Penyelesaian Mixed Integer Programming Dengan Menggunakan Metode Branch And Bound.
PENYELESAtA.N M IXED INTE{; ER PROGRAM M ING
DENGAN F{ENCGUNAhAN II{ETODE ERANCH AND BO(JND
TESIS
Oleh:
MULYANI.A
06 21s 04?
)i .:.:
i ii .."
i, ..
':
:i
?i
i,1:
tt'
i..
(r
1i,
\T
P
ROG EEA El PA SCASARJAI{A
[ ; ]\ lt' E, RSITAS Al'j t]A LAS
2S{}8
Penyelesaian Mixed Integer Programming
Dengan Menggunakan Metode Branch And Bound
Oleh: Mulyadi.A
(Dibawah bimbingan Dr.Muhafzan, M.Si, dan Haripamyu, M.Si)
RINGKASAN
Dalam permasalahan optimisasi selalu dituntut untuk memaksimalkan atau
meminimalkan sebuah besaran tertentu, yang disebut dengan fungsi tujuan objektif.
Fungsi tujuan objektif
ini
bergantung pada sejumlah variabel masukan (entering
variabel), melalui satu atau lebih kendala (atnstraints'). Model
merepresortasikan pennasalahan tersebut
di
atas dinamakan
trntuk
dengan program linier
(linear programming).
Integer programmir+g adalah bentuk lain dmi program linier dengan variabel
keputusan dibatasi integ,er, mixed integer atau zero-one. Dalam menyelesaikan
masalatr integer
programmilg, dapat digrrnakan beberapa metodg antara lain metode
Branch and Baund, metode Cutting Plane dan metode Balas.
Tujuan dari penelitian ini adalah, jika diberikan masalah perencanaan linier
maksimumkan
z =clrr+C2x2+.'.+CnNn
dengan kendala
4,,x,
t]
I
+
atzxz
+
a.x
b1
aztxt
+
Qzzxz
+
4znx,
b2
ax
;_
a .x.
a
^x^
Bagaimana menyelesaikan permasalahan
di
atas yang variabel keputusannya
merupakan mixed integer, dengan menggunakan metode Braru ch and Baund.
Untuk mencapai tujuan im, beberapa tinjauan pustaka yang berkaitan dengan
permasalahan perencarliuul linier mixed integer, seperti sistim persam:ran linier,sistem
pertidaksamaan linier, matriks, eliminasi Gauss-Jordan, masalah perencaruum linier,
metode simpleks, masalah perencanffm lirner integer dan metode Branch and Bound
.
Dalam metode Branclt and Baund nilai optimat sebuah fungsi tujuan objektif
diperoleh melalui beberapa tahap, yaitu : Branching Bounding dwt Fathoming
Dari hasil penelitian diperoleh kesimpulan bahwa penyelesaian masalah mixed
integer prograrnming dapat dilakukan dengan menggunakan metode Branch and
Bound.
n1
FffiFIT"1
t
BAB
I
PENDAHULT]AN
1.1
Latar Belakang Masalah
Dalam permasalahan optimisasi selalu dituntut untuk memaksimalkan atau
meminimalkan sebuah besaran terlentu, yang disebut dengan fungsi tujuan objektif.
Fungsi tujuan objeldif
ini
bergantung pada sejumlah variabel masukan (entering
variabel), melalui satu atau lebih kendala {constraints}. Model untuk merepresentasi-
kan permasalahan tersebut di atas dinarnakan dengan program linier (linear
programming).
Dalam program linier variabel keputusan dan kendala dibatasi bilangan nyat4
rulmun seringkali suatu keputusan menginginkan variabel berupa bilangan bulat agar
keputusan menjadi
realistih misalnya jika variabel keputusan hasil produksi
suatu
pabrik berupa sepatu alau makanan kalurg. Janggal rasanya kalau suatu keputusan
suatu produksi menghasilkan 20,7 pasang sepatu atau 40,3 makanan kaleng, tetapi akan
.lebih terasa realistik
rnnkanan
jika pabnk tersebut menghasilkan 21 pasang sepatu
kaleng. Untuk
menyelesaikan permasalahan
ini
atau 40 kaleng
digunakan integer
raErammingyang merupalcan bentuk lain dari program linier.
