Publikasi : Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral ‘Admitting’ Struktur Ring
Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral
‘Admitting’ Struktur Ring1
Karyati
Jurusan Pendidikan Matematika
FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta
Email: yatiuny@yahoo.com
Abstrak
n
Diberikan R adalah daerah integral dan n adalah integer positif dengan
2 , serta M n R adalah himpunan semua matriks bujur sangkar dengan orde n n
atas R . Dibentuk suatu himpunan bagian dari M n R yaitu himpunan matriks di
M n R yang invertibel yang selanjutnya dinotasikan dengan Gn R . Himpunan
M n R ini membentuk semigrup terhadap operasi perkalian matriks biasa, Gn R
0
membentuk subsemigrup. Untuk suatu semigrup S , S
elemen nol dan S
0
S
S jika semigrup S memuat
0 jika semigrup S tidak memuat elemen nol. Suatu
0
semigrup S dikatakan admit struktur ring jika terdapat suatu operasi + pada S
0
sedemikian sehingga S , ,. membentuk struktur ring.
Dalam tulisan ini diselidiki sifat subsemigrup Gn R , juga subsemigrup dari
M n R , yaitu semua matriks yang determinannya 1 .
Diperoleh hasil bahwa: baik Gn R maupun subsemigrup dari Gn R
himpunan semua matriks yang determinannya 1 bukan merupakan semigrup
struktur ring. Hal ini sebagai suatu akibat bahwa subsemigrup dari Gn R
memuat semua matriks yang determinannya 1 bukan merupakan semigrup
struktur ring.
yaitu
admit
yang
admit
Kata Kunci: Daerah integral, Semigrup, Semigrup, admit struktur ring
1. Pendahuluan
Dalam penelitian oleh Yupaporn Kemprasit & Manoj Siripitukdet, telah
diteliti tentang sifat-sifat suatu semigrup matriks atas ring dengan elemen satuan
yang merupakan semigrup admit struktur ring. Daerah integral merupakan ring
dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol sejati ( Adkins : 50 ).
Dengan demikian, daerah integral merupakan ring.
1
Disampaikan pada Seminar Nasional Jurusan Matematika, FMIPA, UNS, Surakarta 7 Mei 2005
1
Diberikan R adalah daerah integral dan n adalah integer positif dengan
n 2 , serta M n R adalah himpunan semua matriks bujur sangkar dengan orde
n n atas R . Dibentuk suatu himpunan bagian dari M n R
yaitu himpunan
matriks di M n R yang invertible, selanjutnya dinotasikan dengan Gn R , yaitu:
Gn R
A Mn R
A invertibel
Himpunan ini merupakan semigrup dari M n R .
Dari sifat matriks M n R diperoleh bahwa matriks A
M n R invertibel
jika dan hanya jika det A U ( R) , dengan U ( R) adalah himpunan semua unit di
R . Dengan kata lain A M n R invertibel jika dan hanya jika det A invertible di
R (Brown : 16 ). Dengan demikian, himpunan Gn R
A M n R det A invertibel di R .
sebagai: Gn R
A M n R det A
himpunan Gn R
1
Gn R ,
dan
jika
R
dapat dinyatakan
Selanjutnya
merupakan
himpunan
lapangan,
maka
A M n R det A 0 . Sifat determinan yang lain , antara lain:
det( AB) det A. det B untuk setiap A, B
Mn R
dan det A
1
(det A)
1
untuk
setiap A M n R ( Brown :16 ).
Untuk suatu semigrup S , S 0
dan S 0
S
S jika semigrup S memuat elemen nol
0 jika semigrup S tidak memuat elemen nol. Suatu semigrup S
dikatakan admit struktur ring jika terdapat suatu operasi + pada S 0 sedemikian
sehingga S 0 , ,. membentuk struktur ring ( Kemprasit & Siripitukdet : 409 ). Dari
definisi tersebut, maka semigrup M n R merupakan admit struktur ring terhadap
operasi standar penjumlahan matriks.
Dalam tulisan ini diselidiki sifat subsemigrup
Gn R maupun himpunan
bagian dari Gn R , yaitu himpunan semua matriks yang determinannya
1.
