Sifat- sifat integral garis

  Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis Integral Garis [MA1124] KALKULUS II

  Integral Garis Integral Garis

  Definisi I nt egral garis I nt egral garis di bidang

Misalkan persam aan param et er kurva m ulus C ( di

bidang)

x= x( t ) , y= y( t ) ; a ≤ t ≤ b

_b m aka

• =
^{2 2} _{C a} f ( x , y ) dS f x ( t ), y ( t ) x ' ( t ) y ' ( t ) dt ( ) ( ) ( )

  ∫ ∫ I nt egral garis di ruang

Misalkan persam aan param et er kurva m ulus C ( di

ruang) x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) ; a

  ≤ t ≤ b m aka _{b 2 2 2} =

• f ( x , y , z ) dS f x ( t ), y ( t ), z ( t ) x ' ( t ) y ' ( t ) z ' ( t ) dt

  ( ) ( ) ( ) ( ) _{C a} ∫ ∫

• sifat Sifat integral garis
• sifat integral garis Sifat

  C B n

  C

  2 1.

  Jika C = C UC U … UC , m aka

  1 2 n C

  1 A

• f ( x , y ) dS = f ( x , y ) dS f ( x , y ) dS ... f ( x , y ) dS _{C C C C} ∫ ∫ ∫ ∫
_{1 2 n} 2.

  Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga

  C, m aka f ( x , y ) dS = − f ( x , y ) dS

  ∫ ∫ − C C Contoh Contoh ³ +

  3 x y dS

1. Hit ung , C adalah kurva x= 3t ; y= t ; 0 ≤t≤1

  ( ) _C ∫

2 Jawab. x’( t ) = 3; y’( t ) = 3t

  _{3 1 3 3}

₂

₂ x y dS = 3 t t

  ( ) ( ) ( )

  ( ) _C ∫ ∫ ₁

  3 + + + 3 t dt

  28 t ₁ ³

  9

9 t dt

⁴

∫
• =
• =
^{3 4} 84 t 1 t dt _{3 /}

₂

₁

  ∫

  1 ⎛ ⎞ ₄ = ( )

• 84

  1 t ⎜ ⎟ 6 ⎝ ⎠ _{3 / 2}

₁

  14 1 t = − ⁴

• =

  14

  2

  2

  1 ( )

  ( ) ( ) Contoh Contoh

  2 x dS

  2. Hit ung ( ) , C adalah t erdiri dari busur parabola _C ∫

  2 y= x dari ( 0,0) ke ( 1,1) diikut i oleh ruas garis vert ikal dari ( 1,1) ke ( 1,2) . _{( 1 ,2 )} Jawab.

  2 Unt uk C C : ( 0,0) Æ ( 1,1) , berupa busur y = x . _{2 ( 1 ,1 )}

  1 C ₁ Persam aan param et er C :

  1

  2 m isalkan x = t Æ y = t ≤ t ≤1 x’( t ) = 1 y’( t ) = 2t

  Sehingga _{1 2 1 2} 2 x dS = = 2 t

  ( ) ( ) ∫

  1 + + 4 t dt 2 t

1

2 t dt

  ∫ _{C 1} ∫

• =
¹ 2<
• =
² ₁ 2<
• t =

  5

  2

  2 ² ₁ = − = = t Jadi,

  ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫

  2

  2

  2 _{C C C} dS x dS x dS x

  ( )

  2

  1

  5

  2 _C dS x 2 )

  6

  1

  ( )

  11

  5

  5

  6

  1

  ( berupa ruas garis) Persam aan param et er C

  1 : m isalkan x = 1 Æ y = t

  1 2 (

  1 ( ) 2 dt ∫ ₂

  1 ≤ t ≤2 x’( t ) = 0 y’( t ) = 1 Latihan Latihan ²

  1

  Contoh Contoh

  ( (

  Lanjutan Lanjutan

  ) )

  Sehingga ( )

  ∫ ₁

  2 _C dS x ∫

  4

  1 2 dt t t ( ) ^{1 2 / 3 2}

  4

  3

  ∫

  2 .

