Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta
INTEGRAL LIPAT DUA
Y
δx
m
δy
k
O
r
s
X
Luas daerah yang diarsir (merah) δa : δy . δx
Apabila δy 0 ; δx 0 maka luas bidang tersebut menjadi integral yang
ditulis sebagai berikut :
x=s y =m
A=
∫ ∫ dy . dx
x=r y =k
Untuk menghitungnya dimulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.
x=s
A=
∫∫
y =m
y =k
x=r
dy . dx
x=s
=
y =m
[
]
y
∫ y = k dx
x=r
x=s
(
m − k )dx = [(m − k )x ]x =r
x =r
=∫
x=s
A = (m − k ).(s − r )
KESIMPULAN
y2
Pernyataan A = ∫y
1
∫ f (x, y )dx dy
x2
x1
disebut Integral lipat dua / Double Integral
Langkah penyelesaian :
1) f (x,y) diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan)
dengan batas x=x1 dan x=x2.
2) Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y dengan batas y=y1 dan
y=y2.
Contoh soal :
Hitunglah
I =∫
Jawab :
I =∫
2
1
2
1
=∫
2
1
=∫
∫ (x + 2 y )dx dy
4
2
∫ (x + 2 y )dx
4
2
dy
4
1 2
2 x + 2 xy dy
2
2
1
{(8 + 8 y ) − (2 + 4 y )}dy
[
= ∫ (6 + 4 y ) dy = 6 y + 2 y 2
2
1
= (12+8) – (6+2)
= 20-8 = 12
]
2
1
PENERAPAN
Y
y1 =
Tentukan luas daerah yang dibatasi
4x
5
oleh y=
δy
O
pada x = 5.
5
δx
4x
5
X
PENYELESAIAN
Luas elemen yang diarsir = δy . δx
Jika δy 0 dan δx 0, maka :
A=∫
5 y1
∫
0 0
dy dx
= ∫ [ y ] dx = ∫ y1 dx
5
0
Tetapi y1 =
y1
0
5
0
4x
, maka :
5
5
2x2
4x
A=∫
dx =
=10 satuan luas.
0 5
5
0
5
sumbu x, dan ordinat
Contoh Penerapan 2
Tentukan momen kedua dari empat
persegi
panjang
6m
x
4m
mengelilingi sumbu yang melalui
salah satu titik sudutnya dan tegak
lurus kepada bidang persegi panjang
tersebut.
Jawab :
δa = δy . δx
= δa (op)2
Momen kedua p terhadap oz
= δy . δx (x2 + y2)
Jika δx 0 dan δy 0 maka :
A=∫
∫ (x
6 4
0 0
2
)
+ y 2 dy dx
4
=∫
6
0
6
2
y3
64
2
=
+
x
y
dx
4
x
+
dx
∫
0
3 0
3
6
4 x 3 64 x
4
=
+
= 288 + 128 = 416 cm
3 0
3
BENTUK PENULISAN LAIN INTEGRAL LIPAT DUA
Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit berbeda,
sebagai berikut :
Hitunglah :
∫
3
0
1
(
)
dx ∫ x − x 2 dy
0
Kunci pengerjaannya :
Diselesaikan mulai integral yang paling kanan,
kemudian berurut-urutan kekiri.
Penyelesaian :
(
)
3
1
0
0
3
[
2
(
)
I = ∫ dx ∫ x − x 2 dy
= ∫ dx xy − x y
0
3
= ∫ dx x − x 2
0
3
(
)
= ∫ x − x 2 dx
0
3
1 2 1 3
= 2 x − 3 x
0
9
= − 9 = −4,5
2
]
1
0
INTEGRAL LIPAT TIGA
I =∫
∫ ∫ f (x, y, z )dx . dy . dz
b d
f
a c
e
Urutan penyelesaiannya dari paling dalam
∫ ∫ ∫ f (x, y, z )dx . dy . dz
b
d
a
c
f
e
Contoh :
∫ ∫ ∫ f (x + 2 y − z ) dx . dy . dz
3 1
Hitunglah :
Jawab :
−1 0
1
I =∫
∫ ∫ (x + 2 y − z )dx . dy . dz
3 1
1
2
2
−1 0
2
1
= ∫ ∫ x 2 + 2 xy − xz dy . dz
1 −1 2
0
3 1
=∫
1
=∫
∫ [2 + 2 y
3 1
3
1
2
−1
− 2z
]
−1
dz
{(2 + 2 − 2 z ) − (− 2 + 2 + 2 z )}dz
= ∫ (4 − 4 z ) dz
3
1
[
1
]
3
= 4z − 2z2 1
= (12-18) – (4-2) = -8
Penentuan Volume dengan Integral Lipat
Elemen volume δx . δy . δz
1. Penjumlahan elemen tersebut kearah kolom menghasilkan :
y = y2 z = z1
δVc = ∑
∑ δx .δy .δz
y = y1 z = 0
2. Jika sekarang jumlahkan kolom-kolom di antara y = y1 dan y = y2,
diperoleh volume irisan.
