Pohon Interval Pada Persoalan Graph Interval
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
5
1.3 Tujuan Penelitian
5
1.4 Manfaat Penelitian
6
1.5 Metode Penelitian
6
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
7
BAB 3 GRAPH INTERVAL
12
3.1 Graph Interval
12
3.1.1 Sifat graph triangulated
13
3.1.2 Sifat orientasi transitif
13
3.1.3 Beberapa sifat dari graph interval
14
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Representasi Graph Interval
BAB 4 POHON INTERVAL DAN APLIKASINYA
4.1 Pohon Interval
18
20
20
4.1.1 Sifat dari pohon interval
22
4.1.2 Representasi pohon interval
24
4.2 Aplikasi Pohon Interval
25
4.2.1 Pohon 3-spanner
25
4.3 Representasi Pohon 3 Spanner
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
26
28
5.1 Kesimpulan
28
5.2 Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
29
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Digraph dengan 5 verteks dan 7 edge
2
1.2
Pohon
5
2.1
Graph lengkap G dan empat buah pohon perentangnya, T1, T2, T3,
dan T4
10
3.1
Graph interval
12
3.2
Sifat graph interval
15
3.3
Matriks clique
16
3.4
Graph induced
18
3.5
Graph interval
19
3.6
Representasi graph interval
19
3.7
Array dari Gambar 4.2
19
4.1
Pohon interval
25
4.2
Pohon 3-Spanner
27
ix
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sekarang ini salah
satu cabang matematika yaitu graph banyak dipergunakan orang untuk menyelesaikan berbagai permasalahan dalam kehidupan (Munir, 2005). Graph dapat
digunakan untuk memecahkan suatu masalah, seperti masalah lalulintas, sistem
saluran air, jaringan listrik, transpormasi udara, sistem telekomunikasi, dan lainlain.
Secara sederhana graph didefinisikan sebagai kumpulan simpul-simpul yang
dihubungkan dengan garis. Simpul biasa dinyatakan dengan istilah verteks dan
garis biasa dinyatakan dengan istilah edges. Untuk selanjutnya dalam penelitian
ini digunakan istilah verteks dan edge. Secara matematis suatu graph G adalah
suatu objek yang terdiri atas dua himpunan, yakni :
1. Himpunan berhingga tak kosong V . Unsur dari V disebut verteks dari G.
2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut
dari unsur-unsur di V . Unsur dari E disebut edge dari G.
Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan
dengan G(V , E). Definisi tersebut menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Dengan demikian sebuah graph dimungkinkan untuk
tidak memiliki sebuah edge pun, tetapi minimal satu buah verteks harus dimiliki. Graph yang hanya memiliki sebuah verteks tanpa memiliki edge disebut graph
trivial.
Verteks pada suatu graph dapat diberi label dengan huruf, seperti a, b, v, w,
dengan bilangan asli, seperti 1, 2, 3,. . . , atau gabungan keduanya, sedangkan edge
yang menghubungkan verteks vi dan vj dinyatakan dengan pasangan vi vj atau
dengan lambang e1, e2, . . . , en . Dengan kata lain, jika e adalah edge yang menghubungkan verteks vi dengan vj , maka e dapat ditulis sebagai e = vi vj .
1
Universitas Sumatera Utara
2
Contoh 1 : Himpunan verteks V = {v1, v2, v3, v4, v5 } bersama dengan himpunan
edge A = v1 − v5 , v5 − v4, v5 − v2, v4 − v2 , v2 − v1, v2 − v3, v4 − v3 , v3 − v3
adalah satu graph dengan 5 verteks dan 7 edge.
Sesuai dengan namanya, suatu graph biasanya direpresentasikan secara grafis
dengan cara setiap verteks pada graph tersebut direpresentasikan sebagai suatu
titik atau lingkaran kecil dan setiap edge vi − vj yang terdapat dalam digraph itu
direpresentasikan sebagai garis tak berarah dari vi ke vj . Representasi graph pada
contoh 1 diperlihatkan pada gambar 1.1.
v5
t
t
v1❅
❅
❅
❅t
v2
v
t 4
t
v3
Gambar 1.1 Digraph dengan 5 verteks dan 7 edge
Andaikan vi,vj ∈ V . Suatu walk dari vi ke vj dinotasikan dengan wvi vj . Suatu
walk dari vi ke vj yang panjangnya m adalah suatu barisan edge dalam bentuk
(vi = v0, v1), (v1, v2 ), . . . , (vm − 2, vm − 1), (vm − 1, vm = vj )
Walk diatas dapat juga direpresentasikan oleh
vi = v0 − v1 − v2 − . . . − vm−1 − vm = vj
Dari definisi walk diatas, panjang dari suatu walk adalah banyaknya edge yang
terdapat pada walk tersebut.