  4

  1

  ( )

  1

  5

  5

  6

  1 − = Unt uk C

  2 : ( 1,1) Æ ( 1,2)

• =
₂ 1<
• − =
• =
• 2 x y dS

  1. Hit ung ( ) , C adalah set engah bagian at as _C ∫

  2

  2 lingkaran lingkaran sat uan x + y = 1

• sin x cos y dS

  ( )

  2. Hit ung , C adalah ruas garis dari ( 0,0) _C ∫ ke ( π,2π)

  3 2 x 9 z dS

• 2

  ( )

  3. Hit ung , C adalah kurva x= t ; y= t ; z= t ; _C ∫ ≤t≤1

  Kerja Kerja r

• =

  Misalkan F ( x , y ) M ( x , y ) iˆ N ( x , y ) jˆ adalah gaya yang bekerj a pada pada suat u t it ik ( x,y) di bidang

  F Q T r ( t )

  A B

Akan dicari: Berapa kerj a ( W) yang dilakukan oleh gaya F unt uk

m em indahkan sebuah part ikel m enyelusuri kurva C dari A ke B?

r
• =

  Misal r x iˆ y jˆ adalah vekt or posisi Q( x,y) r r d r = vekt or singgung sat uan di Q

  T ds r r r r d r d r dt r ' ( t ) T = = = r ds dt ds r ' ( t )

  Kerja (2) Kerja (2) r r r r

  Maka = θ adalah kom ponen singgung F di Q F . T F T cos

  Kerj a yang dilakukan oleh F unt uk m em indahkan part ikel sej auh ∆s adalah r r ∆ W = F . T ∆ s

  Kerj a yang dilakukan oleh gaya F unt uk m em indahkan

  part ikel dari A ke B adalah

r

r r r r r d r dt

  W = F . T ds = F . ds = F . d r ∫ ∫ ∫ _{C C C} dt ds r r d r dx dy

• = + diket ahui iˆ jˆ ⇒ d r = dx iˆ dy jˆ dt dt dt
• Jadi, didapat W = M ( x , y ) iˆ N ( x , y ) jˆ . dx iˆ dy jˆ

  ( )( ) _C ∫ = + M ( x , y ) dx N ( x , y ) dy _C ∫ Kerja Kerja

  (3) (3)

  Dengan cara yang sam a unt uk gaya yang bekerj a pada suat u t it ik di ruang, m aka P k z y x j z y x N i z y x M z y x F

  ˆ ) , , ( ˆ ) , , (

  ˆ ) , , ( ) , , (

• = r
• = _C

  ∫

  P dz z y x dy z y x N dx z y x M W ) , , ( ) , , ( ) , , ( Contoh Contoh

1. Tent ukan kerj a yang dilakukan oleh m edan gaya

  r

  3

  2 ˆ ˆ = − dalam m em indahkan part ikel

• 3

  F ( x , y ) ( x y ) i xy j

  

2

  3 sepanj ang kurva C : x = t , y= t , - 1 ≤t≤ 0 Jawab. Kerj a yang dilakukan m edan gaya F adalah

  ; dx = 2t dt , dy= 3t dt W = M dx N dy _C ∫

• 2

  = − ^{3 2} ( ) _C ∫ _{2 3 3 3 2 3 2 2}

• ³

  x y dx xy dy t t 2 t dt t t 3 t dt = − ₁

• −

  ( ) ( ) ( ) ) (

  ∫

  1 ₈

  1 ₁₁ t t

  = −

• 2 t t dt 2 t

  2 t

3 t dt = −

= − ^{7 10 10 7 10} ( ) ( )

  ∫ ∫

  4

  11 ₁ − ¹ −

  − ¹

  1 1 −

  7 ⎞ = − ⎛ − = ⎜ ⎟

  4

  11

  44 ⎝ ⎠ Contoh Contoh ²

• ydx x dy

  dengan kurva C : x = 2t ,

2. Hit ung int egral garis

  ∫ _C

  2 y= t - 1 , 0 ≤t≤ 2 Jawab. Kerj a yang dilakukan adalah ₂

  ; dx = 2 dt , dy= 2t dt W = y dx x + dy _C ∫ ₂ t

• 16

  ( ) ∫ _{2 2}

  1 2 dt 2 t 2 t dt = − ^{2 2} ( )

  

2

= − +

  32 = ²

  2 8 t dt t 2 t 2 t ^{4 3} = − ³ ( )

• 4
• 2 t −

  ∫

  3

  

3

16 100 = + =

  28

  3

  3

• _C
² dy x ydx

  dengan

  b. C = C

  2

  1 U C

  a. C = C

  sepanj ang

  F jˆ xy iˆ xy ^{2 2} + = r

  . r d F r r

  Latihan Latihan

  3. Hit ung ∫ _C

  dengan kurva C adalah ruas garis dari ( 1,1) ke ( 3,- 1)

  2. Hit ung int egral garis ∫

  − + + − = r dalam m em indahkan part ikel sepanj ang C, dim ana C adalah ruas garis dari ( 0,0,0) ke ( 1,1,1)

