Metode Branch And Bound Untuk Menyelesaikan Program Stokastik Integer Dengan Adanya Resiko

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK
INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO

TESIS

Oleh

ADIL H. PANGARIBUAN
087021052/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010

Universitas Sumatera Utara

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK
INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

ADIL H. PANGARIBUAN
087021052/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: METODE BRANCH AND BOUND UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK
INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO
Nama Mahasiswa : Adil H. Pangaribuan
Nomor Pokok
: 087021052
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua

(Dr. Saib Suwilo, MSc)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)

Tanggal lulus: 18 Mei 2010

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 18 Mei 2010

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua
: Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota : 1. Dr. Saib Suwilo, MSc
2. Dr. Sutarman, M.Sc.
3. Dra. Mardiningsih, M.Si.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Tesis ini bertujuan melakukan pengembangan pada metode branch-and-bound, yaitu
dalam rangka menyelesaikan permasalahan multistage stochastic integer programs
with risk dalam hubungannya dengan permasalahan wait-and-see yang dapat dipisahkan kedalam kasus seperti resiko netral. Model-model yang termasuk dalam kelas
ini penyelesaiannya akan disajikan sebagai suatu kombinasi dari algoritma branchand-bound dengan relaksasi non-anticipativity dan kendala percabang (constraint
branching) sepanjang subspaces non-anticipativity.
Kata kunci : Pemograman Stokastik Bilangan Bulat, Model Multi-Tahap,
Model Mean-Risk, Optimasi Program Cacah Campuran.

Universitas Sumatera Utara

i

ABSTRACT

This thesis is addressed to develop branch-and-bound methods, that is to solve multistage stochastic integer programs with risk objectives which is related to wait-and-see
problems which could be separated like risk neutral. All model classified to this is overcome by presenting a combination between branch-and-bound algorithm and relaxation
of non-anticipativity and constraint branching along non-anticipativity subspaces.
Keywords : Stochastic Integer Programming, Multistage Models,
Mean-Risk Models, Mixed-Integer Optimization

Universitas Sumatera Utara

ii

KATA PENGANTAR

Puji Tuhan dan syukur kehadirat-Nya penulis panjatkan, karena berkat dan kasih
karunia-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan perkuliahan tepat waktu dan menyelesaikan tugas akhir ini, yang berupa tesis dengan judul ”METODE BRANCH
AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK INTEGER
DENGAN ADANYA RESIKO”.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti
perkuliahan pada Program Studi Magister Matematika.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister
Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan juga selaku Ketua Komisi pembimbing tesis ini, yang telah dengan
penuh kesabaran memotivasi dan membimbing penulis hingga selesainya tesis ini dengan baik.
Bapak Dr. Saib Suwilo, MSc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera
Utara dan juga selaku anggota pembimbing tesis, yang telah banyak memberikan
saran dan masukan, juga motivasi belajar selama masa perkuliahan.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku pembanding dan penguji atas segala saran dan petunjuk yang diberikan.
Gubernur Sumatera Utara yang telah memberi bantuan Beasiswa pendidikan
kepada penulis melalui BAPEDASU.
Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.si ; Prof. Dr. Opim Salim, MIkom. PhD ;
Drs. Marwan Harahap, M.Eng; Dr. Tulus, M.Si ; Drs. Open Darnius, M.Sc
; Drs. Marihat Situmorang,M.Kom ; Drs. S.Arriswoyo,M.Sc ; Drs. Sawaluddin,M.IT sebagai staf pengajar yang telah memberikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan.
Rekan mahasiswa angkatan 2007-2008 atas kerjasama dan kebersamaan yang indah selama perkuliahan dan rekan guru SMA Negeri 4 Medan yang turut memberi
motivasi. Juga kepada adinda tercinta Sri Wahyuni Sirait.SE yang banyak memberi semangat dan inspirasi kepada penulis sebelum dan semasa perkuliahan.
Universitas Sumatera Utara

iii

Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih dan sayang yang mendalam
kepada orang tua penulis Ayahanda Drs. JT. Pangaribuan dan Ibunda T. br Napitupulu (alm), abang, adik-adik, ipar dan semua keponakan saya yang senantiasa

memberikan dukungan dan mendoakan keberhasilan penulis dalam menyelesaikan
pendidikan ini.
Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis
berterimakasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Tuhan Yang Maha Kuasa
membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, Amin.
Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namunpun demikian penulis
berharapan semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya. Sekian dan terimakasih.
Medan, 18 Mei 2010
Penulis,

Adil H. Pangaribuan

Universitas Sumatera Utara

iv

RIWAYAT HIDUP

A. DATA PRIBADI
Nama

: Adil H. Pangaribuan

Tempat/tanggal lahir : Jakarta/10 Pebruari 1967
Jenis kelamin

: Laki-laki

Agama

: Kristen Protestan

Alamat Rumah

: Jl. Helvetia Raya No.65 Medan 20124

Nama Orang Tua

: Drs.JT.Pangaribuan (Ayah)
: (Alm) T. br. Napitupulu (Ibu)

B. Riwayat Pendidikan
1973-1979

: SD Bethel Jakarta

1979-1982

: SMP Bethel Jakarta, SMP Nasrani Medan

1982-1985

: SMA Negeri 11 Medan

1985-1988

: FMIPA Program D-3 Matematika USU Medan

1993-1996

: FPMIPA Program Pendidikan Matematika IKIP Medan

2008-2010

: Program Pascasarjana Magister Matematika USU Medan

C. Pengalaman Kerja
1989-1991

: Guru PNS pada SMU Negeri Ranai Kab. Kep.RIAU

1991-Sekarang

: Guru PNS pada SMU Negeri 4 Medan

Universitas Sumatera Utara

v

DAFTAR SIMBOL

Scenario tree representation
τ
G
G

t

Z

=

number of stages

=

set of scenario groups.

=

set of scenario groups in stage t, for t = 1, . . . , τ

=

Benefit at end of period H

The Algorithm
L
i

=

Daftar subproblem

=

Nomor iterasi; also used to indicate the subproblem selected

i

=

Subset corresponding to iteration i

αi

=

Batas atas yang diperoleh pada iterasi ke i

βi

=

Batas bawah pada subproblem ke i

=

Penyelesaian layak untuk nilai subproblem ke i

U

=

Batas atas pada nilai optimal global

L

=

Batas bawah pada nilai optimal global

X∗

=

Kandidat optimum global

P

X

i

Probabilitas dan Ukurannya
Ω

= ruang kejadian

ω

=

elemen dari Ω, kejadian

P

=

ukuran probabilitas pada Ω

(Ω, ω, P)

=

ruang probabilitas

ξ

=

variabel acak pada (Ω, ω, P) dengan realisasi didalam R

E

=

nilai ekspektasi

R

=

ukuran resiko umum

Fungsi Biaya Acak
x

=

variabel keputusan dalam Rn

ξ

=

parameter acak dalam Rl

QE

=

fungsi nilai ekspektasi yang dipetakan dari dari Rn ke R

QR

=

fungsi resiko umum yang dipetakan dari Rn ke R

(ξt )Tt=1

=

proses stokastik data diskrit

Universitas Sumatera Utara

vi

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR SIMBOL

vi

DAFTAR ISI

vii

DAFTAR TABEL

ix

DAFTAR GAMBAR

x

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Kontribusi Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 LANDASAN TEORI

