Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

PERSAMAAN KUADRAT

A.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah

suatu persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 2.

Bentuk baku persamaan kuadrat adalah dalam x adalah :

…. rumus 1

Dengan :

0

≠

a dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan nyata. Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu :

0 1→ 2 + + =

= x bx c

a : persamaan kuadrat biasa

0 0→ 2 + +

= x c

b : persamaan kuadrat murni

0 0→ 2 + =

= x bx

c : persamaan kuadrat tak lengkap

Contoh :

(a) −x2 +4x+4=0

(b) x2 +2x=0

(c) x2 +9=0 0

2 + + =

c bx ax

B.

Akar – akar Persamaan Kuadrat

Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan x

0

2 + + =

c bx ax

1 dan x2.

Akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu :

1.

Faktorisasi

Bentuk _x2 +_bx+_c=0 diuraikan kebentuk

Contoh : 2 2 0 2 3 1 0 3 0 ) 2 ( ) 3 ( 0 6 5 2 − = → = + − = → = + = + + → = + + x x x x x x x x

2.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk x2 +bx+c=0, dijabarkan kebentuk

…………..rumus 3

Contoh :

a. x2 +4x−1=0

kemudian masing – masing suku ditambah dengan 4

→ = +4 1

2 x x 5 2 5 ) 2 ( 4 1 4 4 2 2 ± = + = + + = + + + x x x x

Maka x₁ = 5−2 dan x₂ =− 5−2

b. x2 −6x−2=0

kemudian masing–masing suku ditambahkan dengan 9

→ − −6 2

2 x x 3 11 3 11 11 3 11 ) 3 ( 9 2 9 6 2 1 2 2 + − = + = → ± = − = − + = + − x dan x x x x x q p x+ )2 = (

3.

Menggunakan Rumus abc

Persamaan kuadrat , mempunyai akar – akar

persamaan :

0

2 + + =

c bx ax

………rumus 4

a ac b b x 2 4 2 2 , 1 − ± − =

Cara mencari rumus tersebut adalah sebagai berikut :

0

2 _{+ + =}

c bx

ax → kemudian masing – masing suku dikalikan 4a

0 ) 4 ( ) 4 4 ( 0 ) ( 4 4 4 0 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − + + = − + + + = + + ac b b abx x a b b ac abx x a ac abx x a → = − −

+ ) ( 4 ) 0

2

( ax b 2 b2 ac 2 kemudian masing-masing suku diakar

→ = −

−

+ 4 ) 0

2

( ax b b2 ac harga dari akar bisa (+) dan (-)

Sehingga diperoleh rumus :

…………rumus 4

Nilai b2 - 4ac disebut diskriminan _{dari persamaan ax}2 _{+ bx + c= 0 dan diyulis}

dengan huruf D. maka rumus diatas menjadi : a ac b b x 2 4 2 2 , 1 − ± − =

………rumus 5

Contoh :

Carilah akar – akar dari persamaan kuadrat : 4x2 + 5x + 1 = 0 Jawab

4x2 + 5x + 1 = 0 → a = 4, b = 5 dan c = 1

4 1 8 3 5 1 8 3 5 1 8 3 5 8 16 25 5 4 . 2 1 . 4 . 4 5 5 2 2 , 1 2 , 1 2 2 , 1 − = + − = − = − − = ± − = − ± − = − ± − = x x x x x a D b x_1,2 = − ±

2 a D b x 2 2 , 1 ± − =

C.

Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat

Misal akar – akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1

dan x2. Rumus pemyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut :

a D b x

2

1

+ −

= dan

a D b x

2

2

− − =

Maka jumlah akar-akar tersebut adalah :

a

D b D b x

x

2

2 1

− − + − = +

Atau ………rumus 6

Sedangkan hasil kali akar – akar tersebut adalah :

{

}

2 2 2

2

2 2

2 1

4 4 4

) ( ) ( ,

a ac b

b a

D b

x

x = − − = − +

Atau ………..rumus 7

Selisih akar – akar tersebut adalah :

a D x

x

2 2

2

1 − = sehingga ….rumus 8

a b x

x₁, ₂ =−

a c x x₁, ₂ =

Atau ………rumus 9

a D x

x₁ − ₂ =

Contoh :

2x2 + 4x + 6 = 0 Tentukan nilai x1 2

+ x2 2

tanpa mencari x1 dan x2

2 2 1

x

2

) ( x a

Jawab

2 3 . 2 ) 2 (

. . 2 ) (

3 2 6 .

