KAJIAN BOLA-LUAR DAN BOLA-DALAM PADA BIDANG-EMPAT.

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kata geometri berasal dari bahasa Yunani “geos” yang berarti bumi dan “metron” yang memiliki arti ukuran. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, geometri berarti ilmu ukur. Ilmu geometri mengenal dimensi. Dimensi satu ruang lingkupnya adalah garis, dimensi dua ruang lingkupnya bidang, sedangkan dimensi tiga lingkupnya berupa ruang.

Pada dimensi dua dipelajari tentang titik dan garis. Pengkajian titik dan garis di antaranya didapatkan berbagai bentuk bangun datar. Bangun datar berdasarkan banyak sisinya di antaranya segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segibanyak lainnya. Di antara segi banyak juga dapat dikaji berbagai bentuk jenisnya. Misalnya dari segiempat dapat dikaji berbagai bentuk jenis segiempat seperti persegi, persegi panjang, trapesium dan masih banyak lagi. Geometri dimensi dua juga mengkaji relasi bangun datar lain seperti lingkaran dan elips.

Dimensi tiga tidak hanya mempelajari titik dan garis tetapi juga mempelajari bidang. Pada dimensi tiga akan ditemui berbagai bangun ruang yaitu sebuah bangun yang dibentuk dari berbagai bangun datar. Beberapa contoh bangun ruang tersebut di antaranya bidang-empat, bidang-lima, bidang-enam, dan bidang-banyak lainnya. Terdapat pula bangun ruang yang bukan dibentuk dari berbagai bangun datar seperti bola dan eipsoida.

2

Pada dimensi dua juga dipelajari hubungan antara bangun datar. Salah satunya hubungan antara segitiga dan lingkaran. Sebuah segitiga memiliki lingkaran-luar serta lingkaran-dalam. Lingkaran-luar pada segitiga didasarkan dari sebuah teorema “garis sumbu dari setiap sisi segitiga ABC bertemu di titik O yang berjarak sama dari setiap titik sudutnya” (Smith, 2000: 159).

Gambar 1. Lingkaran-luar dari segitiga ABC.

Karena terdapat sebuah titik yang berjarak sama dari titik-titik segitiga maka pastilah ada sebuah lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut. Gambar 1 menunjukkan lingkaran dengan titik pusat O merupakan lingkaran-luar (circumcircle) dari ABC.

Sebuah segitiga tidak hanya memiliki lingkaran-luar namun juga memiliki sebuah lingkaran-dalam. Eksistensi lingkaran-dalam pada segitiga didasari oleh sebuah teorema yang menyatakan bahwa, “Garis-garis bagi sudut pada ABC bertemu pada sebuah titik interior I yang berjarak sama dari sisi-sisinya”. Ilustrasi teorema yang dikemukakan Smith (2000: 159) adalah sebagai berikut.

3

Gambar 2. Lingkaran-dalam dari segitiga ABC.

Terdapat sebuah titik yang berjarak sama dari sisi segitiga maka terdapat pula sebuah lingkaran yang menyinggung sisi-sisi segitiga. Lingkaran tersebut selanjutnya disebut sebagai lingkaran-dalam. Gambar 2 menunjukkan lingkaran dengan titik pusat I merupakan lingkaran-dalam (incircle) dari ABC.

Di dalam matematika analogi dapat digunakan pada bangun datar ke bangun ruang. Salah satu contoh analogi pada bidang ke ruang adalah segitiga ke bidang empat. Menurut Murdanu (2003: 10) segitiga adalah gabungan tiga ruas garis yang dibentuk oleh tiga titik yang tidak segaris yang sepasang-sepasang saling dihubungkan. Tiga buah garis merupakan jumlah minimal terbentuknya daerah tertutup di suatu bidang. Terbentuknya ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang minimal membutuhkan empat buah bidang. Bangun ruang yang dibentuk oleh empat buah bidang adalah bidang-empat. Kemiripan tersebut yang menjadi dasar analogi antara segitiga pada bidang dan bidang-empat pada ruang (Wono Setya Budhi & Bana G. Kartasasmita, 2015: 73).

4

Analogi juga dapat digunakan pada lingkaran dan bola. Keduanya sama-sama kumpulan titik-titik yang berjarak sama-sama dari sebuah titik. Perbedaan antara keduanya jika lingkaran merupakan kumpulan titik di suatu bidang, sedangkan bola merupakan kumpulan titik pada suatu ruang.

Gambar 3. Bidang-empat A.BCD.

Telah diperlihatkan bahwa setiap segitiga memiliki sebuah lingkaran-luar dan lingkaran-dalam. Bidang-empat merupakan analogi dari segitiga sedangkan bola merupakan analogi dari lingkaran. Berdasarkan hal tersebut dalam skripsi ini dikaji apakah juga terdapat bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat serta jika ada bagaimanakah sifat-sifat keduanya.

B. Batasan Masalah

Pengkajian bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat yang dibahas dalam skripsi ini menggunakan metode deduktif aksiomatik. Kajian dalam skripsi ini tidak melibatkan bilangan-bilangan.

5 C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, masalah yang dibahas pada skripsi ini yaitu:

1. Bagaimana eksistensi dari bola-luar bidang-empat? 2. Bagaimana sifat-sifat dari bola-luar bidang-empat? 3. Bagaimana eksistensi dari bola-dalam bidang-empat? 4. Bagaimana sifat-sifat dari bola-dalam bidang-empat? D. Tujuan

Tujuan dari penulisan skripsi ini yaitu:

1. menunjukkan keberadaan bola-luar pada bidang-empat, 2. menunjukkan sifat-sifat bola-luar pada bidang-empat,

3. menunjukkan keberadaan bola-dalam pada bidang-empat, dan 4. menunjukkan sifat-sifat bola-dalam pada bidang-empat. E. Manfaat

Berdasarkan rumusan masalah dan tujuan di atas, maka diperoleh manfaat penulisan skripsi ini adalah

1. Bagi Mahasiswa dan Peneliti

Menambah wawasan dan pemahaman mengenai bola-luar dan bola-dalam bidang-empat dan sifat-sifatnya sehingga dapat mengembangkan penelitian yang sejenis.

6 2. Bagi Universitas Negeri Yogyakarta

Menambah referensi mengenai bola-luar dan bola-dalam bidang-empat dan sifat-sifatnya bagi mahasiswa dan civitas akademika UNY pada umumnya serta Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan alam pada khususnya. 3. Bagi Pembaca secara Umum

Menambah pengetahuan mengenai bola-luar dan bola-dalam bidang-empat dan sifat-sifatnya.

7

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang digunakan pada bagian pembahasan. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai unsur-unsur kajian geometri, aksioma kekongruenan, geometri segitiga dan lingkaran serta analogi pada bidang dan ruang.

A. Titik, Garis, dan Bidang di Ruang

Geometri memiliki tiga unsur pangkal. Unsur-unsur tersebut adalah titik, garis, dan bidang. Tiga unsur tersebut biasanya juga disebut sebagai tiga unsur yang tidak didefinisikan. Menurut Smith (2000: 55) garis dan bidang dianggap sebagai himpunan titik, subset dari himpunan semua titik yang disebut ruang. Oleh karena itu titik merupakan hal pertama yang harus diulas. Merujuk tulisan Rich dan Thomas (2009: 1) sebuah titik hanyalah suatu posisi. Titik tidak memiliki panjang, lebar, maupun ketebalan.

Sebuah garis difikirkan sebagai suatu himpunan titik yang berderet yang rapat dengan panjang yang tidak terbatas tetapi tidak memiliki ketebalan. Titik sendiri difikirkan sebagai suatu posisi dalam ruang. Oleh karena itu titik tidak memiliki panjang maupun ketebalan. Titik dilambangkan dengan huruf kapital A sampai Z, sementara a sampai z digunakan untuk melambangkan garis. Untuk lebih jelas memahaminya, diberikan contoh dengan ilustrasi sebagai berikut:

8

Gambar 4. Garis.

Pada gambar di atas garis g juga bisa dituliskan . Unsur pangkal yang ketiga adalah bidang. Sebuah bidang difikirkan sebagai suatu himpunan titik yang berderet dan berjajar secara rapat dan tidak terbatas. Seperti garis, bidang juga tidak memiliki ketebalan. Bidang biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani.

Gambar 5. Bidang .

Geometri juga mempelajari kedudukan antara titik, garis, dan bidang. Pada geometri terdapat istilah berimpit. Istilah tersebut untuk menggambarkan titik atau garis yang sama.

Definisi 2.1. (Murdanu, 2003: 2) Dua titik berimpit adalah dua titik yang sama dan dua garis berimpit adalah dua garis yang sama.

Jika terdapat sebuah titik K dan sebuah garis g maka terdapat dua kemungkinan. Kemungkinan yang pertama adalah titik K terletak pada garis g. Kondisi ini juga dapat diungkapkan sebagai garis g melalui titik K. Kemungkinan yang lainnya titik K tidak terletak pada garis g.

9

Gambar 6. Garis g melalui titik K. Gambar 7. Garis g tidak melalui titik K. Definisi 2.2. (H. Karso, dkk., 2010: 73) Titik-titik segaris (kolinear) adalah titik-titik yang terletak pada satu garis, titik-titik-titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-titik tak segaris (nonkolinear).

Untuk lebih memahami definisi di atas, diberikan contoh ilustrasi sebagai berikut.

Contoh 2.1. Misalkan terdapat sebuah garis g. Terdapat pula titik A, B, C pada garis g sedangkan titik D tidak terletak pada garis g. Titik A, B, Cmerupakan titik-titik kolinier. Titik A, B, C, D disebut titik-titik nonkolinier atau dapat dikatakan titik D nonkolinier terhadap titik A, B, C.

Gambar 8. Titik-titik kolinier dan nonkolinier. □ Begitu pula kedudukan antara titik dengan bidang. Titik K bisa terletak pada bidang α maupun tidak. Menurut H. Karso, dkk (2010: 74) sebuah titik dapat terletak pada suatu bidang atau tidak terletak pada sebuah bidang. Jika sebuah titik K terletak pada suatu bidang α, maka dapat dikatakan pula bidang α melalui titik K, atau titik K pada bidang α.

Koplanar adalah istilah untuk menunjukkan bahwa himpunan titik terletak pada sebuah bidang yang sama. Keadaan yang menyatakan tidak koplanar disebut nonkoplanar.

Definisi 2.3. (Murdanu, 2003: 34) Titik-titik dikatakan koplanar atau sebidang jika dan hanya jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut.

Untuk lebih memahami definisi di atas, diberikan contoh ilustrasi sebagai berikut.