7

3.1 Program Stokastik

7

3.2 Program Stokastik Dua-Tahap (two-stage models)

8

3.2.1 Program Stokastik Cacah Campuran

9

3.3 Program Stokastik Multi Tahap (Multistage Stochastic Program)

10

3.3.1 Model Ekspektasi

10

3.3.2 Pemahaman Resiko dan Ukuran Resiko (Risk Measures)

11

3.4 Separable Wait-And-See Problems
BAB 4 PEMBAHASAN

15
19

4.1 Metode Branch And Bound

19
Universitas Sumatera Utara

vii

4.2 Pengembangan Metode Branch And Bound

21

4.2.1 Algoritma

21

4.2.2 Pengembangan Algoritma

23

4.3 Komputasi

26

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

28

5.1 Kesimpulan

28

5.2 Saran

28

DAFTAR PUSTAKA

29

LAMPIRAN 1

30

LAMPIRAN 2

31

LAMPIRAN 3

34

Universitas Sumatera Utara

viii

DAFTAR TABEL

Nomor
5.1

Judul

Halaman

Computational results for multiknapsack problems

30

Universitas Sumatera Utara

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

4.1

Scenario tree ; multistage

20

4.2

The enumeration tree

20

4.3

Tree of subproblems and results of LP relaxations

21

Universitas Sumatera Utara

x

ABSTRAK
Tesis ini bertujuan melakukan pengembangan pada metode branch-and-bound, yaitu
dalam rangka menyelesaikan permasalahan multistage stochastic integer programs
with risk dalam hubungannya dengan permasalahan wait-and-see yang dapat dipisahkan kedalam kasus seperti resiko netral. Model-model yang termasuk dalam kelas
ini penyelesaiannya akan disajikan sebagai suatu kombinasi dari algoritma branchand-bound dengan relaksasi non-anticipativity dan kendala percabang (constraint
branching) sepanjang subspaces non-anticipativity.
Kata kunci : Pemograman Stokastik Bilangan Bulat, Model Multi-Tahap,
Model Mean-Risk, Optimasi Program Cacah Campuran.

Universitas Sumatera Utara

i

ABSTRACT
This thesis is addressed to develop branch-and-bound methods, that is to solve multistage stochastic integer programs with risk objectives which is related to wait-and-see
problems which could be separated like risk neutral. All model classified to this is overcome by presenting a combination between branch-and-bound algorithm and relaxation
of non-anticipativity and constraint branching along non-anticipativity subspaces.
Keywords : Stochastic Integer Programming, Multistage Models,
Mean-Risk Models, Mixed-Integer Optimization

Universitas Sumatera Utara

ii

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Dalam setiap pengambilan keputusan para pengambil keputusan akan selalu berhadapan dengan lingkungan dimana salah satu karakteristik yang paling menyulitkan
adalah adanya ketidakpastian/ketidakmenentuan (uncertainty). Pemograman stokastik merupakan model optimalisasi masalah (optimazion problem) yang melibatkan
ketidakpastian dalam lingkungan data yang tidak lengkap dari suatu waktu ke waktu
yang berikutnya. Sebagai contoh, jika banjir melanda, model pemograman stokastik
akan bekerja menggunakan berbagai skenario banjir; kemampuan mensuplai sumber
daya ke berbagai lokasi terpisah, serta biaya tetap dan variabel yang terkait dengan
penyebaran berbagai sumber daya pengelolaan banjir untuk mengelola beragam tindakan resiko. Resiko merupakan suatu kondisi tidak pasti dengan peluang kejadian
tertentu yang jika terjadi akan menimbulkan konsekuensi tidak menguntungkan.
Dengan menggunakan probabilitas untuk faktor-faktor yang mempengaruhi hasilnya, model akan menggambarkan bagaimana sumber daya yang terbatas dapat memenuhi kebutuhan atau kekurangan di waktu mendatang. Dengan demikian, resiko
dan manfaat dari berbagai kemungkinan dapat ditelusuri. Pemograman stokastik
menawarkan kekuatan dan fleksibilitas pemodelan yang lebih besar, tetapi membutuhkan waktu pemrosesan berbiaya tinggi. Namun demikian, pemograman stokastik
mengalami kemajuan berkat pengembangan algoritma yang lebih efisien dan prosesor
komputer yang lebih cepat. Artinya, masa depan tidak diprediksi dengan peramalan,
tetapi keputusan yang diambil mendukung berbagai skenario yang mungkin.
Dalam model optimasi stokastik, parameter tertentu adalah variabel stokastik
yang mempunyai beberapa distribusi peluang yang kontiniu atau diskrit (Birge, et
al., 1997). Model ini mengandung unsur acak atau distribusi peluang dimana beberapa data yang termuat pada fungsi tujuan (objective function) ataupun kendala
(constraints) mengandung ketidakpastian yang dicirikan oleh distribusi peluang pada
parameter dan keputusan yang akan dioptimalkan tersebut tidak harus mengantisipasi
(non-anticipativity) hasil berikutnya (future information).
Berbagai jenis program stokastik, satu diantaranya adalah yang berkenaan dengan resiko (risk aversion). Risk aversion telah mendapat perhatian dalam pemograman stokastik. Bagaimana menggabungkan faktor risiko ke dalam program stokastik,
Universitas Sumatera Utara

1

2
telah menjadi hal yang menarik. Alat analisa yang digunakan dalam kasus resiko dan
ketidakpastian adalah probabilitas. Fungsi tujuan pada pemograman linier tidak lagi
didasarkan hanya pada nilai harapan semata (expected value), tetapi telah disertakan
suatu ukuran yang pantas untuk mengekspresikan risiko kedalamnya. Risiko diukur
dengan ekspektasi deviasi dari varibel acak yang cocok terhadap rata-rata atau dari
target yang ditentukan.
Dalam pemograman dinamik (dynamic programming), suatu permasalahan yang
kompleks dan berskala besar dipecah-pecah/diuraikan menjadi beberapa bagian kecil (dekomposisi/decomposability) untuk kemudian dioptimalisasi (Carøe et.al 1999).
Model ketidakpastian dengan objek acak dapat menyebabkan persoalan program stokastik menjadi disversi, yang sering dikenal sebagai model dua-tahap (two-stage models). Program stokastik multi-tahap (Multistage stochastic programs) dinamikanya
lebih kompleks dan memerlukan perlakuan non-anticipativity yang lebih terperinci,
dimana ketidakpastian juga dilenyapkan secara bertahap dengan tingkat keputusan
yang tidak harus mengantisipasi informasi yang akan datang. Two-and-multistage
risk neutral stochastic programs berubah menjadi masalah pengoptimuman dari struktur blok berskala besar jika yang mendasarinya adalah distribusi probabilitas diskrit.
Hubungannya dengan risk-aversion adalah membahas tentang berbagai pemilihan
ukuran resiko yang memiliki dampak cukup berarti untuk dipertimbangkan, misalnya
deviasi, model mean-risk, koheren dan konveks, polyhedral risk measure, dan Multiperiod CV aR risk measure .
Program linier cacah campuran (mixed-integer linear programs) yang berskala
besar, telah membawa program stokastik ke model wait-and-see, yakni: kendala relaxing non-anticipativity, fully-decouples dimana model ini dimasukkan ke masingmasing subproblem untuk setiap skenario dari sebaran probabilitas diskrit. Untuk
ukuran yang lainnya, relaxing non-anticipativity tidak cukup untuk sampai di skenario tunggal subproblem. Dalam kasus multistage, ada suatu sistim yang utuh dari
identitas-identitas yang sesuai untuk setiap langkah yang menghubungkan subsetsubset dari skenario. Hal ini membuat masing-masing heuristik permasalahan menjadi jauh lebih kompleks/rumit. Dengan mengidentifikasi ukuran resiko multiperiod
lalu menggabungkannya ke multistage linear mixed-integer stochastic programs maka akan melibatkan model wait-and-see, sehingga diharap dapat dikembangkan suatu
model penyelesaian bagi masalah-masalah multistage linear mixed-integer stochastic
programs yang menyertakan resiko. Hal-hal ini memberikan dasar bagi suatu pengembangan algoritma branch-and-bound yang melibatkan relaxation of non-anticipativity.