  2 ˆ ) ) 2 ( , , (

  ˆ ) ( ˆ

  1. Tent ukan kerj a yang dilakukan oleh m edan gaya F k z y j z i y x z y x

  3 _{C 1} ^{C 2 C 3} _{( 0,2) ( 3,2)} ^{( 3,5)} x ^y

  Integral Garis Bebas Lintasan Integral Garis Bebas Lintasan

  PEN D AH ULUAN

  r r r

  Hit ung F y iˆ x jˆ

  F . d r dengan = + at as lint asan

  ∫ _C

  a. C garis y = x dari ( 0,0) ke ( 1,1)

  2

  b. C garis y = x dari ( 0,0) ke ( 1,1)

  3

  c. C garis y = x dari ( 0,0) ke ( 1,1) TEOREM A A: D ASAR I N TEGRAL GARI S r = +

  Misalkan F ( x , y ) M ( x , y ) iˆ N ( x , y ) jˆ dengan C adalah kurva m ulus

sepot ong- pot ong dengan t it ik pangkal ( x ,y ) dan t it ik uj ung

( x ,y ) .

  1

  1

  r r

  Jika F ( x , y ) = ∇ f ( x , y ) m aka

  r r F . d r = f ( x , y ) − f ( x , y ) _{1 1}

  ∫ _C

• ∂

  ∂

  = ∇ r

  . 1 ( f r d F _C = − = − =

  dengan fungsi pot ensial f = xy Masalah: Bagaim ana m enget ahui bahwa F konservat if? ( F( x,y) = gradien dari suat u fungsi f) .

  ∂

  jˆ y f iˆ x f f ∂

  F f jˆ x iˆ y ∇ = + = r r

  dengan C kurva dari ( 0,0) ke ( 1,1)

  r r F jˆ x iˆ y + = r

  ∫

  1 . 1 . , 1 ) ( f ) 1 ,

  Integral Integral

  Cont oh: m aka

  m aka F r

  r r

  F r Jika ) y , x ( f ) y , x ( F ∇ =

  Lintasan(2) Lintasan(2) disebut ga ya k on se r va t if dan f disebut fu n gsi pot e n sia l dari

  

Bebas

Bebas

  Garis Garis

  Bagaim ana m em peroleh f( x,y) j ika F( x,y) konservat if?

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  P kˆ jˆ N iˆ M F + + = r

  m aka

  F r

  konservat if j ika dan hanya j ika F at au j ika dan hanya j ika rot F Curl = =

  r r x

  P z M

  , z N y

  P , y

  M x N

  ∂ ∂

  = ∂

  ∂ =

  ∇ = =

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  = ∂

  ∂

  Khusus j ika jˆ N iˆ M F + =

  r

  m aka F

  r

  konservat if j ika dan hanya j ika

  y M x

  N ∂

  ∂ =

  TEOREMA B Misalkan

  = F x F rot F Curl r r r r

  Integral Integral

  ∂

  Garis Garis

  Bebas Bebas

  Lintasan(3) Lintasan(3)

  m aka

  P kˆ jˆ N iˆ M F + + = r

  DEFI NI SI : Misal

  ∂ =

  − ∂

  N jˆ x P z

  M iˆ z

  ∂

  N y P

• ⎟⎟ ⎠ ⎞
• ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  − ∂

  ∂ ∂

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  − ∂

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  kˆ y M x

  P N M z y x kˆ jˆ iˆ

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

1. Diket ahui

  2 ^{2 2 3} + + = r

  ∂ ∂

  = ∂

  ∂

  F

  r

  Konservat if Jadi ( ii)

  ( ) F j y x i xy

  ˆ

  3

  1 ˆ

  f j y f i x f

  2 y

  ∇ = ∂

  ∂

  ∂ = r

  ˆ ˆ ₃ 2 y x

  x f

  = ∂

  ∂ _{2 2}

  3 1 y x

  y f

  ∂

  ……. ( 1) ……. ( 2)

  2 x N y M

  N= 1+ 3x

  Contoh Contoh

  r

  : :

  a. Tunj ukkan bahwa F konservat if, dan t ent ukan f

  b. Hit ung ( )

  F j y x i xy

  ˆ

  3

  1 ˆ

  2 ^{2 2 3} + + = r . r d F _C r r

  ∫ dengan C sebarang kurva dari ( 1,4) ke ( 3,1)

  F Jawab.