2. Pembahasan
Lemma berikut menyatakan salah satu sifat semigrup M n ( R),. , dengan R
adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua, yang akan
berguna untuk pembuktian pada teorema selanjutnya:
2
Lemma 2.1. ( Yupaporn & Siripitukdet: 410 ). Misalkan R adalah daerah integral
dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. Jika
sehingga AB BA untuk setiap B M n ( R) dengan det B
A M n ( R) sedemikian
1 , maka A aI untuk
suatu a R dengan I adalah matriks identitas n n atas R .
Bukti:
Diketahui
:
Himpunan R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua.
Matriks A M n ( R) , AB BA untuk setiap B M n ( R) dengan det B
Dibuktikan
:
A aI untuk suatu a
Pembuktian
1
R dimana I adalah matriks identitas n n atas R .
:
Untuk membuktikan lemma ini, maka untuk setiap k 1,2,..., n
dibentuk
suatu
C (k )
matriks
M n ( R) ,
dengan
entri-entrinya
didefinisikan sebagai berikut:
1 jika i j k
1, , jika i j k
0, untukyanglain
Cij(k )
1 0 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
Sehingga diperoleh C (1)
dan C ( n )
1 0 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
0
0
.
...
1
3
0
0
, C ( 2)
...
1
1 0 ...
0
1 ...
.... .... ...
0 0 ...
0
0
...
1
Dengan demikian diperoleh: det C ( k )
Menurut yang diketahui, dipenuhi:
1 untuk setiap k 1,2,..., n .
AC ( k )
C ( k ) A untuk setiap
k 1,2,..., n . Selanjutnya, jika i, j 1,2,..., n dan i
AC ( j ) ij
n
k 1
AikCkj( j )
k 1
Aij , atau 2 Aij
Sehingga diperoleh Aij
Aij
n
Aij dan C ( j ) A ij
j diperoleh:
( j)
Cik
Akj
Aij
0 . Dengan mengingat
R dan R adalah daerah integral dengan karakteristik tidak
sama dengan dua, maka persamaan tersebut hanya dipenuhi untuk
Aij
0 untuk setiap i, j 1,2,..., n dan i
Selanjutnya, untuk setiap
D (k )
dibentuk
k 1,2,..., n
suatu matriks
M n ( R) dengan entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut:
1 jika
i j
1 jika i 1, j k
0 untuk ya ng la in
Dij( k )
1 0 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
Sehingga
1
0
...
0
D (1)
Sehingga:
D (n)
j.
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
,
...
1
D ( 2)
1 1 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
1
0
.
...
1
det D ( k )
1
untuk setiap
diketahui, maka dipenuhi: AD (k )
k 1,2,..., n . Menurut yang
D (k ) A untuk setiap k 1,2,..., n ,
dan diperoleh juga:
AD (i ) ii
n
k 1
Aik Dki(i )
dan D (i ) A ii
Aii
Sehingga diperoleh A11
Dari kondisi Aij
0
0
,…
...
1
A22
0 untuk i
4
...
n
k 1
(i )
Dik
Aki
Aii
Ann .
j dan A11
A22
...
Ann , maka :
A11
A
0
...
0
0
A11
...
0
... 0
... 0
... ...
... A11
1
0
A11
...
0
Sehingga A aI , dengan a
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
A11I
A11 .
■
Sudah
dijelaskan
di depan
bahwa
M n ( R),.
membentuk
semigrup.
Sementara itu, dari himpunan M n ( R) dapat dibentuk suatu himpunan bagian, yaitu
himpunan semua matriks di M n ( R) yang mempunyai invers, atau invertibel.
Selanjutnya
himpunan
tersebut
A M n ( R) A invertibel .
Gn ( R)
M n ( R),. .
dinotasikan
dengan
Gn ( R) ,
sehingga
Himpunan ini merupakan subsemigrup dari
Teorema berikut menjamin bahwa himpunan semua matriks – matriks
yang invertible dengan determinannya
1 bukanlah suatu semigrup admit struktur
ring.