Universitas Sumatera Utara

3
1.2 Perumusan Masalah
Resiko (risk aversion) telah menjadi bidang penelitian aktif pada stochastic integer
programming. Dan metode branch-and-bound yang berupa pohon pencarian telah
umum digunakan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan pemograman linier bilangan bulat. Untuk problem stokastik dengan jumlah skenario yang
besar dirasa perlu adanya suatu metode penyelesaian yang lebih efisien. Selanjutnya, berdasarkan latarbelakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini
adalah bagaimana mengembangkan metode branch and bound tersebut sehingga dapat menangani persoalan program linier yang stokastik khususnya yang menyertakan
resiko pada fungsi objektifnya.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pengembangan pada metode branch-andbound. Pengembangan dilakukan dengan memperbaharui kembali algoritma branchand-bound yang umum, sehingga diharap dapat menyelesaikan masalah-masalah yang
berhubungan dengan program stokastik linier cacah campuran multi-tahap (multistage linear mixed-integer stochastic programs) yang menyertakan resiko pada fungsi
objektifnya.
1.4 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan teoritis dalam bidang matematika secara umum, khususnya matematika terapan sehingga berguna bagi para
mahasiswa/peneliti dalam memahami hal-hal yang berkaitan dengan metode branch
and bound untuk menyelesaikan program stokastik integer.
1.5 Metode Penelitian
Metodologi penelitian yang dilakukan adalah bersifat literatur yaitu berupa penjelasan dan uraian. Informasi dikumpulkan dari berbagai referensi: buku dan jurnaljurnal ilmiah internasional yang berhubungan dengan judul tersebut.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Mengkaji berbagai literatur terkait, untuk menguraikan hal-hal:
(a) Program Stokastik Integer (stochastic integer programming).
(b) Program Stokastik dua-tahap (two-stage models).
Universitas Sumatera Utara

4
2. Menguraikan inti dari penelitian ini, yaitu melakukan pengembangan metode
branch-and-bound dalam menangani persoalan stokastik integer yang menyertakan resiko pada fungsi objektifnya dengan langkah-langkah:
(a) Mengkaji multistage stochastic integer programs yang meliputi:
i. Model Ekspektasi
ii. Ukuran Resiko:
a. One-Period Polyhedral
b. Expected Excess
c. Conditional Value-at-Risk (CV aR)
d. Multiperiod Polyhedral
e. Multiperiod CV aR
(b) Mengkaji Wait-and-See problem.
(c) Menyajikan Algoritma Branch And Bound yang dimaksud.
3. Bagian akhir adalah menetapkan kesimpulan dan saran-saran.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Problema-problema yang disebabkan oleh ketidakpastian didalam data disajikan dengan stokastik, yakni stokastik programming atau optimasi pada kondisi ketidakpastian. Semakin besar ketidakpastian akan tingkah-laku suatu sistem, semakin penting
pula penerapan model stokastiknya. Didalam model optimasi stokastik, parameter
tertentu adalah variabel stokastik yang mempunyai beberapa distribusi peluang yang
kontiniu atau diskrit (Birge dan Louveaux, 1997 ; Kall dan Wallace,1994). Belakangan
ini hal risk aversion mendapat perhatian lebih pada pemograman stokastik. Pengukuran resiko yang berhubungan dengan ketidakpastian investasi telah menjadi topik
utama dalam matematika finansial untuk beberapa dekade ini. Fungsi tujuan (objective function) kini tidak lagi didasarkan hanya pada nilai harapan/expectation semata tetapi juga tinjauan resiko/risk measure yaitu suatu nilai/ukuran yang pantas
untuk mengekspresikan risiko tersebut. Markert dan Schultz (2005) telah menunjukkan ektensi dari ekspektasi tradisional berdasarkan program integer stokastik ke
model mean-risk. Risiko diukur dengan ekspektasi deviasi dari varibel acak yang cocok terhadap rata-rata atau dari target yang ditentukan. Ukuran deviasi termasuk
ukuran resiko yang mencerminkan dispersi dari objek acak dan juga model mean-risk
yang diperluas dari hasil model berdasarkan sifat-sifat struktur seperti kontinuitas,
turunan (diferensial) dan konveksitas dari kestabilannya.
Sifat-sifat struktural dari hasil program stokastik dan algoritma untuk dekomposisi masalah juga diperlihatkan. Eichhorn dan Romisch (2000) telah menunjukkan
program stokastik multi-tahap dengan ukuran resiko polihedral pada fungsi objektifnya serta sifat-sifat kestabilannya berdasarkan struktur dekomposisi.
Hasil kestabilan yang didapat untuk program stokastik multi-tahap dengan ekspektasi, dibawa kedalam kasus objektifitas resiko polihedral. Ukuran resiko polyhedral didefnisikan sebagai nilai optimal dari program stokastik linier yang pasti dimana
argumen dari ukuran resiko berdasarkan ruas kanan (right hand side) dari kendala dinamik. Representasi dual untuk ukuran resiko polihedral diturunkan dan digunakan
untuk menghasilkan kriteria konveksitas dan koherensi. Pengukuran risiko lainnya
adalah multiperiod yang akan digabungkan ke dalam program stokastik multi-tahap,
membentuk model wait-and-see. Selanjutnya pembahasan komprehensif dari order
stokastik termasuk dominan stokastik digunakan pada konsep dominan stokastik untuk mendisain algoritma pada masalah optimisasi stokastik spesial telah diperlihatkan
Universitas Sumatera Utara

5

6
oleh Artzner et al. (1999, 2003) yang merupakan konsep aksiomatik dari ukuran resiko
koheren dan konveks secara luas.
Pengembangan algoritma yang efisien dan mampu menyelesaikan problem dengan jumlah skenario besar merupakan salah satu tantangan dalam program stokastik. Teori penyelesaian program-program stokastik dua-tahap dengan algoritma
yang membatasi nilai yang progresif telah disajikan oleh Rockafellar and Wets (1998).
Teknik optimalisasi ganda (Dualitas Lagrangean), mendasari algoritma yang diperkenalkan oleh Caroe dan Schultz (1999) dengan mengajukan teknik heuristics untuk
dipakai dalam algoritma branch and bound. Lulli dan Sen mengusulkan algoritma branch and price untuk menyelesaikan tahap-ganda dengan struktur tertentu.
Alonso-Ayuso, et al., mengajukan skema koordinasi branch and fix untuk menyelesaikan pure integer stokastik. Mereka menyelesaikan metode branch and bound untuk
setiap problem skenario dengan merealisasikan kendala dan antisipatinitas melalui
prosedure yang dirancang untuk mengkoordinasikan kendala pencarian branch and
bound, sehingga kendala dan antisipatinitasnya dipenuhi.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
LANDASAN TEORI