10

Contoh 2.2. Misalkan terdapat sebuah bidang . Terdapat pula titik A, B, C pada bidang sedangkan titik D tidak terletak pada bidang . Titik A, B, Cmerupakan titik-titik koplanar. Titik A, B, C, D disebut titik-titik nonkoplanar kareana tidak ada sebuah bidang yang memuat semua titik tersebut. Dapat dikatakan pula titik D nonkoplanar terhadap titik A, B, C.

Gambar 9. Titik-titik koplanar dan nonkoplanar. □ Terdapat dua kemungkinan kedudukan dari dua buah bidang. Dua buah bidang dapat berpotongan atau sejajar. Hal tersebut telah diungkapkan A. Sardjana (2008: 2.3) seperti pada definisi berikut.

Definisi 2.4. (A. Sardjana, 2008: 2.3) Dua buah bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu mempunyai sebuah garis persekutuan. Keadaan di mana dua buah bidang tidak memiliki garis persekutuan disebut dua bidang yang sejajar.

(a) (b)

Gambar 10. (a) Dua bidang berpotongan, (b) dua bidang saling sejajar. Kedudukan antara garis dan bidang dapat terjadi tiga kemungkinan. Menurut H. Karso, dkk. (2010: 77) Jika ada suatu garis dan suatu bidang, maka kejadian yang dapat terjadi, yaitu garis tersebut memotong atau dapat pula

11

dikatakan menembus bidang tersebut, garis tersebut sejajar dengan bidang tersebut, atau garis tersebut terletak pada bidang tersebut.

Definisi 2.5. (H. Karso, dkk., 2010: 77) Sebuah garis g dikatakan terletak pada

bidang α, Jika setiap titik yang terletak pada garis g, maka titik tersebut terletak

pada bidang.

Kemungkinan berikutnya jika garis g dan bidang α memiliki sebuah titik persekutuan maka garis g dan bidang α saling berpotongan.

Definisi 2.6. (H. Karso, dkk., 2010: 77) Garis g dan bidang dikatakan berpotongan, jika keduanya mempunyai tepat satu titik persekutuan.

Misalkan garis g memotong bidang α di titk A. Titik A disebut titik potong dari garis g dan bidang α. Kemungkinan yang ketiga adalah sejajar. Sejajar adalah keadaan di mana g dan bidang α tidak memiliki titik persekutuan.

Definisi 2.7. (H. Karso, dkk., 2010: 77) Sebuah garis g dan sebuah bidang dikatakan sejajar, jika keduanya tidak bersekutu pada sebuah titik pun.

Gambar 11. Garis g terletak pada bidang α. Gambar 12. Garis l dan bidang α sejajar.

12

Menurut H. Karso, dkk. (2010: 75) dua buah garis dapat merupakan dua garis yang sebidang atau tidak sebidang. Jika dua garis sebidang, maka dapat terjadi keduanya berpotongan atau sejajar. Jika dua buah garis tak-sebidang, maka keduanya dikatakan bersilangan.

Definisi 2.8. (Murdanu, 2003: 2) Dua garis yang berbeda disebut berpotongan jika dan hanya jika dua garis tersebut bersekutu pada satu titik.

Misalkan garis g dan h berpotongan dan bersekutu di titik A. Titik A disebut sebagai titik sekutu atau titik potong dari garis dan h .

Definisi 2.9. (H. Karso, dkk., 2010: 75) Dua buah garis berbeda dikatakan saling sejajar jika dan hanya jika keduanya koplanar dan tidak berpotongan. Dua buah garis berbeda dikatakan saling bersilangan jika dan hanya jika keduanya nonkoplanar.

Gambar 14. Garis berpotongan. Gambar 15. Garis sejajar.

13

Sejajar disimbolkan dengan sedangkan tidak sejajar disimbolkan dengan . Misalkan bidang α dan saling sejajar maka dapat disimbolkan dengan . Jika bidang α dan tidak saling sejajar maka disimbolkan dengan . Simbol juga dapat digunakan untuk melambangkan garis sejajar dengan bidang maupun kesejajaran dua buah garis. Misalkan garis l dan bidang α saling sejajar. Garis l sejajar dengan bidang α dilambangkan dengan . Jika garis g dan j sejajar maka disimbolkan dengan .

B. Ruas Garis, Sinar Garis, Sudut, Sudut Dihedral

Titik, garis, dan bidang jika dikaji lebih lanjut dapat menghasilkan objek geometri lain. Objek-objek geometri tersebut beberapa diantaranya adalah, sinar garis, ruas garis, sudut, serta sudut dihedral. Menurut Greenberg (1993: 14) ruas garis merupakan himpunan titik yang terbatas oleh dua buah titik.

Definisi 2.10. (Greenberg, 1993: 14) Diberikan dua titik A dan B. Ruas garis adalah himpunan di mana anggota-anggotanya adalah A dan B dan semua titik yang teretak pada dan di antara A dan B.

Gambar 17. Ruas garis .

Sebuah ruas garis dengan ujung titik A dan B dilambangkan dengan atau . Definisi 2.10 menunjukkan bahwa suatu ruas garis merupakan subset dari sebuah garis. Meskipun demikian, ruas garis bukan merupakan satu-satunya subset dari sebuah garis. Sinar garis juga merupakan subset dari garis.

Definisi 2.11. (Murdanu, 1993: 16) Misalkan O adalah suatu titik pada garis g. Suatu sinar garis pada garis g adalah himpunan titik-titik yang terdiri dari ttik O sebagai pangkal dan semua titik sepihak terhadap O pada g.

14

Gambar 18. Sinar garis

Menurut Murdanu (2003: 3) misalkan O suatu titik pada garis g. Dua titik berlainan selain titik O pada garis g dikatakan sepihak terhadap O jika dan hanya jika titik O tidak terletak diantara kedua titik tersebut. Sinar garis dengan pangkal O dan memuat titik A dilambangkan dengan . Dua buah buah sinar garis yang memiliki pangkal yang sama disebut sebagai sudut.

Definisi 2.12. (Murdanu, 2003: 4) Sudut adalah gabungan dua sinar garis yang bersekutu titik pangkalnya.

Gambar 19. Sudut BAC.

Gambar 19 di atas merupakan sebuah sudut dengan titik sudut A yang dibentuk oleh sinar garis . Sudut tersebut dapat dilambangkan dengan . Sinar garis disebut kaki sudut , sedangkan titik A disebut titik sudut . Pada sudut juga dikenal istilah daerah dalam atau juga disebut sebagai interior sudut.

Definisi 2.13. (Murdanu, 2003: 5) Daerah dalam adalah irisan antara himpunan titik-titik yang sepihak dengan A terhadap dan himpunan titik yang sepihak dengan B terhadap .

15

Pada Definisi 2.13 yang dimaksud himpunan titik-titik yang sepihak dengan A terhadap adalah titik D pada bidang AOB sehingga tidak

memotong .

Definisi 2.14. (Murdanu, 2003: 4) Misalkan terdapat sebuah garis g. Dua titik di luar garis g dikatakan terletak dalam kelas yang sama (sepihak terhadap garis g) bila dan hanya bila ruas garis yang ditentukan kediua titik tersebut tidak memuat satu titik pun yang terletak pada garis g. Kedua titik tersebut dikatakan terletak dalam kelas yang berlainan (tidak sepihak terhadap g) bila dan hanya bila ruas garis yang ditentukan oleh kedua titik tersebut memuat tepat satu titik yang terletak pada g.

Sebuah sudut memiliki ukuran. Besar ukuran sebuah sudut berada antara 0o sampai dengan 360o. Menutut Fogiel berdasarkan ukurannya sudut dikelompokkan menjadi lima.

Definisi 2.15. (Fogiel, 1987: 13) Sudut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari 0otetapi lebih kecil dari 90o.

Gambar 20. Sudut Lancip. Gambar 21. Sudut siku-siku. Definisi 2.16. (Fogiel, 1987: 13) Sudut yang memiliki ukuran 90odisebut sebagai sudut siku-siku.

Misalkan terdapat garis g dan h di mana keduanya berpotongan dan membentuk sudut siku-siku. Hubungan antara kedua garis tersebut dapat dikatakan sebagai saling berpotongan tegak lurus atau garis g tegak lurus dengan h. Simbol digunakan untuk menggambarkan suatu ketegaklurusan. Selain berpotongan tegak lurus dua buah garis juga dapat bersilangan tegak lurus.

16

Gambar 22. Dua garis saling berpotongan tegak lurus.

Gambar 23. Garis g dan h bersilangan tegak lurus.

Lebih luas lagi hubungan tegak lurus bukan hanya pada dua buah garis. Terdapat pula ketegaklurusan antara garis dan bidang serta ketegaklurusan antara dua buah bidang.

Definisi 2.17. (Murdanu, 2003: 37) Sebuah garis g dan sebuah bidang dikatakan saling tegak lurus pada titik P; dengan , jika dan hanya jika

setiap garis pada yang melalui P tegak lurus terhadap g.

17

Definisi 2.18. (Murdanu, 2003: 44) Dua buah bidang berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika keduanya memuat sudut dihedral siku-siku.

Misalkan garis g tegak lurus dengan bidang , maka dapat disimbolkan dengan . Begitu pula dengan ketegaklurusan antara dua bidang. Bidang tegak lurus dengan bidang disimbolkan dengan . Selain sudut lancip dan sudut siku-siku terdapat pula sudut tumpul, sudut lurus, dan sudut refleks.

Definisi 2.19. (Fogiel, 1987: 13) Sebuah sudut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari 90o tapi kurang dari 180o.

Definisi 2.20. (Fogiel, 1987: 13) Sebuah sudut yang ukurannya 180o disebut sebagai sudut lurus.

Sudut yang berukuran 180o disebut sudut lurus karena memang hanya berupa sebuah garis lurus. Contoh sebuah sudut lurus misalkan terdapat garis dan terdapat titik C di antara titik A dan B. Ukuran adalah 180o, sehingga merupakan sudut lurus.

Definisi 2.21. (Fogiel, 1987: 13) Sudut yang ukurannya 180o tetapi kurang dari 360odisebut sebagai sudut refleks.

Dalam geometri dimensi tiga ukuran sudut bukan hanya pada dua buah garis tetapi juga dua buah bidang. Dua buah bidang yang berpotongan akan membentuk sebuah sudut antara keduanya. Sudut antara dua buah bidang selanjunya disebut sebagai sudut dihedral. Untuk memahami definisi sudut dihedral terlebih dahulu perlu mengetahui definisi dari setengah bidang.

Definisi 2.22. (Murdanu, 2003: 4) Himpunan semua titik pada suatu kelas disebut sebagai setengah bidang.

Kelas yang dimaksud pada Definisi 2.22 adalah kelas seperti yang telah didefinisikan pada Definisi 2.14.

18

Definisi 2.23. (Murdanu, 2003: 42) Suatu sudut dihedral adalah gabungan dari sebuah garis dan dua buah setengah bidang non koplanar yang sekutunya garis tersebut. Garis tersebut dinamakan rusuk dari sudut dihedral. Gabungan rusuk dan sebuah setengah-bidang tersebut dinamakan sebuah bidang-sisi dari sudut dihedral.