Teorema 2.1. ( Yupaporn & Siripitukdet: 411 ) Misalkan R adalah daerah integral
dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. Jika S subsemigrup dari Gn ( R)
yang memuat semua matriks A Gn ( R) dengan det A
1 , maka S bukan semigrup
admit struktur ring.
Bukti:
Diketahui
:
R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua.
S subsemigrup dari Gn ( R) yang memuat semua matriks
det A
A Gn ( R) dengan
1
Dibuktikan
: S bukan semigrup admit struktur ring
Pembuktian
: Misalkan terdapat operasi biner
S 0 , ,.
5
pada S 0 sedemikian sehingga
membentuk suatu ring. Jelas bahwa det I 1, sehingga I
S dengan
I adalah matriks identitas dengan ukuran n n atas daerah integral
R . Sehingga terdapat matriks A S sedemikian sehingga dipenuhi
I
A 0 , dan untuk setiap B S berlaku:
AB ( I
B
A) B 0
B( I
A)
B
BA
Hal ini berakibat AB BA untuk setiap B S . Dengan menggunakan
Lemma 2.1, maka dipenuhi A aI untuk suatu a R . Dengan
demikian dipenuhi juga I
aI
0.
M n ( R) , dengan entri-entrinya didefinisikan
Selanjutnya dibentuk C
sebagai berikut:
1
1
1
0
Cij
, jika
, jika
, jika
, untuk
i 1, j
2
i 2, j 1
i j 3
yang lain
yaitu:
0
1
0
0
C
Jelas
bahwa
Diketahui bahwa I
aI
0
0
1
0
aI , C 2
I, C
C
1
0
0
0
0 dan C
0
0
0
1
1,
sehingga
C
S.
aI , sehingga dipenuhi I
C
0.
I , det C
Diketahui bahwa S subsemigrup dari Gn ( R) , sehingga:
C (I
Dipenuhi pula
dipenuhi C
I
C
C)
C
C2
C
I
I
C
0 , sehingga persamaan tersebut hanya
I . Hal ini kontradiksi dari yang dibentuk., yaitu C
Akibatnya S bukan semigrup admit struktur ring
■
6
I.
Akibat dari Teorema 2.1 menyatakan bahwa grup Gn ( R) dan suatu subgrup
Gn ( R) , yaitu himpunan matriks di Gn ( R) yang determinannya adalah
1 bukan
merupakan semigrup admit struktur ring. Selengkapnya diberikan sebagai berikut:
Akibat 2.1. Jika R adalah daerah integral dengan karakteristik tidak sama dengan
dua, maka Gn ( R) dan subgrup Gn ( R) , yaitu himpunan matriks di Gn ( R) yang
determinannya adalah
1 bukan merupakan semigrup admit struktur ring.
Bukti:
Diketahui
: R daerah integral dengan karakteristik tidak sama dengan dua,
Gn ( R) suatu grup
U
A Gn ( R) det A
1
Dibuktikan
: Gn ( R) dan A Gn ( R) det A
Pembuktian
:
Diketahui
Gn ( R)
1 bukan semigrup admit stuktur ring
suatu
grup,
maka
dengan
sendirinya
merupakan semigrup, yang sekaligus merupakan subsemigrup
trivialnya.
U
Diketahui
pula
Gn ( R)
memuat
1 . Sehingga menurut Teorema 2.1
A Gn ( R) det A
berakibat Gn ( R) bukan merupakan semigrup admit struktur ring.
Diketahui
U
A Gn ( R) det A
1
suatu
subgrup,
maka
dengan sendirinya merupakan subsemigrup. Jelas bahwa U
memuat semua matriks dengan determinannya
menurut Teorema 2.1 berakibat
U
1 . Sehingga
A Gn ( R) det A
1
bukan merupakan semigrup admit struktur ring.
■
7
DAFTAR PUSTAKA
[1] Adkins & Weintraub. 1992. Algebra: An Approach via Module Theory. SpringerVerlag, New York.
[2] Brown, W.C. 1993. Matrices Over Commutative Rings. Marcel Dekker, Inc, New
York.