3.1 Program Stokastik
Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan untuk menentukan nilai optimal. Program stokastik merupakan
bagian dari program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada fungsi
tujuan (fungsi objektif) atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan dengan distribusi peluang pada parameternya. Program stokastik dapat berupa linier,
cacah, cacah campuran, ataupun non linear, dengan menyertakan elemen stokastik
pada data.
Secara formal proses stokastik dinyatakan dengan X = {X (t) ; t ∈ T } yang
didefinisikan sebagai barisan variabel acak, yang mana untuk setiap t dati T mempunyai variabel acak X (t) dengan t disebut indeks atau parameter ”waktu”. Semua kemungkinan nilai yang terdapat pada variabel acak disebut ruang status (state
space). Persoalan seperti pertambahan biaya marginal atau penurunan perolehan
marginal dari sebuah proses produksi atau proses penjualan atau proses investasi dan
lain sebagainya, merupakan persoalan program matematika yang secara umum dapat
dimodelkan sebagai:
Min Z = g0 (x)
dengan kendala gi (x) ≤ 0 , i = 1, 2, 3, . . . , m
x ∈ X ⊂ Rn
dimana diketahui X adalah himpunan real yang non-negative
dan x adalah variabel keputusan
gi : Rn → R , i = 0, 1, 2, . . . , m
Model proses pengambilan keputusan terhadap suatu persoalan stokastik, dimana
yang diperlukan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan
biaya rata-rata harapan (ekspektasi) sebagai konsekwensi dari keputusan yang telah
diambil, dikenal sebagai model rekursif (recourse).
Program linier acak dari tipe ini adalah:
inf

{ c x + q (ω) y (ω) : T (ω) x + W (ω) y (ω) = h (ω)}

(3.1)

x∈X,y(ω)∈R+m

Universitas Sumatera Utara

7

8
Parameter acak ξ := (q, T, W, h) : Ω → Rm × Rs×n × Rs×m × Rs adalah terdefinisi


pada ruang probabilitas (Ω, P, A) dan himpunan X ⊂ x ∈ Rn+ : A x = b , mengandung semua kendala deterministik pada variabel x. Model recourse dibentuk dengan

menambahkan ukuran fungsi objektif, yang dinyatakan dengan model seperti berikut:
inf {c (ω) x + Φ (x, ξ (ω))}

(3.2)

x∈X

dimana ,

Φ (x, ξ (ω)) = inf {qy : T (ω) x + W y = h (ω)}
n
x∈R+

(3.3)

asalkan Φ : Rn × Rs×n × Rs → ×R dapat diukur dan Z := { c x + Φ (x, ξ (ω))
: x ∈ X } dianggap sebagai rumpun variabel-variabel acak. Sekarang setiap fungsi
R : Z → R berupa nilai ekspektasi, dan merupakan ukuran resiko atau jumlah
bobot keduanya (expectation dan risk ) yang dapat digunakan sebagai ukuran fungsi
objektifnya.
3.2 Program Stokastik Dua-Tahap (two-stage models)
Konsep dari recourse telah banyak diaplikasikan pada program stokastik linier, program integer dan program non linier. Persamaan kendala pada (3.1) dapat dipedomani dengan menambah variabel-variabel slack yang tepat, dan model yang ditunjukkan sebagai model dengan dua-tahap (two-stage models). Untuk program stokastik
linier dua-tahap mempunyai formulasi standar:
M in cT x + Eω∈Ω [Q (x, ω)] dimana: x ∈ X,
dengan:

Q (x, ω) = Min f (ω)T y

(3.4)
(3.5)

dimana: D (ω) y ≥ h (ω) + T (ω) x,
y ∈ Y,
dimana X ⊆ Rn1 , c ∈ Rn1 dan Y ⊆ Rn2 adalah himpunan Polyhedral. c ∈ Rn1 dan ω
sebuah variabel acak dari ruang probabilitas (ω, F, P) dengan Ω ⊆ Rk , f : Ω → Rn2
, h : Ω → Rm2 , D : Ω → Rm2 ×n2 dan T : Ω → Rm2 ×n1 . Problema pada persamaan
(3.4) dengan variabel x merupakan tahap pertama yang diperlukan untuk ditentukan
terlebih dahulu guna merealisasikan parameter ketidakpastian ω ∈ Ω pada problema
persamaan (3.5) dimana y merupakan variabel tahap kedua.

Universitas Sumatera Utara

9
Sebagai ilustrasi, bentuk persoalan two-stage stochastic integer program (pure
integer ), misalnya seperti berikut:
Min: − 1.5x1 − 4x2 + E [Q (x1 , x2 , ω1 , ω2 )]
s.t:

x1 , x2 ∈ [0, 5] ∩ Z,

Q (x1 , x2 , ω1 , ω2 ) = min {−16y1 − 19y2 − 23y3 − 28y4 }
2
1
s.t: 2y1 + 3y2 + 4y3 + 5y4 ≤ ω1 − x1 − x2
3
3
1
2
6y1 + y2 + 3y3 + 2y4 ≤ ω2 − x1 − x2
3
3
y1 , y2 , y3 , y4 ∈ {0, 1} ,

dengan:

3.2.1 Program Stokastik Cacah Campuran
Pada program Stokastik integer campuran, beberapa variabel tertentu dibatasi pada bilangan integer, sedangkan yang lain-nya tidak. Dalam problema stokastik integer campuran ini, dilakukan bertahap atau rekursif dengan minimal dua-tahap.
Pendekatan penyelesaian dari masalah program stokastik dua-tahap (recourse)adalah
dengan variabel-variabel tahap pertama yang diskrit yakni:
X = {x ∈ Z n1 A x = b, 0 ≤ x}
dan variabel-variabel tahap kedua yang kontiniu atau diskrit yaitu:
y∈Y =



y ∈ Rn+ beberapa yi boleh integer



(3.6)

Selanjutnya diidentifikasi parameter acak dari program stokastik integer campuran
berikut:
Min

n

cT x + q T y : T x + W y = Z (ω) , x ∈ X, y ∈ Z+m × Rm
+

t

o

(3.7)

Bersamaan dengan informasi dari kendala yang ada bahwa dalam tahap pertama
x harus dipilih terlebih dahulu untuk meninjau Z (ω), selanjutnya pada tahap kedua
y yang dipilih dan kondisi ini sering menjadi acuan agar pemilihan y ini tidak mendahului pemilihan nilai x. Berikutnya diasumsikan bahwa vektor-vektor dan matriks
pada persamaan (3.7) memiliki ukuran yang dapat dipenuhi, dimana W memiliki
masukkan bilangan rasional, dan x ⊆ Rm adalah sebuah polyhedron tak nol, yang
boleh jadi meliputi integer yang dibutuhkan untuk nilai komponen-komponen dari x.
Universitas Sumatera Utara

