862728 -4,097604 8,195209 28 2 1 0,001276 1,447158 -2,894316 -4,188533 8,377065 29 2 1 0,001189 1,462398 -2,924796 -4,277216 8,554432 30 2 1 0,001111 1,477121 -2,954243 -4,363774 8,727549 Jumlah 32,423660 -64,847320 -77,998133 155,996266

(42)

Tabel 3.4 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi ridge ( , )

1 3 3 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 3 3 1,000000 0,301030 0,000000 0,000000 0,000000 3 3 3 1,000000 0,477121 0,000000 0,000000 0,000000 4 3 3 0,421875 0,602060 -0,374816 -0,225662 0,140487 5 3 3 0,216000 0,698970 -0,665546 -0,465197 0,442952 6 3 3 0,125000 0,778151 -0,903090 -0,702741 0,815572 7 3 3 0,078717 0,845098 -1,103930 -0,932929 1,218662 8 3 3 0,052734 0,903090 -1,277906 -1,154064 1,633044 9 3 3 0,037037 0,954243 -1,431364 -1,365868 2,048802 10 3 3 0,027000 1,000000 -1,568636 -1,568636 2,460620 11 3 3 0,020285 1,041393 -1,692814 -1,762884 2,865620 12 3 3 0,015625 1,079181 -1,806180 -1,949196 3,262286 13 3 3 0,012289 1,113943 -1,910466 -2,128151 3,649881 14 3 3 0,009840 1,146128 -2,007020 -2,300302 4,028131 15 3 3 0,008000 1,176091 -2,096910 -2,466158 4,397032 16 3 3 0,006592 1,204120 -2,180996 -2,626181 4,756744 17 3 3 0,005496 1,230449 -2,259983 -2,780794 5,107523 18 3 3 0,004630 1,255273 -2,334454 -2,930376 5,449674 19 3 3 0,003936 1,278754 -2,404897 -3,075271 5,783530 20 3 3 0,003375 1,301030 -2,471726 -3,215790 6,109431 21 3 3 0,002915 1,322219 -2,535294 -3,352215 6,427716 22 3 3 0,002536 1,342423 -2,595904 -3,484801 6,738719 23 3 3 0,002219 1,361728 -2,653820 -3,613780 7,042759 24 3 3 0,001953 1,380211 -2,709270 -3,739365 7,340144 25 3 3 0,001728 1,397940 -2,762456 -3,861748 7,631165 26 3 3 0,001536 1,414973 -2,813556 -3,981107 7,916099 27 3 3 0,001372 1,431364 -2,862728 -4,097604 8,195209 28 3 3 0,001230 1,447158 -2,910110 -4,211390 8,468742 29 3 3 0,001107 1,462398 -2,955830 -4,322600 8,736932 30 3 3 0,001000 1,477121 -3,000000 -4,431364 9,000000 Jumlah 32,423660 -56,289705 -70,746173 131,667476

(43)

3.4.1. Penyelesaian dengan Metode Kuadrat Terkecil Untuk =1 dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

̂ maka diperoleh ̂ ̂ ∑ ∑ ̂ ̂ 0

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂ .

Untuk =1 dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

̂ maka diperoleh ̂ ̂ ∑ ∑

(44)

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂

Untuk =2 dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

̂ maka diperoleh ̂ ̂ ∑ ∑

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂

Untuk =3 dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

(45)

̂ ∑ ∑

̂ ,367067

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂

Tabel 3.5 Estimasi parameter dengan metode kuadrat terkecil

̂ k ̂

1 1 0 1 1 0

1 0,93451 0,004289 2 1,72049 0,078126

2 2 0 1 1 0

3 2,62893 0,137693 3 2,32845 0,450979

MSE 0,035495 MSE 0,132276

3.4.2. Penyelesaian dengan Metode Regresi Ridge Untuk =1, dan d=0,4

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

̂ maka diperoleh ̂ ̂ ∑ ∑

̂ ̂

(46)

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂ .

Untuk =1, , dan d=0,4

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

̂ maka diperoleh ̂ ̂ ∑ ∑

̂ ̂

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂

Untuk =2, dan d=0,4

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

̂ maka diperoleh ̂ ̂ ∑ ∑

(47)

̂ ̂ ,023612

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂

Untuk =3, dan d=0,4

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

̂ ̂

Karena ̂

̂ maka diperoleh ̂ ̂ ∑ ∑

̂ ̂ ,354275

Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂

Tabel 3.6 Estimasi parameter dengan metode regresi ridge

̂ k ̂

1 1,09056 0,008201 1 1,22622 0,051175 1 1,01803 0,000325 2 1,99972 0,000000 2 2,04528 0,002050 1 1,05587 0,003121 3 2,59954 0,160368 3 2,26087 0,546313

(48)

3.4.3. Penyelesaian dengan Metode Maximum Product of Spacing Untuk =1 dan

Tabel 3.7 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k ( (

1 1 1 1,000000 1,000000 0,000000

2 1 1 1,000000 0,500000 1,000000 0,500000 0,000000 -0,301030 3 1 1 0,500000 0,333333 0,500000 0,333333 -0,301030 -0,477121 4 1 1 0,333333 0,250000 0,333333 0,250000 -0,477121 -0,602060 5 1 1 0,250000 0,200000 0,250000 0,200000 -0,602060 -0,698970 6 1 1 0,200000 0,166667 0,200000 0,166667 -0,698970 -0,778151 7 1 1 0,166667 0,142857 0,166667 0,142857 -0,778151 -0,845098 8 1 1 0,142857 0,125000 0,142857 0,125000 -0,845098 -0,903090 9 1 1 0,125000 0,111111 0,125000 0,111111 -0,903090 -0,954243 10 1 1 0,111111 0,100000 0,111111 0,100000 -0,954243 -1,000000 11 1 1 0,100000 0,090909 0,100000 0,090909 -1,000000 -1,041393 12 1 1 0,090909 0,083333 0,090909 0,083333 -1,041393 -1,079181 13 1 1 0,083333 0,076923 0,083333 0,076923 -1,079181 -1,113943 14 1 1 0,076923 0,071429 0,076923 0,071429 -1,113943 -1,146128 15 1 1 0,071429 0,066667 0,071429 0,066667 -1,146128 -1,176091 16 1 1 0,066667 0,062500 0,066667 0,062500 -1,176091 -1,204120 17 1 1 0,062500 0,058824 0,062500 0,058824 -1,204120 -1,230449 18 1 1 0,058824 0,055556 0,058824 0,055556 -1,230449 -1,255273 19 1 1 0,055556 0,052632 0,055556 0,052632 -1,255273 -1,278754 20 1 1 0,052632 0,050000 0,052632 0,050000 -1,278754 -1,301030 21 1 1 0,050000 0,047619 0,050000 0,047619 -1,301030 -1,322219 22 1 1 0,047619 0,045455 0,047619 0,045455 -1,322219 -1,342423 23 1 1 0,045455 0,043478 0,045455 0,043478 -1,342423 -1,361728 24 1 1 0,043478 0,041667 0,043478 0,041667 -1,361728 -1,380211 25 1 1 0,041667 0,040000 0,041667 0,040000 -1,380211 -1,397940 26 1 1 0,040000 0,038462 0,040000 0,038462 -1,397940 -1,414973 27 1 1 0,038462 0,037037 0,038462 0,037037 -1,414973 -1,431364 28 1 1 0,037037 0,035714 0,037037 0,035714 -1,431364 -1,447158 29 1 1 0,035714 0,034483 0,035714 0,034483 -1,447158 -1,462398 30 1 1 0,034483 0,033333 0,034483 0,033333 -1,462398 -1,477121

1 1 0,033333 0,033333 -1,477121

_{∑ (}

(

(49)

∑

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

(50)

