ANALISIS DATA GEOSTATISTIK MENGGUNAKAN METODE ORDINARY KRIGING.
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
ANALISIS DATA GEOSTATISTIK MENGGUNAKAN
METODE ORDINARY KRIGING
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari
Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Oleh Wira Puspita
0700249
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
(2)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Analisis Data Geostatistik Menggunakan
Metode
Ordinary Kriging
Oleh Wira Puspita
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Ekonomi dan Bisnis
© Wira Puspita 2013 Universitas Pendidikan Indonesia
Maret 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
(3)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
LEMBAR PENGESAHAN
ANALISIS DATA GEOSTATISTIK MENGGUNAKAN METODE ORDINARY KRIGING
Oleh Wira Puspita
0700249
Disetujui dan Disahkan Oleh: Pembimbing I
Dewi Rachmatin, S.Si, M.Si. NIP. 196909291994122001
Pembimbing II
Drs. Maman Suherman, M.Si. NIP. 195202121974121001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika,
Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 1961 0112 198703 1003
(4)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
Geostatistika merupakan suatu jembatan antara statistika dan Geographic Information
System (GIS). Analisis geostatistik merupakan teknik geostatistika yang terfokus pada variabel
spasial, yaitu hubungan antara variabel yang diukur pada titik tertentu dengan variabel yang sama diukur pada titik dengan jarak tertentu dari titik pertama. Namun seringkali masalah muncul pada saat solusi dari permasalahan estimasi telah diketahui. Untuk itu, hadirlah suatu metode yang akan mempermudah pengerjaan dalam menyelesaikan prediksi itu, yaitu Metode Kriging. Dalam perkembangannya banyak metode kriging yang digunakan untuk menyelesaikan berbagai kasus yang ada dalam data geostatistik, misalnya terdapat kandungan mineral tersampel yang tidak memiliki kecenderungan (trend) tertentu. Metode kriging yang sesuai untuk menyelesaikan kasus ini adalah ordinary kriging karena metode ini dapat digunakan ketika rata-rata populasi tidak diketahui.
Dalam skripsi ini, metode ordinary kriging digunakan untuk menghitung nilai estimasi kandungan sulfur dalam batubara pada titik tidak tersampel sebanyak 3721 lokasi. Hasil estimasi kadar sulfur dalam batubara diperoleh nilai persentase minimum sebesar 0,926 % yang terdapat pada lokasi titik absis (X) 9500, dan titik ordinat (Y) 14100 dengan variansi galat 0,201. Dan untuk nilai persentase kadar sulfur maksimum adalah 1,212 % yang terdapat pada lokasi titik absis (X) 10425, dan titik ordinat (Y) 13575 dengan variansi galat 0,148.
(5)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
ABSTRACT
Geostatistics is a bridge between the statistical and Geographic Information System (GIS). Geostatistical analysis of geostatistics is a technique that focuses on spatial variables, namely the relationship between the variables measured at a certain point with the same variable measured at a point some distance from the first point. But often the problem arises when the solution of the estimation problem are known. For that philosophy, there is a method that will facilitate progress in resolving the predictions, the Kriging method. In the development of many kriging methods are used to solve a variety of cases in the data geostatistics, for example, there are mineral deposits that do not have a tendency (trend) specific of sample. Kriging methods appropriate to resolve this case is ordinary kriging because this method can be used when the population mean is unknown.
In this minithesis, the method of ordinary kriging is used to calculate the estimated value of sulfur content in coal in 3721 as the point of not known location. The estimates of coal sulfur values obtained in the minimum percentage of 0.926% found in the location of the abscissa (X) 9500, and the point of the ordinate (Y) 14 100 with error variance 0.201. And to value percentage is a maximum sulfur content of 1.212% found in the location of the abscissa (X) 10425, and the point of the ordinate (Y) 13575 with error variance 0.148. Keywords: spatial variables, kriging method, ordinary kriging method.