10
3.3 Program Stokastik Multi Tahap (Multistage Stochastic Program)
3.3.1 Model Ekspektasi
Pertimbangkan urutan yang terbatas dari proses pengambilan keputusan di bawah
ketidakpastian dimana keputusan χt ∈ Rnt untuk setiap t ∈ {1, ..., T } hanya berlaku
menurut informasi yang tersedia sampai pada waktu t saja. Informasi terjadi sebagai
satu proses data discrete time stochastic ξ = (ξt )Tt=1 pada beberapa ruang probabilitas (Ω, F, P) dengan nilai dari XTt=1 Rmt . Dengan menguraikan Ft = σ (ξ1 , ..., ξt )
,t = 1 , ..., T , menurut aljabar zigma dapat dihasilkan vektor acak (ξ1 , ..., ξt ). Kemudian diasumsikan bahwa ξ1 adalah deterministik, yaitu F1 = {Ø,Ω}, dan bahwa
Fr = F, jelaslah bahwa Ft ⊆ Ft+1 untuk semua t = 1 , ..., T − 1 Non-anticipativity.
Dengan menggunakan conditional expectations, kemudian dapat diekspresikan sebagai: Ht (χt ) := χt − E [χt |Ft ] = 0.
Diperlukan bahwa χ = (χt )Tt=1 harus memenuhi kendala-kendala:
χt ∈ X t ,
Ht (χt ) = 0,
Bt (ξt ) χt ≤ dt (ξt )
t−1
X

At,τ (ξt ) χt−τ = ht (ξt ) ,

t = 1, . . . , T,

τ =0

dan terdapat biaya-biaya bt (ξt )⊤ χt untuk t = 1, ..., T .
Himpunan tertutup Xt yang convex hulls adalah berbentuk polyhedra, ini adalah
kelompok pertama dari model sederhana yang menentukan kendala. Secara khusus,
ini mencakup persyaratan untuk keutuhan komponen dari χ. Kelompok kedua adalah
model non-anticipativity. Kelompok ketiga dan keempat selanjutnya adalah pasangan
kendala (coupling constraints) dan kendala-kendala dinamis (dynamic constraints)
yang menghubungkan setiap langkah berturut-turut.
Koefisien biaya bt (.), ruas kanan dt (.), ht (.), dan matriks At,τ (.), Bt (.) seharusnya
memiliki dimensi yang sesuai dan bergantung pada persamaan linier ξt , untuk semua
t dan τ yang bersesuaian.
Variabel-variabel keputusan χt dipahami sebagai fungsi keanggotaan (members
of function) dari ruang Lp (Ω, F, P; Rnt ), p ∈ [1, ∞] , t ∈ {1, ..., T }. Kendala-kendala
dari kelompok yang pertama, ketiga dan keempat dipahami sebagai yang terpenting
dalam penerapan P. Kelompok kendala yang kedua menentukan functional conditions,
yang dalam kenyataannya fungsi keanggotaan dalam subspace linier cocok terhadap
×Tt=1 Lp (Ω, F, P; Rnt ). Yang mana X (ξ) menunjukkan suatu himpunan yang layak
Universitas Sumatera Utara

11
untuk semua χ ∈ ×Tt=1 Lp (Ω, F, P; Rnt ). Selanjutnya, pembahasan dititikberatkan
pada isu algoritmik dalam hubungannya dengan finite discrete ξ. Oleh karena itu,
untuk p = ∞ asumsi berikut dapat dipahami. Untuk setiap daerah feasible χ ∈ X (ξ)
mempengaruhi variabel-variabel biaya-acak (random cost variables):
zt :=

t
X

bτ (ξτ )T χτ ,

t = 1, . . . , T

(3.8)

τ =1

yang mana z1 adalah deterministik karena ξ1 juga deterministik.
Variabel-variabel acak ini, mewakili akumulasi biaya dari waktu ke waktu, yang dapat
ditinjau dari sudut pandang yang berbeda: dalam kasus hanya permasalahan biaya
akhir, berarti zT adalah obyek yang penting. Jika pemantauan intermediate cost
adalah sebuah isu, maka seluruh vektor (z1 , . . . , zT ) harus disertakan kedalam perhitungan. Kemungkinan lain adalah dengan mempertimbangkan kenaikan dari pada
biaya-biaya yang terakumulasi, yang mana perbedaan-perbedaan zτ +1 − zτ , τ = 1,
. . . , T − 1 menjadi bersesuaian. Hal ini mencerminkan pandangan-pandangan yang
berbeda dari suatu perbedaan yang utama antara permasalahan multi-tahap dan
dua-tahap. Untuk selanjutnya, yang hanya menjadi perhatian dari random cost object adalah zT = z2 .
Apapun pandangan yang diambil, dalam menyelesaikan program multistage stochastic tersebut, yaitu dengan mencari sebuah χ ∈ X (ξ) yang ’terbaik’ untuk menemukan anggota keluarga vektor acak {(z1 , . . . , zT ) : χ ∈ X (ξ) yang ’terbaik’ atau
suatu keluarga terkait yang berasal dari salah satu pandangan-pandangan di atas.
Spesifikasi yang ’terbaik’ kemudian tercapai dengan membandingkan vektor-acak dengan bantuan parameter statistik. Pada risk neutral multistage stochastic programs,
parameter yang relevan adalah expectation yang diterapkan terhadap seluruh akumulasi biaya zT , yang dinyatakan dalam model ekspektasi:
min {E [zT ] : χ ∈ X (ξ)}

(3.9)

3.3.2 Pemahaman Resiko dan Ukuran Resiko (Risk Measures)
Sebagian besar masalah di dunia nyata dalam riset operasi melibatkan data yang tidak
pasti. Jadi, mencari keputusan yang optimal untuk memilih sebuah yang ”terbaik”
dari variabel acak. Kemudian muncul pertanyaan, kriteria apa yang akan digunakan
untuk penseleksian tersebut. Untuk menggabungkan risiko ke dalam program stokastik multi-tahap, parameter -parameter statistik yang disebut risk-measures diterapkan ke variabel-variabel acak z1 ,. . .,zT model expectation dari sub-bagian 3.3.1 diatas.
Pada suatu program multistage stochastic, hasil dari sebuah vektor biaya-acak mempengaruhi pemilihan hasil pada fungsi tujuan dalam dua-tahap dengan mengambil
Universitas Sumatera Utara

12
sebahagian dari nilai variabel acak. Konsep dari ukuran resiko polyhedral (polyhedralrisk ) yang diperkenalkan oleh Eichhorn and Romisch, (2005) terbukti sangat fleksibel
yang merupakan aspek penting dari pemodelan multiperiod dan dalam menurunkan
struktur hasilnya.
Program stokastik dengan resiko pada fungsi tujuan (polyhedral risk-objectives)
akan membentuk suatu kelas yang substansial pada algorithma branch and bound.
Suatu ukuran risiko ρ dipahami sebagai suatu fungsi dari beberapa rangkaian variabel
acak yang bernilai real ke bilangan real (pengukuran risiko one-periode) atau sebagai fungsi dari beberapa himpunan vektor acak ke bilangan real (pengukuran risiko
multiperiod ).
Definisi 1 : (Ukuran Resiko One-Period Polyhedral)
Suatu ukuran risiko ρ pada Lp (Ω, F, P) dengan beberapa ρ ∈ [1, ∞] disebut sebagai
polyhedral jika terdapat k1 , k2 ∈ N, c1 , w1 ∈ Rk1 , c2 , w2 ∈ Rk2 , sebuah polyhedral
yang tidak kosong Y1 ⊆ Rk1 , dan sebuah kerucut polyhedral Y2 ⊆ Rk1 untuk setiap
z ∈ Lp (Ω, F, P)




ρ (z) = inf cT1 y1 + E cT2 y2 : y1 ∈ Y1 , y2 ∈ Lp (Ω, F, P) ,

y2 ∈ Y2 , w1T y1 + w2T y2 = −z

(3.10)