Gambar 25. Sudut dihedral .

Penamaan sudut dihedral sedikit berbeda dengan sudut antara dua buah garis. Misalkan terdapat garis merupakan rusuk suatu sudut dihedral. Titik A dan B terletak pada setengah bidang yang berbeda. Sudut dihedral tersebut selanjutnya disebut sebagai sudut atau . Suatu sudut dihedral juga memiliki ukuran.

Definisi 2.24. (Murdanu, 2003: 42) Melalui sebarang titik pada rusuk dari suatu sudut dihedral terdapat sebuah bidang yang melaluinya dan tegak lurus terhadap rusuk tersebut berupa sebuah sinar garis yang berpangkal sama pada sebarang titik tersebut. Sudut yang dibentuk oleh kedua sinar garis tersebut dinamakan sudut-bidang dari sudut dihedral tersebut.

C. Jarak

Menurut Murdanu (2003: 5) untuk setiap ukuran yang diberikan, terdapat suatu korespondensi yang menetapkan suatu bilangan positif bagi setiap pasangan dua titik berlainan. Misalkan terdapat dua titik A dan B. Bilangan positif yang bersesuaian dengan titik A dan B selanjutnya disebut dengan jarak antara A dan B. Merujuk Definisi 2.10 maka ruas garis adalah kumpulan titik pada sebuah

19

garis yang dibatasai oleh titik A dan B. Ukuran atau juga dapat disebut panjang ruas garis dinyatakan oleh jarak antara titik A dan B.

Definisi 2.25. (Murdanu, 2003: 4) Ukuran adalah jarak antara A dan B. Ukuran disimbolkan dengan AB. Sebuah ruas garis selalu memiliki sebuah titik tengah. Menurut Fogiel (1987: 11) titik tengah dari ruas garis adalah titik yang membagi ruas garis menjadi dua ruas garis yang sama panjang. Misalkan terdapat dan sebuah titik C pada . Titik C merupakan titik tengah

jika dan hanya jika .

Selain jarak antara dua titik geometri juga mengkaji jarak antara obyek geometri lain. Jarak yang dikaji diantaranya jarak titik dengan garis, titik dengan bidang, garis dengan garis, garis dengan bidang, serta jarak antara dua bidang. Definisi 2.26. (A. Sardjana, 2008: 2.25) Jarak antara sebuah titik dengan sebuah garis adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan titik kaki tegak lurus yang dibuat dari titik itu ke garis tersebut.

Definisi ini dapat dinyatakan dengan kalimat lain. Jarak titik dan garis merupakan jarak antara titik itu dengan titik proyeksi tegak lurusnya pada garis tersebut. Begitu pula jarak antara titik dengan bidang. Jarak antara keduanya merupakan jarak antara titik tersebut dengan titik proyeksinya dengan bidang yang dimaksud.

Definisi 2.27. (A. Sardjana, 2008: 2.26) Jarak sebuah titik dan sebuah bidang adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

Jarak dua buah garis sejatinya juga merupakan jarak antara dua titik. Baik kedua garis itu sejajar maupun bersilangan. Jarak dua buah garis yaitu jarak dari sebuah titik pada garis yang satu dengan titik proyeksinya di garis yang lain.

20

Hanya saja dalam mencari jarak antara garis yang bersilangan sedikit lebih sulit. Hal ini dikarenakan pemilihan titik tidak dapat dilakukan secara sebarang.

Definisi 2.28. (A. Sardjana, 2008: 2.26) Jarak antara dua buah garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik pada garis yang lain.

Definisi 2.29. (A. Sardjana, 2008: 2.29) Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus dua garis tersebut.

Konsep yang sama juga digunakan untuk mengukur jarak antara garis dengan bidang dan jarak dua buah bidang sejajar. Menentukan sebuah titik sebarang pada garis lalu mencari proyeksinya pada bidang.

Definisi 2.30. (A. Sardjana, 2008: 2.28) Jarak antara dua buah bidang yang sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah sebuah titik pada salah satu bidang itu dengan proyeksinya pada bidang kedua.

D. Segitiga

Geometri mengenal berbagai macam bangun datar, salah satunya adalah segitiga. Setiap tiga titik nonkolinier dapat dibentuk sebuah segitiga. Menurut Moise (1990: 65) segitiga merupakan bangun datar yang dibentuk oleh tiga buah ruas garis.

Definisi 2.31. (Moise, 1990: 65) Jika A, B, dan C adalah tiga titik yang nonkolinier maka himpunan disebut segitiga ABC.

Segitiga ABC dilambangkan dengan . Titik A, B, C dinamakan titik sudut, , , dinamakan sisi , dan dinamakan sudut . Pada segitiga juga terdapat daerah dalam segitiga atau interior segitiga dan daerah luar segitiga atau eksterior segitiga.

Definisi 2.32. (Murdanu, 2003: 11) Sebuah titik dikatakan pada interior suatu segitiga bila dan hanya bila titik tersebut terletak pada daerah dalam setiap sudut segitiga tersebut. Sebuah titik dikatakan terletak pada eksterior suatu segitiga

21

bila dan hanya bila titik tersebut sebidang dengan segitiga tersebut tetapi bukan merupakan bagian dari segitiga tersebut maupun interiornya.

1. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisi

Setiap segitiga memiliki tiga buah sisi. Sisi-sisi segitiga merupakan sebuah ruas garis, sehingga sisi segitiga memiliki ukuran panjang. Ketiga sisi pada segitiga tersebut dimungkinkan terdapat pasangan sisi yang sama panjang. Berdasarkan banyak panjang sisi yang sama segitiga dibagi menjadi beberapa jenis.

Definisi 2.33. (Fogiel, 1987: 26) Segitiga yang tidak memiliki sisi yang sama panjang disebut segitiga sebarang.

Definisi 2.34. (Fogiel, 1987: 27) Segitiga yang setidaknya memiliki dua sisi yang sama panjang disebut segitiga sama kaki.

Definisi 2.35. (Fogiel, 1987: 27) Sebuah segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga sisi yang sama panjang.

Gambar 26. Segitiga sebarang, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi. 2. Jenis Segitiga Berdasarkan ukuran Sudut

Menurut Definisi 2.31 sebuah segitiga memiliki tiga buah sudut. Berdasarkan besar sudutnya segitiga dibagi menjadi tiga kelompok. Tiga kelompok tersebut adalah segitiga tumpul, segitiga lancip dan segitiga siku-siku.

22

Definisi 2.36. (Fogiel, 1987: 27) Segitiga dengan sebuah sudut tumpul disebut segitiga tumpul.

Definisi 2.37. (Fogiel, 1987: 27) Segitiga lancip adalah segitiga dengan tiga buah sudut lancip.

Definisi 2.38. (Fogiel, 1987: 28) Segitiga dengan sebuah sudut siku-siku disebut segitiga siku-siku. Sisi didepan sudut siku-siku disebut sebagai hipotenusa segitiga siku-siku. Dua sisi lainnya disebut kaki dari segitiga siku-siku.

Gambar 27. Segitiga tumpul, segitiga lancip, segitiga siku-siku. 3. Garis-Garis Istimewa Segitiga

Segitiga memiliki garis-garis istimewa. Segitiga memiliki empat macam garis istimewa. Keempat macam garis tersebut adalah garis tinggi, garis berat, garis sumbu, dan garis bagi sudut.

Definisi 2.39. (Fogiel, 1987: 28) Garis tinggi dari segitiga adalah ruas garis dari sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi didepannya.

Misalkan terdapat . Cara melukis garis tinggi dari titik C adalah sebagai berikut:

1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik C sehingga memotong sisi AB di dua titik,

2. dari dua titik potong tersebut dilukiskan busur lingkaran dengan jari-jari sama sedemikian hingga bertemu di sebuah titik,

23

Gambar 28. Garis tinggi segitiga.

Ruas garis padaGambar 28 merupakan salah satu garis tinggi . Sebuah segitiga memiliki tiga buah garis tinggi. Pada segitiga sama sisi panjang dari ketiga garis tingginya sama. Pada segitiga siku-siku kedua sisi sikunya juga merupakan garis tinggi dari sisi tersebut. Misalkan terdapat yang mana merupakan hipotenusa dari segitiga itu. Sisi dan merupakan garis tinggi dari .

Definisi 2.40. (Fogiel, 1987: 28) Ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut segitiga dan titik tengah dari sisi di hadapannya disebut garis berat dari segitiga.

Misalkan terdapat . Cara melukis garis berat dari titik C adalah sebagai berikut:

1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik A dengan panjang jari-jari lebih dari setengah AB,

2. dengan jari-jari yang sama dilukiskan busur lingkaran dengan pusat Z sehingga kedua busur tadi berpotongan di dua titik,

24

3. dilukiskan ruas garis yang menghubungkan dua titik potong busur sehingga memotong sisi AC disebuah titik D,

4. dilukiskan ruas garis yang menghubungkan titik C dan D.

Gambar 29. Garis berat segitiga.

Garis istimewa pada segitiga yang ketiga adalah garis sumbu. Seperti pada garis berat, garis sumbu pada segitiga juga melibatkan titik tengah dari sisi segitiga. Perbedaannya adalah garis sumbu tegak lurus dengan sisi tersebut dan tidak harus melalui sebuah titik sudut.

Definisi 2.41. (Fogiel, 1987: 28) Garis yang membagi dua sama panjang dan tegak lurus dengan sisi dari segitiga disebut garis sumbu dari sisi tersebut.

Misalkan terdapat . Cara melukis garis berat dari titik C adalah sebagai berikut:

1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik A dengan panjang jari-jari lebih dari setengah AB,

2. dengan jari-jari yang sama dilukiskan busur lingkaran dengan pusat Z sehingga kedua busur tadi berpotongan di dua titik,

25

3. dilukiskan garis yang melalui dua titik potong busur tersebut.

Gambar 30. Garis sumbu segitiga.

Garis istimewa pada segitiga yang terakhir adalah garis yang membagi sudut menjadi dua sama besar. Garis itu disebut garis bagi sudut dari segitiga atau lebih sering disebut sebagai garis bagi segitiga.

Definisi 2.42. (Smith, 2000: 159) Sebuah garis bagi sudut dari adalah garis g yang melalui titik O sedemikian hingga jika R titik pada g di dalam maka dan memiliki ukuran yang sama.

Misalkan terdapat . Cara melukis garis berat dari titik C adalah sebagai berikut:

1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik C sehingga memotong dan ,

2. dari kedua titik potong dilukiskan busur dengan jari-jari sama sehingga berpotongan disebuah titik,

26

Gambar 31. Garis bagi segitiga.