  Konservat if ⇔ x N

y

M

  3 ⇒

  ∂ ∂

  = ∂

  ∂

  a. ( i)

  2

  6 y x

  x

N =

  ∂ ∂ ² 6 xy

  y

M =

  ∂ ∂

  ⇒ M= 2xy

• ∂
• = ∂

  3 ^{2 2} C y y x

• = ∂

  C y y C + = ) ( Jadi fungsi pot ensialnya adalah C y y x y x f + + = ^{3 2}

  ∂ ( 1 ) ' = y C

  y f

  3 C y x y y x

  3 ( 1 ) '

  ……. ( 4) Dari ( 2) dan ( 4) , diperoleh _{2 2 2 2}

  ∂

  y f

  ) ( '

  ……. ( 3) Turunkan ( 3) t erhadap y, diperoleh

  ) ( ) , ( ^{3 2} C y y x y x f + =

  = ³ , 2 ) (

  ∫

  I nt egralkan ( 1) t erhadap x, diperoleh dx y x y x f

  ) )

  Lanjutan Lanjutan

  ( (

  Contoh Contoh

• = + = ∂

  ) , (

• ^{) 1 , 3 (} _{) 4 , 1 (}
^{2 2 3}

  ) 4 , ) 1 ( 1 ,

  58

  ) , ( ,

  C y y x y x f + + = ^{3 2}

  3 ^{3 2 3 2} + − + =

  1 1 .

  1

  4 4 .

  ( ) ( )

  = 3 ( f f −

  dy y x dx y x b.

  Contoh Contoh

  2

  1

  3

  ( ) ∫

  r r .

  ∫ _C F r d

  =

  ) )

  Lanjutan Lanjutan

  ( (

  68 = 10 − = −

  Contoh Contoh

  F k xy j y e xz i yz y e z y x ^{x x} ˆ ˆ sin

  ˆ ) cos , , (

• − + + = r

2. Diket ahui

  b. Hit ung ( ) ( )

  z N y P

  P= xy Sehingga diperoleh, bahwa x y

  P =

  ∂ ∂

  y x P =

  ∂ ∂

  z M x P

  ∂ ∂

  = ∂ ∂

  ,

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  = ∂ ∂

  ,

  z M x P

  ∂ ∂

  = ∂ ∂

  ,

  z N y P

  ∂ ∂

  = ∂ ∂

  ,

  ⇒ Konservat if Jadi

  y z M =

  a. Tunj ukkan bahwa F konservat if, dan t ent ukan f

  a. ( i) M= e x cosy+ yz

  F r d _C r r

  .

  ∫ dengan C sebarang kurva dari ( 0,0,0) ke ( 1,0,1) Jawab.

  F

  r

  Konservat if ⇔ x N

y

M

  ∂ ∂

  = ∂

  ∂

• − = ∂
• − = ∂

  N

_x

  N= xz – e x siny z y e x

  ∂ ∂

  ∂ sin

  z y e y M

_x

  ∂ sin

  ⇒ ⇒ x N y M

  ∂ ∂

  = ∂

  ∂

  F

  x z N =

  r

• − + + = r
• ∂
• ∂
• = ∂
• = cos ) , , (
• =
• − = ∂

  ∂

  y f _{y x}

  ) , ( sin z y C xz y e

  ……. ( 4) Turunkan ( 4) t erhadap y, diperoleh

  C z y xyz y e z y x f ^x

  ) , ( cos ) , , (

  ∫

  ……. ( 3) I nt egralkan ( 1) t erhadap x, diperoleh ( ) dx yz y e z y x f ^x

  ∂ ∂

  ……. ( 1) ……. ( 2) y x z f =

  ∂

  − sin = ∂

  y e xz y f _x

  yz y e x f _x

  ∂ cos

  ˆ ˆ ˆ

  ∂ = r

  ∂

  ∂

  ∇ = ∂

  f k y f j y f i x f

  ˆ cos

  ˆ ˆ sin

  F k xy j y e xz i yz y e ^{x x}

  ( ii) ( ) ( )

  ) )

  ( ( lanjutan lanjutan

  Contoh Contoh

  ……. ( 5)

• =
• = ∂ ∂
Contoh ( Lanjutan ) Contoh ( Lanjutan )

  C z xyz y e z y x f ^x

  ) ( ' = z C

  ∂ ) ( '

  = + = ∂

  ……. ( 8) Dari ( 3) dan ( 8) , diperoleh C xy z xy y f

  z f

  ) ( ' z C xy

  ……. ( 7) Masukan ( 6) ke ( 4) , diperoleh Turunkan ( 7) t erhadap z, diperoleh

  ) ( cos ) , , (

  Contoh Contoh

  ……. ( 6)