2 2 4

6 4

, 2 0

6 4 2

2

2 1 2 2 1 2 2 2 1

2 1

2 1

2

− = − − =

− +

= +

= =

− = − = +

= =

= → =

+ +

x x x

x x x

x x

x x

c dan b

a x

x

D.

Jenis akar – akar persamaan kuadrat

Akar – akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2 dimana

………..rumus 5

D = b2 – 4ac adalah disriminan.

Jenis akar – akar persamaan berdasarkan diskriminan adalah :

a D b x

2

2 , 1

± − =

a D b x

2

2 , 1

± − =

1. Jika D > 0, Maka terdapat dua akar real yang tidak sama ( x1≠ x2 )

2. Jika D = 0, Maka akar – akarnya kembar atau sama dan real ( x1 ≠

x2 ).

3. Jika D < 0, Maka kedua akar tidak real atau tidak mempunyai akar – akar yang real.

Contoh :

1). Tentukan q supaya persamaan x2 + qx + a = 0 mempunyai dua akar nyata dan berlainan.

Jawab

x2 +qx + q = 0

mempunyai dua kar berlainan, maka D > 0 D = b2 - 4ac = q2 -4 . 1 . q = q2 – 4q > 0

Atau q (qa – 4 ) > 0

q1 = 0 ; ( q – 4 ) = 0 →q2 = 4

Maka : q < 0 ataua q > 4.

2). Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat x2 – ( 2 + p)x + 4= 0 mempunyai akar – akar kembar.

Jawab :

x2 – ( 2 + p)x +4 = 0

akar – akarnya kembar, maka D = 0 D = b2 – 4ac

= - ( 2 + p ) 2-4 . 1. 4 = 4 + 4p + p2 – 16 p2 + 4p - 12 = 0 (p + 6 ) ( p – 2 ) = 0 p1 = -6 dan p2 = 2

E.

Contoh Soal dan Penyelesaian

1). Apabila m menjalani bilangan – bilangan nyata, selidikilah banyaknya akar – akar persamaan : x2 – 2 (1 + 3m) x + 7 (3 + 2m) =0

Jawab

Banyaknya akar – akar persamaan kuadrat ditentukan adanya diskriminan itu. Kita hitung dahulu besarnya diskriminan itu yaitu :

D = 4 (1 + 3m)2 – 28 (3 + 2m) = 4 + 24m + 36m2 – 84 – 56m = 36m2 – 32m – 80

Ada 3 kemungkinan :

a). Kalau D > 0 atau 36m2 – 32m 80 > 0 maka 36m2 – 32m-80 > 0 disederhanakan menjadi 4 (9m2 – 8m – 20) > 0

4 (9m + 10) (m – 2 ) > 0

Kalau D > 0, maka m > 2 atau m <

9 10

−

Yang berarti persamaan di atas mempunyai dua akar yang nyata dan berlainan

b). Kalau D = 0 atau 36m2 – 32m - 80 = 0 akan memberikan m1 = 2 atau m2 =

9 10

−

untuk m1 dan m2 sebesar tersebut diatas, maka persamaan tersebut diatas mempunyai dua akar yang nyata dan kembar. Untuk m =

9 10

− , akar kembar itu adalah :

a D b x

2

2 , 1

± −

= → karena D = 0 maka

3 / 7

3 / 10 1 ) 9 / 10 .( 3 1

2 9 / 10 .( 6 2 1

. 2

) 3 1 ( 2 2

2 , 1

− =

− = −

+ =

− + = + = −

= m

a b x

c). kalau D < 0 atau 36m2 – 32m 80 < 0, maka persamaan diatas tidak mempunyai akar yang nyata.

2). Tentukan akar – akar persamaan

9 21 1

9 7

2 2

2 2

− − = + − −

x x x

x x

Jawab:

Jika 1 diganti dengan

9 9

2 2

− −

x x

maka

9 21 1

9 7

2 2

2 2

− − = + − −

x x x

x x

x2 – 7x + x2 – 9 = x2 - 21 x2 - 7x + x2- 9 = -21 x2 - 7x + 12 = 0 (x-4) (x-3) = 0

x – 4 = 0 → x1 = 4

x – 3 = 0 → x2 = 3

x2 = 3 apabila dimasukkan ke soal, persamaannya tidak

terdefinisikan.

Maka akarnya adalah x = 4

3). Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 6x – p = ialah x1 dan x2

jika x12 – x22 = 15.