Setiap segitiga memiliki tiga buah garis bagi segitiga. Misalkan pada segitiga ABC maka akan ada tiga garis bagi yang secara berturut-turut membagi . Garis bagi sudut CAB adalah sebuah sinar garis yang berpangkal di C dan memotong di titik D sedemikian hingga sama besar.

E. Kekongruenan

Kongruen adalah sebutan untuk menggambarkan keadaan di mana dua benda memiliki kesamaan bentuk dan ukuran. Simbol digunakan untuk melambangkan suatu hubungan kekongruenan. Menurut Smith (2000: 67) dua ruas garis dikatakan kongruen jika memiliki panjang yang sama. Dua buah sudut dikatakan kongruen jika memiliki ukuran yang sama. Pada kekongruenan berlaku sifat transitif.

Aksioma 2.1. (Greenberg, 1993: 83) Jika dan maka

.

Aksioma 2.2. (Greenberg, 1993: 83) Jika dan maka .

27

Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika ada korespondensi satu-satu antar sudut pada segitiga sehingga sudut yang bersesuaian memiliki ukuran yang sama. Selain sudut-sudutnya, ruas garis pembentuk segitiganya juga harus memiliki ada korespondensi satu-satu sehingga ruas garis yang bersesuaian memiliki panjang yang sama.

Definisi 2.43. (Smith, 2000: 67) Dua segitiga ABC dan DEF dikatakan kongruen jika sisi dan sudut yang bersesuaian saling kongruen: ABC DEF,

BCA EFD, CAB FDE, , , .

Misalkan terdapat ABC dan DEF. Dua segitiga tersebut saling kongruen. Segitiga ABC kongruen dengan DEF disimbolkan dengan .

Aksioma 2.3. (Greenberg, 1993: 85) Jika dua buah sisi dan sebuah sudut di antara sisi tersebut dari sebuah segitiga masing-masing kongruen dengan dua sisi dan sebuah sudut di antara sisi tersebut dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongeruen.

Aksioma ini selanjutnya disebut sebagai aksioma kekongruenan sisi-sudut-sisi atau juga sering disingkat menjadi S-Sd-S. Terdapat beberapa akibat dari aksioma S-Sd-S yang telah dibuktikan oleh Greenberg (1993: 86).

Teorema 2.1. (Greenberg, 1993: 86) Jika pada ABC terdapat AB AC maka B C.

Bukti:

Misalkan terdapat segitiga yang mana AB AC. Akan dibuktikan bahwa ABC ACB.

28

Gambar 32. Bukti Teorema 2.1.

Dilukiskan sebuah garis bagi sudut BAC. Garis tersebut memotong di titik D, sehingga terbentuk segitiga ADB dan segitiga ADC. Seperti yang telah diketahui kedua segitiga tersebut terdapat AB AC. Sudut BAD dan CAD juga kongruen hal tersebut dijamin oleh definisi garis bagi sudut segitiga. Ruas garis merupakan sisi pada dan sehingga terbukti bahwa . Kedua segitiga tersebut kongruen karena memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Segitiga dan saling kongruen, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian juga kongruen. Terbukti bahwa ABC ACB.

Teorema 2.2. Kriteria Kekongruenan Sd-S-Sd (Greenberg, 1993: 90) Diberikan ABC dan DEF dengan A D , C F dan maka ABC DEF.

Bukti:

Terdapat ΔABC dan ΔDEF yang mana CA FDE , CB DFE dan

. Dipilih sebuah titik G pada sedemikian sehingga . Selain

dan terdapat pasangan CAB dan FDE serta dan yang juga saling kongruen. Segitiga ABC dan segitiga DGF saling kongruen karena memenuhi kiteria kekongruenan S-Sd-S.

29

Gambar 33. Bukti Teorema 2.2.

Kekongruenan antara ΔABC dan ΔDGF memberikan informasi bahwa setiap pasang sudut dan sisi yang bersesuaian juga saling kongruen., termasuk sudut ACB dan sudut DFG. Telah diketahui di awal bahwa CB DFE, sehingga

dan merupakan ruas garis yang sama. Hal ini berarti titik E dan G berimpit, karena maka . Terbukti bahwa jika

A D , C F dan maka ABC DEF.

Teorema 2.3. Kriteria Kekongruenan S-S-S (Greenberg, 1993: 92) Diberikan ABC dan DEF dengan AB DE , BC EF dan AC DF. Maka ABC DEF. Sebuah segitiga siku-siku memiliki keistimewaan. Salah satu keistimewaannya berhubungan dengan kekongruenannya. Sebuah segitiga siku-siku yang hepotenusa dan salah satu sisi penyikunya kongruen maka kedua segitiga tersebut kongruen. Hal ini telah dituliskan oleh M. Fogiel (1993: 36). Teorema 2.4. (Fogiel, 1993: 36) Jika hipotenusa dan sebuah sisi dari sebuah segitiga siku-siku secara berturut-turut sama dengan hepotenusa dan sisi segitiga siku-siku yang kedua, maka kedua segitiga siku-siku tersebut kongruen.

F. Lingkaran-Luar dan Lingkaran-Dalam pada Segitiga

Geometri tidak hanya mengkaji suatu bangun datar namun juga mengkaji hubungan antar bangun datar. Salah satu yang dikaji adalah hubungan antara

30

segitiga dengan lingkaran. Sebelum menuju hubungan antara segitiga dan lingkaran akan paparkan terlebih dahulu definisi dari lingkaran.

Definisi 2.44. (Fogiel, 1987: 72) Sebuah lingkaran adalah himpunan titik pada bidang yang berjarak sama dari sebuah titik yang disebut pusatnya.

Jarak titik pusat lingkaran terhadap titik-titik pada lingkaran disebut jari-jari.

Gambar 34. Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari .

Menurut Definisi 2.41 sebuah segitiga tidak hanya memiliki sebuah garis sumbu, melainkan tiga. Hal itu dikarenakan segitiga memiliki tiga buah sisi dan setiap sisi memiliki sebuah garis sumbu. Terdapat hubungan antara ketiga garis sumbu pada segitiga tersebut.

Teorema 2.5. (Smith, 2000: 159) Garis-garis sumbu dari sisi-sisi segitiga bertemu pada sebuah titik O yang berjarak sama dari titik-titik sudutnya.

31 Bukti:

Gambar 35. Sinar garis yang memotong di titik F.

Terdapat dan garis sumbu sisi yang memotong di titik D dan garis sumbu sisi yang memotong di titik E. Kedua garis tak sejajar tersebut bertemu di sebuah titik O. Dilukiskan sebuah sinar garis yang berpangkal di titik O dan tegak lurus sisi . Sinar garis tersebut memotong di titik F.

Gambar 36. Segitiga AOD dan segitiga BOD.

Terdapat dan yang kongruen karena memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Hal itu dikarenakan merupakan sisi pada dan . Kedua segitiga tersebut juga memiliki sudut siku-siku, yaitu pada dan pada . Syarat terpenuhi kiteria kekongruenan S-Sd-S

32

yang terakhir adalah . Kekongruenan dan dikarenakan sifat garis sumbu pada segitiga.

Gambar 37. Segitiga BOE dan segitiga COE.

Seperti pada dan , pada dan juga terdapat yang merupakan sisi dari kedua segitiga. Segitiga BOE dan COE juga merupakan segitiga siku-siku. Segitiga BOE siku-siku di sementara segitiga COE siku-siku di . Jika melihat maka sama panjang dengan karena merupakan akibat dari sifat garis sumbu. Terbukti bahwa karena memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Salah satu akibat dari kekongruenan dan adalah . Begitu pula dengan yang merupakan salah satu implikasi dari kekongruenan antara dan . Karena dan maka .

33

Gambar 38. Segitiga AOF dan segitiga COF.

Selain menjadi sisi dari , juga merupakan sisi pembentuk . Begitu juga yang selain menjadi sisi juga menjadi sisi . Terdapat sisi yang sama panjang pada dan yaitu dan . Sisi merupakan sisi kedua segitiga itu, sehingga terdapat dua pasang sisi pada dan yang kongruen. Pada kedua segitiga tersebut terdapat sudut siku-siku yang masing-masing terdapat pada sudut dan . Menurut Teorema 2.4 dan merupakan segitiga yang saling kongruen, oleh karena itu dan juga kongruen.

Ruas garis dan saling kongruen, sehingga dapat disimpulkan sinar garis yang berpangkal di O dan tegak lurus merupakan garis sumbu dari sisi AC. Berdasarkan Aksioma 2.1 karena dan maka . Jarak antara titik O dengan titik-titik sudut segitiga ABC sama. Terbuki bahwa garis-garis sumbu sisi-sisi segitiga melalui sebuah titik yang berjarak sama dari titik-titik sudut segitiga tersebut.

34

Berdasarkan Definisi 2.44 lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Jika O sebagai pusat dan panjang merupakan panjang jari-jarinya maka titik A, B, dan C terletak pada lingkaran. Lingkaran yang berpusat di O dan memuat A,B, dan C disebut lingkaran-luar (circumcircle) dari pada ΔABC. Ttitik O yang merupakan titik pertemuan tiga garis sumbu tersebut disebut pusat lingkaran-luar (circumcenter) dari ΔABC. Ruas garis , , maupun disebut sebagai jari-jari lingkaran-luar (circumradius).

Gambar 39. Lingkaran-luar segitiga ABC dengan pusat O.

Setiap segitiga memiliki sebuah lingkaran-luar tetapi letak pusat lingkaran dalamnya bermacam-macam. Pada segitiga lancip pusat lingkaran-dalamnya terletak di interior segitiga. Pusat lingkaran-luar segitiga tumpul terletak pada eksterior segitiga tersebut. Hal yang menarik terjadi pada segitiga siku-siku, karena pusat lingkaran-luarnya berada pada salah satu sisi segitiga tersebut. Tepatnya terletak pada titik tengah hipotenusanya.

35

(a) (b) (c)

Gambar 40. (a) Pusat lingkaran-luar pada segitiga lancip, (b) Pusat lingkaran-luar pada segitiga tumpul, (c) Pusat lingkaran-luar pada segitiga siku-siku.

Setiap segitiga mempunya lingkaran-luar, artinya untuk setiap segitiga dapat dibuat sebuah lingkaran yang melalui titik-titik sudutnya. Sebuah segitiga memiliki tiga buah titik sudut. Hal ini berarti untuk setiap tiga titik nonkolinier dapat dibentuk sebuah lingkaran yang melalui ketiganya.

Teorema 2.6. (Smith, 2000: 159) Untuk sebarang tiga titik nonkolinier terletak pada tepat satu lingkaran.

