Sifat- sifat integral garis

  Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis Integral Garis [MA1124] KALKULUS II

  Integral Garis Integral Garis

  Definisi I nt egral garis I nt egral garis di bidang

Misalkan persam aan param et er kurva m ulus C ( di

bidang)

x= x( t ) , y= y( t ) ; a ≤ t ≤ b

b m aka

  • =
  • 2 2 C a f ( x , y ) dS f x ( t ), y ( t ) x ' ( t ) y ' ( t ) dt ( ) ( ) ( )

      ∫ ∫ I nt egral garis di ruang

    Misalkan persam aan param et er kurva m ulus C ( di

    ruang) x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) ; a

      ≤ t ≤ b m aka b 2 2 2 =

    • f ( x , y , z ) dS f x ( t ), y ( t ), z ( t ) x ' ( t ) y ' ( t ) z ' ( t ) dt

      ( ) ( ) ( ) ( ) C a ∫ ∫

    • sifat Sifat integral garis
    • sifat integral garis Sifat

      C B n

      C

      2 1.

      Jika C = C UC U … UC , m aka

      1 2 n C

      1 A

    • f ( x , y ) dS = f ( x , y ) dS f ( x , y ) dS ... f ( x , y ) dS C C C C ∫ ∫ ∫ ∫
    • 1 2 n 2.

        Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga

        C, m aka f ( x , y ) dS = − f ( x , y ) dS

        ∫ ∫ − C C Contoh Contoh 3 +

        3 x y dS

      1. Hit ung , C adalah kurva x= 3t ; y= t ; 0 ≤t≤1

        ( ) C

      2 Jawab. x’( t ) = 3; y’( t ) = 3t

        3 1 3 3

      2

      2 x y dS = 3 t t

        ( ) ( ) ( )

        ( ) C ∫ ∫ 1

        3 + + + 3 t dt

        28 t 1 3

        9

      9 t dt

      4

      • =
      • =
      • 3 4 84 t 1 t dt 3 /

        2

        1

          ∫

          1 ⎛ ⎞ 4 = ( )

        • 84

          1 t ⎜ ⎟ 6 ⎝ ⎠ 3 / 2

        1

          14 1 t = − 4

        • =

          14

          2

          2

          1 ( )

          ( ) ( ) Contoh Contoh

          2 x dS

          2. Hit ung ( ) , C adalah t erdiri dari busur parabola C

          2 y= x dari ( 0,0) ke ( 1,1) diikut i oleh ruas garis vert ikal dari ( 1,1) ke ( 1,2) . ( 1 ,2 ) Jawab.

          2 Unt uk C C : ( 0,0) Æ ( 1,1) , berupa busur y = x . 2 ( 1 ,1 )

          1 C 1 Persam aan param et er C :

          1

          2 m isalkan x = t Æ y = tt ≤1 x’( t ) = 1 y’( t ) = 2t

          Sehingga 1 2 1 2 2 x dS = = 2 t

          ( ) ( ) ∫

          1 + + 4 t dt 2 t

        1

        2 t dt

          ∫ C 1

        • =
        • 1 2<
        • =
        • 2 1 2<
        • t =

          5

          2

          2 2 1 = − = = t Jadi,

          ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫

          2

          2

          2 C C C dS x dS x dS x

          ( )

          2

          1

          5

          2 C dS x 2 )

          6

          1

          ( )

          11

          5

          5

          6

          1

          ( berupa ruas garis) Persam aan param et er C

          1 : m isalkan x = 1 Æ y = t

          1 2 (

          1 ( ) 2 dt2

          1 ≤ t ≤2 x’( t ) = 0 y’( t ) = 1 Latihan Latihan 2

          1

          Contoh Contoh

          ( (

          Lanjutan Lanjutan

          ) )

          Sehingga ( )

          ∫ 1

          2 C dS x

          4

          1 2 dt t t ( ) 1 2 / 3 2

          4

          3

          ∫

          2 .

          4

          1

          ( )

          1

          5

          5

          6

          1 − = Unt uk C

          2 : ( 1,1) Æ ( 1,2)

        • =
        • 2 1<
        • − =
        • =

        • 2 x y dS

          1. Hit ung ( ) , C adalah set engah bagian at as C

          2

          2 lingkaran lingkaran sat uan x + y = 1

        • sin x cos y dS

          ( )

          2. Hit ung , C adalah ruas garis dari ( 0,0) C ∫ ke ( π,2π)

          3 2 x 9 z dS

        • 2

          ( )