Tentukan harga p ! Jawab :

x1 + x2 = a

b

−

maka x1 + x2 = - 3

2 ) 6 (− ₌

……….. (1)

x1 . x2 = a c

maka x1 . x2 = -

2

P

……….. (2)

x1 2

– x2 2

= 15 ……….. (3)

(x1 + x2) (x1 – x2) = 15 (*)

3(x1 – x2) = 15 → (x1 – x2) = 5 ……….. (4)

Dengan mengeleminasi persamaan (1) dan (4) : x1 + x2 = 3

x1 – x2 = 5+ → x1 = 4 → -1

2x1 = 8

Dari persamaan (2) →x1 . x2 = -

2

P

4.(-1) = -

2

P

Catatan :

(*)

ingat rumus x1 2

– x2 2

= (x1 + x2) (x1 – x2)

= 3(x1 – x2)

4). Tentukan harga x dari persamaan 4 6 3 0

2 − _x − =

x

Jawab :

Bentuk lain dari persamaan tersebut adalah 4.x-2 – 6.x-1 – 3 = 0 Selanjutnya direduksi dengan memisalkan t = x-1,

Sehingga t2 = x-2

Dengan demikian persamaan di atas menjadi 4.t-2 – 6.t – 3 = 0 t1,2 =

8 46 36 6 4

. 2

) 3 ( 4 . 4 ) 6 ( ) 6

( 2 ± +

= − − − ± − −

t1 =

8 84 6+

dan t2 =

8 84 6−

karena t = x-1maka x =

t

1

sehinga :

x1 = 0,5275

84 6

8

8 84 6

1 1

1

= + = +

=

t

x2 = 2,5275

84 6

8

8 84 6

1 1

2

− = − = −

=

C.

Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat

Misal akar – akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1

dan x2. Rumus pemyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut :

a D b x

2

1

+ −

= dan

a D b x

2

2

− − =

Maka jumlah akar-akar tersebut adalah :

a

D b D b x

x

2

2 1

− − + − = +

Atau ………rumus 6

Sedangkan hasil kali akar – akar tersebut adalah :

{

}

2 2 2 2

2 2

2 1

4 4 4

) ( ) ( ,

a ac b

b a

D b

x

x = − − = − +

Atau ………..rumus 7

Selisih akar – akar tersebut adalah :

a D x

x

2 2

2

1 − = sehingga ….rumus 8

a b x

x₁, ₂ =−

a c x x₁, ₂ =

Atau ………rumus 9

a D x

x₁ − ₂ =

Contoh :

2x2 + 4x + 6 = 0

Tentukan nilai x1 2

+ x2 2

tanpa mencari x1 dan x2

2 2 1 x 2

)

( x

a

Jawab

2 3 . 2 ) 2 (

. . 2 ) (

3 2 6 .

2 2 4

6 4

, 2 0

6 4 2

2

2 1 2 2 1 2 2 2 1

2 1

2 1

2

− = − − =

− +

= +

= =

− = − = +

= =

= → =

+ +

x x x

x x x

x x

x x

c dan b

a x

x

D.

Jenis akar – akar persamaan kuadrat

Akar – akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2 dimana

………..rumus 5

D = b2 – 4ac adalah disriminan.

Jenis akar – akar persamaan berdasarkan diskriminan adalah : a

D b x

2

2 , 1

± − =

a D b x

2

2 , 1

± − =

1. Jika D > 0, Maka terdapat dua akar real yang tidak sama ( x1≠ x2 )

2. Jika D = 0, Maka akar – akarnya kembar atau sama dan real ( x1 ≠

x2 ).

3. Jika D < 0, Maka kedua akar tidak real atau tidak mempunyai akar – akar yang real.

Contoh :

1). Tentukan q supaya persamaan x2 + qx + a = 0 mempunyai dua akar nyata dan berlainan.

Jawab

x2 +qx + q = 0

mempunyai dua kar berlainan, maka D > 0

Atau q (qa – 4 ) > 0

q1 = 0 ; ( q – 4 ) = 0 →q2 = 4

Maka : q < 0 ataua q > 4.

2). Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat x2 – ( 2 + p)x + 4= 0

mempunyai akar – akar kembar. Jawab :

x2 – ( 2 + p)x +4 = 0

akar – akarnya kembar, maka D = 0

D = b2 – 4ac

= - ( 2 + p ) 2-4 . 1. 4 = 4 + 4p + p2 – 16 p2 + 4p - 12 = 0 (p + 6 ) ( p – 2 ) = 0 p1 = -6 dan p2 = 2

E.