[2] Kemprasit, Y and Siripitukdet, M. 2002. Matrix Semigroup Admitting Ring
Structure. Bulletin Calcutta Mathematics Soc. Volume 5 (2002) 409 - 412
8
‘Admitting’ Struktur Ring1
Karyati
Jurusan Pendidikan Matematika
FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta
Email: yatiuny@yahoo.com
Abstrak
n
Diberikan R adalah daerah integral dan n adalah integer positif dengan
2 , serta M n R adalah himpunan semua matriks bujur sangkar dengan orde n n
atas R . Dibentuk suatu himpunan bagian dari M n R yaitu himpunan matriks di
M n R yang invertibel yang selanjutnya dinotasikan dengan Gn R . Himpunan
M n R ini membentuk semigrup terhadap operasi perkalian matriks biasa, Gn R
0
membentuk subsemigrup. Untuk suatu semigrup S , S
elemen nol dan S
0
S
S jika semigrup S memuat
0 jika semigrup S tidak memuat elemen nol. Suatu
0
semigrup S dikatakan admit struktur ring jika terdapat suatu operasi + pada S
0
sedemikian sehingga S , ,. membentuk struktur ring.
Dalam tulisan ini diselidiki sifat subsemigrup Gn R , juga subsemigrup dari
M n R , yaitu semua matriks yang determinannya 1 .
Diperoleh hasil bahwa: baik Gn R maupun subsemigrup dari Gn R
himpunan semua matriks yang determinannya 1 bukan merupakan semigrup
struktur ring. Hal ini sebagai suatu akibat bahwa subsemigrup dari Gn R
memuat semua matriks yang determinannya 1 bukan merupakan semigrup
struktur ring.
yaitu
admit
yang
admit
Kata Kunci: Daerah integral, Semigrup, Semigrup, admit struktur ring
1. Pendahuluan
Dalam penelitian oleh Yupaporn Kemprasit & Manoj Siripitukdet, telah
diteliti tentang sifat-sifat suatu semigrup matriks atas ring dengan elemen satuan
yang merupakan semigrup admit struktur ring. Daerah integral merupakan ring
dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol sejati ( Adkins : 50 ).
Dengan demikian, daerah integral merupakan ring.
1
Disampaikan pada Seminar Nasional Jurusan Matematika, FMIPA, UNS, Surakarta 7 Mei 2005
1
Diberikan R adalah daerah integral dan n adalah integer positif dengan
n 2 , serta M n R adalah himpunan semua matriks bujur sangkar dengan orde
n n atas R . Dibentuk suatu himpunan bagian dari M n R
yaitu himpunan
matriks di M n R yang invertible, selanjutnya dinotasikan dengan Gn R , yaitu:
Gn R
A Mn R
A invertibel
Himpunan ini merupakan semigrup dari M n R .
Dari sifat matriks M n R diperoleh bahwa matriks A
M n R invertibel
jika dan hanya jika det A U ( R) , dengan U ( R) adalah himpunan semua unit di
R . Dengan kata lain A M n R invertibel jika dan hanya jika det A invertible di
R (Brown : 16 ). Dengan demikian, himpunan Gn R
A M n R det A invertibel di R .
sebagai: Gn R
A M n R det A
himpunan Gn R
1
Gn R ,
dan
jika
R
dapat dinyatakan
Selanjutnya
merupakan
himpunan
lapangan,
maka
A M n R det A 0 . Sifat determinan yang lain , antara lain:
det( AB) det A. det B untuk setiap A, B
Mn R
dan det A
1
(det A)
1
untuk
setiap A M n R ( Brown :16 ).
Untuk suatu semigrup S , S 0
dan S 0
S
S jika semigrup S memuat elemen nol
0 jika semigrup S tidak memuat elemen nol. Suatu semigrup S
dikatakan admit struktur ring jika terdapat suatu operasi + pada S 0 sedemikian
sehingga S 0 , ,. membentuk struktur ring ( Kemprasit & Siripitukdet : 409 ). Dari
definisi tersebut, maka semigrup M n R merupakan admit struktur ring terhadap
operasi standar penjumlahan matriks.
Dalam tulisan ini diselidiki sifat subsemigrup
Gn R maupun himpunan
bagian dari Gn R , yaitu himpunan semua matriks yang determinannya
1.