y2 z = z1
δVs = ∑
∑ δx .δy .δz
y = y1 z = 0
y
=
3. Kemudian, penjumlahan terhadap semua irisan diantara x=x1 dan
x=x2 memberikan volume total.
x= x y= y z= z
V = ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2δx .δy .δz
x = x1 y = y1 z = 0
Selanjutnya, seperti biasa, jika δx 0, δy 0, dan δz 0,
V = ∫x 2 ∫y 2 ∫0 1 dx . dy . dz
1 1
x
y
z
Contoh 1.
Sebuah benda dilingkupi oleh bidang z = 0, bidang x = 1, x = 4,
y = 2,
y = 5 dan permukaan z = x + y. Tentukanlah volume benda tersebut.
Jawab :
Pertama-tama seperti apakah bentuk bendanya?
Bidang z = 0 adalah bidang x-y dan bidang x = 1 mempunyai posisi
sebagai berikut :
Dengan cara yang sama, gambarkanlah bidang-bidang sisi vertikalnya.
Sampai disini gambarnya nampak seperti ini :
Jika sekarang tandai ketinggian, yang dihitung pada masing-masing
perpotongnnya (z = x + y), didapatkan
Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu
bagaimana menangani integralnya.
Untuk tahap perhitungannya, pindahkan kebingkai berikut.
1) Volume elemen
Ω δx . δy . δz
2) Volume kolom
Ω δx . δy
z = ( x+ y)
∑
z =0
3) Volume irisan
Ω δx
4) Volume total benda
Ω
y = 5
z = x+ y
dy
dy
∑
∑
y = 2
z = 0
x = 4
y = 5
z = x+ y
dx
dy
dz
∑
∑
∑
x = 1
y = 2
z = 0
Kemudian, sebagaimana biasanya, jika δx 0, δy 0, δz 0,
hubungan ini menjadi :
4
5
V = ∫ dx
∫2
1
4
V
5
= ∫ dx ∫ dy ∫
1
2
x+ y
0
dy
x+ y
∫0
δz
dz = ∫ dx ∫ dy (x + y )
4
5
1
2
5
4
5
= ∫ dx ∫ ( x + y )dy = ∫
1
2
4
1
y2
dx xy +
2 2
4
21
25
4
= ∫ dx 5 x +
− 2 x − 2 = ∫ 3 x + dx
1
2
2
1
4
[
]
3 x 2 21x 1 2
4
=
+
= 3 x + 21x 1
2 1 2
2
=
1
{(48 + 84) − (3 + 21)}= 1 {132 − 24} = 54 satuan3
2
2
Contoh :
Hitunglah isi benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = a2, bidang
dan z = 0.
z=y
Penyelesaian :
Pada gambar tersebut diberikan ¼ bagian dari benda batas-batasnya :
z1 = 0 ;
z2 = y
y1 = 0 ;
y2 = a 2 − x 2
x1 = 0 ;
x2 = a
Jadi,
a
I = 4∫
0
I = 4∫
a
0
∫0
∫0
a2 − x2
a2 − x2
I = 2∫
a
0
I = 2∫
a
0
[y ]
2
∫0
a2 − x2
dx
a2 − x2
0
(a
2
dz . dy . dx
y . dy . dx
1
I = 4∫ y 2
0 2
0
a
y
dx
)
− x 2 dx
a
1
1
I = 2 a 2 x − x 3 = 2 a 3 − a 3
3 0
3
4
I = a3
3
KESIMPULAN
Kunci untuk menyelesaikan integral lipat tiga/dua :
1. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :
y2
f (x, y ) dx . dy
x2
∫y1 ∫x1
Pengerjaannya mulai dari dalam keluar.
2. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :
y
∫y1
2
dy ∫
x
2
x1
Pengerjaannya dari kanan ke kiri
f ( x, y ) dx
Y
δx
m
δy
k
O
r
s
X
Luas daerah yang diarsir (merah) δa : δy . δx
Apabila δy 0 ; δx 0 maka luas bidang tersebut menjadi integral yang
ditulis sebagai berikut :
x=s y =m
A=
∫ ∫ dy . dx
x=r y =k
Untuk menghitungnya dimulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.
x=s
A=
∫∫
y =m
y =k
x=r
dy . dx
x=s
=
y =m
[
]
y
∫ y = k dx
x=r
x=s
(
m − k )dx = [(m − k )x ]x =r
x =r
=∫
x=s
A = (m − k ).(s − r )
KESIMPULAN
y2
Pernyataan A = ∫y
1
∫ f (x, y )dx dy
x2
x1
disebut Integral lipat dua / Double Integral
Langkah penyelesaian :
1) f (x,y) diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan)
dengan batas x=x1 dan x=x2.
2) Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y dengan batas y=y1 dan
y=y2.
Contoh soal :
Hitunglah
I =∫
Jawab :
I =∫
2
1
2
1
=∫
2
1
=∫
∫ (x + 2 y )dx dy
4
2
∫ (x + 2 y )dx
4
2
dy
4
1 2
2 x + 2 xy dy
2
2
1
{(8 + 8 y ) − (2 + 4 y )}dy
[
= ∫ (6 + 4 y ) dy = 6 y + 2 y 2
2
1
= (12+8) – (6+2)
= 20-8 = 12
]
2
1
PENERAPAN
Y
y1 =
Tentukan luas daerah yang dibatasi
4x
5
oleh y=
δy
O
pada x = 5.
5
δx
4x
5
X
PENYELESAIAN
Luas elemen yang diarsir = δy . δx
Jika δy 0 dan δx 0, maka :
A=∫
5 y1
∫
0 0
dy dx
= ∫ [ y ] dx = ∫ y1 dx
5
0
Tetapi y1 =
y1
0
5
0
4x
, maka :
5
5
2x2
4x
A=∫
dx =
=10 satuan luas.
0 5
5
0
5
sumbu x, dan ordinat
Contoh Penerapan 2
Tentukan momen kedua dari empat
persegi
panjang
6m
x
4m
mengelilingi sumbu yang melalui
salah satu titik sudutnya dan tegak
lurus kepada bidang persegi panjang
tersebut.
Jawab :
δa = δy . δx
= δa (op)2
Momen kedua p terhadap oz
= δy . δx (x2 + y2)
Jika δx 0 dan δy 0 maka :
A=∫
∫ (x
6 4
0 0
2
)
+ y 2 dy dx
4
=∫
6
0
6
2
y3
64
2
=
+
x
y
dx
4
x
+
dx
∫
0
3 0
3
6
4 x 3 64 x
4
=
+
= 288 + 128 = 416 cm
3 0
3
BENTUK PENULISAN LAIN INTEGRAL LIPAT DUA
Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit berbeda,
sebagai berikut :
Hitunglah :
∫
3
0
1
(
)
dx ∫ x − x 2 dy
0
Kunci pengerjaannya :
Diselesaikan mulai integral yang paling kanan,
kemudian berurut-urutan kekiri.
Penyelesaian :
(
)
3
1
0
0
3
[
2
(
)
I = ∫ dx ∫ x − x 2 dy
= ∫ dx xy − x y
0
3
= ∫ dx x − x 2
0
3
(
)
= ∫ x − x 2 dx
0
3
1 2 1 3
= 2 x − 3 x
0
9
= − 9 = −4,5
2
]
1
0
INTEGRAL LIPAT TIGA
I =∫
∫ ∫ f (x, y, z )dx . dy . dz
b d
f
a c
e
Urutan penyelesaiannya dari paling dalam
∫ ∫ ∫ f (x, y, z )dx . dy . dz
b
d
a
c
f
e
Contoh :
∫ ∫ ∫ f (x + 2 y − z ) dx . dy . dz
3 1
Hitunglah :
Jawab :
−1 0
1
I =∫
∫ ∫ (x + 2 y − z )dx . dy . dz
3 1
1
2
2
−1 0
2
1
= ∫ ∫ x 2 + 2 xy − xz dy . dz
1 −1 2
0
3 1
=∫
1
=∫
∫ [2 + 2 y
3 1
3
1
2
−1
− 2z
]
−1
dz
{(2 + 2 − 2 z ) − (− 2 + 2 + 2 z )}dz
= ∫ (4 − 4 z ) dz
3
1
[
1
]
3
= 4z − 2z2 1
= (12-18) – (4-2) = -8
Penentuan Volume dengan Integral Lipat
Elemen volume δx . δy . δz
1. Penjumlahan elemen tersebut kearah kolom menghasilkan :
y = y2 z = z1
δVc = ∑
∑ δx .δy .δz
y = y1 z = 0
2. Jika sekarang jumlahkan kolom-kolom di antara y = y1 dan y = y2,
diperoleh volume irisan.