Relasi antara segitiga dan lingkaran tidak hanya lingkaran-luar segitiga saja. Relasi lain antara keduanya salah satunya adalah lingkaran-dalam segitiga. Seperti garis sumbu pada segitiga, garis bagi sudut pada segitiga juga sebanyak tiga buah. Hal itu dikarenakan segitiga memiliki tiga titik sudut. Adapun hubungan antara ketiganya seperti yang disebutkan oleh Smith (2000: 159). Teorema 2.7. (Smith, 2000: 159) Garis-garis bagi sudut pada ΔABC bertemu pada sebuah titik interior I yang berjarak sama dari sisi-sisinya.

Bukti:

Terdapat ΔABC, dimana adalah garis bagi . Maka akan berpotongan di sebuah titik

36

interior I. Dilukiskan tiga sinar garis dari titik I dan tegak lurus sisi-sisi segitiga. Titik G, H, J merupakan titik perpotongan sinar garis-sinar garis tersebut berturut turut pada sisi .

Gambar 41. Bukti teorema garis bagi segitiga.

Segitiga CJI dan segitiga CHI memerupakan pasangan segitiga yang kongruen. Kekongruenan keduanya dikarenakan kedua segitiga tersebut memenuhi kriteria kekongruenan Sd-S-Sd sesuai Teorema 2.2. Syarat Sd-S-Sd terpenuhi oleh , , dan . Kekongruenan antara sudut tepenuhi akibat sifat garis bagi sudut . Akibat dari salah satunya adalah .

37

Cara yang sama juga dapat digunakan untuk membuktikan kekongruenan antara dan . Kriteria kekongruenan Sd-S-Sd terpenuhi oleh ,

, dan . Satu implikasi dari kekongruenan dua segitiga tersebut salah satunya adalah . Menurut Aksioma 2.1 jika dan maka . Jarak titik I dengan sama, hal ini didasari oleh definisi jarak titik dan garis pada Definisi 2.26.

Gambar 43. Segitiga BGI dan segitiga BHI.

Segitiga BGI dan segitiga BHI merupakan segitiga siku-siku. Secara berturut-turut dan merupakan sudut siku-siku pada dan . Terdapat

yang mana ruas garis tersebut merupakan sisi kedua segitiga itu. Telah dibuktikan pula bahwasannya . Segitiga BGI dan segitiga BHI terbukti saling konguen, hal ini merujuk Teorema 2.4. Akibat dari kekongruenan dua segitiga tesebut adalah , sehingga merupakan garis bagi atau . Terbukti bahwa garis-garis bagi sudut pada ΔABC bertemu pada sebuah titik interior I yang berjarak sama dari sisi-sisi ΔABC.

38

Gambar 44. Lingkaran-dalam segitiga ABC dengan pusat titik I.

Lingkaran yang berpusat di I dan menyinggung ketiga sisi segitiga disebut lingkaran-dalam (incircle) dari ΔABC. Titik I yang merupakan titik pertemuan tiga garis bagi sudut merupakan pusat lingkaran-dalam incenter dari ΔABC. Jari-jari dari lingkaran tersebut disebut sebagai Jari-jari-Jari-jari lingkaran-dalam (inradius).

Segitiga samasisi memiliki sebuah keunikan. Segitiga ini ketiga sisinya kongruen. Hal ini mengakibatkan pusat lingkaran-luarnya juga merupakan pusat lingkaran-dalam dari segitiga tesebut.

Teorema 2.8. Titik pusat lingkaran-luar sebuah segitiga sama sisi juga merupakan titik pusat dari lingkaran-dalam segitiga tersebut.

Bukti:

Misalkan terdapat dengan . Titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari . Akan dibuktikan bahwa titik O juga merupakan titik pusat lingkaran-dalam dari .

Titik O merupakan pusat lingkaran-luar, sehingga titik O juga merupakan titik perpotongan garis-garis sumbu ΔABC. Misalkan terdapat titik D pada sedemikian hingga maka . Sudut ODA dan sudut ODB merupakan sudut siku-siku. Titik E membagi menjadi dua ruas garis yang

39

kongruen maka . Sudut OEB dan sudut OEC juga merupakan sudut siku-siku. Titik D merupakan titik tengah serta E titik tengah sehingga

dan . Telah diketahui pula bahwa maka . Segitiga ODB dan segitiga OEB merupakan segitiga siku-siku. Ruas garis OB merupakan sisi dari kedua segitiga tersebut. Terdapat dan yang saling kongruen. Menurut Teorema 2.4 . Salah satu akibat dari kekonruenan ini adalah .

Cara yang hampir sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa . Dalam hal ini titik F merupakan titik tengah dan . Akibat dari salah satunya adalah .

Panjang merupakan jarak antara titik O dengan . Begitu pula dengan panjang dan yang secara berturut-turut merupakan jarak O dengan

dan . Ruas garis OD kongruen dengan ruas garis OE serta ruas garis OF. Dengan kata lain jarak antara titik O dengan sisi-sisi sama sehingga titik O merupakan pusat lingkaran-dalam . Terbukti bahwa titik pusat lingkaran-luar sebuah segitiga sama sisi juga merupakan titik pusat dari lingkaran-dalam segitiga tersebut.

G.Bidang-Empat

Menurut A. Sardjana (2008: 5.3) limas merupakan salah satu bidang yang salah satu bidang sisinya berbentuk segibanyak dan bidang batas yang lainnya berupa segitiga-segitiga yang alasnya masing-masing merupakan sisi segibanyak dan puncak-puncak segitiga tersebut berimpit di suatu titik yang disebut titik puncak. Segi banyak pada limas disebut bidang alas. Bidang sisi yang berbentuk

40

segitiga disebut sisi tegak. Ketika membicarakan limas maka ruas garis yang merupakan sisi segitiga selanjutnya akan disebut sebagai rusuk. Terdapat berbagai macam limas dan di antaranya ada yang disebut sebagai bidang-empat.

Definisi 2.45. (A.Sardjana, 2008: 5.5) Bidang-empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga.

Disebut bidang-empat karena bangun ruang ini dibentuk oleh empat buah bidang sisi. Seluruh bidang sisinya berbentuk segitiga, sehingga setiap bidang sisi merupakan sisi alas sekaligus sisi tegak. Terdapat berbagai macam bentuk bidang-empat. A. Sardjana (2008: 5.6) mengklasifikasikan bidang-empat sebagai berikut: 1. Bidang-empat teratur adalah bidang-empat yang keempat bidang sisinya

kongruen. Bidang sisinya berbentuk segitiga samasisi.

2. Bidang-empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus bidang alas.

3. Bidang-empat siku-siku adalah bidang empat yang mempunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut saling tegak lurus.

4. Bidang-empat sebarang adalah bidang-empat yang tidak termasuk salah satu diatas.

(a) (b) (c) (d)

Gambar 45. (a) Bidang-empat teratur, (b) Bidang-empat tegak,(c) Bidang-empat siku-siku, (d) Bidang-empat sebarang.

41

Bidang-empat dengan alas dan titik puncak A disebut bidang-empat A.BCD. Pada bidang-bidang-empat seluruh bidang sisinya berbentuk segitiga sehingga setiap bidang sisi bisa sebagai bidang alas dan titik yang tidak terletak pada bidang alas merupakan puncaknya. Bidang-empat A.BCD dapat disebut sebagai bidang-empat B.ACD, bidang-empat C.ABD, maupun bidang-empat D.ABC.

H. Analogi

Merujuk tulisan Wono Setya Budhi dan Bana G. Kartasasmita (2015: 73) analogi dapat terjadi untuk benda pada bidang dan benda pada ruang. Salah satu contohnya bidang-empat pada ruang merupakan suatu analogi dari segitiga pada ruang.

Dua buah garis pada suatu bidang tidak dapat membentuk suatu daerah tertutup. Dibutuhkan tiga buah garis agar terapat menghasilkan suatu daerah tertutup pada suatu bidang. Menurut Definisi 2.31 gabungan tiga buah ruas garis tersebut disebut segitiga. Hal ini menunjukkan bahwa segitiga merupakan suatu bangun datar paling sederhana. Jika pada bidang setidaknya dibutuhkan tiga buah garis untuk membentuk sebuah daerah terbatas namun daerah terbatas pada ruang minimal membutuhkan empat buah bidang. Sebuah bangun ruang dibentuk oleh empat buah bidang adalah bidang-empat.

Hubungan antara segitiga pada bidang mirip dengan hubungan antara bidang-empat pada ruang. Segitiga merupakan bangun datar paling sederhana sedangkan bidang-empat merupakan bangun ruang yang paling sederhana. Alasan

42

tersebut yang mendasari pernyataan Polya (1954: 14) bahwa segitiga pada bidang analogi dengan bidang-empat pada ruang.

Lingkaran pada bidang juga analogi dengan bola pada ruang. Lingkaran merupakan kumpulan titik pada bidang yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu. Serupa dengan hal tersebut bola juga merupakan himpunan titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu. Perbedaan antara keduanya yaitu sebuah bola sebuah bola titik-titik tersebut dalam lingkup sebuah ruang.

Setiap segitiga memiliki lingkaran-luar dan lingkaran-dalam. Bidang-empat merupakan analogi dari segitiga, sedangkan bola merupakan analogi dari lingkaran. Terdapat kemungkinan setiap bidang-empat juga memiliki bola-luar dan bola-dalam. Eksistensi bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat akan di bahas pada bab berikutnya.

43

BAB III

PEMBAHASAN

Telah diungkapkan Polya (1954: 14) bahwa bidang-empat merupakan analogi dari segitiga dan bola merupakan analogi dari lingkaran. Setiap segitiga memiliki lingkaran-luar serta lingkaran-dalam. Pada bab ini akan ditunjukkan eksistensi bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat. Lebih lanjut juga akan dibahas sifat-sifat dari bola-luar serta bola-dalam pada bidang-empat.

A.Bola-Luar Bidang-Empat

Menurut Hvidsten (2012: 69) sebuah lingkaran dengan pusat circumcenter dari segitiga dan jari-jari dari pusat ke salah satu titik sudut dan melalui titik sudut yang lain, disebut lingkaran-luar dari segitiga. Mengadopsi pernyataan tersebut maka bola-luar dapat diartikan sebagai sebuah bola yang mana berpusat di sebuah titik dan panjang jari-jarinya merupakan jarak dari pusat ke salah satu titik sudut bidang-empat dan melalui titik sudut yang lainnya. Titik pusat suatu bola-luar berjarak sama dari titik-titik sudut bidang-empat.