Dalam penyajian penelitian ini, yang diterapkan adalah pengaturan minimisasi.
Pada definisi 1 dapat mengakomodasi pengaturan mean-risk dimana risiko z diukur
dengan sejumlah E [z] dan beberapa ρ (z) yang memenuhi pada persamaan (3.10).
Memang, dengan µ ∈ [0, 1] jumlah bobot ρˆ := µρ+(1 − µ) E sesuai dengan persamaan
(3.10) ketika pengaturan cˆ1 := µc1 − (1 − µ) w1 , cˆ2 := µc2 − (1 − µ) w2 , wˆ := w1
, wˆ2 := w2
Suatu polyhedral risk measure dapat dilihat sebagai suatu nilai yang optimal
pada suatu program stokastik dua-tahap dengan ruas kanan yang random. Istilah
’polyhedral ’ didorong oleh fakta bahwa untuk ♯ Ω yang berhingga (finite), ρ adalah
suatu fungsi polyhedral pada R♯Ω .
Definisi 1 meliputi tindakan pengukuran resiko sebagaimana yang ditunjukkan
pada contoh-contoh berikut:
Contoh 1 (Expected excess)
Expected excess dari suatu variabel acak z ke suatu target η ∈ R yang diberikan oleh
Universitas Sumatera Utara

13


EE β (z) := E (z − η)+ , dimana a+ := max {a, 0}.

Hal ini sesuai dengan persamaan (3.10) dengan menetapkan: k1 := 1, k2 := 2, c1 :=
0 , c2 := (1, 0) , w1 := −1 , w2 := (−1, 1) , Y1 := {η} , Y2 := R2+ .
Contoh 2 ( Conditional Value-at-Risk/CV aR )
Dengan beberapa probability α ∈ ]0, 1[ dan α− conditional value-at-risk (α − CV aR)
CV aRα (z) dari suatu peubah acak z diberi oleh:
CV aRα (z) := inf
η∈R



η+

1
1−α



E (z − η)+

Hal ini sesuai dengan persamaan (3.10) dengan pengaturan: k1 := 1, k2 := 2 , c1 :=
1 , c2 := (1/ (1 − α) , 0) , w1 := −1 , w2 := (−1, 1) , Y1 := R, Y2 := R2+ .
Secara khusus, skenario dekomposisi dapat diakomodasi untuk menghasilkan
penyelesaian yang lebih berarti dari mean-risk problems.
Ukuran lain bagi ’resiko’ yang telah dipelajari dalam konteks dua-tahap program
integer stokastik adalah probabilitas P [z > η] melampaui target η ∈ R yang diberikan.
Meskipun tidak ada perwakilan dari ukuran resiko polyhedral yang dikenal sebagai akses probabilitas, skenario dekomposisi masih dapat disesuaikan. Semideviation SD (z)
:=E[(z−E (z))+ ] adalah sebuah contoh untuk sebuah risk measure (ukuran resiko) dimana skenario dekomposisi tidak dapat diakomodasi secara langsung, karena setelah
relaksasi non-anticipativity beberapa pasangan skenario masih tetap dalam model
dua-tahap. Batas bawah merupakan fungsi yang diharapkan dengan target yang dipilih secara tepat, juga memungkinkan penggunaan skenario dekomposisi dalam sebuah
cara pendekatan (approximative). Transisi ke pengukuran resiko multiperiod polyhedral dicapai melalui persamaan (3.10) dari sebuah two-stage ke sebuah multi-stage
stochastic program:
Definisi 2 : (multiperiod polyhedra)
Suatu ukuran bagi resiko multiperiod ρ pada ×Tt=1 Lp (Ω, Ft , P) dengan ρ ∈ [1, ∞]
disebut multiperiod polyhedral jika di sana terdapat kt ∈ N, ct ∈ Rkt ,t = 1, ..., T ,
wt,τ ∈ Rkt−τ , t = 1, ..., T , τ = 1, ..., t − 1, sebuah polyhedron Y1 ⊆ Rk1 dan kerucut
polyhedral Yt ⊆ Rkt ,t = 2, ..., T sedemikian sehingga:
( " T
#
X


cTt yt : yt ∈ Lp Ω, F, P, Rkt ,
ρ (z) = inf E
Ht (yt ) = 0, yt ∈ Yt ,

t=1
t−1
X
τ =0

wTt,τ yt−τ = −zt , t = 1, . . . , T

)

(3.11)

Universitas Sumatera Utara

14
Beberapa spesifikasi dari persamaan (3.11) yang dibahas, mengarah ke ukuran resiko
multiperiod dengan kompleksitas yang berbeda. Antara lain, terlihat bahwa pengaturan yang cukup banyak termasuk filtrasi /penyaringan {Ft }Tt=1 , contohnya yaitu
arus informasi dari waktu ke waktu, dimasukkan ke dalam definisi ukuran resiko.
Berikut ini disajikan contoh yang relatif sederhana.
Contoh 3 (Multiperiod CV aR )
Dengan bobot γ2 , ..., γT yang tidak negatif (non-negative weights) dan tingkat kepercayaan (confidence levels) α2 , ..., αT ∈]0, 1[ dengan menjumlahkan setiap CV aR dalam
langkah-langkah:
ρ (z) :=

T
X

γt CV aRαt (zt )

(3.12)

t=2

dengan mengikuti aturan:
T
X



1
+
E (zt − ηt )
ρ (z) =
1
−
α
η∈R
t
t=2
( T
)
X 


1
E (zt − ηt )+
=
inf
γ t ηt +
1
−
α
T
−1
t
(η2 ,...,ηT )∈R
t=2
( T

h i
X
1
(1)
(2)
(1)
(1)
= inf
: −ηt − yt + yt = −zt , yt ≥ 0,
γ t ηt +
E yt
1
−
α
t
t=2
o
(2)
T −1
yt ≥ 0,
Ht (yt ) = 0,
t = 2, . . . , T , (η2 , . . . ηT ) ∈ R
( " T
#
X
= inf E
cTt yt : yt ∈ Yt ,
Ht (yt ) = 0,

γt inf ηt +

t=1

t−1
X
τ =0

T
wt,τ
yt−τ = −zt , t = 1, . . . , T

)

(3.13)

Dengan k1 = T, kt = 2, t = 2, . . . , T ,c1 = (0, γ2 , . . . , γT ) , c1 = (γ1 / (1 − αt ) , 0) ,
t = 2, . . . , T , w1,0 = e1 , wt,0 = (−1, 1) , t = 2, . . . , T , wt,t−1 = −e1 , t = 2, . . . , T ,
wt,τ = 0 , τ = 1, . . . , t − 2 , t = 3, . . . , T , Yt = RT , Yt = R2+ , t = 2, . . . , T , dengan
e1 sebagai penanda kanonik vektor basis yang ke t dalam RT .
Object biaya acak yang diberi oleh persamaan (3.8), dan ukuran resiko multiperiod
seperti pada definisi 2 menjadi:
n

min ρ (z1 , ..., zT ) = ρ b1 (ξ1 )T x1 , b1 (ξ1 )T x1 , +b2 (ξ2 )T x2 , ...,
!
)
T
X
bτ (ξτ )T xτ : x ∈ X (ξ)

(3.14)

τ =1

Universitas Sumatera Utara

15
Ukuran resiko polyhedral yang diberi oleh suatu program stokastik multi-tahap
dengan expectation objective ini menyarankan untuk menganggap model program stokastik multi-tahap berbasis expectation sebagai berikut:

min

( "
E

T
X

cTt yt

t=1
t−1
X
T
wt,τ
τ =0

#

: x ∈ X (ξ) , Ht (yt ) = 0, yt ∈ Yt ,

yt−τ +

t
X

T

bτ (ξτ ) xτ = 0, t = 1, ..., T

τ =1

)