Suatu walk dikatakan terbuka jika verteks vi 6= vj dan dikatakan tertutup jika
vi = vj . Panjang dari suatu walk wvi vj adalah banyaknya edge yang menyusun walk
tersebut dan dinotasikan dengan ℓ(wvi vj ). Suatu walk dengan edge yang berbedabeda disebut trail. Suatu path pvi vj adalah suatu wvi vj tanpa ada perulangan
verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir dan panjangnya dinotasikan
dengan ℓ(pvi vj ). Suatu cycle adalah path dengan verteks awal sama dengan verteks
akhir atau dengan kata lain cycle adalah path tertutup.
Universitas Sumatera Utara
3
Perhatikan graph pada gambar 1.1. Berikut ini diperlihatkan contoh dari
walk, trail, path, dan cycle.
1. Barisan v2 − v1 − v5 − v2 − v3 adalah walk wv2 v3 dengan panjang 4. Walk ini
juga merupakan suatu trail karena tidak ada edge yang sama.
2. Barisan v2 − v1 − v5 − v4 − v3 adalah suatu path pv2 v3 dengan panjang 4.
3. Barisan v1 − v5 − v2 − v1 adalah suatu cycle dengan panjang 3.
Misalkan G(V, E) adalah suatu graph dengan himpunan verteks V (G) dan
−
−
himpunan edge E(G). Sedangkan G = (V, E ), adalah suatu graph dengan him−
punan verteks V (G) = V (G) dan himpunan edge E(G) 6= E(G). Dengan demikian
−
graph G adalah komplemen dari graph G .
Graph G(V, E) terdiri atas himpunan verteks yang dinyatakan dengan V =
v1, v2, v3, . . . , vn dan himpunan edge yang dinyatakan dengan E = e1, e2, e3, . . . , en
dengan ei = (vi, vj ) merupakan edge yang menghubungkan verteks vi dan verteks
vj . Dua verteks vi dan vj dikatakan adjacent bila terdapat suatu edge yang
menghubungkan kedua verteks tersebut.
Suatu graph G = (V, E) dikatakan graph tak berarah jika hubungan ketetang−
gannya adalah simetris atau ekuivalen dengan E = E . Misalkan graph G = (V, E)
merupakan graph tak berarah. Maka didefenisikan komplemen dari G menjadi
−
−
graph G = (V, E ), dengan :
−
/E
E = (x, y) ∈ V xV |x 6= y dan (x, y) ∈
Graph tak berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk
setiap pasang verteks vi dan vj di dalam himpunan V terdapat path dari vi ke vj .
Jika tidak, maka G disebut graph tak terhubung (disconnected graph). Setiap graph
yang tidak terhubung dapat dipecah menjadi beberapa subgraph yang dinamakan
komponen terhubung.
Misalkan G = (V, E) suatu graph dengan himpunan verteks V (G) dan himpunan edge E(G), sedangkan H = (V1 , E1) suatu graf dengan himpunan verteks
Universitas Sumatera Utara
4
V (H) dan himpunan edge E(H). H adalah subgraph dari G jika V (H) ⊆ V (G)
dan E(H) ⊆ E(G). Dengan kata lain, H subgraph dari G jika verteks-verteks dari
H juga verteks-verteks dari G dan edge-edge dari H juga edge-edge dari G.
Suatu subset S ⊆ E dari edge yang merentang pada subgraph H = (Vs , S)
dengan Vs = {v ∈ V |v adalah titik akhir dari sebarang edge di S}, H disebut
subgraph perentang oleh S.
Andaikan S adalah himpunan tak kosong dari G, dengan S ⊆ G. Subgraph
induced oleh S adalah graph Gs = (A, ES ) dengan
Es = {xy ∈ E|x ∈ S dan y ∈ S}.
Suatu clique dari graph G adalah himpunan dari pasangan verteks yang
adjacent. Suatu clique maksimal dari graph G adalah suatu clique yang tidak
termuat di dalam clique manapun dari graph G.
Pohon merupakan terapan khusus dari teori graph. Pohon merupakan suatu
struktur data yang sangat penting. Sebuah pohon adalah sebuah graph terhubung
yang tidak memuat cycle . Karena merupakan graph terhubung maka pada pohon
selalu terdapat path yang menghubungkan kedua verteks di dalam pohon.
Karena defenisi pohon mengacu dari teori graph, maka sebuah pohon dapat
mempunyai hanya sebuah verteks tanpa sebuah edge. Dengan kata lain, jika G =
(V, E) adalah pohon, maka V tidak boleh berupa himpunan kosong, namun E
boleh kosong. Pada sebagian literatur, pohon yang dimaksudkan oleh defenisi
pohon diatas sering juga disebut pohon bebas (free tree) untuk membedakannya
dengan pohon berakar (rooted tree). Pohon juga seringkali didefinisikan sebagai
graph tak-berarah dengan sifat bahwa hanya terdapat sebuah walk tunggal antara
setiap pasangan verteks. Sebuah daun pada sebuah pohon adalah sebuah verteks
yang mempunyai derajat 1. Gambar 1.2 berikut merupakan gambar dari pohon.
Andaikan G adalah sebuah graph terhubung. Sebuah pohon perentang T
dari graph G adalah sebuah subgraph perentang dari G yang merupakan sebuah
pohon. Setiap graph terhubung G mempunyai pohon perentang.