  ) , ( = z y C _y ) ( ) , ( z C z y C =

  ∂ ∂

  ) sin , ( sin − = + + − =

  Dari ( 2) dan ( 5) , diperoleh C y e xz z y xz y e y f _{x y x}

  ) )

  Lanjutan Lanjutan

  ( (

  C z C = ) ( ……. ( 9)

  Masukan ( 9) ke ( 7) , diperoleh _x f ( x , y , z ) = e cos y xyz C

  Jadi fungsi pot ensialnya adalah _{x ( 1 , , 1 )} f ( x , y , z ) = e cos y xyz C

• r r _x
_x b. _{C ( , , )}

  F . d r = e cos y yz dx xz − e sin y dy xy dz

• , f ( x , y , z ) = e cos y xyz C
• = f (
• _x

  ( ) ( ) ∫ ∫

  1 , , 1 ) − f ( , , ) =

  e cos ¹ 1 . . 1 e cos − ( ) ( )

  = e −

  1 Penyataan Penyataan berikut berikut ekivalen ekivalen

  1. f F

  ∇ = r r

  unt uk suat u f ( F konservat if) 2.

  . r d F _C r r

  ∫ bebas lint asan 3.

  . r d F _C =

  ∫

  r r

  Sudah Jelas??? Latihan Latihan

  r r F = ∇ f

  Tent ukan apakah F konservat if? Jika ya, t ent ukan f ( )

  r r _{y x y x} F = 2 e − ye iˆ 2 xe − e jˆ 4.

• F =

  ( ) ( )

  ( ) ( )

  10 x − 7 y iˆ − 7 x − 2 y jˆ 1.

  r r _{2 2 2 2 2} F 2 xy z iˆ x jˆ 2 xz cos z kˆ

  5. = π π

  ( ) ( )

  ( ) ( )

  12 x 3 y 5 y iˆ 6 xy − 3 y + = + + + F 5 x jˆ 2.

  r F = 4 y cos( xy ) iˆ ^{2 2} + 8 x cos( xy ) jˆ ² 3.

  ( ) ( ) Hit ung int egral garis berikut : _{( 3 , 1 ) 2 2 ( π , π , )}

  9. ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) 6.

  cos x 2 yz dx sin y 2 xz dy z + + + + + 2 xy dz

  2 xy dx x + + + y 2 xy dy

  ∫ _{( − ( 1 , )} ∫ _{1 , π 2 2 ) x x ( , , ) ( 1 ,}

_{1 ,}

_{4 ) − x y} 10. yz − e dx xz e dy xy dz

  ( ) ( ) ( ) 7.

  e sin y dx e cos y dy

• ₃
_{2 2 2 ( ) ( ) ( )} 3 x − 6 yz dx 2 y 3 xz dy + + + 1 − 4 xyz dz

11.

  ( ) ( ) _{( 1 , 1 , 1 ) ( , )}

_{( , , )}

∫

_{2 2} ∫

  ∫

  6 xy 2 z dx 9 x y dy 4 xz + + + + 1 dz

  8. ( ) ( ) ( ) _{C ( , , )} ∫ C a da la h r u a s ga r is da r i ( 0 ,0 ,0 ) k e ( 1 ,1 ,1 )

  M dx

  b, g(x) ≤ y

  M

dydx

y ) y , x ( M

  ∂ − = ^{) x ( f b} _a ^{) x ( f} _{) x ( g} ^b _{a ) x ( g C} dA y

  ⎢ ⎣ ⎡ ∂

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ∂ ∂ − = ⎥

  )) dx x ( g , x ( M dx )) x ( f , x ( M dx )) x ( f , x ( M dx )) x ( g , x ( M dx M ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

  − − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ _{C a} ^b _a ^b _a

^a

_b

^b

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

  S _{C 1} ^{C 4 C 3 C 2} y=g(x) y=f(x) a b

  ≤ f (x)} x ^y

  ≤

  Teorema Teorema

  4 S = {(x, y)| a ≤ x

  3 U C

  2 U C

  1 U C

  C = C

  M x N N dy dx M

  − ∂ ∂ = + _{S C} dA y

  ⎝ ⎛ ∂ ∂

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  Perhat ikan ∫∫ ∫

  Misalkan C kurva m ulus sepot ong- pot ong, t e r t u t u p t e r t u t u p se de r h a n a se de r h a n a yang m em bent uk bat as dari suat u daerah di bidang XOY. Jika M( x,y) dan N( x,y) kont inu dan

m em punyai t urunan kont inu pada S dan bat asnya C

m aka Bukt i.