          3. Hit ung , C adalah kurva x= t ; y= t ; z= t ; C ∫ ≤t≤1

          Kerja Kerja r

        • =

          Misalkan F ( x , y ) M ( x , y ) iˆ N ( x , y ) jˆ adalah gaya yang bekerj a pada pada suat u t it ik ( x,y) di bidang

          F Q T r ( t )

          A B

        Akan dicari: Berapa kerj a ( W) yang dilakukan oleh gaya F unt uk

        m em indahkan sebuah part ikel m enyelusuri kurva C dari A ke B?

        r

        • =

          Misal r x iˆ y jˆ adalah vekt or posisi Q( x,y) r r d r = vekt or singgung sat uan di Q

          T ds r r r r d r d r dt r ' ( t ) T = = = r ds dt ds r ' ( t )

          Kerja (2) Kerja (2) r r r r

          Maka = θ adalah kom ponen singgung F di Q F . T F T cos

          Kerj a yang dilakukan oleh F unt uk m em indahkan part ikel sej auh ∆s adalah r r ∆ W = F . T ∆ s

          Kerj a yang dilakukan oleh gaya F unt uk m em indahkan

          part ikel dari A ke B adalah

        r

        r r r r r d r dt

          W = F . T ds = F . ds = F . d r ∫ ∫ ∫ C C C dt ds r r d r dx dy

        • = + diket ahui iˆ jˆ ⇒ d r = dx iˆ dy jˆ dt dt dt
        • Jadi, didapat W = M ( x , y ) iˆ N ( x , y ) jˆ . dx iˆ dy jˆ

          ( )( ) C ∫ = + M ( x , y ) dx N ( x , y ) dy C ∫ Kerja Kerja

          (3) (3)

          Dengan cara yang sam a unt uk gaya yang bekerj a pada suat u t it ik di ruang, m aka P k z y x j z y x N i z y x M z y x F

          ˆ ) , , ( ˆ ) , , (

          ˆ ) , , ( ) , , (

        • = r
        • = C

          ∫

          P dz z y x dy z y x N dx z y x M W ) , , ( ) , , ( ) , , ( Contoh Contoh

        1. Tent ukan kerj a yang dilakukan oleh m edan gaya

          r

          3

          2 ˆ ˆ = − dalam m em indahkan part ikel

        • 3

          F ( x , y ) ( x y ) i xy j

          

        2

          3 sepanj ang kurva C : x = t , y= t , - 1 ≤t≤ 0 Jawab. Kerj a yang dilakukan m edan gaya F adalah

          ; dx = 2t dt , dy= 3t dt W = M dx N dy C

        • 2

          = − 3 2 ( ) C2 3 3 3 2 3 2 2

        • 3

          x y dx xy dy t t 2 t dt t t 3 t dt = − 1

          ( ) ( ) ( ) ) (

          ∫

          1 8

          1 11 t t

          = −

        • 2 t t dt 2 t

          2 t

        3 t dt = −

        = − 7 10 10 7 10 ( ) ( )

          ∫ ∫

          4

          11 11

          − 1

          1 1 −

          7 ⎞ = − ⎛ − = ⎜ ⎟

          4

          11

          44 ⎝ ⎠ Contoh Contoh 2

        • ydx x dy

          dengan kurva C : x = 2t ,

        2. Hit ung int egral garis

          ∫ C

          2 y= t - 1 , 0 ≤t≤ 2 Jawab. Kerj a yang dilakukan adalah 2

          ; dx = 2 dt , dy= 2t dt W = y dx x + dy C2 t

        • 16

          ( ) ∫ 2 2

          1 2 dt 2 t 2 t dt = − 2 2 ( )

          

        2

        = − +

          32 = 2

          2 8 t dt t 2 t 2 t 4 3 = − 3 ( )

        • 4
        • 2 t

          ∫

          3

          

        3

        16 100 = + =

          28

          3

          3

        • C
        • 2 dy x ydx

            dengan

            b. C = C

            2

            1 U C

            a. C = C

            sepanj ang

            F jˆ xy iˆ xy 2 2 + = r

            . r d F r r

            Latihan Latihan

            3. Hit ung ∫ C

            dengan kurva C adalah ruas garis dari ( 1,1) ke ( 3,- 1)

            2. Hit ung int egral garis ∫

            − + + − = r dalam m em indahkan part ikel sepanj ang C, dim ana C adalah ruas garis dari ( 0,0,0) ke ( 1,1,1)

            2 ˆ ) ) 2 ( , , (

            ˆ ) ( ˆ

            1. Tent ukan kerj a yang dilakukan oleh m edan gaya F k z y j z i y x z y x

            3 C 1 C 2 C 3 ( 0,2) ( 3,2) ( 3,5) x y

            Integral Garis Bebas Lintasan Integral Garis Bebas Lintasan

            PEN D AH ULUAN

            r r r

            Hit ung F y iˆ x jˆ

            F . d r dengan = + at as lint asan

            ∫ C

            a. C garis y = x dari ( 0,0) ke ( 1,1)