Universitas Sumatera Utara
5
Gambar 1.2 Pohon
Suatu graph G = (V, E) dikatakan suatu graph interval jika himpunan verteks
V berkorespondensi satu-satu dengan suatu himpunan I dari interval pada garis
real sedemikian hingga dua verteks adjacent di G jika dan hanya jika korespondensi interval tersebut mempunyai irisan tak kosong. Contoh : Diberikan suatu
pemetaan bijektif f : V → I (Anita et al., 2009).
Suatu himpunan I disebut suatu representasi interval dari G dan G dinyatakan sebagai graph interval dari I. Graph interval dibentuk melalui proses memodelkan banyak situasi di kehidupan nyata, khususnya masalah yang melibatkan
ketergantungan waktu atau permasalahan yang lain yang linier di alam. Graph
ini dan variasi subclas nya digunakan pada arkeologi, biologi molekular, sosiologi,
genetika, lalulintas, desain VLSI, psikologi, penjadwalan, transportasi, dan lainnya
(Anita et al., 2009).
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan pohon interval dari sebuah graph terhubung pada graph interval
ada dan tunggal. Rumusan masalah dari penelitian ini adalah bagaimana caranya
menemukan pohon interval tersebut.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah mencari solusi atas
permasalahan graph interval pada pohon interval dengan menggunakan algoritma
kruskal.
Universitas Sumatera Utara
6
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memberikan gambaran terkait dengan pohon interval agar dapat memudahkan persoalan graph interval dan dapat memperkaya literatur tentang
persoalan graph interval.
1.5 Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam penelitian ini adalah studi literatur
yang dilakukan dengan mengumpulkan bahan pustaka yang berkaitan dengan graph
interval dan pohon interval. Langkah pertama yang dilakukan adalah mendefinisikan graph interval, menyelidiki sifat-sifat yang dimiliki graph interval melalui
pembuktian sejumlah lemma dan teorema. Selanjutnya menentukan bagaimana
menemukan pohon interval dari suatu graph interval.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Istilah- istilah baku graph dalam tulisan ini, diambil dari Gilmore dan Hoffman (1964), Anita et al., (2009), Lekkerkerker dan Boland (1962).
Suatu pohon merupakan suatu graph terhubung yang tidak memuat suatu
cycle. Oleh karena itu, apabila setiap edge dari suatu pohon dihapus maka akan
menghasilkan graph tak terhubung. Berikut diberikan definisi dan sifat-sifat dari
pohon.
Teorema 2.1 Jika G adalah graph terhubung (connected graph), maka pernyataanpernyataan berikut ini adalah ekivalen :
1. G adalah pohon.
2. G memiliki tepat n1 edge dan tidak memilik cycle.
3. G adalah graph terhubung yang memiliki tepat n − 1 edge.
4. G adalah graph terhubung yang setiap edgenya adalah jembatan.
5. Setiap dua verteks dari G dihubungkan oleh tepat satu walk.
6. G tidak memiliki cycle, tetapi jika banyaknya edge ditambah satu yang menghubungkan
sebarang dua verteks, maka hasilnya ialah graph yang memiliki tepat satu cycle.
Bukti :
Kasus I : n = 1
1. Jelas bahwa pohon adalah pohon yang menyusut.
2. G tidak memuat cycle, sedang banyaknya edge dari G adalah nol, yaitu
n1 = 0. Jadi benar bahwa G memiliki tepat n − 1 edge.
7
Universitas Sumatera Utara
8
3. G terhubung dan memiliki tepat n − 1 edge.
4. G terhubung dan tidak ada edge dari G yang bukan jembatan, jadi setiap
edge dari G adalah jembatan.
5. Tidak ada pasangan verteks dari G (dua verteks yang berbeda ) yang tidak
dihubungkan dengan path.
6. G tidak memuat cycle dan jika banyaknya edge dari G ditambah satu berarti
graph yang terjadi terdiri atas tepat satu cycle.
Pernyataaan diatas dapat disimpulkan bahwa :
1. Andaikan G adalah pohon. Maka menurut definisi G tidak memiliki cycle.
Berarti bahwa pengurangan satu edge dari G akan menghasilkan dua graph
baru yang terpisah, yang masing-masing merupakan pohon. Karena G hanya
memiliki n verteks berarti bahwa jika dilakukan pengurangan n−1 edge pada
G, yang tersisa hanyalah verteks. Jadi G memiliki tepat n − 1 edge.
2. Seandainya G tidak memiliki cycle dan memiliki n − 1 edge, maka G terdiri
atas k pohon, misalkan p1 , p2 , ..., pn dengan banyaknya verteks berturut-turut
adalah n1 , n2, ..., nk dan n1 + n2 + ... + nk = n.
Artinya (n − 1) + (n − 2) + ... + (nk − 1) = n − 1
Atau
n1 + n2 + · · · + nk − k = n − 1
nk − k = n − 1
k=1
Ternyata G hanya terdiri atas satu komponen. Jadi G terhubung.