Tabel 3.8 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k

1 1 1 1,000000 1,000000

2 1 1 1,000000 0,500000 1,000000 0,500000 3 1 1 0,500000 0,333333 0,500000 0,333333 4 1 1 0,333333 0,250000 0,333333 0,250000 5 1 1 0,250000 0,200000 0,250000 0,200000 6 1 1 0,200000 0,166667 0,200000 0,166667 7 1 1 0,166667 0,142857 0,166667 0,142857 8 1 1 0,142857 0,125000 0,142857 0,125000 9 1 1 0,125000 0,111111 0,125000 0,111111 10 1 1 0,111111 0,100000 0,111111 0,100000 11 1 1 0,100000 0,090909 0,100000 0,090909 12 1 1 0,090909 0,083333 0,090909 0,083333 13 1 1 0,083333 0,076923 0,083333 0,076923 14 1 1 0,076923 0,071429 0,076923 0,071429 15 1 1 0,071429 0,066667 0,071429 0,066667 16 1 1 0,066667 0,062500 0,066667 0,062500 17 1 1 0,062500 0,058824 0,062500 0,058824 18 1 1 0,058824 0,055556 0,058824 0,055556 19 1 1 0,055556 0,052632 0,055556 0,052632 20 1 1 0,052632 0,050000 0,052632 0,050000 21 1 1 0,050000 0,047619 0,050000 0,047619 22 1 1 0,047619 0,045455 0,047619 0,045455 23 1 1 0,045455 0,043478 0,045455 0,043478 24 1 1 0,043478 0,041667 0,043478 0,041667 25 1 1 0,041667 0,040000 0,041667 0,040000 26 1 1 0,040000 0,038462 0,040000 0,038462 27 1 1 0,038462 0,037037 0,038462 0,037037 28 1 1 0,037037 0,035714 0,037037 0,035714 29 1 1 0,035714 0,034483 0,035714 0,034483 30 1 1 0,034483 0,033333 0,034483 0,033333 1 1 0,033333 0,033333

∑(

(51)

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

(52)

Untuk dan

Tabel 3.9 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k ( (

1 1 2 2,000000 2,000000 0,301030

2 1 2 2,000000 1,000000 2,000000 1,000000 0,301030 0,000000 3 1 2 1,000000 0,666667 1,000000 0,666667 0,000000 -0,176091 4 1 2 0,666667 0,500000 0,666667 0,500000 -0,176091 -0,301030 5 1 2 0,500000 0,400000 0,500000 0,400000 -0,301030 -0,397940 6 1 2 0,400000 0,333333 0,400000 0,333333 -0,397940 -0,477121 7 1 2 0,333333 0,285714 0,333333 0,285714 -0,477121 -0,544068 8 1 2 0,285714 0,250000 0,285714 0,250000 -0,544068 -0,602060 9 1 2 0,250000 0,222222 0,250000 0,222222 -0,602060 -0,653213 10 1 2 0,222222 0,200000 0,222222 0,200000 -0,653213 -0,698970 11 1 2 0,200000 0,181818 0,200000 0,181818 -0,698970 -0,740363 12 1 2 0,181818 0,166667 0,181818 0,166667 -0,740363 -0,778151 13 1 2 0,166667 0,153846 0,166667 0,153846 -0,778151 -0,812913 14 1 2 0,153846 0,142857 0,153846 0,142857 -0,812913 -0,845098 15 1 2 0,142857 0,133333 0,142857 0,133333 -0,845098 -0,875061 16 1 2 0,133333 0,125000 0,133333 0,125000 -0,875061 -0,903090 17 1 2 0,125000 0,117647 0,125000 0,117647 -0,903090 -0,929419 18 1 2 0,117647 0,111111 0,117647 0,111111 -0,929419 -0,954243 19 1 2 0,111111 0,105263 0,111111 0,105263 -0,954243 -0,977724 20 1 2 0,105263 0,100000 0,105263 0,100000 -0,977724 -1,000000 21 1 2 0,100000 0,095238 0,100000 0,095238 -1,000000 -1,021189 22 1 2 0,095238 0,090909 0,095238 0,090909 -1,021189 -1,041393 23 1 2 0,090909 0,086957 0,090909 0,086957 -1,041393 -1,060698 24 1 2 0,086957 0,083333 0,086957 0,083333 -1,060698 -1,079181 25 1 2 0,083333 0,080000 0,083333 0,080000 -1,079181 -1,096910 26 1 2 0,080000 0,076923 0,080000 0,076923 -1,096910 -1,113943 27 1 2 0,076923 0,074074 0,076923 0,074074 -1,113943 -1,130334 28 1 2 0,074074 0,071429 0,074074 0,071429 -1,130334 -1,146128 29 1 2 0,071429 0,068966 0,071429 0,068966 -1,146128 -1,161368 30 1 2 0,068966 0,066667 0,068966 0,066667 -1,161368 -1,176091