Integer programming dapat dipergunakan untuk menyelesaikan permasalahan
;ilrrk
Ee' linear programming dan integey non-linear pragramming. Integer linear
w":,zrswnins adalah integer prograrntning dengan fungsi tujuan dan kendala berupa
gum'iafsarnaan linier, sedangkan integer non-linear programming adalah integer
pnurrrrvning dengan fungsi tujuan dan kendala berupa pertidaksamaan non-linier.
Fs'm,realahan integer linear programmirtg mencakup permasalahansemua
mglo-- E::ed integer dar
permasalahan zero-one. Permasalahan semua integer adatah
il@ d,fi n integer linecr pragramming dengan semua variabel kendala dan
k€putusan berupa bilangan integer. Permasalahan mixed integer adalah permasalahan
nrcger linear programming dengan kendala dibatasi bilangan integer dan sebagian
ruiab€l keputusan berupa bilangan infeger. Sdangkan permasalahanz€ro-one adalah
permasalalmn integer linear programming dengan variabel keputusan safu dan nol.
Terdapat beberapan metode untuk menyelesaikan masalah integer linear
programming, Dengan metode-metode ini nanti akan dibuat batasan-batasan khusus
1mg akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier untuk bergerak
ln rah
mode
pemecahan
integer, mixed integer
atau zero-one yang diinginkan. Metode-
rru adalatl metode Branch and Bound, metode Cutting Plane dan metode Balas.
Iba
gdd
metode-metode yang adq untuk menyelesaikan integer pragramming dengan
keputusan berupa integer dan mixed integer hanya dapat digunakan metode
lmm ad Boutld dan rnetode Cutting Plane.
Ddam metode Branch ancl Bound penyelesaian tnteger utw mixed integer
dqan
fmH
melakukan pencabangan pada penyelesaian yang bukan integer
eLiEEr did4atkan
batas bawah atau batas atas yang optimal dari suatu permasalahan
integer. Sedangkan dalam metode CuttingPlane dlbuat kendalatambahan
ilg
tsrg daerah penyelesaian
.vang layak dari masalah perenmnaan
integel atail
-drqger. sdringga dapat mengeliminasi penyelesaian yang bukan integer. Proses
pada daeratr penyelesaian yang layak ini terus berlangsurg sehingga
[ren
{f"H penr-elesaian 1'ang diinginkan.
,llk-r
Mesalah
l
Errra
rhui masalah perencanaim linier integer sebagai berikut
fimgsi objektrf
:=crr;+e1x"+.'.+cfrxn
dengan kendala
arrxt
+
atzxz
+
+
atrxo
a^.x.
+
a^^x^
+
+
a^x
:
i
amtl.x.
Q*zXz
Bagaimana menyelesaikan permasalahan
:
a-oxo
di
atas yang variabel keputusarmya
merupakan mixed integer, dengan menggunakan metode Branch ond Bound.
13 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan nilai optimal dari suaiu
fungsi objektif dalam progmm linieryang variabel keputusannyabemilai mised integer
dengan menggunakan metode Brsnch and Bound.
1.4
Manfaat Penelitian
Diharapkan penulisan
ini
dapat memberikan surnbangan pengetahuan baik
kepada penulis sendiri maupun bagt pembaca dalam menyelesaikan masalah
perencanaan mixed ifitsger dengan menggunakan metode
fr€nch and Bound
.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa metode Branch and
Bound dapat digunahan untuk menentukan penyelesaian optimal dalam masalah
perencanaan
linir'r mixed integer. Dengan menggunakan metode Branch and Bound
dapat ditelusuri proses pencabangan subpersoalan sehingga penyelesaian optimal dapat
ditentukan.
5.2 Saran
Adapun saran yang dikemukakan sehubungan dengan penelitian ini adalah
:
Penggunaan metode Branch and Bound dalam menyelesaikan masalah perencanaan
Iinier mixed integer membutuhkan waktu yang panjang maka diharapkan penelitian
selanjutnya dapat rnenggunakan metode
perencanaan
lain dalam
menyelesaikan masalah
linier mixed integer untuk mengefisienkan waktu dalam menentukan
penyelesaian optimal.
34
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Elementary Linear Algebra Fifth Edition. Anton Textbooks Inc.