3. Andaikan G adalah graph terhubung yang memiliki tepat n − 1 edge. Jika
salah satu edge dari G dibunag maka yang terjadi adalah graph K yang
memiliki tepat n verteks dan tepat n − 2 edge. Jadi setiap edge dari G
adalah jembatan.
4. Andaikan G terhubung dan setiap edgenya adalah jembatan. Maka setiap
dua verteks dari G dihubungkan dengan paling sedikit satu path. Hal ini
Universitas Sumatera Utara
9
bertentangan dengan keadaan bahwa setiap edge dari G adalah jembatan.
Jadi setiap dua verteks dari G dihubungkan oleh tepat satu path.
5. Andaikan G memuat cycle, maka setiap dua verteks pada cycle itu dihubungkan oleh paling sedikitnya dua path. Jadi kalau (5) benar, maka G
tidak memuat cycle. Jika G ditambah dengan edge yang menghubungkan kedua verteks itu maka terjadilah tepat satu cycle yang melalui kedua verteks
tersebut.
6. Misalkan G tidak memiliki cycle, dan setiap penambahan edge pada G menghasilkan tepat satu cycle. Seandainya G tidak terhubung, maka penambahan
satu edge yang menghubungkan satu verteks dari salah satu komponen dan
verteks, salah satu komponen yang lain tidak akan menghasilkan cycle. Berarti G pasti terhubung. Jadi jika (6) benar maka G terhubung dan tidak
memiliki cycle. Artinya, jika (6) benar maka (1) benar.
Pohon perentang suatu graph G adalah subgraph G yang merupakan pohon
dan semua memuat verteks dalam G. Disebut pohon perentang karena semua
verteks pada pohon T sama dengan semua verteks pada graph G, dan edge-edge
pada pohon T merupakan himpunan bagian dari edge-edge pada graph G. Dengan
kata lain, V1 = V dan E1 ⊂ E.
Pohon perentang didefenisikan hanya untuk graph terhubung, karena pohon
selalu terhubung. Pada graph tak terhubung dengan n buah verteks tidak dapat
ditemukan subgraph terhubung dengan n buah verteks. Tiap komponen dari graph
tak-terhubung mempunyai satu buah pohon perentang.
Teorema 2.2 Setiap graph terhubung mempunyai sekurang-kurangnya satu pohon
perentang.
Bukti: Jika G suatu graph terhubung dan G tidak mempunyai sirkuit maka pohon
perentangnya adalah G sendiri, jika G mempunyai sebuah sirkuit maka spanning
treenya dapat diperoleh dengan menghilangkan edge pembentuk sirkuit tersebut.
Selanjutnya jika G mempunyai banyak sirkuit (lebih dari satu sirkuit) maka cara
diatas dapat diulangi sampai edge terakhir pembentuk sirkuit dihilangkan.
Universitas Sumatera Utara
10
Pada Gambar 2.3 berikut akan diberikan bagaimana cara menentukan pohon
perentang dari sebuah graph.
Gambar 2.1 Graph lengkap G dan empat buah pohon perentangnya, T1, T2, T3,
dan T4
Suatu graph adalah graph interval jika dan hanya jika memenuhi beberapa
kondisi, dengan demikian dalam sebuah graph G terdapat sebuah graph interval.
Gilmore Hoffman (1964) memberikan ide bahwa suatu graph adalah graph
interval jika memiliki model irisan yang terdiri dari interval pada garis real. Sebuah graph interval adalah graph yang menunjukkan interval berpotongan pada
sebuah garis. Andaikan himpunan interval E = (E1 , ..., En), pada baris dengan
graph Interval G = (V, E), dengan V = (1, ..., n) dan dua verteks, x dan y, yang
dihubungkan dengan sebuah edge jika dan hanya jika G adalah graph interval.
Lekkerkerker Boland (1962) memberikan ide tentang karakteristik dari graph
interval. Suatu graph disebut graph interval jika dan hanya jika memenuhi kondisi
berikut:
1. G adalah graph segitiga.
2. Setiap tiga verteks dari G dapat dibuat sedemikian rupa sehingga walk dari
verteks pertama, verteks ketiga melewati tetangga dari verteks kedua.
Anita et al., (2009) memberikan ide bahwa pada dasarnya pohon interval itu
adalah pohon perentang. Dengan mengambil akar pohon sebagai n dan tingkat
akar sebagai 0. Setiap anak tingkat dari akar tersebut adalah 1. Jika tingkat
verteks adalah l maka tingkat masing masing anak adalah l + 1.
Madanlal et al., (1996) memberikan ide bahwa sebuah pohon spanner dari
sebuah graph merupakan pohon perentang yang mendekati jarak antara verteks
Universitas Sumatera Utara
11
dalam graph nyata. Secara khusus, pohon perentang T dikatakan pohon t −
spanner dari sebuah graph G jika jarak antara dua verteks di T adalah t kali
jaraknya di G. Sehingga Suatu pohon 3 − spanner merupakan pohon 3 − spanner
dari sebuah graph interval.