  Bidang Bidang

  Green Green di di

• =
_{4 C 3 C 2 C 1 C C} M dx dx M dx M dx M dx M Teorema Teorema

  Green Green di di

  Bidang Bidang

  Sam a halnya dengan m em perlakukan S sebagai him punan x sederhana, kit a peroleh Sehingga diperoleh

  ∫∫ ∫

  ∂ ∂

  = _{S C} dA x N

  N dy

• = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ∫ ∫∫

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  − ∂

  ∂ _{C S} N dy dx M dA y

  M x N Contoh Contoh _{2 C}

  y dx 4 xydy

• 2

  dengan C adalah kurva t ert ut up yang t erdiri Hit ung ∫

  dari busur parabola y = x dari t it ik asal ke t it ik( 2,4) dan segm en garis ( 2,4) ke t it ik ( 0,0) Jawab.

  

Akan kit a coba m engerj akan dengan dua cara, yait u dengan

I nt egral garis biasa dan t eorem a Green

1. I nt egral garis

  2 Unt uk C : ( 0,0) Æ ( 2,4) , berupa busur y = x .

1 Persam aan param et er C :

  1

  2 _{( 2 ,4 )} m isalkan x = t Æ y = t ≤ t ≤2 y’( t ) = 2t x’( t ) = 1

  C ₂ C _{( 0 ,0 ) 1} Sehingga _{2 2 2} y dx ² 4 xy dy = t dt

²

4 . t . t . ² 2 t dt = t ⁴ + +
• 8 t dt
⁴ ( ) ( ) _C ∫ ∫ ₁

  ∫ Contoh ( Lanjutan ) Contoh ( Lanjutan ) _{2 2}

  288 ₄

  9 ₅ = = 9 t dt = t

  ∫

  5

5 Unt uk C

  2 : ( 2,4) Æ ( 0,0) ( berupa ruas garis) Persam aan param et er C : m isalkan

  2 ( x,y) = ( 2 , 4) + t ( 0,0) - ( 2,4) x = 2 – 2t , y = 4 – 4t , y’( t ) = - 4 x’( t ) = - 2

  ≤ t ≤1 ⇒

  Sehingga ₁

• y dx

  4 xy dy ²

  = 4 − 4 t − 2 dt

• ²

  4 2 − 2 t 4 − 4 t − 4 dt ( ) ( ) ( )( )( )

  ∫ _{C 2} ∫ _{1 2} = − 160 320 t 160 t dt − +

  

( ) ∫ Contoh ( lanjutan ) ₂ Contoh ( lanjutan ) _{1 2} ( )

• +

  y dx 4 xy dy _{C 2} = − − ₁ 160 320 t 160 t dt ⎛ 320 160 ⎞ = − 160 t − t t

²

³

  ∫ ∫

• ⎜

  ⎟

  2

  3 ⎝ ⎠ 160

  = −

3 Jadi,

  _{2 2 2} y dx 4 xy dy = y dx 4 xy dy y dx + + + + 4 xy dy _{C C C} ∫ ∫ ∫ _{1 2}

  

160

= 288 −

  5

  

3

  64 =

  15 Contoh Contoh

  ( (

  − =

²

² ₂

  32 = − = ^{y= x ( 0 ,0 ) 2 y= 2 x ( 2 ,4 )} x y S S

  3

  32

  5

  64

  15

  4 − x x =

  

3

  1

  5

  ∫ − = ^{2 4 2} 4 dx x x _{2 5 3}

  

∫

=

²

^{2 2} ₂ dx y ^x _x

  4 ^x _x dx dy y y Dengan:

  2

  ( ) ∫ ∫

  Lanjutan Lanjutan

  2 = ∂

  ) ) 2. Teorem a Green.

  M= y

  2 N= 4 yx y x N

  4 = ∂

  ∂

  y y M

  ∂

  2 ≤ y ≤ 2x}

  ⇒ ⇒ ∫∫ ∫

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛ ∂ ∂

  − ∂ ∂ = + _{S C} dA y

  M x N dy xy dx y

  4 ² S= { ( x,y) | 0 ≤ x ≤ 2, x

  2 ⁴

• y
• _C
² dy y dx xy

  2

  dengan C ellips 9x

  ) 2 ( dx y x ( 4 x

  5. Hit ung ∫

  dengan C persegipanj ang yg t it ik t it ik sudut nya ( 2,1) , ( 6,1) , ( 6,4) dan ( 2,4)

  4. Hit ung ∫

  dengan C segit iga yg t it ik- t it ik sudut nya ( 0,0) , ( 2,0) , dan ( 0,1)

  ) dy y x ( dx xy

  3. Hit ung ∫

  2 ant ara ( 0,0) dan ( 4,2)

  dengan C kurva t ert ut up yang t erbent uk oleh y = x/ 2 dan x = y

  2

  2. Hit ung ∫

  2 = 4 dalam arah posit if.