            2

            b. C garis y = x dari ( 0,0) ke ( 1,1)

            3

            c. C garis y = x dari ( 0,0) ke ( 1,1) TEOREM A A: D ASAR I N TEGRAL GARI S r = +

            Misalkan F ( x , y ) M ( x , y ) iˆ N ( x , y ) jˆ dengan C adalah kurva m ulus

          sepot ong- pot ong dengan t it ik pangkal ( x ,y ) dan t it ik uj ung

          ( x ,y ) .

            1

            1

            r r

            Jika F ( x , y ) = ∇ f ( x , y ) m aka

            r r F . d r = f ( x , y ) − f ( x , y ) 1 1

            ∫ C

          • = ∇ r

            . 1 ( f r d F C = − = − =

            dengan fungsi pot ensial f = xy Masalah: Bagaim ana m enget ahui bahwa F konservat if? ( F( x,y) = gradien dari suat u fungsi f) .

            ∂

            jˆ y f iˆ x f f ∂

            F f jˆ x iˆ y ∇ = + = r r

            dengan C kurva dari ( 0,0) ke ( 1,1)

            r r F jˆ x iˆ y + = r

            ∫

            1 . 1 . , 1 ) ( f ) 1 ,

            Integral Integral

            Cont oh: m aka

            m aka F r

            r r

            F r Jika ) y , x ( f ) y , x ( F ∇ =

            Lintasan(2) Lintasan(2) disebut ga ya k on se r va t if dan f disebut fu n gsi pot e n sia l dari

            

          Bebas

          Bebas

            Garis Garis

            Bagaim ana m em peroleh f( x,y) j ika F( x,y) konservat if?

            ∂ ∂

            ∂ ∂

            P kˆ jˆ N iˆ M F + + = r

            m aka

            F r

            konservat if j ika dan hanya j ika F at au j ika dan hanya j ika rot F Curl = =

            r r x

            P z M

            , z N y

            P , y

            M x N

            ∂ ∂

            = ∂

            ∂ =

            ∇ = =

            ∂ ∂

            ∂ ∂

            = ∂

            ∂

            Khusus j ika jˆ N iˆ M F + =

            r

            m aka F

            r

            konservat if j ika dan hanya j ika

            y M x

            N ∂

            ∂ =

            TEOREMA B Misalkan

            = F x F rot F Curl r r r r

            Integral Integral

            ∂

            Garis Garis

            Bebas Bebas

            Lintasan(3) Lintasan(3)

            m aka

            P kˆ jˆ N iˆ M F + + = r

            DEFI NI SI : Misal

            ∂ =

            − ∂

            N jˆ x P z

            M iˆ z

            ∂

            N y P

          • ⎟⎟ ⎠ ⎞
          • ⎟ ⎠ ⎞

            ⎜ ⎝ ⎛

            ∂ ∂

            − ∂

            ∂ ∂

            ⎜⎜ ⎝ ⎛

            ⎟⎟ ⎠ ⎞

            − ∂

            ⎜⎜ ⎝ ⎛

            ∂ ∂

            kˆ y M x

            P N M z y x kˆ jˆ iˆ

            ∂ ∂

            ∂ ∂

            ∂ ∂

          1. Diket ahui

            2 2 2 3 + + = r

            ∂ ∂

            = ∂

            ∂

            F

            r

            Konservat if Jadi ( ii)

            ( ) F j y x i xy

            ˆ

            3

            1 ˆ

            f j y f i x f

            2 y

            ∇ = ∂

            ∂

            ∂ = r

            ˆ ˆ 3 2 y x

            x f

            = ∂

            ∂ 2 2

            3 1 y x

            y f

            ∂

            ……. ( 1) ……. ( 2)

            2 x N y M

            N= 1+ 3x

            Contoh Contoh

            r

            : :

            a. Tunj ukkan bahwa F konservat if, dan t ent ukan f

            b. Hit ung ( )

            F j y x i xy

            ˆ

            3

            1 ˆ

            2 2 2 3 + + = r . r d F C r r

            ∫ dengan C sebarang kurva dari ( 1,4) ke ( 3,1)

            F Jawab.