(6)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK --- i
KATA PENGANTAR --- ii
UCAPAN TERIMA KASIH --- iii
DAFTAR ISI --- v
DAFTAR TABEL --- viii
DAFTAR GAMBAR --- ix
DAFTAR LAMPIRAN --- x
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah --- 1
1.2 Rumusan Masalah --- 3
1.3 Batasan Masalah --- 4
1.4 Tujuan Penulisan --- 4
1.5 Manfaat Penulisan --- 4
1.5.1 Manfaat Praktis --- 4
1.5.2 Manfaat Teoritis --- 5
1.6 Sistematika Penulisan --- 5
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks --- 7
2.1.1 Invers Matriks --- 8
(7)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
2.2.1 Variabel Acak Kontinu --- 13
2.2.2 Ekspektasi --- 13
2.2.3 Variansi --- 14
2.2.4 Bias --- 16
2.2.5 Residual Sum of Squares --- 17
2.3 Pengali Lagrange --- 18
2.4 Data Spasial --- 19
2.4.1 Data geostatistik --- 20
2.4.2 Data Area --- 20
2.4.3 Pola Titik --- 21
2.5 Stasioneritas --- 22
2.5.1 Strictly Stationarity --- 22
2.5.2 Second-order Stationarity --- 22
2.5.3 Intrinsic Stationarity --- 23
2.6 Lag Spasial --- 25
2.7 Korelasi Spasial --- 26
2.7.1 Variogram dan semivariogram eksperimental --- 27
2.8 Semivariogram Teoritis --- 29
2.8.1 Linear Model --- 29
2.8.2 Nugget Efect --- 30
2.8.3 Spherical Model --- 30
2.8.4 Model Eksponensial --- 30
(8)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Kriging --- 32
3.2 Ordinary Kriging --- 33
3.3 Sifat-Sifat Ordinary Kriging --- 35
3.4 Algoritma Estimasi Menggunakan Ordinary kriging --- 43
BAB IV STUDI KASUS 4.1 Penerapan Metode Ordinary Kriging --- 44
4.2 Informasi Data --- 44
4.3 Pengolahan Data --- 45
4.3.1 Deskripsi Data --- 45
4.3.2 Asumsi Stasioneritas --- 48
4.3.3 Semivariogram --- 48
4.3.4 Hasil Estimasi Kadar Sulfur Menggunakan Metode Ordinary Kriging --- 51
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan --- 54
5.2 Saran --- 55
DAFTAR PUSTAKA --- 56
LAMPIRAN -- --- 58
(9)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Data Kadar Sulfur --- 46 Tabel 4.2 Semivariogram Kadar Sulfur --- 49
(10)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Scatter Plot Data Spasial --- 19
Gambar 2.2 Plot Fungsi Kovariansi dengan Semivariogram --- 24
Gambar 2.3 Grafik Semivariogram --- 28
Gambar 2.4 Model Semivariogram Teoritis --- 31
Gambar 4.1 Histogram Kadar Sulfur --- 46
Gambar 4.3 Scatter Plot X dan Y --- 47
Gambar 4.4 Kontur Kadar Sulfur --- 47
Gambar 4.5 Scatter Plot Data Sampel Kadar Sulur --- 48
Gambar 4.6 Fiiting Model Semivariogram Kadar Sulfur --- 49
Gambar 4.7 Kurva Model Eksponensial Kadar Sulfur --- 51
(11)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Tabel Data Kandungan Sulfur dalam Batubara --- 58 Lampiran 2. Tabel Hasil Estimasi Kadar Sulfur --- 61
(12)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam dunia ilmu pengetahuan, antara satu ilmu dengan ilmu yang lainnya memiliki sebuah hubungan, misalnya ilmu alam yang berkaitan erat dengan matematika karena keduanya berasal dari rumpun ilmu yang sama, yakni sains. Salah satu cabang ilmu alam adalah ilmu kebumian, yakni sebuah ilmu yang mempelajari struktur bumi beserta keragamannya. Ilmu kebumian berkaitan erat dengan Matematika, khususnya pada cabang statistika yang digunakan untuk mengolah data ilmu kebumian, seperti geologi atau geofisika, yang sering disebut geostatistika.
Geostatistika merupakan suatu jembatan antara statistika dan Geographic
Information System (GIS). Analisis geostatistik merupakan teknik geostatistika
yang terfokus pada variabel spasial, yaitu hubungan antara variabel yang diukur pada titik tertentu dengan variabel yang sama diukur pada titik dengan jarak tertentu dari titik pertama (Tn, 2010).
Pada praktiknya, untuk mendapatkan sebuah nilai yang tepat sama atau sesuai dengan apa yang diinginkan berdasarkan pada hasil observasi yang telah ada adalah suatu hal yang tidak mungkin, apalagi jika jumlah data hasil observasi yang telah ada berukuran besar. Karena tidak mudah menghitung atau mengolah data hasil observasi berukuran besar.