Universitas Sumatera Utara
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
5
1.3 Tujuan Penelitian
5
1.4 Manfaat Penelitian
6
1.5 Metode Penelitian
6
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
7
BAB 3 GRAPH INTERVAL
12
3.1 Graph Interval
12
3.1.1 Sifat graph triangulated
13
3.1.2 Sifat orientasi transitif
13
3.1.3 Beberapa sifat dari graph interval
14
vii
Universitas Sumatera Utara
3.2 Representasi Graph Interval
BAB 4 POHON INTERVAL DAN APLIKASINYA
4.1 Pohon Interval
18
20
20
4.1.1 Sifat dari pohon interval
22
4.1.2 Representasi pohon interval
24
4.2 Aplikasi Pohon Interval
25
4.2.1 Pohon 3-spanner
25
4.3 Representasi Pohon 3 Spanner
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
26
28
5.1 Kesimpulan
28
5.2 Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
29
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Digraph dengan 5 verteks dan 7 edge
2
1.2
Pohon
5
2.1
Graph lengkap G dan empat buah pohon perentangnya, T1, T2, T3,
dan T4
10
3.1
Graph interval
12
3.2
Sifat graph interval
15
3.3
Matriks clique
16
3.4
Graph induced
18
3.5
Graph interval
19
3.6
Representasi graph interval
19
3.7
Array dari Gambar 4.2
19
4.1
Pohon interval
25
4.2
Pohon 3-Spanner
27
ix
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sekarang ini salah
satu cabang matematika yaitu graph banyak dipergunakan orang untuk menyelesaikan berbagai permasalahan dalam kehidupan (Munir, 2005). Graph dapat
digunakan untuk memecahkan suatu masalah, seperti masalah lalulintas, sistem
saluran air, jaringan listrik, transpormasi udara, sistem telekomunikasi, dan lainlain.
Secara sederhana graph didefinisikan sebagai kumpulan simpul-simpul yang
dihubungkan dengan garis. Simpul biasa dinyatakan dengan istilah verteks dan
garis biasa dinyatakan dengan istilah edges. Untuk selanjutnya dalam penelitian
ini digunakan istilah verteks dan edge. Secara matematis suatu graph G adalah
suatu objek yang terdiri atas dua himpunan, yakni :
1. Himpunan berhingga tak kosong V . Unsur dari V disebut verteks dari G.
2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut
dari unsur-unsur di V . Unsur dari E disebut edge dari G.
Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan
dengan G(V , E). Definisi tersebut menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Dengan demikian sebuah graph dimungkinkan untuk
tidak memiliki sebuah edge pun, tetapi minimal satu buah verteks harus dimiliki. Graph yang hanya memiliki sebuah verteks tanpa memiliki edge disebut graph
trivial.
Verteks pada suatu graph dapat diberi label dengan huruf, seperti a, b, v, w,
dengan bilangan asli, seperti 1, 2, 3,. . . , atau gabungan keduanya, sedangkan edge
yang menghubungkan verteks vi dan vj dinyatakan dengan pasangan vi vj atau
dengan lambang e1, e2, . . . , en . Dengan kata lain, jika e adalah edge yang menghubungkan verteks vi dengan vj , maka e dapat ditulis sebagai e = vi vj .
1
Universitas Sumatera Utara
2
Contoh 1 : Himpunan verteks V = {v1, v2, v3, v4, v5 } bersama dengan himpunan
edge A = v1 − v5 , v5 − v4, v5 − v2, v4 − v2 , v2 − v1, v2 − v3, v4 − v3 , v3 − v3
adalah satu graph dengan 5 verteks dan 7 edge.
Sesuai dengan namanya, suatu graph biasanya direpresentasikan secara grafis
dengan cara setiap verteks pada graph tersebut direpresentasikan sebagai suatu
titik atau lingkaran kecil dan setiap edge vi − vj yang terdapat dalam digraph itu
direpresentasikan sebagai garis tak berarah dari vi ke vj . Representasi graph pada
contoh 1 diperlihatkan pada gambar 1.1.
v5
t
t
v1❅
❅
❅
❅t
v2
v
t 4
t
v3
Gambar 1.1 Digraph dengan 5 verteks dan 7 edge
Andaikan vi,vj ∈ V . Suatu walk dari vi ke vj dinotasikan dengan wvi vj . Suatu
walk dari vi ke vj yang panjangnya m adalah suatu barisan edge dalam bentuk
(vi = v0, v1), (v1, v2 ), . . . , (vm − 2, vm − 1), (vm − 1, vm = vj )
Walk diatas dapat juga direpresentasikan oleh
vi = v0 − v1 − v2 − . . . − vm−1 − vm = vj
Dari definisi walk diatas, panjang dari suatu walk adalah banyaknya edge yang
terdapat pada walk tersebut.
