Fungsi Konveks dan Konkaf

FUNGSI KONVEKS DAN
KONKAF

Bagi himpunan   R
• Himpunan   R konveksjika x., y  
z= (i-t) x + t y  , t  [0, 1 ]

x

z

y

• Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika x., y  :
f((1-t) x + t y) < (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]

• Sebuah fungsi f(x) konkaf pada  jika x., y  :
f((1-t) x + t y)  (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]

TEOREMA 1
Jika f(x) konveks pada  maka lokaI minimum adalah

global minimum,
Jika f(x) konkaf pada  maka lokaI maksimum adalah
global maksimum.

•TEOREMA 2

(fungsi konveks yang dapat diturunkan satu kali) adalah
konveks pada  jika dan hanya jika:

x

•(fungsi konkafyang dapat diturunkan satu kali) adalah

konkaf pada  jika dan hanya jika:


x

•TEOREMA3:
• (fungsi konveks yang dapat diturunkan dua kali) adalah

fungsi konveks jika dan hanya jika:

• (fungsi konkaf yang dapat diturunkan dua kali) adalah

fungsi konkaf jika dan hanya jika:

Contoh:
f(x) = eX dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks

•f(x) = adalah fungsi konkaf

Bagi himpunan dengan dimensi n: Rn
  Rn adalah himpunan konveks jikax, y  
z = (1-t) x + t y   , t  [0,1]
di mana x = (x1 ,…,xn)
TEOREMA:
• f :   R adalah fungsi konveks jika x, y   :
f(( 1-t) x + t y ) < (1-t)f(x) + t f(y), t  [0,1] dan
f(y) > f(x) + (y-x)' f(x)

• f :   R adalah fungsi konkaf jika x, y   :
f(( 1-t) x + t y ) ≥ 1-t)f(x) + t f(y), t  [0,1] dan
f(y) ≤ f(x) + (y-x)' f(x)

•Dimana

Adalah vektor gradien

Matriks Hessian suatu fungsi
•

•TEOREMA:
• Jika bersifat positif semi definit maka f adalah fungsi

konveks dalam
• Jika bersifat positif definit maka f adalah fungsi konveks
ketat dalam
Definisi:
• Matriks A berukuran nx n adaiah matriks positif semi
definit jika:

Q(x) = x’Ax > 0 x  0
• Bersifat positif definit jika:
Q(x) = x’Ax > 0 x  0

•TEOREMA:
• Jika bersifat negatif semi definit maka f adalah fungsi

konkaf dalam
• Jika bersifat negatif definit maka f adalah fungsi konkaf
ketat dalam
Definisi:
• Matriks A berukuran nx n adaiah matriks negatif semi
definit jika:
Q(x) = - x’Ax > 0 x  0
• Bersifat nagatif definit jika:
Q(x) = - x’Ax > 0 x  0

Definisi:
• Minor utama ke i dari matriks nx n adalah determinan
dari matriks i x i yang diperoleh dari penghapusan n-i

baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks
tersebut

TEOREMA:
• Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh
minor utama dari A bernilai >0 (non negatif)
• Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor
utama dari A bemilai >0 (positif)
• Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor
utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n.
• Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh
minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n

•Dari teorema sebelumnya berlaku:
• Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu

pada  x  ,maka f(x) adalah fungsi konveks pada 
jika seluruh minor utama dari adalah >0 (konveks ketat
jika seluruh minor utama dari adalah >0).

• Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu

pada  x  , maka f(x) adalah fungsi konkaf pada  jika
seluruh minor utama dari bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n atau
sama dengan 0 ( konkaf ketat jika seluruh minor utama
dari bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n)