5c Distribusi Gamma dan Eksponensial
Distribusi Probabilitas :
Gamma & Eksponensial
5.3
Debrina Puspita Andriani
www.debrina.lecture.ub.ac.id
E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id
2
Outline
Distribusi Gamma
Distribusi Eksponensial
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
3
Distribusi Gamma
Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk
memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya
dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila
digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi
Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi
eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
4
Distribusi Gamma (1)
Definisi 1 :
Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat
yang disebut luas dalam bidang matematika.
Definisi 2 :
Fungsi gamma didefinisikan oleh
Untuk
>0
dengan e=2,71828
Fungsi gamma diintegralkan, bila
= n dengan n
adalah bilangan bulat positif, maka Γ(n) = (n-1)!
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
5
Distribusi Gamma (2)
Definisi 3 :
Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter
dan
, jika fungsi padatnya berbentuk:
−x
1
xα −1e β
f(x) = β α Γ(α )
0
; x>0
; x yanglain
dengan α > 0 dan β > 0
Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada Gambar 1.
Distribusi gamma yang khusus dengan
Eksponensial (Gambar 2).
www.debrina.lecture.ub.ac.id
=1 disebut distribusi
14/07/2014
Distribusi Gamma
0.6
0.0
0.2
0.4
f(x)
0.8
1.0
1.2
6
0
2
4
6
8
10
x
Gambar 1. Distribusi Gamma
Beberapa nilai parameter α dan β
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
7
Gambar 2. Distribusi Eksponensial
(Distribusi Gamma dengan α=1 )
Grafik distribusi gamma dengan α=1 dan beberapa nilai β
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah
8
µ = αβ dan σ 2 = αβ 2
Tabel
Gamma
Nilai e = 2,718281
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (1)
9
Misalkan variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu
bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada
suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan α =
8 dan β = 15, maka probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan
selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada
putaran kerja tersebut adalah:
*karena contoh soal ini dipengaruhi parameter α dan β, maka
menggunakan definisi ke‐3, kita cari peluang ketahanan pembebanan
antara 60 ribu sampai 120 ribu jam, dan perhitungannya sesuai rumus
pada definisi 3 dengan fungsi padat seperti di bawah ini:
P (60 ≤ X ≤ 120) = P ( X ≤ 120 ) − P ( X ≤ 60 )
= FG (120;8,15) − FG (60;8,15)
Lihat tabel
= FG (120 15 ;8) − FG ( 60 15 ;8) = FG (8;8) − FG (4;8)
= 0,5470 − 0,0511 = 0,4959
Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi gamma di atas adalah:
Mean
: µ x = E ( X ) = αβ = (8)(15) = 120
Varians
: σ x2 = αβ 2 = (8)(152 ) = 1800 → σ x = 42,43
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (1)
10
Sebenarnya, rumus yang digunakan:
1
xα −1e − x / β
f ( x; α , β ) = β α Γ(α )
0
x>0
lainnya
P( X ≤ 60; α = 8, β = 10) =
60
1
α −1 − x / β
x
∫0 β α Γ(α ) e dx =
60
1
7 − x / 10
x
∫0 105 Γ(8) e dx
Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi
dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F.
Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung
pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi
padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).
Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai
contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah
dihitung untuk berbagai harga x.
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (2)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
11
14/07/2014
12
Distribusi
Eksponensial
Distribusi Eksponensial
Keadaan khusus distribusi gamma
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (1)
13
www.debrina.lecture.ub.ac.id 14/07/2014
Distribusi Eksponensial (2)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (3)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
15
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (4)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
16
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (5)
17
Hubungan distribusi Poisson, Eksponensial, dan Gamma
Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian
(atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena
sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial.
Sedangkan waktu sampai terjadinya kejadian ke-α akan berdistribusi gamma.
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (1)
18
Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi
eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika
satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu:
a. Berapa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan?
b. Berapa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut?
Solusi :
Distribusi eksponensial tidak memiliki memori, maka sebuah kecelakaan di
bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya.