1 2 0,066667 0,066667 -1,176091

_{∑ (}

(

(53)

∑

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

(54)

Tabel 3.10 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k

1 1 2 1,000000 2,000000

2 1 2 1,000000 0,500000 2,000000 1,000000 3 1 2 0,500000 0,333333 1,000000 0,666667 4 1 2 0,333333 0,250000 0,666667 0,500000 5 1 2 0,250000 0,200000 0,500000 0,400000 6 1 2 0,200000 0,166667 0,400000 0,333333 7 1 2 0,166667 0,142857 0,333333 0,285714 8 1 2 0,142857 0,125000 0,285714 0,250000 9 1 2 0,125000 0,111111 0,250000 0,222222 10 1 2 0,111111 0,100000 0,222222 0,200000 11 1 2 0,100000 0,090909 0,200000 0,181818 12 1 2 0,090909 0,083333 0,181818 0,166667 13 1 2 0,083333 0,076923 0,166667 0,153846 14 1 2 0,076923 0,071429 0,153846 0,142857 15 1 2 0,071429 0,066667 0,142857 0,133333 16 1 2 0,066667 0,062500 0,133333 0,125000 17 1 2 0,062500 0,058824 0,125000 0,117647 18 1 2 0,058824 0,055556 0,117647 0,111111 19 1 2 0,055556 0,052632 0,111111 0,105263 20 1 2 0,052632 0,050000 0,105263 0,100000 21 1 2 0,050000 0,047619 0,100000 0,095238 22 1 2 0,047619 0,045455 0,095238 0,090909 23 1 2 0,045455 0,043478 0,090909 0,086957 24 1 2 0,043478 0,041667 0,086957 0,083333 25 1 2 0,041667 0,040000 0,083333 0,080000 26 1 2 0,040000 0,038462 0,080000 0,076923 27 1 2 0,038462 0,037037 0,076923 0,074074 28 1 2 0,037037 0,035714 0,074074 0,071429 29 1 2 0,035714 0,034483 0,071429 0,068966 30 1 2 0,034483 0,033333 0,068966 0,066667 1 2 0,033333 0,066667

(55)

∑(

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

(56)

Untuk dan

Tabel 3.11 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k ( (

1 2 1 1,000000 1,000000 ,0

2 2 1 1,000000 0,500000 1,000000 0,250000 0,000000 -0,301030 3 2 1 0,500000 0,333333 0,250000 0,111111 -0,301030 -0,477121 4 2 1 0,333333 0,250000 0,111111 0,062500 -0,477121 -0,602060 5 2 1 0,250000 0,200000 0,062500 0,040000 -0,602060 -0,698970 6 2 1 0,200000 0,166667 0,040000 0,027778 -0,698970 -0,778151 7 2 1 0,166667 0,142857 0,027778 0,020408 -0,778151 -0,845098 8 2 1 0,142857 0,125000 0,020408 0,015625 -0,845098 -0,903090 9 2 1 0,125000 0,111111 0,015625 0,012346 -0,903090 -0,954243 10 2 1 0,111111 0,100000 0,012346 0,010000 -0,954243 -1,000000 11 2 1 0,100000 0,090909 0,010000 0,008264 -1,000000 -1,041393 12 2 1 0,090909 0,083333 0,008264 0,006944 -1,041393 -1,079181 13 2 1 0,083333 0,076923 0,006944 0,005917 -1,079181 -1,113943 14 2 1 0,076923 0,071429 0,005917 0,005102 -1,113943 -1,146128 15 2 1 0,071429 0,066667 0,005102 0,004444 -1,146128 -1,176091 16 2 1 0,066667 0,062500 0,004444 0,003906 -1,176091 -1,204120 17 2 1 0,062500 0,058824 0,003906 0,003460 -1,204120 -1,230449 18 2 1 0,058824 0,055556 0,003460 0,003086 -1,230449 -1,255273 19 2 1 0,055556 0,052632 0,003086 0,002770 -1,255273 -1,278754 20 2 1 0,052632 0,050000 0,002770 0,002500 -1,278754 -1,301030 21 2 1 0,050000 0,047619 0,002500 0,002268 -1,301030 -1,322219 22 2 1 0,047619 0,045455 0,002268 0,002066 -1,322219 -1,342423 23 2 1 0,045455 0,043478 0,002066 0,001890 -1,342423 -1,361728 24 2 1 0,043478 0,041667 0,001890 0,001736 -1,361728 -1,380211 25 2 1 0,041667 0,040000 0,001736 0,001600 -1,380211 -1,397940 26 2 1 0,040000 0,038462 0,001600 0,001479 -1,397940 -1,414973 27 2 1 0,038462 0,037037 0,001479 0,001372 -1,414973 -1,431364 28 2 1 0,037037 0,035714 0,001372 0,001276 -1,431364 -1,447158 29 2 1 0,035714 0,034483 0,001276 0,001189 -1,447158 -1,462398 30 2 1 0,034483 0,033333 0,001189 0,001111 -1,462398 -1,477121