New.York.
Aprilia, S. 2005. Aplikasi algontma Branch and Bound untuk menyelesaikan Integer
Programming Lab Ilmu dan Rekayasa Komputasi. Departemen Teknik
Informatika ITb.
Bronson, R. 1996. Teori dan Soal-soal Operations Research. Erlangg4 Jakarta
Dimyati,T.T. Dimyati,A. 1994. Operation Research Model-model Pengambilan
Keputusan. Sinar Baru Algensindo. Bandung.
to
Friedberg, S.H. Insel.1986. lntroduction
Prentice-Hall. Nen' Jersel
Linear Algebra
xith
Applicafions
.
Hillier, F. S. Liebermen. 2001. Introduction To Operarion Research Serenth E$n:'n
Mc Gret-Hill Inc \err \-ork
Leon, S.J. 1998 .{ljabar Ltnrer l:: \:.--.'..-:r'"' Ei:s: KaL:::l Pens:: E.-"mgun
Jaloarta-
Noble, B. 1988. AppireC
Pedregal, P. 2m-+.
L,:e": r. .:::, l_---: ::::n
Pmr;*i*ruL \fih
.lssdir
[ntrsJ;;t.::,:- '-T.,-*- .--- :i srnrys-\snru \sn l lrmn
i!ilr
Ne* YorL
Rao, S.S. 1995. Optrrruzation The..T
Publishers.
Ne*
::::
{::l-;.i:l;x'r*<
\*
-lge
tmrmm:nu
T-
Delhr
SimarmataA. 1985. Operations Research Sebuah Penganw Tehnik-telrul Crri.:::rx;
kuantatif dan Sistim-sistim Operasionai Gramedra Jak.afla
Strang,
G, 1976.
Supranto,
Linear Algebra and Its Aplication. The Publisher. L SA
J. 20A6. Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan-
Edisi Rerisr.
Universitas Indonesia. Jaliarta.
Tahao
H.A. 2005.
Riset Operasi Suatu Pengantar. Edisi
Jakarta
.
.::i' :
;:1iPt;;p.ri:: i..,r*K
-,,rj.lgy"g$S Tii #. Ai,r
r
iqAl.i
r*
L ;r
;
DENGAN F{ENCGUNAhAN II{ETODE ERANCH AND BO(JND
TESIS
Oleh:
MULYANI.A
06 21s 04?
)i .:.:
i ii .."
i, ..
':
:i
?i
i,1:
tt'
i..
(r
1i,
\T
P
ROG EEA El PA SCASARJAI{A
[ ; ]\ lt' E, RSITAS Al'j t]A LAS
2S{}8
Penyelesaian Mixed Integer Programming
Dengan Menggunakan Metode Branch And Bound
Oleh: Mulyadi.A
(Dibawah bimbingan Dr.Muhafzan, M.Si, dan Haripamyu, M.Si)
RINGKASAN
Dalam permasalahan optimisasi selalu dituntut untuk memaksimalkan atau
meminimalkan sebuah besaran tertentu, yang disebut dengan fungsi tujuan objektif.
Fungsi tujuan objektif
ini
bergantung pada sejumlah variabel masukan (entering
variabel), melalui satu atau lebih kendala (atnstraints'). Model
merepresortasikan pennasalahan tersebut
di
atas dinamakan
trntuk
dengan program linier
(linear programming).
Integer programmir+g adalah bentuk lain dmi program linier dengan variabel
keputusan dibatasi integ,er, mixed integer atau zero-one. Dalam menyelesaikan
masalatr integer
programmilg, dapat digrrnakan beberapa metodg antara lain metode
Branch and Baund, metode Cutting Plane dan metode Balas.
Tujuan dari penelitian ini adalah, jika diberikan masalah perencanaan linier
maksimumkan
z =clrr+C2x2+.'.+CnNn
dengan kendala
4,,x,
t]
I
+
atzxz
+
a.x
b1
aztxt
+
Qzzxz
+
4znx,
b2
ax
;_
a .x.
a
^x^
Bagaimana menyelesaikan permasalahan
di
atas yang variabel keputusannya
merupakan mixed integer, dengan menggunakan metode Braru ch and Baund.