2. Pembahasan
Lemma berikut menyatakan salah satu sifat semigrup M n ( R),. , dengan R
adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua, yang akan
berguna untuk pembuktian pada teorema selanjutnya:
2
Lemma 2.1. ( Yupaporn & Siripitukdet: 410 ). Misalkan R adalah daerah integral
dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. Jika
sehingga AB BA untuk setiap B M n ( R) dengan det B
A M n ( R) sedemikian
1 , maka A aI untuk
suatu a R dengan I adalah matriks identitas n n atas R .
Bukti:
Diketahui
:
Himpunan R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua.
Matriks A M n ( R) , AB BA untuk setiap B M n ( R) dengan det B
Dibuktikan
:
A aI untuk suatu a
Pembuktian
1
R dimana I adalah matriks identitas n n atas R .
:
Untuk membuktikan lemma ini, maka untuk setiap k 1,2,..., n
dibentuk
suatu
C (k )
matriks
M n ( R) ,
dengan
entri-entrinya
didefinisikan sebagai berikut:
1 jika i j k
1, , jika i j k
0, untukyanglain
Cij(k )
1 0 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
Sehingga diperoleh C (1)
dan C ( n )
1 0 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
0
0
.
...
1
3
0
0
, C ( 2)
...
1
1 0 ...
0
1 ...
.... .... ...
0 0 ...
0
0
...
1
Dengan demikian diperoleh: det C ( k )
Menurut yang diketahui, dipenuhi:
1 untuk setiap k 1,2,..., n .
AC ( k )
C ( k ) A untuk setiap
k 1,2,..., n . Selanjutnya, jika i, j 1,2,..., n dan i
AC ( j ) ij
n
k 1
AikCkj( j )
k 1
Aij , atau 2 Aij
Sehingga diperoleh Aij
Aij
n
Aij dan C ( j ) A ij
j diperoleh:
( j)
Cik
Akj
Aij
0 . Dengan mengingat
R dan R adalah daerah integral dengan karakteristik tidak
sama dengan dua, maka persamaan tersebut hanya dipenuhi untuk
Aij
0 untuk setiap i, j 1,2,..., n dan i
Selanjutnya, untuk setiap
D (k )
dibentuk
k 1,2,..., n
suatu matriks
M n ( R) dengan entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut:
1 jika
i j
1 jika i 1, j k
0 untuk ya ng la in
Dij( k )
1 0 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
Sehingga
1
0
...
0
D (1)
Sehingga:
D (n)
j.
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
,
...
1
D ( 2)
1 1 ...
0 1 ...
.... .... ...
0 0 ...
1
0
.
...
1
det D ( k )
1
untuk setiap
diketahui, maka dipenuhi: AD (k )
k 1,2,..., n . Menurut yang
D (k ) A untuk setiap k 1,2,..., n ,
dan diperoleh juga:
AD (i ) ii
n
k 1
Aik Dki(i )
dan D (i ) A ii
Aii
Sehingga diperoleh A11
Dari kondisi Aij
0
0
,…
...
1
A22
0 untuk i
4
...
n
k 1
(i )
Dik
Aki
Aii
Ann .
j dan A11
A22
...
Ann , maka :
A11
A
0
...
0
0
A11
...
0
... 0
... 0
... ...
... A11
1
0
A11
...
0
Sehingga A aI , dengan a
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
A11I
A11 .
■
Sudah
dijelaskan
di depan
bahwa
M n ( R),.
membentuk
semigrup.
Sementara itu, dari himpunan M n ( R) dapat dibentuk suatu himpunan bagian, yaitu
himpunan semua matriks di M n ( R) yang mempunyai invers, atau invertibel.
Selanjutnya
himpunan
tersebut
A M n ( R) A invertibel .
Gn ( R)
M n ( R),. .
dinotasikan
dengan
Gn ( R) ,
sehingga
Himpunan ini merupakan subsemigrup dari
Teorema berikut menjamin bahwa himpunan semua matriks – matriks
yang invertible dengan determinannya
1 bukanlah suatu semigrup admit struktur
ring.