2 1 0,033333 0,001111 -1,477121

_{∑ (}

(

(57)

∑

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

(58)

Tabel 3.12 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k

1 2 1 2,000000 1,000000

2 2 1 2,000000 0,500000 1,000000 0,250000 3 2 1 0,500000 0,222222 0,250000 0,111111 4 2 1 0,222222 0,125000 0,111111 0,062500 5 2 1 0,125000 0,080000 0,062500 0,040000 6 2 1 0,080000 0,055556 0,040000 0,027778 7 2 1 0,055556 0,040816 0,027778 0,020408 8 2 1 0,040816 0,031250 0,020408 0,015625 9 2 1 0,031250 0,024691 0,015625 0,012346 10 2 1 0,024691 0,020000 0,012346 0,010000 11 2 1 0,020000 0,016529 0,010000 0,008264 12 2 1 0,016529 0,013889 0,008264 0,006944 13 2 1 0,013889 0,011834 0,006944 0,005917 14 2 1 0,011834 0,010204 0,005917 0,005102 15 2 1 0,010204 0,008889 0,005102 0,004444 16 2 1 0,008889 0,007813 0,004444 0,003906 17 2 1 0,007813 0,006920 0,003906 0,003460 18 2 1 0,006920 0,006173 0,003460 0,003086 19 2 1 0,006173 0,005540 0,003086 0,002770 20 2 1 0,005540 0,005000 0,002770 0,002500 21 2 1 0,005000 0,004535 0,002500 0,002268 22 2 1 0,004535 0,004132 0,002268 0,002066 23 2 1 0,004132 0,003781 0,002066 0,001890 24 2 1 0,003781 0,003472 0,001890 0,001736 25 2 1 0,003472 0,003200 0,001736 0,001600 26 2 1 0,003200 0,002959 0,001600 0,001479 27 2 1 0,002959 0,002743 0,001479 0,001372 28 2 1 0,002743 0,002551 0,001372 0,001276 29 2 1 0,002551 0,002378 0,001276 0,001189 30 2 1 0,002378 0,002222 0,001189 0,001111 2 1 0,002222 0,001111

∑(

(59)

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

(60)