Untuk mencapai tujuan im, beberapa tinjauan pustaka yang berkaitan dengan
permasalahan perencarliuul linier mixed integer, seperti sistim persam:ran linier,sistem
pertidaksamaan linier, matriks, eliminasi Gauss-Jordan, masalah perencaruum linier,
metode simpleks, masalah perencanffm lirner integer dan metode Branch and Bound
.
Dalam metode Branclt and Baund nilai optimat sebuah fungsi tujuan objektif
diperoleh melalui beberapa tahap, yaitu : Branching Bounding dwt Fathoming
Dari hasil penelitian diperoleh kesimpulan bahwa penyelesaian masalah mixed
integer prograrnming dapat dilakukan dengan menggunakan metode Branch and
Bound.
n1
FffiFIT"1
t
BAB
I
PENDAHULT]AN
1.1
Latar Belakang Masalah
Dalam permasalahan optimisasi selalu dituntut untuk memaksimalkan atau
meminimalkan sebuah besaran terlentu, yang disebut dengan fungsi tujuan objektif.
Fungsi tujuan objeldif
ini
bergantung pada sejumlah variabel masukan (entering
variabel), melalui satu atau lebih kendala {constraints}. Model untuk merepresentasi-
kan permasalahan tersebut di atas dinarnakan dengan program linier (linear
programming).
Dalam program linier variabel keputusan dan kendala dibatasi bilangan nyat4
rulmun seringkali suatu keputusan menginginkan variabel berupa bilangan bulat agar
keputusan menjadi
realistih misalnya jika variabel keputusan hasil produksi
suatu
pabrik berupa sepatu alau makanan kalurg. Janggal rasanya kalau suatu keputusan
suatu produksi menghasilkan 20,7 pasang sepatu atau 40,3 makanan kaleng, tetapi akan
.lebih terasa realistik
rnnkanan
jika pabnk tersebut menghasilkan 21 pasang sepatu
kaleng. Untuk
menyelesaikan permasalahan
ini
atau 40 kaleng
digunakan integer
raErammingyang merupalcan bentuk lain dari program linier.
Integer programming dapat dipergunakan untuk menyelesaikan permasalahan
;ilrrk
Ee' linear programming dan integey non-linear pragramming. Integer linear
w":,zrswnins adalah integer prograrntning dengan fungsi tujuan dan kendala berupa
gum'iafsarnaan linier, sedangkan integer non-linear programming adalah integer
pnurrrrvning dengan fungsi tujuan dan kendala berupa pertidaksamaan non-linier.
Fs'm,realahan integer linear programmirtg mencakup permasalahansemua
mglo-- E::ed integer dar
permasalahan zero-one. Permasalahan semua integer adatah
il@ d,fi n integer linecr pragramming dengan semua variabel kendala dan
k€putusan berupa bilangan integer. Permasalahan mixed integer adalah permasalahan
nrcger linear programming dengan kendala dibatasi bilangan integer dan sebagian
ruiab€l keputusan berupa bilangan infeger. Sdangkan permasalahanz€ro-one adalah
permasalalmn integer linear programming dengan variabel keputusan safu dan nol.
Terdapat beberapan metode untuk menyelesaikan masalah integer linear
programming, Dengan metode-metode ini nanti akan dibuat batasan-batasan khusus
1mg akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier untuk bergerak
ln rah
mode
pemecahan
integer, mixed integer
atau zero-one yang diinginkan. Metode-
rru adalatl metode Branch and Bound, metode Cutting Plane dan metode Balas.
Iba
gdd
metode-metode yang adq untuk menyelesaikan integer pragramming dengan
keputusan berupa integer dan mixed integer hanya dapat digunakan metode
lmm ad Boutld dan rnetode Cutting Plane.
Ddam metode Branch ancl Bound penyelesaian tnteger utw mixed integer
dqan
fmH
melakukan pencabangan pada penyelesaian yang bukan integer
eLiEEr did4atkan
batas bawah atau batas atas yang optimal dari suatu permasalahan
integer. Sedangkan dalam metode CuttingPlane dlbuat kendalatambahan
ilg
tsrg daerah penyelesaian
.vang layak dari masalah perenmnaan
integel atail
-drqger. sdringga dapat mengeliminasi penyelesaian yang bukan integer. Proses
pada daeratr penyelesaian yang layak ini terus berlangsurg sehingga
[ren
{f"H penr-elesaian 1'ang diinginkan.