Sebelum mengkaji sifat-sifat dari bola-luar suatu bidang-empat maka harus ditunjukkan eksistensi dari bola-luar bidang-empat itu sendiri. Untuk menunjukkan eksistensi bola-luar harus ditunjukkan eksistensi titik pusat bola tersebut. Perlu ditunjukkan adanya sebuah titik yang berjarak sama dari keempat titik sudut suatu bidang-empat. Misalkan terdapat sebuah bidang-empat sebarang D.ABC maka harus ditunjukkan bahwasannya ada titik O sedemikian hingga

44

. Untuk menunjukkan eksistensi titik tersebut maka perlu dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Titik yang berjarak sama dari A,B,C

Merujuk Teorema 2.5, setiap segitiga memilki sebuah titik pada bidang tersebut yang berjarak sama dari titik-titik sudutnya. Misalkan titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC. Dilukiskan sebuah garis g yang mana garis g adalah sebuah garis yang tegak lurus bidang ABC serta melalui titik E.

Gambar 46. Garis g tegak lurus bidang ABC.

45

Dipilih sebarang titik F pada garis g sehingga terdapat ΔAEF, ΔBEF, dan ΔCEF. Jika diamati segitiga AEF dan segitiga BEF merupakan segitiga yang saling kongruen. Kekongruenan antara keduanya diperoleh karena memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC, oleh karenanya . Kekongruenan antara dan telah dijamin oleh Teorema 2.5. Sudut AEF dan sudut BEF sama-sama sudut siku-siku karena garis F tegak lurus dengan bidang yang memuat titik A dan B. Syarat terakhir

terpenuhinya kriteria kekongruenan S-Sd-S diperoleh dari ruas garis EF yang merupakan sisi ΔAEF maupun ΔBEF.

Selain kongruen dengan ΔAEF, ΔBEF juga kongruen dengan ΔCEF. Seperti halnya dengan ΔAEF, kriteria kekongruenan S-Sd-S juga terpenuhi antara ΔBEF dan ΔCEF. Kriteria kekongruenan S-Sd-S terpenuhi karena yang merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC, sudut siku BEF dan CEF, serta sisi EF.

Akibat dari dan maka . Kekongruenan ini mengakibatkan sudut serta sisi yang bersesuaian antara ketiganya juga kongruen. Salah satunya atau dapat dikatakan bahwa jarak dari titik A, B, dan C ke titik F sama. Di awal pengambilan titik F pada garis g dilakukan sebarang, sehingga setiap titik pada garis g berjarak sama dengan titik A, B, dan C.

Hasil di atas dapat dipaparkan ke dalam sebuah Teorema 3.1 berikut. Teorema 3.1. Jika terdapat segitiga ABC dengan E merupakan pusat lingkaran-luarnya serta terdapat garis g yang mana garis tersebut melalui E dan tegak

46

lurus terhadap bidang ABC maka setiap titik pada g berjarak sama dengan titik A, B, dan C.

Garis yang melalui pusat lingkaran luar sebuah bidang sisi bidang-empat dan tegak lurus dengan bidang tersebut selanjutnya disebut sebagai garis sumbu dari bidang-empat. Hal ini dikarenakan sifatnya juga memiliki kemiripan dengan garis sumbu pada segitiga. Garig g pada Gambar 46 merupakan salah satu contoh dari garis sumbu suatu bidang-empat.

Definisi 3. 1. Garis sumbu suatu bidang-empat adalah garis yang tegak lurus dengan salah satu bidang sisi bidang-empat dan melalui pusat lingkaran-luar bidang sisi tersebut.

2. Titik yang berjarak sama dari B dan D

Menurut Fogiel (1993: 20) setiap ruas garis memiliki tepat satu titik tengah. Titik tengah suatu ruas garis adalah sebuah titik yang terletak pada ruas garis tersebut dan berjarak sama dari kedua titik ujungnya. Pada bidang-empat D.ABC diberikan titik G di mana titik tersebut merupakan titik tengah dari . Bidang α merupakan bidang yang tegak lurus dengan dan memuat titik G. Dipilih sebarang titik H pada bidang α.

47

Pada ΔBGH dan ΔDGH memiliki sisi yang sama yaitu sisi GH. Keduanya juga merupakan segitiga siku-siku yang mana ΔBGH siku –siku di BGH sementara ΔDGH siku–siku di DGH. Sudut BGH merupakan sudut siku-siku terjamin karena terletak pada dan terletak pada bidang α. Sudut DGH juga telah terjamin merupakan sudut siku-siku. Titik G merupakan titik tengah

, sehingga dan sama panjang.

Akibat dari , , dan maka ΔBGH dan ΔBGH memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Setiap sudut dan sisi yang bersesuaian pada keduanya segitiga tersebut juga saling kongruen, tidak terkecuali sisi BH dan sisi DH. Hal ini berarti jarak titik H dengan titik B maupun D sama. Titik H merupakan sebarang titik pada bidang α, dengan demikian setiap titik pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D.

3. Titik pusat bola-luar

Garis g tegak lurus dengan bidang ABC, sedangkan bidang α . Ruas garis tidak sejajar dengan bidang ABC, akibatnya bidang α juga tidak sejajar dengan garis g. Sebuah bidang dan garis yang tidak sejajar akan saling berpotongan. Menurut Definisi 2.6 jika sebuah garis memotong sebuah bidang yang tidak memuat garis tersebut, maka perpotongan keduanya adalah tepat satu titik.

48

Gambar 49. Titik O berjarak sama dengan A, B, C, dan D.

Telah ditunjukkan bahwa setiap titik pada garis g berjarak sama dengan titik A, B, dan C. Misal titik O merupakan titik perpotongan antara g dan α, karena O merupakan berada pada garis g maka . Telah ditunjukkan pula bahwa titik-titik pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D. Titik O juga berada pada bidang α maka , dengan demikian maka

. Bisa disimpulkan bahwa titik O berjarak sama dengan titik A, B, C, maupun D.

Dengan langkah 1, 2, dan 3 telah terbukti bahwa terdapat titik yang berjarak sama dari titik-titik sudut bidang-empat D.ABC. Terbukti pula bahwa bidang-empat D.ABC memiliki bola-luar, yaitu bola yang melalui keempat titik sudut bidang-empat. Di awal dipilih sebarang bidang-empat D.ABC, dengan demikian hal ini berlaku untuk setiap bidang-empat.

49

Gambar 50. Bola-luar dari bidang-empat D.ABC. Teorema 3.2. Setiap bidang-empat mempunyai bola-luar.

Untuk sebarang bidang-empat pasti terdapat sebuah bola yang melalui keempat titik sudutnya. Keempat titik sudut suatu bidang-empat merupakan titik-titik yang non koplanar. Analogi dengan Teorema 2.6 yang menyatakan setiap tiga titik nonkolinier terletak pada tepat satu lingkaran, akibatnya untuk setiap empat titik yang nonkoplanar terletak pada sebuah bola.

Akibat 3.1. Untuk sebarang empat titik yang tidak sebidang terletak pada tepat satu bola.

Telah dibuktikan eksistensi bola-luar suatu bidang-empat. Pada sub bab berikutnya akan dikaji sifat-sifat bola-luar. Pengkajian yang dilakukan akan difokuskan pada pusat bola-luar.

B.Sifat-Sifat Bola-Luar pada Bidang-Empat

Garis sumbu pada segitiga adalah sebuah garis yang membagi dua suatu sisi segitiga dan tegak lurus dengan sisi tersebut. Membagi dua ruas garis dapat diartikan pula bahwa jarak antara titik potong tersebut dengan kedua titik ujung ruas garis sisi tersebut sama. Garis sumbu dari sebuah segitiga dapat pula

50

didefinisikan sebuah garis yang tegak lurus suatu sisi segitiga dan melalui titik pada sisi tersebut yang mana titik tersebut berjarak sama dari kedua titik sudut.

Jika dianalogikan pada bidang-empat maka garis sumbu merupakan garis yang tegak lurus salah satu bidang sisi bidang-empat dan melalui sebuah titik yang berjarak sama dari titik-titik sudut bidang sisi tersebut. Bidang sisi suatu bidang-empat berbentuk segitiga maka titik yang berjarak sama dari ketiga titik sudutnya adalah pusat lingkaran-luar dari segitiga. Hal ini sesuai dengan Teorema 3.1 dengan demikian garis yang dimaksud adalah garis sumbu bidang-empat.

Jika pada segitiga garis-garis sumbunya berpotongan di sebuah titik, seperti yang telah dinyatakan oleh Teorema 2.5. Titik tersebut juga merupakan pusat dari lingkaran-luar segitiga tersebut. Garis-garis sumbu suatu bidang empat juga memiliki sifat yang juga merupakan analogi dari hal tersebut. Hal ini dinyatakan dalam

Teorema 3.3. Garis-garis sumbu suatu bidang-empat berpotongan di sebuah titik yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat tersebut.

Bukti:

Setiap segitiga memiliki tiga buah garis sumbu. Telah ditunjukkan pula bahwa ketiganya berpotongan di sebuah titik. Titik hasil perpotongan ketiga garis sumbu tersebut juga merupakan titik pusat lingkaran-luar segitiga itu. Sebuah bidang-empat memiliki empat buah bidang sisi. Setiap bidang sisi memiliki sebuah garis sumbu bidang-empat, dengan demikian bidang-empat memiliki empat buah garis sumbu bidang-empat. Akan diteliti apakah keempat garis sumbu pada bidang-empat bertemu di sebuah titik yang juga merupakan titik pusat bola-luar.

51

Misalkan terdapat bidang-empat D.ABC dengan titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari segitiga ABC. Terdapat pula bidang titk G yang mana titik tersebut merupakan titik tengah dari . Telah ditunjukkan bahwa garis yang tegak lurus bidang sisi ABC dan melalui E berpotongan dengan bidang yang tegak lurus dan melalui G. Titik perpotongan keduanya merupakan titik pusat bola-luar yang selanjutnya akan disebut sebagai titik O.

Dilukiskan sebuah sinar garis yang berpangkal di titik O dan tegak lurus bidang-sisi BCD. Sinar garis tersebut memotong bidang-sisi BCD di titik H. Akan ditunjukkan bahwa titik H merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔBCD.

Gambar 51. Garis dan sinar garis .

Terdapat ΔOBH dan ΔOCH yang mana keduanya memiliki sisi yang sama yaitu OH. Telah diketahui bahwa ruas garis OH tegak lurus dengan bidang sisi BCD. Merujuk Teorema 2.5 maka setiap garis pada bidang sisi BCD yang melalui H tegak lurus terhadap , termasuk dan Hal tersebut menunjukkan bahwa ΔOBH dan ΔOCH merupakan segitiga siku-siku. Ruas garis

52

karena keduanya merupakan jari-jari bola-luar bidang-empat D.ABC. Merujuk Teorema 2.4 maka .

Berdasarkan Teorema 2.4 maka ΔOCH dan ΔODH juga merupakan pasangan segitiga yang saling konguen. Hal ini berarti ΔOBH, ΔOCH, dan ΔODH saling kongruen akibatnya . Titik H pada bidang sisi BCD berjarak sama dengan titik B, C, dan D. Terbukti bahwa H merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔBCD.