(3.15)

Model-model tersebut membentuk proposisi berikut:
Proposisi 1 :
Meminimalkan persamaan (3.14) terhadap x adalah ekuivalen dengan meminimalkan
persamaan (3.15) yang berkenaan dengan semua pasangan (x, y) dalam arti: Nilainilai optimal dari kedua masalah, saling bersesuaian dan (x∗ , y ∗ ) adalah sebuah solusi
untuk persamaan (3.15) jika x∗ solusi bagi persamaan (3.14) dan y ∗ adalah solusi
untuk
yang didefinisikan sebagai:
 masalah minimisasi
T 
Pt
T
∗
.
ρ
τ =1 bτ (ξτ ) xτ
t=1

3.4 Separable Wait-And-See Problems
Masalah optimisasi yang muncul ketika menetaskan non-anticipativity dari suatu program stochastic, biasa disebut wait-and-see problems.
Selanjutnya, terdapat masalah wait and see yaitu:
Z
inf { cx : A (ω) x ≥ b (ω)} P (dω)
Ω

n
x∈R+

(3.16)

yang berhubungan dengan ekspektasi matematika yang tanggap terhadap distribusi
peluang pada nilai optimal. Pada prakteknya sering menggantikan parameter acak
A (ω) dan b (ω) dengan nilai ekspektasi:
A :=

Z

R

A (ω) P (dω) danb :=
Ω

Jelas, hasil dari masalah deterministiknya adalah:

Z

R

b (ω) P (dω)
Ω

inf

{ c x, : A x ≥ b } yang meru-

x∈X⊂Rn

pakan bagian terbesar dari informasi yang diberikan oleh ukuran probabilitas P dan
akan dimanfaatkan untuk skala yang lebih besar atau situasi kompleks dimana model
lain tak dapat diaplikasikan.
Universitas Sumatera Utara

16
Lemma 1 : Relaxation non-anticipativas dalam multistage stochastic program pada
persamaan (3.15) berhubungan dengan suatu masalah wait-and-see dimana ω ∈ Ω
adalah yang dapat dipisahkan.
Bukti 1 : Tanpa non-anticipativity tidak ada kendala pada persamaan (3.15) yang
mengandung komponen kendala dari ξ (.) dengan argumen ω, ω ′ . Hal ini memungkinkan pertukaran antara integration and minimization, dan problem wait-and-see
dipahami sebagai berikut:
"
( T
X
E min
cTt yt : xt ∈ Xt , yt ∈ Yt , Bt (ξt ) xt ≤ dt (ξt ) ,
t=1

t−1
X

At,τ (ξt ) xt−τ = ht (ξt ) ,

τ =0

t−1
X

T
yt−τ +
wt,τ

τ =0

t
X

bτ (ξτ )T xτ = 0,

t = 1, . . . , T

τ =1

)#

.

Karenanya minimisasi tersebut dapat dilakukan secara terpisah untuk masing-masing
ω ∈ Ω. Terbukti.
Keterpisahan pada hasil di atas telah dikenal dalam pengaturan terdahulu yang
berbasis expectation pada program stokastik multi-tahap, sehingga kenyataan bahwa masalah-masalah dengan multiperiod polyhedral risk objective adalah merupakan
representasi dari problems expectation Proposisi 1). Pertimbangkan hal berikut ini
sebagai pengembangan multiperiod dari semideviation.
SDmp (z) =

T
X

γt SD (zt ) , dengan γt ≥ 0, t = 2, ..., T

(3.17)

t=2

Untuk melihat bahwa di sini keterpisahan yang diinginkan selalu gagal, maka diberikan
γ2 = · · · = γT −1 = 0 , γT = 1 dan pertimbangkan masalah:
min {SD (zT ) : x ∈ X (ξ)}
Dengan sebuah variabel baru θT ∈ R (dan mengingat bahwa FT = F mencakup
non-anticipativas) sehingga masalah di atas setara dengan:
min {E [θT ] : x ∈ X (ξ) , θT ≥ 0, θT ≥ zT − E [zT ]}
Kendala θT ≥ zT − E [zT ] menghasilkan sejumlah pasangan ω ∈ Ω yang berbeda, dan
pasangan ini tetap merupakan relaxation of non-anticipativity.
Universitas Sumatera Utara

17
Masalah keterpisahan ω, dalam penelitian ini akan ditekankan pada batas bawah.
Jadi, sebuah pemisahan batas bawah pada fungsi objektif yang mempunyai resiko,
akan mungkin dilakukan. Lema yang berikut mengidentifikasi batas seperti itu untuk
persamaan (3.13).
Lemma 2 : Jika ηt ≤ E [zt ] , t = 2, . . . , T , maka 0 ≤ Eηt [zt ] − E [zt ] + ηt ≤ SD (zt ) ,
t = 2, . . . , T . Pertidaksamaan pertama berlaku jika dan hanya jika P [ηt > zt ] > 0.
Bukti 2 : Tanpa pembatasan ηt itu menyatakan bahwa max {zt , ηt } ≥ zt , dan
karenanya max {zt − ηt , 0} + ηt ≥ zt . Akibatnya expectations menghasilkan pertidaksamaan yang pertama. Dengan ηt ≤ E [zt ] diperoleh suatu max {zt , ηt } ≤ max
{zt , E [zt ]}. Oleh karena itu, max {zt − ηt , 0} + ηt ≤ max {zt − E [zt ] , 0} + E [zt ] ,
dan pertidaksamaan kedua diverifikasi lagi dengan mengambil nilai expectations. Pertidaksamaan pertama berlaku jika dan hanya jika 0 < E [max {ηt − zt , 0}] , yaitu jika
dan hanya jika P [ηt > zt ] > 0.
Expected excess adalah sebuah ukuran risiko polyhedral. Jadi batas bawah, memang, tidak dapat dipisahkan dalam ω. Lemma ini juga mengatakan bahwa batas
tersebut lebih baik setelah hasil zt jauh di bawah target ηt dengan probabilitas yang
positif. Juga zt tergantung pada x, perhatikan pada persamaan (3.8). Sebuah permasalahan wait-and-see dapat memperbesar feasible set yang mungkin, hal ini menyediakan suatu pilihan yang mungkin dari ηt untuk semua x yang sesuai.
ηtws := E [min {zt : x ∈ X (ξ) , with non-anticipativity dropped}] , t = 2, . . . , T.
Kesimpulan bagian ini merupakan pengembangan multiperiod dari one-period excess
probability.
Tidak ada perwakilan dari ukuran resiko polyhedral yang dikenal dalam kasus ini,
tetapi tujuan pemisahan dari relaksasi wait-and-see masih berlaku.
Contoh 4 : Pertimbangkan pengembangan multiperiod dari EPη (z) := P [z > η]
EP mp (z) :=

T
X

γt EPηt (zt ) ,

(3.18)

t=2

dengan faktor bobot γt ≥ 0 dan level target ηt ∈ R, t = 2, . . . , T .
Untuk permasalahan:
min {EP mp (z) : x ∈ X (ξ) }
Universitas Sumatera Utara

18
diasumsikan bahwa semua himpunan {zt : x ∈ X (ξ) }, t = 2, . . . , T adalah batas atas
P. Maka terdapat konstan M > 0 sedemikian rupa, sehingga masalahnya ekuivalen
dengan:
( "

min E

T
X
t=2

#

γt ut : x ∈ X (ξ) ,

zt − ηt ≤ M ut , ut ∈ {0, 1} , H (ut ) = 0, t = 2, ..., T } .