(13)
2
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Proses pengolahan suatu data yang berukuran besar, yaitu populasi, tentu tidak sesederhana mengolah data sampel yang ukurannya relatif lebih kecil dibandingkan dengan populasi dan seringkali menimbulkan kerumitan dalam pengerjaannya. Di samping itu, hasil akhir yang diperoleh biasanya kurang sesuai dengan harapan para peneliti. Oleh karena itu, diperlukan suatu proses untuk menyederhanakan bentuk pengolahan yang rumit tersebut, yaitu dengan menaksir (mengestimasi) parameter baik penaksir titik maupun interval.
Seringkali masalah muncul pada saat solusi dari permasalahan estimasi telah diketahui. Salah satu masalah yang muncul pada saat solusi itu didapat adalah masalah melakukan prediksi terhadap data yang telah diolah. Untuk itu, hadirlah suatu metode yang akan mempermudah pengerjaan dalam menyelesaikan prediksi itu, yaitu salah satu metode yang disebut dengan Metode Kriging.
Metode Kriging yang ditemukan oleh Ditjen Daniel Gerhardus Krige yang diresmikan pada tahun 1960 oleh seorang insinyur dari Perancis, Georges Matheron, merupakan metode geostatistika yang digunakan untuk mengestimasi nilai dari sebuah titik atau blok sebagai kombinasi linier dari nilai sampel yang terdapat di sekitar titik yang akan diestimasi. Bobot kriging diperoleh dari hasil estimasi variansi minimum dengan memperluas penggunaan semivariogram. Estimator kriging merupakan estimator tidak bias dan penjumlahan dari keseluruhan bobot adalah satu. Bobot inilah yang dipakai untuk mengetimasi nilai dari ketebalan, ketinggian, kadar atau variabel lain (Wikipedia, 2011).
Pada beberapa penelitian, para ahli telah banyak membuktikan bahwa dalam dunia geostatistika, metode kriging layak digunakan untuk memperoleh
(14)
3
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
estimasi yang lebih baik dibandingkan dengan metode estimasi lainnya. Salah satu penyebabnya adalah karena dalam prosesnya, metode kriging bertujuan untuk meminimalkan variansi dari galatnya.
Dalam perkembangannya banyak metode kriging yang digunakan untuk menyelesaikan berbagai kasus yang ada dalam data geostatistik, misalnya terdapat kandungan mineral tersampel yang tidak memiliki kecenderungan (trend) tertentu. Metode kriging yang sesuai untuk menyelesaikan kasus ini adalah ordinary
kriging karena metode ini dapat digunakan ketika rata-rata populasi tidak
diketahui.
Ordinary kriging memiliki asumsi dalam penerapannya, asumsi tersebut adalah sebagai berikut:
1. Rata-rata [ ] tidak diketahui tetapi konstan,
2. Variogram [ ] untuk diketahui.
Penulis tertarik untuk mengangkat topik tersebut karena geostatistika adalah materi baru yang belum pernah penulis dapatkan di bangku kuliah. Oleh karena itu, penulis mengangkatnya ke dalam sebuah skripsi yang berjudul
“Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging”.
1.2Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah pada skripsi ini, adalah:
(15)
4
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
2. Bagaimana penerapan metode ordinary kriging dalam menentukan kandungan sulfur (belerang) dalam lapisan batubara di Afrika Selatan?
1.3Batasan Masalah
Batubara terdiri dari beberapa unsur kimia, yaitu karbon, hidrogen, oksigen, nitrogen dan sulfur. Pada skripsi ini hanya akan menghitung estimasi kandungan sulfur dalam lapisan batubara dan sifat dari estimator yang digunakan adalah Best Linier Unbiased Estimator (BLUE). Dalam proses menghitung estimasi tidak melibatkan faktor arah atau isotropi.
1.4Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Mendeskripsikan sifat-sifat estimator dari metode ordinary kriging.
2. Menerapkan metode ordinary kriging dalam menentukan kandungan sulfur dalam lapisan batubara di Afrika Selatan.
1.5Manfaat Penulisan 1.5.1 Manfaat Praktis
Bagi mahasiswa skripsi ini diharapkan dapat menjadi media untuk menambah pengetahuan baru. Sedangkan untuk kalangan lainnya, skripsi ini merupakan sumber bacaan untuk meningkatkan kemampuan diri dalam menggali
(16)
5
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
dan mengembangkan ilmu, serta memberikan motivasi untuk melakukan penelitian, khususnya di bidang geostatistika.