Untuk dan

Tabel 3.13 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k ( (

1 3 3 3,000000 27,000000 0,477121

2 3 3 3,000000 1,500000 27,000000 3,375000 0,477121 0,176091 3 3 3 1,500000 1,000000 3375000 1,000000 0,176091 0,000000 4 3 3 1,000000 0,750000 1.,000000 0,421875 0,000000 -0,124939 5 3 3 0,750000 0,600000 0,421875 0,216000 -0,124939 -0,221849 6 3 3 0,600000 0,500000 0,216000 0,125000 -0,221849 -0,301030 7 3 3 0,500000 0,428571 0,125000 0,078717 -0,301030 -0,367977 8 3 3 0,428571 0,375000 0,078717 0,052734 -0,367977 -0,425969 9 3 3 0,375000 0,333333 0,052734 0,037037 -0,425969 -0,477121 10 3 3 0,333333 0,300000 0,037037 0,027000 -0,477121 -0,522879 11 3 3 0,300000 0,272727 0,027000 0,020285 -0,522879 -0,564271 12 3 3 0,272727 0,250000 0,020285 0,015625 -0,564271 -0,602060 13 3 3 0,250000 0,230769 0,015625 0,012289 -0,602060 -0,636822 14 3 3 0,230769 0,214286 0,012289 0,009840 -0,636822 -0,669007 15 3 3 0,214286 0,200000 0,009840 0,008000 -0,669007 -0,698970 16 3 3 0,200000 0,187500 0,008000 0,006592 -0,698970 -0,726999 17 3 3 0,187500 0,176471 0,006592 0,005496 -0,726999 -0,753328 18 3 3 0,176471 0,166667 0,005496 0,004630 -0,753328 -0,778151 19 3 3 0,166667 0,157895 0,004630 0,003936 -0,778151 -0,801632 20 3 3 0,157895 0,150000 0,003936 0,003375 -0,801632 -0,823909 21 3 3 0,150000 0,142857 0,003375 0,002915 -0,823909 -0,845098 22 3 3 0,142857 0,136364 0,002915 0,002536 -0,845098 -0,865301 23 3 3 0,136364 0,130435 0,002536 0,002219 -0,865301 -0,884607 24 3 3 0,130435 0,125000 0,002219 0,001953 -0,884607 -0,903090 25 3 3 0,125000 0,120000 0,001953 0,001728 -0,903090 -0,920819 26 3 3 0,120000 0,115385 0,001728 0,001536 -0,920819 -0,937852 27 3 3 0,115385 0,111111 0,001536 0,001372 -0,937852 -0,954243 28 3 3 0,111111 0,107143 0,001372 0,001230 -0,954243 -0,970037 29 3 3 0,107143 0,103448 0,001230 0,001107 -0,970037 -0,985277 30 3 3 0,103448 0,100000 0,001107 0,001000 -0,985277 -1,000000

3 3 0,100000 0,000111 -1,000000

_{∑ (}

(

(61)

∑

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

(62)

Tabel 3.14 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k

1 3 3 27,000000 27,000000 2 3 3 27,000000 3,375000 27,000000 3,375000 3 3 3 3,375000 1,000000 3,375000 1,000000 4 3 3 1,000000 0,421875 1,000000 0,421875 5 3 3 0,421875 0,216000 0,421875 0,216000 6 3 3 0,216000 0,125000 0,216000 0,125000 7 3 3 0,125000 0,078717 0,125000 0,078717 8 3 3 0,078717 0,052734 0,078717 0,052734 9 3 3 0,052734 0,037037 0,052734 0,037037 10 3 3 0,037037 0,027000 0,037037 0,027000 11 3 3 0,027000 0,020285 0,027000 0,020285 12 3 3 0,020285 0,015625 0,020285 0,015625 13 3 3 0,015625 0,012289 0,015625 0,012289 14 3 3 0,012289 0,009840 0,012289 0,009840 15 3 3 0,009840 0,008000 0,009840 0,008000 16 3 3 0,008000 0,006592 0,008000 0,006592 17 3 3 0,006592 0,005496 0,006592 0,005496 18 3 3 0,005496 0,004630 0,005496 0,004630 19 3 3 0,004630 0,003936 0,004630 0,003936 20 3 3 0,003936 0,003375 0,003936 0,003375 21 3 3 0,003375 0,002915 0,003375 0,002915 22 3 3 0,002915 0,002536 0,002915 0,002536 23 3 3 0,002536 0,002219 0,002536 0,002219 24 3 3 0,002219 0,001953 0,002219 0,001953 25 3 3 0,001953 0,001728 0,001953 0,001728 26 3 3 0,001728 0,001536 0,001728 0,001536 27 3 3 0,001536 0,001372 0,001536 0,001372 28 3 3 0,001372 0,001230 0,001372 0,001230 29 3 3 0,001230 0,001107 0,001230 0,001107 30 3 3 0,001107 0,001000 0,001107 0,001000 3 3 0,001000 0,001000

∑(

(63)