            Konservat if ⇔ x N

          y

          M

            3 ⇒

            ∂ ∂

            = ∂

            ∂

            a. ( i)

            2

            6 y x

            x

          N =

            ∂ ∂ 2 6 xy

            y

          M =

            ∂ ∂

            ⇒ M= 2xy

          • = ∂

            3 2 2 C y y x

          • = ∂

            C y y C + = ) ( Jadi fungsi pot ensialnya adalah C y y x y x f + + = 3 2

            ∂ ( 1 ) ' = y C

            y f

            3 C y x y y x

            3 ( 1 ) '

            ……. ( 4) Dari ( 2) dan ( 4) , diperoleh 2 2 2 2

            ∂

            y f

            ) ( '

            ……. ( 3) Turunkan ( 3) t erhadap y, diperoleh

            ) ( ) , ( 3 2 C y y x y x f + =

            = 3 , 2 ) (

            ∫

            I nt egralkan ( 1) t erhadap x, diperoleh dx y x y x f

            ) )

            Lanjutan Lanjutan

            ( (

            Contoh Contoh

          • = + = ∂

            ) , (

          • ) 1 , 3 ( ) 4 , 1 (
          • 2 2 3

              ) 4 , ) 1 ( 1 ,

              58

              ) , ( ,

              C y y x y x f + + = 3 2

              3 3 2 3 2 + − + =

              1 1 .

              1

              4 4 .

              ( ) ( )

              = 3 ( f f

              dy y x dx y x b.

              Contoh Contoh

              2

              1

              3

              ( ) ∫

              r r .

              ∫ C F r d

              =

              ) )

              Lanjutan Lanjutan

              ( (

              68 = 10 − = −

              Contoh Contoh

              F k xy j y e xz i yz y e z y x x x ˆ ˆ sin

              ˆ ) cos , , (

            • − + + = r

            2. Diket ahui

              b. Hit ung ( ) ( )

              z N y P

              P= xy Sehingga diperoleh, bahwa x y

              P =

              ∂ ∂

              y x P =

              ∂ ∂

              z M x P

              ∂ ∂

              = ∂ ∂

              ,

              ∂ ∂

              ∂ ∂

              = ∂ ∂

              ,

              z M x P

              ∂ ∂

              = ∂ ∂

              ,

              z N y P

              ∂ ∂

              = ∂ ∂

              ,

              ⇒ Konservat if Jadi

              y z M =

              a. Tunj ukkan bahwa F konservat if, dan t ent ukan f

              a. ( i) M= e x cosy+ yz

              F r d C r r

              .

              ∫ dengan C sebarang kurva dari ( 0,0,0) ke ( 1,0,1) Jawab.

              F

              r

              Konservat if ⇔ x N

            y

            M

              ∂ ∂

              = ∂

              ∂

            • − = ∂
            • − = ∂

              N

            x

              N= xz – e x siny z y e x

              ∂ ∂

              ∂ sin

              z y e y M

            x

              ∂ sin

              ⇒ ⇒ x N y M

              ∂ ∂

              = ∂

              ∂

              F

              x z N =

              r

            • − + + = r

            • = ∂
            • = cos ) , , (
            • =
            • − = ∂

              ∂

              y f y x

              ) , ( sin z y C xz y e

              ……. ( 4) Turunkan ( 4) t erhadap y, diperoleh

              C z y xyz y e z y x f x

              ) , ( cos ) , , (

              ∫

              ……. ( 3) I nt egralkan ( 1) t erhadap x, diperoleh ( ) dx yz y e z y x f x

              ∂ ∂

              ……. ( 1) ……. ( 2) y x z f =

              ∂

              − sin = ∂

              y e xz y f x

              yz y e x f x

              ∂ cos

              ˆ ˆ ˆ

              ∂ = r

              ∂

              ∂

              ∇ = ∂

              f k y f j y f i x f

              ˆ cos

              ˆ ˆ sin

              F k xy j y e xz i yz y e x x

              ( ii) ( ) ( )

              ) )

              ( ( lanjutan lanjutan

              Contoh Contoh

              ……. ( 5)

            • =
            • = ∂ ∂
            Contoh ( Lanjutan ) Contoh ( Lanjutan )

              C z xyz y e z y x f x

              ) ( ' = z C

              ∂ ) ( '

              = + = ∂

              ……. ( 8) Dari ( 3) dan ( 8) , diperoleh C xy z xy y f

              z f

              ) ( ' z C xy

              ……. ( 7) Masukan ( 6) ke ( 4) , diperoleh Turunkan ( 7) t erhadap z, diperoleh

              ) ( cos ) , , (

              Contoh Contoh

              ……. ( 6)

              ) , ( = z y C y ) ( ) , ( z C z y C =

              ∂ ∂

              ) sin , ( sin − = + + − =

              Dari ( 2) dan ( 5) , diperoleh C y e xz z y xz y e y f x y x

              ) )

