sistem bilangan ppt 2
SISTEM BILANGAN
Sistem bilangan yang biasa digunakan pada
piranti digital adalah sistem-sistem bilangan
biner, desimal, dan heksa-desimal. Sistem
desimal tidak mudah diterapkan dalam mesin
digital.
Sistem bilangan yang paling mudah diterapkan di
dalam mesin digital adalah sistem biner (basis-2)
karena sistem tersebut hanya mengenal 2 (dua)
keadaan.
Semua sistem bilangan tersebut temasuk ke dalam
sistem bilangan berbobot, artinya nilai suatu angka
tergantung dari posisi relatifnya terhadap koma atau
angka satuan.
Misalnya bilangan 5725,5 dalam desimal. Ketiga
angka 5 memiliki nilai yang berbeda, angka 5 paling
kanan bernilai lima persepuluhan, angka 5 yang
tengah bernilai lima (satuan) sedangkan angka 5
yang tersisa bernailai lima ribuan.
Untuk membedakan suatu bilangan dalam sistem
bilangan tertentu digunakan konvensi notasi. Contoh
bilangan ‘101’ basis-2 akan ditulis dalam bentuk
‘1012’ atau ‘101 B’ untuk mencegah terjadinya salah
pengertian dengan bilangan ‘1018’, ‘10110, atau
‘10116’.
Dalam konvensi tersebut dijumpai bahwa suatu
bilangan yang tidak disertai indeks berarti bilangan
tersebut dinyatakan dalam desimal atau basis-10.
Dikenal beberapa cara menyatakan suatu bilangan
dalam basis-16 atau heksa-desimal, misalnya 9616 =
96h = H96 = #96 = $96 = 96H.
Basis-10 (desimal)
Dalam sistem desimal (basis-10) memupnyai
simbol angka (numerik) sebanyak 10 buah simbol,
yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nilai suatu
bilangan dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai
(N x 10a)
dengan
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
(bilangan bulat yang menyatakan posisi
relatif N terhadap koma atau satuan).
Contoh :
32510
= 3 x 102 + 2 x 101 + 5 x 100
0,6110
= 0 x 100 + 6 x 10-1 + 1 x 10-2 = 6 x 10-1 + 1 x 10-2
9407,10810 = 9 x 103 + 4 x 102 + 7 x 100 + 1 x 10-1 + 8 x 10-3.
Basis-2 (biner)
Dalam sistem biner (basis-2) memupnyai simbol
angka (numerik) sebanyak 2 buah simbol, yaitu 0,
dan 1. Nilai suatu bilangan basis-2 dalam basis-10
dapat dinyatakan sebagai
(N x 2a)
dengan
N = 0 atau 1; dan
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam
desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap
koma atau satuan).
Contoh :
11012
= 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 20
= 8
+ 4 + 1
= 1310.
0,101
= 0 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3
= 0 + 0,5 + 0 + 0,125
= 0,62510
11,01
= 1 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-2
= 2 + 1 + 0,25
= 3,2510.
Basis-8 (oktal)
Dalam sistem oktal (basis-8) memupnyai simbol
angka (numerik) sebanyak 8 buah simbol, yaitu 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Nilai suatu bilangan basis-8
dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai
(N x 8a)
dengan
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7; dan
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam
desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap
koma atau satuan).
Contoh :
647,358
= 6 x 8 2 + 4 x 81 + 7 x 8 0 +
3 x 8-1 + 5 x 8-2
= 384 + 32 + 7 +
0,375 + 0,078125
= 423,45312510.
Basis-16 (heksa-desimal)
Sistem heksa-desimal (basis-16) mempunyai
simbol angka (numerik) sebanyak 16 buah simbol.
Karena angka yang telah dikenal ada 10 maka
perlu diciptakan 6 simbol angka lagi yaitu A, B, C,
D, E, dan F dengan nilai A16 = 1010; B16 = 1110, C16 =
1210, D16 = 1310, E16 = 1410, dan F16 = 1510. Dengan
demikian simbol angka-angka untuk sistem heksadesimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,
E, dan F.
Nilai suatu bilangan basis-16 dalam basis-10 dapat
dinyatakan sebagai
(N x 16a)
dengan
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, atau 15;
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam
desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap
koma atau satuan).
Contoh :
584AED16
= 5 x 165 + 8 x 164 + 4 163 + 10 x 162 +
14 x 161 + 13 x 160
= 5242880 + 524288 + 16384 + 2560 +
224 + 13
= 578634910.
E,1A16
= 14 x 160 + 1 x 16-1 + 10 x 16-2
= 14
+ 0,0625 + 0,0390625
= 14,0664062510.