(3.19)

Penguraian non-anticipativity di atas menciptakan keterpisahan di ω.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PEMBAHASAN

4.1 Metode Branch And Bound
Algoritma Branch and Bound merupakan metode pencarian di dalam ruang solusi
secara sistematis. Ruang solusi diorganisasikan ke dalam pohon ruang status. Algoritma dimulai dengan pengisian sebuah nilai ke akar (root) dari pohon pencarian tersebut. Kemudian permasalahan diuraikan kedalam subregion-subregion yang
mungkin akan mengarah ke solusi. Inilah yang disebut dengan cabang (branching).
Branching dilakukan dengan memasang sebuah pending node ke pending node lain
yang lebih rendah levelnya. Bobot juga dihitung pada setiap proses dan ditulis di
simpul pohon. Prosedur ini akan dilakukan berulang-ulang secara rekursif untuk setiap subregion dan setiap subregion yang dihasilkan akan membentuk sebuah struktur
pohon yang disebut sebagai pohon pencarian atau pohon branch-and-bound di mana
simpul-simpulnya membangun subregion-subregion.
Selain branching, algoritma ini juga melakukan apa yang disebut dengan bounding yang merupakan cara untuk mencari batas atas dan batas bawah untuk solusi
optimal pada subregion yang mengarah ke solusi. Jika sebuah simpul diketahui merupakan solusi yang tidak mungkin bagi persoalan yang dihadapai, simpul tersebut diisi
dengan nilai tak terbatas (infinity). Algoritma berhenti ketika: sudah tidak mungkin
lagi untuk membentuk simpul baru di pohon atau hasil terakhir yang ditemukan
merupakan hasil yang lebih rendah (minimum) dari isi simpul yang telah ada pada
level yang lebih rendah .
Ilustrasi berikut menampilkan pohon skenario dari mulistage dengan parameter
stokastik:

Universitas Sumatera Utara

19

20

Ω = Ω1 = {10, 11, . . . , 17} Ω2 = {10, 11, 12}
G = {1, 2, 3, . . . , 17}
G 2 = {2, 3, 4}
t (5) = 3

π (9) = 4

S 4 = {8, 9, 15, 16, 17}
N 8 = {1, 4, 8}

Gambar 4.1 Scenario tree ; multistage

Berikut ini contoh sederhana penerapan metode branch-and-bound pada persoalan Integer Programming.
Contoh 5 (program linier cacah campuran)
Maksimumkan: Z = 5X1 + 8X2
dengan kendala : X1 + X2 ≤ 6
5X1 + 9X2 ≤ 45
Penyelesaian:
Maksimum Z = 40 untuk X1 = 0 dan X2 = 5 ,
(detail penyelesaian dengan Maple ver.12: pada Lampiran 2.)

Gambar 4.2 The enumeration tree

Universitas Sumatera Utara

21
Contoh 6 ( Integer Linear Programming Relaxation )
Minimumkan: cT x
dengan batasan: x ∈ P
: cT = (−2, −3)


: P = x ∈ Z+2 | 92 x1 + 14 x2 ≤ 1 , 17 x1 + 13 x2 ≤ 1

Penyelesaian: (detail penyelesaian dengan Maple ver.12: pada Lampiran 3)
x∗

p∗

P0

(2.17, 2.07)

-10.56

P1

(2.00, 2.14)

-10.43

P2

(3.00, 1.33)

-10.00

P3

(2.00, 2.00)

-10.00

P4

(0.00, 3.00)

-9.00

P5

(3.38, 1.00)

-9.75

P6

+∞

P7

(3.00, 1.00)

-9.00

P8

(4.00, 0.44)

-9.33

P9

(4.50, 0.00)

-9.00

P1 0
Minimum P ∗ = −10 untuk x1 = 2 dan x2 = 2

P1 1

+∞
(4.00, 2.00)

P1 2

-8.00
+∞

Gambar 4.3 Tree of subproblems and results of LP relaxations

4.2 Pengembangan Metode Branch And Bound
4.2.1 Algoritma
Formulasi dua-tahap dapat digunakan untuk problema multi-tahap yang dipasangkan dengan model ketidakpastian sebagai sebuah proses filtrasi. Perlakuan numerik
pada program stokastik multi-tahap biasanya membutuhkan distribusi probabilitas
diskret. Peralihan kedistribusi probabilitas diskrit ini dapat dibenarkan oleh stabilitas hasil untuk program stokastik dengan distribusi-distribusi yang random. Berikutnya Ω = {ω1 , ..., ωS } , πs := P ({ωs }), ξ s := ξ (ωs ) , s = 1, ..., S. Program stokastik
multi-tahap dari rumusan pada bagian 3.3 dan 3.4 merupakan masalah optimasi
berdimensi tak berhingga yang kemudian menjadi dimensi berhingga. Selanjutnya
dengan aljabar zigma, F menjadi himpunan kuasa 2Ω dari Ω. Untuk setiap subalgebra Ft dengan t = 1, ..., T terdapat suatu keluarga εt ⊆ 2Ω yang membentuk sebuah
Universitas Sumatera Utara

22
partisi Ω dan menggenerate Ft . Karena Ft ⊆ Ft+1 setiap unsur εt adalah gabungan
elemen dalam εt+1 . Banyaknya unsur-unsur di εt bertepatan dengan banyaknya unsur

t
t
yang berbeda (ξτ1 )τ =1 , ...., ξτS τ =1 yang merupakan perwujudan dari ξ untuk saat t.

Hubungan antara unsur-unsur ξt dan ξt+1 untuk t = 1, ..., T −1 dapat dinyatakan oleh
sebuah pohon (tree), yang disebut pohon skenario (scenario tree). Simpul (node) dari
pohon ini terjadi dalam lapisan (layers) untuk t = 1, ..., T yang mana setiap simpul

berkorespondensi dengan unsur dari ξt pada beberapa t ∈ {1, ..., T }. Arcs hanya ada
antara simpul-simpul di dalam lapisan-lapisan yang bersebelahan. Setiap node didalam ξt terhubung dengan semua node didalam ξt+1 yang gabungannya membentuk
ξt . Skenario ξ s = (ξτs )Tτ=1 , s = 1, ..., S sesuai dengan maximal paths dalam pohon
skenario tersebut.
Dalam pohon skenario ini, non-anticipativity dari keputusan (×s )Ss=1 = (× (ωs ))Ss=1
′

mengatakan bahwa komponen xs dan xs harus mencapai nilai-nilai yang sama sepa′

njang korespondensi paths ξ s dan ξ s bersamaan. Lebih tepatnya, di belakang notasi
Ht (xt ) = 0, t = 1, ..., T yang diperkenalkan pada bagian 3.3, kini terdapat sistem
persamaan linier berikut:
untuk semua t = 1, ..., T :

×st = ×st

′

untuk semua s, s′ ∈ {1, ..., S}
′

yang mana ξτs = ξτs , τ = 1, ..., t.
Berikutnya merumuskan program-program integer stokastik multi-tahap.

Di

samping model tradisional pada persamaan (3.9) perhatikan ekspektasi dari model di
persamaan (3.15) dan persamaan (3.19) sebagai yang ekuivalen dengan model-model
resiko pada fungsi tujuan.
Semua sp