y2 z = z1
δVs = ∑
∑ δx .δy .δz
y = y1 z = 0
y
=
3. Kemudian, penjumlahan terhadap semua irisan diantara x=x1 dan
x=x2 memberikan volume total.
x= x y= y z= z
V = ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2δx .δy .δz
x = x1 y = y1 z = 0
Selanjutnya, seperti biasa, jika δx 0, δy 0, dan δz 0,
V = ∫x 2 ∫y 2 ∫0 1 dx . dy . dz
1 1
x
y
z
Contoh 1.
Sebuah benda dilingkupi oleh bidang z = 0, bidang x = 1, x = 4,
y = 2,
y = 5 dan permukaan z = x + y. Tentukanlah volume benda tersebut.
Jawab :
Pertama-tama seperti apakah bentuk bendanya?
Bidang z = 0 adalah bidang x-y dan bidang x = 1 mempunyai posisi
sebagai berikut :
Dengan cara yang sama, gambarkanlah bidang-bidang sisi vertikalnya.
Sampai disini gambarnya nampak seperti ini :
Jika sekarang tandai ketinggian, yang dihitung pada masing-masing
perpotongnnya (z = x + y), didapatkan
Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu
bagaimana menangani integralnya.
Untuk tahap perhitungannya, pindahkan kebingkai berikut.
1) Volume elemen
Ω δx . δy . δz
2) Volume kolom
Ω δx . δy
z = ( x+ y)
∑
z =0
3) Volume irisan
Ω δx
4) Volume total benda
Ω
y = 5
z = x+ y
dy
dy
∑
∑
y = 2
z = 0
x = 4
y = 5
z = x+ y
dx
dy
dz
∑
∑
∑
x = 1
y = 2
z = 0
Kemudian, sebagaimana biasanya, jika δx 0, δy 0, δz 0,
hubungan ini menjadi :
4
5
V = ∫ dx
∫2
1
4
V
5
= ∫ dx ∫ dy ∫
1
2
x+ y
0
dy
x+ y
∫0
δz
dz = ∫ dx ∫ dy (x + y )
4
5
1
2
5
4
5
= ∫ dx ∫ ( x + y )dy = ∫
1
2
4
1
y2
dx xy +
2 2
4
21
25
4
= ∫ dx 5 x +
− 2 x − 2 = ∫ 3 x + dx
1
2
2
1
4
[
]
3 x 2 21x 1 2
4
=
+
= 3 x + 21x 1
2 1 2
2
=
1
{(48 + 84) − (3 + 21)}= 1 {132 − 24} = 54 satuan3
2
2
Contoh :
Hitunglah isi benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = a2, bidang
dan z = 0.
z=y
Penyelesaian :
Pada gambar tersebut diberikan ¼ bagian dari benda batas-batasnya :
z1 = 0 ;
z2 = y
y1 = 0 ;
y2 = a 2 − x 2
x1 = 0 ;
x2 = a
Jadi,
a
I = 4∫
0
I = 4∫
a
0
∫0
∫0
a2 − x2
a2 − x2
I = 2∫
a
0
I = 2∫
a
0
[y ]
2
∫0
a2 − x2
dx
a2 − x2
0
(a
2
dz . dy . dx
y . dy . dx
1
I = 4∫ y 2
0 2
0
a
y
dx
)
− x 2 dx
a
1
1
I = 2 a 2 x − x 3 = 2 a 3 − a 3
3 0
3
4
I = a3
3
KESIMPULAN
Kunci untuk menyelesaikan integral lipat tiga/dua :
1. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :
y2
f (x, y ) dx . dy
x2
∫y1 ∫x1
Pengerjaannya mulai dari dalam keluar.
2. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :
y
∫y1
2
dy ∫
x
2
x1
Pengerjaannya dari kanan ke kiri
f ( x, y ) dx