Contoh Soal dan Penyelesaian

1). Apabila m menjalani bilangan – bilangan nyata, selidikilah banyaknya akar – akar persamaan : x2 – 2 (1 + 3m) x + 7 (3 + 2m) =0

Jawab

Banyaknya akar – akar persamaan kuadrat ditentukan adanya diskriminan itu. Kita hitung dahulu besarnya diskriminan itu yaitu :

D = 4 (1 + 3m)2 – 28 (3 + 2m) = 4 + 24m + 36m2 – 84 – 56m = 36m2 – 32m – 80

Ada 3 kemungkinan :

a). Kalau D > 0 atau 36m2 – 32m 80 > 0 maka

36m2 – 32m-80 > 0 disederhanakan menjadi 4 (9m2 – 8m – 20) > 0

4 (9m + 10) (m – 2 ) > 0

Kalau D > 0, maka m > 2 atau m <

9 10

−

Yang berarti persamaan di atas mempunyai dua akar yang nyata dan berlainan

b). Kalau D = 0 atau 36m2 – 32m - 80 = 0 akan memberikan m1 = 2 atau m2 =

9 10

−

untuk m1 dan m2 sebesar tersebut diatas, maka persamaan tersebut diatas mempunyai dua akar yang nyata dan kembar. Untuk m =

9 10

− , akar kembar itu adalah :

a D b x 2 2 , 1 ± −

= → karena D = 0 maka

3 / 7 3 / 10 1 ) 9 / 10 .( 3 1 2 9 / 10 .( 6 2 1 . 2 ) 3 1 ( 2 2 2 , 1 − = − = − + = − + = + = − = m a b x

c). kalau D < 0 atau 36m2 – 32m 80 < 0, maka persamaan diatas tidak mempunyai akar yang nyata.

2). Tentukan akar – akar persamaan

9 21 1 9 7 2 2 2 2 − − = + − − x x x x x Jawab:

Jika 1 diganti dengan

9 9 2 2 − − x x maka 9 21 1 9 7 2 2 2 2 − − = + − − x x x x x

x2 – 7x + x2 – 9 = x2 - 21 x2 - 7x + x2- 9 = -21 x2 - 7x + 12 = 0 (x-4) (x-3) = 0

x – 4 = 0 → x1 = 4

x – 3 = 0 → x2 = 3

x2 = 3 apabila dimasukkan ke soal, persamaannya tidak

terdefinisikan.

Maka akarnya adalah x = 4

3). Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 6x – p = ialah x1 dan x2

jika x12 – x22 = 15.

Tentukan harga p ! Jawab :

x1 + x2 =

a b −

maka x1 + x2 = - 3

2 ) 6

(− ₌

……….. (1)

x1 . x2 =

a c

maka x1 . x2 = -

2

P

……….. (2)

x1 2

– x2 2

= 15 ……….. (3)

(x1 + x2) (x1 – x2) = 15 (*)

3(x1 – x2) = 15 → (x1 – x2) = 5 ……….. (4)

Dengan mengeleminasi persamaan (1) dan (4) : x1 + x2 = 3

x1 – x2 = 5+ → x1 = 4 → -1

2x1 = 8

Dari persamaan (2) →x1 . x2 = -

2

P

4.(-1) = -

2

P

Catatan : (*)

ingat rumus x1 2

– x2 2

= (x1 + x2) (x1 – x2)

= 3(x1 – x2)

4). Tentukan harga x dari persamaan 4 6 3 0

2 − _x − = x

Jawab :

Bentuk lain dari persamaan tersebut adalah 4.x-2 – 6.x-1 – 3 = 0

Selanjutnya direduksi dengan memisalkan t = x-1,

Sehingga t2 = x-2

Dengan demikian persamaan di atas menjadi 4.t-2 – 6.t – 3 = 0 t1,2 =

8 46 36 6 4

. 2

) 3 ( 4 . 4 ) 6 ( ) 6

( 2 ± +

= − − − ± − −

t1 =

8 84 6+

dan t2 =

8 84 6−

karena t = x-1maka x =

t

1

sehinga :

x1 = 0,5275

84 6

8

8 84 6

1 1

1

= + = +

=

t

x2 = 2,5275

84 6

8

8 84 6

1 1

2

− = − = −

= t