Menurut metode Newton Raphson, maka: ̂

̂ ̂

Tabel 3.15 Estimasi parameter dengan metode MPS

̂ k ̂

1 0.89813 0.010377 1 1.06748 0.004554 1 0.84347 0.024502 2 2.11616 0.013493 2 1.89259 0.011537 1 1.04643 0.002156 3 2.83327 0.027799 3 3.07827 0.006126

(64)

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya dalam menaksir parameter distribusi pareto dengan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing dan regresi

ridge, kesimpulan yang dapat diambil adalah :

1. penaksir kuadrat terkecil untuk parameter distribusi pareto dan adalah: ̂ ∑ ∑

dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

Dimana n = jumlah sampel, ̂ ̂ dan ̂ ̂

2. penaksir regresi ridge untuk parameter distribusi pareto dan adalah: ̂ ∑ ∑

Dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

Dimana n = jumlah sampel, ̂ ̂ , ̂

̂, dan adalah koefisien ridge

3. penaksir MPS untuk parameter distribusi pareto dan adalah:

_{∑ (}

(

(65)

_∑

_∑(

Dimana n = jumlah sampel. Untuk memperoleh taksiran dan k dapat diselesaikan dengan metode Newton Raphson.

4. Metode kuadrat terkecil lebih mudah dikerjakan dan waktu pengerjaannya relatif lebih singkat. Metode regresi ridge dan MPS memerlukan waktu pengerjaan yang lebih lama dibanding dengan metode kuadrat terkecil. Dari contoh kasus yang penulis kerjakan, MSE dari MPS lebih kecil di bandingkan MSE dari metode kuadrat terkecil dan regresi ridge. Namun pada contoh kasus lain, mungkin saja MSE metode kuadrat terkecil dan regresi ridge lebih kecil dari MSE metode MPS

4.2. Saran

1. untuk meminimalkan waktu dan mempermudah pekerjaan dalam mengestimasi parameter, sebaiknya digunakan metode kuadrat terkecil

2. Metode kuadrat terkecil, regresi ridge dan MPS cukup rumit dalam pengerjaannya, untuk itu diPperlukan kesabaran dan ketelitian.

(66)

DAFTAR PUSTAKA

Abdi, Herve. Diakses tanggal 28 Februari 2011. Least Squares. The University of Texas at Dallas. www.google.com

Afify, E. Eldesoky. Diakses tanggal 29 Oktober 2010. Estimation of Parameters For Pareto Distribution.www.google.com

Bjorkstrom, Anders. 2001. Ridge Regression and Inverse Problem. Stockholm University. Sweden.

Miller, J. Stevven. The Method of Least Squares. Mathematics Department Brown University Providence :RI 02912

Rytgaard, Mette. “Estimation in the pareto distribution”.Nordisk Reinsurance Company A/S, Copenhagen, Denmark: hal .201-216

Shao, Yongzhao. 2001. Consistency of the maximum product of spacings method and estimation of a unimodal distribution. Statistica Sinica. 11: hal. 1125-1140.

Stoutenborough, J.W. dan Johnson, Paul. 29 oktober 2010. Pareto Distribution. www.google.com

The Newton-Raphson Method. Diakses tanggal 29 Oktober 2010. www.google.com

Tutz,Gerhard dan Binder, Harald. 2005. Boosting Ridge Regression. Ludwig – Maximilians-Universitat Munchen, Universitat Regensburg. Jerman.

Walpole, E. Ronald. 1995. Penganta r Statistika. Edisi 3. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Walpole, E. Ronald dan Myers, H. Raymond. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.Edisi 2. Bandung : ITB Bandung.

www.wikipedia.com/html/Least-Squares Method - Wikiversity.htm. Diakses tanggal 28 Februari 2011.

www.wikipedia.com/html/maximum_spacing_stimation.htm. Diakses tanggal 29 Oktober, 2010.

www.wikipedia.com/html/Pareto-distribution - Wikipedia.htm. Diakses tanggal 28 Februari 2011.

Yossef, Zif Bar. Diakses tanggal 29 Oktober 2010. Power La ws and Small World Phenomenon. www.google.com.

