Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Per
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua
atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia
2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang.
Himpunan S tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang R
dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinatnya.
f (x, y ) jika (x, y ) di S
Definisikan, f (x, y ) =
0
jika (x, y ) di R-S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
f bisa diintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R
ZZ
ZZ
f (x, y )dA =
f (x, y )dA
S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
R
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
1. Himpunan Sederhana-y
Sebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunan
tersebut sederhana pada arah y , artinya bahwa sebuah garis
pada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titik
atau tidak sama sekali).
S = {(x, y ) : g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), a ≤ x ≤ b}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai x, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris
tegak lurus sb-x adalah
A(x) =
y =g
Z 2 (x)
f (x, y )dy
y =g1 (x)
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam
bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
V =
x=b
Z
A(x)dx =
x=a
x=b
Z
x=a
atau
ZZ
S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
f (x, y )dA =
y =g1 (x)
x=b
Z
x=a
y =g
Z 2 (x)
y =g
Z 2 (x)
y =g1 (x)
f (x, y )dy dx
f (x, y )dy dx
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
2. Himpunan Sederhana-x
Himpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsi h1 (y )
dan h2 (y ) pada selang [c, d] sedemikian rupa sehingga
S = {(x, y ) : h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y ), c ≤ y ≤ d}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai y , luas penampang yang diperoleh jika benda diiris
tegak lurus sb-y adalah
A(y ) =
x=h
Z 2 (y )
f (x, y )dx
x=h1 (y )
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam
bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
V =
yZ=d
A(y )dy =
y =c
yZ=d
y =c
atau
ZZ
S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
f (x, y )dA =
yZ=d
y =c
x=h
Z 2 (y )
x=h1 (y )
x=h
Z 2 (y )
x=h1 (y )
f (x, y )dx dy
f (x, y )dx dy
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Contoh:
Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume dari
tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang
3x + 6y + 4z − 12 = 0.
Penyelesaian:
Daerah segitiga pada bidang xy yang membentuk alas tetrahedron
dilambangkan dengan S. Kita akan menghitung volume benda
padat di bawah permukaan 3x + 6y + 4z − 12 = 0 atau
3
4 (4 − x − 2y ) dan di atas daerah S.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Bidang tersebut memotong bidang xy di garis x + 2y − 4 = 0,
suatu ruas yang merupakan bagian dari batas S. Karena
persamaan ini dapat ditulis sebagai y = 2 − x2 dan x = 4 − 2y ,
maka S dapat dipandang sebagai himpunan sederhana-y
x
S = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 − }
2
atau sebagai himpunan sederhana-x
S = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4 − 2y , 0 ≤ y ≤ 2}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Dengan memperlakukan bidang S sebagai himpunan sederhana-y
(hasilnya sama dengan cara yang lain), maka volume benda padat
tersebut adalah
x
V =
3
(4 − x − 2y )dA =
4
ZZ
S
=
Z4
0
3
=
16
Z4
0
0
(16 − 8x + x 2 )dx
x3
3
16x − 4x 2 +
=
16
3
Kalkulus Multivariabel I
0
2− x
3
4y − xy − y 2 0 2 dx
4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Z4 2−
Z 2
4
0
=4
3
(4 − x − 2y )dy dx
4
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Latihan
Latihan
1
Sketsalah benda padat berikut kemudian tentukan volumenya
dengan integral berulang.
a. Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan
bidang z = 6 − 2x − 3y
b. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh
bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x + y − 4 = 0
dan 8x + y − 4z = 0
c. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh silinder
y = x 2 dan bidang-bidang x = 0, z = 0, dan y + z = 1
2
sin(y 3 )dA, di mana S adalah daerah yang
S
√
dibatasi oleh y = x, y = 2, dan x = 0. Petunjuk: Jika suatu
urutan pengintegralan tidak berhasil, cobalah urutan lainnya.
Hitunglah
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
RR
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Pustaka
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan
Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of
Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc
Graw-Hill.