Konversi (Pengubahan) Bilangan
9810
(N x na)
(N x 2a)
N x 64 + N x 32 + N x 21
1 x 26 + 1 x 25 + 1 x 21 (semua posisi belum
diperhitungkan)
= 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
= 1
1
0
0
0
1
0
= 11000102.
=
=
=
=
1900610 = (N x na)
= (N x 16a)
=
=
=
=
N x 4096 + N x 256 + N x 16 + N x 1
4 x 163 + A x 162 + 3 x 161 + 14 x 160
4
A
3
E
4A3E16.
Cara pembagian berulang :
Cara ini sangat baik untuk bilangan desimal yang
kecil maupun yang besar. Cara konversinya adalah
membagi bilangan desimal dan hasil baginya secara
berulang dengan basis tujuan kemudian menuliskan
sisanya hingga diperoleh hasil bagi 0.
Hasil konversinya adalah menuliskan sisa pertama
pada posisi yang paling kecil dan sisa terakhir pada
posisi yang paling besar.
Untuk mengubah bilangan tidak bulat (pecahan)
dilakukan dengan dua tahap.
Tahap pertama mengubah bagian bulat (di sebelah
kiri tanda koma) dengan cara seperti yang telah
dijelaskan di atas.
Tahap ke dua mengubah bagian pecahannya (di
sebelah kanan tanda koma) dengan cara bahwa
bilangan pecahan dikalikan berulang-ulang dengan
basis tujuan sampai hasil perkalian terakhir sama
dengan 0 setelah angka di sebelah kiri tanda koma
dari hasil kali setiap perkalian diambil.
Selanjutnya angka-angka di sebelah kiri koma yang
diambil tadi dituliskan secara berderet dari kiri ke
kanan. Misalnya mengubah bilangan 98,37510
menjadi basis-2.
Tahap pertama mengubah bilangan bulat 9810 ke
dalam basis-2 yang hasilnya adalah 11000102.
Tahap ke dua mengubah bilangan pecahan 0,37510
ke dalam basis-2.
0,375 x 2
0,75 x 2
0,5 x 2
= 0,75 dan angka di sebelah kiri koma adalah 0
= 1,5 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1
= 1,0 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1.
Hasil pengambilan angka di sebelah kiri koma adalah 0,011.
Selanjutnya hasil konversi kedua tahap tersebut
digabungan sesuai dengan posisinya.
Hasil gabungannya adalah 1100010,011. Dengan
demikian 98,37510 = 1100010,0112.
Tidak semua pecahan mudah dikonversi. Ada
kalanya hasil konversi bilangan pecahan tersebut
sangat panjang atau bahkan tidak pernah dihasilkan
bilangan yang tepat.
Pecahan 2/3 yang dikonversikan ke dalam bentuk
desimal menghasilkan 0,666666…. di mana angka 6
tidak akan pernah berakhir.
Misalnya bilangan 34,27510 diubah ke dalam bilangan
basis-8. Bagian bulatnya menghasilkan
4 x 81 + 2 x 80 atau 428.
0,275 x 8 = 2,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 2
0,2 x 8 = 1,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1
0,6 x 8 = 4,8 dan angka di sebelah kiri koma adalah 4
0,8 x 8 = 6,4 dan angka di sebelah kiri koma adalah 6
0,4 x 8 = 3,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 3
0,2 x 8 = 1,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1
dan seterusnya.
Jadi 34,27510 = 42,214631463.….8 di mana angka
1463 tidak akan pernah berakhir.
Tahap 1 :
2378 = 2 x 82 + 3 x 81 + 7 x 80
= 128 + 24 + 7
= 15910.
Tahap 2 :
15910 = 1 x 53 + 1 x 52 + 1 x 51 + 4 x 50
= 11145.
Jadi 2378
= 11145.
Operasi Bilangan
Telah dikenal dengan baik mengenai operasi-dasar
bilangan seperti penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian. Operasi-operasi
bilangan tersebut juga dapat dikenakan pada
sistem bilangan yang lain.
Prinsip-prinsip operasi bilangan itu sama dengan
yang diterapkan pada sistem desimal. Oleh karena
belum akrab dengan sistem bilangan selain
desimal, maka untuk memudahkan pelaksanaan
operasi hitung perlu pertolongan tabel operasi.
SOAL-SOAL :
1.
2.
Berapakah banyaknya bit (dalam sistem biner)
yang diperlukan untuk memilahkan di antara 99
keadaan yang berbeda ?
Ubahlah bilangan biner berikut ke dalam desimal
:
a.
b.
c.
d.
e.
10111
110001011
11011,10111
0,00010011
110001111,011101
3. Kerjakanlah penjumlahan bilangan berikut
sesuai dengan basisnya :
a. 1011,1012 + 101,012
b. 231,214 + 3112,0034
c. 35478 + 230518
d. A87B12 + 79B412
e. 581DF716 + AE5C0716
DITERUSKAN KESISTEM SANDI
Sistem bilangan yang biasa digunakan pada
piranti digital adalah sistem-sistem bilangan
biner, desimal, dan heksa-desimal. Sistem
desimal tidak mudah diterapkan dalam mesin
digital.