1.5.2 Manfaat Teoritis
Ordinary kriging adalah salah satu metode yang terdapat pada metode kriging yang sering digunakan pada geostatistika. Pada metode ini terdapat asumsi
rata-rata sampel tidak diketahui dan konstan, dan data bersifat stasioner. Estimator yang dihasilkan oleh metode ordinary kriging memiliki sifat Best Linear
Unbiased Estimator (BLUE). Metode ini biasa digunakan pada bidang ilmu
kebumian, seperti geologi dan geofisika, dan pada ilmu pertambangan.
1.6Sistematika Penulisan
Adapun sistematika penulisan pada pembahasan ini adalah: BAB I Pendahuluan
Mengemukakan latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.
BAB II Landasan Teori
Mengemukakan landasan teori yang mendukung Bab III di antaranya menjelaskan konsep-konsep geostatistika, matriks, ekspektasi, variansi, dan lain-lain.
(17)
6
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB III Metode Kriging
Membahas tentang metode ordinary kriging dan algoritma metode ordinary kriging.
BAB IV Studi Kasus
BAB V Kesimpulan dan Saran
Mencoba merangkum keseluruhan hasil pembahasan dalam bentuk kesimpulan dan saran.
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
(18)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB III PEMBAHASAN
3.1. Kriging
Metode kriging digunakan oleh G. Matheron pada tahun 1960-an, untuk menonjolkan metode khusus dalam moving average terbobot (weighted moving
average) yang meminimalkan variansi dari hasil estimasi. Kriging adalah suatu
teknik perhitungan untuk estimasi dari suatu variabel terregional yang menggunakan pendekatan bahwa data yang dianalisis dianggap sebagai suatu realisasi dari suatu variabel acak, dan keseluruhan variabel acak yang dianalisis tersebut akan membentuk suatu fungsi acak menggunakan model struktural variogram.
Secara umum, kriging merupakan suatu metode yang digunakan untuk menganalisis data geostatistik, yaitu untuk menginterpolasi suatu nilai kandungan mineral berdasarkan data sampel. Data sampel pada ilmu kebumian biasanya diambil di lokasi-lokasi atau titik-titik yang tidak beraturan. Dengan kata lain, metode ini digunakan untuk mengestimasi besarnya nilai karakteristik ̂ pada titik tidak tersampel berdasarkan informasi dari karakteristik titik-titik tersampel Z yang berada di sekitarnya dengan mempertimbangkan korelasi spasial yang ada dalam data tersebut.
Estimator kriging ̂ dari dapat dituliskan sebagai berikut:
̂ ∑ [ ]
(19)
33
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
dengan:
: lokasi untuk estimasi dan salah satu lokasi dari data yang berdekatan, dinyatakan dengan i
: nilai ekspektasi dai Z
: nilai ekspektasi dari : faktor bobot
: banyaknya data sampel yang digunakan untuk estimasi (Bohling, 2005:4). Z dianggap sebagai bidang acak dengan suatu komponen trend dan komponen sisa . Estimasi kriging untuk sisa pada s adalah jumlah berbobot dari sisa pada sekitar data titik. Nilai diturunkan dari fungsi kovariansi atau semivariogram, yang harus mencirikan komponen sisa.
Tujuan kriging adalah untuk menentukan nilai yang meminimalkan variansi pada estimator, dapat dinyatakan sebagai berikut:
̂ { ̂ }
3.2. Ordinary kriging
Ordinary kriging adalah salah satu metode yang terdapat pada metode kriging yang sering digunakan pada geostatistika. Pada metode ini, memiliki
asumsi khas untuk penerapan yang mudah digunakan dari ordinary kriging adalah
intrinsic stationarity dari bidang dan pengamatan yang cukup untuk mengestimasi
variogram. Ordinary kriging juga memiliki asumsi matematika dalam penerapannya, asumsi tersebut adalah sebagai berikut:
(20)
34
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
2. Variogram [ ] untuk diketahui.
Pada Cressie (1993: 120) dijelaskan bahwa ordinary kriging berhubungan dengan prediksi spasial dengan dua asumsi.
Asumsi Model:
Asumsi Prediksi:
̂ ∑
∑
dengan:
: nilai error pada
n : banyaknya data sampel yang digunakan untuk estimasi.
Karena koefisien dari hasil penjumlahan prediksi linear adalah 1 dan memiliki syarat tak bias maka ̂ ( ), untuk setiap dan karena merupakan suatu konstanta maka ( ) .