              Lanjutan Lanjutan

              ( (

              C z C = ) ( ……. ( 9)

              Masukan ( 9) ke ( 7) , diperoleh x f ( x , y , z ) = e cos y xyz C

              Jadi fungsi pot ensialnya adalah x ( 1 , , 1 ) f ( x , y , z ) = e cos y xyz C

            • r r x
            • x b. C ( , , )

                F . d r = e cos y yz dx xze sin y dy xy dz

              • , f ( x , y , z ) = e cos y xyz C
              • = f (
              • x

                ( ) ( ) ∫ ∫

                1 , , 1 ) − f ( , , ) =

                e cos 1 1 . . 1 e cos − ( ) ( )

                = e

                1 Penyataan Penyataan berikut berikut ekivalen ekivalen

                1. f F

                ∇ = r r

                unt uk suat u f ( F konservat if) 2.

                . r d F C r r

                ∫ bebas lint asan 3.

                . r d F C =

                ∫

                r r

                Sudah Jelas??? Latihan Latihan

                r r F = ∇ f

                Tent ukan apakah F konservat if? Jika ya, t ent ukan f ( )

                r r y x y x F = 2 e − ye iˆ 2 xe − e jˆ 4.

              • F =

                ( ) ( )

                ( ) ( )

                10 x − 7 y iˆ − 7 x − 2 y jˆ 1.

                r r 2 2 2 2 2 F 2 xy z iˆ x jˆ 2 xz cos z kˆ

                5. = π π

                ( ) ( )

                ( ) ( )

                12 x 3 y 5 y iˆ 6 xy − 3 y + = + + + F 5 x jˆ 2.

                r F = 4 y cos( xy ) iˆ 2 2 + 8 x cos( xy ) jˆ 2 3.

                ( ) ( ) Hit ung int egral garis berikut : ( 3 , 1 ) 2 2 ( π , π , )

                9. ( ) ( ) ( )

                ( ) ( ) 6.

                cos x 2 yz dx sin y 2 xz dy z + + + + + 2 xy dz

                2 xy dx x + + + y 2 xy dy

                ∫ ( − ( 1 , )1 , π 2 2 ) x x ( , , ) ( 1 ,

              1 ,

              4 ) − x y 10. yz − e dx xz e dy xy dz

                ( ) ( ) ( ) 7.

                e sin y dx e cos y dy

              • 3
              • 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 x − 6 yz dx 2 y 3 xz dy + + + 1 − 4 xyz dz

                11.

                  ( ) ( ) ( 1 , 1 , 1 ) ( , )

                ( , , )

                2 2

                  ∫

                  6 xy 2 z dx 9 x y dy 4 xz + + + + 1 dz

                  8. ( ) ( ) ( ) C ( , , )C a da la h r u a s ga r is da r i ( 0 ,0 ,0 ) k e ( 1 ,1 ,1 )

                  M dx

                  b, g(x) ≤ y

                  M

                dydx

                y ) y , x ( M

                  ∂ − = ) x ( f b a ) x ( f ) x ( g b a ) x ( g C dA y

                  ⎢ ⎣ ⎡ ∂

                  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

                  ∂ ∂ − = ⎥

                  )) dx x ( g , x ( M dx )) x ( f , x ( M dx )) x ( f , x ( M dx )) x ( g , x ( M dx M ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

                  − − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C a b a b a

                a

                b

                b

                  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

                  ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

                  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

                  S C 1 C 4 C 3 C 2 y=g(x) y=f(x) a b

                  ≤ f (x)} x y

                  ≤

                  Teorema Teorema

                  4 S = {(x, y)| a ≤ x

                  3 U C

                  2 U C

                  1 U C

                  C = C

                  M x N N dy dx M

                  − ∂ ∂ = + S C dA y

                  ⎝ ⎛ ∂ ∂

                  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

                  Perhat ikan ∫∫ ∫

                  Misalkan C kurva m ulus sepot ong- pot ong, t e r t u t u p t e r t u t u p se de r h a n a se de r h a n a yang m em bent uk bat as dari suat u daerah di bidang XOY. Jika M( x,y) dan N( x,y) kont inu dan

                m em punyai t urunan kont inu pada S dan bat asnya C

                m aka Bukt i.