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus ,
Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved
Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua
atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia
2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang.
Himpunan S tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang R
dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinatnya.
f (x, y ) jika (x, y ) di S
Definisikan, f (x, y ) =
0
jika (x, y ) di R-S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
f bisa diintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R
ZZ
ZZ
f (x, y )dA =
f (x, y )dA
S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
R
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
1. Himpunan Sederhana-y
Sebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunan
tersebut sederhana pada arah y , artinya bahwa sebuah garis
pada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titik
atau tidak sama sekali).
S = {(x, y ) : g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), a ≤ x ≤ b}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai x, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris
tegak lurus sb-x adalah
A(x) =
y =g
Z 2 (x)
f (x, y )dy
y =g1 (x)
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam
bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
V =
x=b
Z
A(x)dx =
x=a
x=b
Z
x=a
atau
ZZ
S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
f (x, y )dA =
y =g1 (x)
x=b
Z
x=a
y =g
Z 2 (x)
y =g
Z 2 (x)
y =g1 (x)
f (x, y )dy dx
f (x, y )dy dx
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
2. Himpunan Sederhana-x
Himpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsi h1 (y )
dan h2 (y ) pada selang [c, d] sedemikian rupa sehingga
S = {(x, y ) : h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y ), c ≤ y ≤ d}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai y , luas penampang yang diperoleh jika benda diiris
tegak lurus sb-y adalah
A(y ) =
x=h
Z 2 (y )
f (x, y )dx
x=h1 (y )
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam
bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
V =
yZ=d
A(y )dy =
y =c
yZ=d
y =c
atau
ZZ
S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
f (x, y )dA =
yZ=d
y =c
x=h
Z 2 (y )
x=h1 (y )
x=h
Z 2 (y )
x=h1 (y )
f (x, y )dx dy
f (x, y )dx dy
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Contoh:
Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume dari
tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang
3x + 6y + 4z − 12 = 0.
Penyelesaian:
Daerah segitiga pada bidang xy yang membentuk alas tetrahedron
dilambangkan dengan S. Kita akan menghitung volume benda
padat di bawah permukaan 3x + 6y + 4z − 12 = 0 atau
3
4 (4 − x − 2y ) dan di atas daerah S.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Bidang tersebut memotong bidang xy di garis x + 2y − 4 = 0,
suatu ruas yang merupakan bagian dari batas S. Karena
persamaan ini dapat ditulis sebagai y = 2 − x2 dan x = 4 − 2y ,
maka S dapat dipandang sebagai himpunan sederhana-y
x
S = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 − }
2
atau sebagai himpunan sederhana-x
S = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4 − 2y , 0 ≤ y ≤ 2}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Dengan memperlakukan bidang S sebagai himpunan sederhana-y
(hasilnya sama dengan cara yang lain), maka volume benda padat
tersebut adalah
x
V =
3
(4 − x − 2y )dA =
4
ZZ
S
=
Z4
0
3
=
16
Z4
0
0
(16 − 8x + x 2 )dx
x3
3
16x − 4x 2 +
=
16
3
Kalkulus Multivariabel I
0
2− x
3
4y − xy − y 2 0 2 dx
4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Z4 2−
Z 2
4
0
=4
3
(4 − x − 2y )dy dx
4
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Latihan
Latihan
1
Sketsalah benda padat berikut kemudian tentukan volumenya
dengan integral berulang.
a. Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan
bidang z = 6 − 2x − 3y
b. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh
bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x + y − 4 = 0
dan 8x + y − 4z = 0
c. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh silinder
y = x 2 dan bidang-bidang x = 0, z = 0, dan y + z = 1
2
sin(y 3 )dA, di mana S adalah daerah yang
S
√
dibatasi oleh y = x, y = 2, dan x = 0. Petunjuk: Jika suatu
urutan pengintegralan tidak berhasil, cobalah urutan lainnya.
Hitunglah
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
RR
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Pustaka
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan
Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of
Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc
Graw-Hill.
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus ,
Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved
Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I