Sinar garis yang berpangkal di O dan tegak lurus terhadap bidang-sisi ACD memotong bidang sisi tersebut di titik J. Menggunakan cara yang sama

maka terbukti pula bahwa J merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔACD. Titik K yang merupakan titik potong antara sinar garis dengan bidang-sisi ABD juga merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔABD.

Garis-garis yang memuat , , , dan juga tegak lurus secara berturut-turut terhadap bidang sisi ABC, BCD, ACD, dan ABD. Masing-masing garis tersebut juga melalui sebuah titik pusat lingkaran-luar. Berdasarkan Definisi 3. 1 maka garis , dan meupakan garis sumbu bidang-empat. Keempatnya juga melalui titik O yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat D.ABC. Terbukti bahwa empat buah garis sumbu bidang-empat berpotongan di

sebuah titik. Titik perpotongan dari keempat garis tersebut juga merupakan pusat

bola-luar.

Pada bab sebelumnya telah dibahas bahwa terdapat keunikan dari pusat luar dari segitiga siku-siku. Pada segitiga siku-siku pusat lingkaran-luarnya terletak pada titik tengah hipotenusanya. Bidang-empat yang merupakan

53

analogi dari segitiga siku-siku adalah bidang-empat siku-siku. Meskipun demikian, ternyata titik pusat bola-luarnya tidak pada bidang sisi miringnya.

Misalkan bidang-empat D.ABC merupakan bidang-empat siku-siku yang siku-siku di A. Pusat lingkaran-luar dari berada di titik E yang merupakan titik tengah . Hal ini dikarenakan merupakan segitiga siku-siku. Titik F merupakan titik tengah . Pusat lingkaran-luar adalah titik F, karena siku-siku di A.

Gambar 52. Titik potong garis g dan garis h .

Garis g merupakan garis yang melalui E dan tegak lurus terhadap bidang yang memuat A, B, dan C. Garis yang melaui F dan tegak lurus terhadap bidang yang memuat A, B, dan D adalah garis h. Menurut Teorema 3.3 titik potong antara garis g dan h merupakan pusat bola-luar D.ABC. Perpotongan garis g dan h tidak

54

terletak ada bidang BCD. Hal tersebut dikarenakan g memotong bidang BCD di titik E, sementara garis h memotong bidang tersebut di titik F. Terbukti bahwa pusat bola-luar suatu bidang-empat siku-siku tidak pada bidang miringnya.

Telah ditunjukkan bahwa meskipun bidang-empat siku-siku merupakan analogi dari segitiga siku-siku namun sifat pusat lingkaran-luar segitiga siku-siku berlaku pada pusat bola-luar bidang-empat siku. Pada bidang-empat siku-siku titik pusat bola-luarnya tidak pada bidang miringnya. Meskipun demikian tidak menutup kemungkinan bahwa terdapat bidang-empat yang pusat bola-luarnya pada bidang sisi miringnya. Untuk itu akan di cari suatu bidang-empat yang memenuhi kondisi tersebut.

Teorema 3.4. Jika titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari , titik D pada sedemikian hingga dan terdapat titik E yang nonkoplanar dengan A, B, C sedemikian hingga DEA merupakan sudut siku-siku maka O merupakan titik pusat bola-luar bidang-empat A.BCE.

Bukti:

Terdapat segitiga ABC. Titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari . Dipilih titik D pada sedemikian hingga dan terdapat titik E yang tidak koplanar dengan A, B, C sedemikian hingga DEA merupakan sudut siku-siku. Akan dibuktikan bahwa O merupakan pusat bola-luar bidang-empat A.BCE.

55

Gambar 53. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga tumpul. Titik O merupakan pusat lingkaran luar sehingga dan

. Segitiga DEA merupakan sebuah segitiga siku-siku. Ruas garis AD merupakan sisi miring segitiga tersebut sehingga pusat lingkaran-luar terletak pada titik tengah . Titik O merupakan titik tengah karena seperti yang telah diketahui bahwa . Titik O merupakan pusat lingkaran luar , oleh karenanya .

Dari segitiga ABC diperoleh dan , sedangkan dari segitiga DEA didapatkan . Itu artinya titik O merupakan titik yang berjarak sama dari A, B, C, maupun E. Terbukti bahwa O merupakan pusat bola-luar dari bidang-empat A.BCE.

56

Gambar 54. Bola-luar bidang-empat A.BCE.

Berdasarkan Teorema 3.4 maka letak dari titik pusat bolanya sangat bergantung pada segitiga ABC. Hal ini dikerenakan titik pusat bola-luar dari bidang-empat A.BCE merupakan pusat dari lingkaran-luar . Berikut letak pusat-bola luar berdasarkan jenis segitiga ABC.

1. Segitiga ABC merupakan segitiga tumpul

Jika segitiga ABC merupakan segitiga tumpul maka titik O berada di eksterior . Pusat bola-luarnya kolinier dengan A, B, C, karena merupakan pusat-lingkaran luar segitiga ABC. Meskipun demikian titik usat bola-luarnya tidak terletak pada bidang-empat A.BCE seperti yang telah diilustrasikan pada Gambar 53.

2. Segitiga ABC merupakan segitiga lancip

Hal yang berbeda terjadi jika merupakan segitiga lancip. Pusat lingkaran-luar terletak di interior segitiga tersebut. Padahal pusat

lingkaran-57

luar juga merupakan pusat bola-luar bidang-empat A.BCE, sehingga pusat bola-luarnya terletak pada salah satu bidang sisinya.

Gambar 55. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga lancip. 3. Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku

Pusat lingkaran-luar sebuah segitiga siku-siku terletak pada titik tengah sisi miringnya. Dibentuk sebuah bidang-empat A.BCE dengan mengikuti Teorema 3.4 dan merupakan segitiga siku-siku. Titik pusat bola-luarnya akan terletak pada salah satu rusuk bidang-empat tersebut. Jika siku-siku maka dapat dibentuk bidang-empat yang hanya memiliki satu bidang sisi berbentuk segitiga siku-siku maupun bidang-empat yang memiliki dua bidang sisi bebentuk segitiga siku-siku.

Misalkan terdapat segitiga ABC yang siku-siku di A. Jika siku-siku di A maka titik pusat lingkaran-luarnya merupakan titik tengah . Mengikuti Teorema 3.4 maka pada bidang-empat A.BCE hanya terdapat yang terjamin merupakan segitiga siku-siku.

58

Gambar 56. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika siku-siku di A. Akan berbeda hasilnya jika merupakan segitiga siku-siku, namun bukan merupakan sudut siku-sikunya. Misalkan merupakan sudut siku-siku segitiga tersebut. Titik O yang mrupakan titik tengah yang merupakan pusat lingkaran-luar . Dipilih titik D pada sehingga

. Titik C terletak pada dan maka titik D dan C berimpit.

59

Dipilih sebuah titik E sehingga DEA merupakan sudut siku-siku. Telah ditunjukkan sebelumnya jika D dan C berimpit, sehingga sudut CEA juga merupakan sudut siku siku. Bidang-empat A.BCE memiliki dua bidang sisi yang berbentuk segitiga siku-siku. Keduanya adalah yang siku-siku di titik B dan yang siku-siku di E.

Dari 1, 2, dan 3 dapat disimpulkan bahwa dengan Teorema 3.4 dapat dibentuk bidang-empat yang pusat bola-luarnya terletak pada bidang-empat tersebut. Jika segitiga ABC merupakan segitiga lancip maka titik pusat bola-luar bidang-empat terletak pada salah satu bidang sisi. Jika segitiga ABC segitiga siku-siku maka pusatnya pada titik tengah salah satu rusuk bidang-empat tersebut. C.Bola-Dalam Bidang-Empat

Lingkaran-dalam suatu segitiga adalah sebuah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran-dalam suatu segitiga adalah sebuah titik yang berjarak sama dari sisi segitiga. Titik tersebut disebut sebagai innercenter segitiga tersebut.

Seperti halnya lingkaran-dalam segitiga, sebuah bola-dalam suatu bidang-empat juga menyinggung sisi bidang-bidang-empat tersebut. Pada bidang-bidang-empat sisi-sisinya berupa bidang-bidang bukan garis. Untuk menunjukkan eksistensi sebuah bola-dalam perlu ditunjukkan bahwasannya ada sebuah titik yang berjarak sama dari keempat bidang sisi bidang-empat.

Menunjukkan eksistensi bola-dalam erat kaitannya dengan bidang-bidang sisi bidang-empat D.ABC. Guna mempermudah penulisan maka selanjutnya

60

bidang yang memuat ΔABC , ΔABD, ΔBCD, dan ΔACD berturut-turut disebut sebagai bidang α, , , dan δ.

Berikut langkah-langkah untuk menunjukkan eksistensi bola-dalam pada bidang-empat D.ABC.

1. Titik yang berjarak sama dari dua bidang

Pembuktian eksistensi lingkaran-dalam pada segitiga menggunakan sifat dari garis-bagi-sudut. Mengadopsi hal tersebut maka akan digunakan sebuah bidang yang membagi sudut dua bidang sama besar. Misalkan bidang adalah bidang yang membagi sudut antara bidang α dan menjadi sama besar. Hal ini berarti besar sudut antara bidang θ dan α sama dengan besar sudut antara bidang dan .

Dipilih sebarang titik P pada bidang , maka akan terdapat titik Q pada sedemikian hingga berpotongan tegak lurus dengan . Ditentukan titik R dan S sedemikian hingga dan .

61

Titik-titik P, Q, R, S dapat dibentuk dua buah segitiga, yaitu dan . Sudut merupakan sudut-bidang antara dan α. Sudut merupakan sudut-bidang antara θ dan . Sudut antara bidang dan α sama besar dengan sudut antara dan maka .

Pada dan tidak hanya memiliki sepasang sudut yang

kongruen. Sudut dan juga merupakan sepasang sudut yang kongruen. Sudut kongruen dengan karena keduanya merupakan sudut siku-siku. Segitiga dan memiliki dua pasang sudut yang kongruen maka pasangan sudut yang lainnya juga kongruen, sehingga . Tidak hanya pasangan-pasangan sudutnya saja yang kongruen, dan juga memiliki pasangan sisi yang kongruen. Pasangan sisi tersebut kongruen karena merupakan sisi yang sama. Ruas garis merupakan sisi dari dan .

Segitiga dan memenuhi kriteria kekongruenan Sd-S-Sd, karena , . Pasangan sisi yang bersesuaian antara keduanya segitiga tersebut juga kongruen, sehingga juga kongruen. Bisa juga dikatakan bahwa jarak antara titik P ke α sama dengan jarak antara P ke .

Penentuan titik P pada bidang diawal dilakukan secara sebarang, sehingga untuk setiap titik pada bidang berjarak sama dengan bidang α dan . Hal tersebut berarti bahwa bidang merupakan bidang yang berjarak sama dengan bidang α dan .

