Sistem Bilangan Nyata

Sistem bilangan

N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real

N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:

a
q  , a, b  Z , b  0
b

R Q  Irasional
Contoh Bil Irasional

2 , 3, 

Sifat–sifat bilangan
real

 Sifat-sifat urutan :
 Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
 Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
 Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan


Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)

2

-3

0 1



Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang



Jenis-jenis selang
Himpunan

x x  a 
x x  a 

x a  x  b
x a  x  b
x x  b
x x  b
x x  

selang

 , a

 , a 

a, b
a, b 
b, 

b, 
, 

Grafik

a
a
a

b

a

b
b
b

Pertidaksamaan

 Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu
bentuk aljabar dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi urutan.
 Bentuk umum pertidaksamaan :

A x  D x 


B x  E  x 
 dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0

Pertidaksamaan



Menyelesaikan suatu
pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku.
Himpunan bilangan real ini disebut
juga Himpunan Penyelesaian (HP)



Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

P ( x)
0
Q( x)

, dengan cara :

Pertidaksamaan

 Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
 Menyamakan penyebut dan menyederhanakan
bentuk pembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x)
diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/
atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+,
-) pertidaksamaan di setiap selang bagian

yang muncul

1

Contoh :
Tentukan Himpunan
Penyelesaian

13 2 x  3 5



13  3 2 x 5  3
16 2 x 8

8 x 4
4 x 8
Hp =  4,8

4

8

2

Contoh :
Tentukan Himpunan
Penyelesaian

 2  6  4 x 8
 8   4 x 2

8  4 x  2
 2 4 x  8

1
 x  2
2



 1 
Hp   ,2 
 2 



1

2

2

Contoh :
Tentukan Himpunan
Penyelesaian



2

2
x
 5x  3  0
3

 2 x  1 x  3  0

1
Titik Pemecah (TP) : x 
2
++

--



1

 1 
  ,3 

Hp =  2 

2

++
3

dan

x 3

4

Contoh :
Tentukan Himpunan
2 x  4 6  7Penyelesaian
x 3x 
6
2 x  4 6  7 x

2 x  7 x 6  4
9 x 10
10
x
9
10
x
9

dan

6  7 x 3 x  6

dan  7 x  3 x  6  6

dan

 10 x 0

dan

10 x 0

dan

x 0

10 

Hp =   ,    0, 
9


0

10



9

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

 10 
Hp = 0, 
 9

Contoh :
Tentukan Himpunan
2 Penyelesaian

1

5.
x  1 3x  1
1
2

0
x  1 3x  1

 3x  1   2 x  2  0
 x  1 3x  1
x 3
0
 x  1 3x  1
TP : -1,

1
3

,3



--

++
-1

Hp =

-1

3

++
3

1 
  , 1   ,3 
3 

Pertidaksamaan
nilai mutlak


 Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x
dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga
jarak selalu bernilai positif.
 Definisi nilai mutlak :

 x , x 0
x 
 x ,x  0

Pertidaksamaan nilai
mutlak
 Sifat-sifat nilai mutlak:

x  x2

1
2

x a, a 0   a  x a

3

x a, a 0 

4

x y

5

x
x

y
y

x a atau

x  a

 x2  y 2

6. Ketaksamaan segitiga

xy x  y

x y  x  y

Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x  2 1  x
4  2x

x  2 x 1

2
2
x
x 3

3 2  x  3  2 x 3
2

4 x  1  2 x  2 2
5 2x  3  4x  5
6 x  3 x 2