                  Bidang Bidang

                  Green Green di di

                • =
                • 4 C 3 C 2 C 1 C C M dx dx M dx M dx M dx M Teorema Teorema

                    Green Green di di

                    Bidang Bidang

                    Sam a halnya dengan m em perlakukan S sebagai him punan x sederhana, kit a peroleh Sehingga diperoleh

                    ∫∫ ∫

                    ∂ ∂

                    = S C dA x N

                    N dy

                  • = ⎟⎟ ⎠ ⎞

                    ∫ ∫∫

                    ⎜⎜ ⎝ ⎛

                    ∂ ∂

                    − ∂

                    ∂ C S N dy dx M dA y

                    M x N Contoh Contoh 2 C

                    y dx 4 xydy

                  • 2

                    dengan C adalah kurva t ert ut up yang t erdiri Hit ung ∫

                    dari busur parabola y = x dari t it ik asal ke t it ik( 2,4) dan segm en garis ( 2,4) ke t it ik ( 0,0) Jawab.

                    

                  Akan kit a coba m engerj akan dengan dua cara, yait u dengan

                  I nt egral garis biasa dan t eorem a Green

                  1. I nt egral garis

                    2 Unt uk C : ( 0,0) Æ ( 2,4) , berupa busur y = x .

                  1 Persam aan param et er C :

                    1

                    2 ( 2 ,4 ) m isalkan x = t Æ y = tt ≤2 y’( t ) = 2t x’( t ) = 1

                    C 2 C ( 0 ,0 ) 1 Sehingga 2 2 2 y dx 2 4 xy dy = t dt

                  2

                  4 . t . t . 2 2 t dt = t 4 + +

                  • 8 t dt
                  • 4 ( ) ( ) C ∫ ∫ 1

                      ∫ Contoh ( Lanjutan ) Contoh ( Lanjutan ) 2 2

                      288 4

                      9 5 = = 9 t dt = t

                      ∫

                      5

                    5 Unt uk C

                      2 : ( 2,4) Æ ( 0,0) ( berupa ruas garis) Persam aan param et er C : m isalkan

                      2 ( x,y) = ( 2 , 4) + t ( 0,0) - ( 2,4) x = 2 – 2t , y = 4 – 4t , y’( t ) = - 4 x’( t ) = - 2

                      ≤ t ≤1 ⇒

                      Sehingga 1

                    • y dx

                      4 xy dy 2

                      = 4 − 4 t − 2 dt

                    • 2

                      4 2 − 2 t 4 − 4 t − 4 dt ( ) ( ) ( )( )( )

                      ∫ C 21 2 = − 160 320 t 160 t dt − +

                      

                    ( ) ∫ Contoh ( lanjutan ) 2 Contoh ( lanjutan ) 1 2 ( )

                    • +

                      y dx 4 xy dy C 2 = − − 1 160 320 t 160 t dt ⎛ 320 160 ⎞ = − 160 tt t

                    2

                    3

                      ∫ ∫

                      ⎟

                      2

                      3 ⎝ ⎠ 160

                      = −

                    3 Jadi,

                      2 2 2 y dx 4 xy dy = y dx 4 xy dy y dx + + + + 4 xy dy C C C ∫ ∫ ∫ 1 2

                      

                    160

                    = 288 −

                      5

                      

                    3

                      64 =

                      15 Contoh Contoh

                      ( (

                      − =

                    2

                    2 2

                      32 = − = y= x ( 0 ,0 ) 2 y= 2 x ( 2 ,4 ) x y S S

                      3

                      32

                      5

                      64

                      15

                      4 − x x =

                      

                    3

                      1

                      5

                      ∫ − = 2 4 2 4 dx x x 2 5 3

                      

                    =

                    2

                    2 2 2 dx y x x

                      4 x x dx dy y y Dengan:

                      2

                      ( ) ∫ ∫

                      Lanjutan Lanjutan

                      2 = ∂

                      ) ) 2. Teorem a Green.

                      M= y

                      2 N= 4 yx y x N

                      4 = ∂

                      ∂

                      y y M

                      ∂

                      2 ≤ y ≤ 2x}

                      ⇒ ⇒ ∫∫ ∫

                      ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

                      ⎝ ⎛ ∂ ∂

                      − ∂ ∂ = + S C dA y

                      M x N dy xy dx y

                      4 2 S= { ( x,y) | 0 ≤ x ≤ 2, x

                      2 4

                    • y

                    • C
                    • 2 dy y dx xy

                        2

                        dengan C ellips 9x

                        ) 2 ( dx y x ( 4 x

                        5. Hit ung ∫

                        dengan C persegipanj ang yg t it ik t it ik sudut nya ( 2,1) , ( 6,1) , ( 6,4) dan ( 2,4)

                        4. Hit ung ∫

                        dengan C segit iga yg t it ik- t it ik sudut nya ( 0,0) , ( 2,0) , dan ( 0,1)

                        ) dy y x ( dx xy

                        3. Hit ung ∫

                        2 ant ara ( 0,0) dan ( 4,2)

                        dengan C kurva t ert ut up yang t erbent uk oleh y = x/ 2 dan x = y

                        2

                        2. Hit ung ∫

                        2 = 4 dalam arah posit if.