Jika terdapat estimator eror ̂ pada setiap lokasi, maka ̂ merupakan perbedaan antara nilai estimasi ̂ dengan nilai sebenarnya , yang didefinisikan sebagai berikut:
̂ ̂
dengan ( ̂ ) .
Dengan menggunakan persamaan (3.5) dapat dibuktikan bahwa ̂ merupakan estimator tak bias. Buktinya adalah sebagai berikut:
(21)
35
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu ( ̂ ) ̂
( ̂ ) ̂ ( )
karena ( ̂ ) , maka diperoleh:
̂ ( ) ̂ ( )
̂
berdasarkan pembuktian di atas terbukti bahwa ̂ merupakan estimator tak bias dari .
Ordinary kriging juga akan meminimalkan rata-rata estimator eror
kuadrat. Perhatikan persamaan berikut ini:
( ̂ ) ̂ [ ( ̂ )]
̂ ( ̂ ) [ ( ̂ )]
karena ( ̂ ) , maka ( ̂ ) . Sehingga diperoleh:
̂ ( ̂ )
( ̂ )
3.3. Sifat-sifat Ordinary kriging
Metode kriging bertujuan untuk menghasilkan estimator yang bersifat Best
Linear Unviased Estimator (BLUE). Berikut ini akan dibuktikan sifat BLUE pada ordinary kriging.
(22)
36
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
1. Linear
Diberikan suatu persamaan pada metode ordinary kriging adalah sbagai berikut:
̂ ∑
Berdasarkan persamaan tersebut, ̂ dapat dikatakan estimator yang bersifat linier karena merupakan kombinasi linier dari .
Misalkan terdapat n pengukuran pada lokasi 1, 2, 3, … n yang didefinisikan sebagai berikut . Berdasarkan data yang tersampel, akan diestimasi pada lokasi yang tidak tersampel, yang dinyatakan dalam . Selanjutnya, dari persamaan (3.4) dan (3.5), akan disusun variabel random untuk menggambarkan estimator dari galat, yaitu:
̂ ̂ [∑
]
dengan ̂ merupakan kombinasi linier dari semua data tersampel. 2. Unbiased
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa ̂ merupakan estimator tak bias.
Error pada lokasi tertentu akan memiliki nilai ekspektasi 0 dengan menerapkan
rumus untuk nilai ekspektasi pada kombinasi linier terhadap persamaan (3.8), sehingga diperoleh:
( ̂ ) ∑
(23)
37
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
∑ ( )
( )
Dengan asumsi bahwa fungsi random bersifat stasioner di mana setiap nilai ekspektasi boleh dituliskan sebagai , sehingga diperoleh:
( ̂ ) ∑
karena ( ̂ ) , maka
∑
∑
∑
akibatnya:
̂ (∑
)
∑ ( )
Berdasarkan penjabaran di atas, maka diperoleh ̂ , di mana
( ) dengan berupa suatu konstanta. Artinya ordinary kriging
(24)
38
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
3. Best
Kemudian, akan dibuktikan bahwa metode ordinary kriging bersifat best yaitu dengan meminimumkan variansi error. Dengan mengasumsikan bahwa
( ) , maka persamaan (3.6) menjadi:
( ) ̂
̂ ̂ ( ) ̂
̂ ( ) ̂
̂ ̂
dengan
̂ (∑
)
[∑
] [ (∑
)]
( ) [ ( )( )]
[ ( )( )] ( )
( ) [ ( )]
( ) ( ) [ ( )]
(25)
39
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ [( )( )] ( ) ( )] [ [( )( )] ( ) ( )] ∑ ∑ ( ) dan ̂ (∑ ) ̂ ( ) ∑ ( ) ̂ ( ) ∑ ( ) (∑ ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.11) dan (3.12) ke dalam persamaan (3.10) maka akan diperoleh estimasi variansi error ordinary kriging sebagai berikut: ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( )
(26)
40
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
dengan syarat ∑
Setelah melakukan penjabaran di atas, maka dapat dicari nilai minimum dari variansi error menggunakan Lagrange multiplier dengan parameter Lagrange
. Persamaan Lagrange didefinisikan sebagai berikut:
∑
∑ ( )
∑ ( )
(∑
)
Penyelesaian Lagrang multiplier adalah sebagai berikut: 1. Persamaan Lagrange diturunkan terhadap variabel bobot
∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
dengan:
Sehingga diperoleh:
∑
( ) ( )
(27)
41
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
∑
Dengan
, sehingga diperoleh ∑ .