,llk-r
Mesalah
l
Errra
rhui masalah perencanaim linier integer sebagai berikut
fimgsi objektrf
:=crr;+e1x"+.'.+cfrxn
dengan kendala
arrxt
+
atzxz
+
+
atrxo
a^.x.
+
a^^x^
+
+
a^x
:
i
amtl.x.
Q*zXz
Bagaimana menyelesaikan permasalahan
:
a-oxo
di
atas yang variabel keputusarmya
merupakan mixed integer, dengan menggunakan metode Branch ond Bound.
13 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan nilai optimal dari suaiu
fungsi objektif dalam progmm linieryang variabel keputusannyabemilai mised integer
dengan menggunakan metode Brsnch and Bound.
1.4
Manfaat Penelitian
Diharapkan penulisan
ini
dapat memberikan surnbangan pengetahuan baik
kepada penulis sendiri maupun bagt pembaca dalam menyelesaikan masalah
perencanaan mixed ifitsger dengan menggunakan metode
fr€nch and Bound
.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa metode Branch and
Bound dapat digunahan untuk menentukan penyelesaian optimal dalam masalah
perencanaan
linir'r mixed integer. Dengan menggunakan metode Branch and Bound
dapat ditelusuri proses pencabangan subpersoalan sehingga penyelesaian optimal dapat
ditentukan.
5.2 Saran
Adapun saran yang dikemukakan sehubungan dengan penelitian ini adalah
:
Penggunaan metode Branch and Bound dalam menyelesaikan masalah perencanaan
Iinier mixed integer membutuhkan waktu yang panjang maka diharapkan penelitian
selanjutnya dapat rnenggunakan metode
perencanaan
lain dalam
menyelesaikan masalah
linier mixed integer untuk mengefisienkan waktu dalam menentukan
penyelesaian optimal.
34
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Elementary Linear Algebra Fifth Edition. Anton Textbooks Inc.
New.York.
Aprilia, S. 2005. Aplikasi algontma Branch and Bound untuk menyelesaikan Integer
Programming Lab Ilmu dan Rekayasa Komputasi. Departemen Teknik
Informatika ITb.
Bronson, R. 1996. Teori dan Soal-soal Operations Research. Erlangg4 Jakarta
Dimyati,T.T. Dimyati,A. 1994. Operation Research Model-model Pengambilan
Keputusan. Sinar Baru Algensindo. Bandung.
to
Friedberg, S.H. Insel.1986. lntroduction
Prentice-Hall. Nen' Jersel
Linear Algebra
xith
Applicafions
.
Hillier, F. S. Liebermen. 2001. Introduction To Operarion Research Serenth E$n:'n
Mc Gret-Hill Inc \err \-ork
Leon, S.J. 1998 .{ljabar Ltnrer l:: \:.--.'..-:r'"' Ei:s: KaL:::l Pens:: E.-"mgun
Jaloarta-
Noble, B. 1988. AppireC
Pedregal, P. 2m-+.
L,:e": r. .:::, l_---: ::::n
Pmr;*i*ruL \fih
.lssdir
[ntrsJ;;t.::,:- '-T.,-*- .--- :i srnrys-\snru \sn l lrmn
i!ilr
Ne* YorL
Rao, S.S. 1995. Optrrruzation The..T
Publishers.
Ne*
::::
{::l-;.i:l;x'r*<
\*
-lge
tmrmm:nu
T-
Delhr
SimarmataA. 1985. Operations Research Sebuah Penganw Tehnik-telrul Crri.:::rx;
kuantatif dan Sistim-sistim Operasionai Gramedra Jak.afla
Strang,
G, 1976.
Supranto,
Linear Algebra and Its Aplication. The Publisher. L SA
J. 20A6. Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan-
Edisi Rerisr.
Universitas Indonesia. Jaliarta.
Tahao
H.A. 2005.
Riset Operasi Suatu Pengantar. Edisi
Jakarta
.
.::i' :
;:1iPt;;p.ri:: i..,r*K
-,,rj.lgy"g$S Tii #. Ai,r
r
iqAl.i
r*
L ;r
;