Koleksi Soal dan Pembahasan Ujian Kompre

KOLEKSI SOAL DAN PEMBAHASAN
UJIAN KOMPREHENSIF PENGANTAR
ANALISIS REAL
Arini Soesatyo Putri

MAY 18, 2016
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (Januari 2015)

= | | kontinu di setiap titik ∈ ℝ.

1. Buktikan bahwa fungsi nilai mutlak
,
Pembahasan: Diketahui | | = {
− ,

yang merupakan fungsi polinomial

<

∈ , dan

berderajat satu, jelas bahwa fungsi polinomial akan kontinu untuk setiap
satu satunya titik diskontinu yang mungkin hanyalah di titik , akan tetapi
jadi

lim | | = lim− | | =

�→ +

=

�→

= | | juga kontinu di 0, sehingga terbukti bahwa fungsi

di setiap titik
kontinuitas).

∈ . (Dapat juga dibuktikan dengan menggunakan definisi

2. Tunjukkan bahwa deret ∑∞=

7

limitnya!

Pembahasan: Misalkan

lim

→∞

=
+

adalah deret yang konvergen dan tentukan

dan

7

+

= lim

=

+

→∞

+

7

= lim

, maka

→∞

=

<

sehingga berdasarkan Uji Perbandingan Limit, deret ∑∞=
Kemudian perhatikan bahwa ∑∞=

7

dan suku awal

= | | kontinu

=

7

7

akan konvergen.

merupakan deret geometri dengan rasio � =

, maka dapat diperoleh jumlah atau limit dari ∑∞=

9

=

−�

=

−

=

.

7

adalah

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (Maret 2015)

1. Misalkan ,

∘

adalah fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa

Pembahasan: Karena

| − |<

→|

>

>

terdapat
|<

−

memenuhi

∈ , maka ini

fungsi yang kontinu untuk setiap

mengimplikasikan bahwa untuk sebarang
|

−

=

Selanjutnya dapat dipilih

|<

→| (

>

maka terbukti bahwa

→|

)− (

|<

→| (

memenuhi

)| <

>

, sehingga untuk setiap

−

>

terdapat

berpadanan sedemikian sehingga memenuhi
| − |<

∈ , maka ini

fungsi yang kontinu di sebarang titik

mengimplikasikan bahwa untuk sebarang

dan juga karena

adalah fungsi kontinu.

.

terdapat

)− (

merupakan fungsi kontinu di setiap titik.

>

yang

)| <

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (Juli 2015)

=

1. Tunjukkan bahwa

kontinu seragam pada

Pembahasan: Analisis Pendahuluan. Ambil sebarang
sedemikian sehingga untuk |� − | <
karena �,

∈

|

| = |� −

� −

|� + |

| = |� − ||� + |

Dapat dipilih

>

maka akan dipilih

>

| = |� − ||� + | <

, , maka berdasarkan pertidaksamaan segitiga didapat

oleh karena itu
|� −

maka berlaku

, .

�

= .

|�| + | | <

+

=

|� − | |�| + | | < |� − |

+

= |� − | < .

maka berlaku
| � −

�

= sedemikian sehingga untuk |� − | <

> , pilih

Bukti Formal. Ambil sebarang

| = |� −

Maka terbukti bahwa fungsi

| = |� − ||� + | < |� − | < .

=

, .

kontinu seragam di

= .

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (September 2015)

−

1. Buktikan bahwa barisan

= , kemudian misalkan

Pembahasan: Pilih
�+

�

bukan merupakan barisan Cauchy!
= � (bilangan genap) dan

(bilangan ganjil) dengan � ∈ � dan ,

∈ � berlaku
| −

− −

Maka terbukti bahwa −

�

|=| −

− −

�

�+

=

sedemikian sehingga untuk

|=| + |=

bukan merupakan barisan Cauchy.

>

= .

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (November 2015)

1.

=

−

+

a. Tunjukkan bahwa

tidak bijektif untuk

b. Tunjukkan bahwa

bijektif pada

∈ [− , ] dan

∈ [ , ] dan

∈ [− ,

∈ [− , ].

, ]

Pembahasan: Diketahui bahwa suatu fungsi dikatakan bijektif jika fungsi tersebut
injektif dan surjektif. Fungsi dikatakan injektif (satu-satu) jika untuk sebarang
pada daerah asal

memenuhi

dapat dituliskan jika

≠

jika untuk setiap

∈

maka

terdapat

∈

=

≠

sehingga

maka berlaku

=

,

, atau juga

. Fungsi dikatakan surjektif (pada)
= .

a. Akan ditunjukkan bahwa
[− ,

, ]. Karena

∈ [− , ], akibatnya

−

b. Akan ditunjukkan bahwa
menunjukkan
Ambil sebarang

∈ [− , ] dan

tidak bijektif untuk

=− =

, maka fungsi

bukan fungsi injektif di

bukan fungsi bijektif di [− , ].