Suatu walk dikatakan terbuka jika verteks vi 6= vj dan dikatakan tertutup jika
vi = vj . Panjang dari suatu walk wvi vj adalah banyaknya edge yang menyusun walk
tersebut dan dinotasikan dengan ℓ(wvi vj ). Suatu walk dengan edge yang berbedabeda disebut trail. Suatu path pvi vj adalah suatu wvi vj tanpa ada perulangan
verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir dan panjangnya dinotasikan
dengan ℓ(pvi vj ). Suatu cycle adalah path dengan verteks awal sama dengan verteks
akhir atau dengan kata lain cycle adalah path tertutup.
Universitas Sumatera Utara
3
Perhatikan graph pada gambar 1.1. Berikut ini diperlihatkan contoh dari
walk, trail, path, dan cycle.
1. Barisan v2 − v1 − v5 − v2 − v3 adalah walk wv2 v3 dengan panjang 4. Walk ini
juga merupakan suatu trail karena tidak ada edge yang sama.
2. Barisan v2 − v1 − v5 − v4 − v3 adalah suatu path pv2 v3 dengan panjang 4.
3. Barisan v1 − v5 − v2 − v1 adalah suatu cycle dengan panjang 3.
Misalkan G(V, E) adalah suatu graph dengan himpunan verteks V (G) dan
−
−
himpunan edge E(G). Sedangkan G = (V, E ), adalah suatu graph dengan him−
punan verteks V (G) = V (G) dan himpunan edge E(G) 6= E(G). Dengan demikian
−
graph G adalah komplemen dari graph G .
Graph G(V, E) terdiri atas himpunan verteks yang dinyatakan dengan V =
v1, v2, v3, . . . , vn dan himpunan edge yang dinyatakan dengan E = e1, e2, e3, . . . , en
dengan ei = (vi, vj ) merupakan edge yang menghubungkan verteks vi dan verteks
vj . Dua verteks vi dan vj dikatakan adjacent bila terdapat suatu edge yang
menghubungkan kedua verteks tersebut.
Suatu graph G = (V, E) dikatakan graph tak berarah jika hubungan ketetang−
gannya adalah simetris atau ekuivalen dengan E = E . Misalkan graph G = (V, E)
merupakan graph tak berarah. Maka didefenisikan komplemen dari G menjadi
−
−
graph G = (V, E ), dengan :
−
/E
E = (x, y) ∈ V xV |x 6= y dan (x, y) ∈
Graph tak berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk
setiap pasang verteks vi dan vj di dalam himpunan V terdapat path dari vi ke vj .
Jika tidak, maka G disebut graph tak terhubung (disconnected graph). Setiap graph
yang tidak terhubung dapat dipecah menjadi beberapa subgraph yang dinamakan
komponen terhubung.
Misalkan G = (V, E) suatu graph dengan himpunan verteks V (G) dan himpunan edge E(G), sedangkan H = (V1 , E1) suatu graf dengan himpunan verteks
Universitas Sumatera Utara
4
V (H) dan himpunan edge E(H). H adalah subgraph dari G jika V (H) ⊆ V (G)
dan E(H) ⊆ E(G). Dengan kata lain, H subgraph dari G jika verteks-verteks dari
H juga verteks-verteks dari G dan edge-edge dari H juga edge-edge dari G.
Suatu subset S ⊆ E dari edge yang merentang pada subgraph H = (Vs , S)
dengan Vs = {v ∈ V |v adalah titik akhir dari sebarang edge di S}, H disebut
subgraph perentang oleh S.
Andaikan S adalah himpunan tak kosong dari G, dengan S ⊆ G. Subgraph
induced oleh S adalah graph Gs = (A, ES ) dengan
Es = {xy ∈ E|x ∈ S dan y ∈ S}.
Suatu clique dari graph G adalah himpunan dari pasangan verteks yang
adjacent. Suatu clique maksimal dari graph G adalah suatu clique yang tidak
termuat di dalam clique manapun dari graph G.
Pohon merupakan terapan khusus dari teori graph. Pohon merupakan suatu
struktur data yang sangat penting. Sebuah pohon adalah sebuah graph terhubung
yang tidak memuat cycle . Karena merupakan graph terhubung maka pada pohon
selalu terdapat path yang menghubungkan kedua verteks di dalam pohon.
Karena defenisi pohon mengacu dari teori graph, maka sebuah pohon dapat
mempunyai hanya sebuah verteks tanpa sebuah edge. Dengan kata lain, jika G =
(V, E) adalah pohon, maka V tidak boleh berupa himpunan kosong, namun E
boleh kosong. Pada sebagian literatur, pohon yang dimaksudkan oleh defenisi
pohon diatas sering juga disebut pohon bebas (free tree) untuk membedakannya
dengan pohon berakar (rooted tree). Pohon juga seringkali didefinisikan sebagai
graph tak-berarah dengan sifat bahwa hanya terdapat sebuah walk tunggal antara
setiap pasangan verteks. Sebuah daun pada sebuah pohon adalah sebuah verteks
yang mempunyai derajat 1. Gambar 1.2 berikut merupakan gambar dari pohon.
Andaikan G adalah sebuah graph terhubung. Sebuah pohon perentang T
dari graph G adalah sebuah subgraph perentang dari G yang merupakan sebuah
pohon. Setiap graph terhubung G mempunyai pohon perentang.