Sistem bilangan yang paling mudah diterapkan di
dalam mesin digital adalah sistem biner (basis-2)
karena sistem tersebut hanya mengenal 2 (dua)
keadaan.
Semua sistem bilangan tersebut temasuk ke dalam
sistem bilangan berbobot, artinya nilai suatu angka
tergantung dari posisi relatifnya terhadap koma atau
angka satuan.
Misalnya bilangan 5725,5 dalam desimal. Ketiga
angka 5 memiliki nilai yang berbeda, angka 5 paling
kanan bernilai lima persepuluhan, angka 5 yang
tengah bernilai lima (satuan) sedangkan angka 5
yang tersisa bernailai lima ribuan.
Untuk membedakan suatu bilangan dalam sistem
bilangan tertentu digunakan konvensi notasi. Contoh
bilangan ‘101’ basis-2 akan ditulis dalam bentuk
‘1012’ atau ‘101 B’ untuk mencegah terjadinya salah
pengertian dengan bilangan ‘1018’, ‘10110, atau
‘10116’.
Dalam konvensi tersebut dijumpai bahwa suatu
bilangan yang tidak disertai indeks berarti bilangan
tersebut dinyatakan dalam desimal atau basis-10.
Dikenal beberapa cara menyatakan suatu bilangan
dalam basis-16 atau heksa-desimal, misalnya 9616 =
96h = H96 = #96 = $96 = 96H.
Basis-10 (desimal)
Dalam sistem desimal (basis-10) memupnyai
simbol angka (numerik) sebanyak 10 buah simbol,
yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nilai suatu
bilangan dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai
(N x 10a)
dengan
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
(bilangan bulat yang menyatakan posisi
relatif N terhadap koma atau satuan).
Contoh :
32510
= 3 x 102 + 2 x 101 + 5 x 100
0,6110
= 0 x 100 + 6 x 10-1 + 1 x 10-2 = 6 x 10-1 + 1 x 10-2
9407,10810 = 9 x 103 + 4 x 102 + 7 x 100 + 1 x 10-1 + 8 x 10-3.
Basis-2 (biner)
Dalam sistem biner (basis-2) memupnyai simbol
angka (numerik) sebanyak 2 buah simbol, yaitu 0,
dan 1. Nilai suatu bilangan basis-2 dalam basis-10
dapat dinyatakan sebagai
(N x 2a)
dengan
N = 0 atau 1; dan
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam
desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap
koma atau satuan).
Contoh :
11012
= 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 20
= 8
+ 4 + 1
= 1310.
0,101
= 0 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3
= 0 + 0,5 + 0 + 0,125
= 0,62510
11,01
= 1 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-2
= 2 + 1 + 0,25
= 3,2510.
Basis-8 (oktal)
Dalam sistem oktal (basis-8) memupnyai simbol
angka (numerik) sebanyak 8 buah simbol, yaitu 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Nilai suatu bilangan basis-8
dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai
(N x 8a)
dengan
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7; dan
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam
desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap
koma atau satuan).
Contoh :
647,358
= 6 x 8 2 + 4 x 81 + 7 x 8 0 +
3 x 8-1 + 5 x 8-2
= 384 + 32 + 7 +
0,375 + 0,078125
= 423,45312510.
Basis-16 (heksa-desimal)
Sistem heksa-desimal (basis-16) mempunyai
simbol angka (numerik) sebanyak 16 buah simbol.
Karena angka yang telah dikenal ada 10 maka
perlu diciptakan 6 simbol angka lagi yaitu A, B, C,
D, E, dan F dengan nilai A16 = 1010; B16 = 1110, C16 =
1210, D16 = 1310, E16 = 1410, dan F16 = 1510. Dengan
demikian simbol angka-angka untuk sistem heksadesimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,
E, dan F.
Nilai suatu bilangan basis-16 dalam basis-10 dapat
dinyatakan sebagai
(N x 16a)
dengan
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, atau 15;
a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam
desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap
koma atau satuan).
Contoh :
584AED16
= 5 x 165 + 8 x 164 + 4 163 + 10 x 162 +
14 x 161 + 13 x 160
= 5242880 + 524288 + 16384 + 2560 +
224 + 13
= 578634910.
E,1A16
= 14 x 160 + 1 x 16-1 + 10 x 16-2
= 14
+ 0,0625 + 0,0390625
= 14,0664062510.
Konversi (Pengubahan) Bilangan
9810
(N x na)
(N x 2a)
N x 64 + N x 32 + N x 21
1 x 26 + 1 x 25 + 1 x 21 (semua posisi belum
diperhitungkan)
= 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
= 1
1
0
0
0
1
0
= 11000102.