∈ [ , ] dan

bijektif pada

∈ [− , ]. Untuk

bijektif maka harus ditunjukkan
,

=

injektif dan surjektif.

∈ [ , ], selanjutnya asumsikan
−

maka berlaku
+

=

+
−

−

+

=

−

=

+

=

+

+

=

+
−
+

agar persamaan tersebut terpenuhi maka haruslah

−

=

, oleh karena itu

merupakan fungsi injektif di [ , ]. Selanjutnya harus ditunjukkan

surjektif,

diberikan

=

−

+

=( + ) −

+

karena

+

∈ [ , ], maka invers dari
−

Sehingga untuk setiap
, oleh karenanya

=

=√ +

−

=( + )

= ∓√ +
adalah

−

= (− + √

∈ [− , ] terdapat

fungsi surjektif. Karena

interval [ , ], maka terbukti bahwa

+

+

)

∈ [ , ] yang memenuhi

=

injektif dan surjektif pada

bijektif di [ , ].

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (Januari 2016)

1. Gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan dari
Pembahasan: Diketahui
= lim

ℎ2

�ℎ

maka kita peroleh
′

+ℎ −
ℎ

= lim
ℎ→

= lim

= lim
ℎ→

�2

[

�2

= lim
ℎ→

=

!

= lim
ℎ→

�2

[

�2

+ ℎ �+ℎ −
ℎ
+ℎ !
ℎ +
!
+ℎ !

[ +
�2

[

+

Jadi turunan pertama dari fungsi

+ℎ
ℎ

+ℎ !
+ℎ−
+ℎ

+ℎ
!

�2

−

adalah

ℎ

�

−

ℎ
ℎ
!

�2

�+ℎ

�2

−

= lim
ℎ→

!

�2

(

�ℎ ℎ2

ℎ

− )

dengan menggunakan Teorema

�+ℎ
([∑�=

ℎ + ⋯+

!

.

ℎ

�+ℎ

ℎ→

+ℎ +
+

�+ℎ 2

= lim

+ℎ ℎ+

+

+ℎ

ℎ→

+ℎ

Binomial Newton, menjadi

ℎ→

= lim
ℎ→

ℎ

+ℎ

ℎ→

�2

selanjutnya kita jabarkan bentuk

lim

= lim

= lim

ℎ→

+ℎ

ℎ→

�2

+ℎ−

+ℎ−
+ ⋯+

�2

.

�

ℎ

�+ℎ �

ℎ ]− )

+ℎ !
ℎ
+ℎ ! !

ℎ …+ ℎ
ℎ + ⋯+ ℎ
�+ℎ−

�+ℎ

�+ℎ−

]=

�+ℎ

− ]
]

�2

.

− ]

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (Maret 2016)

1. Buktikan bahwa ln

bukan merupakan barisan Cauchy!
= / , kemudian misalkan

Pembahasan: Pilih
sehingga untuk �
| ln

− ln

∈ � berlaku
= |ln

Maka terbukti bahwa ln

| = |ln (

)| = |ln

=

�

| = ln

bukan merupakan barisan Cauchy.

>

sedemikian

= .

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif
Pengantar Analisis Real (Maret 2016)

1. Jelaskan mengenai kekonvergenan deret geometri! Dengan alasannya.
Pembahasan: Deret geometri didefinisikan sebagai ∑∞=

dengan

≠

�

−

=

+ �+ � +⋯

dan |�| < . Selanjutnya jika didefinisikan jumlah parsial dari deret

geometri, yakni

=

kemudian kalikan persamaan

Jika persamaan

�

+ � + � + ⋯+ �
dengan �,

= � + � + � …+ �

dan

+ �

dikurangi, maka diperoleh
−�

=

−� =

dengan mengambil limit

−

−

=

→ ∞ untuk
lim

→∞

− �
−�
−�

−�

, yakni

= lim

→∞

−�
−�

maka nilai dari limit tersebut bergantung pada nilai dari �. Jika |�|
lim

→∞

�

−� �

−�

= ∞, dan jika |�| < , maka lim

→∞

�

−� �

−�

=

�

−�

, maka jelas

. Oleh karenanya deret

geometri akan konvergen untuk |�| < , dan nilai limitnya adalah

=

�

−�

.