Universitas Sumatera Utara
5
Gambar 1.2 Pohon
Suatu graph G = (V, E) dikatakan suatu graph interval jika himpunan verteks
V berkorespondensi satu-satu dengan suatu himpunan I dari interval pada garis
real sedemikian hingga dua verteks adjacent di G jika dan hanya jika korespondensi interval tersebut mempunyai irisan tak kosong. Contoh : Diberikan suatu
pemetaan bijektif f : V → I (Anita et al., 2009).
Suatu himpunan I disebut suatu representasi interval dari G dan G dinyatakan sebagai graph interval dari I. Graph interval dibentuk melalui proses memodelkan banyak situasi di kehidupan nyata, khususnya masalah yang melibatkan
ketergantungan waktu atau permasalahan yang lain yang linier di alam. Graph
ini dan variasi subclas nya digunakan pada arkeologi, biologi molekular, sosiologi,
genetika, lalulintas, desain VLSI, psikologi, penjadwalan, transportasi, dan lainnya
(Anita et al., 2009).
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan pohon interval dari sebuah graph terhubung pada graph interval
ada dan tunggal. Rumusan masalah dari penelitian ini adalah bagaimana caranya
menemukan pohon interval tersebut.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah mencari solusi atas
permasalahan graph interval pada pohon interval dengan menggunakan algoritma
kruskal.
Universitas Sumatera Utara
6
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memberikan gambaran terkait dengan pohon interval agar dapat memudahkan persoalan graph interval dan dapat memperkaya literatur tentang
persoalan graph interval.
1.5 Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam penelitian ini adalah studi literatur
yang dilakukan dengan mengumpulkan bahan pustaka yang berkaitan dengan graph
interval dan pohon interval. Langkah pertama yang dilakukan adalah mendefinisikan graph interval, menyelidiki sifat-sifat yang dimiliki graph interval melalui
pembuktian sejumlah lemma dan teorema. Selanjutnya menentukan bagaimana
menemukan pohon interval dari suatu graph interval.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Istilah- istilah baku graph dalam tulisan ini, diambil dari Gilmore dan Hoffman (1964), Anita et al., (2009), Lekkerkerker dan Boland (1962).
Suatu pohon merupakan suatu graph terhubung yang tidak memuat suatu
cycle. Oleh karena itu, apabila setiap edge dari suatu pohon dihapus maka akan
menghasilkan graph tak terhubung. Berikut diberikan definisi dan sifat-sifat dari
pohon.
Teorema 2.1 Jika G adalah graph terhubung (connected graph), maka pernyataanpernyataan berikut ini adalah ekivalen :
1. G adalah pohon.
2. G memiliki tepat n1 edge dan tidak memilik cycle.
3. G adalah graph terhubung yang memiliki tepat n − 1 edge.
4. G adalah graph terhubung yang setiap edgenya adalah jembatan.
5. Setiap dua verteks dari G dihubungkan oleh tepat satu walk.
6. G tidak memiliki cycle, tetapi jika banyaknya edge ditambah satu yang menghubungkan
sebarang dua verteks, maka hasilnya ialah graph yang memiliki tepat satu cycle.
Bukti :
Kasus I : n = 1
1. Jelas bahwa pohon adalah pohon yang menyusut.
2. G tidak memuat cycle, sedang banyaknya edge dari G adalah nol, yaitu
n1 = 0. Jadi benar bahwa G memiliki tepat n − 1 edge.
7
Universitas Sumatera Utara
8
3. G terhubung dan memiliki tepat n − 1 edge.
4. G terhubung dan tidak ada edge dari G yang bukan jembatan, jadi setiap
edge dari G adalah jembatan.
5. Tidak ada pasangan verteks dari G (dua verteks yang berbeda ) yang tidak
dihubungkan dengan path.
6. G tidak memuat cycle dan jika banyaknya edge dari G ditambah satu berarti
graph yang terjadi terdiri atas tepat satu cycle.
Pernyataaan diatas dapat disimpulkan bahwa :
1. Andaikan G adalah pohon. Maka menurut definisi G tidak memiliki cycle.
Berarti bahwa pengurangan satu edge dari G akan menghasilkan dua graph
baru yang terpisah, yang masing-masing merupakan pohon. Karena G hanya
memiliki n verteks berarti bahwa jika dilakukan pengurangan n−1 edge pada
G, yang tersisa hanyalah verteks. Jadi G memiliki tepat n − 1 edge.
2. Seandainya G tidak memiliki cycle dan memiliki n − 1 edge, maka G terdiri
atas k pohon, misalkan p1 , p2 , ..., pn dengan banyaknya verteks berturut-turut
adalah n1 , n2, ..., nk dan n1 + n2 + ... + nk = n.
Artinya (n − 1) + (n − 2) + ... + (nk − 1) = n − 1
Atau
n1 + n2 + · · · + nk − k = n − 1
nk − k = n − 1
k=1
Ternyata G hanya terdiri atas satu komponen. Jadi G terhubung.