                        2

                        dalam m enggerakkan suat u obyek m engit ari sat u kali x

                        ) jˆ x e ( iˆ ) y x (sin ) y , x ( F 2 y − + − = r

                        1. Tent ukan kerj a yang dilakukan oleh m edan gaya

                        Latihan Latihan

                      • C
                      • C 2 x
                      • 3 ) dy y sin x ( dx ) y
                      • C
                      • 2 2 ) dy y 3 x

                          2 = 144

                        • 16 y

                          Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Permukaan Integral Permukaan [MA1124] KALKULUS II

                          G i R R i

                          1 1 f f 1 cos

                          G b a c d

                          = γ r r r

                          ∇ ∇

                          = γ − + = ∇

                          ∆ + + = ∆

                          R 2 y

                        G

                        2 x i 2 y 2 x i 2 y 2 x i 2 y 2 x 2 y 2 x i y x i ∫∫ ∫∫

                          . kˆ F cos

                          F kˆ jˆ f iˆ f dengan , F kˆ

                        • = γ
                        • =
                        •   R S 1 f f Jadi 1 f f sec

                            1 f f

                            dA 1 f f dS G adalah Permukaan Luas

                            γ i ∆S i = luas G i dan ∆R i = luas R i = ∆x i ∆y i ∆T i = luas bidang singgung yang t erlet ak diat as R i γ i = sudut ant ara R i dan T i

                            ∆T i = ∆R i sec

                            ∆R i ∆T i ∆S i ∆S i ~

                            γ γ γ

                            

                          Misalkan diket ahui part isi perm ukaan G berupa grafik

                          z = f( x,y) at au F( x,y,z) = f( x,y) – z kF

                            Permukaan Permukaan

                            Luas Luas

                          • =
                          Contoh Contoh

                            2

                            2 Hit ung luas perm ukaan G : z = x + y dibawah bidang z= 4 Z Bagian G yang dim aksud diproyeksikan Jawab. z = 4 pada daerah S ( daerah yang dibat asi

                            2

                            2 oleh lingkaran x + y = 4) .

                            G 2 2 x + y = 4 y

                            2

                            2 Misalkan f( x,y) = x + y . Maka didapat f = 2x, f = 2y x S x y

                            Sehingga luas perm ukaan G adalah 2 2 2 2 dS = f f x y + + + + 1 dA = 4 x 4 y 1 dA

                            ∫∫ ∫∫ ∫∫ G S S dengan S= { ( x,y) | - 2 2x ≤ 2, 2

                            − 4 − x 4 − x

                            ≤y≤ }

                          • = S G
                          • =
                          • =

                            17

                            2 .

                            8

                            1 d r

                            ( ) π

                            θ 2 .

                            1

                            17

                            4

                            12

                            1 − = ( )

                            1

                            17

                            17

                            6 − =

                            3

                            1

                            Contoh Contoh

                            1

                            ( (

                            Lanjutan Lanjutan

                            ) )

                            Dengan koordinat polar, bat asan S berubah m enj adi S= { ( r, θ ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2 π } Jadi

                            ∫∫ ∫∫

                            dA y x dS

                            4

                            θ 2 2 2 / 3 2

                            4 2 2 ∫ ∫

                            π

                            θ 2 2 2

                            1 4 d dr r r ( )

                            ∫

                            π

                            π Latihan Latihan

                            Luas Luas

                            Permukaan Permukaan

                            2

                            2 dibaw ah bidang z = 4

                          1. Hit ung luas perm ukaan G : z = x

                          • y

                            

                          2. Hit ung luas perm ukaan G : yang t epat berada

                          2 = 4 y z

                          di at as persegi panj ang dengan t it ik sudut ( 1,0) ,( 2,0) ,

                          ( 2,1) ,( 1,1)

                            3. Hit ung luas perm ukaan G : silinder z

                            2

                            2 = 16 di okt an I yang dipot ong oleh bidang x = 2, y = 1, y = 3

                          • x

                            2

                            2 = 9 di okt an I ant ara y = x, y = 3x

                          4. Hit ung luas perm ukaan G : silinder z

                          • y
                          Integral Permukaan Integral Permukaan

                            Misalkan g( x,y,z) t erdefinisi pada perm ukaan G Misalkan perm ukaan G berupa grafik z

                            G z = f( x,y) at au F( x,y,z) = f( x,y) – z ( x , y , z ) i i i G - Misalkan R proyeksi G pada bidang i