  2

  dalam m enggerakkan suat u obyek m engit ari sat u kali x

  ) jˆ x e ( iˆ ) y x (sin ) y , x ( F ^{2 y} − + − = r

  1. Tent ukan kerj a yang dilakukan oleh m edan gaya

  Latihan Latihan

• _C
• _C ^{2 x}
³ ) dy y sin x ( dx ) y
• _C
^{2 2} ) dy y 3 x

  2 = 144

• 16 y

  Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Permukaan Integral Permukaan [MA1124] KALKULUS II

  G _i R R _i

  1 1 f f 1 cos

  G b a c d

  = γ r r r

  ∇ ∇

  = γ − + = ∇

• −

  ∆ + + = ∆

  R ^{2 y}

^G

^{2 x i 2 y 2 x i 2 y 2 x i 2 y 2 x 2 y 2 x i y x i} ∫∫ ∫∫

  . kˆ F cos

  F kˆ jˆ f iˆ f dengan , F kˆ

• = γ
• =

  R S 1 f f Jadi 1 f f sec

  1 f f

  dA 1 f f dS G adalah Permukaan Luas

  γ _i ∆S _i = luas G _i dan ∆R _i = luas R _i = ∆x _i ∆y _i ∆T _i = luas bidang singgung yang t erlet ak diat as R _i γ _i = sudut ant ara R _i dan T _i

  ∆T _i = ∆R _i sec

  ∆R _i ∆T _i ∆S _i ∆S _i ~

  γ γ γ

  

Misalkan diket ahui part isi perm ukaan G berupa grafik

z = f( x,y) at au F( x,y,z) = f( x,y) – z _k ∇F

  Permukaan Permukaan

  Luas Luas

• =
Contoh Contoh

  2

  2 Hit ung luas perm ukaan G : z = x + y dibawah bidang z= 4 _{Z Bagian G yang dim aksud diproyeksikan} Jawab. z = 4 pada daerah S ( daerah yang dibat asi

  2

  2 oleh lingkaran x + y = 4) .

  G _{2 2} x + y = 4 _y

  2

  2 Misalkan f( x,y) = x + y . Maka didapat f = 2x, f = 2y _{x S} x y

  Sehingga luas perm ukaan G adalah _{2 2 2 2} dS = f f _{x y} + + + + 1 dA = 4 x 4 y 1 dA

  ∫∫ ∫∫ ∫∫ _{G S S} dengan S= { ( x,y) | - 2 ₂ ≤ x ≤ 2, ₂

  − 4 − x 4 − x

  ≤y≤ }

• = _{S G}
• =
• =

  17

  2 .

  8

  1 d r

  ( ) π

  θ ² .

  1

  17

  4

  12

  1 − = ( )

  1

  17

  17

  6 − =

  3

  1

  Contoh Contoh

  1

  ( (

  Lanjutan Lanjutan

  ) )

  Dengan koordinat polar, bat asan S berubah m enj adi S= { ( r, θ ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2 π } Jadi

  ∫∫ ∫∫

  dA y x dS

  4

  θ ^{2 2 2 / 3 2}

  4 ^{2 2} ∫ ∫

  π

  θ ^{2 2 2}

  1 4 d dr r r ( )

  ∫

  π

  π Latihan Latihan

  Luas Luas

  Permukaan Permukaan

  2

  2 dibaw ah bidang z = 4

1. Hit ung luas perm ukaan G : z = x

• y

  

2. Hit ung luas perm ukaan G : yang t epat berada

² = 4 y z −

di at as persegi panj ang dengan t it ik sudut ( 1,0) ,( 2,0) ,

( 2,1) ,( 1,1)

  3. Hit ung luas perm ukaan G : silinder z

  2

  2 = 16 di okt an I yang dipot ong oleh bidang x = 2, y = 1, y = 3

• x

  2

  2 = 9 di okt an I ant ara y = x, y = 3x

4. Hit ung luas perm ukaan G : silinder z

• y
Integral Permukaan Integral Permukaan

  Misalkan g( x,y,z) t erdefinisi pada perm ukaan G Misalkan perm ukaan G berupa grafik z