Dari penyelesain Lagrange di atas diperoleh:
( ) ∑
( )
untuk dan
∑
Dari persamaan di atas dapat dibentuk ke dalam bentuk matriks , matriks tersebut adalah sebagai berikut:
[
] [ ] [
]
atau
[
] [ ]
Jika adalah model semivariogram yang diterima dan jika tidak ada titik kelipatan, matriks A tidak singular atau nilai determinan tidak sama dengan nol dan invers ada (Armstrong, 1998: 89). Maka untuk menentukan nilai bobot masing-masing titik tersampel terhadap titik yang akan diestimasi dapat dinyatakan sebagai berikut:
(28)
42
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
[ ] [ ] [ ] Keterangan:
= kovariansi antara variabel tersampel pada lokasi n dengan variabel
tersampel pada lokasi n
= kovariansi antara variabel tersampel pada lokasi n dengan variabel yang
akan diestimasi = rata-rata variabel.
Persamaan (3.15) dan (3.16) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.13) sehingga diperoleh variansi eror sebagai berikut:
( ̂ ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ [ ( ) ] ∑ ( ) [∑ ( ) ]
Setelah memperoleh variansi eror minimum maka akan di hitung pula
mean square error (MSE) yang akan digunakan untuk menentukan
semivariogram yang cocok.
[ ̂ ]
Perhatikan:
(29)
43
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Karena ̂ ( ̂ ) , maka ̂ . Sehingga diperoleh: [ ̂ ] ̂ ∑ ∑ ( ) ∑ ( )
3.4.Algoritma Estimasi Menggunakan Ordinary kriging
Misalkan diberikan data [
], [
], dan [
]. 1. Hitung nilai minimum, maksimum, dan median dari X,Y, dan S. 2. Hitung nilai rata-rata sampel [ ] ∑
3. Plotkan antara S (kandungan sulfur), jika plot tidak terdapat tren, maka data dikatakan stasioner.
4. Menentukan pasangan data, kemudian hitung jaraknya.
5. Hitung nilai semivariogram eksperimental. Dari semivariogram akan diperoleh nilai sill dan range
6. Mencocokkan semivariogram eksperimental dengan semivariogram teoritis dengan melihat nilai MSE terkecil.
∑ ∑ ( ) ∑ ( )
7. Setelah memperoleh semivariogram teoritis yang sesuai dengan data, selanjutnya semivariogram digunakan untuk mengestimasi data.
(30)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, maka dapat disimpulan sebagai berikut:
1. Estimasi cadangan dengan menggunakan metode ordinary kriging akan menghasilkan estimator yang bersifat BLUE (Best Linear Unbiased
Estimator).
2. Hasil estimasi kadar sulfur dalam batubara, untuk nilai estimasi kadar sulfur minimum adalah 0,926% terdapat pada lokasi dengan titik absis (X) 9500 dan titik ordinat (Y) 14100 dengan variansi galat 0,201, dapat dilihat pada lampiran 2 halaman 62. Dan untuk nilai estimasi kadar sulfur maksimum adalah 1,212% terdapat pada lokasi dengan titik absis (X) 10425 dan titik ordinat (Y) 13575 dengan variansi galat 0,148, dapat dilihat pada lampiran 2 halaman 118. Lokasi penggalian batubara yang baik adalah terdapat pada lokasi yang batubaranya hanya sedikit mengandung sulfur atau kadar sulfurnya rendah.
5.2. Saran
Pada skripsi ini digunakan metode ordinary kriging untuk mengestimasi cadangan hasil tambang. Asumsi untuk metode ini adalah data bersifat stasioner sehingga tidak memiliki kecenderungan pada trend tertentu dengan rerata konstan
(31)
55
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
dan tidak diketahui. Namun terkadang dalam suatu lokasi tambang, data yang diperoleh tidak stasioner dan memiliki kecenderungan tren tertentu yang tidak bias diselesaikan dengan menggunakan metode ordinary kriging. Dalam hal ini penulis menyarankan peneliti selanjutnya untuk mengembangkan metode kriging lainnya atau melakukan kajian teoritis metode ordinary kriging dengan studi kasus menggunakan data primer.
Dan berdasarkan hasil pembahasan studi kasus, disarankan bagi para praktisi yang melakukan penelitian lebih lanjut, sebagai berikut:
1. Untuk mengambil keputusan dalam penentuan lokasi titik penggalian batubara, sebaiknya mempertimbangkan beberapa faktor, seperti kadar air,
volatiliti matter, nilai kalori selain kadar sulfur.