(1)

∑

Menurut metode Newton Raphson, maka:

(2)

Tabel 3.14 Perhitungan untuk menaksir dengan metode MPS ( , )

X k

1 3 3 27,000000 27,000000

2 3 3 27,000000 3,375000 27,000000 3,375000 3 3 3 3,375000 1,000000 3,375000 1,000000 4 3 3 1,000000 0,421875 1,000000 0,421875 5 3 3 0,421875 0,216000 0,421875 0,216000 6 3 3 0,216000 0,125000 0,216000 0,125000 7 3 3 0,125000 0,078717 0,125000 0,078717 8 3 3 0,078717 0,052734 0,078717 0,052734 9 3 3 0,052734 0,037037 0,052734 0,037037 10 3 3 0,037037 0,027000 0,037037 0,027000 11 3 3 0,027000 0,020285 0,027000 0,020285 12 3 3 0,020285 0,015625 0,020285 0,015625 13 3 3 0,015625 0,012289 0,015625 0,012289 14 3 3 0,012289 0,009840 0,012289 0,009840 15 3 3 0,009840 0,008000 0,009840 0,008000 16 3 3 0,008000 0,006592 0,008000 0,006592 17 3 3 0,006592 0,005496 0,006592 0,005496 18 3 3 0,005496 0,004630 0,005496 0,004630 19 3 3 0,004630 0,003936 0,004630 0,003936 20 3 3 0,003936 0,003375 0,003936 0,003375 21 3 3 0,003375 0,002915 0,003375 0,002915 22 3 3 0,002915 0,002536 0,002915 0,002536 23 3 3 0,002536 0,002219 0,002536 0,002219 24 3 3 0,002219 0,001953 0,002219 0,001953 25 3 3 0,001953 0,001728 0,001953 0,001728 26 3 3 0,001728 0,001536 0,001728 0,001536 27 3 3 0,001536 0,001372 0,001536 0,001372 28 3 3 0,001372 0,001230 0,001372 0,001230 29 3 3 0,001230 0,001107 0,001230 0,001107 30 3 3 0,001107 0,001000 0,001107 0,001000

3 3 0,001000 0,001000

∑(

(3)

Menurut metode Newton Raphson, maka:

Tabel 3.15 Estimasi parameter dengan metode MPS

̂ k ̂

1 0.89813 0.010377 1 1.06748 0.004554 1 0.84347 0.024502 2 2.11616 0.013493 2 1.89259 0.011537 1 1.04643 0.002156 3 2.83327 0.027799 3 3.07827 0.006126

(4)

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya dalam menaksir parameter distribusi pareto dengan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing dan regresi ridge, kesimpulan yang dapat diambil adalah :

1. penaksir kuadrat terkecil untuk parameter distribusi pareto dan adalah: ̂ ∑ ∑

dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑ ∑

Dimana n = jumlah sampel, ̂ ̂ dan ̂ ̂

2. penaksir regresi ridge untuk parameter distribusi pareto dan adalah: ̂ ∑ ∑

Dan

̂ ∑ _∑ ∑ ∑ ∑ Dimana n = jumlah sampel, ̂ ̂ , ̂

̂, dan adalah koefisien ridge

3. penaksir MPS untuk parameter distribusi pareto dan adalah: _{∑ (} (

(5)

_∑

_∑(

Dimana n = jumlah sampel. Untuk memperoleh taksiran dan k dapat diselesaikan dengan metode Newton Raphson.

4.2. Saran

1. untuk meminimalkan waktu dan mempermudah pekerjaan dalam mengestimasi parameter, sebaiknya digunakan metode kuadrat terkecil

2. Metode kuadrat terkecil, regresi ridge dan MPS cukup rumit dalam pengerjaannya, untuk itu diPperlukan kesabaran dan ketelitian.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Abdi, Herve. Diakses tanggal 28 Februari 2011. Least Squares. The University of Texas at Dallas. www.google.com

Afify, E. Eldesoky. Diakses tanggal 29 Oktober 2010. Estimation of Parameters For Pareto Distribution.www.google.com

Bjorkstrom, Anders. 2001. Ridge Regression and Inverse Problem. Stockholm University. Sweden.

Miller, J. Stevven. The Method of Least Squares. Mathematics Department Brown University Providence :RI 02912

Rytgaard, Mette. “Estimation in the pareto distribution”.Nordisk Reinsurance

Company A/S, Copenhagen, Denmark: hal .201-216