  G z = f( x,y) at au F( x,y,z) = f( x,y) – z _{( x , y , z ) i i i G} - Misalkan R proyeksi G pada bidang i

  XOY

• Part isi R m enj adi n bagian; R , R ,…,R
_{1 2 n} ( x , y ) ∈ R dan ( x , y , z ) &is
• Pilih _{i i i i i i i} c d

  y ( part isi G yang bersesuaian dgn R) a

• Bent uk j um lah riem ann

  _n

  _{( x , y ) i i}

  R b ∆ ∆ = g ( x , y , z ) G , dengan G luas G _{i i i i i i}

  

∑

_i

₌

₁

x

  R i

  I nt egral perm ukaan dari g at as G _n adalah = ∆ g ( x , y , z ) dS lim g ( x , y , z ) G _{P → i i i i}

  ∑ ∫∫ _{G i = 1 2 2} g ( x , y , z ) dS = g ( x , y , z ) f f _{x y} + + 1 dA at au

  ∫∫ ∫∫ _{G R} Integral Permukaan (2) Integral Permukaan (2)

  Dengan cara yang sam a diperoleh

  1. Jika perm ukaan G berupa grafik x = f( y,z) , ( y,z) ∈ R ( Proyeksi G pada bidang YOZ) , m aka _{2 2}

  g ( x , y , z ) dS = g ( f ( y , z ), y , z ) 1 f f dA + + _{y z}

  ∫∫ ∫∫ _{G R}

  2. Jika perm ukaan G berupa grafik y = f( x,z) , ( x,z) ∈ R ( Proyeksi G pada bidang XOZ) , m aka _{2 2}

  g ( x , y , z ) dS g ( x , f ( x , z ), z ) f 1 f dA = _{x z} + +

  ∫∫ ∫∫ _{G R}

1. Hit ung Jawab.

  1 y x x x y x f _x

  2 = 4.

  Kit a punya , m aka G G

  4

  

( )

_{2 2} ^{2 / 1 2}

²

  2 x ² + y ² = 4 R ^{2 2} = 4 y x z − −

  _x ^y

  2

  2

  −

( )

_{2 2} ^{2 / 1 2}

²

  ⇒ R ( proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x

  4 ^{2 2 2} = + + y x z G bagian at as kulit bola dengan j ari- j ari 2.

  _{2 2} = 4 y x z − − ^{2 2 2} = 4 y x z − −

  y x = 4 z − −

  , G adalah perm ukaan ^{2 2}

  dS z

  ∫∫ _G

  Contoh Contoh

• y

2 Z

  − − − = − − − =

  4

  4 2 .

  2

  − − = − − − −

  1 y x y x y x y x y y x x f f _{x x}

  4

  4

  4

  4

  4 2 .

  4

  2 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

  −

  − − − = − − − =

  1 y x y y y x f _y

  2

  4

• − − = + +
• − −
• = _{R y x G}

  Contoh Contoh

  = _R dA

  = π

  2 ∫ ∫

  = _{R G} dA dS z

  } , sehingga ∫∫ ∫∫

  θ ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2 π

  2 dim ana daerah R= { ( r,

  4 ∫∫

  ( ( lanjutan lanjutan

  4

  4

  − − − − = _R dA y x y x _{2 2}

²

²

  1 ^{2 2} ∫∫

  dA f f z dS z

  Jadi ∫∫ ∫∫

  ) )

  θ ^{2 2} 2 d dr r π 8 =

  dS z x

• y

  ) dS z , y , x ( g

  Latihan Latihan

  Integral Integral

  Permukaan Permukaan

  1. Hit ung

, dengan G bagian kerucut z

  2 = x

  2

  2 di ant ara z = 1 dan z = 2

  ∫∫ _G ^{2 2}

2. Hit ung

  a. g( x,y,z) = x

  2

  ∫∫ _G

• y
• z , dengan G: z = x+ y+ 1, 0 ≤x≤1, 0≤y≤1

  b. g( x,y,z) = x , dengan G: x+ y+ 2z = 4, 0 ≤x≤1, 0≤y≤1

  

c. g( x,y,z) = x+ y , dengan G: , 0 ≤x≤√3, 0≤y≤1

² 4 x z − = d. g( x,y,z) = , dengan G: z = x

  2

  2 , 0 ≤x

  2

  2 ≤1

  1

  4

  4 ^{2 2} + + y x