2. Untuk pengambilan keputusan lokasi penggalian yang memiliki cadangan batubara optimum (batubara memiliki kualitas baik), sebaiknya perlu dilakukan terlebih dahulu estimasi kriging faktor yang menentukan kualitas batubara tersebut.
(32)
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR PUSTAKA
Alfiana, Anantia N. (2010). Metode Ordinary Kriging pada Geostatistika. (Skripsi sarjana pada FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta). Yogyakarta: tidak diterbitkan.
Anton, Howard. (1995). Aljabar Linear Elementer (edisi kelima). (Terjemah oleh Pantur Silaban & I. Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga.
Armstrong, Marfaret. (1998). Basic Lineae Geostatistics. Jerman: Springer
Bohling, G. (2005). Kriging. [Online]. Tersedia: http://people.ku.edu/~gbohling [15 Februari 2012]
Cressie, Noel A. C. (1993). Statistics for Spatial Data. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Djauhari, Maman A. (1998). Teori Peluang. Bandung: DIKTAT MA 391 Institut Teknologi Bandung.
Gamma Design Software. (2007). Gs+: Geostatistics for the Environmental
Sciences. [Online].
http://www.gammadesign.com/files/GS_Users_Guide.pdf. [14 Januari 2013 ]
Isaaks, Edward H. (1989). Applied Geostatistics. New York: Oxford University Press.
Mukhaiyar, Utriweni. (2012). Topik dalam Statistika. [Online]. http://personal.fmipa.itb.ac.id/utriweni/teaching/tahun-20122013/semester-i-1213/ma-5182-topik-dalam-statistika-i/. [12 Desember 2012]
Walpole, Ronald E. & Myers, Raymond H. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika
Untuk Insinyur dan Ilmuwan (edisi kedua). (Terjemahan R. K. Sembiring).
Bandung: Penerbit ITB.
Warmada, I. W. Geostatistik vs Geologi Numerik. [Online]. www.warmada.staff.ugm.ac.id [15 Februari2012]
Wikipedia. Kriging. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [15 Februari 2012] Wikipedia. Lagrange Multiplier. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [15
Februari 2012]
Wikipedia. Batubara. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [15 Februari 2012]
(33)
57
Wira Puspita, 2013
Analisis Data Geostatistik Menggunakan Metode Ordinary Kriging
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Wikipedia. Residual Sum of Squares. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [7 Maret 2013]
Yuniardi, Yuyun., Nur, Andi Agus. & Mardiana, Undang. (2006). Geostatistik. Bandung: DIKTAT 1 Universitas Padjadjaran.
(1)
[ ] [
]
[ ]
Keterangan:
= kovariansi antara variabel tersampel pada lokasi n dengan variabel
tersampel pada lokasi n
= kovariansi antara variabel tersampel pada lokasi n dengan variabel yang
akan diestimasi = rata-rata variabel.
Persamaan (3.15) dan (3.16) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.13) sehingga diperoleh variansi eror sebagai berikut:
( ̂ ) ∑
∑ ( )
∑ ( )
∑ [ ( ) ]
∑ ( )
[∑ ( )
]
Setelah memperoleh variansi eror minimum maka akan di hitung pula
mean square error (MSE) yang akan digunakan untuk menentukan
semivariogram yang cocok.
[ ̂ ]
Perhatikan:
(2)
43
Karena ̂ ( ̂ ) , maka ̂ . Sehingga diperoleh: [ ̂ ] ̂ ∑ ∑ ( ) ∑ ( )
3.4.Algoritma Estimasi Menggunakan Ordinary kriging
Misalkan diberikan data [ ], [
], dan [
]. 1. Hitung nilai minimum, maksimum, dan median dari X,Y, dan S. 2. Hitung nilai rata-rata sampel [ ] ∑
3. Plotkan antara S (kandungan sulfur), jika plot tidak terdapat tren, maka data dikatakan stasioner.
4. Menentukan pasangan data, kemudian hitung jaraknya.
5. Hitung nilai semivariogram eksperimental. Dari semivariogram akan diperoleh nilai sill dan range
6. Mencocokkan semivariogram eksperimental dengan semivariogram teoritis dengan melihat nilai MSE terkecil.
∑ ∑ ( ) ∑ ( )
7. Setelah memperoleh semivariogram teoritis yang sesuai dengan data, selanjutnya semivariogram digunakan untuk mengestimasi data.