Jadi:
a. probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah
P (31) = 1 – e (-31/44) = 0,506
b. varians dari distribusi eksponensial adalah
(442) = 1936
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (2)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
19
14/07/2014
TUGAS
TERSTRUKTUR
DEADLINE
KAMIS, 14 AGUSTUS 2015
25/07/15
Gamma & Eksponensial
5.3
Debrina Puspita Andriani
www.debrina.lecture.ub.ac.id
E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id
2
Outline
Distribusi Gamma
Distribusi Eksponensial
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
3
Distribusi Gamma
Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk
memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya
dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila
digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi
Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi
eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
4
Distribusi Gamma (1)
Definisi 1 :
Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat
yang disebut luas dalam bidang matematika.
Definisi 2 :
Fungsi gamma didefinisikan oleh
Untuk
>0
dengan e=2,71828
Fungsi gamma diintegralkan, bila
= n dengan n
adalah bilangan bulat positif, maka Γ(n) = (n-1)!
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
5
Distribusi Gamma (2)
Definisi 3 :
Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter
dan
, jika fungsi padatnya berbentuk:
−x
1
xα −1e β
f(x) = β α Γ(α )
0
; x>0
; x yanglain
dengan α > 0 dan β > 0
Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada Gambar 1.
Distribusi gamma yang khusus dengan
Eksponensial (Gambar 2).
www.debrina.lecture.ub.ac.id
=1 disebut distribusi
14/07/2014
Distribusi Gamma
0.6
0.0
0.2
0.4
f(x)
0.8
1.0
1.2
6
0
2
4
6
8
10
x
Gambar 1. Distribusi Gamma
Beberapa nilai parameter α dan β
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
7
Gambar 2. Distribusi Eksponensial
(Distribusi Gamma dengan α=1 )
Grafik distribusi gamma dengan α=1 dan beberapa nilai β
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah
8
µ = αβ dan σ 2 = αβ 2
Tabel
Gamma
Nilai e = 2,718281
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (1)
9
Misalkan variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu
bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada
suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan α =
8 dan β = 15, maka probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan
selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada
putaran kerja tersebut adalah:
*karena contoh soal ini dipengaruhi parameter α dan β, maka
menggunakan definisi ke‐3, kita cari peluang ketahanan pembebanan
antara 60 ribu sampai 120 ribu jam, dan perhitungannya sesuai rumus
pada definisi 3 dengan fungsi padat seperti di bawah ini:
P (60 ≤ X ≤ 120) = P ( X ≤ 120 ) − P ( X ≤ 60 )
= FG (120;8,15) − FG (60;8,15)
Lihat tabel
= FG (120 15 ;8) − FG ( 60 15 ;8) = FG (8;8) − FG (4;8)
= 0,5470 − 0,0511 = 0,4959
Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi gamma di atas adalah:
Mean
: µ x = E ( X ) = αβ = (8)(15) = 120
Varians
: σ x2 = αβ 2 = (8)(152 ) = 1800 → σ x = 42,43
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (1)
10
Sebenarnya, rumus yang digunakan:
1
xα −1e − x / β
f ( x; α , β ) = β α Γ(α )
0
x>0
lainnya
P( X ≤ 60; α = 8, β = 10) =
60
1
α −1 − x / β
x
∫0 β α Γ(α ) e dx =
60
1
7 − x / 10
x
∫0 105 Γ(8) e dx
Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi
dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F.
Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung
pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi
padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).
Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai
contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah
dihitung untuk berbagai harga x.
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (2)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
11
14/07/2014
12
Distribusi
Eksponensial
Distribusi Eksponensial
Keadaan khusus distribusi gamma
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (1)
13
www.debrina.lecture.ub.ac.id 14/07/2014
Distribusi Eksponensial (2)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (3)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
15
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (4)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
16
14/07/2014
Distribusi Eksponensial (5)
17
Hubungan distribusi Poisson, Eksponensial, dan Gamma
Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian
(atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena
sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial.
Sedangkan waktu sampai terjadinya kejadian ke-α akan berdistribusi gamma.
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (1)
18
Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi
eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika
satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu:
a. Berapa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan?
b. Berapa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut?
Solusi :
Distribusi eksponensial tidak memiliki memori, maka sebuah kecelakaan di
bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya.
Jadi:
a. probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah
P (31) = 1 – e (-31/44) = 0,506
b. varians dari distribusi eksponensial adalah
(442) = 1936
www.debrina.lecture.ub.ac.id
14/07/2014
Contoh (2)
www.debrina.lecture.ub.ac.id
19
14/07/2014
TUGAS
TERSTRUKTUR
DEADLINE
KAMIS, 14 AGUSTUS 2015
25/07/15