Teorema 2.1. ( Yupaporn & Siripitukdet: 411 ) Misalkan R adalah daerah integral
dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. Jika S subsemigrup dari Gn ( R)
yang memuat semua matriks A Gn ( R) dengan det A
1 , maka S bukan semigrup
admit struktur ring.
Bukti:
Diketahui
:
R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua.
S subsemigrup dari Gn ( R) yang memuat semua matriks
det A
A Gn ( R) dengan
1
Dibuktikan
: S bukan semigrup admit struktur ring
Pembuktian
: Misalkan terdapat operasi biner
S 0 , ,.
5
pada S 0 sedemikian sehingga
membentuk suatu ring. Jelas bahwa det I 1, sehingga I
S dengan
I adalah matriks identitas dengan ukuran n n atas daerah integral
R . Sehingga terdapat matriks A S sedemikian sehingga dipenuhi
I
A 0 , dan untuk setiap B S berlaku:
AB ( I
B
A) B 0
B( I
A)
B
BA
Hal ini berakibat AB BA untuk setiap B S . Dengan menggunakan
Lemma 2.1, maka dipenuhi A aI untuk suatu a R . Dengan
demikian dipenuhi juga I
aI
0.
M n ( R) , dengan entri-entrinya didefinisikan
Selanjutnya dibentuk C
sebagai berikut:
1
1
1
0
Cij
, jika
, jika
, jika
, untuk
i 1, j
2
i 2, j 1
i j 3
yang lain
yaitu:
0
1
0
0
C
Jelas
bahwa
Diketahui bahwa I
aI
0
0
1
0
aI , C 2
I, C
C
1
0
0
0
0 dan C
0
0
0
1
1,
sehingga
C
S.
aI , sehingga dipenuhi I
C
0.
I , det C
Diketahui bahwa S subsemigrup dari Gn ( R) , sehingga:
C (I
Dipenuhi pula
dipenuhi C
I
C
C)
C
C2
C
I
I
C
0 , sehingga persamaan tersebut hanya
I . Hal ini kontradiksi dari yang dibentuk., yaitu C
Akibatnya S bukan semigrup admit struktur ring
■
6
I.
Akibat dari Teorema 2.1 menyatakan bahwa grup Gn ( R) dan suatu subgrup
Gn ( R) , yaitu himpunan matriks di Gn ( R) yang determinannya adalah
1 bukan
merupakan semigrup admit struktur ring. Selengkapnya diberikan sebagai berikut:
Akibat 2.1. Jika R adalah daerah integral dengan karakteristik tidak sama dengan
dua, maka Gn ( R) dan subgrup Gn ( R) , yaitu himpunan matriks di Gn ( R) yang
determinannya adalah
1 bukan merupakan semigrup admit struktur ring.
Bukti:
Diketahui
: R daerah integral dengan karakteristik tidak sama dengan dua,
Gn ( R) suatu grup
U
A Gn ( R) det A
1
Dibuktikan
: Gn ( R) dan A Gn ( R) det A
Pembuktian
:
Diketahui
Gn ( R)
1 bukan semigrup admit stuktur ring
suatu
grup,
maka
dengan
sendirinya
merupakan semigrup, yang sekaligus merupakan subsemigrup
trivialnya.
U
Diketahui
pula
Gn ( R)
memuat
1 . Sehingga menurut Teorema 2.1
A Gn ( R) det A
berakibat Gn ( R) bukan merupakan semigrup admit struktur ring.
Diketahui
U
A Gn ( R) det A
1
suatu
subgrup,
maka
dengan sendirinya merupakan subsemigrup. Jelas bahwa U
memuat semua matriks dengan determinannya
menurut Teorema 2.1 berakibat
U
1 . Sehingga
A Gn ( R) det A
1
bukan merupakan semigrup admit struktur ring.
■
7
DAFTAR PUSTAKA
[1] Adkins & Weintraub. 1992. Algebra: An Approach via Module Theory. SpringerVerlag, New York.
[2] Brown, W.C. 1993. Matrices Over Commutative Rings. Marcel Dekker, Inc, New
York.
[2] Kemprasit, Y and Siripitukdet, M. 2002. Matrix Semigroup Admitting Ring
Structure. Bulletin Calcutta Mathematics Soc. Volume 5 (2002) 409 - 412
8