                            XOY

                          • Part isi R m enj adi n bagian; R , R ,…,R
                          • 1 2 n ( x , y ) ∈ R dan ( x , y , z ) &is
                          • Pilih i i i i i i i c d

                            y ( part isi G yang bersesuaian dgn R) a

                          • Bent uk j um lah riem ann

                            n

                            ( x , y ) i i

                            R b ∆ ∆ = g ( x , y , z ) G , dengan G luas G i i i i i i

                            

                          i

                          =

                          1

                          x

                            R i

                            I nt egral perm ukaan dari g at as G n adalah = ∆ g ( x , y , z ) dS lim g ( x , y , z ) G P → i i i i

                            ∑ ∫∫ G i = 1 2 2 g ( x , y , z ) dS = g ( x , y , z ) f f x y + + 1 dA at au

                            ∫∫ ∫∫ G R Integral Permukaan (2) Integral Permukaan (2)

                            Dengan cara yang sam a diperoleh

                            1. Jika perm ukaan G berupa grafik x = f( y,z) , ( y,z) ∈ R ( Proyeksi G pada bidang YOZ) , m aka 2 2

                            g ( x , y , z ) dS = g ( f ( y , z ), y , z ) 1 f f dA + + y z

                            ∫∫ ∫∫ G R

                            2. Jika perm ukaan G berupa grafik y = f( x,z) , ( x,z) ∈ R ( Proyeksi G pada bidang XOZ) , m aka 2 2

                            g ( x , y , z ) dS g ( x , f ( x , z ), z ) f 1 f dA = x z + +

                            ∫∫ ∫∫ G R

                          1. Hit ung Jawab.

                            1 y x x x y x f x

                            2 = 4.

                            Kit a punya , m aka G G

                            4

                            

                          ( )

                          2 2 2 / 1 2

                          2

                            2 x 2 + y 2 = 4 R 2 2 = 4 y x z − −

                            x y

                            2

                            2

                            −

                          ( )

                          2 2 2 / 1 2

                          2

                            ⇒ R ( proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x

                            4 2 2 2 = + + y x z G bagian at as kulit bola dengan j ari- j ari 2.

                            2 2 = 4 y x z − − 2 2 2 = 4 y x z − −

                            y x = 4 z − −

                            , G adalah perm ukaan 2 2

                            dS z

                            ∫∫ G

                            Contoh Contoh

                          • y

                          2 Z

                            − − − = − − − =

                            4

                            4 2 .

                            2

                            − − = − − − −

                            1 y x y x y x y x y y x x f f x x

                            4

                            4

                            4

                            4

                            4 2 .

                            4

                            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

                            −

                            − − − = − − − =

                            1 y x y y y x f y

                            2

                            4

                          • − − = + +
                          • − −
                          • = R y x G

                            Contoh Contoh

                            = R dA

                            = π

                            2 ∫ ∫

                            = R G dA dS z

                            } , sehingga ∫∫ ∫∫

                            θ ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2 π

                            2 dim ana daerah R= { ( r,

                            4 ∫∫

                            ( ( lanjutan lanjutan

                            4

                            4

                            − − − − = R dA y x y x 2 2

                          2

                          2

                            1 2 2 ∫∫

                            dA f f z dS z

                            Jadi ∫∫ ∫∫

                            ) )

                            θ 2 2 2 d dr r π 8 =

                            dS z x

                          • y

                            ) dS z , y , x ( g

                            Latihan Latihan

                            Integral Integral

                            Permukaan Permukaan

                            1. Hit ung

                          , dengan G bagian kerucut z

                            2 = x

                            2

                            2 di ant ara z = 1 dan z = 2

                            ∫∫ G 2 2

                          2. Hit ung

                            a. g( x,y,z) = x

                            2

                            ∫∫ G

                          • y
                          • z , dengan G: z = x+ y+ 1, 0 ≤x≤1, 0≤y≤1

                            b. g( x,y,z) = x , dengan G: x+ y+ 2z = 4, 0 ≤x≤1, 0≤y≤1

                            

                          c. g( x,y,z) = x+ y , dengan G: , 0 ≤x≤√3, 0≤y≤1

                          2 4 x z − = d. g( x,y,z) = , dengan G: z = x

                            2

                            2 , 0 ≤x

                            2

                            2 ≤1

                            1

                            4

                            4 2 2 + + y x

Dokumen baru

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

98 2930 16

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

36 746 43

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

32 645 23

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

15 419 24

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

24 574 23

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

49 964 14

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

49 879 50

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

14 533 17

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

21 787 30

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

33 952 23