3. Andaikan G adalah graph terhubung yang memiliki tepat n − 1 edge. Jika
salah satu edge dari G dibunag maka yang terjadi adalah graph K yang
memiliki tepat n verteks dan tepat n − 2 edge. Jadi setiap edge dari G
adalah jembatan.
4. Andaikan G terhubung dan setiap edgenya adalah jembatan. Maka setiap
dua verteks dari G dihubungkan dengan paling sedikit satu path. Hal ini
Universitas Sumatera Utara
9
bertentangan dengan keadaan bahwa setiap edge dari G adalah jembatan.
Jadi setiap dua verteks dari G dihubungkan oleh tepat satu path.
5. Andaikan G memuat cycle, maka setiap dua verteks pada cycle itu dihubungkan oleh paling sedikitnya dua path. Jadi kalau (5) benar, maka G
tidak memuat cycle. Jika G ditambah dengan edge yang menghubungkan kedua verteks itu maka terjadilah tepat satu cycle yang melalui kedua verteks
tersebut.
6. Misalkan G tidak memiliki cycle, dan setiap penambahan edge pada G menghasilkan tepat satu cycle. Seandainya G tidak terhubung, maka penambahan
satu edge yang menghubungkan satu verteks dari salah satu komponen dan
verteks, salah satu komponen yang lain tidak akan menghasilkan cycle. Berarti G pasti terhubung. Jadi jika (6) benar maka G terhubung dan tidak
memiliki cycle. Artinya, jika (6) benar maka (1) benar.
Pohon perentang suatu graph G adalah subgraph G yang merupakan pohon
dan semua memuat verteks dalam G. Disebut pohon perentang karena semua
verteks pada pohon T sama dengan semua verteks pada graph G, dan edge-edge
pada pohon T merupakan himpunan bagian dari edge-edge pada graph G. Dengan
kata lain, V1 = V dan E1 ⊂ E.
Pohon perentang didefenisikan hanya untuk graph terhubung, karena pohon
selalu terhubung. Pada graph tak terhubung dengan n buah verteks tidak dapat
ditemukan subgraph terhubung dengan n buah verteks. Tiap komponen dari graph
tak-terhubung mempunyai satu buah pohon perentang.
Teorema 2.2 Setiap graph terhubung mempunyai sekurang-kurangnya satu pohon
perentang.
Bukti: Jika G suatu graph terhubung dan G tidak mempunyai sirkuit maka pohon
perentangnya adalah G sendiri, jika G mempunyai sebuah sirkuit maka spanning
treenya dapat diperoleh dengan menghilangkan edge pembentuk sirkuit tersebut.
Selanjutnya jika G mempunyai banyak sirkuit (lebih dari satu sirkuit) maka cara
diatas dapat diulangi sampai edge terakhir pembentuk sirkuit dihilangkan.
Universitas Sumatera Utara
10
Pada Gambar 2.3 berikut akan diberikan bagaimana cara menentukan pohon
perentang dari sebuah graph.
Gambar 2.1 Graph lengkap G dan empat buah pohon perentangnya, T1, T2, T3,
dan T4
Suatu graph adalah graph interval jika dan hanya jika memenuhi beberapa
kondisi, dengan demikian dalam sebuah graph G terdapat sebuah graph interval.
Gilmore Hoffman (1964) memberikan ide bahwa suatu graph adalah graph
interval jika memiliki model irisan yang terdiri dari interval pada garis real. Sebuah graph interval adalah graph yang menunjukkan interval berpotongan pada
sebuah garis. Andaikan himpunan interval E = (E1 , ..., En), pada baris dengan
graph Interval G = (V, E), dengan V = (1, ..., n) dan dua verteks, x dan y, yang
dihubungkan dengan sebuah edge jika dan hanya jika G adalah graph interval.
Lekkerkerker Boland (1962) memberikan ide tentang karakteristik dari graph
interval. Suatu graph disebut graph interval jika dan hanya jika memenuhi kondisi
berikut:
1. G adalah graph segitiga.
2. Setiap tiga verteks dari G dapat dibuat sedemikian rupa sehingga walk dari
verteks pertama, verteks ketiga melewati tetangga dari verteks kedua.
Anita et al., (2009) memberikan ide bahwa pada dasarnya pohon interval itu
adalah pohon perentang. Dengan mengambil akar pohon sebagai n dan tingkat
akar sebagai 0. Setiap anak tingkat dari akar tersebut adalah 1. Jika tingkat
verteks adalah l maka tingkat masing masing anak adalah l + 1.
Madanlal et al., (1996) memberikan ide bahwa sebuah pohon spanner dari
sebuah graph merupakan pohon perentang yang mendekati jarak antara verteks
Universitas Sumatera Utara
11
dalam graph nyata. Secara khusus, pohon perentang T dikatakan pohon t −
spanner dari sebuah graph G jika jarak antara dua verteks di T adalah t kali
jaraknya di G. Sehingga Suatu pohon 3 − spanner merupakan pohon 3 − spanner
dari sebuah graph interval.
Universitas Sumatera Utara