62

Penentuan bidang α dan dilakukan sebarang. Begitu pula dengan penentuan titik P. Ini berarti sifat tersebut berlaku untuk setiap dua bidang yang saling berpotongan. Bidang yang memiliki sifat seperti bidang selanjutnya disebut sebagai bidang bagi.

Teorema 3.5. Jika tedapat α dan yang saling berpotongan maka himpunan titik yang berjarak sama dari keduanya terletak pada bidang , yaitu bidang yang membagi sudut antara bidang α dan menjadi dua sudut yang kongruen.

Cara yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bidang yang berjarak sama dari dan . Bidang tersebut adalah bidang , bidang bagi sudut-bidang dan . Bidang merupakan bidang bagi sudut-bidang α dan δ juga pasti merupakan bidang yang berjarak sama dari keduanya.

2. Titik pusat bola-dalam

Bidang α dan merupakan bidang-bidang yang memotong . Bidang α dan merupakan bidang yang memuat sisi bidang-empat D.ABC maka keduanya tidak sejajar, maka bidang dan bidang juga tidak sejajar. Dua buah bidang yang tidak sejajar akan saling berpotongan. Berdasarkan Definisi 2.4 perpotongan dua buah bidang yang berbeda adalah sebuah garis. Garis yang merupakan perpotongan bidang dan selanjutnya akan disebut sebagai garis m.

Bidang dan garis m tidak sejajar. Sebuah garis dan bidang yang tidak sejajar juga akan berpotongan. Pepotongan antara keduanya merupakan sebuah titik. Titik tersebut selanjutnya disebut titik I. Titik I merupakan anggota garis m, oleh karenanya jarak bidang α , dan terhadap Titik I sama. Titik I merupakan perpotongan bidang dan garis m, maka I juga terletak pada bidang . Bidang

63

merupakan bidang yang berjarak sama dari α dan δ. Hal tersebut menunjukkan titik I juga berjarak sama dari α dan δ.

Gambar 59. Titik I yang berjarak sama dari keempat bidang sisi bidang-empat D.ABC.

Penjelasan di atas menunjukkan bahwa titik I berjarak sama dari α, , , dan δ. Titik I berjarak sama dengan keempat bidang yang membentuk bidang-empat D.ABC. Terbukti bahwa untuk sebarang bidang-bidang-empat terdapat titik yang berjarak sama dari bidang pembentuknya. Hal tersebut berarti untuk setiap bidang-empat memiliki sebuah bola-dalam, yaitu bola yang menyiggung keempat bidang sisinya, seperti dalam teorema berikut.

Teorema 3.6. Setiap bidang-empat memiliki sebuah bola-dalam.

64

Telah ditunjukkan bahwasannya setiap bidang-empat memiliki bola-dalam. Pada sub bab selanjutnya akan di kaji tentang sifat-sifat bola-luar. Seperti pada bola-luar, pengkajian sifat-sifat bola-dalam juga akan lebih difokuskan pada pusat bola tersebut.

D.Sifat-Sifat Bola-Dalam pada Bidang-Empat

Menurut Teorema 2.7 garis bagi sudut segitiga bertemu di sebuah titik yang merupakan titik pusat lingkaran-luar segitiga tersebut. Teorema yang hampir sama juga berlaku pada bidang-empat. Hanya saja jika pada segitiga berupa garis bagi, sedangkan pada bidang-empat berbentuk bidang. Bidang tersebut adalah bidang yang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat.

Teorema 3.7. Bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut. Bukti:

Terdapat sebarang bidang-empat D.ABC dengan titik I merupakan pusat bola-dalamnya. Bidang yang memuat ΔABC, ΔABD, ΔBCD, dan ΔACD berturut-turut adalah bidang α, , , dan δ. Bidang adalah bidang yang bagi sudut antara bidang α dan . Bidang dan berturut-turut merupakan bidang bagi sudut-bidang dan serta sudut-bidang bagi sudut-sudut-bidang α dan δ. Terdapat pula bidang yaitu bidang bagi sudut dan δ. Akan dibuktikan bahwa θ, , , dan melalui titik I.

Pada sub bab sebelumnya telah dibuktikan bahwa bidang θ, , dan melaui titik I. Titik I merupakan pusat bola-dalam dari bidang-empat D.ABC, sehingga jarak I dengan kempat bidang sisi bidang-empat D.ABC sama. Tidak terkecuali jarak I dengan bidang maupun δ. Terdapat bidang yang merupakan

65

bidang bagi sudut dan δ. Berdasarkan Teorema 3.7 maka titik yang berjarak sama dengan dan δ terletak pada bidang .

Terbukti bahwa bidang bidang juga melalui titik I. Terbukti pula bahwa bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.

Pada bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa titik pusat lingkaran-luar pada segitiga sama sisi juga merupakan titik pusat lingkaran-dalamnya. Segitiga sama sisi merupakan sebuah segitiga yang semua sisinya kongruen. Karena bidang-empat merupakan analogi dari segitiga maka bidang-empat teratur merupakan analogi dari segitiga sama sisi.

Bidang-empat teratur adalah sebuah bidang-empat yang keempat sisinya merupakan segitiga yang kongruen. Segitiga-segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi dengan sisi dari sebuah segitiga dengan segitiga lainnya kongruen. Lingkaran-luar dan lingkaran-luar suatu segitiga sama sisi memiliki pusat yang sama. Analogi dari Teorema 2.8 tesebut akan dibuktikan apakah juga berlaku pada bola-luar dan bola-dalam suatu bidang-empat teratur.

Teorema 3.9. Pusat bola-luar suatu bidang-empat teratur juga merupakan pusat bola-dalamnya.

xi

BAB IV PENUTUP ... 71

A. Kesimpulan ... 71

B. Keterbatasan ... 72

C. Saran ... 72

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Lingkaran-luar dari segitiga ABC. ... 2

Gambar 2. Lingkaran-dalam dari segitiga ABC. ... 3

Gambar 3. Bidang-empat A.BCD. ... 4

Gambar 4. Garis. ... 8

Gambar 5. Bidang . ... 8

Gambar 6. Garis g melalui titik K. ... 9

Gambar 7. Garis g tidak melalui titik K. ... 9

Gambar 8. Titik-titik kolinier dan nonkolinier. ... 9

Gambar 9. Titik-titik koplanar dan nonkoplanar... 10

Gambar 10. (a) Dua bidang berpotongan, (b) dua bidang saling sejajar... 10

Gambar 11. Garis g terletak pada bidang α. ... 11

Gambar 12. Garis l dan bidang α sejajar. ... 11

Gambar 13.Garis g dan bidang α berpotongan. ... 11

Gambar 14. Garis berpotongan. ... 12

Gambar 15. Garis sejajar. ... 12

Gambar 16. Garis bersilangan. ... 12

Gambar 17. Ruas garis . ... 13

Gambar 18. Sinar garis . ... 14

Gambar 19. Sudut BAC. ... 14

Gambar 20. Sudut Lancip. ... 15

Gambar 21. Sudut siku-siku. ... 15

Gambar 22. Dua garis saling berpotongan tegak lurus. ... 16

Gambar 23. Garis g dan h bersilangan tegak lurus. ... 16

Gambar 24. Garis dan bidang saling tegak lurus. ... 16

Gambar 25. Sudut dihedral . ... 18

Gambar 26. Segitiga sebarang, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi. ... 21

Gambar 27. Segitiga tumpul, segitiga lancip, segitiga siku-siku. ... 22

xiii

Gambar 29. Garis berat segitiga. ... 24

Gambar 30. Garis sumbu segitiga. ... 25

Gambar 31. Garis bagi segitiga. ... 26

Gambar 32. Bukti Teorema 2.1. ... 28

Gambar 33. Bukti Teorema 2.2. ... 29

Gambar 34. Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari . ... 30

Gambar 35. Sinar garis yang memotong di titik F. ... 31

Gambar 36. Segitiga AOD dan segitiga BOD. ... 31

Gambar 37. Segitiga BOE dan segitiga COE. ... 32

Gambar 38. Segitiga AOF dan segitiga COF. ... 33

Gambar 39. Lingkaran-luar segitiga ABC dengan pusat O. ... 34

Gambar 40. (a) Pusat lingkaran-luar pada segitiga lancip, (b) Pusat lingkaran-luar pada segitiga tumpul, (c) Pusat lingkaran-luar pada segitiga siku-siku. ... 35

Gambar 41. Bukti teorema garis bagi segitiga. ... 36

Gambar 42. Segitiga AJI dan segitiga AGI. ... 36

Gambar 43. Segitiga BGI dan segitiga BHI. ... 37

Gambar 44. Lingkaran-dalam segitiga ABC dengan pusat titik I... 38

Gambar 45. (a) empat teratur, (b) empat tegak,(c) Bidang-empat siku-siku, (d) Bidang-Bidang-empat sebarang. ... 40

Gambar 46. Garis g tegak lurus bidang ABC. ... 44

Gambar 47. Segitiga AEF dan segitiga BEF. ... 44

Gambar 48. Segitiga BGH dan segitiga DGH. ... 46

Gambar 49. Titik O berjarak sama dengan A, B, C, dan D. ... 48

Gambar 50. Bola-luar dari bidang-empat D.ABC. ... 49

Gambar 51. Garis dan sinar garis . ... 51

Gambar 52. Titik potong garis g dan garis h . ... 53

Gambar 53. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga tumpul. ... 55

Gambar 54. Bola-luar bidang-empat A.BCE. ... 56

Gambar 55. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga lancip. .... 57

xiv

Gambar 57. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika siku-siku di B. ... 58

Gambar 58. Segitiga PQS dan segitiga PRS. ... 60

Gambar 59. Titik I yang berjarak sama dari keempat bidang sisi bidang-empat D.ABC. ... 63

Gambar 60. Bola-dalam dari bidang-empat D.ABC. ... 63

Gambar 61. Bidang α, , , dan δ. ... 66

Gambar 62. Bidang-empat D.ABC dengan pusat bola-luar O. ... 67

Gambar 63. Segitiga A’BO dan segitiga BD’O. ... 68

xv

DAFTAR SIMBOL

A : Titik A

g : Garis g

: Bidang

: Garis yang memuat titik A dan titik B

: Ruas garis dengan ujung titik A dan B

AB : Ukuran

: Sinar garis yang berpangkal di titik A dan memuat titik B : Sudut yang dibentuk dari gabungan antara dan Bidang ABC : Bidang yang memuat titik A, B, C

: Sudut dihedral dengan rusuk sudut dihedral dengan sebuah bidang sisi yang memuat titik A, dan sebuah bidang sisi yang lain memuat titik B

: Sejajar : Tidak sejajar : Tegak lurus : Gabungan : Irisan

: Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C : Kongruen

xvi

□ : Akhir sebuah contoh