=
=
=
=
1900610 = (N x na)
= (N x 16a)
=
=
=
=
N x 4096 + N x 256 + N x 16 + N x 1
4 x 163 + A x 162 + 3 x 161 + 14 x 160
4
A
3
E
4A3E16.
Cara pembagian berulang :
Cara ini sangat baik untuk bilangan desimal yang
kecil maupun yang besar. Cara konversinya adalah
membagi bilangan desimal dan hasil baginya secara
berulang dengan basis tujuan kemudian menuliskan
sisanya hingga diperoleh hasil bagi 0.
Hasil konversinya adalah menuliskan sisa pertama
pada posisi yang paling kecil dan sisa terakhir pada
posisi yang paling besar.
Untuk mengubah bilangan tidak bulat (pecahan)
dilakukan dengan dua tahap.
Tahap pertama mengubah bagian bulat (di sebelah
kiri tanda koma) dengan cara seperti yang telah
dijelaskan di atas.
Tahap ke dua mengubah bagian pecahannya (di
sebelah kanan tanda koma) dengan cara bahwa
bilangan pecahan dikalikan berulang-ulang dengan
basis tujuan sampai hasil perkalian terakhir sama
dengan 0 setelah angka di sebelah kiri tanda koma
dari hasil kali setiap perkalian diambil.
Selanjutnya angka-angka di sebelah kiri koma yang
diambil tadi dituliskan secara berderet dari kiri ke
kanan. Misalnya mengubah bilangan 98,37510
menjadi basis-2.
Tahap pertama mengubah bilangan bulat 9810 ke
dalam basis-2 yang hasilnya adalah 11000102.
Tahap ke dua mengubah bilangan pecahan 0,37510
ke dalam basis-2.
0,375 x 2
0,75 x 2
0,5 x 2
= 0,75 dan angka di sebelah kiri koma adalah 0
= 1,5 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1
= 1,0 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1.
Hasil pengambilan angka di sebelah kiri koma adalah 0,011.
Selanjutnya hasil konversi kedua tahap tersebut
digabungan sesuai dengan posisinya.
Hasil gabungannya adalah 1100010,011. Dengan
demikian 98,37510 = 1100010,0112.
Tidak semua pecahan mudah dikonversi. Ada
kalanya hasil konversi bilangan pecahan tersebut
sangat panjang atau bahkan tidak pernah dihasilkan
bilangan yang tepat.
Pecahan 2/3 yang dikonversikan ke dalam bentuk
desimal menghasilkan 0,666666…. di mana angka 6
tidak akan pernah berakhir.
Misalnya bilangan 34,27510 diubah ke dalam bilangan
basis-8. Bagian bulatnya menghasilkan
4 x 81 + 2 x 80 atau 428.
0,275 x 8 = 2,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 2
0,2 x 8 = 1,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1
0,6 x 8 = 4,8 dan angka di sebelah kiri koma adalah 4
0,8 x 8 = 6,4 dan angka di sebelah kiri koma adalah 6
0,4 x 8 = 3,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 3
0,2 x 8 = 1,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1
dan seterusnya.
Jadi 34,27510 = 42,214631463.….8 di mana angka
1463 tidak akan pernah berakhir.
Tahap 1 :
2378 = 2 x 82 + 3 x 81 + 7 x 80
= 128 + 24 + 7
= 15910.
Tahap 2 :
15910 = 1 x 53 + 1 x 52 + 1 x 51 + 4 x 50
= 11145.
Jadi 2378
= 11145.
Operasi Bilangan
Telah dikenal dengan baik mengenai operasi-dasar
bilangan seperti penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian. Operasi-operasi
bilangan tersebut juga dapat dikenakan pada
sistem bilangan yang lain.
Prinsip-prinsip operasi bilangan itu sama dengan
yang diterapkan pada sistem desimal. Oleh karena
belum akrab dengan sistem bilangan selain
desimal, maka untuk memudahkan pelaksanaan
operasi hitung perlu pertolongan tabel operasi.
SOAL-SOAL :
1.
2.
Berapakah banyaknya bit (dalam sistem biner)
yang diperlukan untuk memilahkan di antara 99
keadaan yang berbeda ?
Ubahlah bilangan biner berikut ke dalam desimal
:
a.
b.
c.
d.
e.
10111
110001011
11011,10111
0,00010011
110001111,011101
3. Kerjakanlah penjumlahan bilangan berikut
sesuai dengan basisnya :
a. 1011,1012 + 101,012
b. 231,214 + 3112,0034
c. 35478 + 230518
d. A87B12 + 79B412
e. 581DF716 + AE5C0716
DITERUSKAN KESISTEM SANDI