(3)
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, maka dapat disimpulan sebagai berikut:
1. Estimasi cadangan dengan menggunakan metode ordinary kriging akan menghasilkan estimator yang bersifat BLUE (Best Linear Unbiased
Estimator).
2. Hasil estimasi kadar sulfur dalam batubara, untuk nilai estimasi kadar sulfur minimum adalah 0,926% terdapat pada lokasi dengan titik absis (X) 9500 dan titik ordinat (Y) 14100 dengan variansi galat 0,201, dapat dilihat pada lampiran 2 halaman 62. Dan untuk nilai estimasi kadar sulfur maksimum adalah 1,212% terdapat pada lokasi dengan titik absis (X) 10425 dan titik ordinat (Y) 13575 dengan variansi galat 0,148, dapat dilihat pada lampiran 2 halaman 118. Lokasi penggalian batubara yang baik adalah terdapat pada lokasi yang batubaranya hanya sedikit mengandung sulfur atau kadar sulfurnya rendah.
5.2. Saran
Pada skripsi ini digunakan metode ordinary kriging untuk mengestimasi cadangan hasil tambang. Asumsi untuk metode ini adalah data bersifat stasioner sehingga tidak memiliki kecenderungan pada trend tertentu dengan rerata konstan
(4)
55
dan tidak diketahui. Namun terkadang dalam suatu lokasi tambang, data yang diperoleh tidak stasioner dan memiliki kecenderungan tren tertentu yang tidak bias diselesaikan dengan menggunakan metode ordinary kriging. Dalam hal ini penulis menyarankan peneliti selanjutnya untuk mengembangkan metode kriging lainnya atau melakukan kajian teoritis metode ordinary kriging dengan studi kasus menggunakan data primer.
Dan berdasarkan hasil pembahasan studi kasus, disarankan bagi para praktisi yang melakukan penelitian lebih lanjut, sebagai berikut:
1. Untuk mengambil keputusan dalam penentuan lokasi titik penggalian batubara, sebaiknya mempertimbangkan beberapa faktor, seperti kadar air,
volatiliti matter, nilai kalori selain kadar sulfur.
2. Untuk pengambilan keputusan lokasi penggalian yang memiliki cadangan batubara optimum (batubara memiliki kualitas baik), sebaiknya perlu dilakukan terlebih dahulu estimasi kriging faktor yang menentukan kualitas batubara tersebut.
(5)
DAFTAR PUSTAKA
Alfiana, Anantia N. (2010). Metode Ordinary Kriging pada Geostatistika. (Skripsi sarjana pada FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta). Yogyakarta: tidak diterbitkan.
Anton, Howard. (1995). Aljabar Linear Elementer (edisi kelima). (Terjemah oleh Pantur Silaban & I. Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga.
Armstrong, Marfaret. (1998). Basic Lineae Geostatistics. Jerman: Springer
Bohling, G. (2005). Kriging. [Online]. Tersedia: http://people.ku.edu/~gbohling [15 Februari 2012]
Cressie, Noel A. C. (1993). Statistics for Spatial Data. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Djauhari, Maman A. (1998). Teori Peluang. Bandung: DIKTAT MA 391 Institut Teknologi Bandung.
Gamma Design Software. (2007). Gs+: Geostatistics for the Environmental
Sciences. [Online].
http://www.gammadesign.com/files/GS_Users_Guide.pdf. [14 Januari 2013 ]
Isaaks, Edward H. (1989). Applied Geostatistics. New York: Oxford University Press.
Mukhaiyar, Utriweni. (2012). Topik dalam Statistika. [Online]. http://personal.fmipa.itb.ac.id/utriweni/teaching/tahun-20122013/semester-i-1213/ma-5182-topik-dalam-statistika-i/. [12 Desember 2012]
Walpole, Ronald E. & Myers, Raymond H. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika
Untuk Insinyur dan Ilmuwan (edisi kedua). (Terjemahan R. K. Sembiring).
Bandung: Penerbit ITB.
Warmada, I. W. Geostatistik vs Geologi Numerik. [Online]. www.warmada.staff.ugm.ac.id [15 Februari2012]
Wikipedia. Kriging. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [15 Februari 2012] Wikipedia. Lagrange Multiplier. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [15
Februari 2012]
Wikipedia. Batubara. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [15 Februari 2012]
(6)
57
Wikipedia. Residual Sum of Squares. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org [7 Maret 2013]
Yuniardi, Yuyun., Nur, Andi Agus. & Mardiana, Undang. (2006). Geostatistik. Bandung: DIKTAT 1 Universitas Padjadjaran.